Mechanische trillingen

04/22/23 1MECHANISCHE TRILLINGEN, LES 1, 2005

Faculty of EngineeringDepartment of Mechanical Engineering

ACOUSTICS & VIBRATION RESEARCH GROUP

Pleinlaan 2 • B-1050 Brussel • Belgium

[email protected] • http://avrg.vub.ac.be

Mechanische trillingen

Patrick Guillaume

E-mail: [email protected].: 02/6293566

LES 1 – SYSTEMEN MET EEN VRIJHEIDSGRAAD

MECHANISCHE TRILLINGEN, LES 1, 2005

Acoustics & Vibration Research Group

Vrije Universiteit Brussel2

Overzicht cursus– Basisbegrippen– Trillingsisolatie en demping– Meten van trillingen

– Sensoren– Optische meettechnieken

– Analyse van trillingen– Spectrale analyse– Cepstrale analyse – Orbitaalanalyse– Schokgolfanalyse

– Industrieel gebruik van trillingsanalyse

– Normen– Kwaliteitscontrole– Predictief onderhoud

– Trillingstesten– Modale analyse– Invloed van trillingen op het

menselijk lichaam




Noise and Vibration Cause

– Dynamic forces– E.g. imbalance, wind, …

Effect on people– Annoyance– Fatigue– Reduced comfort

Effect on machines, buildings, …– Wear– Reduced performance– Faulty operation– Damage

Vibration and Noise (i.e. unwanted sound) are closely related

Is there a problem?– ISO Norms, …




Who is responsible? Source

– Dynamic forces Path

– How the energy is transmitted (resonance?)

Receiver– How much noise/vibration

can be tolerated?
















Inhoud les 1– Modellering van een trillend systeem

– Vrije trillingen– Resonantiefrequentie– Gedwongen trillingen

– Isolatie van trillende machines




Modellering van een machine (1) Dynamisch gedrag van trillende machines

– Machine (starre blok)– Alternerende krachten, centrifugaalkrachten, …

– Elastische verbinding tussen machine en fundering





– Starre verbinging tussen machine en fundering– Alternerende krachten, centrifugaalkrachten, …

– Fundering rust op grond (elastische eigenschappen)








Mechanische elementen Discreet systeem met geïdealiseerde elementen

– Starre massa’s (traagheidseigenschappen)– Veren (elastische eigenschappen)– Dempers (dempende eigenschappen)




Mechanische parameters




Massa (traagheidskrachten/momenten) Vrijheidsgraden (V.G.)

– 3 verplaatsing V.G.– 3 rotatie V.G.

X

YZ




Veerstijfheid (terugroepkrachten) Spiraal-, schroef-, bladveren, …

– Lineaire veer




Dempingscoëfficiënt Hydraulische dempers op auto’s, …

– Laminaire stroming

– Lineaire demper

Structurele demping

Viskeuze demping

Coulomb demping




Bewegingsvergelijking

Lineair tijdsinvariante systemen (LTI)– Lineaire differentiaalvergelijking met constante coefficienten

In afwezigheid van uitwendige krachten

x(t)

b




Bewegingsvergelijking – geen demping

Stel x(t) X sin( t) 2x(t) X sin( t) 2

2

m X sin( t) k X sin( t) 0( m k) X sin( t) 0

2m k 0




Vrije beweging bij eigenfrequentie




Invloed massa en veerconstante




Eigenfrequentie – Rayleigh’s methode Conservatief systeem met 1 V.G.

– Snelheid van uitwisseling van potentiële naar kinetische energie




Eigenfrequentie – Statische veerweg




m

k

Equivalente massa van een veer

nveer

k kL mm m3 3




Pneumatische vering - voertuigen

Adiabatische toestandsverandering

0(V Ax)

lucht 1.3




Massa, veer, demper systeem

2

2 2 2

x(t)x(t) x(

mx(t) bx(t) kx(t) 0 ( )mx(t) kx(t) bx (t)

d 1 1mx (t) kx (t) bx (t) 0dt 2

t)

2




Bewegingsvergelijking – met demping

21,2

b b 4mk2m 2m b k 0

21,2

22n 2

b 4mk bi2m 2m

b bi2m 4m




Logaritmisch decrement

1 2

2 3

x(t ) x(t )ln lnx(t ) x(t )

1

2

b t2m

2 1 2 1b t2m

eln (t t ) (tb Re( ) t )2me

2 1

1t t 2 2

Im( )




Bewegingsvergelijking – gedwongen trilling

Complexe schrijfwijze

x(t)

f(t) = F0sin(2ft)

b




Krachtenvectordiagramma

i t0

i( t )

F( ) F eX( ) X e

2 i0m X ib X kX F e

kX

ib X

Xm 2i

0F e

X()

F()

b

2m X( ) ib X( ) kX( ) F( )




Frequentieresponsfunctie (FRF)

i

20

X( ) Xe 1H( )F( ) F (k m ) i b

i t0

i( t )

F( ) F emetX( ) X e

X()

F()

b




Tijdsdomein

Frequentiedomein (Laplace)

– Dynamische stijfheid Z(s) (statische) stijfheid k Transferfunctiie

Frequentie-Respons-Functie (FRF)

Overzicht systeem met 1 V.G.

mx(t) bx(t) kx(t) f(t)

2

Z(s)

(ms bs k) X(s) F(s)

2ms X(s) bsX(s) kX(s) F(s)

2X(s) 1 1H(s)F(s) Z(s) ms bs k

2 21 1H( )

m (i ) b i k (k m ) i b

x(t)

f(t)

b




Overzicht systeem met 1 V.G. Systeempolen

–

–

–

d( )

2X(s) 1 1H(s)F(s) Z(s) ms bs k

Poles : 2ms bs k 0

21,2

b b 4mks2m

1,20 0 4mk ks

2m mif b 0

1,2 ds i cif b b

cb 2 mk




Frequency Response Function (FRF)–

Natural (eigen) frequency

nkfor b 0 H( ) whenm

k1

0°-90°

-180°nf

b 0

mk

21

2f nn

21H( )

(k m ) i b

21m




Physical Interpretation for Harmonic Excitation

Amplitude

Frequency

k1

b 0

Frequency

x(t)

f(t) = sin(2ft)

b




Dimensieloze grootheden

2

2

2 2n

2 2n

2 2n n

2 2n n

n

2 2n n

cc

1H( )(k m ) i b

1/k(1 ) i b /k

1/k(1 / ) i b /k

1/k(1 / ) i b /k /

1/k(1 / ) i b / km /

1/k (kritische demping

m/k

k /m

b 2 k )(1 / ) i 2b / /

1/k (dempingsverhouding (

mb

1 / ) i 2 /

c )b /b




Dynamische versterkingsfactor2

02

nn

X( ) 1X

1 i 2




SDOF Representation of Rotating Machinery

X()

em

ti2 eme)(F

M

Mm

ti2

2e

ic)Mk(me)(X

)(F)(X]ic)Mk([ 2




Vibration Isolation for Rotating Machinery

ti2

2e

ci)Mk(me)(X

0 1 2 30

1

2

3Magnitude

0 1 2 3-270

-180

-90

0Phase

cme n

Mme

nffFrequency




Equivalente viskeuze demping Niet-viskeuze demping

– Niet-lineaire bewegingsvergelijkingen

Structurele (hysteretische) demping– Interne wrijving in vaste stoffen

– Harmonische krachteq eq

hb i X ihX b




Trillingsisolatie Isolatie van de omgeving t.o.v. een trillende machine Isolatie van een machine t.o.v. trillende omgeving




Trillingsisolatie

kX

ib X

Xm 2iF e

FT

T2

F ( ) k i bF( ) (k m ) i b

X()

F()

FT()

b

Isolatie van de omgeving t.o.v. een trillende machine




Transmissibiliteit

AttenuationAmplification

0 1 2 30

1

2

3

4

5

nffFrequency

Magnitude

2

c = 0 T2

F ( ) k i bF( ) (k m ) i b

b 0




Voorbeeld




FT in geval van een centrifugaalkracht




Rubber / Synthetische polymeren




Isolatie t.o.v. trillende omgeving Isolatie van een machine t.o.v. trillende omgeving

mx(t) k(y(t) x(t)) b(y(t) x(t))

2m X( ) (k i b)(Y( ) X( ))

2k i bX( ) Y( )

(k m ) i b

m

b

n2

2nn

1 i 2X( ) Y( )

1 i 2

c

b bb 2 mk




Gedrag van een voertuig Trillingsisolatie van voertuigen (bvb. vrachtwagens)

2 vL

Mechanische trillingen

Documents

Mechanische trillingen