Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011

8/19/2019 Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011

1/56

Hogeschool van Amsterdam

Dictaat

Mechanische

TrillingenBehorend bij TMC4200

Hogeschool van Amsterdam

7-11-2011


2/56

Mechanische trillingen 1 november 2011

INHOUD

1. Inleiding1.1. Wat zijn mechanische trillingen? 2

1.2. Trillingsbronnen. 2

2. Eerste orde systemen.2.1. De harmonische beweging. 7

2.2. Massa en veerconstante. 8

2.3. Principe van d`Alembert. 9

2.4. Harmonische trillingen en eigenfrequentie. 10

2.5. Energie beschouwingen en het principe van Rayleigh. 15

2.6. Demping. 18

2.7. Gedwongen trillingen en resonantie. 28

2.8. De methode van de mechanische impedantie. 33

2.9. Isolatie van trillingen. 36

2.10. Niet harmonische excitatie. 38

2.11. vraagstukken. 41

A. Complexe getallen.A.1 Imaginaire getallen. 44 A.2 Complexe getallen. 44

A.3 Operatoren met complexe getallen. 44

A.4 Het complexe vlak. 45

A.5 De stelling van de Moivre. 46

A.6 Vraagstukken. 46

B. Fourieranalyse.B.1 Goniometrische reeksen en periodieke functies. 48 B.2 De goniometrische hulpintegralen. 48

B.3 De Fouriercoëfficiënten. 49B.4 Verandering van de periode. 51

B.5 Harmonische analyse toegepast bij D.V.’s 51 B.6 Vraagstukken. 52

C. Antwoorden. 53

D. Literatuur. 54


3/56


1. Inleiding

1.1. Wat zijn mechanische trillingen.Men spreekt van mechanische trillingen als een constructie of een deel daarvan in een bepaald tijdsinterval

een beweging maakt die zich herhaalt. Het tijdsinterval waarin een volledige beweging plaats heeft noemt

men de periode of ook wel de trillingstijd T . Constructies met massa en elasticiteit kunnen aan

mechanische trillingen onderhevig zijn. Mechanische trillingen zijn over het algemeen ongewenst omdat zijdoor dynamische overbelasting of door vermoeiingsverschijnselen tot bezwijken van de constructie kunnen

leiden, ongewenst geluid kunnen veroorzaken of het gebruikscomfort van de constructie negatief kunnen

beïnvloeden.

1.2. Trillingsbronnen.Het is van belang dat een constructeur zich bij elk ontwerp van een constructie bewust is van het fenomeen

“Mechanische Trillingen”, omdat elke gerealiseerde constructie zal trillen! De mate waarin de constructie

trilt, is bepalend voor de mate waarin de veiligheid, bruikbaarheid of comfort in het geding is. Het is dus

noodzakelijk het dynamische gedrag van een constructie te kunnen analyseren in termen zo als eigen

frequentie, resonantie, demping ( deze termen worden in hoofdstuk 2 nader gedefiniëerd ) etc., maar

bovenal is het noodzakelijk de bron of bronnen te kennen die de trillingen veroorzaken. Met betrekking tot

civiele- en bouwkundige constructies zijn de volgende trillingsbronnen de belangrijkste :

- Trillende machines op fundaties.

- Waterwervelingen bij stuwen en sluizen.

- Windwervelingen bij gebouwen, brugdekken, pylonen en tuien.

- Verkeerstrillingen.

- Aardschokken en andere seismische verschijnselen.

1.2.1. Trillende machines op fundaties.Bij een machine met draaiende onderdelen die een bepaalde onbalans hebben zal dat resulteren in een

variërende kracht waarmee de machine op zijn fundatie rust. Deze variërende kracht is dan de trillingsbron

voor de constructie die de fundatie vormt.

De onbalans van een roterende machine kan gedefinieerd worden door een massa m een cirkelbaan te laten

beschrijven met de straal e , waarbij de m staat voor de effectieve onbalansmassa en e voor de

excentriciteit.

Variabele kracht

Draaiende motor met excentriciteit


4/56


1.2.2. Waterwervelingen bij stuwen en sluizen.Bij stuwen en sluizen kan zich de situatie voordoen dat het water door een nauwe kier tussen schuif en

bodem of tussen deur en bodem beweegt. Hierbij ontwikkelen zich in de stroming wervels met een

tijdsafhankelijk karakter. Dit zijn de z.g. Von Karmann wervels. Deze wervels oefenen een variërende

kracht op de schuif of deur uit. Deze variërende kracht is dan de trillingsbron voor de schuif of deur.

De loslaat frequentie van deze wervels wordt bepaald door het getal van Strouhall. Dit getal is als volgt

bepaald :

v

h f S

m

M

Rk

e

schuif

v

δ h

Von Karmann wervels


5/56


Hierin is :

f = de loslaat frequentie van de wervel

h = de hoogte van de spleet

v = de stroomsnelheid van het water

Het getal van Strouhall is afhankelijk van de verhouding hefhoogte δ en de hoogte h van de spleet. Dit

wordt gegeven door de volgende grafiek.

h

Met deze gegevens zijn de frequenties van de trillingbron te bepalen.

1.2.3. Windwervelingen bij gebouwen, brugdekken, pylonen en tuien.De windbelasting op gebouwen en bruggen die trillingen kan veroorzaken, bestaat uit windstoten en

regelmatig loslatende wervels ( Von Karmann wervelstraten ).

Van het tijdstip en sterkte van windstoten is alleen iets aan de hand van kansrekening te zeggen. Voor desterkte van de windstoten kan men op basis van ervaring ontwerpwaarden vaststellen met daarbij behorende

overschrijdingskansen. De fysica van de loslatende wervelstraten in lucht is gelijk aan die van de wervels

bij deuren van spuisluizen, alleen door het verschil in de eigenschappen van lucht en water zullen de

kentallen ( zoals het getal van Reynolds ed. ) waarbij de wervels optreden anders zijn.

Een voorbeeld van het optreden van ongewenste trillingen bij een brug is het geval van de Erasmus brug

Bij deze brug kwamen de tuien in trilling t.g.v. Von Karman wervels. Door het om beurten loslaten van de

wervels werden wisselende belastingen op de tuien uitgeoefend. Hierdoor kwamen de tuien in trilling.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

S

Onderste deel van de schuif

Bovenste deel van de schuif


6/56


Bij hangbruggen zoals de brug over de Grote Belt in Denemarken, kan het brugdek ernstige trillings-

problemen veroorzaken. Het ontwerp van het dwarsprofiel van zo een brugdek moet er op berekend zijn,

dat de wervels belastingen met trillingsfrequenties veroorzaken die geen gevaarlijke waarde hebben.

1.2.4. Verkeerstrillingen.Verkeer veroorzaakt een veelheid aan trillingen en het voert te ver deze hier te behandelen. Deze trillingen

door verkeer moeten, elk naar de aard van de bron, elk afzonderlijk geanalyseerd worden. Er wordt hier

volstaan met enkele voorbeelden.

-Voetgangers

Voetgangers op bruggen kunnen trillingen in de brug veroorzaken. Een groep marcherende soldaten geven

door hun stap in eenzelfde ritme en tijdstip een trilling in de langsrichting van de brug. Individuele

voetgangers geven daar en tegen een trilling in de dwarsrichting van de brug. Dit komt omdat zij bij het

lopen zich beurtelings met een been afzetten. Dit creëert een wisselende zijdelingse belasting op de brug.

- Autoverkeer en treinen

Bij het autoverkeer is de verkeersdrempel een belangrijke oorzaak van trillingen. Bij treinen is hetintrinsieke hoge eigengewicht oorzaak van trillingen. De grond wordt door puntlastvormig belastingen

verplaatst. Deze verplaatsingen planten zich voort in de grond als compressie- en afschuivingsgolven.

1.2.5. Seismische verschijnselen.Hoewel de aardbodem stevig en stabiel lijkt, is dat maar schijn. Door allerlei oorzaken kan de aardbodem

heftig in beweging komen. Het kan hierbij gaan om ondergrondse verzakkingen, zoals het instorten van

natuurlijke ondergondse holten, het instorten van oude mijnen en het ineen zijgen van gashoudend

gesteente, waar het gas door winning uit verdwijnt. De heftigste seismische verschijnselen zijn de

aardbevingen. Deze worden veroorzaakt door op ongelijkmatige wijze langs elkaar schuiven van de

aardschollen waar de aardkorst uit bestaat.

Aanstromende lucht

Zijdelingse trilling

Von Karman wervels

Slingerend waterlaagje

Om de tui


7/56


Het voorspellen van aardbevingen naar tijdstip en sterkte is een zeer moeilijke zaak en ligt geheel buiten de

aard en bedoeling van deze tekst. Het volstaat hier met de opmerking dat de proefondervindelijke

bouwvoorschriften voor aardbeving bestendig bouwen tot een gespecialiseerd vakgebied behoren, waar hier

niet verder op wordt ingegaan.


8/56


2. Eerste orde systemen.

2.1. De harmonische beweging.Zoals in het vorige hoofdstuk genoemd, men spreekt van mechanische trillingen als een constructie of een

deel daarvan in een bepaald tijdsinterval een beweging maakt die zich herhaalt. Het tijdsinterval waarin een

volledige beweging plaats heeft noemt men de periode of ook wel de trillingstijd T met de dimensie

seconde. Het aantal maal dat de trilling zich herhaalt in één seconde noemt men de fr equenti e f met dedimensie hertz (Hz) of s-1 . Het verband tussen trillingstijd en frequentie wordt gegeven door :

T f

1

Beschouwt men een punt P, waarbij het punt zich met een constante snelheid langs een cirkelvormige baan

beweegt en men neemt van deze beweging de projectie langs een rechte lijn, dan krijgt men de

harmoni sche beweging . Deze wordt in onderstaand figuur weergegeven.

Afgezet tegen de tijd heeft de harmonische beweging een sinusvormig verloop. De maximale uitwijking

van het punt P ( afstand OR ) noemt men de amplitude A. De snelheid waarmee het punt P de cirkel

doorloopt noemt men de hoeksnelheid of cirkelfrequentie ω . Het verband tussen de cirkelfrequentie en de

trillingstijd wordt gegeven door :

T

2

Het verband tussen de frequentie en de cirkelfrequentie is dan :

f 2

De beschrijving van de harmonische beweging als functie van de tijd wordt dan :

t A y sin

In bovenstaande figuur is A = 5 en f = 1 Hz. Bij deze beschrijving van de harmonische beweging geldt dan

de uitwijking y = 0 op het tijdstip t = 0 . Dit is geen noodzakelijke voorwaarde, men kan ook het tijdstip

t = 0 een bepaalde uitwijking y hebben. Dit leidt tot een algemene formulering van de harmonische

beweging met een begin fase φ0 .

0sin t A y

P

ωt

y

x

P1

O

ωRR T

A


9/56


Opmerking :

Uit de goniometrie is bekend dat voor de vorm 0sin t A y ook geschreven kan worden :

t At A y cossin 21

2.2. Massa en veerconstante.

De hoeveelheid materie van een lichaam wordt gekenmerkt door de massa. De maat hiervoor is dekilogram [kg]. Volgens de wetten van Newton kan een lichaam met massa alleen versnellen of vertragen

indien er een kracht op werkt. Bij bepaalde constructies, zoals b.v. sluisdeuren, kan het zijn dat het medium

waarin de constructie zich bevindt ook gaat meetrillen. De effectieve massa die aan de trilling meedoet is

dan groter dan die van de constructie zelf. Men heeft dan te maken met z.g. toegevoegde massa.

Bij een veer is het verband tussen de uitrekking ( of indrukking )

en de kracht die op de veer wordt uitgeoefend evenredig. Dit kan

men weergeven door de betrekking :

yk F

Hierin is F de kracht, y de uitrekking en k de evenredigheids-

constante. Men noemt deze de veerconstante.

Bij het parallel koppelen van veren zullen de veren dezelfde verlenging ( of verkorting ) ondergaan.

De kracht die totaal op de veren moet worden uitgeoefend is de

som van de krachten op de veren. Dus :

yk F 11 en yk F 22

De totale kracht op beide veren is :

yk F

yk k F

yk yk F

F F F

eq

21

21

21

De conclusie is dat voor parallel gekoppelde veren de equivalente ( of vervangende ) veerconstante gelijk is

aan de som van de veerconstanten van afzonderlijke veerconstanten.

21 k k k eq

In het algemeen voor n veren :n

ieq k k 1

y

F

F

veer

F

y F 1 F 2

k 1 k 2


10/56


Bij het in serie koppelen van veren ondervinden alle veren dezelfde kracht. De totale verlenging in het

systeem van veren is de som van de verlengingen van elk van de veren.

Bij het in serie koppelen van twee veren met respektievelijk veer-

constanten k 1 en k 2, krijgt men de verplaatsingen y1 en y2. De totale

verplaatsing van het uiteinde van de tweede veer is de som van y1 en

y2

. De krachten in relatie tot de verplaatsingen worden gegeven door :

111 yk F 222 yk F

Voor het totale systeem kan men schrijven :

2

2

1

1

21

k

F

k

F

k

F

y y y

yk F

eq

eq

tot

tot eqeq

Voor de serie gekoppelde veren geldt : F F F F eq 21

21

21

111

k k k

k

F

k

F

k

F

eq

eq

In het algemeen voor n veren :n

ieq k k 1

11

Voorbeeld :

Een systeem van drie veren is gekoppeld. Veer 1 staat in

serie gekoppeld met de parallel gekoppelde veren 2 en

3. Van de veren is gegeven :

k 1 = 2000 N/m, k 2 = 1000 n/m en k 3 = 3000 N/m.

Bepaal de equivalente veerconstante van dit systeem

van veren.

N/m400030001000323,2 k k k eq

N/m3,13333

4000

4000

3

4000

1

2000

1111

3,21

eq

eqeq

k

k k k

2.3. Principe van d` Alembert. Veel benaderingen voor het berekenen van trillingen berusten op de wetten van Newton, waarbij de tweede

wet de belangrijkste is voor deze berekeningen, deze luidt :

Van een massa is de verandering van hoeveelheid van beweging per ti jdseenheid evenr edig met de

kracht di e op de massa werkt .

dt

md F

v

F

y1

F

y2

k 1

k 2

k 3


11/56


Hierin is : F = de kracht [Newton]

m = de massa [Kilogram]

v = de snelheid [Meter/seconde]

Opmerking : vm is de hoeveelheid van beweging , wordt ook de impuls genoemd.

Voor een lichaam met een constante massa gaat de bovengenoemde formulering over in :

am F

dt

d m

dt

dm

dt

d m

dt

md F

vv

vv

Hierin is :dt

dva = versnelling

Het principe van d’Alembert is een herformulering van de tweede wet van Newton en deze luidt :

Al le op een lichaam ui tgeoefende krachten en traagheidsweerstanden houden elkaar in evenwicht .

Opmerking : de traagheidsweerstand is hier am .

2.4. Harmonische trillingen en eigenfrequentie.Koppelt men een lichaam met een massa m aan een veer met een veerconstante k , dan heeft men een

systeem waarbij de massa een harmonische beweging kan uitvoeren. Om dit te kunnen inzien moet men de

tweede wet van Newton of het principe van d’Alembert toepassen op dit systeem. Hierbij is de kracht F v,

die de veer op het lichaam uitoefent tegengesteld

gericht aan de verplaatsing y, die het uiteinde van de

veer ondergaat.

yk F v

De kracht F m die de massa ondervindt door de

versnelling is :

2

2

dt

yd m F m

Met de tweede wet van Newton ( of het principe van

d’Alembert ) kan men het krachtenevenwicht, dat op

het lichaam werkt, opschrijven.

0002

2

yk dt

yd m F F F vm

Dit geeft de differentiaal vergelijking van de beweging van het beschouwde lichaam. De oplossing van

deze vergelijking is :

)sin()( t m

k At y

In deze oplossing worden A en φ bepaald door de begin voorwaarden van de beweging. Als men voor

m

k schrijft, gaat de oplossing over in de vorm : )sin()( t At y

Dit is de beschrijving van een harmonische beweging met een hoeksnelheid ω, amplitude A en een begin

fase φ .

y

F m

F v

m

Onbelaste veer


12/56


Opmerking :

Deze beschrijving van de harmonisch beweging is identiek met : t Bt At y cossin)(

Conclusie :

Een systeem bestaande uit een massa m een veer k kan een harmonische trilling uitvoeren :

)sin()( t At y

De hoeksnelheid van de beweging is :

m

k

Bij deze hoeksnelheid hoort een frequentie die men de eigenfrequentie noemt.

m

k f

2

1

2

Bewijs :

Stel de oplossing van de D.V. is )sin()( t At y , dan geldt voor de afgeleiden :

)sin(en)cos( 22

2

t Adt

yd t A

dt

dy

Ingevuld in de D.V. geeft dit :

)sin(

)sin()sin(

2

2

2

2

t Ak m

t Ak t Am yk dt

yd m

substitutie van ω geeft :

0)sin()sin(

2

2t

m

k Ak

m

k mt Ak m

Voorbeeld :

Van een veer is bekend dat een kracht van 100 N de veer 4 cm. uitrekt. Als deze veer met een lichaam met

een massa van 400 kg een trillingsysteem vormt, wat is dan de eigenfrequentie van dit systeem?

De veerconstante kan worden bepaald met : N/m2500104100

2k k yk F v

De eigenfrequentie wordt bepaald door :

rad/s5,2400

2500

m

k Hz3979,0

2

5,2

2 f

De trillingstijd is dan :

s51,23979,0

11

f T

2,51


13/56


Het is niet noodzakelijk dat een trillend systeem een veer bevat. In het algemeen geldt dat indien er door

één of andere oorzaak een terugdrijvende kracht aanwezig is deze, samen met een massa, het systeem tot

trillen kan brengen. Een terugdrijvende kracht hangt af van de uitwijking van het systeem, maar is

tegengesteld gericht aan die uitwijking. Een voorbeeld hiervan is de mathematische slinger.

Deze bestaat uit een massapunt m , opgehangen aan een

oneindig stijve staaf met de lengte L. De massa van de

staaf wordt verwaarloosd. De zwaartekracht veroorzaakt

een kracht g m , die ontbonden wordt met een

component F g loodrecht op de staaf.

sin g m F g

L

ysin

Bij kleine hoeken φ , mag men het richting verschil tussen

F g en y verwaarlozen.

y L

g m F g

Met de massatraagheid :

2

2

dt

yd m F

m

krijgt men de differentiaal vergelijking :

0

00

2

2

2

2

y L

g

dt

yd

y L

g m

dt

yd m F F g m

De oplossing hiervan luidt :

t L g A y sin

Dit kan ook geschreven worden als :

t L

g Bt

L

g A y cossin

In deze oplossingen zijn A en φ , resp. A en B bepaald door de begin voorwaarden van het trillings-

probleem. Bij de mathematische slinger ziet men dat de slingertijd niet afhankelijk is van de slingerende

massa!

g

LT

L

g T

L

g 2

22

voorbeeld :Een mathematische slinger heeft een lengte van 60 cm. Op het tijdstip t = 0 heeft de slinger een uitwijking

van 6 cm en de snelheid is op dat moment 0 m/s . De gravitatie constante is g = 9,81 m/s 2 . Bepaal de

slingertijd en bepaal tevens de uitdrukking voor de slingerbeweging als functie van de tijd.

De slingertijd bedraagt :

s55,181,9

6,022

g

LT

m

y

L

φ

F g

m. g

F m


14/56


De algemene uitdrukking voor de slingerbeweging is :

t L

g A y sin

Hieruit volgt dat de uitdrukking voor de snelheid gegeven wordt door :

t L g

L g A

dt dy cosv

Voor het tijdstip t =0 geldt dan :

200

6,0

81,9cos

06,0

81,9cos

6,0

81,906,00

De uitdrukking voor de uitwijking gaat nu over in :

204,4sin06,0

26,0

81,9sin06,0 t yt y

t y 04,4cos06,0

Een ander voorbeeld van een trillend systeem zonder veer, maar wel met een terugdrijvende kracht, is de

trillende vloeistofkolom. Hierbij bevindt de vloeistof zich in een U-vormige buis. De doorsnede van de buis

is overal dezelfde met de oppervlakte O . De vloeistof heeft een dichtheid

van ρ . De lengte van de vloeistofkolom is L . Een verplaatsing van de

vloeistofspiegel van y , geeft een hoogte verschil tussen de linker en

rechter vloeistofspiegel van 2 y . Dit geeft een terugdrijvende kracht van :

yO g F 2

De kracht ten gevolge van de massa traagheid is :

2

2

dt

yd LO F m

Hieruit volgt de differentiaal vergelijking :

02

020

2

2

2

2

y L

g

dt

yd

yO g dt

yd LO F F m

De oplossing hiervan is :

t L

g A y

2sin

Zodat voor trillingstijd en frequentie geldt :

L

g f

g

LT

2

2

1en

22

De begin voorwaarden bepalen weer de amplitude A en de begin fase φ .

2 y

L

F


15/56


voorbeeld :

Een trillende vloeistofkolom heeft een lengte L = 1 m, de gravitatieconstante is g = 9,81 m/s 2 . Bepaal de

trillingstijd van deze kolom.

s42,181,92

12

22

g

LT

Ook bij constructies met staven en balken kunnen trillingen optreden, analoog aan een massa veer systeem.

Een balk met een traagheidsmoment voor buiging I , een lengte L en elasticiteitsmodulus E wordt in het

midden belast met een lichaam met een massa m . Met verwaarlozing van de eigenmassa van de balk wordt

de differentiaal vergelijking als volgt :

De verplaatsing van het midden t.g.v. de zwaartekracht die de massa op de balk uitoefent is :

I E

L g m

I E

L F y

4848

33

De equivalente veerconstante wordt :

33

48

48

L

I E

I E

L g m

g m

y

F k

Naar analogie van het massaveer systeem wordt de differentiaal vergelijking :

02

2

yk dt

yd m

Met als oplossing :

)sin()( t m

k At y

Invullen van de equivalente veerconstante geeft :

)48

sin()

48

sin()(3

3

t Lm

I E At

m

L

I E

At y

De eigen frequentie is dan :

3

48

2

1

Lm

I E f

m

y

L


16/56


2.5 Energie beschouwingen en het principe van Rayleigh.Voor conservatieve systemen, d.w.z. systemen waarbij geen energie verloren gaat, geldt dat de som van

potentiële energie en kinetische energie constant is.

constantkin po t E E

Dit kan ook worden uitgedrukt door :

0dt

E E d kin pot

Met deze energiebalans kan dan ook het trillingsgedrag van het systeem bepaald worden.

De uitrekking van de veer y is een functie van de tijd. De kracht F v , die op de

veer wordt uitgeoefend is evenredig met de uitrekking : yk F v

De uitrekking vertegenwoordigt de potentiële energie :

2

21

00 v yk dy yk dy F E

y y

po t

De kinetische energie van het systeem wordt bepaald door de massa m van het

systeem en de snelheid van de massa volgens :2

212

21 v

dt

dymm E kin

Toepassen van 0dt

E E d kin pot geeft :

0

2

212

21

dt

dt

dym yk d

02

2

2

2

dt yd m yk

dt dy

dt yd

dt dym

dt dy yk

02

2

dt

yd m yk

Deze differentiaal vergelijking werd ook verkregen met behulp van de krachtenbalans (2e wet van Newton).

Dus ook hier is de oplossing :

)sin()( t m

k At y

De energiebalans is ook toepasbaar op de mathematische slinger. Hierbij kan men de slingerhoek φ

gebruiken als de variabele in de tijd. De kinetische energie en de potentiële energie moeten dan worden

y

v

F v

m


17/56


uitgedrukt in de slingerhoek als functie van de tijd.

De kinetische energie is :2

212

21 v

dt

dymm E kin

tevens geldt sin L y en als φ klein is geldt sin dus :

dt d L

dt dy L y

Voor de kinetische energie kan dan geschreven worden :2

21

dt

d Lm E kin

Voor de potentiële energie geldt :

cos

cos1

L g m L g m E

L g mh g m E

po t

po t

Nu de energiebalans toepassen :

0dt

E E d kin pot

0sin

0

cos

2

22

2

21

dt

d

dt

d Lm

dt

d L g m

dt

dt

d Lm L g m L g md

Dit kan herschreven worden tot :

0sin2

22

L

g

dt

d

dt

d Lm

De vorm tussen de haakjes is dus nul :

0sin2

2

L

g

dt

d

Tevens geldt als φ klein is geldt sin dus :

02

2

L

g

dt

d

Deze differentiaal vergelijking heeft weer de oplossing :

t L

g At sin)(

De slingerfrequentie is dan weer :

L

g f

2

1

m

y

L

φ

v h


18/56


Een afgeleide methode van de energiebalans is de methode van Rayleigh, waarbij weer een conservatief

trillingsysteem wordt verondersteld met een harmonische trillingsbeweging. Er wordt uitgegaan van :

constantkin po t E E

Dit betekent bij een harmonische beweging dat als de snelheid van de massa nul is, de kinetische energie

nul is en de potentiële energie maximaal. Omgekeerd geldt dan ook als de potentiële energie nul is, is de

kinetische energie maximaal. In beide gevallen is de maximale hoeveelheid energie gelijk.

maxmax kin pot E E

Beschouwt men weer het massa-veer systeem, dan krijgt men het volgende :

De maximale potentiële energie verkrijgt men bij maximale uitrekking van de

veer.2

max21

max yk E po t

De maximale kinetische energie verkrijgt men bij de maximale snelheid.2

max2

1

max dt

dy

m E kin

Voor de harmonische oplossing t A y sin geldt dat :

At Adt

dy A y max

maxmax cosen

Ingevuld in de uitdrukking voor de potentiële energie geeft dit :

2

212

max21

max Ak yk E po t

Voor de kinetische energie is dit :

2

21

2

max21

max Am

dt

dym E kin

De methode van Rayleigh levert nu :

m

k

mk

Am Ak

E E kin pot

2

2

2

12

2

1

maxmax

y

v

F v

m


19/56


2.6 Demping.In de voorgaande beschouwingen van mechanische trillingen is het energieverlies buiten beschouwing

gelaten. In de realiteit is er altijd sprake van energieverlies. Het effect van het energieverlies wordt

aangeduid met de term “demping ”. De mate van demping en de wijze waarop deze totstand komt bepaalt in

sterke mate het karakter van de trillingen waar deze demping een rol speelt. De demping kan heel gering

zijn en kan zijn effect in de meeste gevallen verwaarloosd worden. Bij een lichte mate van demping waarbij

de trilling wordt beïnvloed spreekt men van “onderkritisch gedempt”. Er zijn echter ook situaties waarbij de

demping zo sterk is dat er zelfs geen trilling optreedt. Men spreekt dan van “bovenkritisch gedempt”. Bij de

situatie precies op de grens van deze twee, spreekt men van “kritische demping”.

Als soorten demping onderscheidt men :

- Visceuse demping

- Coulomb demping

- Lucht demping

- Magnetische demping

- etc.

In het volgende zullen lucht demping en magnetische demping buiten beschouwing blijven, omdat zij in de

beschouwde constructies een te verwaarlozen rol spelen.

2.6.1 Visceuse dempingDe karakteristieke eigenschap van de visceuze demping is, dat de dempingkracht in richting tegengesteld is

aan de bewegingsrichting en evenredig is aan de snelheid van de beweging van de trilling. Dit is het soortgedrag dat hydraulische dempers vertoont, vandaar de naam.

De krachten die nu op het lichaam met de massa m werken zijn :

De veerkracht : yk F v

De dempingkracht :dt

dyr F d

De versnellingkracht :2

2

dt

yd m F

Voor het krachten evenwicht geldt nu :

0vd F F F

Met de krachten ingevuld levert dit de differentiaal verglijking van de gedempte trilling :

02

2

yk dt

dyr

dt

yd m

Dit kan ook geschreven worden als :

02

2

y

m

k

dt

dy

m

r

dt

yd

Stel een oplossing is : t t t e ydt

yd e y

dt

dye y y 0

2

2

2

00

Ingevuld in de differentiaal vergelijking geeft dit :

00002 t t t e y

m

k e y

m

r e y

y F v

F

m

F d

k r


20/56


De karakteristieke vergelijking wordt dan : 02

m

k

m

r

Voor deze vergelijking zijn twee oplossingen :

m

k

m

r

m

r 2

2,122

Voor de veronderstelde oplossing kan men dan schrijven :

t t e y yene y y 20221

011

De algemene oplossing van de differentiaal vergelijking wordt dan :

t t e ye y y 2021

01

Hierin zijn 0201 en y y willekeurige reële getallen.

Bovenkritisch gedemptHet bovenstaande geldt alleen als β in de oplossing een reële waarde heeft, dus dat de discriminant in de

uitdrukking voor β groter dan nul is. Dus als

m

k

m

r 2

2

Voorbeeld :

Een massa-veer systeem heeft een massa m = 1 kg, een demping r = 10 Ns/m en een veerconstante

k = 9 N/m. Als beginvoorwaarden gelden op tijdstip t = 0 is de uitwijking y = 1 m en de snelheid 0dt

dy

m/s .

Voor de oplossing geldt :19

1210

2

22

mk

mr bovenkritisch.

Voor de exponenten in de oplossing geldt :

1en9

451

9

12

10

12

10

22

21

22

2,1m

k

m

r

m

r

De oplossing wordt dan : t t t t e ye ydt

dye ye y y 02

90102

901 9

Met de begin voorwaarden ingevuld geeft dat :0

02

0

01

0

02

0

01 901 e ye ye ye y

Hieruit volgt het stelsel vergelijkingen :

8

9

8

1

09

10201

0201

0201 yen y

y y

y y

Zodat de oplossing wordt :

t t ee y8

9

8

1 9


21/56


Als grafiek ziet dat er als volgt uit :

Kritisch gedempt

Indien de waarden voor r , m en k zich als volgt verhouden :m

k

m

r 2

2 dan zijn er twee gelijke β ’s.

m

r

m

k

m

r

m

r

222

2

2,1

Men zou kunnen verwachten dat er maar één oplossing is, n.l.t

m

r

e y y 20 , maar dat is niet zo. Er is

nog een oplossing n.l.

t m

r

et y y 201

Bewijs :

Stel men heeft 21 met de oplossingent t e y yene y y 202

1

01

Dan is de volgende lineaire combinatie ook een oplossing!

21

212

21

1

21

11 t t t t eeee y

Stel nu 21 en dan wordt de voorgaande uitdrukking :

t t ee y

Neemt men hier van de limiet met 0 dan krijgt men :


22/56


t t t

et ee

y00

limlim

De algemene oplossing van de differentiaal vergelijking in het kritische geval is dan :

t m

r

et y y y 2010

Voorbeeld :

Een massa-veer systeem heeft een massa m = 1 kg, een demping r = 6 Ns/m en een veerconstante


dy

m/s .

Voor de oplossing geldt :1

9

12

6

2

22

m

k

m

r kritisch.

Dus :

t t

t

e yt e y

dt

dy

et y y y

3

01

3

0

3010

)31(3

Met de begin voorwaarden geeft dit :

3

1

0)031(3

10

01

0

03

01

03

0

03

010

y

y

e ye ydt

dy

e y y y

De volledige oplossing is nu : t et y 331



23/56


Onderkritisch gedempt

Indien de waarden voor r , m en k zodanig zijn dat geldtm

k

m

r 2

2 dan kan men voor de β ’s schrijven :

2

2,122 m

r

m

k i

m

r

De exponenten in de algemene oplossing van de differentiaal vergelijking zijn nu complexe getallen. Omde consequenties hiervan te onderzoeken wordt de volgende verkorte schrijfwijze ingevoerd :

2

2 m

r

m

k u

De algemene oplossing wordt dan als volgt :

t uit uit

m

r

t uit

m

r

t uit

m

r

t uim

r t ui

m

r

t t

e ye ye y

ee yee y y

e ye y y

e ye y y

0201

2

202

201

202

201

202

101

Er volgt nu een substitutie voor y01 en y02 .ii

e y ye y y002001

en Hierdoor gaat de

oplossing over in :

it uiit uit

m

r

t uiit uiit

m

r

eee y y

ee yee ye y

20

002

De schrijfwijze van Euler voor complexe getallen geeft de mogelijkheid over te gaan van e-notatie naar een

notatie met sinus en cosinus, dus :

cos2sincossincos

sincosensincos

iiee

ieie

ii

ii

Dit toegepast op de oplossing van de differentiaal vergelijking geeft :

t ue y yt

m

r

cos220

Nu de oorspronkelijke betekenis voor u weer invullen en reorganiseren geeft :

t m

r

m

k e y y

t m

r 2

20

2cos2

De interpretatie hiervan is, een sinusvormige trilling met afnemende amplitude. De waarden voor y0 en δ

zijn te bepalen uit de beginvoorwaarden.

Voorbeeld :

Een massa-veer systeem heeft een massa m = 1 kg, een demping r = 0,5 Ns/m en een veerconstante


dy

m/s .

Met de waarden voor de massa, demping en veerconstante ingevuld krijgt men :


24/56


t e y y

t e y y

t m

r

m

k e y y

t

t

t m

r

9896,2cos2

12

5,0

1

9cos2

2cos2

25,0

0

2

12

5,0

0

2

20

De afgeleide hiervan is :

t e yt e ydt

dy t t 9896,2sin9791,59896,2cos5,0 25,0025,0

0

Op het tijdstip t = 0 geldt dat : 0dt

dy , waar uit volgt dat :

rad08343,09791,5

5,0

cos

sin

tan

0sin9791,5cos5,0

00sin9791,50cos5,0 000

0 e ye y

Op het tijdstip t = 0 geldt ook y = 1 .

5017,008343,0cos2

1

08343,0cos21

08343,009896,2cos21

9896,2cos2

0

0

0

0

25,00

y

y

e y

t e y y t

De oplossing van de vergelijking wordt dus :

08343,09896,2cos0035,1 25,0 t e y t



25/56


Voor de trillingstijd kan men schrijven :2

2

22

m

r

m

k

T

Voor de frequentie geldt dan :

2

22

1

m

r

m

k f

Bij deze gedempte trilling heeft men te maken met een afnemende amplitude. De wijze van afnemen kan

men karakteriseren door middel van de dempingsfactor. Deze is als volgt gedefiniëerd :

T m

r t

m

r

t m

r

T t m

r

t m

r

ee

e

T t ue y

t ut ue y y

T t y

t y

22

2

20

200

cos2

coscos22

)(

)(

De dempingsfactor is :T

m

r

e 2

Samenvatting :

Heeft men een systeem zonder wrijving, dan zal de trilling met een constante amplitude blijven voortduren.

Introduceert men een gering wrijving, dan krijgt men een trilling met een geleidelijk kleiner verminderende

amplitude, deze voldoet aan de functie :

t m

r

m

k e y y

t m

r 2

20

2cos2

Hierbij geldt de voorwaarde datm

k

m

r 2

2 moet zijn.

Uit de functie van de trilling blijkt dat bij toenemende waarde van de weerstand r de frequentie afneemt.

Wordt de weerstand zo groot dat geldtmk

mr

2

2 , dan spreekt men van krtitische gedempt en heeft

men geen trilling meer, maar een uitwijking die direct en op de snelste wijze naar nul gaat, zonder dat de

uitwijking negatief wordt. De functie van de uitwijking luidt nu :

t m

r

et y y y 2010

Maakt men de wrijving nog groter, dan krijgt men de boven kritisch gedempte situatie metm

k

m

r 2

2

In deze situatie kan men niet spreken van een trilling, daar de uitwijking naar nul gaat, zonder dat deze ooit

een negatieve waarde bereikt. Deze beweging verloopt langzamer dan de kritisch gedempte situatie. De

functie voor de uitwijking luidt nu :

t m

k

m

r

m

r t

m

k

m

r

m

r

e ye y y

22

22

02

22

01


26/56


2.6.2 Coulomb dempingBij de visceuse demping is de dempingskracht evenredig met de snelheid waaraan de demper wordt bloot-

gesteld. Bij Coulomb demping is dit niet zo! Hierbij wordt de demping verkregen door droge wrijving. De

dempingskracht is constant en tegengesteld aan de beweging. De grootte van de dempingskracht wordt

bepaald door de normaalkracht waarmee de langs elkaar bewegende wrijvingsvlakken op elkaar gedrukt

worden.

Opmerking :

Deze voorstelling van de wrijvingskracht is een vereenvoudiging van de realiteit. Bij het beginnen en het

beëindigen van de beweging is de wrijvingskracht groter dan tijdens de beweging. Ter vereenvoudiging van

de berekeningen van trillingen met deze soort demping wordt dit effect verwaarloosd.

De wrijvingskracht wordt bepaald door de normaalkracht F n

en de wrijvingscoëfficiënt cW .

g mc F c R W nW

De richting van de wrijvingskracht is tegengesteld aan de bewegingsrichting, dus tegengesteld aan de

richting van de snelheid. Gaat bij bovenstaand massa-veer systeem de beweging naar links dan geldt de

differentiaal vergelijking :

R yk dt

yd m

2

2

Met een begin uitwijking B en een snelheid van nul op het tijdstip t = 0 , geeft dit de oplossing :

k

Rt

m

k

k

R B y cos

kritisch gedempt

boven kritisch gedempt

onder kritisch gedempt

y

F v F mm

R

k F n


27/56


Deze beweging stopt als 0dt

dy geworden is.

Dus :k

mt t

m

k t

m

k

mk

Rk B

dt

dy0sin

Op het interval k

m

t 0 is de beweging sinusvormig

k

RC

k

R B AC t

m

k A y enmetcos 11

Hierna gaat de beweging naar rechts en geldt de differentiaal vergelijking :

R yk dt

yd m

2

2

De begin voorwaarden voor deze tweede differentiaal vergelijking komen uit de oplossing van de eerste

differentiaal vergelijking, n.l. de uitwijking opk

mt van de eerste oplossing is de beginstand van de

tweede vergelijking. Tevens is op dat tijdstip de snelheid nul.

Dus :

k

R B y

k

R

k

m

m

k

k

R B y

k

mt

2

cos

Met deze beginvoorwaarden heeft de tweede differentiaal vergelijking de volgende oplossing :

k

Rt

m

k

k

R B y cos3

Voot het interval k

m

t k

m

2 is deze oplossing te schrijven als :

k

RC

k

R B AC t

m

k A y en3metcos 22

De conclusie is dat dit gedempte massa-veer systeem een zelfde trillingsfrequentie heeft als het systeem

zonder demping met andere woorden de eigenfrequentie van het systeem wordt niet beïnvloed door de

demping. De eigenfrequentie is dus :

m

k f

2

1

Op het tijdstipk

mt 2 is de snelheid weer afgenomen tot nul en is de uitwijking :

k

R B y

k

R

k

R B y

k R

k m

mk

k R B y

4

2cos3

2cos3


28/56


Dit zijn nu weer de begin voorwaarden voor de eerste differentiaal vergelijking, want de beweging is nu

weer naar links. Hierna kan dezelfde berekening voor de volgende periode op dezelfde wijze gebeuren.

Voorbeeld :

Een massa-veer systeem heeft een massa m = 1 kg, een demping R = 0,5 N en een veerconstante k = 9 N/m.

Als beginvoorwaarden gelden op tijdstip t = 0 is de uitwijking y = 1 m en de snelheid 0

dt

dym/s .

De hoeksnelheid rad/s31

9

m

k

De functies worden dan volgens voorgaande methode :

Periode 1 :

18

13cos

18

15

3

2

3

1

18

13cos

18

17

3

10

t yt

t yt

Periode 2 :

1813cos

1811

34

18

13cos

18

13

3

2

t yt

t yt

etc,etc.


Bij het vergelijken van de visceuse demping en Coulomb demping ziet men enkele markante verschillen.

Bij visceuse demping wordt de eigenfrequentie van het trillend systeem ook bepaald door de dempings-

factor terwijl dat bij de Coulomb demping niet het geval is. Bij Coulomb demping neemt de grootte van de

amplitude lineair af, terwijl dat bij visceuze demping volgens een e-macht gebeurt.


29/56


Vergelijkt men systemen met visceuze- en Coulomb demping met bijna gelijke eigenfrequentie, dan ziet

dat er als volgt uit :

2.7 Gedwongen trillingen en resonantie.In de vorige paragrafen werd de beweging van een massa-veer systeem alleen bepaald door de massa-

traagheid, de veerkracht, de demping en de begin voorwaarden. Men kan zich ook afvragen wat er gebeurt

als er nog een kracht op het systeem werkt. Hierbij gaat men uit van een in de tijd sinusvormige

veranderende kracht, die al ( oneindig ) lang aanwezig is. Deze krachtzal het systeem een beweging opleggen en overwegingen van een

begin voorwaarden zijn dan niet meer van belang.

Neem aan dat de exciterende kracht geschreven kan worden als :

t F t F 00 cos)(

De bewegingsvergelijking van het massa-veer systeem wordt dan :

t F yk dt

dyr

dt

yd m 002

2

cos

Stel nu dat de volgende functie een oplossing is :

t A y 00 cos

Dan zijn de eerste en tweede afgeleiden van deze oplossing :

t Adt

yd

t Adt

dy

0

2

002

2

000

cos

sin

Ingevuld in de bewegingsvergelijking geeft dit de uitdrukking :

t F t Ak t Ar t Am 000000002

00 coscossincos

Pas nu in het rechter lid de volgende substitutie toe :

t t 00

Coulomb demping

visceuze demping

y

F(t)

m

k r


30/56


De bewegingsvergelijking wordt nu :

t F t Ak t Ar t Am 000000002

00 coscossincos

Op het rechterlid de volgende herleiding toepassen :

sinsincoscoscos 000000 t F t F t F

De sinus en cosinus termen samen nemen en herleiden op nul geeft :

0sinsincoscos 00000002

00 t F Ar t F Ak Am

Als t A y 00 cos een universele oplossing is, dan moet de vergelijking altijd nul zijn. Daar

t 0cos en t 0sin altijd van elkaar verschillen, kunnen zij niet tegelijkertijd nul zijn. Dat

betekent dat de coëfficiënten van de vergelijking nul moeten zijn. Dit geeft aanleiding tot het volgende

stelsel vergelijkingen :

0sin

0cos

000

00

2

00

F Ar

F Ak Am

0

2

0

000

2

0000 cotan

sin

cos

r

mk

Ar F

Am Ak F

De fase hoek in de oplossing wordt dus gegeven door :

0

2

0arccotanr

mk

Het bepalen van de amplitude van de trilling gaat nu als volgt :

22

0

4

0

22

0

22

0

2

0

4

0

2

0

22

0

2

0

2

0

22

0

2

0

2222

0

2

0

2

0222

0

40

20

220

20

20

2220

000

2

0000

2

2cossin

sin

2cos

sin

cos

k mk mr A F

Am Amk Ak Ar F

Ar F

Am Amk Ak F

Ar F

Am Ak F

Daar 00 en A F amplitudes van trillingen zijn, zijn zij per definitie positief. Dit betekent dat de factor

tussen de haakjes ook positief is en de oplossing dan wordt :

22

0

2

0

00

k mr

F A

Hiermee is de oplossing met t A y 00 cos volkomen bepaald.

Men kan ook de verhouding tussen de uitwijkingsamplitude en de krachtsamplitude bepalen uit het

voorgaande.


31/56


22

0

2

00

0 1

mk r F

A

Voert men de eigenfrequentie van het trillingsysteem hierbij in als :m

k

m

k E E

2

Dan is :

2

2

2

022

0 1 E

k mk zodat de amplitude verhouding wordt :

2

2

2

0

2

00

0

1

11

E k

r k F

A

Tevens geldt :

2

2

0

2

2

2

0

22

0

E k m

r

k

r

k

r

De amplitude verhouding kan nu geschreven worden als :

2

2

2

0

2

2

0

20

0

1

11

E E k m

r k F

A

De conclusie van het voorgaande is dat de amplitude van de trilling die ontstaat, afhankelijk is van de

amplitude en frequentie van de opgelegde trilling , de eigenfrequentie en demping van het trillende

systeem. Voor een gegeven systeem kan men zeggen dat de amplitude van de trilling een functie is van de

frequentie van de opgelegde trilling. Bij het onderzoek van deze functie kan men de volgende gevallen

onderscheiden :

Het begin van de functie :

Als 00 dus0 E dan geldt :k k F

A 1010

112

0

0

Het eind van de functie :

Als 00 dus E dan geldt : 00

0

F

A

Het maximum van de functie :

Men kan zich afvragen of de functie een maximum heeft en zo ja, waar deze zich bevindt. Voor een

maximum geldt dat de afgeleide nul moet zijn :

0

0

0

0

d

F

Ad

De afgeleide luidt :

02222

10

2

002

22

0

2

0

0

0

0

mmk r mk r d

F

Ad

Deze uitdrukking is nul als :

0222222 2

0

2

00

2

00

2mmk r mmk r


32/56


Er zijn nu twee mogelijkheden :

(a) Als 00

(b) Als 0222 2

0

2mmk r

2

22

0

22

0

22

0

2

0

2

2

2

24

042

m

r

m

k

m

r mk

r mmk

mmk r

De frequentie is per definitie een positief getal dus :

mk

r

m

k

mk

mr

m

k

m

r

m

k

E

E

21

met2

1

2

2

0

2

2

0

2

2

0

Dus :mk

r

E 21

2

0

Als de wortel een reële uitkomst heeft is er een maximum. Bij deze frequentie 0 is het systeem in

resonantie . De grafiek die dit gedrag voor een systeem met een massa m = 1 kg , een demping r = 0,5 Ns/men een veerconstante k = 9 N/m weer geeft is de volgende :

A0

F 0

ω0

ωE

resonantie piek


33/56


Verandert in het systeem de demping, dan verandert de resonantie. Dit is te zien in de volgende grafiek,

waarbij de demping de waarden r = 0,5 Ns/m, r = 1 Ns/m en r =2 Ns/m heeft voor het systeem met

m = 1 kg en k = 9 N/m .

Bij het toenemen van de demping ziet men twee dingen n.l. de grootte van de amplitudde van de uitwijking

neemt af, maar ook de frequentie waarbij de resonantie optreedt daalt. Dit is eenvoudig aan het getallen van

het volgende voorbeeld te zien :

massa m = 1 kg , een demping r = 0,5 Ns/m en een veerconstante k = 9 N/m

rad98,2192

5,0119

21

22

0mk

r mk

massa m = 1 kg , een demping r = 1 Ns/m en een veerconstante k = 9 N/m

rad92,2192

11

1

9

21

22

0mk

r

m

k

massa m = 1 kg , een demping r = 2 Ns/m en een veerconstante k = 9 N/m

rad65,2192

21

1

9

21

22

0mk

r

m

k

Uit het voorgaande blijkt dat als de demping steeds kleinder wordt de resonantie piek steeds meerverschuift naar ωE , dat wil zeggen steeds meer naar de eigenfrequentie. Dit is de trillingsfrequentie van het

ongedempte systeem. De amplitude van de uitwijking wordt dan ook steeds groter. Theoretisch zal de

amplitude bij r = 0 Ns/m naar oneindig gaan, als de frequentie gelijk aan ωE is geworden. Dit is natuurlijk

geen fysische realiteit, maar het betekent wel dat bij zeer gering gedempte systemen de uitwijkingen zeer

groot kunnen worden. Zelfs zo groot dat de constructie van de systemen kunnen bezwijken.

Over de fasehoek φ bij resonantie is nog het volgende te melden :

A0

F 0

ω0

ωE

r = 0,5

r = 1

r = 2


34/56


0

2

0arccotanr

mk

De frequentie wordt weer gerelateerd aan de eigenfrequentiem

k

m

k E E

2

Er onstaat dan de uitdrukking :

E

E

mk

r 0

2

2

0

2

11

arccotan

Met dezelfde waarde voor de massa m , de veerconstante k en de demping r geeft dat de volgende

grafieken.

Bij de eigenfrequentie is de fasehoek2

ongeacht de demping r .

2.8 De methode van de mechanische impedantie.Bij het bepalen van de “steady state” trillingsresponse van een systeem met gedwongen trilling is het soms

handig gebruik te maken van de methode van de mechanische impedantie. Dit naar analogie van trillings-

berekeningen zoals die in de elektrotechniek gebruikelijk zijn. Bij deze methode maakt men gebruik van de

voorstelling van de harmonische beweging d.m.v. roterende vectoren.

Veronderstel dat de exciterende kracht wordt voorgesteld door : t ie F F 0

De “steady state” trillingsresponse zal een vector zijn die naloopt op de exciterende kracht. Deze

verplaatsingsvector kan men dan weergeven door :

t ieY Y

De snelheidsvector wordt dan : 2t i

eY dt

Y d of ook Y i

dt

Y d

ω0

ωE

φ

r = 0,5

r = 1

r = 2


35/56


De versnellingsvector wordt dan : Y dt

Y d 22

2

De krachtwerking die bij massa, demper en veer gepaard gaat aan resp. versnelling, snelheid en uitwijking

kan nu door coëfficiënten worden weergegeven. Deze coëfficiënten worden de mechanische impedanties

genoemd.

2massa m r idemping

k veer

Het vector diagram ziet er dan als volgt uit :

t

t ie F F 0 t ieY Y 0

Y m 2

Y r i

Y k

De vectorsom van deze vier vectoren moet nul zijn. Bekijkt men het vectordiagram als een quasi- statisch

diagram en legt men de exciterende kracht op de reële as, dan krijgt men het volgende vector diagram.

Y k

0 F

Y r i Y m 2

ieY Y 0

Re

Im

φ

Re

Im

φ


36/56


Door deze voorstelling kiest men voor de weergave van de exciterende kracht als t F cos0 met andere

woorden, men kiest voor het reële deel van t ie F F 0 .

voorbeeld :Van het massa-veer systeem is de massa m = 1000 kg , de demping

r = 10 kNs/m , de veerconstante k = 90 kN/m. De exciterende kracht

verloopt sinusvormig met een van amplitude F 0 = 10 kN. Wat is dan de

amplitude van de verplaatsing y en hoe groot is de fasehoek φ tussen de

kracht en de verplaatsing?

De bewegingsvergelijking is :

t F yk dt

dyr

dt

yd m 002

2

cos

Er wordt overgegaan op de complexe notatie van de exciterende kracht :

t it F e F F t i

0000 sincos0

Dit wil zeggen dat het reële deel van deze notatie stelt de optredendeexiterende kracht voor. Van de te bepalen complexe notatie van de

uitwijking moet dan ook het reële deel genomen worden.

Als de exiterende kracht sinusvormig verloopt, verloopt de uitwijking ook sinusvormig, stel :

De uitwijking : t ie y y De snelheid : yidt

yd e yi

dt

yd t i

De versnelling : ydt

yd e yi

dt

yd t i 2222

2

Ingevuld in de bewegingsvergelijking geeft dit :t it it it i e F e yk e yir e ym 00

2

Deelt men aan weerzijde van het gelijkteken doort i

e 0 , dan krijgt men de quasi-statische uitdrukking :

0

2 F e yk e yir e ym

iii

De uitwijking kan dan geschreven worden als :

r imk

F e y i

2

0

Met behulp van het toegevoegd complexe getal van de noemer wordt de uitdrukking :

2222

0

2222

20

2222

20

r mk

r F i

r mk

mk F

r mk

r imk F e y i

De amplitude van de beweging is dus de modulus van de rechter uitdrukking :

22222

22

0

22222

222

0

r mk

r F

r mk

mk F y

Vereenvoudigd levert dit op :

2222

0

r mk

F y

Met de getalwaarden van het systeem ingevuld geeft dit :

m011,0

2101021011090

101

2232233

3

2222

0

r mk

F y

De fasehoek kan gevonden worden uit :

y

F(t)

m

k r


37/56


2222

0

2222

2

0

r mk

r F i

r mk

mk F e y i

Hiermee bepaalt men de cotangens van de hoek φ .

r

mk

r mk

r F

r mk

mk F

2

2222

0

2222

20

cotan

Dus de fasehoek is : rad2285,021010

210001090arccotanarccotan

3

232

r

mk

2.9 Isolatie van trillingen.Bij isolatie van trillingen gaat het er om, dat het effect van een trillingsbron P(t) zo min mogelijk wordt

door gegeven aan een ondersteuning. De kracht F(t) is hier de sommatie van de kracht van de veer en de

demper. Voor het volgende wordt er vanuit gegaan dat de trillings-

bron een sinusvormige excitatie geeft.

t P t P sin)( 0 Tevens veronderstelt men dat de kracht in de fundatie ook sinus-

vormig verloopt.

t F t F sin)( 0

De trilling van het lichaam met de massa m wordt gegeven door de

bewegingsvergelijking :

t P yk dt

dyr

dt

yd m 002

2

sin

Uit de beschouwing van de gedwongen trilling is bekend dat de

oplossing hier geschreven kan worden als :

t y y 00 sin

Voor de amplitude van de uitwijking is dan ook bekend dat deze moet voldoen aan het volgende :

mk

k

r k P y E

E

2

2

2

2

0

2

0

00 met

1

1

Met de veronderstellingen :

1. De fundatie is volkomen star.

2. De veer en de demper hebben geen eigen massa.

kan men de differentiaal vergelijking van de kracht op de fundatie als volgt opschrijven :

dt

dyr yk t F )(

Met de uitwijking en zijn afgeleide ingevuld geeft dit :

t yr t yk t F dt

t yd r t yk t F

0000000

000000

cossinsin

sinsinsin

Ter vereenvoudiging van deze formulering de tijdas verschuiven zodat ψ uit het rechterlid verdwijnt. De

fasehoek in het linkerlid moet dan ook aangepast worden.

t yr t yk t F 0000000 cossinsin

Dit kan nu met het volgende vectordiagram worden weergegeven :

y

F(t)

m

k r

P(t)


38/56


t yr 000 cos t F 00 sin

t yk 00 sin

Uit het vectordiagram volgt dan onmiddellijk de amplitude en de fasehoek van de kracht op de fundatie.

2

0

2

0

22

0

0

2

00

2

0

2

0

22

0

2

0

1arccosarccos

1

k

r k

r k y

yk

k

r yk yr yk F

Isolatie treedt op als de kracht F(t) op de fundatie kleiner is dan de exciterende kracht P(t) . Dus :

00)()( P F t P t F

Definieert men de doorlatingsfactor als

2

0

0

P

F d dan krijgt men :

2

2

2

0

2

0

2

0

2

2

2

2

0

2

00

2

002

0

0

1

1

1

1

E E k

r

k

r

k

r yk

k

r yk

P

F d

Voor isolatie geldt dat d < 1 moet zijn. Uit de voorgaande formule blijkt dat dan moet gelden :

1111

2

2

2

0

2

0

2

2

2

0

2

0

E E k

r

k

r

Er treedt pas verbetering op als 20 E

en voor een belangrijke verbetering moet E 0

zijn.

Θ


39/56


Trillingsisolatie bij gebouwen vindt vaak plaats d.m.v. het toepassen van “het doos in doos principe”.

Hierbij staat de te isoleren ruimte in zijn geheel op trillingsisolatoren en heeft verder geen contact met de

rest van het gebouw.

2.10 Niet harmonische excitatie.Men kan zich afvragen wat het gedrag van een massa-veer systeem is, als de exciterende kracht wel

periodiek maar niet sinusvormig in de tijd is. Hierbij is het noodzakelijk dat op de exciterende krachtFourieranalyse wordt toegepast. De kracht wordt dan gezien als een sommatie van in de tijd sinusvormig

veranderende krachten. Voor de sinusvormig componenten gelden dan de resutaten van de gedwongen

trilling met een sinusvormig verlopende kracht.

Voorbeeld :

t t F t )(10

Als Fourier reeks geschreven, wordt de exciterende kracht :

0

sincos)(n

nn t nbt nat F

Trillingsisolatoren

Dilatatie

Fundatie

Geїsoleerde ruimte

y

F(t)

m

k r

1 2 30

1

t

F(t)


40/56


Voor de periodetijd geldt :2

T

De Fourier coëfficiënten zijn dan te schrijven als :

ndt t nt dt t nt F

T b

dt t nt dt t nt F T

a

dt t dt t F T a

T T

n

T T

n

T T

1sin

1

2sin)(

2

0cos1

2cos)(

2

2

1

1

1

)(

1

00

00

000

De exciterende kracht kan geschreven worden als :

1

sin1

2

1)(

n

t nn

t F

De bewegingsvergelijking van het massa-veer systeem is :

)(02

2

t F yk dt

dyr

dt

yd m

Stel de oplossing wordt gegeven door :

1

0 sin)(n

nn t n A At y

De afgeleiden zijn dan :

1

22

2

2

1

sin

cos

n

nn

n

nn

t n Andt

yd

t n Andt

dy

Ingevuld in de bewegingsvergelijking geeft dit :

1

1

0

11

22

sin1

2

1

sincossin

n

n

nn

n

nn

n

nn

t nn

t n Ak Ak t n Anr t n Anm

Aan beide zijden van het gelijk teken de constante verwijderen geeft :

k A Ak

2

1

2

100

De uitdrukking reorganiseren geeft :

111

22 sin1

cossinnn

nn

n

nn t nn

t n Anr t nk nm A

Voor de ne component van de oplossing kan het volgende vectordiagram getekend worden :


41/56


nn t n Anr cos

t nn

sin1

nn t nk nm A sin22

Hieruit volgt dat amplidude voor de ne component is :

222222

22

2222222

22

22222222

1

1

1

k nmnr n

A

nk nmnr A

nk nm A Anr

n

n

nn

Voor de fasehoek φn is te schrijven :

222222

222222

2

2

arcsin

arcsin

arcsin1

arcsin

k nmnr

nr

k nmnr n

nr

Anr

n

Anr

n

n

nn

n

Voor elke harmonische component n, is met het invullen van de waarden voor m, r en k de amplitude en

fasehoek bepaald. Hiermee kan het gedrag van dit massa-veer syssteem volledig bepaald worden, door de

harmonische reeks met deze amplitude en fasehoek te ontwikkelen.

φ


42/56


2.11 Vraagstukken.

1.

Van het nevenstaande systeem van veren is

gegeven dat veren 1 en 2 parallel gekoppeld

zijn. Ook veren 3 en 4 zijn parallel gekoppeld,

Deze twee parallel koppelingen zijn serie

gekoppeld. De veerconstanten zijn als volgt :

k 1 = 1000 N/m, k 2 = 2000 N/m, k 3 = 500 N/m

en k4 = 1500 N/m.

Bepaal de equivalente veerconstante voor het totale systeem van de vier veren.

2. Een mathematische slinger heeft een slingertijd van 1 seconde. De gravitatieconstante g = 9,81 m/s2.

(a) Hoe lang is deze slinger?

(b) Wat is de slingertijd van deze slinger op de maan? ( gmaan = 2 m/s2 )

3. Een houten cilinder met een lengte van 1 meter en een diameter van 0,25 meter heeft een dichtheid van

ρH = 800 kg / m3 . Deze cilinder drijft in water met een dichtheid van ρ W = 1000 kg / m

3.

Opmerking : de toegevoegde massa en demping mag worden verwaarloosd.

(a) Als de cilinder lichtelijk naar beneden geduwd wordt en dan losgelaten, met welke frequentie zaldeze cilinder op en neer bewegen?

(b) Dezelfde vraag, maar nu drijft de cilinder in zout water met ρZW = 1025 kg / m3 .

k 1

k 2 k 4

k 3

0,25 m

1 m


43/56


4. Een betonnen plaat, van 5 meter bij 5 meter en 0,25 meter dik, staat op vier IPE 100 profielen van

6 meter. De dichtheid van het beton is ρB = 2500 kg/m3 . De elasticiteitsmodulus is E = 2,1 . 10 5 N/mm2.

Bereken de trillingstijd van het blok beton.

5.

Een slinger heeft een staaf met een lengte L en een massa M precies

op de helft van de staaf. De punt massa m aan het einde van de staaf.

Bepaal de slingerfrequentie met behulp van de energiebalans.

trillingsrichting6 m

5 m

5 m

IPE 100

0,25 m

Zij aanzichtBoven aanzicht

m

y

L/2

φ

v h

M

L/2


44/56


6.

Een slinger met de lengte L heeft een massa m, de massa

van de slingerstaaf mag verwaarloosd worden. Op de

afstand a onder het ophangpunt is een horizontale veer met

een veerconstante k aangebracht. Bepaal voor kleine

uitwijkingen y de slingerfrequentie.

7.

In nevenstaande figuur is de constructie van een slinger

geven. De slinger heeft een lengte L, de slingerstaaf heeftgeen massa. De veer met de veerconstante k zit op de

afstand L1 boven het draaipunt O bevestigd. De demper met

de dempingsfactor r is op de afstand L2 onder het draaipunt

O bevestigd.

Bepaal de slingerfrequentie voor kleine amplitudes.

8.

Een massa m wordt ondersteund door een veer met een

veerconstante k . De fundatieplaat is onderhevig aan een

harmonische beweging t A x sin0

Bepaal de verplaatsing y van de massa.

m

y

L

φ

a

k

k

m

r

OL1

L2

L

y m

k

x


45/56


A. Complexe getallen.

A.1 Imaginaire getallen.Bij het oplossen van vergelijkingen blijkt het niet altijd mogelijk om vergelijkingen op te lossen met het

gebruik van alleen de reële getallen. Bijvoorbeeld de vergelijking 012 x heeft geen oplossing in het

reële domein. Om hier aan tegemoet te komen heeft men de imaginaire eenheid “i” als nieuw getal

gedefiniëerd. Voor dit getal i geldt :

12i

Er wordt verder gedefinieerd dat bij een getal p > 0 de volgende notatie wordt gebruikt :

i p pdan p 20

Het product i p van de imaginaire eenheid en een reëel getal noemt men een imaginair getal . Uit de

definities volgen onmiddellijk twee eigenschappen van de imaginaire getallen.

(a) Voor de machten van de imaginaire getallen volgt :

etc.1)1()1(;)1(;1 224232

iiiiiiiii

(b) Omdat de imaginaire getallen niet afgebeeld kunnen worden op de getallenrechte hebben

begrippen als positief en negatief, groter dan en kleiner dan geen betekenis.

Opmerking :

Uit de theorie van algebraïsche vergelijkingen volgt dat de vergelijking 012 z twee oplossingen heeft

n.l. i z i z en .

A.2 Complexe getallen.

Men verstaat onder een complex getal de som van een reëel getal en een imaginair getal. qi p z .

Hierbij zijn p en q reële getallen. Men noemt p het reële deel p = Re( z ) van z en iq het imaginaire deel

van z )(Im z q .

Bij elk complex getal qi p z is een getal te definiëren zodat geldt : qi p z men noemt dit het

toegevoegd complexe getal of het geconjugeerde getal.

De absolute waarde of modulus van een complex getal qi p z wordt gegeven door :22

q p z

A.3 Operatoren met complexe getallen.Bewerkingen met complexe getallen zijn mogelijk d.m.v. een aantal gedefinieerde operatoren. Stel

qi p z 1 en wiu z 2 dan geldt het volgende voor de bewerking :

(a) Gelijkheid.

z 1 en z 2 zijn alleen gelijk aan elkaar als geldt : )Im()Im()Re()Re( 2111 z z en z z

(b) Optellen.

De som is : )()(21 wqiu p z z


46/56


(c) Aftrekken.

Het verschil is : )()(21 wqiu p z z

(d) Vermenigvuldigen.

Het product is : )()(21 uqw piwqu p z z

Deze rekenregel is eenvoudig te vinden door de twee complexe getallen algebraïsch met elkaar te

vermenigvuldigen en rekening te houden met 12i .

)()(221 uqw piwqu pwqiuqiw piu pwiuqi p z z

(e) Delen.

Het quotiënt is :2222

2

1

wu

w puqi

wu

wqu p

z

z

Deze rekenregel is eenvoudig te vinden door het quotiënt van deze twee complexe getallen te

vermenigvuldigen met de geconjugeerde van de noemer en te vermenigvuldigen met de

geconjugeerde van de noemer en rekening te houden met 12i .

22222

1

222

2

2

1

wu

w puqi

wu

wqu p

z

z

wiuwqiuqiw piu p

wiuwiu

wiuqi p

wiuqi p

z z

A.4 Het complexe vlak.Met kan complexe getallen afbeelden op een plat vlak door in dit vlak een cartesiaans coördinatenstelsel te

definiëren. De horizontale as wordt gebruikt om het reële deel van het getal af te passen en de verticale as

wordt gebruikt om het imaginaire deel van het getal af te passen.

Van het getal qi p z staat p horizontaal uitgezet en q

staat verticaal uitgezet. Zie nevenstaande figuur. Het beeld punt z is de voorstelling van het complexe getal.

Uit de nevenstaande afbeelding is nu ook onmiddellijk

duidelijk dat complexe getalen gebruikt kunnen worden om

twee dimensionale vectoren weer te geven.

De lengte van de vector komt overeen met de modulus van

het complexe getal.

Met behulp van het complexe vlak is het ook duidelijk dat sommatie van complexe getallen opgevat kan

worden als een vector optelling.

Im

Re p

i.q z

| z |

o


47/56


Uit nevenstaande figuur is op basis

van gelijkvormige driehoeken

onmiddellijk in te zien dat de

sommatie van de complexe getallen

z1 en z2 hetzelfde beeldpunt geeft als

de vectorsom van z1 en z2 d.m.v. een

paralellogram constructie.

Het is ook mogelijk om op het cartesiaans coördinatenstelsel een poolcoördinaten stelsel te superponeren,

waardoor er een andere notatiewijze voor complexe getallen mogelijk wordt.

Het lijnstuk OZ staat onder een hoek

φ t.o.v. de reële as. De lengte van

het lijnstuk OZ is de modulus van z .

Voor het lijnstuk OP geldt nu :

cos z OP

Voor het lijnstuk OQ geldt nu :

sin z OQ

Hier uit volgt nu de schrijfwijzevoor het complexe getal z .

sinsin ir z

Hierin is r gelijk aan de modulus van het getal z, dus : z r . De hoek φ wordt ook wel het argument van

z genoemd, aangegeven met arg(z) . Er moet hierbij opgemerkt worden dat de hoek φ zich na elke 2π

herhaalt. Dus voor het argument van z kunnen we schrijven :

k z 2arg

Euler heeft d.m.v. reeksontwikkelingen het volgende verband gevonden :

sincos iei

Dit geeft aanleiding tot een derde manier van het schrijven van een complex getal nl. :

ier z

Im

Re p

i.q z

1

o

i.w

q

z 2

z 1+ z 2

i.(q+w)

p + q

| z |

Im

Re p

i.q

o

z

φ


48/56


A.5 De stelling van de Moivre.De schrijfwijze van Euler voor complexe getallen leidt dan naar de stelling van de Moivre, die luidt :

Als een complex getal ier z , dan geldt voor zijn ne macht :ninn

er z

Dit is ook te schrijven als : sincossincos ninr z ir z nn

A.6 Vraagstukken.

1. Bereken : 17i

2. Bereken : 5432 ii

3. Bereken :i

i

43

32

4. Construeer in een complex vlak de beeldpunten van de som, het verschil en product van :

i32 en i23

5. Bereken de modulus en het argument van : i43

6. Schrijf i34 in de notatie van Euler.

7. Bereken : i43


49/56


B. Fourieranalyse.

B.1 Goniometrische reeksen en periodieke functies.Onder een goniometrische polynoom wordt verstaan :

N

n

nn xnb xna0

sincos

Wordt deze veelterm doorgezet tot in het oneindige, dan krijgt men een goniometrische reeks.

0

sincosn

nn xnb xna

Indien de reeks convergeert, definieert deze een functie f(x) en kan elke waarde van de functie worden

bepaald met de reeks, dus :

)(sincos0

x f xnb xnan

nn

Voor convergentie is het nodig dat de functie periodiek is. Periodiciteit is als volgt gedefinieerd :

xallevoor )()( x f T x f

Een voorbeeld hiervan is : )sin()2sin( x x

Door de periodiciteit wordt het volgende bepaald :b

a

b

a

b

a

T b

T a

dx x f duu f duT u f dx x f )()()()(

Men kan nu ook schrijven :

T b

b

T a

a

T b

T a

T a

b

T a

b

b

a

T b

T a

b

a

dx x f dx x f

dx x f dx x f dx x f dx x f

dx x f dx x f

)()(

)()()()(

)()(

De conclusie is dat de integraal over een hele periode altijd hetzelfde resultaat geeft, ongeacht waar men bijde integratie begint.

B.2 De goniometrische hulpintegralen.Voor het bepalen van een goniometrische reeks is een aantal hulpintegralen nodig.

0sin dx xn

Bewijs : 0coscos1

cos1

sin nnn

xnn

dx xn

00cos ndx xn

Bewijs : 0sinsin1

sin1

cos nnk

xnn

dx xn

0cossin dx xm xn


50/56


0coscoscoscos

2

1

coscos

2

1

sinsin2

1cossin

mn

mnmn

mn

mnmn

mn

xmn

mn

xmn

dx xmn xmndx xm xn

Dit geldt voor n = m en voor n = -m .

nm

nmdx xn xm B

nm

nmdx xn xm A

0sinsin

0coscos

Bewijs :

0cos

sinsincoscos

2

0cos

sinsincoscos

dx xnm B A

dx xn xm xn xm B A

nm

nmdx xnm B A

dx xn xm xn xm B A

Conclusie : nm B Anm B A alsenals0

B.3 De Fouriercoëfficiënten.Om een bekende functie als een goniometrische reeks te schrijven, kan men als volgt te werk gaan.

xb xb xb

xa xa xaa x f

3sin2sinsin

3cos2coscos)(

321

321021

Aan beide zijden van het gelijk teken vermenigvuldigen met xncos en integreren van –π tot π .

dx xn xbdx xn xb

dx xn xadx xn xadx xnadx xn x f

cos2sincossin

cos2coscoscoscoscos)(

21

21021

Als n = 0 dan worden alle termen van het rechterlid nul behalve het eerste dus :

0021

021 0)( a xadxadx x f

De eerste Fouriercoëfficiënt is dus : dx x f a )(1

0

Als n = 1 dan worden alle termen van het rechterlid nul behalve de tweede dus :

11 coscoscos)( adx x xadx x x f


51/56


De tweede Fouriercoëfficiënt is dus : dx x x f a cos)(1

1

Als n = 2 dan worden alle termen van het rechterlid nul behalve de derde dus :

22 2cos2cos2cos)( adx x xadx x x f

De derde Fouriercoëfficiënt is dus : dx x x f a 2cos)(1

2

De ne term is dus te schrijven als : dx xn x f an cos)(1

Op analoge wijze zijn de coëfficiënten van de sinustermen te schrijven, bij de ontwikkeling hiervan moet

men aan beide zijden van het gelijkteken met xnsin vermenigvuldigen. De algemene schrijfwijze van

deze coëfficiënten is :

dx xn x f bn sin)(

1

voorbeeld :

De zaagtandfunctie wordt gedefinieerd als :

x x x f voor )(

Elders geldt : )2()( k x f x f

Nu moeten de Fouriercoëfficiënten voor de goniometrische

reeks bepaald worden.

De cosinustermen van de reeks zijn :

0cos1

0sin1

sin1

sin1

cos1

cos)(1

2 xn

ndx xn

n xn x

n

xnd xn

dx xn xdx xn x f an

De sinustermen van de reeks zijn :

nn

n

nnn

dx xnn

xn xn

xnd xn

dx xn xdx xn x f b

n

n

21

cos2

coscos1

cos1

cos1

cos1

sin1

sin)(1

1

Wordt voor n resp. 1, 2, 3 en 4 ingevuld, dan krijgt men :

4

2,

3

2,

2

2,2 2221 bbbb

De harmonische ontwikkeling van de zaagtand is dan :

x x x x x f 4sin3sin2sinsin2)( 41

31

21

X-as

Y-as

0 π -π


52/56


B.4 Verandering van de periode.Tot nu toe zijn alleen de functies bekeken met de periode 2π . Deze geven een reeks met de algemene vorm

:

xb xb xb

xa xa xaa x f

3sin2sinsin

3cos2coscos)(

321

321021

Wil men echter een functie met de periode T als reeks schrijven, dan wordt deze :

T

x B

T

x B

T

x B

T

x A

T

x A

T

x A A x g

6sin

4sin

2sin

6cos

4cos

2cos)(

321

321021

Door de substitutie uT

x2 gaat de reeks over in :

u Bu Bu B

u Au Au A A xh

3sin2sinsin

3cos2coscos)(

321

321021

Deze reeks heeft dezelfde formele vorm als de reeks met de periode van 2π . Dan kunnen ook dezelfde

formules toegepast worden. Hierbij neemt u de plaats van x in.

duunuh An cos)(1

substitutie vanT

xu

2 levert :

dxT

xn x g

T A

dxT T

xn x g A

T

T

n

T

T

n

2cos)(

2

22cos)(

1

2

1

21

2

1

21

Op analoge wijze worden de coëfficiënten van de sinus termen bepaald :

dxT

xn x g

T B

T

T

n

2sin)(

2 2

1

2

Dictaat Mechanische Trillingen Versie November 2011

Documents