PROGRAM PERKULIAHANDASAR DAN UMUM
(PPDU) TELKOM UNIVERSITY
KALKULUS IMUG1A4
IV. TURUNAN
KONSEP TURUNAN
cxcfxfmPQ
)()(
Turunan di satu titikPendahuluan (dua masalah dalam satu tema )
a. Garis SinggungKemiringan tali busur PQ adalah :
c
f(c) P
x
f(x)Q
x-c
f(x)-f(c)
Jika x c , maka tali busur PQ akan berubah menjadi garis singgung di titik P dgn kemiringan
cxf(c)f(x)m
cx
lim
b. Kecepatan SesaatMisal sebuah benda bergerak sepanjang garis koordinatsehingga posisinya setiap saat diberikan oleh s = f(t). Pada saat t = c benda berada di f(c) dan saat t = c + h benda berada di f(c+h).
Sehingga kecepatan rata-rata pada selang waktu [c,c+h] adalah
c
c+h
Perubahan waktu Perubahan posisi
s
f(c)
f(c+h)
hcfhcfv ratarata)()(
Jika h 0, diperoleh kecepatan sesaat di x = c :
Misal x = c + h, bentuk diatas dapat dituliskan dalam bentuk
Dari dua bentuk diatas : kemiringan garis singgung dankecepatan sesaat terlihat bahwa dua masalah tersebutberada dalam satu tema, yaitu turunan
Definisi 4.1 : Turunan pertama fungsi f di titik x = c, notasi
didefinisikan sebagai bila limit diatas ada
hcfhcfvv
hrataratah
)()(limlim00
cxf(c)f(x)v
cx
lim
)(' cf
'( ) limx c
f(x) f(c)f cx c
Notasi lain :
Contoh : Diketahui tentukan
)(',)( cydx
cdf
x)x(f 1
3 3
3 3
3
1 13 33 lim lim
3 33 ( 3)lim lim
3 3 3 31 1lim
3 9
x x
x x
x
f(x) f( ) xf'( )x x
x xx(x ) x(x )
x
)3('f
1. '( ) limx c
f(x) f(c)f cx c
0
0
0
0
0
3 33 lim
1 13 3lim
3 (3 )3(3 )lim
3(3 )lim
1 1lim3(3 ) 9
h
h
h
h
h
f( h) f( )f'( )h
hh
hh
hh
hh
h
0
( ) ( )2. '( ) limh
f c h f cf ch
TURUNAN SEPIHAKTurunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
bila limit ini ada.
Fungsi f dikatakan mempunyai turunan (diferensiabel) di catau jika
Jika sebaliknya, f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.
)c(f)c(f ''
cxcfxfcf
cx
)()(lim)('
cxf(c)f(x)(c)f
cx
'
lim
)(' cf
)c(f)c(f)c('f ''_ dan
Contoh : Diketahui
1,211,3
)(2
xxxxx
xf
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x = 1. Jika ya, tentukanJawab :a.
b.
Jadi, f diferensiabel di x = 1 .1)1(dan ' f
)1('f
2'
1 1
2
1 1
( ) (1) 3 (1 2 1)(1) lim lim1 1
( 1)lim lim 11 1
x x
x x
f x f x xfx x
x x x xx x
'
1 1
1 1
( ) (1) 1 2 (1 2 1)(1) lim lim1 1
2 2 1lim 2 lim 11 ( 1)( 1)
x x
x x
f x f xfx xx x
x x x
Teorema : Jika f diferensiabel di cf kontinu di c.• Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah
• Perhatikan bahwa
• Maka
• Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, jika f kontinu di c, maka belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
)()(lim cfxfcx
cxcxcx
cfxfcfxf
,).()()()()(
)()()()(lim)(lim cxcx
cfxfcfxfcxcx
)(lim.)()(lim)(lim cxcx
cfxfcfcxcxcx
0).(')( cfcf = f(c). Terbukti.
Contoh Tunjukkan bahwa f ( x ) = |x| kontinu di x = 0 tetapi tidak diferensiabel di x = 0 JawabAkan ditunjukkan bahwa f(x)=|x| kontinu di x=0
0,
0,||)(
xxxx
xxf
)x(flimx 0
0)(lim0
xx
)x(flimx 0
0lim0
x
x 0)(lim0
xfx
)0()(lim0
fxfx
f(0) = 0
f kontinu di x = 0
00
00
x
)(f)x(flim)(f
x
' 1lim0lim00
x
xx
xxx
000
0
x)(f)x(flim)(f
x
' .1lim0lim00
x
xx
xxx
Selidiki apakah f terdiferensialkan di x = 0
1)0()0(1 '' ffKarena
maka f tidak diferensiabel di 0.
Contoh :Cari nilai a dan b sehingga f(x) mempunyai turunan di x = 1.
1,
1,)(
2
xaxxbx
xf
).(lim)(lim)1(11
xfxffxx
Jawab :
f(x) mempunyai turunan di x = 1 jikaa. f kontinu di x = 1 (syarat perlu)
f kontinu di x = 1 jika f kontinu kiri dan f kontinu kanan di x = 1, atau
11limlim1
2
1
ababaaxbxa
xx
2'
11
2 2
1 1 1 1
( ) (1)(1) lim lim1 1
( 1) 1 ( 1)( 1)lim lim lim lim 1 21 1 1
xx
x x x x
f x f x b afx x
x a a x x x xx x x
Maka a = 2 dan b = 1
'
1 11
' '
( ) (1) 1(1) lim lim lim1 1 1
(1) (1)2
x xx
f x f ax a xf a ax x x
f fa
b. Turunan kiri = turunan kanan di c (syarat cukup)
Soal Latihan
1. Apakah fungsi 2
2
3 , 1( )
4 2 , 1
x x xf x
x x x
diferensiabel di x = 1?
2. Apakah fungsi diferensiabel di setiap bilangan real x ?)1|(|)( xxxf
3. Apakah fungsi diferensiabel di x = 2?
2,12
2,1)(
2
xxxx
xf
4. Apakah fungsi diferensiabel di setiap bilangan real x ?
5. Cari nilai a dan b sehingga mempunyai turunan di x = 3
)3|1(|)( 2 xxxf2 1 ; 3
( )2 ; 3x x
f xax b x
ATURAN PENCARIAN TURUNANFungsi Turunan PertamaDefinisi Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai
atau jika h=t-x
bila limitnya ada.
Notasi lain , bentuk dikenal
sebagai notasi Leibniz.
xxt
xftfxfxt
,)()(lim)('
xh
xfhxfxfh
,)()(lim)('0
)(,,)(,,' xfDyDdx
xdfdxdyy xx
dxdy
)(' xf
• Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk mencari turunan sebagai berikut :
1. Jika f (x)=k, maka
2.
3.
4.
5. dengan
Rrxrdxxd r
r
;1
(x)g(x)fdx
g(x)f(x)d ''
)()()()()()( '' xgxfxgxfdx
xgxfd
)(
)()()()(2
'')(
)(
xgxgxfxgxf
dxd xg
xf ( ) 0g x
0)(' xf
Bukti formula 4 Misalkan h(x) = f(x)g(x)
0 0
0
0
0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'( ) lim lim
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )lim
( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( )
( ) ( )lim ( )lim lim ( )lim
h h
h
h
h h h h
h x h h x f x h g x h f x g xh xh h
f x h g x h f x h g x f x h g x f x g xh
g x h g x f x h f xf x h g xh h
g x h g xf x h g xh
( ) ( )
( ) '( ) ( ) '( )'( ) ( ) ( ) '( )
f x h f xh
f x g x g x f xf x g x f x g x
13)( 2
xxxf
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1.( 1) 2 ( 3) 1 6 2 6 1'( )( 1) ( 1) ( 1)
x x x x x x x xf xx x x
3.Tentukan turunan pertama dari
Contoh: 1. Tentukan turunan pertama dari 43)( 23 xxxfJawab :
02.33)(' 2 xxxf xx 63 2
2. Tentukan turunan pertama dari )32)(1()( 23 xxxxfJawab :
)22)(1()32(3)(' 322 xxxxxxf
2222963 34234 xxxxxx
22985 234 xxxx
Jawab :
Soal LatihanTentukan fungsi turunan pertama dari
)12()1()( 3 xxxxf
11)( 2
2
xxxf
1)( 3 22/1 xxxf1.
2.
3.
xxfxxfa cos)('sin)(. xxfxxfb sin)('cos)(.
02
2 cos sinsin sin 2 2'( ) lim lim
sin( )2lim cos( ). lim
2 ( )2
cos .1 cos
t x t x
t xt x
t x t xt xf xt x t x
t xt x
t x
x x
TURUNAN FUNGSI SINUS COSINUS
BUKTIa. Misal f(x) = sin x, maka
b. Misal f(x) = cos x, maka
hxhxxf
h
cos)cos(lim)('0
0
cos cosh sin sinh coslimh
x x xh
hxx
h
sinhsin)1(coshcoslim0
hx
h
hx
h
sinhsin)
2sin(cos
lim
2
0
)sinhsin4)2/(
)2
sin(cos(lim 2
2
0 hx
h
hhx
h
hxh
hhx
hh
sinhlimsin42/
)2/sin(limcos0
2
0)2/(
xxx sinsin0.cos
Untuk turunan fungsi trigonometri yang lain dapat diperolehdengan menerapkan rumus perhitungan turunan, khususnyaturunan bentuk u/v
dx
ddx
xdc xx
cossintan. x
xx2
22
cossincos
x2cos
1 x2sec
dx
ddx
xdd xx
sincoscot.
xxx
2
22
sincossin
22
1 cscsin
xx
dx
ddx
xde xcos1sec.
xx
2cossin
xx
xcos
1cossin
sec tanx x
dx
ddx
xdf xsin1csc.
xx
2sincos
cos 1 csc cotsin sin
x x xx x
ATURAN RANTAI
• Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada ,maka
Contoh : Tentukan dariJawab :Misal sehingga bentuk diatas menjadiKarena
dan
maka
dxdu
dudy
dxdy
dudy
dxdu
dxdy )1sin( 2 xy
12 xu
xdxdu 2
uy sin
ududy cos
2 2cos( 1)2 2 cos( 1)dy x x x xdx
dxdv
dvdu
dudy
dxdy
Jika y = f(u), u = g(v), v = h(x), dandxdv
dvdu
dudy ,, ada, maka
Contoh : Tentukandxdy
)5( 34 xSinydari
53 xv 23xdxdv
Jawab :
Misal )5cos(cos 3 xv
dvdu
4y u )5(44 333 xSinududy
sehingga
)5()5(12.. 3332 xCosxSinxdxdv
dvdu
dudy
dxdy
sin
Atau bisa dengan cara langsung,
)5( 34 xSiny 3 3 3 2' 4. ( 5) ( 5).3y Sin x Cos x x
2 3 3 312 ( 5) ( 5).x Sin x Cos x
72 3y x
y x sin3
xxy 24 4cos2
11
xxy
Tentukan fungsi turunan pertama dari
Soal Latihan
2 21
xyx
1.
2.
3.
4.
5.
6. 2 1y sin x tan x
TURUNAN TINGKAT TINGGI• Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
• Turunan pertama
• Turunan kedua
• Turunan ketiga
• Turunan ke-n
Contoh : Tentukan dari
Jawab :
2
2
3
3
'( )
"( )
"'( )
( )n
nn
df xf x
dxd f x
f xdx
d f xf x
dxd f x
f xdx
)()( )1()( xfdxdxf nn
xxy sin4 3
xxy cos12' 2 xsinx''ymaka 24
''y
y x sin 2 1
y x 2 3 4
yx
x
1
y x cos2
f c"( ) 0 f x x x x( ) 3 23 45 6
g x ax bx c( ) 2
3)1(' g 4)1('' g
A. Tentukan turunan kedua dari
B. Tentukan nilai c sehingga bila
C. Tentukan nilai a, b dan c dari bila g (1) = 5,
dan
Soal Latihan
1.
2.
3.
4.
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x), maka y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda. Bila tidak demikian, maka dikatakan y fungsi implisit dari x.
Contoh :
Untuk menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan anggap y fungsi dari x.
10.1 223 yxyx
1)sin(.2 22 yxxy
Jawab:
)10()()()( 223xxxx DyDxDyxD
2 2 3(3 2 ' ) 2 ' 0x y y y x x y 223 32')12( yxxyyx
1232' 3
22
yx
yxxy
3 2 21. ( ) (10)x xD x y x y D
10.1 223 yxyx 1)sin(.2 22 yxxyContoh: Tentukan dy/dx dari bentuk implisit berikut
cos( )(1. ' ) 2 2 ' 0xy y y x x yy
)cos(2')2)cos(( xyyxyyxyx
yxyxxyyxy2)cos(
)cos(2'
2 22. (sin( ) ) ( 1)x xD xy x D y
y xy sin 1
x x y y3 2 23 0
Tentukan turunan pertama ( y’ ) dari bentuk implisit
Soal Latihan
xyxyx )sin(2
1.
2.
3.
4.
2 0tan xy y
GARIS SINGGUNG DAN GARIS NORMAL
• Persamaan garis singgung fungsi y = f(x) di titik (x0,y0) dengan kemiringan m adalah
• Garis yang tegak lurus dengan garis singgung disebut dengan garis normal.
• Persamaan garis normal di titik (x0,y0) adalah
).(100 xx
myy
0 0– –( ), 'y y yx x mm
42.42.3)6,2('43' 22 yxxy
24 xy)2(46 xy
21
416)2(
416 xyxy
1 134 2
y x
Jawab :
Sehingga persamaan garis singgung di titik (2,6) :
Persamaan garis normal dititik (2,6) :
Contoh: Tentukan persamaan garis singgung dan garis normalfungsi di (2,6). 62 23 xxy
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada kurva0622 xyyx di titik dengan absis (x) = 1
Jawab :
Jika disubstitusikan nilai x = 1 pada persamaan kurva diperoleh
Sehingga diperoleh titik dimana akan ditentukan persamaangaris singgung dan garis normalnya adalah (1,3) dan (1,-2)
Hitung terlebih dahulu dengan menggunakan turunan fungsi implisit'y
2 6 0 ( 3)( 2) 0 3 2y y y y y dan y
2 2 2 2( 6) (0) 2 2 ' ( ') 0 0x xD x y xy D xy x yy y xy 2 22 2 ' ' 0xy x yy y xy 2 2(2 ) ' 2x y x y y xy
xyxxyyy
2
2
22'
Di titik (1,3)
3515
13.1.29.1.23|' )3,1(
y
Persamaan garis singgung33)1(33 xxy
63 yx
Persamaan garis normal
31
31)1(
313 xxy
83 yx
Di titik (1,-2)
25
101)2.(1.24.1.22|' )2,1(
y
Persamaan garis singgung22)1(22 xxy
42 yx
Persamaan garis normal
21
21)1(
212 xxy
32 yx
Soal Latihan
sin xy y
1. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di ,12
2. Diketahui kurva yang dinyatakan secara implisit
2 2 3 10x y xy y Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di (2, 1)
Terima Kasih