This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
BAB I NOTASI
KELOMPOK 2
NAMA KELOMPOK :1. DEVI WINDA MARANTIKA (1101125015)2. DODI PERDANA PUTRA (1101125017)3. FITRAH BUDI SATRIA (1101125022)4. FITRIAH CHOIRUNNISA (1101125023)5. MEGA PUSPITA DEWI (1101125122)6. MEI PUSPITA WATI (1101125049)7. MOH. FAQIH FEBRIANA (1101125123)8. NOPITA SARI (1101125057)9. NURUL METRIANA (1101125064)10. PANCA ADITHYA (1101125134)11. PITRI YULIANTI (1101125065)12. SHINTYA INDAH PERMATASARI (1101125076)13. VINA ALMIRA AMALIA (1101125083)14. YAYAH SHULHIYYAH (1101125149)15. HANUM SORAYA
(cos kθ+i sin kθ)(cos θ+isin θ )=(coskθ cosθ−sin kθ sin θ )+¿
i(sin kθcosθ+coskθ sin θ)
cos kθ cosθ+cos kθ isin θ+i sin kθ cosθ+ i2 sin kθ sinθ=¿
cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ
Karena i=√−1, dan i2=−1 maka :cos kθ cosθ+cos kθ isinθ+i sin kθcosθ+(−1)sin kθ sin θ=¿
cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ
cos kθ cosθ+cos kθ isin θ+i sin kθ cosθ−sin kθ sin θ=¿
cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ
cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ=¿
cos kθ cosθ−sin kθ sin θ+i sin kθ cosθ+i coskθ sin θ
TERBUKTIc. n<2n untuk semua nϵ ZJawab :(i) Untuk n=1
1<21
BAB 1 NOTASI Page 19
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
1<2→ BENAR(ii) Untuk n=k
k<2k k ϵ Z ,0<k maka 20<2k
20+k<2k+k<2k+2k
20+k<2k+2k
20+k<2.2k
1+k<2k+1
k+1<2k+1
TERBUKTId. n3−n habis dibagi oleh 3(i) Untuk S(1)=1
S (1 )=13−1
S (1 )=0
Benar ,0habis dibagi3(ii) Anggaplah S (k )Benar
S(k)=k3−k habis dibagi 3(iii) Harus ditunjukkan bahwa S(k+1) benar, yaitu :S (k+1 )= (k+1 )3−( k+1 )
S (k+1 )=k3+3k2+3k+1−k−1
S (k+1 )=(k¿¿3−k )+3k2+3k ¿Karena k3−k habis dibagi 3, maka k3−k mempunyai factor 3, sehingga k3−k dapat dinyatakan dengan 3 t. Dengan demikian :(k¿¿3−k )+3 (k 2+k )=3 t+3 (k2+k )¿ mempunyai factor 3(k¿¿3−k )+3 (k 2+k )¿habis dibagi 3Sehingga :S (k+1 )=(k¿¿3−k )+3 (k 2+k )¿
S (k+1 )=3t+3 (k2+k )
BAB 1 NOTASI Page 20
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
S (k+1 )=3 ( t+k 2+k ) habis dibagi 3, S (k+1 ) BENARTERBUKTI
e. 1+2+22+…+2n=2n+1−1
20+21+22+…+2n=2n+1−1(i) Untuk n=02n=2n+1−1
20=20+1−1
1=21−1
1=1 BENAR(ii) Untuk n=k
20+21+22+…+2k=2k+1−1, ASUMSIKAN BENAR(iii) Harus dibuktikan n=k+1
20+21+22+…+2k+2k +1=2( k+1) +1−1
2k +1−1+2k+1=2k+2−1
2.2k +1−1=2k +2−1
2k +2−1=2k +2−1 TERBUKTIf. 2n<n ! untuk semua nϵ Z dann≥4(i) Untuk n=42n<n!
TERBUKTIg. ¿n2 untuk semua nϵ Z dann>4(i) Untuk n=5
2n>n2
25>52
32>25 BENAR(ii) Untuk n=k
2k>k 2(iii) Untuk n=k+1
2k +1> (k+1 )2
2k .21>( k+1 )221 karena 2k>k 2h. n !<nn untuk semua nϵ Z dann>1(i) Untuk n=2
2 !<22
2×1<4
2<4 BENAR(ii) Untuk n=k
k !<kk ASUMSIKAN BENAR(iii) Akan dibuktikan untuk n=k+1
(k+1 )!<¿
(k+1 )!=1×2×3×…×k× (k+1 )
(k+1 )!=k ! (k+1 )
(k+1 )!<kk (k+1 ) sebab k !<kk¿ (k+1 ) k (k+1 ) sebab (k+1 )<k sehingga (k+1 )k<kk
Maka:(k+1 )!<¿
TERBUKTIBAB 1 NOTASI Page 22
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
i. 3+3.5+3.52+…+3.5n= 34
(5n+1−1 )
3.50+3.51+3. 52+…+3.5n=34
(5n+1−1 )
(i) Untuk n=03.50=3
4(50+1−1 )
3.1=34
(4 )
3=3 BENAR(ii) Untuk n=k
3.50+3.51+3.52+…+3.5k=34
(5k+1−1 ) ASUMSIKAN BENAR(iii) Harus ditunjukan n=k+1
3.50+3.51+3.52+…+3.5k+3.5k +1=34
(5(k +1)+1−1 )
34
(5k +1−1 )+3. 5k+ 1=34
(5k+2−1 )
34(5¿¿k+1)−3
4+3.5k+1=3
4(5k+2−1 )¿
154
(5¿¿k+1)−34=34
(5k+2−1 )¿
154.5k .51−3
4=34
(5k +2−1 )
754.5k−3
4=34
(5k +2−1 )
52.345k−3
4=34
(5k +2−1 )
34
(5k +2−1 )=34
(5k+2−1 )
TERBUKTI11. Apakah pernyataan :Jika n>2 maka tidak ada x , y , z∈Z+¿¿ yang memenuhi hubungan x2+ y2=z2 merupakan suatu konjektur ? mengapa ?BAB 1 NOTASI Page 23
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
Jawab :Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa tidak ada bilangan bulat bukan-nol yang memenuhi persamaan: xn + yn = zn dengan n bilangan bulat lebih besar dari 2. Hubungan antara teori Fermat dan Taniyama-Shimura Jika p adalah bilangan prima ganjil, dan a, b, c adalah bilangan bulat positif memenuhi ap+bp=cp, maka persamaan y = x(x - a² p)(x + bp) akan mendefinisikan sebuah kurva elips hipotetis kurva Frey, yang harusnya ada jika (dan hanya jika) teorema terakhir Fermat salah. Setelah karya Yves Hellegouarch yang pertama kali menyebutkan kurva ini, Frey menunjukkan bahwa jika kurva tersebut benar-benar ada, maka ia akan memiliki sifat-sifat yang aneh, dan mengusulkan bahwa kurva tersebut mungkin tidak memiliki bentuk modular.12. Carilah rumus jumlahnya dan buktikan dengan induksi matematis :
(i) s (0 )benar , sebab s (0 )=(0 )3+2.0=0+0 , dan0habis dibagi5 (ii) anggaplah S (k )=k3+2k habis dibagi3 (iii) harus di tunjukanbahwah s (k+1 )benar yaitu :s (k+1 )= (k+1 )3+2 (k+1 )
¿k3+3 k 2+3 k+1+2k+2=k 3+3 k2+5 k+3habis dibagi 3
s (k+1 )=k3+3k2+5k+3¿k3+2 k+3 (k2+k+1)
s (k+1 )=(k 3+2k )+3(k2+k+1) karena k3+2k habis dibagi3 ,makak3+2k mempunyai faktor 3 ,sehinggak3+2k dapat diyatakandengan3 t . dengandemikian : k3+2k=3 t→mempunyai faktor3
k3+2k→habis dibagi3
3 (k+1 )=(k3+2k )+3 (k2+k )
BAB 1 NOTASI Page 28
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
∴ s (n ) salahuntuk semuan≥0
b. 5membagi (n5+n )untuk semuabilangan bulat n≥0
Bukti : ambil s (n )=n5+n
(i) s (0 )benar , sebab s (0 )=(0 )5+0=0+0 , dan0habis dibagi5 (ii) anggaplah5 (k )=k5+k habisdibagi5 (iii) harus ditunjukkanbahwa s ( k+1 )benar , yaitu :
karena k5+khabis dibagi5 ,maka k5+k mempunyai faktor 5 ,sehinggak5+k dapat dinyatakandengan5 t .dengandemikian k5+k=5 t mempunyai faktor 5 k5+k habisdibagi5 Sehingga :5 (k+1 )=(k5+k )+5 (k4+2k 3+2k 2+k )+2
¿5 t+5 (k 4+2k3+2k2+k )+2
¿5 (t+(k 4+2k3+2k2+k ))+2,2 tidakhabis dibagi5atau s (k+1 ) salah ∴ s (n ) salahuntuk semuan≥0
14. Tunjukkan apakah bilangan-bilangan berikut merupakan bilangan perfect :a. 8Pembagi - pembagi 8 yang positif adalah 1,2,4 , dan8Jumlah pembagi – pembagi 8 yang positif adalah :1+2+4+8=15≠2×8=16Jadi, 8 bukan bilangan perfect
BAB 1 NOTASI Page 29
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
b. 10Pembagi - pembagi 10 yang positif adalah 1,2,5 , dan10Jumlah pembagi – pembagi 10 yang positif adalah :1+2+5+10=18≠2×10=20Jadi, 10 bukan bilangan perfect
c. 15Pembagi - pembagi 15 yang positif adalah 1,3,5 , dan15Jumlah pembagi – pembagi 15 yang positif adalah :1+3+5+15=24≠2×15=30Jadi,15 bukan bilangan perfect
d. 100Pembagi - pembagi 100 yang positif adalah 1,2,4,5,10,20,25,50 dan100Jumlah pembagi – pembagi 100 yang positif adalah :1+2+4+5+10+20+25+100=217≠2×100=200Jadi,100 bukan bilangan perfect
e. 56Pembagi - pembagi 56 yang positif adalah 1,2,4,7,8,14,28 dan56Jumlah pembagi – pembagi 56 yang positif adalah :1+2+4+7+8+14+28+56=120≠2×56=112Jadi,56 bukan bilangan perfect
f. 210Pembagi - pembagi 210 yang positif adalah 1,2,3,5,6,7,10,21,30,35,42,70,105 ,dan210Jumlah pembagi – pembagi 15 yang positif adalah :1+2+3+5+6+7+10+21+30+35+42+70+105+210=547≠
BAB 1 NOTASI Page 30
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
2×210=420Jadi,210 bukan bilangan perfect15. Tunjukkan apakah bilangan-bilangan berikut bersekawanan :a. 96dan108
pembagi−pembagi 96 yang positif adalah1,2,3,4,6,8,12,16,24,32,48
jumlah pembaginyadari 96 yang positif adalah1+2+3+4+6+8+12+16+24+32+48=156
pembagi−pembagi108 yang positif adalah1,2,3,4,6,9,12,18,27,36,54
jumlah pembaginyadari 108 yang positif adalah1+2+3+4+6+9+12+16+18+27+36+54=172
jadi ,96 dan108bukanbilangan bersekawan
b. 256dan320pembagi−pembagi256 yang positif adalah1,2,4,8,16,32,46,128
jumlah pembaginyadari 256 yang positif adalah1+2+4+8+16+32+46+128=237
pembagi−pembagi 320 yang positif adalah1,2,4,5,8,10,16,20,32,40,64,80,160
jumlah pembaginyadari 320 yang positif adalah1+2+4+5+8+10+16+20+32+40+64+80+160=442
jadi ,256dan320bukanbilanganbersekawan
c. 1000d an1200pembagi−pembagi1000 yang positif adalah1 ,2,3 ,4 ,5 ,8 ,10 ,20 ,25 ,40 ,
50 ,100 ,125,200 ,250 ,500
jumlah pembaginyadari 1000 yang positif adalah1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+125+200+250+500=1340
jumlah pembaginyadari 7500 yang positif adalah1+2+3+4+5+6+10+12+15+20+25+30+50+60+75+100+125+150+250+300+375+500+625+750+1250+1500+1875+2500+3750=14368
(i) untuk n=−22(−2)3−3 (−2)2+(−2 )+31≥0 −16−12−2+31≥0
1≥0benar (ii) untuk n=k
2k3−3 k2+k+31≥0asumsikan benar (iii) akandibuktikan untuk n=k+1
2(k+1)3−3 (k+1)2+ (k+1 )+31≥0
2 (k3+3k2+3k+1 )−3 (k 2+2k+1 )+k+1+31≥0
2k3+6k2+6 k+2−3k2−6k−3+k+1+31≥0 (2k3−3k2+k+31 )+6 k2≥0 terbukti karena ,2k3−3k2+k+31≥0
d. buktikan :n!≥2nuntuk semuabilanganbulat n≥4
bukti :
(i) untuk n=4
4 !≥2 .4
4 .3.2 .1≥2 .4
24≥8benar
(ii) untuk n=k
k !≥2k asumsikanbenar
(iii) akandibuktikan untuk n=k+1
(k+1 )!≥2(k+1)
BAB 1 NOTASI Page 33
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
k ! (k+1 )≥2(k+1)
k ! (k+1 )≥2k+2
k !≥2k kembali keasumsi awal
(k+1 )!≥2 ( k+1 ) terbukti
e. buktikan : dxn
dx=nxn−1untuk semuabilangan bulat n≥0
(i) untuk n=0dx0
dx=(0 ) x0−1
0=0benar
(ii) untuk n=kdxk
dx=kxk−1asumsikanbenar
(iii) akandibuktikan untuk n=k+1 dxk+1
dx=(k+1)xk+1−1= (k+1 ) xk
dxk . xdx
=kxk−1 . x+1 . xk
¿kxk+xk ¿ xk (k+1 ) terbukti
17. Diketahui : A (0 )=2 dan A (n )=5 A (n−1). Tunjukkan : A (n )=5n untuk semua bilangan bulat n≥1Jawab :(i) Untuk n=1A (n )=5n
A (1 )=51
A (1 )=5 BENAR(ii) Anggaplah A (0 ) , A (1 ) , A (2 ) ,.. , A (k−2 ) , A (k−1 ) , A (k ) semua benar, yaitu :A (k )=5k
A (k−1 )=5k−1
A (k−2 )=5k−2
BAB 1 NOTASI Page 34
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
⋮
A (1 )=51(iii) Harus ditunjukkan bahwa A (k+1 ) benar, yaitu :A (k+1 )=5k+1
A (k )=5 A (k−1)
A (k+1 )=5 A ( (k+1 )−1 )
A (k+1 )=5 A ( k )
A (k+1 )=5 (5k )
A (k+1 )=5k+1TERBUKTI18. Diketahui B (1 )=1 dan B (n )=4+B(n−1). Tunjukkan : B (n )=4n−3 untuk semua bilangan bulat n≥2.Jawab :(i) B (3 )benar sebab4 (3 )−3=9(ii) Anggaplah B (0 ) ,B (1 ) ,… .. ,B (k−2 ) ,B (k−1 ) ,B (k ) semua benar yaitu :
B (k )=4k−3
B (k−1 )=4 ( k−1 )−3
B (k−2 )=4 (k−2 )−3
⋮
B (1 )=4 (1 )−3=1
B (0 )=4 (0 )−3=−3 (iii) Haruslah ditunjukkan bahwa B(k+1) benar, yaitu : B (k+1 )=4k+1
B (k )=4+B(k−1)
B(k+1)=4+B( (k+1 )−1)
B (k+1 )=4+B(k)
B (k+1 )=4+4k−3
B (k+1 )=4k+1 TERBUKTI19. Diketahui C (0 )=3 ,C (1 )=7 , danC (n )=3C (n−1 )−2C(n−2). Tunjukkan : C (n )=−1+4 (2n) untuk semua bilangan bulat n≥0Jawab :
BAB 1 NOTASI Page 35
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
(i) C (0 ) benar sebab −1+4 (20 )=−1+4 (1 )=3
C (1 ) benar sebab −1+4 (21 )=−1+4 (2 )=7(ii) Anggaplah C (0 ) ,C (1 ) ,…. ,C (k−2 ) ,C (k−1 ) ,C (k ) semua benar yaitu :C ( k )=−1+4(2k)
C ( k−1 )=−1+4 (2k−1)
C ( k−2 )=−1+4 (2k−2)
⋮
C (1 )=−1+4 (21 )=7
C (0 )=−1+4 (20 )=3 (iii) Haruslah ditunjukkan bahwa C ( k+1 ) benar yaitu : C ( k+1 )=−1+4(2k+1)
C ( k )=3C (k−1 )−2C (k−2 )
C ( k+1 )=3C {( k+1 )−1}−2C {(k+1 )−2 }
C ( k+1 )=3C (k )−2C (k−1 )
C ( k+1 )=3 (−1+4 (2k ))−2 (−1+4 (2k−1 ))
C ( k+1 )=3 {−1+22 .2k }−2 {−1+22. .2k−1}
C ( k+1 )=3 {−1+2.2k+1 }−2 {−1+2k+1 }
C ( k+1 )=−3+6.2k+1+2−2.2k+1
C ( k+1 )=−1+2k +1 (6−2 )
C ( k+1 )=−1+2k +1 (4 )
C ( k+1 )=−1+4(2k+1)
TERBUKTI
20.Diketahui D (0 )=2, D (1 )=7dan D (n )=D (n−1 )−2D(n−2). Tunjukkan : D (n )=3 (2n)−(−1)n untuk semua bilangan bulat n≥0Jawab :
BAB 1 NOTASI Page 36
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
(i) D (0 )benar sebab3 (20 )−¿
D (1 )benar sebab3 (21 )−(−1 )1=7(ii) Anggaplah D (0 ) ,D (1 ) ,…. ,D (k−2 ) ,D (k−1 ) ,D (k ) semua benar, yaitu :D (k )=3 (2k )−(−1)k
D (k−1 )=3 (2k−1 )−(−1)k−1
D (k−2 )=3 (2k−2 )− (−1 )k−2
⋮
D (1 )=3 (21 )− (−1 )1=7
D (0 )=3 (20 )−¿(iii) Harus ditunjukkan bahwa D (k+1 ) benar, yaitu :D (k+1 )=3 (2k+1 )−(−1)k+1
D (k )=D ( k−1 )−2D (k−2 )
D (k+1 )=D ((k+1)−1 )−2D((k+1)−2)
D (k+1 )=D (k )−2D ( k−1 )
D (k+1 )=(3 (2k )−(−1)k )−2(3 (2k−1 )−(−1)k−1) D (k+1 )=3 (2k )−(−1)k−2.3 (2k−1 )+2 (−1 )k−1
D (k+1 )=3 (2k )−3 (2k )+ (−1 )k−1+2¿
D (k+1 )=3 (−1)k−1Tidak Terbukti
21. Diketahui :F (0 )=2 ,F (1 )=5 ,F (2 )=15dan F (n )=6 F (n−1 )−11F (n−2 )+6 F (n−3). Tunjukkan : F (n)=1−2n+2(3n) untuk semua bilangan bulat n≥0.Jawab :(i) F (0 ) benar sebab1– 20+2 (30 )=1−1+2 (1 )=2
F (1 ) benar sebab1– 21+2 (31 )=1−2+2 (3 )=5
F (2 ) benar sebab1– 22+2 (32 )=1−4+2 (9 )=15(ii) Anggaplah F (0 ) , F (1 ) ,…. ,F (k−2 ) , F (k−1 ) ,F ( k ) semua benar, yaitu :F (k )=1−2k+2(3k )
F (k−1 )=1−2k−1+2(3k−1)
BAB 1 NOTASI Page 37
KELOMPOK 2 [BAB I NOTASI]
F (k−2 )=1−2k−2+2(3k−2)
⋮
F (2 )=1−22+2 (32 )=15
F (1 )=1−21+2 (31 )=5
F (0 )=1−20+2 (30 )=2(iii) Harus ditunjukkan bahwa :F (k+1 )benar yaitu :F (k+1)=1−2k+1+2(3k +1)
F (k )=6 F ( k−1 )−11F (k−2 )+6 F (k−3 )
F (k+1 )=6 F ((k+1)−1 )−11F ((k+1)−2 )+6 F((k+1)−3)
F (k+1 )=6−3.22 .2k+4.3 (3k )−11+11.2k−1−22.3k−1+6−3.2 .2k−2+3.22 .3k−2
F (k+1 )=6−11+6−12.2k−1+11.2k−1−3.2k−1+36.3k−1−22.3k−1+4.3k−1
F (k+1 )=1−4 (2k−1 )+18 (3k−1 )
F (k+1 )=1−2k+1+2(3k +1)
TERBUKTI
22. Carilah P (n )sebagai fungsi n dan selidiki dengan induksi matematis :a. P (n )=P (n−1 )+6 P (n−2 ) , n∈Z ,n≥2 , P (0 )=3 , P (1 )=6b. P (n )=7 P (n−1 )−10 P (n−2 ) , n∈Z ,n≥2, P (0 )=2 , P (1 )=1c. P (n )=5 P (n−2 )−4 P (n−4 ) , n∈Z ,n≥4 , P (0 )=3 , P (1 )=2 ,P (2 )=6 ,P (3 )=8