29 BAB IV TURUNAN A. Pengertian Turunan Turunan fungsi y = f(x) terhadap x dititik x = x 1 , didefinisikan sebagai berikut: lim ∆→0 ∆ ∆ = lim ∆→0 fx+ ∆x− f( ) ∆ Andaikan limitnya ada dan ditulis sebagai: 1 Contoh: Hitung turunan dari f(x) = 5x 2 + 6 Jawab: 1 () = lim ∆→0 fx+ ∆x− f( ) ∆ = lim ∆→0 5(x + ∆x) 2 +6− (52 + 6) ∆ = lim ∆→0 52 + 10∆ + ∆ 2 +6 − 52 − 6 ∆ = lim ∆→0 52 + 10∆ +5∆ 2 − 52 ∆ = lim ∆→0 10+5∆ = 10B. Rumus-Rumus Dasar Turunan 1. y = x n , maka y 1 = nx n-1 2. y = suatu fungsi konstanta, maka y 1 = 0 3. y fungsi trogonometri: a. = sin → = cos b. = cos → ′ = −sin c. = tg → ′ = sec 2 d. = ctg → ′ = −cosec 2 e. = sec → ′ = sec x tg f. = cosec → ′ = −cosec x ctg
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
29
BAB IV
TURUNAN
A. Pengertian Turunan
Turunan fungsi y = f(x) terhadap x dititik x = x1, didefinisikan sebagai
berikut:
lim∆𝑥→0
∆𝑓
∆𝑥= lim
∆𝑥→0
f x + ∆x − f( 𝑥)
∆𝑥
Andaikan limitnya ada dan ditulis sebagai: 𝑓1 𝑥 �𝑎𝑡𝑎𝑢𝑑𝑓
𝑑𝑥
Contoh:
Hitung turunan dari f(x) = 5x2 + 6
Jawab:
𝑓1(𝑥) = lim∆𝑥→0
f x + ∆x − f( 𝑥)
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
5(x + ∆x)2 + 6 − ( 5𝑥2 + 6)
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
5 𝑥2 + 10𝑥∆𝑥 + ∆2𝑥 + 6 − 5𝑥2 − 6
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
5𝑥2 + 10𝑥∆𝑥 + 5∆2𝑥 − 5𝑥2
∆𝑥
= lim∆𝑥→0
10𝑥 + 5∆𝑥 = 10𝑥
B. Rumus-Rumus Dasar Turunan
1. y = xn, maka y
1 = nx
n-1
2. y = suatu fungsi konstanta, maka y1 = 0
3. y fungsi trogonometri:
a. 𝑦 = sin 𝑥 → 𝑦 = cos 𝑥
b. 𝑦 = cos 𝑥 → 𝑦′ = −sin 𝑥
c. 𝑦 = tg 𝑥 → 𝑦′ = sec2 𝑥
d. 𝑦 = ctg 𝑥 → 𝑦′ = −cosec2 𝑥
e. 𝑦 = sec 𝑥 → 𝑦′ = sec x tg 𝑥
f. 𝑦 = cosec 𝑥 → 𝑦′ = −cosec x ctg 𝑥
30
4. y fungsi logaritma:
a. 𝑦 = 𝑔 log 𝑥 → 𝑦′ =1
𝑥 ln 𝑔
b. 𝑦 = ln 𝑥 → 𝑦′ =1
𝑥
5. y fungsi eksponensial:
a. 𝑦 = 𝑎𝑥 → 𝑦′ = 𝑎𝑥 ln 𝑎
b. 𝑦 = 𝑒𝑥 → 𝑦′ = 𝑒𝑥
6. y fungsi siklometri:
a. 𝑦 = arc sin 𝑥 → 𝑦′ =1
1−𝑥2
b. 𝑦 = 𝑎𝑟𝑐 cos 𝑥 → 𝑦′ = −1
1−𝑥2
c. 𝑦 = arc tg 𝑥 → 𝑦′ =1
1+𝑥2
d. 𝑦 = arc ctg 𝑥 → 𝑦′ =−1
1+𝑥2
e. 𝑦 = arc sec 𝑥 → 𝑦′ = 𝑥1
𝑥2−1
f. 𝑦 = arc cosec 𝑥 → 𝑦′ = 𝑥−1
𝑥2−1
Contoh:
1. 𝑦 = 3𝑥4 → 𝑦′ = 12𝑥3
2. 𝑦 = 𝑡𝑔2𝑥 → 𝑦′ = 2 𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑒𝑐2𝑥
Soal: Tentukan y1 dari:
1. 𝑦 = ln 3 − 𝑥2
2. 𝑦 = sin2 3𝑥
31
C. Aturan Rantai Fungsi Tersusun
Untuk fungsi-fungsi yang bentuknya rumit, dimana y adalah fungsi dari u
(atau v), u dan v merupakan fungsi dari x, turunanya dikembalikan ke
rumus dasar.
Caranya:
1. 𝑦 = 𝜆𝑢 → 𝑦′ = 𝜆 𝑢′ , 𝝀 𝒃𝒊𝒍𝒂𝒏𝒈𝒂𝒏
2. 𝑦 = 𝑢 ± 𝑣 → 𝑦′ = 𝑢′ ± 𝑣 ′
3. 𝑦 = �〰𝑣 → 𝑦′ = 𝑢′𝑣 + 𝑢𝑣 ′
4. 𝑦 =𝑢
𝑣→ 𝑦′ =
𝑢 ′ 𝑣−𝑢𝑣 ′
𝑣2
Contoh:
𝑦 =𝑥
sin 𝑥
𝑦′ =sin 𝑥 − 𝑥 cos 𝑥
𝑠𝑖𝑛2𝑥
Selain dari keempat bentuk diatas, suatu fungsi merupakan fungsi
tersusun dari fungsi pada rumus dasar. Untuk mencari turunannya
gunakan rumus yang disebut aturan rantai. Bila y = f(x) merupakan fungsi
tersusun.
𝑦 = 𝑔 𝑢 𝑑𝑎𝑛 𝑢 = 𝑥 , 𝑚𝑎𝑘𝑎𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
�㖨�𝑢.𝑑𝑢
𝑑𝑥
Contoh:
𝑦 = 5 cos 𝑢 𝑑𝑖𝑚𝑎𝑛𝑎 𝑢 = 𝑥2 − 1
𝑦 = 5 cos 𝑢
𝑦′ = −5 sin 𝑢
𝑦′ =𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑑𝑦
𝑑𝑢.𝑑𝑢
𝑑𝑥
= −5 sin 𝑢 .2𝑥
= −10 x sin . u
32
= −10 x sin (x2 - 1)
Tentukan turunan pertama dari:
1. 𝑦 =𝑢−1
𝑢+1 𝑢 = 𝑥
2. 𝑦 = 1 + 𝑢, 𝑢 = 𝑥
3. 𝑦 = 𝑥
1+𝑥
5
4. 𝑦 =1
2𝑡𝑔 𝑥 sin 2𝑥
5. 𝑦 = 𝑥 𝑎2 + 𝑥2 + 𝑥2 𝑎𝑟𝑐 sin𝑥
𝑎
6. 𝑦 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥
D. Turunan Lebih Tinggi
Misalnya y = f(x) fungsi x yang dapat di diferensir dan turunannya
disebut “turunan pertama”, jika turunan pertama dapat di diferensir,
turunannya disebut “turunan kedua” dari fungsi aslinya. Ditulis:
𝑑𝑦2
𝑑𝑥2 , 𝑦′ ′ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓 ′ ′(𝑥)
Seterusnya turunan dari turunan kedua disebut “turunan ketiga”,
dinyatakan oleh:
𝑑3𝑦
𝑑𝑥3, 𝑦′ ′′ 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑓 ′′ ′(𝑥)
Contoh:
𝑦 = 4𝑥3
𝑦′ = 12𝑥2
𝑦′′ = 24𝑥
𝑦′′′ = 24
33
E. Penurunan Dengan Bantuan Logaritma
Dipakai bila pangkat suatu fungsi dari x:
𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)
ln 𝑦 = ln 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = 𝑔 𝑥 ln 𝑓(𝑥)
1
𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑔′ 𝑥 ln 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥){ln 𝑓(𝑥)}′
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦{𝑔′ 𝑥 ln 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 [ln 𝑓(𝑥)]′}
Contoh:
1. 𝑦 = 𝑥𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥≠ 𝑥𝑥−1
ln 𝑦 = ln 𝑥𝑥 = 𝑥 ln 𝑥
1
𝑦 𝑑𝑦
𝑑𝑥= ln 𝑥 + 𝑥.
1
𝑥= ln 𝑥 + 1
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦 ln 𝑥 + 1 = 𝑥𝑥 (ln 𝑥 + 1)
2. 𝑦 = (ln 𝑥)𝑥2
ln 𝑦 = ln ln 𝑥 𝑥2 = 𝑥2 ln ln 𝑥
𝑦′ = 2𝑥 ln ln 𝑥 + 𝑥21
𝑙𝑛𝑥.1
𝑥
= 2𝑥 ln ln 𝑥 +𝑥
𝑙𝑛𝑥
𝑦′ = 𝑦 2𝑥 ln ln 𝑥 +𝑥
𝑙𝑛𝑥 → = (ln 𝑥)𝑥2
{2𝑥 ln ln 𝑥 +𝑥
𝑙𝑛𝑥}
F. Turunan Fungsi Implisit
Untuk menghitung turunan pertama 𝑑𝑦
𝑑𝑥 dari fungsi implisit f(x,y) = 0, kita
perhatikan tiap-tiap suku sebagai suatu fungsi dari x, kemudian
menurunkan suku demi suku, misalnya:
𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦2 = 0
2𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦′ + 𝑦2 + 2𝑥𝑦𝑦′ = 0
𝑦′ 𝑥 + 2𝑥𝑦 = −2𝑥 − 𝑦 − 𝑦2
𝑦′ =−2𝑥 − 𝑦 − 𝑦2
𝑥 + 2𝑥𝑦
34
Soal:
Tentukan y1 dari:
1. 𝑦 = 𝑥ln 𝑥
2. 𝑦 = 𝑥
𝑛
ln 𝑥
3. 𝑦 = (sin 𝑥)𝑥
4. 𝑦 = 𝑥1
𝑥
5. 𝑦 = 2𝑥2 2 − 𝑥
6. 𝑦 = (sin 𝑥)𝑡𝑔 𝑥
7. 𝑦 = (𝑥)sin 𝑥
8. 𝑥𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 − 𝑦2 = 0
9. 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2 + 2𝑥 + 𝑦 = 0
10. 𝑥 = 𝑎𝑟𝑒 𝑡𝑔 (𝑥 + 𝑦)
11. 𝑥 cos 𝑦 = sin(𝑥 + 𝑦)
12. 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑦′′ − 2𝑦′ + 𝑦, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑦 =1
2𝑥2𝑐𝑥
13. 𝑇𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑑𝑦
𝑑𝑥
2+
𝑑2𝑦
𝑑𝑥2, 𝑏𝑖𝑙𝑎 𝑒𝑦 = 𝑥 + 𝑦
35
BAB V
BEBERAPA PEMAKAIAN TURUNAN
A. Garis Singgung dan Garis Normal
Jika f(x) mempunyai suatu turunan pertama f1(x) pada x = x0 yang hingga,
maka y = f(x) mempunyai garis singgung di (x0, y0) dengan koefisien
arah: m = tg Ѳ = f1 (xo)
Bila m = 0, maka garis singgung sejajar dengan x persamaan y = yo
Garis singgung mempunyai persamaan: y – yo = m (x – xo)
Garis normal dari grafik pada salah satu titik (pada grafik) adalah garis
yang tegak lurus garis singgung pada titik tersebut
x
y
A
B
C
D
E
y
x
Garis normal
Garis singgung f(x)
P(xo, yo) f(x)
36
Persamaan garis normal di 𝑥0 . 𝑦0 : 𝑦 − 𝑦0 =1
𝑓 ′ (𝑥)(𝑥 − 𝑥0) serta bila:
Garis singgung // sumbu y, maka garis normal // sumbu x
Garis singgung // sumbu x, maka garis normal // sumbu y
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada x2 – 3xy + y
2
= 5 pada titik (1, 1)
Jawab:
𝑥2 − 3𝑥𝑦 + 𝑦2 = 5
2𝑥 − 3𝑦 − 3𝑥𝑦′ + 2𝑦𝑦′ = 0
𝑦′ −3𝑦 + 2𝑦 = −2𝑥 + 3𝑦
𝑦′ =−2𝑥 + 3𝑦
3𝑥 + 2𝑦
−2 + 3
−3 + 2=
1
−1= −1
Persamaan garis singgung: 𝑦 − 1 = −1(𝑥 − 1)
𝑦 − 1 = −𝑥 + 1
𝑥 + 𝑦 − 2 = 0
Persamaan garis normal: 𝑦 − 1 = (𝑥 − 1)
𝑦 − 𝑥 = 0
𝑦 = 𝑥
Panjang garis singgung, panjang sub garis singgung, panjang garis
normal dan panjang sub garis normal.
Panjang garis singgung adalah panjang potongan garis singgung dihitung
dari titik singgung sampai titik potong sumbu x. panjang sub garis
singgung (panjang sub tangen) adalah panjang proyeksi potongan garis
tersebut pada sumbu x.
Panjang garis normal adalah panjang potongan garis normal dihitung dari
titik potong dengan garis singgung sampai titik potong dengan sumbu x.
panjang sub garis normal (panjang sub normal) adalah panjang proyeksi
garis tersebut pada sumbu x.
37
m = tg y = koefisien arah garis singgung
panjang sub tangen: TS = |yo / m|
Panjang sub normal: SN = |m yo|
Panjang garis singgung: TP = 𝑇𝑆2 + 𝑆𝑃2
Panjang garis normal: NP = 𝑆𝑁2 + 𝑆𝑃2
Contoh:
Panjang garis singgung, panjang garis normal, panjang sub garis
singgung, panjang sub garis normal dari xy + 2x – y = 5 pada (2, 1)
Jawab:
𝑥𝑦 + 2𝑥 − 𝑦 = 5
𝑦 + 𝑥𝑦′ + 2 − 𝑦′ = 0
𝑦′ 𝑥 − 1 = −𝑦 − 2
𝑦′ =−𝑦 − 2
𝑥 − 1 𝑝𝑎𝑑𝑎 (2,1)
=−1 − 2
2 − 1−
3
1= −3
panjang sub tangen = 𝑦𝑜
𝑚 =
1
−3 =
1
3
Panjang sub normal = |m yo| = |-3.1| = 3
Panjang garis singgung = (1
3)2 + 1 =
1
9+ 1 =
10
9=
1
3 10
Panjang garis normal = 32 + 1 = 10
y
N
P(xo, yo)
S T
x
P
38
Soal:
Hitung panjang garis singgung, garis normal, sub garis singgung, sub
normal dari:
a. 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 21 = 0 𝑑�. (5,4)
b. 4𝑥2 + 𝑥𝑦 = 40 𝑑𝑖 (−1,2)
B. Bentuk Tak Tentu dan Aturan (Hospital)
Limit dengan bentuk tak tentu adalah limit dengan bentuk-bentuk: o/o,
~/~, o~, ~ - ~, ~0, .
0 dan 1
~. Untuk menghitung limit tersebut dapat
digunakan aturan (Hospital)
1. Jika limit f(x) = 0 dan limit g(x) = ~, maka limit f(x) g(x) = 0
~ ialah bentuk xa xa xa tak tentu.
Bentuk tersebut dapat diubah menjadi 0
0 𝑎𝑡𝑎𝑢
~
~ dengan memenuhi
f(x) g(x) sebagai:
𝑓(𝑥)
1
𝑔(𝑥) 𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑔(𝑥)
1
𝑓(𝑥)
Contoh:
lim𝑥→1
1 − 𝑥 ln 1 − 𝑥 = (0, ~)
lim𝑥→1
ln
1 − 𝑥 1
1 − 𝑥= (𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘
~
~)
lim𝑥→1
−11 − 𝑥
1(1 − 𝑥)2
= lim𝑥→1
− 1 − 𝑥 = 0
2. Jika limit f(x) = ~ dan limit g(x) = ~, maka limit {f(x) - g(x)} = ~ - ~
bentuk xa xa xa tak tentu. Bentuk
tersebut diubah menjadi:
lim𝑥→𝑎
1𝑔 𝑥
−1
𝑓(𝑥)
1
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) ialah bentuk o/o
39
Contoh:
lim𝑥→1
𝑥
𝑥 − 1−
1
ln 𝑥
lim𝑥→1
𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 1
𝑥 − 1 ln 𝑥= (𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑜/𝑜)
lim𝑥→1
ln 𝑥 + 1 − 1
ln 𝑥 +𝑥𝑥
−1𝑥
=
lim𝑥→1
1𝑥
1𝑥
+1𝑥2
=1
2
3. Jika:
a. lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 0 𝑑𝑎𝑛 lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 0
b. lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = 1 𝑑𝑎𝑛 lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = ~
c. lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = ~ 𝑑𝑎𝑛 lim𝑥→𝑎 𝑔 𝑥 = 0
Maka: lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)��(𝑥) menjadi bentuk tak tentu. Limit-limit tersebut
dapat menjadi 0, ~, bila kita mengambil logaritmanya
Contoh:
lim𝑥→0
𝑥sin 𝑥 = 𝑖𝑎𝑙𝑎 𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 ∶ 00
Misalnya:
L = lim�番�→0 𝑥sin 𝑥
ln 𝐿 = lim𝑥→0
𝑥sin 𝑥 = lim𝑥→0
ln 𝑥sin 𝑥 =
= lim𝑥→0
sin 𝑥 ln 𝑥 (0, ~)
= lim𝑥→0
ln 𝑥
1/ sin 𝑥 (
~
~)
= lim�Ł�→0
1/𝑥
− cos 𝑥/𝑠𝑖𝑛2 𝑥
40
= lim�→0
−𝑠𝑖𝑛2𝑥
𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑥
= lim𝑥→0
−2 sin 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥
cos 𝑥 − 𝑥 𝑠𝑖𝑛 𝑥
=0
1= 0
ln 𝐿 = 0
𝐿 = 𝑒0 = 1
∴ lim𝑥→0
𝑥sin 𝑥 = 1
x0
soal:
1. lim𝑥→0 𝑥3 =
2. lim𝑥→0 1
𝑥−
1
sin 𝑥 =
3. lim��→02𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔 𝑥−𝑥
2𝑥−�慢�𝑟𝑐 sin 𝑥=
4. lim𝑥→2 4
𝑥2−4−
1
𝑥−2
C. Menentukan Titik Kritis (Titik Ekstrim)
f(x) dapat di diferensir dalam selang a < x < b dan jika f(x) memiliki nilai
relatif maksimum (minimum) dititik x = xo. dimana a < xo < b, maka f1
(xo) = 0
menentukan titik kritis:
Cara I:
1. Selesaikan f1 (x) = 0 untuk harga-harga kritis
2. Letakkan nilai-nilai kritis pada suatu skala bilangan, maka terbentuk
beberapa internal
3. Tentukan tanda f1 (x) pada setiap interval
4. Untuk x bertambah melalui setiap kritis x = xo, maka:
- f(x) bernilai maksimal = f(xo) jika f1 (x) berubah dari + ke –
- f(x) bernilai manimal = f(xo) jika f1 (x) berubah dari - ke +
41
- f(x) tidak bernilai maksimal atau minimal dari x = xo bila f1 (x) tidak
berubah tanda
Cara II:
1. Selesaikan f1 (x) = 0 untuk harga-harga kritis
2. Fungsi di diferensial sekali lagi, memperoleh f11
(x) untuk harga
kritis x = xo
- f(x) mempunyai nilai maksimum f(xo) bila f11
(xo) < 0
- f(x) mempunyai nilai minimum f(xo) bila f11
(xo) > 0
- penyelidikan gagal bila f11
(xo) = 0 atau menjadi tak hingga
contoh:
𝑦 =1
3𝑥3 +
1
2𝑥2 − 6𝑥 + 8
Tentukan:
a. untuk titik-titik kritis
b. interval dimana y naik dan y turun
c. nilai max dan min dari y
jawab:
a. 𝑦′ = 0
𝑦′ = 𝑥2 + 𝑥 − 6 = 0
𝑥 + 3 𝑥 − 2 = 0
𝑥1 = −3 𝑑𝑎𝑛 𝑥2 = 2
Titik kritis: -3 dan -2
b. 𝑥 < −3 → 𝑦′ = − − = +𝑛𝑎𝑖𝑘
3 < 𝑥 < 2 → 𝑦′ = + − = −𝑡𝑢𝑟𝑢𝑛
𝑥 > 2 → 𝑦′ = + + = +𝑛𝑎𝑖𝑘
c. 𝑥 = −3 → 𝑦 =1
3(−3)3 +
1
2(−3)2 − 6 −3 + 8
= −9 +9
2+ 18 + 8 = 17 +
9
2=
43
2
Titik P (-3, 43/2)
𝑥 = 2 → 𝑦 =1
3(2)3 +
1
2(2)2 − 6 2 + 8
42
−8
3+ 2 − 12 + 8 = −2 +
8
3= −
6
3+
8
3=
2
3
Titik Q (2, 2/3)
P titik maksimum dan Q titik minimum
Kecepatan dan Percepatan
Gerak suatu partikel sepanjang suatu garis lurus secara lengkap dinyatakan oleh
persamaan s = f(t), t ≥ 0 waktu, dan s jarak P dari suatu titik tetap yang tertentu
0 pada lintasannya
Kecepatan (velocity) dari P pada waktu t adalah 𝑣 =𝑑𝑠
𝑑𝑡
Jika v > 0, P bergerak searah dengan naiknya s
Jika v < 0, P bergerak searah dengan turunnya s
Jika v = 0, P dalam keadaan berhenti
Percepatan (accelaration) dari P pada waktu t adalah:
𝑎 =𝑑𝑣
𝑑𝑡=
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
Jika a > 0, v naik, jika a < 0 maka v turun
Kelajuan (speed) bertambah bila v dan a bertanda sama dan berkurang bila
berlainan tanda
y
x
Q(2,2/3)
P(-3,43/2)
43
Contoh:
Sebuah partikel bergerak disepanjang suatu garis lurus dengan persamaan:
𝑠 = 𝑓 𝑡 = 2𝑡3 − 9𝑡2 + 12𝑡 − 1, 𝑡 ≥ 0
a. Tentukan saat partikel bergerak ke kanan dan saat partikel bergerak ke
kiri
b. Tentukan saat partikel berhenti dan kemudian bergerak lagi
c. Tentukan saat gerakan partikel dipercepat dan saat gerakan partikel
diperlambat
Jawab:
Kecepatan dan percepatan partikel pada setiap saat t ≥ 0, adalah:
𝑣 𝑡 = 𝑓 ′ 𝑡 = 6𝑡2 − 18𝑡 + 12 , dan
𝑎 𝑡 = 𝑓"(𝑡) = 12𝑡 − 18, 𝑡 ≥ 0
a. Partikel bergerak ke kanan bila f(t) semakin bertambah, yaitu bila fungsi f