Funciones exponencialy logarítmica
El estudiante:
• Resolverá problemas confunciones exponencialesy logarítmicas, teóricos oprácticos,utilizandosure-lación como funciones in-versas y sus propiedadesalgebraicas,enunambien-teescolarquefavorezca lareflexión sobre la utilidadde estos conocimientos yel desarrollo de actitudesderesponsabilidad,coope-ración, iniciativa y colabo-raciónhaciaelentornoenelquesedesenvuelve.
INTRODUCCIÓN
Supongamosquenecesitassubirunaescaleracon65escalonesparaencon-trartecon tu familia,pero laspersonasque la subendebencolaborar conlosdamnificadosenlas inundaciones,detalmaneraquealsubirelprimerescalóndebenaportarungranodearroz.Enelsegundoescalónseduplicalacantidad,yasísucesivamentehastallegaralescalón65.¿Creesquepodríasreunirlacantidaddearroznecesariaparasubirlaescalera?Problemascomoelanteriorsepresentandíaadíaendiversasramasdelquehacerhumano.Enestaunidaddaremossoluciónaejemplosdeproblemascomoéste.Tedaráscuentacómolafunciónexponencialylogarítmicatienetantasaplicacionesenlavidadiaria.
Competencia genérica a desarrollar:Escucha,interpretayemitemensajespertinentesendistintoscontextosatravésdelautilizacióndemedios,códigosyherramientasapropiados.Expresaideasyconceptosmedianterepresenta-cioneslingüísticas,matemáticasográficas.
Competencias disciplinares a desarrollar:• Analizalasrelacionesentredosomásvaria-
blesdeunprocesosocialonaturalparadeter-minaroestimarsucomportamiento.
• Cuantifica,representaycontrastaexperimen-talomatemáticamentemagnitudesdelespa-cioquelorodea.
• Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.
151FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
NOMBREDELALUMNO:
GRUPO: NÚMERODELISTA: ACIERTOS:
I. Contestabrevementeloquesetepide.
1. ¿Quéesunafunciónexponencial?
2. ¿Cuáleseldominioyrangodelafunciónexponencial?
3. ¿Cuálelvaloraproximadodee?
4. ¿Quéesunafunciónexponencialnatural?
5. ¿Quéesunlogaritmo?
6. ¿Cuáleseldominioyrangodelafunciónlogarítmica?
II. Resuelvelassiguientesecuacionesexponenciales:
a) log10x–log103=232x-1=9
b) ex-1=e2(x+1)
III. Resuelvelassiguientesecuacioneslogarítmicas: a) log10x=log105 b) log10x-log103=2
152 UNIDAD IV
Unapersonamuydevotaenvióunaoraciónporcorreoelectrónico,rogandoaDiosporlapazenelmundo,acincodesusamistades,pidiéndolesquelaenviaranaotrascincopersonas,yasísucesivamentehastaformarunacadenadeoraciones.
1. Cuandolacadenacompletó10envíos,¿cuántaspersonasrezaban?2. ¿Ycuandocompletó15?3. Silacadenacompletanenvíos,¿cuántaspersonasrezan?4. Realizaunagráficadondeilustreslafunciónresultante.
4.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL
Dentrodelasfuncionestrascendentesseencuentranlasfuncionesexponencialesylaslogarít-micas,lascualessoninversasentresí.
Lasfuncionesexponencialesylogarítmicassonútilesencasitodosloscamposdelquehacerhumano,enespeciallaquímica,laingenieríaylafísicaparadescribirlaformaenquevaríanlascantidades.
4.1.1 Concepto de función exponencial
Notación
Recordarásqueencursosanterioressehanmanejadoexpresionesalgebraicascontérminosdeltipoxn,dondexesunavariablellamadabaseynesunaconstantellamadaexponente.Ahoraintercambiaremoslospapeles,esdecir,labaseeslaconstanteylavariableelexponente,obte-niendounaexpresióndelaformaax,alacualselellamafunciónexponencial.
Unafunciónexponencialdebaseaesdelaformaf(x)=ax,dondexescualquiernúmerorealy
a>0,a≠1.
f xx
( ) =
32
, f xx
( ) = ( )1
22, f x x( ) = − −4 2
Lasfuncionesexponencialescumplenconlaspropiedadesdelosexponentes.
John Napier o John Ne-per (1550-1617), matemá-ticonacidoenMerchiston,Escocia. Es conocido porintroducir el primer siste-ma de logaritmos, descri-to en Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614).Loslogaritmos comunes y na-turales usados actualmenteno emplean lamismabaseque los logaritmos deNa-pier,aunqueaestosúltimosselesllamaenocasioneslo-garitmos neperianos. Loslogaritmos de Napier sim-plifican la multiplicación,divisiónyotrasoperacionesaritméticas.
153FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Propiedades de las funciones exponenciales
Seannúmerospositivosyx,y∈R,entonces:
1. a0=12. ax ay=ax +y
3. aa
ax
yx y= −
4. (ax)y = axy
5. (ab)x=ax ax
6. ab
ab
x x
x
= , b≠0
Representardeunamaneradistintalassiguientesecuacionesconayudadelaspropiedadesdelafunciónexponencial.
y=24x23x
Solución:como 24x=22x22x
y 23x=2x22x
Entoncesy x x x x
x x
= ( )( )=
2 2 2 2
2 6
2 2 2
6
Despejarxdelasiguienteecuación:9x-2=33x
Solución.Laigualdadanteriortambiénseescribecomo:
3 32 4 3
2 2 3x x
x x
−( ) =− =
.Así,
Despejandoxquedaría:3 2 4
4x x
x− = −
= −
Dominio y rango
Deacuerdoconladefinicióndelafunciónexponencial,labaseadebeserpositivaydiferentede1,porloquealelevarlaacualquierexponentereal,seobtieneunnúmeropositivo.
Fue René Descartes quienideólayuxtaposiciónadhe-sivaparalanotacióndelaspotencias. Introdujo lano-taciónx,x2,x3,x4,etc.,paraexpresar laprimera,segun-da,tercerapotenciasdex.
Desdeelsigloxiv, losma-temáticoshanusadounsis-tema con exponentes; sinembargo, el conceptomo-dernosealcanzóhastaquelo formuló de René Des-cartesenelsigloXVII.
154 UNIDAD IV
Noseconsideranegativaa,porqueexistenfuncionesdelaformaf(x)=(-2)1/2quenotienensentidoenlosreales.Elqueseadiferentede1sedebeaquealreemplazarlabasepor“1”,lafunciónconstantesetransformaenf(x)=ax=1x=1
Eldominiodelafunciónexponencialeselconjuntodelosnúmerosrealesysurangoeselconjuntodelosrealespositivos.
Crecimiento y decaimiento exponencial
Lasgráficasde las funcionesexponencialessonunacurvasuavesinsaltos, todas intersecanalejeYenelpunto(0,1)ypasanporelpunto(1,a);paravaloresdexnegativos,lacurvaseaproximaalejeX.
Graficarlasfuncionesf(x)=2xy f xx
( ) =
12
Solución:Nosauxiliaremosdelatablaparaobtenerlosvaloresdelasfunciones.
x –3 –2 –1 0 1 2 3 42x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 162–x 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 1/16
Observamosquelagráficadef(x)=2xescrecienteylagráficadef(x)=2-xdecreciente.Ambastienencomodominiolosnúmerosrealesycomorangolosnúmerosrealespositivos.
Podemosconcluirquelasgráficasdelasfuncionesexponencialessonunacurvacontinuasuavesinbrincososaltos.Generalizandolaspropiedadesdelasfuncionesexponencialestenemos:
1. Lasfuncionesexponencialesexistenparatodoa>0ya≠1,condominioenelconjuntodelosnúmerosreales.
2. Elrangosontodoslosnúmerosrealespositivos,yaquelagráficanuncatocaocortaalejeX.
155FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
3. Lagráficadecualquierfunciónexponencialpasaporelpunto(0,1).4. Paratodafunciónexponencial,elejeXesunaasíntotadelafunción,esdecir,lafunción
tomavalorescadavezmáscercanosalejeXsintocarlo.5. Lafunciónescrecienteparaa>0.6. Lafunciónesdecrecientepara0<a<1.
Gráficamenteserepresentacomo:
Trazarlasgráficasdefygenunmismoplanocoordenado.
f(x)=4x, g xx
( ) =
14
Solución:Lasiguientetablamuestralascoordenadasdealgunospuntosdelasgráficas:
x –2 –1 0 1 2 34x 1/16≈ 0.06 1/4≈0.25 1 4 16 64
14( )x
16 4 1 1/4≈ 0.25 1/16≈0.06 1/64≈ 0.02
Losdominiosdeambasgráficas son losnúmeros
reales y su rango los realespositivos; f(x)=4x es
una funcióncreciente,mientrasque g xx
( ) =
14
esunafuncióndecreciente.Paraambasfunciones,
elejeXesunaasíntotahorizontal;fygsonfuncio-
nessimétricasrespectoalejeY.
156 UNIDAD IV
Muchasentidadesfísicasserepresentanpormediodefuncionesexponenciales;entreéstassecuentanelcrecimientobacteriano,elcrecimientodeunapoblación,elinteréscompuesto.Exis-tenotrascantidadesquedecrecenexponencialmente;paraestoscasos,labaseadelafunciónexponencialestáentre0y1.
Unejemploesladesintegracióndeunasustanciaradiactiva.Elisótoporadiactivo210Bitieneunasemivida(o“vidamedia”)de5días,esdecir,elnúmerodepartículasradiactivassereduciráalamitaddelnúmerooriginalen5días.Siexisten100mg.de210Bienuninicio,t=0,entonceslacantidades:
f(t)=100(2)-t/5
¿Quécantidadrestadespuésde5días?,¿despuésde10días?,¿despuésde12.5días?
Solución:
En t=0 f(0)=100(2)–0/5=100(1)=100mg
t =5 f(5)=100(2)–5/5=100(2)–11002=50mg
t=10 f(10)=100(2)–10/5=100(2)–2=1004=25mg
t=12.5 f(12.5)=100(2)–12.5/5=100(2)–2.5=10022 5.
=17.68mg
Gráficamente:Pudimosobservarquela“vidamedia”delisótopora-diactivo210Biesunafunciónexponencialdecreciente.
Representargráficamentelassiguientesfuncioneseidenti-ficarcuáleseldominioyrangoparacadaunadeellas.
1. f(x)=10x 2. f(x)=32x
3. f(x)=3–x 4. f(x)=2│x│
5. f(x)=4x –3 6. f xx
( )
=−5
2
7. f xx
( )
=15
8. f(x)=8x–3
9. f xx
( )
=23
10. f(x)=5–3x
157FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Encontrarelvalordexparalassiguientesecuaciones:
11. 2•4x=83x+1
12. 3•92x=3x+1
13. 63x+4=6x+2
14. 34x=9x+7
15. ax–3=a4x+4
4.1.2 Variación exponencial
Valores de x y razones constantes de la función
Tracemoslasgráficasdelassiguientesfuncionesf(x)=x,f(x)=x2,f(x)=2x2
x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4f(x) = x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4f(x)=x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16f(x)=2x 0.03125 0.0625 0.125 0.50 1 2 4 8 16
La variación exponenciales mayor que la variaciónlinealylacuadrática,yaquesugráficacrececonmayorrapidezquelasotras.
Consideremos las funcio-nes f(x)=3x+1 y f(x)=3–x – 2 y elaboremos susgráficas.
Puede observarse que hubo uncorrimiento de las gráficas de lasfuncionessobreelejeY,esdecir,un desplazamiento vertical, tal ycomoseexpusoenlaunidadi.
Obtención de la expresión algebraica correspondiente
Comoyasehamencionado,lafunciónexponencialtienenumerosasaplicacionesdeestudio:enlainvestigacióndelanaturaleza,elcrecimientodepoblaciones,paradescribirfenómenoseconómicos,ladesintegraciónradiactiva,etcétera.
158 UNIDAD IV
Veamosunejemploenelcualsemuestralamaneradeobtenerlaexpresiónexponencialco-rrespondiente.
Uncultivodebacteriasseduplicacadahora.Siinicialmentesecuentacon30bacterias,¿cuántasbacteriashayaltiempox?
Solución:Sabemosqueinicialmentesecuentacon30bacterias,esdecir:
x0=30
Así:x(0)=x0
Despuésdeunahorahabrá:2x0=2(30)
Despuésdeotrahora:4x0=4(30)
Esdecir:f x
f x
f x
f
0 2 30 1 30
1 2 30 2 60
2 2 30 4 120
4
00
01
02
( ) = = ( ) =
( ) = = ( ) =
( ) = = ( ) =
( )) = = ( ) =x 042 30 16 480
Parauntiempoxcualquiera:f x x( ) = ( )30 2
Esdecir,f(x)=x02
x,lacualesunafunciónexponencialconbase2.
Engeneral,unafuncióndelaformaf(x)=x02kxesunafunciónexponencialconbaseayexpo-
nentekx,dondekdependedelfenómenoestudiado.
Tasa y factor de crecimiento
Elfactordecrecimientoeselfactorconstanteporelquesemultiplicacadavalorenunpatróndecrecimientoexponencialyconelcualseobtieneelsiguientevalor;eslabaseenlaecuacióndecrecimientoexponencial.Paraelcasoanteriordelcultivodebacterias,el factordecreci-mientoes2.
La escala de Richter midelaenergíadeuntemblorensucentro,ofoco,ylainten-sidad crece de forma ex-ponencialdeunnúmeroalsiguiente.
159FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Latasadecrecimientoesunexponentequeporlogeneralseexpresacomounaporcióndelapoblación(unporcentajeenformadecimal).
EnunapreparatoriasecompróequipodecómputoparaellaboratoriodeInformática.Antesdelacompra,seconsideróqueelequipotendríaunavidaútilde5años;sinembargo,sesabequecualquierequiposufreunadevaluaciónapartirdesucompra.Elequipocostó$55,000.¿Cuálessuvalordespuésde5años?
Ladevaluacióntieneunarelacióndec(t)=Be-0.25tdondeBesconstante.
Solución:Cuandot=0secompróelequipo;así,
c Be
c t Be
0 0 25 0
0
( ) =
( ) =
− ( ).
Elpreciofuede$55,000ye0=155 000
55 000 0 25
,
, .
=
( ) = −
B
c t e t
,entonces
Alos5años,ladevaluacióndelequiposerá:
c e
c e
c
5 55 000
5 55 000
5 15 757 76
0 25 5
1 25
( ) =
( ) =
( ) =
− ( )
−
,
,
, .
.
.
Porlotanto,alos5añosdecomprarelequipoen$55,000,valdrátansólo$15,757.76debidoasudevaluación.
1. En1980,lapoblaciónestimadadeciertopaíserade651millones,yhaestadocreciendoaunatasadealrededordel25%anual.LapoblaciónN(t),tañosmástardeseaproximaconN(t)=651e0.02t
Calcularlapoblacióndeestepaísenelaño2000,suponiendoqueestatasaaltadecrecimientocontinúa.
2. Ciertos laboratoriosmédicosdeterminanqueelnúmerode algunoscultivosdebacterias estádadoporlaexpresiónN(t)=Be0.08t,testádadaenminutos.
¿Cuántasbacteriashabráendoshoras,siinicialmenteexisten2,500?
3. Unalavanderíacomprauncentrodelavadoen$10,500,elcualsufreunadepreciaciónde25%anual.¿Cuálserásuvalorendosaños?
SuponerqueladepreciaciónserepresentaconD(t)=Be-0.25t
160 UNIDAD IV
4.1.3 El número e
Caracterización e importancia
Hemosestudiadolafunciónexponencialutilizandounabaseacualquiera,ahoraelegimosunabaseirracional,alacualdenotamoscomoe.
Eldescubrimientode la constante se acredita a JacobBernoulli, quien intentó encontrar la
aproximacióndelosdecimalesdeestenúmeroconlaexpresión 1 1+
n
n
;así,tomandounnú-
meron(natural)suficientementegrande:
N 11
+
n
n
1 2.00000010 2.5937425100 2.70481381,000 2.716923810,000 2.7181459100,000 2.71825461,000,000 2.7182818
Conformenaumenta 1 1+
n
n
acercacadavezmásaunnúmero irracionaldenotadopor e.
Asignamosaelasiguienteaproximación,e≈2.71828.
Alafecha,seconocen100,000,000,000dedígitosdeegraciasaldesempeñodelascomputado-ras,asícomotambiénalosalgoritmosutilizados.
Elnúmeroesurgeenlainvestigacióndefenómenosfísicos;esunadelasfuncionesmásimpor-tantesenlasmatemáticasavanzadasyendiferentesaplicaciones.
Función exponencial natural
Cuandoelnúmeroeesutilizadocomobase,seledaelnombredebasenatural.Así,lafunciónfdefinidaporf(x)=exsedenominafunciónexponencialnatural.Estafuncióncumpletambiénconlaspropiedadesdelosexponentes.
Tracemoslagráficadelafunciónexponencialnatural:
161FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Como2<e<3,lagráficadey=exestáentrelasgráficasdey=2xyy=3x
Eldominiodelafuncióny=exsontodoslosnúmerosrealesyelrangolosrealespositivos.
Encontrarlasraícesocerosdefsif(x)=3xe–2x–3x2e–2x
Solución:Factorizando,obtenemos:f(x)=3xe–2x(1–x)
Paraencontrarloscerosdefhacemosf(x)=0
Puestoquee–2x>0paratodox,entoncesf(x)=0siysólosix=0o1–x=0,x=1,esdecir,lasraícesdefson0y1.
Encontrarelvalordexenlasiguienteecuaciónexponencial:e6x–2=ex+4
Solución:Dadoqueenambosmiembrossetienelamismabase,laanteriorigualdadlapode-mosescribirdelasiguientemanera:
6 2 45 6
65
x xx
x
− = +=
=
Engeometría,elnúmero ees necesario para describircurvas como la catenaria–lasupuesta formadeunacuerda o cadena suspendi-daporsusextremos–.
162 UNIDAD IV
Teniendoencuentaquelafunciónexponencialnaturalcumpletambiénconlaspropiedadesdelosex-ponentes,encontrarelvalordexenlassiguientesecuacionesexponenciales.
1. ex+1=ex–1 2. e•ex=e3x–1
3. e2x•e2=e•e5x–2 4. ex=(ex+1)2
5. ex–5=e2x•ex–3
Reúneteenequiposdecuatropersonasyrealizalassiguientesactividades.
I. Discutecontuscompañerossobreloquesucedesialafunciónexponencialselecambiaelex-ponente“x”porlossiguientesvaloresyrepresentarlográficamente.
a) “x+1”,“x-1”,“x+3”,“x–3”. b) “2x”,“4x”,etc.
II. Resuelvelasiguientesopadeletrasconlostérminosempleadosenlaseccióndefunciónexponencial. 1. Conjuntodeimágenesdelafunciónexponencial. 2. Eslafunciónexponencialqueutilizaelnúmeroecomobase. 3. Deacuerdoconlafunciónexponencial,éstadebeserpositivaydiferentede1. 4. Paraunafunciónexponencial,éstasiemprepasaporelpunto(0,1). 5. ¿Cómoeslagráficadelafunciónexponencialcuando? 6. ¿Cómoeslagráficadelafunciónexponencialcuando? 7. Númerosquenosonconsideradosparaquelabasetomesusvalores. 8. Ejequeesasíntotadelafunciónexponencial. 9. Eselconjuntodeargumentosdelafunciónexponencial.
AActividad
D O M I N G O Y X C H P D AA U T J R A C T V R I O O LD P E A G R N G U E R O M GO R I G E B Ñ K H C E U I OZ A R A G O B G L I E X N DQ N A T U R A L U E Q U I EP I N T E E S J U N U S O AY G G O O N E G A T I V O SQ U O E T O G R T E S A E RU F I N T O O A Y E F N U EE S E H M B R F I I N G I GE D E C R E C I E N T E Y HU Y C Q U T Y C Y U E S A KE C E S A T I A O O P D N O
163FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
4.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Elmétododeloslogaritmosfuepropuestoen1614porJohnNapier.Graciasaestemétodo,potenteinstrumentodelcálculo,NewtonyKeplerestablecieronsusleyes,loquecontribuyóalavancedelaciencia,enespecialdelaastronomía.
4.2.1 Concepto de función logarítmica
Sif(x)=axya>1,entoncesfescrecienteenlosnúmerosreales,si0<a<1,fesdecreciente.
Esdecir,sia>0ya≠1,entoncesfesbiunívocayporlotantotienefuncióninversaf–1.Lainversadelafunciónexponencialselellamafunciónlogarítmica.
Elconceptodelogaritmoseabordarácomoellogaritmodeunnúmeroycomolainversadelafunciónexponencial.
Logaritmo de un número
Ellogaritmodeunnúmeroxenbasea,eselexponentealcualsedebeelevarlabaseaparaserigualax.Esdecir:
loga x=y(selee“logaritmoenbaseadex).
Calcularlossiguienteslogaritmos.
1. log28
Solución:eslomismoquepreguntarnosaquéexponentesedebeelevarel2paraobtener8,entonces: log28=3,yaque2
3=8
2. log101000
Solución:¿aquépotenciadebemoselevarel10paraobtener1000? log101000=3,yaque10
3=1000
1. log51= 2. log381=3. log749= 4. 10 10 2log =
5. log8
164
= 6. log100.001=
164 UNIDAD IV
7. log7343= 8. Si2x=16,entoncesx=log216=49. Si3x=243,entoncesx= 10. Si10x=0.1,entoncesx=
La función logarítmica como inversa de la función exponencial
Consideremoselproblemadeencontrarxenlarelación
14=2x
Enestecaso,xestáentre3y4yaque23=8y24=16.Elvalordexdebeobtenerseporunaaproximación.Pararesolverproblemasdeestetiposeconsideralafuncióninversadelaexpo-nencialy=ax
Yavimosqueunlogaritmoesunexponente,esdecir,eselexponentealcualsedebeelevarlabaseparaobtenerunnúmero.Deestamanera,obtenemoslasiguientedefinición:
Paraa>0ya≠1,tenemosque:x=logayesequivalenteay=ax
Esdecir:
siy=ax,entoncesx=logay
Siy=logax,entoncesx=ay
Seconcluyequelafunciónlogarítmicaf(x)=logaxeslainversadelaexponencialg(x)=ax,
porquef(g(x)=xyg(f(x))=x
Seanf(x)=10x yg(x)=log10x,verificarsiéstassonfuncionesinversas.
Solución:Tomemoslaprimerafunciónf(x)=10xydémoslevaloresax.
x –1 0 1
f(x) 101
100 11− = = . 100=1 101=10
Tomemosahoralasimágenesdefcomoargumentosdegyevaluemos.
x 0.1 1 10g(x) log100.1=–1 log101=0 log1010=1
165FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Observemosquealtomarunvalordexenf,suimagenasociadaesf(x)yalevaluarestaimagenenellogaritmosellegaalmismonúmeroinicial.Estoindicaquef(x)=10xyg(x)=log10xsonfuncionesinversas.
Expresarxentérminosdey.
1. y=5x
Solución:log5y=log55x=x
Porlotanto:x=log5y
2. y=log3(x–4) Solución:3y=3log3
(x–4)=x–4 Porlotanto:x=3y+4
Expresarxentérminosdey.
1. y=2x+1 2. y=3x2
3. y=104x–3 4. y=log7(3x+5)5. y=e2(x–5) 6. y=log2(8x–1)7. y=24x+1 8. y=23x24x
9. y=log3(6x+1) 10. y=log5x2
Gráfica de la función logarítmica
Puestoquelafunciónlogarítmicalogaeslainversadelafunciónexponencialdebasea,sugrá-ficasepuedeobtenerreflejandolagráficadey=axconrespectoalarectay=x
Todafunciónlogarítmicaesunacurvasuavesinbrincososaltosparatodoslosvalorespositi-vosdex.
166 UNIDAD IV
Delagráficaseobtiene:sia>0,lafunciónfescrecienteentodosudominio.Sif0<a<1,lafunciónfesdecreciente.
Dominio y rango
Teniendoencuentalagráficadelafunciónlogarítmica,tantoparaa>1y0<a<1sededucelosiguiente:
• Eldominiodelafuncióneselconjuntodelosnúmerosrealespositivos,esdecir,sólotienen logaritmoreal losnúmerospositivos.Para losnúmerosnegativos,éstenoestádefinido.
• LagráficadelafunciónlogarítmicaintersectaalejeXenelpunto(1,0),esdecir,loga1=0. • Ellogaritmodeceronoestádefinido. • ElejeYesunaasíntotaverticalparalafunción. • Elrangosonlosnúmerosreales.
Graficarlafunciónlogarítmicaf(x)=logx
Solución:
x f(x)0.01 –20.1 –11 05 0.698910 1100 2
Eldominiodelafunciónsontodoslosrealespositivos;elrangosontodoslosnúmerosreales.ElejeYesunaasíntotavertical.Amedidaquexcrece,suimagentambiéncrece,esdecir,setratadeunafuncióncrecienteyseintersecaconelejeXenelpunto(1,0).
167FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Construirlagráficadelassiguientesfuncioneslogarítmicas.
1. f(x)=log2x 2. f(x)=log2(x+3)
3. f(x)=3log3x 4. f xx
( )
= log21
5. f(x)=log5(x–1) 6. f(x)=log2x2
4.2.2 Logaritmos comunes y naturales
Antesdequeseinventaranlascalculadoras,seempleabanlogaritmosdebase10pararealizaroperacionescomplejasconnúmerosreales.Estabaseeralamásadecuadaparalautilizacióndenúmerosdecimales.
Definición y propiedades
Loslogaritmosdebase10sonllamadoslogaritmoscomunes.
Sealog10xellogaritmoenbase10dex,detalmaneraque
logx=log10xparatodax>0
Anteriormentesedefiniólafunciónexponencialnaturalcomo f(x)=ex.Alainversadeestafunciónselellamafunciónlogaritmonaturaloneperiano,esdecir,logex
Inx=logex,paratodox>0
Así, Inex=x=eInx Ine=1 In1=0
Deducimosentoncesqueellogaritmosecalculasóloparanúmerospositivos.
Laspropiedadesbásicasdeloslogaritmos–tantocomunescomonaturales–sondegranutili-dadpararesolverecuacioneslogarítmicas.
Propiedades de los logaritmos
1. y=logax siysólosi x=a y
2. a xaxlog = paratodo x>0
168 UNIDAD IV
3. logaax=x
4. loga1=05. loga a=16. loga AB=loga A+loga B
7. log log loga a aAB
A B
= −
8. loga An=nloga A
9. In(AB)=InA+InB
10. In AB
InA InB
= −
11. InAn=nInA
Operaciones con logaritmos
Calcularlassiguientesexpresionesconsiderandoquelog4=0.6021ylog5=0.6990
a) log 45 b) log 5 c)
loglog
45
Solución:
a) log log log45
0 6021 0 6990 0 09694 5= − = − = −. . .
b) log log log5 5 12
12
0 6990 0 34951
2 5= = = ( ) =. .
c) No existe ninguna propiedad para simplificarloglog
45, entonces dividimos; esto es:
loglog
45
0 60210 6990
0 8614= =..
.
Notarladiferenciaentreelincisoa)yelc).
Hacerusodelacalculadoraparaaproximarlossiguienteslogaritmos:
a) log59 b) In59 c) logx=1.4046 d) Inx=4.5
169FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Solución:
a) log59≈1.7709 b) In59≈ 4.0775 c) Oprimir:INVlog Ingresar:1.4046 Oprimir:4.0739 d) Oprimir:INVIn Ingresar:4.5 Oprimir:=90.0171
LaLeydeNewtonparaelenfriamientoestablecequelarapidezconlaqueunobjetoseenfríaesdirectamenteproporcionalaladiferenciadetemperaturaentreelobjetoysumediocircun-dante.Esta ley seutilizaparademostrarqueenciertascondiciones la temperaturaTdeunobjetoenuntiempotestádadaporT=75e–2t.ExpresatcomofuncióndeT.
Solución.Despejandoe–2tdelaecuaciónseobtiene:T e
e T
t
t
=
=
−
−
75
75
2
2
Usandologaritmosnaturalesseobtiene:
log loget
ee T
t In T
− =
− =
2
75
275
Así,t In T= − 12 75
ot InT In= − −[ ]12
75
EnelestedeEstadosUnidosesválidalasiguientefórmula,lacualrelacionalamagnitudRdelsismoconeláreaquelorodeaA(enmillascuadradas,queesafectadaporeltemblor):
R=2.3log(A+34000)–7.5
ResolverlaparaAentérminosdeR.
R=2.3log(A+34000)–7.5
Despejandoellogaritmo:R AR A
+ = +( )+ = +( )
7 5 2 3 340007 5
2 534000
. ..
.
log
log
170 UNIDAD IV
Porladefinicióndelogaritmodebase10:
10 10
10 34000
752 3 34000
752 3
RA
R
A
++( )
+
=
= +
.
.
log
DespejandoA:
AR
= −+
10 340007 5
2 3..
Usarlaspropiedadesdeloslogaritmosparareescribirlasiguienteexpresióncomoellogaritmodeunasolacantidad.
log log log5 5 522 1
24x x x+( ) − + −( )
Solución.Loanteriortambiénlopodemosescribircomo:
log log log
log
log
5 5
12
52
5 5
12 2
5
2 4
2 4
x x x
x x x
x
+( ) − + −( ) =
+( ) − −( ) =log
++
−( )=
+
+( ) −( )=
−( )
2
4
2
2 21
2
12 2
5 12
5 12
x x
x
x x x
x x
log
log
Nótesequenohaypropiedadparaexpresarloga(A+B)ologa(A–B)entérminosdelogarit-mosmássimples.Porlotanto:
log log loga a aA B A B+( ) ≠ + ylog log loga a aA B A B−( ) ≠ −
Hacerusodelacalculadoraparaaproximar:
1. logx=100 2. Inx=1.683. log99=x 4. In55=x
Simplificarlassiguientesexpresiones:
5. log 3 32x
6. Ine 3
7. 10 10 4log
171FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Despejarxenlasiguienteecuación:
8. log2x–log2(x–4)=6
Expresarentérminosdeunlogaritmolassiguientesexpresiones:
9. 12
2 1 232
3 3log log logx x x x+ + − +( )
10. 214
2 5 42 2 22log log logx x x+ − − −( ) ( )
11. log log logxy
y xy2
34 6+ −
Cambio de base
Enocasionesesnecesariocambiarlabasedeunlogaritmoexpresadologbxentérminosdelogaxpararesolverunproblema.Parahacerestecambio,seutilizanlasfórmulas:
i) log logloga
b
b
x xa
=
ii) logloga
x
xa
= 1
Donde: • aeslabasealaquesequierellegar. • beslabasequesetiene. • xeselnúmerodelcualseobtendráellogaritmo.
Teniendolog216=4,calcularlog416.
Solución:a=4(basealaquesequierellegar) b=2(baseoriginal) x=16
Aplicandolafórmula:log loglog4
2
2
16 164
42
2= = =
Dadolog381=4,calcularlog981
Solución:a=9 b=3 x=81
Sustituyendoenlafórmula:log loglog9
3
3
81 819
42
2= = =
172 UNIDAD IV
4.3 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS
Cuandolasvariablesseencuentrancomoexponenteso logaritmosenunaecuación,aestasecuacionesselesllamaexponencialesologarítmicas.
Métodos básicos de resolución algebraica
Dadoquelafunciónexponencialylalogarítmicasoninversas,paraeliminarellogaritmoseutilizalaexpresión:
blog3y=yoeIny=y
Lossiguientesejemplosmuestranalgunasdelastécnicaspararesolverlasecuacionesexponen-cialesylogarítmicas.
Resolverlaecuación32x–1=9
Solución:Estaecuaciónlapodemosexpresardelasiguientemanera:32x–1=32
Aplicandolog3, log log32 1
323 3
2 1 22 2 1
32
x
xx
x
− =− =
= +
=
Resolverlasiguienteecuaciónexponencial: 4 832 1 xx −− =
4 8
2 2
2 2
32 4
12
2 32 1
3 12
2 62 1
32
xx
xx
xx
−−
−−
−−
=
=
=
Usandolog2, log log2
2 62 1
2
322 2
2 62 1
32
2 2 6 3 2 14 12 6 34
xx
xx
x xx x
−− =
−−
=
−( ) = −( )− = −
xx xx
x
− = +− =
= −
6 3 122 9
92
173FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Dentrodelasecuacionesexponencialesseincluyenaquellasquesereducenaecuacionesdesegundogradomedianteuncambiodevariable.
Resolverlasiguienteecuaciónexponencial:22x+1–3∙2x+1=0
Solución:Expresarlaecuacióndelaforma:2∙22x–3∙2x+1=0
Hacerelcambio:2x=yentonces,22x=y2
Seobtiene:2y2–3y+1=0
Cuyassolucionesson:y
y
=
=
112
Como2x=y,entonces2 1
2 12
x
x
=
=
xx
==
−
02 2 1
xx
==
−
02 22 2
1log log
xx
== −
01
Resolverlasiguienteecuaciónlogarítmica:log2x+log28x=3
Solución:Estasumadelogaritmoslapodemosrepresentarcomounproducto,estoes:log2x(8x)=3
Aplicandolaexponencial:
2 2
8 888
1
1
1
228 3
2
2
2
log x
x
x
x
x
=
=
= =
=
= ±
entonceslassolucionesson:x=–1,x=1
Despejarxdelaecuaciónlogarítmicalogx=1–log(x–3)
Solución:Eslomismoque:logx+log(x–3)=1
Representandoestasumacomoproducto:
log
log
x x
x x
−( ) =
−( ) =
3 1
3 12
174 UNIDAD IV
Aplicandoexponencialenbase10:
10 10
3 10
3 10 0
2 3 1
2
2
log x x
x x
x x
−( ) =
− =
− − =
Cuyassolucionesson:x=5yx=–2
Resolverlasiguienteecuaciónlogarítmica:Inx=1+In(x+1)
Solución:
Inx In x
In xx
e ex
xe
x e xx ex e
x ex ex
In xx
− +( ) =
+=
=
+=
= +( )= +
− =
+
1 1
11
11
1 1
11
1
−( ) =
=−( )
e e
x ee
Resolverlasiguienteecuaciónlogarítmicalog x + =1 12
4
Solución:
log
log
log
loglog
x
x
x
xx
+( ) =
+( ) =
+( ) =
+( ) =
=+( )
1 12
14
1 12
1 42
1 2
10
14
1 1101 100100 1
2
xx
+ == −
entoncesx=99
175FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
Resolverlassiguientesecuaciones:
1. 4 163
4
x −
= 2. e ex x− += ( )1 2 2
3. 9x–2=33x+1 4. 7 12 3 2x x− + =
5. log(logx)=2 6. logx2=log10x7. log3(x–2)=log36–log31 8. 3log7x=log7279. log2(x+1)=log211+log25 10. log4(x+4)–log48=log4(x+1)–log42
176 UNIDAD IV
NOMBREDELALUMNO: ACIERTOS:
Resolverlasiguientesopadeletrasconlostérminosusadosenlaseccióndefunciónlogarít-mica.
1. Eselexponentealcualsedebeelevarlabaseparaobtenerunnúmerodado.2. Eslainversadelafunciónlogarítmica.3. Eslasoluciónde4. Númerosrealesparaloscualesnoestádefinidoellogaritmo.5. Ellogaritmonoestádefinidoparaestenúmero.6. Esteejeesunaasíntotaverticaldelagráficadelafunciónlogarítmica.7. Sonloslogaritmosdebase10.8. Únicamenteparaestosnúmerossepuedecalcularellogaritmo.9. Eslasoluciónde
P O S I T I V O S S AF A N U B T U R O P ÑA D E Ñ Y C U E J A IE X P O N E N C I A LE F R Y E S O O P R KS E L O G A R I T M OA S E R A R T U M A GE E G U T O Y P S T BF W E T I U E H E S RI F U A V R A N G O ES E T C O M U N E S UD A M A S C E F I L I
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