Funciones exponencial y logarítmicabrd.unid.edu.mx/.../funciones_exponenciales2.pdf · FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 155 3. La gráfica de cualquier función exponencial pasa

Funciones exponencialy logarítmica

El estudiante:

• Resolverá problemas confunciones exponencialesy logarítmicas, teóricos oprácticos,utilizandosure-lación como funciones in-versas y sus propiedadesalgebraicas,enunambien-teescolarquefavorezca lareflexión sobre la utilidadde estos conocimientos yel desarrollo de actitudesderesponsabilidad,coope-ración, iniciativa y colabo-raciónhaciaelentornoenelquesedesenvuelve.

INTRODUCCIÓN

Supongamosquenecesitassubirunaescaleracon65escalonesparaencon-trartecon tu familia,pero laspersonasque la subendebencolaborar conlosdamnificadosenlas inundaciones,detalmaneraquealsubirelprimerescalóndebenaportarungranodearroz.Enelsegundoescalónseduplicalacantidad,yasísucesivamentehastallegaralescalón65.¿Creesquepodríasreunirlacantidaddearroznecesariaparasubirlaescalera?Problemascomoelanteriorsepresentandíaadíaendiversasramasdelquehacerhumano.Enestaunidaddaremossoluciónaejemplosdeproblemascomoéste.Tedaráscuentacómolafunciónexponencialylogarítmicatienetantasaplicacionesenlavidadiaria.

Competencia genérica a desarrollar:Escucha,interpretayemitemensajespertinentesendistintoscontextosatravésdelautilizacióndemedios,códigosyherramientasapropiados.Expresaideasyconceptosmedianterepresenta-cioneslingüísticas,matemáticasográficas.

Competencias disciplinares a desarrollar:• Analizalasrelacionesentredosomásvaria-

blesdeunprocesosocialonaturalparadeter-minaroestimarsucomportamiento.

• Cuantifica,representaycontrastaexperimen-talomatemáticamentemagnitudesdelespa-cioquelorodea.

• Interpretatablas,gráficas,mapas,diagramasytextosconsímbolosmatemáticosycientíficos.

151FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

NOMBREDELALUMNO:

GRUPO: NÚMERODELISTA: ACIERTOS:

I. Contestabrevementeloquesetepide.

1. ¿Quéesunafunciónexponencial?

2. ¿Cuáleseldominioyrangodelafunciónexponencial?

3. ¿Cuálelvaloraproximadodee?

4. ¿Quéesunafunciónexponencialnatural?

5. ¿Quéesunlogaritmo?

6. ¿Cuáleseldominioyrangodelafunciónlogarítmica?

II. Resuelvelassiguientesecuacionesexponenciales:

a) log10x–log103=232x-1=9

b) ex-1=e2(x+1)

III. Resuelvelassiguientesecuacioneslogarítmicas: a) log10x=log105 b) log10x-log103=2

152 UNIDAD IV

Unapersonamuydevotaenvióunaoraciónporcorreoelectrónico,rogandoaDiosporlapazenelmundo,acincodesusamistades,pidiéndolesquelaenviaranaotrascincopersonas,yasísucesivamentehastaformarunacadenadeoraciones.

1. Cuandolacadenacompletó10envíos,¿cuántaspersonasrezaban?2. ¿Ycuandocompletó15?3. Silacadenacompletanenvíos,¿cuántaspersonasrezan?4. Realizaunagráficadondeilustreslafunciónresultante.

4.1 FUNCIÓN EXPONENCIAL

Dentrodelasfuncionestrascendentesseencuentranlasfuncionesexponencialesylaslogarít-micas,lascualessoninversasentresí.

Lasfuncionesexponencialesylogarítmicassonútilesencasitodosloscamposdelquehacerhumano,enespeciallaquímica,laingenieríaylafísicaparadescribirlaformaenquevaríanlascantidades.

4.1.1 Concepto de función exponencial

Notación

Recordarásqueencursosanterioressehanmanejadoexpresionesalgebraicascontérminosdeltipoxn,dondexesunavariablellamadabaseynesunaconstantellamadaexponente.Ahoraintercambiaremoslospapeles,esdecir,labaseeslaconstanteylavariableelexponente,obte-niendounaexpresióndelaformaax,alacualselellamafunciónexponencial.

Unafunciónexponencialdebaseaesdelaformaf(x)=ax,dondexescualquiernúmerorealy

a>0,a≠1.

f xx

( ) =

32

, f xx

( ) = ( )1

22, f x x( ) = − −4 2

Lasfuncionesexponencialescumplenconlaspropiedadesdelosexponentes.

John Napier o John Ne-per (1550-1617), matemá-ticonacidoenMerchiston,Escocia. Es conocido porintroducir el primer siste-ma de logaritmos, descri-to en Mirifici logarithmorum canonis descriptio (1614).Loslogaritmos comunes y na-turales usados actualmenteno emplean lamismabaseque los logaritmos deNa-pier,aunqueaestosúltimosselesllamaenocasioneslo-garitmos neperianos. Loslogaritmos de Napier sim-plifican la multiplicación,divisiónyotrasoperacionesaritméticas.

153FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Propiedades de las funciones exponenciales

Seannúmerospositivosyx,y∈R,entonces:

1. a0=12. ax ay=ax +y

3. aa

ax

yx y= −

4. (ax)y = axy

5. (ab)x=ax ax

6. ab

ab

x x

x

= , b≠0

Representardeunamaneradistintalassiguientesecuacionesconayudadelaspropiedadesdelafunciónexponencial.

y=24x23x

Solución:como 24x=22x22x

y 23x=2x22x

Entoncesy x x x x

x x

= ( )( )=

2 2 2 2

2 6

2 2 2

6

Despejarxdelasiguienteecuación:9x-2=33x

Solución.Laigualdadanteriortambiénseescribecomo:

3 32 4 3

2 2 3x x

x x

−( ) =− =

.Así,

Despejandoxquedaría:3 2 4

4x x

x− = −

= −

Dominio y rango

Deacuerdoconladefinicióndelafunciónexponencial,labaseadebeserpositivaydiferentede1,porloquealelevarlaacualquierexponentereal,seobtieneunnúmeropositivo.

Fue René Descartes quienideólayuxtaposiciónadhe-sivaparalanotacióndelaspotencias. Introdujo lano-taciónx,x2,x3,x4,etc.,paraexpresar laprimera,segun-da,tercerapotenciasdex.

Desdeelsigloxiv, losma-temáticoshanusadounsis-tema con exponentes; sinembargo, el conceptomo-dernosealcanzóhastaquelo formuló de René Des-cartesenelsigloXVII.

154 UNIDAD IV

Noseconsideranegativaa,porqueexistenfuncionesdelaformaf(x)=(-2)1/2quenotienensentidoenlosreales.Elqueseadiferentede1sedebeaquealreemplazarlabasepor“1”,lafunciónconstantesetransformaenf(x)=ax=1x=1

Eldominiodelafunciónexponencialeselconjuntodelosnúmerosrealesysurangoeselconjuntodelosrealespositivos.

Crecimiento y decaimiento exponencial

Lasgráficasde las funcionesexponencialessonunacurvasuavesinsaltos, todas intersecanalejeYenelpunto(0,1)ypasanporelpunto(1,a);paravaloresdexnegativos,lacurvaseaproximaalejeX.

Graficarlasfuncionesf(x)=2xy f xx

( ) =

12

Solución:Nosauxiliaremosdelatablaparaobtenerlosvaloresdelasfunciones.

x –3 –2 –1 0 1 2 3 42x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 162–x 8 4 2 1 1/2 1/4 1/8 1/16

Observamosquelagráficadef(x)=2xescrecienteylagráficadef(x)=2-xdecreciente.Ambastienencomodominiolosnúmerosrealesycomorangolosnúmerosrealespositivos.

Podemosconcluirquelasgráficasdelasfuncionesexponencialessonunacurvacontinuasuavesinbrincososaltos.Generalizandolaspropiedadesdelasfuncionesexponencialestenemos:

1. Lasfuncionesexponencialesexistenparatodoa>0ya≠1,condominioenelconjuntodelosnúmerosreales.

2. Elrangosontodoslosnúmerosrealespositivos,yaquelagráficanuncatocaocortaalejeX.

155FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

3. Lagráficadecualquierfunciónexponencialpasaporelpunto(0,1).4. Paratodafunciónexponencial,elejeXesunaasíntotadelafunción,esdecir,lafunción

tomavalorescadavezmáscercanosalejeXsintocarlo.5. Lafunciónescrecienteparaa>0.6. Lafunciónesdecrecientepara0<a<1.

Gráficamenteserepresentacomo:

Trazarlasgráficasdefygenunmismoplanocoordenado.

f(x)=4x, g xx

( ) =

14

Solución:Lasiguientetablamuestralascoordenadasdealgunospuntosdelasgráficas:

x –2 –1 0 1 2 34x 1/16≈ 0.06 1/4≈0.25 1 4 16 64

14( )x

16 4 1 1/4≈ 0.25 1/16≈0.06 1/64≈ 0.02

Losdominiosdeambasgráficas son losnúmeros

reales y su rango los realespositivos; f(x)=4x es

una funcióncreciente,mientrasque g xx

( ) =

14

esunafuncióndecreciente.Paraambasfunciones,

elejeXesunaasíntotahorizontal;fygsonfuncio-

nessimétricasrespectoalejeY.

156 UNIDAD IV

Muchasentidadesfísicasserepresentanpormediodefuncionesexponenciales;entreéstassecuentanelcrecimientobacteriano,elcrecimientodeunapoblación,elinteréscompuesto.Exis-tenotrascantidadesquedecrecenexponencialmente;paraestoscasos,labaseadelafunciónexponencialestáentre0y1.

Unejemploesladesintegracióndeunasustanciaradiactiva.Elisótoporadiactivo210Bitieneunasemivida(o“vidamedia”)de5días,esdecir,elnúmerodepartículasradiactivassereduciráalamitaddelnúmerooriginalen5días.Siexisten100mg.de210Bienuninicio,t=0,entonceslacantidades:

f(t)=100(2)-t/5

¿Quécantidadrestadespuésde5días?,¿despuésde10días?,¿despuésde12.5días?

Solución:

En t=0 f(0)=100(2)–0/5=100(1)=100mg

t =5 f(5)=100(2)–5/5=100(2)–11002=50mg

t=10 f(10)=100(2)–10/5=100(2)–2=1004=25mg

t=12.5 f(12.5)=100(2)–12.5/5=100(2)–2.5=10022 5.

=17.68mg

Gráficamente:Pudimosobservarquela“vidamedia”delisótopora-diactivo210Biesunafunciónexponencialdecreciente.

Representargráficamentelassiguientesfuncioneseidenti-ficarcuáleseldominioyrangoparacadaunadeellas.

1. f(x)=10x 2. f(x)=32x

3. f(x)=3–x 4. f(x)=2│x│

5. f(x)=4x –3 6. f xx

( )

=−5

2

7. f xx

( )

=15

8. f(x)=8x–3

9. f xx

( )

=23

10. f(x)=5–3x

157FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Encontrarelvalordexparalassiguientesecuaciones:

11. 2•4x=83x+1

12. 3•92x=3x+1

13. 63x+4=6x+2

14. 34x=9x+7

15. ax–3=a4x+4

4.1.2 Variación exponencial

Valores de x y razones constantes de la función

Tracemoslasgráficasdelassiguientesfuncionesf(x)=x,f(x)=x2,f(x)=2x2

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4f(x) = x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4f(x)=x2 16 9 4 1 0 1 4 9 16f(x)=2x 0.03125 0.0625 0.125 0.50 1 2 4 8 16

La variación exponenciales mayor que la variaciónlinealylacuadrática,yaquesugráficacrececonmayorrapidezquelasotras.

Consideremos las funcio-nes f(x)=3x+1 y f(x)=3–x – 2 y elaboremos susgráficas.

Puede observarse que hubo uncorrimiento de las gráficas de lasfuncionessobreelejeY,esdecir,un desplazamiento vertical, tal ycomoseexpusoenlaunidadi.

Obtención de la expresión algebraica correspondiente

Comoyasehamencionado,lafunciónexponencialtienenumerosasaplicacionesdeestudio:enlainvestigacióndelanaturaleza,elcrecimientodepoblaciones,paradescribirfenómenoseconómicos,ladesintegraciónradiactiva,etcétera.

158 UNIDAD IV

Veamosunejemploenelcualsemuestralamaneradeobtenerlaexpresiónexponencialco-rrespondiente.

Uncultivodebacteriasseduplicacadahora.Siinicialmentesecuentacon30bacterias,¿cuántasbacteriashayaltiempox?

Solución:Sabemosqueinicialmentesecuentacon30bacterias,esdecir:

x0=30

Así:x(0)=x0

Despuésdeunahorahabrá:2x0=2(30)

Despuésdeotrahora:4x0=4(30)

Esdecir:f x

f x

f x

f

0 2 30 1 30

1 2 30 2 60

2 2 30 4 120

4

00

01

02

( ) = = ( ) =

( ) = = ( ) =

( ) = = ( ) =

( )) = = ( ) =x 042 30 16 480

Parauntiempoxcualquiera:f x x( ) = ( )30 2

Esdecir,f(x)=x02

x,lacualesunafunciónexponencialconbase2.

Engeneral,unafuncióndelaformaf(x)=x02kxesunafunciónexponencialconbaseayexpo-

nentekx,dondekdependedelfenómenoestudiado.

Tasa y factor de crecimiento

Elfactordecrecimientoeselfactorconstanteporelquesemultiplicacadavalorenunpatróndecrecimientoexponencialyconelcualseobtieneelsiguientevalor;eslabaseenlaecuacióndecrecimientoexponencial.Paraelcasoanteriordelcultivodebacterias,el factordecreci-mientoes2.

La escala de Richter midelaenergíadeuntemblorensucentro,ofoco,ylainten-sidad crece de forma ex-ponencialdeunnúmeroalsiguiente.

159FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Latasadecrecimientoesunexponentequeporlogeneralseexpresacomounaporcióndelapoblación(unporcentajeenformadecimal).

EnunapreparatoriasecompróequipodecómputoparaellaboratoriodeInformática.Antesdelacompra,seconsideróqueelequipotendríaunavidaútilde5años;sinembargo,sesabequecualquierequiposufreunadevaluaciónapartirdesucompra.Elequipocostó$55,000.¿Cuálessuvalordespuésde5años?

Ladevaluacióntieneunarelacióndec(t)=Be-0.25tdondeBesconstante.

Solución:Cuandot=0secompróelequipo;así,

c Be

c t Be

0 0 25 0

0

( ) =

( ) =

− ( ).

Elpreciofuede$55,000ye0=155 000

55 000 0 25

,

, .

=

( ) = −

B

c t e t

,entonces

Alos5años,ladevaluacióndelequiposerá:

c e

c e

c

5 55 000

5 55 000

5 15 757 76

0 25 5

1 25

( ) =

( ) =

( ) =

− ( )

−

,

,

, .

.

.

Porlotanto,alos5añosdecomprarelequipoen$55,000,valdrátansólo$15,757.76debidoasudevaluación.

1. En1980,lapoblaciónestimadadeciertopaíserade651millones,yhaestadocreciendoaunatasadealrededordel25%anual.LapoblaciónN(t),tañosmástardeseaproximaconN(t)=651e0.02t

Calcularlapoblacióndeestepaísenelaño2000,suponiendoqueestatasaaltadecrecimientocontinúa.

2. Ciertos laboratoriosmédicosdeterminanqueelnúmerode algunoscultivosdebacterias estádadoporlaexpresiónN(t)=Be0.08t,testádadaenminutos.

¿Cuántasbacteriashabráendoshoras,siinicialmenteexisten2,500?

3. Unalavanderíacomprauncentrodelavadoen$10,500,elcualsufreunadepreciaciónde25%anual.¿Cuálserásuvalorendosaños?

SuponerqueladepreciaciónserepresentaconD(t)=Be-0.25t

160 UNIDAD IV

4.1.3 El número e

Caracterización e importancia

Hemosestudiadolafunciónexponencialutilizandounabaseacualquiera,ahoraelegimosunabaseirracional,alacualdenotamoscomoe.

Eldescubrimientode la constante se acredita a JacobBernoulli, quien intentó encontrar la

aproximacióndelosdecimalesdeestenúmeroconlaexpresión 1 1+

n

n

;así,tomandounnú-

meron(natural)suficientementegrande:

N 11

+

n

n

1 2.00000010 2.5937425100 2.70481381,000 2.716923810,000 2.7181459100,000 2.71825461,000,000 2.7182818

Conformenaumenta 1 1+

n

n

acercacadavezmásaunnúmero irracionaldenotadopor e.

Asignamosaelasiguienteaproximación,e≈2.71828.

Alafecha,seconocen100,000,000,000dedígitosdeegraciasaldesempeñodelascomputado-ras,asícomotambiénalosalgoritmosutilizados.

Elnúmeroesurgeenlainvestigacióndefenómenosfísicos;esunadelasfuncionesmásimpor-tantesenlasmatemáticasavanzadasyendiferentesaplicaciones.

Función exponencial natural

Cuandoelnúmeroeesutilizadocomobase,seledaelnombredebasenatural.Así,lafunciónfdefinidaporf(x)=exsedenominafunciónexponencialnatural.Estafuncióncumpletambiénconlaspropiedadesdelosexponentes.

Tracemoslagráficadelafunciónexponencialnatural:

161FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Como2<e<3,lagráficadey=exestáentrelasgráficasdey=2xyy=3x

Eldominiodelafuncióny=exsontodoslosnúmerosrealesyelrangolosrealespositivos.

Encontrarlasraícesocerosdefsif(x)=3xe–2x–3x2e–2x

Solución:Factorizando,obtenemos:f(x)=3xe–2x(1–x)

Paraencontrarloscerosdefhacemosf(x)=0

Puestoquee–2x>0paratodox,entoncesf(x)=0siysólosix=0o1–x=0,x=1,esdecir,lasraícesdefson0y1.

Encontrarelvalordexenlasiguienteecuaciónexponencial:e6x–2=ex+4

Solución:Dadoqueenambosmiembrossetienelamismabase,laanteriorigualdadlapode-mosescribirdelasiguientemanera:

6 2 45 6

65

x xx

x

− = +=

=

Engeometría,elnúmero ees necesario para describircurvas como la catenaria–lasupuesta formadeunacuerda o cadena suspendi-daporsusextremos–.

162 UNIDAD IV

Teniendoencuentaquelafunciónexponencialnaturalcumpletambiénconlaspropiedadesdelosex-ponentes,encontrarelvalordexenlassiguientesecuacionesexponenciales.

1. ex+1=ex–1 2. e•ex=e3x–1

3. e2x•e2=e•e5x–2 4. ex=(ex+1)2

5. ex–5=e2x•ex–3

Reúneteenequiposdecuatropersonasyrealizalassiguientesactividades.

I. Discutecontuscompañerossobreloquesucedesialafunciónexponencialselecambiaelex-ponente“x”porlossiguientesvaloresyrepresentarlográficamente.

a) “x+1”,“x-1”,“x+3”,“x–3”. b) “2x”,“4x”,etc.

II. Resuelvelasiguientesopadeletrasconlostérminosempleadosenlaseccióndefunciónexponencial. 1. Conjuntodeimágenesdelafunciónexponencial. 2. Eslafunciónexponencialqueutilizaelnúmeroecomobase. 3. Deacuerdoconlafunciónexponencial,éstadebeserpositivaydiferentede1. 4. Paraunafunciónexponencial,éstasiemprepasaporelpunto(0,1). 5. ¿Cómoeslagráficadelafunciónexponencialcuando? 6. ¿Cómoeslagráficadelafunciónexponencialcuando? 7. Númerosquenosonconsideradosparaquelabasetomesusvalores. 8. Ejequeesasíntotadelafunciónexponencial. 9. Eselconjuntodeargumentosdelafunciónexponencial.

AActividad

D O M I N G O Y X C H P D AA U T J R A C T V R I O O LD P E A G R N G U E R O M GO R I G E B Ñ K H C E U I OZ A R A G O B G L I E X N DQ N A T U R A L U E Q U I EP I N T E E S J U N U S O AY G G O O N E G A T I V O SQ U O E T O G R T E S A E RU F I N T O O A Y E F N U EE S E H M B R F I I N G I GE D E C R E C I E N T E Y HU Y C Q U T Y C Y U E S A KE C E S A T I A O O P D N O

163FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

4.2 FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Elmétododeloslogaritmosfuepropuestoen1614porJohnNapier.Graciasaestemétodo,potenteinstrumentodelcálculo,NewtonyKeplerestablecieronsusleyes,loquecontribuyóalavancedelaciencia,enespecialdelaastronomía.

4.2.1 Concepto de función logarítmica

Sif(x)=axya>1,entoncesfescrecienteenlosnúmerosreales,si0<a<1,fesdecreciente.

Esdecir,sia>0ya≠1,entoncesfesbiunívocayporlotantotienefuncióninversaf–1.Lainversadelafunciónexponencialselellamafunciónlogarítmica.

Elconceptodelogaritmoseabordarácomoellogaritmodeunnúmeroycomolainversadelafunciónexponencial.

Logaritmo de un número

Ellogaritmodeunnúmeroxenbasea,eselexponentealcualsedebeelevarlabaseaparaserigualax.Esdecir:

loga x=y(selee“logaritmoenbaseadex).

Calcularlossiguienteslogaritmos.

1. log28

Solución:eslomismoquepreguntarnosaquéexponentesedebeelevarel2paraobtener8,entonces: log28=3,yaque2

3=8

2. log101000

Solución:¿aquépotenciadebemoselevarel10paraobtener1000? log101000=3,yaque10

3=1000

1. log51= 2. log381=3. log749= 4. 10 10 2log =

5. log8

164

= 6. log100.001=

164 UNIDAD IV

7. log7343= 8. Si2x=16,entoncesx=log216=49. Si3x=243,entoncesx= 10. Si10x=0.1,entoncesx=

La función logarítmica como inversa de la función exponencial

Consideremoselproblemadeencontrarxenlarelación

14=2x

Enestecaso,xestáentre3y4yaque23=8y24=16.Elvalordexdebeobtenerseporunaaproximación.Pararesolverproblemasdeestetiposeconsideralafuncióninversadelaexpo-nencialy=ax

Yavimosqueunlogaritmoesunexponente,esdecir,eselexponentealcualsedebeelevarlabaseparaobtenerunnúmero.Deestamanera,obtenemoslasiguientedefinición:

Paraa>0ya≠1,tenemosque:x=logayesequivalenteay=ax

Esdecir:

siy=ax,entoncesx=logay

Siy=logax,entoncesx=ay

Seconcluyequelafunciónlogarítmicaf(x)=logaxeslainversadelaexponencialg(x)=ax,

porquef(g(x)=xyg(f(x))=x

Seanf(x)=10x yg(x)=log10x,verificarsiéstassonfuncionesinversas.

Solución:Tomemoslaprimerafunciónf(x)=10xydémoslevaloresax.

x –1 0 1

f(x) 101

100 11− = = . 100=1 101=10

Tomemosahoralasimágenesdefcomoargumentosdegyevaluemos.

x 0.1 1 10g(x) log100.1=–1 log101=0 log1010=1

165FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Observemosquealtomarunvalordexenf,suimagenasociadaesf(x)yalevaluarestaimagenenellogaritmosellegaalmismonúmeroinicial.Estoindicaquef(x)=10xyg(x)=log10xsonfuncionesinversas.

Expresarxentérminosdey.

1. y=5x

Solución:log5y=log55x=x

Porlotanto:x=log5y

2. y=log3(x–4) Solución:3y=3log3

(x–4)=x–4 Porlotanto:x=3y+4

Expresarxentérminosdey.

1. y=2x+1 2. y=3x2

3. y=104x–3 4. y=log7(3x+5)5. y=e2(x–5) 6. y=log2(8x–1)7. y=24x+1 8. y=23x24x

9. y=log3(6x+1) 10. y=log5x2

Gráfica de la función logarítmica

Puestoquelafunciónlogarítmicalogaeslainversadelafunciónexponencialdebasea,sugrá-ficasepuedeobtenerreflejandolagráficadey=axconrespectoalarectay=x

Todafunciónlogarítmicaesunacurvasuavesinbrincososaltosparatodoslosvalorespositi-vosdex.

166 UNIDAD IV

Delagráficaseobtiene:sia>0,lafunciónfescrecienteentodosudominio.Sif0<a<1,lafunciónfesdecreciente.

Dominio y rango

Teniendoencuentalagráficadelafunciónlogarítmica,tantoparaa>1y0<a<1sededucelosiguiente:

• Eldominiodelafuncióneselconjuntodelosnúmerosrealespositivos,esdecir,sólotienen logaritmoreal losnúmerospositivos.Para losnúmerosnegativos,éstenoestádefinido.

• LagráficadelafunciónlogarítmicaintersectaalejeXenelpunto(1,0),esdecir,loga1=0. • Ellogaritmodeceronoestádefinido. • ElejeYesunaasíntotaverticalparalafunción. • Elrangosonlosnúmerosreales.

Graficarlafunciónlogarítmicaf(x)=logx

Solución:

x f(x)0.01 –20.1 –11 05 0.698910 1100 2

Eldominiodelafunciónsontodoslosrealespositivos;elrangosontodoslosnúmerosreales.ElejeYesunaasíntotavertical.Amedidaquexcrece,suimagentambiéncrece,esdecir,setratadeunafuncióncrecienteyseintersecaconelejeXenelpunto(1,0).

167FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Construirlagráficadelassiguientesfuncioneslogarítmicas.

1. f(x)=log2x 2. f(x)=log2(x+3)

3. f(x)=3log3x 4. f xx

( )

= log21

5. f(x)=log5(x–1) 6. f(x)=log2x2

4.2.2 Logaritmos comunes y naturales

Antesdequeseinventaranlascalculadoras,seempleabanlogaritmosdebase10pararealizaroperacionescomplejasconnúmerosreales.Estabaseeralamásadecuadaparalautilizacióndenúmerosdecimales.

Definición y propiedades

Loslogaritmosdebase10sonllamadoslogaritmoscomunes.

Sealog10xellogaritmoenbase10dex,detalmaneraque

logx=log10xparatodax>0

Anteriormentesedefiniólafunciónexponencialnaturalcomo f(x)=ex.Alainversadeestafunciónselellamafunciónlogaritmonaturaloneperiano,esdecir,logex

Inx=logex,paratodox>0

Así, Inex=x=eInx Ine=1 In1=0

Deducimosentoncesqueellogaritmosecalculasóloparanúmerospositivos.

Laspropiedadesbásicasdeloslogaritmos–tantocomunescomonaturales–sondegranutili-dadpararesolverecuacioneslogarítmicas.

Propiedades de los logaritmos

1. y=logax siysólosi x=a y

2. a xaxlog = paratodo x>0

168 UNIDAD IV

3. logaax=x

4. loga1=05. loga a=16. loga AB=loga A+loga B

7. log log loga a aAB

A B

= −

8. loga An=nloga A

9. In(AB)=InA+InB

10. In AB

InA InB

= −

11. InAn=nInA

Operaciones con logaritmos

Calcularlassiguientesexpresionesconsiderandoquelog4=0.6021ylog5=0.6990

a) log 45 b) log 5 c)

loglog

45

Solución:

a) log log log45

0 6021 0 6990 0 09694 5= − = − = −. . .

b) log log log5 5 12

12

0 6990 0 34951

2 5= = = ( ) =. .

c) No existe ninguna propiedad para simplificarloglog

45, entonces dividimos; esto es:

loglog

45

0 60210 6990

0 8614= =..

.

Notarladiferenciaentreelincisoa)yelc).

Hacerusodelacalculadoraparaaproximarlossiguienteslogaritmos:

a) log59 b) In59 c) logx=1.4046 d) Inx=4.5

169FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Solución:

a) log59≈1.7709 b) In59≈ 4.0775 c) Oprimir:INVlog Ingresar:1.4046 Oprimir:4.0739 d) Oprimir:INVIn Ingresar:4.5 Oprimir:=90.0171

LaLeydeNewtonparaelenfriamientoestablecequelarapidezconlaqueunobjetoseenfríaesdirectamenteproporcionalaladiferenciadetemperaturaentreelobjetoysumediocircun-dante.Esta ley seutilizaparademostrarqueenciertascondiciones la temperaturaTdeunobjetoenuntiempotestádadaporT=75e–2t.ExpresatcomofuncióndeT.

Solución.Despejandoe–2tdelaecuaciónseobtiene:T e

e T

t

t

=

=

−

−

75

75

2

2

Usandologaritmosnaturalesseobtiene:

log loget

ee T

t In T

− =

− =

2

75

275

Así,t In T= − 12 75

ot InT In= − −[ ]12

75

EnelestedeEstadosUnidosesválidalasiguientefórmula,lacualrelacionalamagnitudRdelsismoconeláreaquelorodeaA(enmillascuadradas,queesafectadaporeltemblor):

R=2.3log(A+34000)–7.5

ResolverlaparaAentérminosdeR.

R=2.3log(A+34000)–7.5

Despejandoellogaritmo:R AR A

+ = +( )+ = +( )

7 5 2 3 340007 5

2 534000

. ..

.

log

log

170 UNIDAD IV

Porladefinicióndelogaritmodebase10:

10 10

10 34000

752 3 34000

752 3

RA

R

A

++( )

+

=

= +

.

.

log

DespejandoA:

AR

= −+

10 340007 5

2 3..

Usarlaspropiedadesdeloslogaritmosparareescribirlasiguienteexpresióncomoellogaritmodeunasolacantidad.

log log log5 5 522 1

24x x x+( ) − + −( )

Solución.Loanteriortambiénlopodemosescribircomo:

log log log

log

log

5 5

12

52

5 5

12 2

5

2 4

2 4

x x x

x x x

x

+( ) − + −( ) =

+( ) − −( ) =log

++

−( )=

+

+( ) −( )=

−( )

2

4

2

2 21

2

12 2

5 12

5 12

x x

x

x x x

x x

log

log

Nótesequenohaypropiedadparaexpresarloga(A+B)ologa(A–B)entérminosdelogarit-mosmássimples.Porlotanto:

log log loga a aA B A B+( ) ≠ + ylog log loga a aA B A B−( ) ≠ −

Hacerusodelacalculadoraparaaproximar:

1. logx=100 2. Inx=1.683. log99=x 4. In55=x

Simplificarlassiguientesexpresiones:

5. log 3 32x

6. Ine 3

7. 10 10 4log

171FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Despejarxenlasiguienteecuación:

8. log2x–log2(x–4)=6

Expresarentérminosdeunlogaritmolassiguientesexpresiones:

9. 12

2 1 232

3 3log log logx x x x+ + − +( )

10. 214

2 5 42 2 22log log logx x x+ − − −( ) ( )

11. log log logxy

y xy2

34 6+ −

Cambio de base

Enocasionesesnecesariocambiarlabasedeunlogaritmoexpresadologbxentérminosdelogaxpararesolverunproblema.Parahacerestecambio,seutilizanlasfórmulas:

i) log logloga

b

b

x xa

=

ii) logloga

x

xa

= 1

Donde: • aeslabasealaquesequierellegar. • beslabasequesetiene. • xeselnúmerodelcualseobtendráellogaritmo.

Teniendolog216=4,calcularlog416.

Solución:a=4(basealaquesequierellegar) b=2(baseoriginal) x=16

Aplicandolafórmula:log loglog4

2

2

16 164

42

2= = =

Dadolog381=4,calcularlog981

Solución:a=9 b=3 x=81

Sustituyendoenlafórmula:log loglog9

3

3

81 819

42

2= = =

172 UNIDAD IV

4.3 ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

Cuandolasvariablesseencuentrancomoexponenteso logaritmosenunaecuación,aestasecuacionesselesllamaexponencialesologarítmicas.

Métodos básicos de resolución algebraica

Dadoquelafunciónexponencialylalogarítmicasoninversas,paraeliminarellogaritmoseutilizalaexpresión:

blog3y=yoeIny=y

Lossiguientesejemplosmuestranalgunasdelastécnicaspararesolverlasecuacionesexponen-cialesylogarítmicas.

Resolverlaecuación32x–1=9

Solución:Estaecuaciónlapodemosexpresardelasiguientemanera:32x–1=32

Aplicandolog3, log log32 1

323 3

2 1 22 2 1

32

x

xx

x

− =− =

= +

=

Resolverlasiguienteecuaciónexponencial: 4 832 1 xx −− =

4 8

2 2

2 2

32 4

12

2 32 1

3 12

2 62 1

32

xx

xx

xx

−−

−−

−−

=

=

=

Usandolog2, log log2

2 62 1

2

322 2

2 62 1

32

2 2 6 3 2 14 12 6 34

xx

xx

x xx x

−− =

−−

=

−( ) = −( )− = −

xx xx

x

− = +− =

= −

6 3 122 9

92

173FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Dentrodelasecuacionesexponencialesseincluyenaquellasquesereducenaecuacionesdesegundogradomedianteuncambiodevariable.

Resolverlasiguienteecuaciónexponencial:22x+1–3∙2x+1=0

Solución:Expresarlaecuacióndelaforma:2∙22x–3∙2x+1=0

Hacerelcambio:2x=yentonces,22x=y2

Seobtiene:2y2–3y+1=0

Cuyassolucionesson:y

y

=

=

112

Como2x=y,entonces2 1

2 12

x

x

=

=

xx

==

−

02 2 1

xx

==

−

02 22 2

1log log

xx

== −

01

Resolverlasiguienteecuaciónlogarítmica:log2x+log28x=3

Solución:Estasumadelogaritmoslapodemosrepresentarcomounproducto,estoes:log2x(8x)=3

Aplicandolaexponencial:

2 2

8 888

1

1

1

228 3

2

2

2

log x

x

x

x

x

=

=

= =

=

= ±

entonceslassolucionesson:x=–1,x=1

Despejarxdelaecuaciónlogarítmicalogx=1–log(x–3)

Solución:Eslomismoque:logx+log(x–3)=1

Representandoestasumacomoproducto:

log

log

x x

x x

−( ) =

−( ) =

3 1

3 12

174 UNIDAD IV

Aplicandoexponencialenbase10:

10 10

3 10

3 10 0

2 3 1

2

2

log x x

x x

x x

−( ) =

− =

− − =

Cuyassolucionesson:x=5yx=–2

Resolverlasiguienteecuaciónlogarítmica:Inx=1+In(x+1)

Solución:

Inx In x

In xx

e ex

xe

x e xx ex e

x ex ex

In xx

− +( ) =

+=

=

+=

= +( )= +

− =

+

1 1

11

11

1 1

11

1

−( ) =

=−( )

e e

x ee

Resolverlasiguienteecuaciónlogarítmicalog x + =1 12

4

Solución:

log

log

log

loglog

x

x

x

xx

+( ) =

+( ) =

+( ) =

+( ) =

=+( )

1 12

14

1 12

1 42

1 2

10

14

1 1101 100100 1

2

xx

+ == −

entoncesx=99

175FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Resolverlassiguientesecuaciones:

1. 4 163

4

x −

= 2. e ex x− += ( )1 2 2

3. 9x–2=33x+1 4. 7 12 3 2x x− + =

5. log(logx)=2 6. logx2=log10x7. log3(x–2)=log36–log31 8. 3log7x=log7279. log2(x+1)=log211+log25 10. log4(x+4)–log48=log4(x+1)–log42

176 UNIDAD IV

NOMBREDELALUMNO: ACIERTOS:

Resolverlasiguientesopadeletrasconlostérminosusadosenlaseccióndefunciónlogarít-mica.

1. Eselexponentealcualsedebeelevarlabaseparaobtenerunnúmerodado.2. Eslainversadelafunciónlogarítmica.3. Eslasoluciónde4. Númerosrealesparaloscualesnoestádefinidoellogaritmo.5. Ellogaritmonoestádefinidoparaestenúmero.6. Esteejeesunaasíntotaverticaldelagráficadelafunciónlogarítmica.7. Sonloslogaritmosdebase10.8. Únicamenteparaestosnúmerossepuedecalcularellogaritmo.9. Eslasoluciónde

P O S I T I V O S S AF A N U B T U R O P ÑA D E Ñ Y C U E J A IE X P O N E N C I A LE F R Y E S O O P R KS E L O G A R I T M OA S E R A R T U M A GE E G U T O Y P S T BF W E T I U E H E S RI F U A V R A N G O ES E T C O M U N E S UD A M A S C E F I L I

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