UNIVERSIDAD NACIONAL FEDERICO VILLARREALFacultad de Ingeniera
Geogrfica, Ambiental y EcoturismoEscuela Profesional de Ingeniera
Ambiental
Tema:Funcin exponencial y logartmica Frmulas bsicas de
integracin. Teoremas
Integrantes:Canchaya Salinas, Dianna BettyCriales Crdova, Arleth
Jossy Huaraca Chvez, Wendy Lizet
Profesor: Mg. Mario L. Pimentel Valverde
Curso: Clculo III
Seccin: M A / B3-1
2014
UNIDAD II: INTEGRACIN DE LAS FUNCIONES TRASCENDENTES
FUNCIN TRASCENDENTEDefinicin.- Es unafuncinque no satisface
unaecuacin polinmicacuyos coeficientes sean a su vezpolinomios;
esto contrasta con lasfunciones algebraicas, las cuales satisfacen
dicha ecuacin.En otras palabras, unafuncin trascendentees una
funcin que trasciende allgebraen el sentido que no puede ser
expresada en trminos de una secuencia finita deoperaciones
algebraicasdesuma,restayextraccin de races. Una funcin de una
variable es trascendente si esindependiente en un sentido
algebraicode dicha variable.FUNCIN EXPONENCIAL Y LOGARTMICA
FUNCIN EXPONENCIALa) Funcin exponencial de base A
positiva.-Sea:
OBSERVACIN.- Del grafico se observa que:
1.
2.
3.
4.
TEOREMA: Derivada de la funcin exponencial natural
i) ii)
INTEGRACIN DE UNA FUNCIN EXPONENCIAL NATURAL
Casos de Integracin de una funcin exponencial
Integracin por partes del producto de polinomio por
exponencialLas funciones exponenciales multiplicadas por una
expresin en x se integran por partes.En este caso elegir como u la
funcin polinomio. Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Integracin por partes del producto de una funcin trigonomtrica
por una exponencialLas funciones exponenciales multiplicadas por la
funcin seno o coseno se integran por partes y las funciones u y dv
se eligen de cualquier forma; as tenemos para nuestro
caso:EJERCICIO (A)
EJERCICIO (B)
EXPONENCIALES EN OTRAS BASESLas funciones estudiadas anterior
mente fuero las funciones exponencial natural y logartmica natural,
las cuales tienes base e. Ahora se tratara funciones exponenciales
con otras bases.Recuerde que si a > 0, entonces:
Definicin de funcin exponencial en base a:Si a es cualquier
nmero real positivo y x es cualquier nmero real entonces la funcin
f definida por:
Se denomina funcin exponencial en base a.La funcin exponencial
de base a satisface las mismas propiedades que la funcin
exponencial natural.CARACTERISTICAS:1)
2)
3) 4)
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Por tanto:
Ejemplo 5:
Por tanto:
Ejemplo 6:
Por tanto:
Ejemplo 7:
FUNCIN LOGARTMICAUna de las funciones ms importantes del anlisis
matemtico es la funcin LOGARITMO NATURAL, denotada por y que se
define en base a la grafica de la curva , para0 solamente, de la
siguiente manera:
CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIN
1. La funcin est definida solamente para 2. De las figuras: si
(rea nula entre 1 y 1) 3. , entonces es positivo 4. Si , entonces
es negativo; como
NOTA: esta funcin tambin se le llama LOGARITMO
NEPERIANO.Derivada de la funcin logartmica naturalEsta es una
tcnica muy eficaz para calcular la derivada de expresiones que
contengan PRODUCTOS, COCIENTES, POTENCIAS y/o RADICALES.
Indicaremos los pases que se siguen mediante un ejemplo; as, si
queremos hallar la derivada de donde;
1. Aplicamos la funcin LOGARITMO NATURAL a ambos miembros,
asumiendo que cada funcin involucrada es positiva, y usamos las
propiedades de logaritmo:
2. Derivamos implcitamente respecto a la variable independiente,
x en este caso. Es decir, aplicamos el operador en ambos miembros y
obtenemos
3. Y por ltimo despejamos pasando el denominador a multiplicar a
todo el 2do miembro.
NOTA: En el caso de tener algn factor que tome valores
negativos, solamente se modifica el 1er PASO tomando LOGARITMO
NATURAL al VALOR ABSOLUTO de ambos miembros. Sin embargo, esto no
altera en nada los dos pasos siguientes debido a la siguiente
propiedad de la derivada:
Este hecho hace que no sea necesario preocuparse por el signo de
cada factor cuando se aplica esta tcnica.
PROPIEDADES DE LA FUNCIN LOGARITMO
Las propiedades de la funcin logaritmo ya se mencionaron con
anterioridad, pero a continuacin se demostrara una propiedad
mediante derivadas.
Propiedad 1:
Para todo tal que y diferenciable
Sea por la regla de la cadena:
Propiedad 2:Si son nmeros positivos, entonces
Propiedad 3:Si , entonces
TEOREMA:Para todo
NOTA: Del teorema I y II se sigue que:
INTEGRACIN DE UNA FUNCIN LOGARTMICA NATURALIntegracin por partes
del producto de polinomio por una funcin logartmicaLa integracin
por partes se aplica cuando el integrado se encuentra el producto
de dos funciones.
Donde son funciones.Ejemplos:
Haciendo integrado por partesEjemplo 1:
Por sustitucin:
Reemplazando x en I:
Aplicando integracin por partes:
Reemplazando t en I:
Ejemplo 2:
Aplicando integracin por partes:
EJERCICIO (A)
EJERCICIO (B)