Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 1
Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /
Electromagnetic Field Theory I (EFT I)
3rd Lecture / 3. Vorlesung
University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer
Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik
(FB 16)Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71Büro: Raum 2113 / 2115
D-34121 Kassel
Dr.-Ing. René [email protected]
http://www.tet.e-technik.uni-kassel.dehttp://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 2
Math: Requirements & Recommendations / Mathe: Voraussetzungen & Empfehlungen
Analysis / Analysis
Vector Analysis / Vektoranalysis
Algebra / Algebra
Differential Geometry / Differentialgeometrie
Differential Equations / Differentialgleichungen
Special Functions / Spezielle Funktionen
Integral Transforms / Integraltransformationen
Prof. Dr. rer. nat. Karl-Jörg Langenberg
Mathematical Foundation of Electromagnetic Field Theory I & II /Mathematische Grundlagen der Elektromagnetischen Feldtheorie I &
II
⇒
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 3
Different Coordinate Systems / Verschiedene Koordinatensysteme
● Cartesian (Rectangular) Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem
● Cylindrical Coordinate System / Zylinderkoordinatensystem
● Spherical Coordinate System / Kugelkoordinatensystem
What is the benefit of the Use of a Problem Matched Coordinate Systems ? /
Was ist der Nutzen der Verwendung eines problemangepasstenKoordinatensystemen ?
(Easier) Solution of the Problem under Concern! / (Einfachere) Lösung des betrachteten Problems?
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 4
Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)
( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( )
x y z
x y zx y z
x y z
R R R
x y z
R R R R R R R
R e R e R e
e e e
Cartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem
Vectorial Vector Components / Vektorielle Vektorkomponenten
( ) ( , , )
( ) ( , , )
( ) ( , , )
xx x x
yy y y
zz z z
R x y z x
R x y z y
R x y z z
R R e e
R R e e
R R e e
Scalar Vector Components / Skalare Vektorkomponenten
( , , )
( , , )
( , , )
x
y
z
R x y z x
R x y z y
R x y z z
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren
, ,
| | | | | | 1
x y z
x y z x y z
e e e
e e e e e e
Coordinates / Koordinaten , , ; , ,x y z x y z
y
z
x
xxe
yye
zzeR
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 5
Field Vector / Feldvektor
Cartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem
x
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale
Einheitsvektoren
, ,
| | | | | | 1
x y z
x y z
x y z
e e e
e e e
e e e
Coordinates / Koordinaten
, ,x y z
= A ( , , ) A ( , , ) A ( , , )
x y z
x y zx y zx y z x y z x y z
A R A R A R A R
e e e
y
z
xxe
yye
zzeR
A R
xe ye
ze
xyz
Limits / Grenzen
Arbitrary Vector Field / Beliebiges Vektorfeld
: Perpendicular / Senkrecht
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 6
Notation and Field Quantities / Notation und Feldgrößen
3
1 2 31
1 2 3
3 Vector Components /3 Vektorkomponenten
, , , ,
= E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )
= E ( , , , )
= E ( , , , )
i i
i i
x y z
x y zx y z
x xi
x x
t t t t
x y z t x y z t x y z t
x x x t
x x x t
E R E R E R E R
e e e
e
e
9 Dyadic Components /9 dyadische Komponenten
, , , ,
, , ,
, , ,
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
+ ( , , , ) (
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
xx xy xzx x x y x z
yx yyy x
t t t t
t t t
t t t
x y z t x y z t x y z t
x y z t x
R R R R
R R R
R R R
e e e e e e
e e
3 3
1 2 31 j 1
1 2 3
, , , ) ( , , , )
+ ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
( , , , )
( , , , )
i j i j
i j i j
yzy y y z
zx zy zzz x z y z z
x x x xi
x x x x
y z t x y z t
x y z t x y z t x y z t
x x x t
x x x t
e e e e
e e e e e e
e e
e e
Vector / Vektor: Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke
Dyad / Dyade: Permittivity Dyad / Permittivitätsdyade
with Einstein’s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention
Einstein‘s Summation Convention: If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von 1 bis 3 summiert.
1 2 3{ , , } { , , }x y z x x x 1 2 3{ , , } { , , }x y z x x xmit mit
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 7
Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)
( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
r z
r zr z
r z
R R R
r z
R R R R R R R
R e R e R e
e e
Cylindrical Coordinate System / Zylinderkoordinatensystem
Vectorial Vector Components / Vektorielle Vektorkomponenten
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
rr r r
zz z z
R r r
R z z
R R e e
R R 0
R R e e
Scalar Vector Components / Skalare Vektorkomponenten
( , , ) ( )
( , , ) 0
( , , )
r r
z z
R r z r
R r z
R r z z
e
e
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren
( ), ( ),
( ) ( ) | ( ) | | ( ) | | | 1
r z
r z r z
e e e
e e e e e e
Coordinates / Koordinaten , , ; 0 , 0 2 ,r z r z
y
z
x
rr e
zzeR
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 8
Field Vector / FeldvektorCylindrical Coordinate
System / Zylinderkoordinatensystem
= A ( , , ) ( , , ) ( , , )
r z
r zr zr z A r z A r z
A R A R A R A R
e e e
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale
Einheitsvektoren
( ), ( ),
( ) ( )
( ) ( ) 1
r z
r z
r z
e e e
e e e
e e e
Coordinates / Koordinaten
, ,r z
y
z
x
rr e
zzeR
A R
( )r e
ze
e
00 2r
z
Limits / Grenzen
Arbitrary Vector Field / Beliebiges Vektorfeld
: Perpendicular / Senkrecht
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 9
Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)
( ) ( ) ( )
= ( ) ( , ) ( ) ( , )
( ) ( )
( , )
R
R R
R
R R
R
R
R R R R R R R
R e R e
R e
e
Spherical Coordinate System / Kugelkoordinatensystem
Vectorial Vector Components / Vektorielle Vektorkomponenten
( ) ( , , ) ( , ) ( , )
( ) ( , , ) ( , )
( ) ( , , ) ( )
RR R RR R R
R R
R R
R R e e
R R e 0
R R e 0
Scalar Vector Components / Skalare Vektorkomponenten ( , , ), ( , , ), ( , , )RR R R R R R
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren
, ,
| | | | | | 1
R
R R
e e e
e e e e e e
Coordinates / Koordinaten , , ; 0 , 0 ;0 2R R
y
z
x
R
,RR e
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 10
Field Vector / Feldvektor
Spherical Coordinate System / Kugelkoordinatensystem
,
= A ( , , ) , ( , , ) , ( , , )
R
R R
t
R A R A R
A R A R A R A R
e e e
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren
, , , ,
, ,
| , | | , | | | 1
R
R
R
e e e
e e e
e e e
Coordinates /
Koordinaten, ,R
y
z
x
R
,RR e
A R
e
,R e
, e
Arbitrary Vector Field / Beliebiges Vektorfeld
Limits /Grenzen
: Perpendicular / Senkrecht
000 2
R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 11
Cartesian Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /
Kartesischen Koordinatensystemen: Koordinatenflächen, Einheitsvektoren, Flächenelemente und Volumenelement
xeye
ze
( , , )P x y z
const.z
const.y
const.x
xzdS
xydS
yzdS
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 12
Cylindrical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /Zylinderkoordinatensystem: Koordinatenflächen,
Einheitsvektoren, Flächenelemente und Volumenelement
r e
( ) eze
const.z
const.
const.r
rzdS
xydS
zdS
d rdr
( , , )P r z
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 13
Spherical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /
Kugelkoordinatensystem: Koordinatenflächen, Einheitsvektoren, Flächenelemente und Volumenelement
const. const.R
, e
( ) e
,R e
rdS
dS
rdS
sin d R
sinR
d R
( , , )P R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 14
Metric Coefficients and Vector Differential Line Elements / Metrische Koeffizienten und vektorielle differentielle Linienelemente
Cartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem
1, 1, 1x y zh h h
Cylindrical Coordinate System / Zylinderkoordinatensystem
Spherical Coordinate System / Kugelkoordinatensystem
1, , 1r zh h r h 1, , sinRh h R h R
d
d
d
d
d
d
d
d
d
r
rr
r
z
zz
z
R
h r
r
R
h
r
R
h z
z
dR s
e
e
dR s
e
e
dR s
e
e
d
d
d
d
d
d
d
d
sin d
R
RR
R
R
h R
R
R
h
R
R
h
R
dR s
e
e
dR s
e
e
dR s
e
e
d
d
d
d
d
d
d
d
d
x
xx
x
y
yy
y
z
zz
z
R
h x
x
R
h y
y
R
h z
z
dR s
e
e
dR s
e
e
dR n
e
e
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 15
Metric Coefficients and Differential Volume and Surface Elements / Metrische Koeffizienten und differentielle Volumen- und Flächenelemente
Cartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem
1, 1, 1x y zh h h
Cylindrical Coordinate System / Zylinderkoordinatensystem
Spherical Coordinate System / Kugelkoordinatensystem
1, , 1r zh h r h 1, , sinRh h R h R
d d d d
d d d
d d d
d
( ) d d
d d
d
( ) d d
d d
d
( ) d d
d d
r z
r z
z
zz
r
rz
r zz r
r
rr
z
V h r h h z
h h h r y
r r z
S
h h z
r y z
S
h h r z
r z
S
h h r
r r
dS n
e ×e
e
dS n
e ×e
e
dS n
e ×e
e
2
2
d d d d
d d d
sin d d d
d
( ) d d
sin d d
d
( ) d d
sin d d
d
( ) d d
d d
R
R
R
r
RR
R
RR
V h Rh h
h h h R
R R
S
h h
R
S
h h R
R R
S
h h R
R R
dS n
e ×e
e
dS n
e ×e
e
dS n
e ×e
e
d d d d
d d d
d d d
d
( ) d d
d d
d
( ) d d
d d
d
( ) d d
d d
x y z
x y z
yz
y zy z
x
xz
x zz x
y
xy
x yx y
z
V h xh y h z
h h h x y z
z x z
S
h h y z
y z
S
h h x z
x z
S
h h x y
x y
dS n
e ×e
e
dS n
e ×e
e
dS n
e ×e
e
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 16
Spherical Coordinates /Kugelkoordinaten
Cylindrical Coordinates /Zylinderkoordinaten
Cartesian Coordinates /Kartesische Koordinaten
x
y
z
cos
sin
r
r
z
sin cos
sin sin
cos
R
R
R
2 2
arctan
x y
y
xz
r
z
sin
cos
R
R
2 2 2
2 2
arctan
arctan
x y z
x y
zy
x
2 2
arctan
r z
r
z
R
Transformation Table / Umrechnungstabelle
z
y
x
R
Coordinates of Different Coordinate Systems /
Koordinaten verschiedenen Koordinatensystemen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 17
cos sin cosx r R
1. Formulate x as a function of the cylinder and spherical coordinates. / Formuliere x als Funktion der Zylinder- und Kugelkoordinaten.
2. Formulate r as a function of the Cartesian and spherical coordinates. / Formuliere r als Funktion der Kartesischen und Kugelkoordinaten.
3. Formulate as a function of the cylinder coordinates. / Formuliere als Funktion der Zylinderkoordinaten.
2 2 sinr x y R
2 2 2 2 2 2
1
( cos ) ( sin ) cos sinx y r r r r
2 2x y2 2x y
Examples / Beispiele
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 18
Cartesian Coordinates /Kartesische Koordinaten
Cylindrical Coordinates /Zylinderkoordinaten
Spherical Coordinates /Kugelkoordinaten
x y zx y zA A A A e e e r zr zA A A A e e e RRA A A A = e e e
x
y
z
A
A
A
cos sin
sin cos
r
r
z
A A
A A
A
sin cos cos cos sin
sin sin cos sin cos
cos sin
R
R
R
A A A
A A A
A A
cos sin
sin cos
x y
x y
z
A A
A A
A
r
z
A
A
A
sin cos
cos sin
R
R
A A
A
A A
sin cos sin sin cos
cos cos cos sin sin
sin cos
x y z
x y z
x y
A A A
A A A
A A
sin cos
cos sin
r z
r z
A A
A A
A
RA
A
A
Transformation Table / Umrechnungstabelle
Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Skalare Vektorkomponenten in verschiedenen
Koordinatensystemen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 19
Example: Coordinate Transformation of the Position Vector / Beispiel: Koordinatentransformation des Ortsvektor
, ,, , , , zx y
x y zR x y zR x y z R x y z
x y z R e e e
Position Vector in the Cartesian Coordinate System / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem
( , , , , , ) cos sin( , , , , , ) sin cos( , , , , , )
r x y z x y
x y z x y
z x y z z
R r z R R R R RR r z R R R R RR r z R R R R
( , , ) ( , , ) cos( , , ) ( , , ) sin( , , ) ( , , )
x
y
z
R r z x r z rR r z y r z rR r z z r z z
, ,, , , ,
cos sinzx y
x y zR r zR r z R r z
r r z
R e e e
Transformation of the Coordinates / Transformation der Koordinaten Position Vector in the Cartesian Coordinate System as
a Function of Cylinder Coordinates / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als
Funktion der Zylinderkoordinaten
Transformation of the Scalar Vector Components / Transformation der skalaren Vektorkomponenten
2 2
1
cos cos sin sin
(cos sin )
cos sin sin cos 0
r
z z
R r r
r r
R r r
R R
( )r z
r zR R
r z R e e
Position Vector in the Cylinder Coordinate System /
Ortsvektor in dem Zylinderkoordinatensystem
( , , , , , )
, , ( ) , , ( ) , ,
r z
r zr z
r y R R R
R r y R r y R r y
R
e e e
?Position Vector in the Cylinder Coordinate
System / Ortsvektor im Zylinderkoordinatensystem
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 20
Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)
( ) ( ) ( )S t C t S t
m( ) ( ) ( ) ( )
d( , ) ( , ) ( , )
dC t S t S t S tt t t
t E R dR B R dS J R dS
Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz
Time Dependent Surface /Zeitabhängige Fläche
Time Dependent Contour /Zeitabhängige Kontur
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 21
Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)
Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz
( ) ( )C t S t dR
( , )tE R
dR
( , )tE R dR
[m] Closed Contour Integral / Geschlossenes Kurvenintegral
[V/m] Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke
[m] Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentielles Linienelement
[V]Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR / Skalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dR
dRdR s
Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentiellesLinienelement
Tangential Unit Vector / Tangentialer
Einheitsvektor
Scalar Differential Line Element / Skalares differentielles
Linienelement
m( ) ( ) ( ) ( )
d( , ) ( , ) ( , )
dC t S t S t S tt t t
t E R dR B R dS J R dS
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 22
Different Products / Verschiedene Produkte
C A BScalar Product / Skalarprodukt
C AB
C A×BVector Product / Vektorprodukt
Dyadic Product / Dyadisches Produkt
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 23
Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)
cos ( , )
cosAB
ABAB
A B A B A B
cos ABB
AB
A
B
cos ABA
ABEnclosed Angle / Eingeschlossener
Winkel
cos
cosBA
AB
BA
AB
A B B A
cos cosAB AB
cos
arccos
AB
AB
A B
A B
A B
A B
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 24
Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (2)
1 00
0 1 0
10 0
( ) ( )
+
+
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y z zz x z y z z
A A A B B B
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
A
A B e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
x x y y z zB A B A B
1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
3
1
( ) ( )
( ) ( )
i i
x y z x y zx y z x y z
x x y y z z
x x x x x xx x x x x x
x x x x x x
x xi
A A A B B B
A B A B A B
A A A B B B
A B A B A B
A B
A B e e e e e e
e e e e e e
x y z e e e
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren
1
0
0
x x
x y
x z
e e
e e
e e
0
1
0
y x
y y
y z
e e
e e
e e
0
0
1
z x
z y
z z
e e
e e
e e
1
2
3
x x
y x
z x
Cartesian Coordinates / Kartesische Koordinaten
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 25
Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (3)
3 3
1 1
3 3
1 1
3 3
1 1
( ) ( )
or/oder
i ji j
i ji j
i j i j
ij
i j i j
ij
i j
xi
x y z x y zx y z x y z
x xx xi j
x xx xi j
x x x xi j
x x x x
x x ij
B
A A A B B B
A B
A B
A B
A B
A B
A B e e e e e e
e e
e e
e e
e e
i j
x j
x xj j
i i
x ij x
A
A B
x x
A B
A B
1
0iji j
i j
Kronecker Delta / Kronecker-Delta
with Einstein’s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention
Einstein‘s Summation Convention: If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von 1 bis 3 summiert.
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 26
Magnitude of a Vector / Betrag eines Vektors
1 00
0 1 0
10 0
(A A A ) (A A A )
A A A A A A
+ A A A A A A
+ A A A A A A
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y z zz x z y z z
A A A
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
1
2
2 2 2
A A A A A A
A A A
A
x x y y z z
x y z
3 3
1 1
2
i ji j
i ji j
i j i j
ij
i
x xx xi j
x xx x
x x x x
x
A B
A A
A A
A
A A A
e e
e e
e e
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 27
Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector / Beispiel: Ortsvektor und elektrischer Feldstärkevektor
( , , ) R ( , , ) R ( , , ) R ( , , )
x y zx y z
x y z
x y z x y z x y z x y zx y z
R e e ee e e
Cartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem
( , ) ( , , , )
E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )x y zx y z
t x y z t
x y z t x y z t x y z t
E R E
e e e
Electric Field Strength Vector / Elektrische Feldstärkevektor
2 2 2
( , , )ˆ ( , , )( , , )
x y z
x y zx y z
x y zx y z
x y z
RR
Re e e
2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z
R R R
e e e e e e
2 2 2
( , , )ˆ ( , , )( , , )
E E E
E E E
x y zx y z
x y z
x y zx y z
x y z
EE
Ee e e
2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
E E E E E E
E E E
x y z x y zx y z x y z
x y z
x y z x y z x y z
E E E
e e e e e e
Position Vector / Ortsvektor
Magnitude of the Position Vector (Distance) / Betrag des Ortsvektor (Abstand)
Magnitude of the Electric Field Strength Vector (Strength) / Betrag des elektrische Feldstärkevektors
(Stärke)
Position Unit Vector (Direction) / Ortseinheitsvektor (Richtung)
Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Elektrische Feldstärkeeinheitsvektor (Richtung)
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 28
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (1)
sin ( , )
sin
AB
AB
AB
C
AB
S
C A×B
A B A B
AB
A
B
C
ABS
and /
und C A C B
Surface / Fläche
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 29
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (2)
A×B B×A
0
0
( ) ( )
+
+
yz
z x
y x
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y zz x z y
A A A B B B
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A
ee
e e
e e
A×B e e e × e e e
e ×e e ×e e ×e
e ×e e ×e e ×e
e ×e e ×e
0
( ) ( ) ( )
z z z
y z z y z x x z x y y xx x y z
B
A B A B A B A B A B A B
e ×e
e e e e
A×A 0
x y z e e e
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren
x x
x y z
x z y
y x z
y y
y z x
z x y
z y x
z z
e × e 0
e × e e
e × e e
e × e e
e × e 0
e × e e
e × e e
e × e e
e × e 0
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 30
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (3)
( )
+ ( )
( )
x y z
x y z
x y z
x y z x y
x y z x y
x y z x y
y z z y x
z x x z y
x y y x z
A A A
B B B
A A A A A
B B B B B
A B A B
A B A B
A B A B
e e e
A×B
e e e e e
e
e
e
Add the first two Columns / Addiere die beiden ersten Spalten
Sarrus Law /Regel von Sarrus
[Pierre Frédéric Sarrus, 1831]http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 31
Dyadic Product / Dyadisches Produkt
3 3
1 1
3 3
1 1
i ji j
i ji j
i ji j
i j i j
i j i j
x xx xi j
x xx xi j
x xx x
x x x x
x x x x
x xi jD
A B
A B
A B
A B
D
AB e e
e e
e e
e e
e e
D
BA AB
D ε E
B μ H
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - WS 05/06 - Lecture 4 / Vorlesung 4 32
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 33
Electrostatic Field Problem – Example: Parallel Plate Capacitor / Elektrostatisches Feldproblem – Beispiel: Paralleler
Plattenkondensator
Scalar Field: Electrostatic Potential /Skalarfeld: Elektrostatisches Potenzial
Vector Field: Electrostatic Field Strength /Vektorfeld: Elektrostatische Feldstärke
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 34
e
( ) 0
( ) ( )d
C S
S V VV
E R dR
D R dS R
e
( )
( ) ( )
×E R 0
D R R
Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform
Curl-Free E-Field /Rotationsfreies E-Feld
Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations / Grundgleichungen
Electrostatic (ES) Fields – Governing Equations / Elektrostatische (ES) Felder – Grundgleichungen
e
( ) ::( )
( ) :
E RD RR
Electric Field Strength / Elektrische FeldstärkeElectric Flux Density / Elektrische FlussdichteElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte
Electrostatic /Elektrostatik 0
t
No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 35
e
e
( ) 0
( ) ( )d
C S
S V VV
Q
E R dR
D R dS R
e
( )
( ) ( ) ×E R 0
D R R
Integral Form / Integralform
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations / Grundgleichungen
Electrostatic (ES) Fields – Governing Equations / Elektrostatische (ES) Felder – Grundgleichungen
0( ) ( )D R E R
0 r( ) ( ) D R E R
Vacuum / Vakuum
Electric Field Constant / Elektrische Feldkonstante(IEEE, VDE)Permittivity of Free Space / Permittivität des Freiraumes
Side Remark: In some Cases /Nebenbemerkung: In einigen Fällen
Permittivity / Permittivität
2
3e
( ) [V/m Newton /Coulomb = N/C][As/ m ]( )
( ) [As/m ]
E RD RR
Differential Form /
Differentialform
rMaterial
1.006
Paper / Papier 2...4
Wet Earth / Nasse Erde 5...15
Gallium Arsenide / Gallium Arsenid 13
Seawater / Seewasser 70
Air / Luft
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 36
(2)e
12
(1)e
212
1 N
4 R
Q Q
RF R
Coulomb’s Law / Coulombsches GesetzCharles Augustin de Coulomb (1736 – 1806)
ES Fields – Electric Points Charge and Electric Field Strength – Coulomb’s Law /
ES Felder – Elektrische Punktladung und elektrische Feldstärke – Coulombsches Gesetz
(1)e
(2)e
Force /( ) [N]
Kraft
Electric Point Charge /[As]
Elektrische Punktladung
Electric Point Charge /[As]
Elektrische PunktLadung
Distance /[m]
Abstand
Distance Unit Vector /[1]
Abstandseinheitsvektor
Pe
Q
Q
R
RF
R
rmittivity of Free-Space /[As/Vm]
Permittivität des Freiraumes
12R
(2)eQ
(1)eQ
12R
1R
R R
RR
= mR R R R
(2)
12
(1)
1
ee224
RR RF
2 2 2
2 2 2,
x y z
x y zR
x y z
R x y z
x y z
x y z
e
R e e e
R R
e e eR
1R2R
12 2 1 R R R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 37
(1)e
(2) 2e
N/C or V/m4
Q
Q R
RR
FE R
Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische Feldstärke: Kraft pro Einheitsladung
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations / Grundgleichungen
ES Fields – Electric Charge and Electric Field Strength – Coulomb’s Law / ES Felder – Elektrische Ladung und elektrische Feldstärke – Coulombsches
Gesetz
(2)e
(1)e
Electric Field Strength /( ) [V/m]
Elektische Feldstärke
Force /( ) [N]
Kraft
Electric Charge /[As]
Elektrische Ladung
Electric Test Charge /[As]
Elektrische Testladung
Distance /[m]
Abstand
Distance
Q
Q
R
R
R
E
F
Unit Vector /[1]
Abstandseinheitsvektor
Permittivity of Free-Space /[As/Vm]
Permittivität des Freiraumes
R
R(2)eQ
(1)eQ
R
Electric Test Charge / Elektrische Testladung
Move … / Bewege...
Radial Field / Radialfeld
(2)eQ
Electric Test Charge / Elektrische Testladung
(1)e
)
2
(2e
4
Q
Q
R
EF R
R
R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 38
e2
e V/m44 RR
R
Q Q
R RE R
R R
Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische Feldstärke: Kraft pro Einheitsladung
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations / Grundgleichungen
ES Fields – Electric Charge and Electric Field Strength – Coulomb’s Law / ES Felder – Elektrische Ladung und elektrische Feldstärke – Coulombsches
Gesetz
e
Electric Field Strength /( ) [V/m]
Elektische Feldstärke
Electric Charge /[As]
Elektrische Ladung
Distance /[m]
Abstand
Distance Unit Vector /[1]
Abstandseinheitsvektor
Permittivity of Free-Space /
Permitt
Q
R
R
R
E
[As/Vm]ivität des Freiraumes
ReQ
R
Radial Field / Radialfeld
2
e
e
4
4
R
Q
R
Q
R RE
R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 39
e
( ) 0
( ) ( )d
C S
S V VV
E R dR
D R dS R
e
( )
( ) ( )
×E R 0
D R R
Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform
Curl-Free E-Field /Rotationsfreies E-Feld
Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte
Method of Gauss’ Electric Law /Methode des Gaußschen elektrischen Gesetzes
Electrostatic (ES) Fields / Elektrostatische (ES) Felder: Governing Equations / Grundgleichungen
Electrostatic (ES) Fields – Governing Equations / Elektrostatische (ES) Felder – Grundgleichungen
e
( ) ::( )
( ) :
E RD RR
Electric Field Strength / Elektrische FeldstärkeElectric Flux Density / Elektrische FlussdichteElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte
Electrostatic /Elektrostatik 0
t
No Time Dependence and No Magnetic Field Quantities /Keine Zeitabhängigkeit und keine magnetischen Feldgrößen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 40
Source Distribution / Quellverteilung
se
s
0( )
0
V
V
RR
R
sV
e ( ) 0 R
Source Volume / Quellvolumen
C S Integration Contour / Integrationskontur
( ) 0C S
E R dR
( )E R
ES Fields – Method of Electric Gauss’ Law / ES-Felder – Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 41
Source Distribution / Quellverteilung
se
s
0( )
0
V
V
RR
R
d
nD
S
R
D R dS D R n
sV
e ( ) 0 R
e ( ) 0 R
Source Volume /Quellvolumen
V
Integration Volume / Integrationsvolumen
e ( ) 0 Re
e
( ) ( )de S V VV
Q
D R dS R
Total Electric Charge in V /
Elektrische Gesamtladung in V
( )
e
( ) d
Total electric charge inside thevolume with the cl
Summation of all = Contributions /Summation aller = -Beiträge
( ) ( )d
eS VDn
nn
S V V
QS
VDD
V
R
D R n
n Dn D
D R dS R
osed surface /Gesamte elektrische Ladung im Volumen mit der geschlossenen Oberfläche
S V
V S V
ee
Flux of through in /Fluss von durch in
S Q VS Q V
DD
ES Fields – Method of Electric Gauss’ Law / ES-Felder – Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 42
S V
Integration Volume / Integrationsvolumen
e
e
( ) ( )d
S V V
V
Q
D R dS R
ES Fields / ES FelderMethod of Electric Gauss’ Law /
Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes
ES Fields – Method of Electric Gauss’ Law / ES-Felder – Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes
0 source- free / quellenfrei
( ) 0 Source / Quelle
0 Sink / SenkeS V
D R dS
e ( ) R
SS 1S 2S
2n1n
1 1
2 2
1
2
e
( ) d
( ) d
( ) d
S SSS V
S V
S V
S
S
S
Q
D R n
D R n
D R n
Sn
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 43
sVSource Volume / Quellvolumen
S V Integration Surface (Closed Surface) / Integrationsfläche (geschlossene Oberfläche)
v ( )
v
( ) ( ) d
v ( ) d
n
S V S V
nS V
S
S
R
v R dS v R n
R
ES Fields / ES FelderMethod of Electric Gauss’ Law /
Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes
Example: Fluid Mechanics – Spring of Water / Beispiel: Strömungsmechanik – Wasserquelle
vv
v
Spring of Water / Wasserquelle
Total Flux through the Closed Surface / Gesamtfluss durch die geschlossene
Oberfläche
v
n
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 44
ES Fields / ES FelderMethod of Electric Gauss’ Law - Example /
Methode des elektrischen Gaußschen Gesetzes - Beispiel
Example: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichte
e0 00e e
0
( ) ( )
0
RR R
RR
R R
R
Prescribed: Electric Charge Density / Vorgegeben: Elektrische
Raumladungsdichte
+
++
+
++
+
+
+ +
+
++
+
+
+
++
+ + + +++
+
+
+
+
+ + ++
++
+++
+
+
++
+
+
+
0RR
R
R
0R
0R
e0 ( )R
( )RD R
sin dR dR
dR
e
e
( )
( ) ( ) d ( ) d
n
S V S V VD Q
S V
R
D R dS D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen (ES)
Fall
Radial Symmetry /Radialsymmetrie !
Charged Sphere with Radius R0 / Geladene Kugel mit dem Radius R0
Solution for D(R) / Lösung für D(R)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )n R
R
D D
n RD D
R R
D R n D R e
R R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 45
Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles Flächenelement (1)
dSdS nDefinition:
Surface /Fläche
y
z
x
1 2, R
1 1 2,d R1
dS1
dR
1
2
1 2
1 2
1 1 2
1 2 2
,
,
d ,
, d
R
R
R
dR
dR
Surface Parameters / Flächenparameter
Position Vector / Ortsvektor
Position Vector / Ortsvektor
Vector Differential Line Elements / Vektorielle differentielle Linienelemente
1 2, R
22
dR
Position Vector / Ortsvektor
n
Position Vector / Ortsvektor
Tangential Vectors / Tangentialvektoren
1 2 1 211
1 2 1 222
, ,
, ,
σ R
σ R
1 2 2, d R
dS
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 46
Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles Flächenelement (2)
1
2
1 2 11
1 2 22
, d
, d
dR σ
dR σ
Vector Differential Line Elements / Vektorielles differentielles Linienelement
1 2
1 2 1 2 1 21 2
d
, , d d
S
dR ×dR
σ ×σ
Scalar Differential Surface Elements / Skalares differentielles Flächenelement
1 2 1 21 2
1 2 1 21 2
, ,
, ,
σ ×σ
nσ ×σ
Normal Unit-Vector / Normaleneinheitsvektor
1 2 1 21 21 2 1 2 1 21 2
1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 21 2
d
, , , , d d
, ,
, , d d
S
dS n
σ ×σσ ×σ
σ ×σ
σ ×σ
Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles Flächenelement
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 47
Gauss’ Electric Law / Gaußsches elektrisches Gesetz
e eQ
Closed Surface Integral /Geschlossenes Flächenintegral Summation of all Normal Componentes of
at the Closed Surface of the Volume /
Summation a
( )
( ) ( ) d
n
S V S V
S= VV
D
S
R
D
D R dS D R n
e
Volume In
ller Normalkomponenten von auf der geschlossenen Oberfläche des
Volumens
Flux Through the Colsed Surface /Fluss durch die geschlossene Oberfläche
e ( ) d
S= VV
VV
D
R
e
tegral /Volumenintegral
Summation of all charges inside the Volume /
Summation aller Ladungen in dem Volumen
V
V
Q
z
SR
y
x
Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve
: ktor
n
S V
nD
nD D n
Sphere/Kugel: V
dSdS n
dS
nn DD n
Example / Beispiel:
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 48
Example: Sphere with Radius a / Beispiel: Kugel mit Radius a (1)
2
2
0 0( ) [ ( , , )][ ( , , )]
e
( ) ( ) d [ ( , , )] , sin d d
=
n Rn
RS V S VD D R a
D R a
S R a a
R R
R
D R dS D R n D R e
z
SR
y
x
Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve
: ktor
n
S V
n D
nD D n
Sphere/Kugel: V
dSdS n
dS
nn DD n
2 2
d d
d ( d d )
, sin d d , sin d dR R
S SR a
S h h
R a
n n
dS n n
e e
0
0 2
( )
e
( ) d
( ) d
n
S VD
V
S
V
R
D R n
R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 49
Example: Sphere with Radius a / Beispiel: Kugel mit Radius a (2)z
SR
y
x
Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve
: ktor
n
S V
n D
nD D n
Sphere/Kugel: V
dSdS n
dS
nn DD n
0
0
0 2
R a
( )
e
( ) d
( ) d
n
S VD
V
S
V
R
D R n
R
2d sin d d d d d d RV R R h h h R
22
e e0 0 0
e
( )d [ ( , , )] sin d d d
a
VR
V R R R
Q
R R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 50
Example: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichte
e0 00e
0
( )
0
RR R
R
R R
RElectric Charge Density / Elektrische Raumladungsdichte
+
++
+
++
+
+
+ +
+
++
+
+
+
++
+ + + +++
+
+
+
+
+ + ++
++
+++
+
+
++
+
+
+
0R R
R
R
0R
0R
e0
RD
sin dR dR
dR
e
( )
( ) d ( ) d
n
S V VD
S V
R
D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen Fall
Radial Symmetry / Radialsymmetrisch
!
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 51
End of Lecture 3 /Ende der 3. Vorlesung