Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) / 4th Lecture / 4. Vorlesung Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein [email protected]http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 D-34121 Kassel
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Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) / 4th Lecture / 4. Vorlesung.
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Transcript
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
Poynting vector of the two plane waves / Poynting-Vektor der beiden ebenen Wellen
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
em em em
2 20 00 0
0 0
0 0
( , ) ( , ) ( , )
, ,
z z zS z t S z t S z t
z z z zE z t E z t
c c
Z Z
0 00 0
0 0( , ) , ,x
z z z zE z t E z t E z t
c c
0 00 0
0 0
0 0
, ,
( , )y
z z z zE z t E z t
c cH z t
Z Z
The plane wave solution gives the correct characteristic of the wave field, but the amplitude is not correct! This means we can not varify the numerical results with the plane wave solution of the homogeneous wave equation, because the simulated problem correspond to the solution of the
inhomogeneous wave equation. /
Die Ebene-Wellen-Lösung gibt die korrekte Charakteristik des Wellenfeldes wieder, aber die Amplitude der Wellenanteile ist nicht korrekt! Dies bedeutet, dass man die numerischen Resultate mit der Ebenen-
Wellen-Lösung nicht vollständig verifizeiren kann, da die simulierte Situation mit der Lösung der inhomogenen Wellengleichung korrespondiert.
RC2
1
1
e m 1
( , )
( , )
( , )
x
y
z
f t
E z t
H z t
S z t
Electromagnetic Field of a “Point Source” Excitation in 1-D / Elektromagnetisches Feld einer „Punktquellen“anregung in
1D
0 e( , ) j ( , ) ( , ) dx xz
E z G z z J z z
z z
Unkown/Unbekannt: ( , ) ?xE z
We consider a homogeneous infinite 1-D region / Wir betrachten ein homogenes, unendliches 1D-Gebiet
Source point / Quellpunkt
e 0( , ) : Given / GegebenxJ z z
where we prescribe an electric current density Jex(z,ω) with the unit A/m2 at z=z0. /wobei wir eine elektrische Stromdichte mit der Einheit A/m2 an der Stelle z=z0 vorgeben.
0z z
A solution for the electric field strength is given by the domain integral representation /Eine Lösung für die elektrische Feldstärke ist dann gegeben über die (Gebiets-)
Integraldarstellung
Then, the unknown electric field strength is a solution of the inhomogeneous Helmholtz equation /
Die unbekannte elektrische Feldstärke ist dann Lösung der inhomogenen Helmholtz-Gleichung
220 e2
( , ) ( , ) j ( , )x x xE z k E z J zz
( , ) G z z 1-D scalar Green’s function /1D skalare Greensche Funktion
Convolution integral /Faltungsintegral
Electromagnetic Field of a Point Source Excitation in 1-D / Elektromagnetisches Feld einer Punktquellenanregung in 1D
0 e( , ) j ( , ) ( , )dx xz
E z G z z J z z
0
0
0
0
j0
0
j0
0
j00
j0
1 j( , ) PV ( ) e
2
1 jPV e ( )
2
1PV e ( )
2 j
1PV e ( )
2 j
k z z
k z z
k z
k z z
G z z c z zk
c z zk
cc z z
cz z
0
0( , )
2
zcG z t u t
c
e 0 e
0 e 0
( , ) ( , )
( , )
x x
x
J z z z K z
z z K z
0 0 0( ) ( )z z f z z z f z
Integral representation / Integraldarstellung
1-D scalar Green’s function in the frequency domain /
1D skalare Greensche Funktion im Frequenzbereich
1-D scalar Green’s function in the time domain /
1D skalare Greensche Funktion im Zeitbereich
0 0
1 0
tu t
t
Unit step function / Einheitssprungfunktion
Electric current density / Elektrische Stromdichte
Property of the delta-distribution / Eigenschaft der Delta-Distribution
e 0( , )xK z
Electric surface current density / Elektrische Flächenstromdichte
EM Field of a Point Source Excitation in 1-D / EM-Feld einer Punktquellenanregung in 1D
0 e
0 0 e
0 0 e 0
( , ) j ( , ) ( , )d
j ( , ) ( , ) d
j ( , ) ( , )
x xz
xz
x
E z G z z J z z
G z z z z K z z
G z z K z
0 0
e 0 e 0
0 e 0 0 e 0
( , ) ( , )
j
( , ) ( , )
( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
x x
x x
x t x
E z E z t
tG z z G z z t
K z K z t
G z z K z G z z t K z t
0 0 e 0
00 0e 0
0
00 0e 0
0
( , ) ( , ) ( , ) d
( , ) d2
( , ) d2
x xt
xt
xt
E z t G z z t t K z t tt
z zcu t t K z t t
t c
z zcu t t K z t tt c
The asterisk “*t “denotes convolution in time / Der Stern “*t “ bezeichnet eine Faltung in
der Zeit
EM Field of a Point Source Excitation in 1-D / EM-Feld einer Punktquellenanregung in 1D
00 0e 0
0
( , ) ( , ) d2x x
t
z zcE z t u t t K z t t
t c
0 0
0 0
z z z zu t t t tt c c
00 0e 0
0
00 0e 0
0
00 0e 0
0
( , ) ( , ) d2
( , ) d2
,2
x xt
xt
x
z zcE z t t t K z t t
c
z zct t K z t t
c
z zcK z t
c
0 0 0 377 c Z
00e 0
0
( , ) ,2x x
z zZE z t K z t
c
Solution for the x component of the electric field strength /
Lösung für die x-Komponente der elektrischen Feldstärke
Wave impedance of free space (vacuum) / Wellenwiderstand des Freiraumes (Vakuum)
EM Field of a Point Source Excitation in 1-D / EM-Feld einer Punktquellenanregung in 1D
0
0 0 e 00
0 e 0
1( , ) ( , )
j
1j ( , ) ( , )
j
( , ) ( , )
y x
x
x
H z E zz
G z z K zz
G z z K zz
0 0 e 0( , ) j ( , ) ( , )x xE z G z z K z
0 e 0
00e 0
0
00e 0
0
00 0e 0
0 0
( , ) ( , ) ( , ) d
( , ) d2
( , ) d2
sgn( )( , ) d
2
sgn
y xt
xt
xt
xt
H z t G z z t t K z t tz
z zcu t t K z t t
z c
z zcu t t K z t tz c
z zc z zt t K z t t
c c
00 e 0
0
1( ) ,
2 xz z
z z K z tc
0
0
0 0
0
0 00
0 0
00
0 0
sgn
sgnsgn( )
sgn( )
z zu t tz c
z z z zu t tz c
z z z zz zt t
c c
z zz zt t
c c
u t tt
u t tt
EM Field of a Point Source Excitation in 1-D / EM-Feld einer Punktquellenanregung in 1D
em
0 00 0e 0 e 0
0 0
0200 e 0
0
( , ) ( , ) ( , )
sgn( ), ,
2 2
sgn( ) ,4
z x y
x x
x
S z t E z t H z t
z z z zZ z zK z t K z t
c c
z zZz z K z t
c
Solution for the y component of the magnetic field strength / Lösung für die y-Komponente der
magnetische Feldstärke
00e 0
0
sgn( )( , ) ,
2y xz zz z
H z t K z tc
00e 0
0
( , ) ,2x x
z zZE z t K z t
c
Solution for the x component of the electric field strength /
Lösung für die x-Komponente der elektrischen Feldstärke
Solution for the z component of the Poynting vector / Lösung für die z-Komponente des Poynting-Vektors
EM Field of a Point Source Excitation in 1-D / EM-Feld einer Punktquellenanregung in 1D
e 0 e ref 2
00e 0
0
0e 0
0
200
emz e 00
, ( )
( , ) ,2
1( , ) ,
2
( , ) ,4
x RC
x x
y x
x
K z t K f t
z zZE z t K z t
c
z zH z t K z t
c
z zZS z t K z t
c
e 0 2
0e 0
0
0e 0
0
20
eemz 00
, ( )
1( , ) ,
2
1( , ) ,
2
1( , ) ,
4
x RC
x x
y x
x
K z t f t
z zE z t K z t
c
z zH z t K z t
c
z zS z t K z t
c
refref ref ref ref ref ref ref 0
ref
ref
ref refrefref ref
ref ref ref
ˆ
ˆ
ˆ
x x
y y
xt t t t z x z c c c
c
E E E
EH H H H E
c
ref refref ref
ref ref
2ref
em zem z em ref em ref ref refref
refee e ref e ref ref
ref
ref
ee e ref e ref ref e ref
1( ) ( )
xx
xx
EE
Z
ES S S S E H
Z
J J J J Et
z zx
K K K K x J
ref 0
ref
ref 0
ref 0
ref 0
e ref 1 A/m
c c
x z
Z Z
K
Normalization of the field components / Normierung der Feldkomponenten
EM Field components / EM-Feldkomponenten
Normalized EM field components / Normierte EM-Feldkomponenten
RC2
1
1
e m 1
( , )
( , )
( , )
x
y
z
f t
E z t
H z t
S z t
FD Method – 1-D Wave Equation – Example / FD-Methode – 1D Wellengleichung – Beispiel
e 0 2
0e 0
0
0e 0
0
20
eemz 00
, ( )
1( , ) ,
2
1( , ) ,
2
1( , ) ,
4
x RC
x x
y x
x
K z t f t
z zE z t K z t
c
z zH z t K z t
c
z zS z t K z t
c
The Green’s function method gives the solution of the 1-D simulation area excited by a “point” source, which is in 1-D a singular electric surface current source. The singular source is independent of x and y. The reference solution gives the correct characteristic and correct amplitudes. But the solution doesn’t account
for the reflections at the boundaries, because we used the free-space Green’s function. /Die Methode der Greenschen Funktion ermöglicht die Lösung des vorliegenden Problems, der Anregung des
1D-Simulationsgebietes durch eine „Punkt“quelle, die genauer gesagt in 1D eine singuläre elektrische Flächenstromdichte ist.
Da die singuläre Quelle von x und y unabhängig ist. Die Charakteristik und Amplitude stimmt überein, nur die Reflexionen an den Rändern fehlen, was an der Verwendung der Greenschen Funktion für den Freiraum
Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung
Consistency / Konsistenz
Dissipation / Dissipation
Stability Condition / Stabilitätsbedingung
Convergence / Konvergenz
?
?
z
t
( )t f z
Derivation of the Numerical Dispersion Relation for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der numerischen Dispersionsrelation für das 1D-FD-Schema
2ter OrdnungStability by the von Neumann’s method
(Fourier series method):
Insert a complex monofrequent (monochromatic) plane wave into the discrete FD equations and analyze the spectral radius of the amplification
matrix, where the spectral radius must be smaller equal one.
Stabilität durch die von Neumannsche Methode(Fourier-Reihen-Methode):
Setze eine komplex monofrequente (monochromatische) ebene Welle in die diskreten FD-Gleichungen ein und analysiere den spektralen Radius der Verstärkungsmatrix, wobei der spektrale Radius kleinergleich Eins
sein muss.Complex monofrequent (monochromatic) plane wave
/Komplex monofrequente (monochromatische) ebene
Welle
0
0
ˆj0 0
ˆj j0 0
ˆ( , ) ( , ) e
ˆ( , ) e e
t kx
t k
E t E
E
k R
k R
R k
k
FD FD( 1) ( )1D 1D
:t tn n W G W G Amplification matrix /Verstärkungsmatrix
FD FD1D 1D
1 G Gof the matrix /Spectral radius /Spektraler Radius der Matrix
FD FD FD FD1D 1D 1D 1D1. .
where max / -w obe :i n nn N
nn
G G G Gth eigenvalue of the matrix
ter Eigenwert der Matrix
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2 2 2 2
0
k k k =k
k k k k
x z z zx z z z
x y z z zk k
kc
k e e e e
k k k
Wave vector / Wellenvektor
Magnitude of the wave vector /Betrag des Wellenvektors
Wavenumber /Wellenzahl
Circular freque
0 02
sgn
(k ) kk sgn(k )ˆ sgn(k )k
ˆ sgn(k ) (
z zz zzz zz z
z
z z
f
k
k k
k k
ee ek
k
ek
k R e
ncy /Kreisfrequenz
Propagation direction /Ausbreitungsrichtung
Phase of the plane wave /Phase der ebenen Welle ) sgn(k ) sgn(k )z zx z z z zx y z k z k z e e e e e
Monofrequent (monochromatic) plane wave in the time domain /
Monofrequente (monochromatische) ebene Welle im Zeitbereich
0
0
ˆj0 0
ˆj j0 0
ˆ( , ) ( , ) e
ˆ( , ) e e
t kx
t k
E t E
E
k R
k R
R k
k
k̂
R
ˆ const.k R
Plane of constant phase /Ebene konstanter Phase
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
0
0
0
0
( , 1) j ( 1)j0 0
exp( )
j ( 1)0 0
( , ) j0 0
( , 1) j ( 1)0 0
ˆ ˆ ˆ( , ) e e
ˆ ˆ( , ) exp( ) e
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e
ˆ ˆ( , ) exp( ) e
z t tz
z
t
z t t
z t t
n n n tkn zx x
n
n tx z
n n n tx x z
n n n tx x z
E E
E n
E E n
E E n
k
k
k
k
0
0
0
( 1, ) jj0 0
( , ) j0 0
( 1, ) jj0 0
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e e
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e
ˆ ˆ ˆ( , ) exp( ) e e
z t t
z t t
z t t
n n n tk zx x z
n n n tx x z
n n n tk zx x z
E E n
E E n
E E n
k
k
k
( , 1) ( , ) ( , 1) ( 1, ) ( , ) ( 1, )2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 ( ) 2z t z t z t z t z t z tn n n n n n n n n n n nx x x x x xE E E t E E E
0 0( , ) j jj0 0 0 0
exp( )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e e ( , ) exp( ) ez t t tz
z
n n n t n tkn zx x x z
n
E E E n
k k
0 0 0
0
0 0
- j ( 1) - j - j ( 1)0 0 0 0 0 0
- j2 j - j0 0 0 0 0 0
- j - j ( 1)20 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 ( , ) e ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( , ) e 2 ( , ) ( , ) e e
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
(
t t t
t
z t
n t n t n tx x x
n tk z k zx x x
n t n tx x
E E E
t E E E
t E E
k k k
k k k
k k
0- j2 j - j0 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ) ( , ) e ( , ) e e tn tk z k zx xt E E k k
Insert discrete plane wave / Setze die diskrete ebene Welle
into the FD scheme / in das FD-Schema ein
with / mit
it follows / folgt
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
0 0 0
0
0 0
j ( 1) j j ( 1)20 0 0 0 0 0
j2 j j0 0 0 0
j j ( 1)20 0 0 0
2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( , ) e ( , ) e e
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
( )
t t t
t
t t
n t n t n tx x x
n tk z k zx x
n t n tx x
E t E E
t E E
t E E
t
k k k
k k
k k
0
0 0
0
0
jj j0 0
2cos( )
j j ( 1)20 0 0 0
j20 0
j ( 1) 20 0 0 0
ˆ ˆe e ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ2 1 ( ) ( , ) e ( , ) e
ˆ ˆ ( ) 2cos( ) ( , ) e
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 ( ) cos( ) 1 ( ,
t
t t
t
t
n tk z k zx
k z
n t n tx x
n tx
n tx x
E
t E E
t k z E
E t k z E
k
k k
k
k k
0 0j j ( 1)0 0
ˆ ˆ) e ( , ) et tn t n txE
k
2 22sin 1 cos 2sin cos 12 2
0 0 0
0 0
- j ( 1) - j - j ( 1)2 20 0 0 0 0 0
- j ( 1) - j2 20 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e ( , ) e2
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e2
t t t
t t
n t n t n tx x x
n t n tx x
k zE t E E
k zE t E
k k k
k k
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
0 0 0
0 0
- j ( 1) - j - j ( 1)2 20 0 0 0 0 0
- j ( 1) - j2 20 0 0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e ( , ) e2
ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) e 2 1 2( ) sin ( , ) e2
t z t
t t
n t n t n tx x x
n t n tx x
k zE t E E
k zE t E
k k k
k k
0
0
( ) - j0 0
( ) ( 1)
- j ( 1)0 0
ˆ ˆ( , ) e
ˆ ˆ( , ) e
t t
t t
t
n n tx
n n
n tx
U E
V U
E
k
k
( 1) ( 1) ( )2 2
( ) ( )2 2
2 1 2( ) sin2
2 1 2( ) sin2
t t t
t t
n n n
n n
k zU U t U
k zV t U
Define / Definiere
which yields for the above equation / womit wir für die obere Gleichung erhalten
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
( )
( )
( )
tt
t
nn
n
U
V
W
( 1) ( )FD1D
( 1) 2 2 ( )
( 1) ( )
FD( 1) ( )1D
2 1 2( ) sin 12
1 0
t t
t t
n nt t
t t
n n
n n
n n
k ztU U
V V
W WG
W G W
2 2FD1D
2 2 2
2 1 2( ) sin 1det 2
1
2 1 2( ) sin 12
k zt
k zt
G I
FD1D
det 0 G I FD FD1D 1D
: -nnn G Gth eigenvalue of the matrix
ter Eigenwert der Matrix
Define a new algebraic vector / Definiere einen neuen algebraischen Vektor
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2 2
2 2 2 2 2 2 22 1 2( ) sin 1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2 2
k z k z k zt t t
2 2
2 2 2 21 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2
k z k zt t
2
22 2 2 2
1/ 2
2
2
1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2
1
j 1
a a
k z k zt t
a a
a a
2 2 1 / 1a a if falls
Eigenvalues of the amplification matrix / Eigenwerte der Verstärkungsmatrix
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
22 2 2 2 2
1/ 2 j 1 1 1
1
a a a a a a
2
22 2 2 2
1/ 2
2
2 2 2
1 2( ) sin 1 2( ) sin 12 2
1
j 1 if 1 / falls 1
a a
k z k zt t
a a
a a a a
Unit circle /Einheitskreis
1
1
1
1This means for, that all eigenvalues
a2 ≤ 1 are on the unit circle in the complex plane. /
Dies bedeutet, dass alle Eigenwerte für
a2 ≤ 1 auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene liegen.
Re jIm 1, 2n n n n
Im n
Re n
FD1D
1 G
Spectral radius /Spektraler Radius
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2
22 2 2 2
1/ 2
2 2 2
1 2( ) sin j 1 1 2( ) sin2 2
j 1 if 1 / falls 1
a a
k z k zt t
a a a a
2
22 2
2 2 4 4
2 2 2 2
2 2
2 2
2
1
1 2( ) sin 12
1 4( ) sin 4( ) sin 12 2
4( ) sin 1 ( ) sin 02 2
1 ( ) sin 02
( ) sin 12
( ) 1
a
k zt
k z k zt t
k z k zt t
k zt
k zt
t
because / wei
2 max sin 12
1
k z
t
l
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
max1-D / 1D: 1
xt t t
c
ref
ref
: t x
t tt c
Courant number /
Courant - Zahl
1-D Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /1D-Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit– CFL-
Bedingung
2-D and 3-D Stability Condition for an FD algorithm of 2nd order in space and time– CFL-Condition /
2D- und 3D- Stabilitätsbedingung für einen FD-Algorithmus zweiter Ordnung in Raum und Zeit– CFL-Bedingung
max
max
1 12-D / 2D: 0.707
2 21 1
3-D / 3D: 0.5773 3
xt t t
c
xt t t
c
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2 2 21/ 2
2 2 2 2 2
( ) 1 if 1 / falls 1
j 1 if 1 / falls 1 with 1 2( ) sin2
t a a a a
k za a a a a t
FD1D
1 GSpectral radius /Spektraler Radius
2 21/ 21 : j 1a a a
2 21/ 21: 1a a a
2 21 2
1 2
j 1 j 1
1 1
a a a a
2 21 2
1 2
1 1
lim lim 0a a
a a a a
FD1D
1 GSpectral radius /Spektraler Radius
1/ 2
as a function of als Funktion von ( ) ( )t t
1( )t
2 ( )t
Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema