Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 1 Elektromagnetische Feldtheorie I ( Elektromagnetische Feldtheorie I ( Elektromagnetische Feldtheorie I ( Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / EFT I) / EFT I) / EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) Electromagnetic Field Theory I (EFT I) Electromagnetic Field Theory I (EFT I) Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 3rd Lecture / 3 3rd Lecture / 3 3rd Lecture / 3 3rd Lecture / 3. Vorlesung . Vorlesung . Vorlesung . Vorlesung University of Kassel University of Kassel University of Kassel University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) (FB 16) (FB 16) (FB 16) Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory Electromagnetic Field Theory (FG TET) (FG TET) (FG TET) (FG TET) Wilhelmsh Wilhelmsh Wilhelmsh Wilhelmshö ö öher Allee 71 her Allee 71 her Allee 71 her Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 Office: Room 2113 / 2115 Office: Room 2113 / 2115 Office: Room 2113 / 2115 D D D- - -34121 Kassel 34121 Kassel 34121 Kassel 34121 Kassel Universit Universit Universit Universitä ä ät Kassel t Kassel t Kassel t Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) (FB 16) (FB 16) (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) (FG TET) (FG TET) (FG TET) Wilhelmsh Wilhelmsh Wilhelmsh Wilhelmshö ö öher Allee 71 her Allee 71 her Allee 71 her Allee 71 B B Bü ü üro: Raum 2113 / 2115 ro: Raum 2113 / 2115 ro: Raum 2113 / 2115 ro: Raum 2113 / 2115 D D D- - -34121 Kassel 34121 Kassel 34121 Kassel 34121 Kassel Dr. Dr. Dr. Dr.- - -Ing. Ren Ing. Ren Ing. Ren Ing. René é é Marklein Marklein Marklein Marklein marklein@uni marklein@uni marklein@uni marklein@uni- - -kassel.de kassel.de kassel.de kassel.de http://www.tet.e http://www.tet.e http://www.tet.e http://www.tet.e- - -technik.uni technik.uni technik.uni technik.uni- - -kassel.de kassel.de kassel.de kassel.de http://www.uni http://www.uni http://www.uni http://www.uni- - -kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
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Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische ... · Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT
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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 1
Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /EFT I) /EFT I) /EFT I) /Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)Electromagnetic Field Theory I (EFT I)
Integral TransformsIntegral TransformsIntegral TransformsIntegral Transforms / Integraltransformationen/ Integraltransformationen/ Integraltransformationen/ Integraltransformationen
Prof. Dr. rer. nat. KarlProf. Dr. rer. nat. KarlProf. Dr. rer. nat. KarlProf. Dr. rer. nat. Karl----JJJJöööörg Langenbergrg Langenbergrg Langenbergrg Langenberg
Mathematical Foundation of Electromagnetic Field Theory I & II /Mathematical Foundation of Electromagnetic Field Theory I & II /Mathematical Foundation of Electromagnetic Field Theory I & II /Mathematical Foundation of Electromagnetic Field Theory I & II /Mathematische Grundlagen der Elektromagnetischen Feldtheorie I &Mathematische Grundlagen der Elektromagnetischen Feldtheorie I &Mathematische Grundlagen der Elektromagnetischen Feldtheorie I &Mathematische Grundlagen der Elektromagnetischen Feldtheorie I & IIIIIIII
⇒⇒⇒⇒
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Different Coordinate SystemsDifferent Coordinate SystemsDifferent Coordinate SystemsDifferent Coordinate Systems / / / / Verschiedene KoordinatensystemeVerschiedene KoordinatensystemeVerschiedene KoordinatensystemeVerschiedene Koordinatensysteme
What is the benefit of the Use of a Problem Matched What is the benefit of the Use of a Problem Matched What is the benefit of the Use of a Problem Matched What is the benefit of the Use of a Problem Matched Coordinate SystemsCoordinate SystemsCoordinate SystemsCoordinate Systems ? / ? / ? / ? /
Was ist der Nutzen der Verwendung eines problemangepasstenWas ist der Nutzen der Verwendung eines problemangepasstenWas ist der Nutzen der Verwendung eines problemangepasstenWas ist der Nutzen der Verwendung eines problemangepasstenKoordinatensystemen ?Koordinatensystemen ?Koordinatensystemen ?Koordinatensystemen ?
(Easier) Solution of the Problem under Concern!(Easier) Solution of the Problem under Concern!(Easier) Solution of the Problem under Concern!(Easier) Solution of the Problem under Concern! / / / / (Einfachere) L(Einfachere) L(Einfachere) L(Einfachere) Löööösung des betrachteten Problems?sung des betrachteten Problems?sung des betrachteten Problems?sung des betrachteten Problems?
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Notation and Field Quantities / Notation and Field Quantities / Notation and Field Quantities / Notation and Field Quantities / Notation und FeldgrNotation und FeldgrNotation und FeldgrNotation und Feldgrößößößößenenenen
( ) ( ) ( ) ( )
3
1 2 3
1
1 2 3
3 Vector Components /3 Vektorkomponenten
, , , ,
= E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )
= E ( , , , )
= E ( , , , )
i i
i i
x y z
x y zx y z
x xi
x x
t t t t
x y z t x y z t x y z t
x x x t
x x x t
=
= + +
+ +
∑
E R E R E R E R
e e e
e
e
���������������( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
9 Dyadic Components /9 dyadische Komponenten
, , , ,
, , ,
, , ,
( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
+ ( , , , ) (
xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
xx xy xzx x x y x z
yx yyy x
t t t t
t t t
t t t
x y z t x y z t x y z t
x y z t x
ε ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε ε
ε ε
= + +
+ + +
+ + +
= + +
+
R R R R
R R R
R R R
e e e e e e
e e
���������������
3 3
1 2 3
1 j 1
1 2 3
, , , ) ( , , , )
+ ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )
( , , , )
( , , , )
i j i j
i j i j
yzy y y z
zx zy zzz x z y z z
x x x xi
x x x x
y z t x y z t
x y z t x y z t x y z t
x x x t
x x x t
ε
ε ε ε
ε
ε
= =
+
+ +
=
=
∑∑
e e e e
e e e e e e
e e
e e
Vector / Vektor: Vector / Vektor: Vector / Vektor: Vector / Vektor: Electric Field StrengthElectric Field StrengthElectric Field StrengthElectric Field Strength / Elektrische Feldst/ Elektrische Feldst/ Elektrische Feldst/ Elektrische Feldstäääärkerkerkerke
with Einstein’s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention
Einstein‘s Summation Convention: If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von 1 bis 3 summiert.
1 2 3{ , , } { , , }x y z x x x= 1 2 3{ , , } { , , }x y z x x x=mit mit
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Cylindrical Coordinate System Cylindrical Coordinate System Cylindrical Coordinate System Cylindrical Coordinate System / Zylinderkoordinatensystem/ Zylinderkoordinatensystem/ Zylinderkoordinatensystem/ Zylinderkoordinatensystem
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 11
Cartesian Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cartesian Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cartesian Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cartesian Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /
Kartesischen Koordinatensystemen: KoordinatenflKartesischen Koordinatensystemen: KoordinatenflKartesischen Koordinatensystemen: KoordinatenflKartesischen Koordinatensystemen: Koordinatenfläääächen, chen, chen, chen, Einheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, Fläääächenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelement
xeye
ze
( , , )P x y z
const.z =
const.y =
const.x =
xzdS
xydS
yzdS
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 12
Cylindrical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cylindrical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cylindrical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Cylindrical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /ZylinderkZylinderkZylinderkZylinderkoordinatensystemoordinatensystemoordinatensystemoordinatensystem: Koordinatenfl: Koordinatenfl: Koordinatenfl: Koordinatenfläääächen, chen, chen, chen,
Einheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, Fläääächenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelement
( )r ϕe
( )ϕ ϕeze
const.z =
const.ϕ =
const.r =
rzdS
xydS
zϕdS
d rdr ϕ
( , , )P r zϕ
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 13
Spherical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Spherical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Spherical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Spherical Coordinate System: Coordinate Surfaces, Unit Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /Vectors, Surface Elements and Volume Element /KugelkKugelkKugelkKugelkoordinatensystemoordinatensystemoordinatensystemoordinatensystem: Koordinatenfl: Koordinatenfl: Koordinatenfl: Koordinatenfläääächen, chen, chen, chen,
Einheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, FlEinheitsvektoren, Fläääächenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelementchenelemente und Volumenelement
const.ϕ =
const.R =
( ),ϑ ϑ ϕe
( )ϕ ϕe
( ),R ϑ ϕe
rϑdS
ϑϕdS
rϕdS
sin d R ϑ ϕ
sinR ϑ
d R ϑ
( , , )P R ϑ ϕ
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 14
Metric Coefficients and Vector Differential Line ElementsMetric Coefficients and Vector Differential Line ElementsMetric Coefficients and Vector Differential Line ElementsMetric Coefficients and Vector Differential Line Elements / / / / Metrische Koeffizienten und vektorielle differentielle LinieneleMetrische Koeffizienten und vektorielle differentielle LinieneleMetrische Koeffizienten und vektorielle differentielle LinieneleMetrische Koeffizienten und vektorielle differentielle Linienelementementementemente
1, , 1r zh h r hϕ= = = 1, , sinRh h R h Rϑ ϕ ϑ= = =
d
d
d
d
d
d
d
d
d
r
rr
r
z
zz
z
R
h r
r
R
h
r
R
h z
z
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
=
=
=
=
=
=
=
=
dR s
e
e
dR s
e
e
dR s
e
e
d
d
d
d
d
d
d
d
sin d
R
RR
R
R
h R
R
R
h
R
R
h
R
ϑ
ϑϑ
ϑ
ϕ
ϕϕ
ϕ
ϑ
ϑ
ϕ
ϑ ϕ
=
=
=
=
=
=
=
=
=
dR s
e
e
dR s
e
e
dR s
e
e
d
d
d
d
d
d
d
d
d
x
xx
x
y
yy
y
z
zz
z
R
h x
x
R
h y
y
R
h z
z
=
=
=
=
=
=
=
=
=
dR s
e
e
dR s
e
e
dR n
e
e
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 15
Metric Coefficients and Differential Volume and Surface ElementsMetric Coefficients and Differential Volume and Surface ElementsMetric Coefficients and Differential Volume and Surface ElementsMetric Coefficients and Differential Volume and Surface Elements / / / / Metrische Koeffizienten und differentielle VolumenMetrische Koeffizienten und differentielle VolumenMetrische Koeffizienten und differentielle VolumenMetrische Koeffizienten und differentielle Volumen---- und Flund Flund Flund Fläääächenelementechenelementechenelementechenelemente
Coordinates of Different Coordinates of Different Coordinates of Different Coordinates of Different Coordinate Systems /Coordinate Systems /Coordinate Systems /Coordinate Systems /
Koordinaten verschiedenen Koordinaten verschiedenen Koordinaten verschiedenen Koordinaten verschiedenen KoordinatensystemenKoordinatensystemenKoordinatensystemenKoordinatensystemen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 17
cos sin cosx r Rϕ ϑ ϕ= =
1. Formulate x as a function of the cylinder and spherical coordinates. / Formuliere x als Funktion der Zylinder- und Kugelkoordinaten.
2. Formulate r as a function of the Cartesian and spherical coordinates. / Formuliere r als Funktion der Kartesischen und Kugelkoordinaten.
3. Formulate as a function of the cylinder coordinates. / Formuliere als Funktion der Zylinderkoordinaten.
Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Scalar Vector Components in Different Coordinate Systems /Skalare Vektorkomponenten in verschiedenen KoordinatensystemenSkalare Vektorkomponenten in verschiedenen KoordinatensystemenSkalare Vektorkomponenten in verschiedenen KoordinatensystemenSkalare Vektorkomponenten in verschiedenen Koordinatensystemen
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 19
Example: Coordinate Transformation of the Position VectorExample: Coordinate Transformation of the Position VectorExample: Coordinate Transformation of the Position VectorExample: Coordinate Transformation of the Position Vector / / / / Beispiel: Koordinatentransformation des OrtsvektorBeispiel: Koordinatentransformation des OrtsvektorBeispiel: Koordinatentransformation des OrtsvektorBeispiel: Koordinatentransformation des Ortsvektor
( )�
( )�
( )�, ,, , , , zx y
x y zR x y zR x y z R x y z
x y z= + +R e e e
Position Vector in the Cartesian Coordinate System Position Vector in the Cartesian Coordinate System Position Vector in the Cartesian Coordinate System Position Vector in the Cartesian Coordinate System / / / / Ortsvektor im Kartesischen KoordinatensystemOrtsvektor im Kartesischen KoordinatensystemOrtsvektor im Kartesischen KoordinatensystemOrtsvektor im Kartesischen Koordinatensystem
( , , , , , ) cos sin
( , , , , , ) sin cos
( , , , , , )
r x y z x y
x y z x y
z x y z z
R r z R R R R R
R r z R R R R R
R r z R R R Rϕ
ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ
= += − +=
( , , ) ( , , ) cos( , , ) ( , , ) sin
( , , ) ( , , )
x
y
z
R r z x r z rR r z y r z r
R r z z r z z
ϕ ϕ ϕϕ ϕ ϕϕ ϕ
= == == =
( ) ( ) ( )�, ,, , , ,
cos sin
zx y
x y zR r zR r z R r z
r r z
ϕϕ ϕ
ϕ ϕ= + +R e e e��� ���
Transformation of the Coordinates Transformation of the Coordinates Transformation of the Coordinates Transformation of the Coordinates / / / / Transformation der KoordinatenTransformation der KoordinatenTransformation der KoordinatenTransformation der Koordinaten Position Vector in the Cartesian Coordinate System as a Position Vector in the Cartesian Coordinate System as a Position Vector in the Cartesian Coordinate System as a Position Vector in the Cartesian Coordinate System as a
Function of Cylinder Coordinates Function of Cylinder Coordinates Function of Cylinder Coordinates Function of Cylinder Coordinates / / / / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als Funktion der Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als Funktion der Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als Funktion der Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als Funktion der
Transformation of the Scalar Vector Components Transformation of the Scalar Vector Components Transformation of the Scalar Vector Components Transformation of the Scalar Vector Components / / / / Transformation der skalaren VektorkomponentenTransformation der skalaren VektorkomponentenTransformation der skalaren VektorkomponentenTransformation der skalaren Vektorkomponenten
2 2
1
cos cos sin sin
(cos sin )
cos sin sin cos
0
r
z z
R r r
r r
R r r
R R
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ=
= +
= + =
= − +==
�������� �( )
r z
r zR R
r zϕ= +R e e
Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System / / / / Ortsvektor in dem ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor in dem ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor in dem ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor in dem Zylinderkoordinatensystem
( ) ( ) ( )
( , , , , , )
, , ( ) , , ( ) , ,
r z
r zr z
r y R R R
R r y R r y R r y
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= + +
R
e e e
????Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System Position Vector in the Cylinder Coordinate System / / / / Ortsvektor im ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor im ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor im ZylinderkoordinatensystemOrtsvektor im Zylinderkoordinatensystem
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 20
FaradayFaradayFaradayFaraday‘‘‘‘s Induction Law in Integral Form /s Induction Law in Integral Form /s Induction Law in Integral Form /s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 21
FaradayFaradayFaradayFaraday‘‘‘‘s Induction Law in Integral Forms Induction Law in Integral Forms Induction Law in Integral Forms Induction Law in Integral Form ////Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)
( , )tE R dRiScalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR / / / / Skalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dRSkalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dRSkalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dRSkalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dR
[V][V][V][V]
Vectorial Differential Line Element Vectorial Differential Line Element Vectorial Differential Line Element Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentielles / Vektorielles differentielles / Vektorielles differentielles / Vektorielles differentielles LinienelementLinienelementLinienelementLinienelement
[m][m][m][m]
Electric Field Strength Electric Field Strength Electric Field Strength Electric Field Strength / Elektrische Feldst/ Elektrische Feldst/ Elektrische Feldst/ Elektrische Feldstäääärkerkerkerke[V/m][V/m][V/m][V/m]
Closed Contour Integral / Closed Contour Integral / Closed Contour Integral / Closed Contour Integral / Geschlossenes KurvenintegralGeschlossenes KurvenintegralGeschlossenes KurvenintegralGeschlossenes Kurvenintegral[m][m][m][m]
dR=dR s
Vectorial Differential Line Element / Vectorial Differential Line Element / Vectorial Differential Line Element / Vectorial Differential Line Element / VektoriellesVektoriellesVektoriellesVektorielles differentiellesdifferentiellesdifferentiellesdifferentiellesLinienelementLinienelementLinienelementLinienelement
Tangential Unit Vector / Tangential Unit Vector / Tangential Unit Vector / Tangential Unit Vector / Tangentialer EinheitsvektorTangentialer EinheitsvektorTangentialer EinheitsvektorTangentialer Einheitsvektor
Scalar Differential Line ElementScalar Differential Line ElementScalar Differential Line ElementScalar Differential Line Element / Skalares / Skalares / Skalares / Skalares differentielles Linienelementdifferentielles Linienelementdifferentielles Linienelementdifferentielles Linienelement
m( ) ( ) ( ) ( )
d( , ) ( , ) ( , )
dC t S t S t S tt t t
t=∂= − −∫ ∫∫ ∫∫E R dR B R dS J R dSi i i�
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 22
Different Products / Different Products / Different Products / Different Products / Verschiedene ProdukteVerschiedene ProdukteVerschiedene ProdukteVerschiedene Produkte
C = A BiScalar Product / Scalar Product / Scalar Product / Scalar Product / SkalarproduktSkalarproduktSkalarproduktSkalarprodukt
with Einsteinwith Einsteinwith Einsteinwith Einstein’’’’s Summation Convention / s Summation Convention / s Summation Convention / s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonventionmit Einsteinscher Summationskonventionmit Einsteinscher Summationskonventionmit Einsteinscher Summationskonvention
EinsteinEinsteinEinsteinEinstein‘‘‘‘s Summation Conventions Summation Conventions Summation Conventions Summation Convention: If a index appears two : If a index appears two : If a index appears two : If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), times at one side of an equation (and not at the other side), times at one side of an equation (and not at the other side), times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / the index is automatically summed over 1 to 3. / the index is automatically summed over 1 to 3. / the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche SummenkonventionEinsteinsche SummenkonventionEinsteinsche SummenkonventionEinsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer : Wenn ein Index auf einer : Wenn ein Index auf einer : Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird daranderen nicht), wird daranderen nicht), wird daranderen nicht), wird darüüüüber von 1 bis 3 summiert. ber von 1 bis 3 summiert. ber von 1 bis 3 summiert. ber von 1 bis 3 summiert.
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 26
Magnitude of a Vector / Magnitude of a Vector / Magnitude of a Vector / Magnitude of a Vector / Betrag eines VektorsBetrag eines VektorsBetrag eines VektorsBetrag eines Vektors
� �
� �
1 00
0 1 0
10 0
(A A A ) (A A A )
A A A A A A
+ A A A A A A
+ A A A A A A
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y z zz x z y z z
= ==
= = =
== =
=
= + + + +
= + +
+ +
+ +
A A A
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
i
i
i i i���
i i i��� ��� ���
i i i���
1
2
2 2 2
A A A A A A
A A A
A
x x y y z z
x y z
= + +
= + +
=
3 3
1 1
2
i ji j
i ji j
i j i j
ij
i
x xx xi j
x xx x
x x x x
x
A B
A A
A A
A
δ
= =
=
=
=
=
=
=
∑ ∑
A A A
e e
e e
e e
i
i
i
i���
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 27
Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector /Beispiel: Ortsvektor und elektrischer FeldstBeispiel: Ortsvektor und elektrischer FeldstBeispiel: Ortsvektor und elektrischer FeldstBeispiel: Ortsvektor und elektrischer Feldstäääärkevektorrkevektorrkevektorrkevektor
Electric Field Strength Vector / Electric Field Strength Vector / Electric Field Strength Vector / Electric Field Strength Vector / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärkevektor rkevektor rkevektor rkevektor
2 2 2
( , , )ˆ ( , , )( , , )
x y z
x y zx y z
x y zx y z
x y z
=
+ +=
+ +
RR
R
e e e
( ) ( )2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z
=
= + + + +
= + +
R R R
e e e e e e
i
i
2 2 2
( , , )ˆ ( , , )( , , )
E E E
E E E
x y zx y z
x y z
x y zx y z
x y z=
+ +=
+ +
EE
E
e e e
( ) ( )2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
E E E E E E
E E E
x y z x y zx y z x y z
x y z
x y z x y z x y z=
= + + + +
= + +
E E E
e e e e e e
i
i
Position Vector / Position Vector / Position Vector / Position Vector / OrtsvektorOrtsvektorOrtsvektorOrtsvektor
Magnitude of the Position Vector (Distance) / Magnitude of the Position Vector (Distance) / Magnitude of the Position Vector (Distance) / Magnitude of the Position Vector (Distance) / Betrag des Ortsvektor (Abstand)Betrag des Ortsvektor (Abstand)Betrag des Ortsvektor (Abstand)Betrag des Ortsvektor (Abstand)
Magnitude of the Electric Field Strength Vector Magnitude of the Electric Field Strength Vector Magnitude of the Electric Field Strength Vector Magnitude of the Electric Field Strength Vector (Strength) / (Strength) / (Strength) / (Strength) / Betrag des elektrische FeldstBetrag des elektrische FeldstBetrag des elektrische FeldstBetrag des elektrische Feldstäääärkevektors rkevektors rkevektors rkevektors
(St(St(St(Stäääärke)rke)rke)rke)
Position Unit Vector (Direction) / Position Unit Vector (Direction) / Position Unit Vector (Direction) / Position Unit Vector (Direction) / OrtseinheitsvektorOrtseinheitsvektorOrtseinheitsvektorOrtseinheitsvektor (Richtung)(Richtung)(Richtung)(Richtung)
Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärkeeinheitsvektor (Richtung) rkeeinheitsvektor (Richtung) rkeeinheitsvektor (Richtung) rkeeinheitsvektor (Richtung)
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 28
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / VektorVektorVektorVektorproduktproduktproduktprodukt (Kreuzprodukt oder (Kreuzprodukt oder (Kreuzprodukt oder (Kreuzprodukt oder ääääuuuußßßßeres Produkt) (1)eres Produkt) (1)eres Produkt) (1)eres Produkt) (1)
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 29
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder ääääuuuußßßßeres Produkt) (2)eres Produkt) (2)eres Produkt) (2)eres Produkt) (2)
= −A×B B× A
0
0
( ) ( )
+
+
yz
z x
y x
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y zz x z y
A A A B B B
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A
= =−=
=− = =
= =−
= + + + +
= + +
+ +
+ +
ee
e e
e e
A × B e e e × e e e
e ×e e ×e e ×e
e ×e e ×e e ×e
e ×e e ×e
��� ������
��� ��� ���
��� ���0
( ) ( ) ( )
z z z
y z z y z x x z x y y xx x y z
B
A B A B A B A B A B A B
=
= − + − + −
e ×e
e e e e
���
=A × A 0
x y z⊥ ⊥e e e
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale EinheitsvektorenOrthonormale Einheitsvektoren
x x
x y z
x z y
y x z
y y
y z x
z x y
z y x
z z
=
=
= −
= −
=
=
=
= −
=
e × e 0
e × e e
e × e e
e × e e
e × e 0
e × e e
e × e e
e × e e
e × e 0
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 30
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder ääääuuuußßßßeres Produkt) (3)eres Produkt) (3)eres Produkt) (3)eres Produkt) (3)
( )
+ ( )
( )
x y z
x y z
x y z
x y z x y
x y z x y
x y z x y
y z z y x
z x x z y
x y y x z
A A A
B B B
A A A A A
B B B B B
A B A B
A B A B
A B A B
=
=
= −
−
+ −
e e e
A×B
e e e e e
e
e
e
Add the first two ColumnsAdd the first two ColumnsAdd the first two ColumnsAdd the first two Columns / / / / Addiere die beiden ersten SpaltenAddiere die beiden ersten SpaltenAddiere die beiden ersten SpaltenAddiere die beiden ersten Spalten
SarrusSarrusSarrusSarrus LawLawLawLaw ////Regel von Regel von Regel von Regel von SarrusSarrusSarrusSarrus
Electric Field Constant / Electric Field Constant / Electric Field Constant / Electric Field Constant / Elektrische FeldkonstanteElektrische FeldkonstanteElektrische FeldkonstanteElektrische Feldkonstante(IEEE, VDE)(IEEE, VDE)(IEEE, VDE)(IEEE, VDE)Permittivity of Free SpacePermittivity of Free SpacePermittivity of Free SpacePermittivity of Free Space / / / / PermittivitPermittivitPermittivitPermittivitäääätttt des Freiraumesdes Freiraumesdes Freiraumesdes Freiraumes
Side Remark: In some Cases /Side Remark: In some Cases /Side Remark: In some Cases /Side Remark: In some Cases /Nebenbemerkung: In einigen FNebenbemerkung: In einigen FNebenbemerkung: In einigen FNebenbemerkung: In einigen Fäääällenllenllenllen
Differential Form /Differential Form /Differential Form /Differential Form /DifferentialformDifferentialformDifferentialformDifferentialform rMaterial
1.006
Paper / Papier 2...4
Wet Earth / Nasse Erde 5...15
Gallium Arsenide / Gallium Arsenid 13
Seawater / Seewasser 70
Air / Luft
ε
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 36
( ) [ ](2)e
12
(1)e
212
1 N
4 R
Q Q
πε= RF R
CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Law / s Law / s Law / s Law / CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetzCharles Augustin de Charles Augustin de Charles Augustin de Charles Augustin de CoulombCoulombCoulombCoulomb (1736 (1736 (1736 (1736 –––– 1806)1806)1806)1806)
ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electric Points Charge and Electric Field Strength Electric Points Charge and Electric Field Strength Electric Points Charge and Electric Field Strength Electric Points Charge and Electric Field Strength –––– CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Laws Laws Laws Law / / / / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrische Punktladung und elektrische FeldstElektrische Punktladung und elektrische FeldstElektrische Punktladung und elektrische FeldstElektrische Punktladung und elektrische Feldstäääärke rke rke rke –––– CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetz
(1)e
(2)e
Force /( ) [N]
Kraft
Electric Point Charge /[As]
Elektrische Punktladung
Electric Point Charge /[As]
Elektrische PunktLadung
Distance /[m]
Abstand
Distance Unit Vector /[1]
Abstandseinheitsvektor
Pe
Q
Q
R
RF
R
rmittivity of Free-Space /[As/Vm]
Permittivität des Freiraumesε
12R
(2)eQ
(1)eQ
12R
[ ] 1R
= =R R
RR
[ ]= mR = R R Ri
( ) (2)
12
(1)
1
ee
224
QQ
Rπε=R RF
( )
2 2 2
2 2 2,
x y z
x y z
R
x y z
R x y z
x y z
x y z
ϑ ϕ
= + +
= = + +
+ += =
+ +e
R e e e
R R
e e eR
i
1R2R
12 2 1= −R R R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 37
( )( ) [ ]
(1)e
(2) 2e
N/C or V/m4
Q
Q Rπε= =
RR
FE R
Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladung
ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electric Charge and Electric Field Strength Electric Charge and Electric Field Strength Electric Charge and Electric Field Strength Electric Charge and Electric Field Strength –––– CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Laws Laws Laws Law / / / / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische Feldstäääärke rke rke rke –––– CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetz
(2)e
(1)e
Electric Field Strength /( ) [V/m]
Elektische Feldstärke
Force /( ) [N]
Kraft
Electric Charge /[As]
Elektrische Ladung
Electric Test Charge /[As]
Elektrische Testladung
Distance /[m]
Abstand
Distance
Q
Q
R
R
R
E
F
Unit Vector /[1]
Abstandseinheitsvektor
Permittivity of Free-Space /[As/Vm]
Permittivität des Freiraumesε
R
R
(2)eQ
(1)eQ
R
Electric Test Charge / Elektrische Testladung
Move … / Bewege...
Radial Field / Radialfeld
(2)eQ
Electric Test Charge / Elektrische Testladung
( )( )
(1)e
)
2
(2e
4
Q
Q
Rπε
=
=
EF R
R
R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 38
( ) [ ]
e
2
e V/m44 RR
R
Q Q
πεπε= =
=
R RE R
R R
Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Electric Field Strength: Force Per Unit Charge / Elektrische FeldstElektrische FeldstElektrische FeldstElektrische Feldstäääärke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladungrke: Kraft pro Einheitsladung
ES Fields ES Fields ES Fields ES Fields –––– Electric Charge and Electric Electric Charge and Electric Electric Charge and Electric Electric Charge and Electric FieldFieldFieldField StrengthStrengthStrengthStrength –––– CoulombCoulombCoulombCoulomb’’’’s Laws Laws Laws Law / / / / ES Felder ES Felder ES Felder ES Felder –––– Elektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische FeldstElektrische Ladung und elektrische Feldstäääärke rke rke rke –––– CoulombschesCoulombschesCoulombschesCoulombsches GesetzGesetzGesetzGesetz
e
Electric Field Strength /( ) [V/m]
Elektische Feldstärke
Electric Charge /[As]
Elektrische Ladung
Distance /[m]
Abstand
Distance Unit Vector /[1]
Abstandseinheitsvektor
Permittivity of Free-Space /
Permitt
Q
R
R
R
E
[As/Vm]ivität des Freiraumes
ε
ReQ
R
Radial Field / Radialfeld
( ) 2
e
e
4
4
R
Q
R
Q
πε
πε
=
=
R RE
R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 39
e
( ) 0
( ) ( ) d
C S
S V VVρ
=∂
=∂
=
=
∫
∫∫ ∫∫∫
E R dR
D R dS R
i
i
�
e
( )
( ) ( )ρ
∇ =
∇ =
× E R 0
D R Ri
Integral Form / Differential Form / Integralform Differentialform
Curl-Free E-Field /Rotationsfreies E-Feld
Divergence of D Represents Electric Charge Density /Quellstärke von D entspricht der elektrischen Raumladungsdichte
Method of Gauss’ Electric Law /Methode des Gaußschen elektrischen Gesetzes
ES FieldsES FieldsES FieldsES Fields –––– Method of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ LawLawLawLaw / / / / ESESESES----Felder Felder Felder Felder –––– Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 41
Source Distribution Source Distribution Source Distribution Source Distribution / Quellverteilung/ Quellverteilung/ Quellverteilung/ Quellverteilung
Total electric charge inside thevolume with the cl
Summation of all = Contributions /Summation aller = -Beiträge
( ) ( ) d
eS V
Dn
n
n
S V V
QS
VD
D
Vρ
=∂
=∂=
∫∫
∫∫ ∫∫∫
R
D R n
n D
n D
D R dS R
i�����
ii
i��������� �������
���������
osed surface /Gesamte elektrische Ladung im Volumen mit der geschlossenen Oberfläche
S V
V S V
=∂
=∂
�������
e
e
Flux of through in /Fluss von durch in
S Q VS Q V
==
D
D
ES FieldsES FieldsES FieldsES Fields –––– Method of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ LawLawLawLaw / / / / ESESESES----Felder Felder Felder Felder –––– Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 42
ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ Law /Law /Law /Law /
Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes
ES FieldsES FieldsES FieldsES Fields –––– Method of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ LawLawLawLaw / / / / ESESESES----FelderFelderFelderFelder –––– Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes
0 source- free / quellenfrei
( ) 0 Source / Quelle
0 Sink / SenkeS V=∂
=
> <
∫∫ D R dS
i
e ( )ρ R
SS1S
2S
2n
1n
1 1
2 2
1
2
e
( ) d
( ) d
( ) d
S SSS V
S V
S V
S
S
S
Q
=∂
=∂
=∂
=
=
=
∫∫
∫∫
∫∫
D R n
D R n
D R n
i
i
i
Sn
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 43
ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ Law /Law /Law /Law /
Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzesschen Gesetzes
Example: Fluid MechanicsExample: Fluid MechanicsExample: Fluid MechanicsExample: Fluid Mechanics –––– Spring of WaterSpring of WaterSpring of WaterSpring of Water / / / / Beispiel: StrBeispiel: StrBeispiel: StrBeispiel: Ströööömungsmechanik mungsmechanik mungsmechanik mungsmechanik –––– WasserquelleWasserquelleWasserquelleWasserquelle
vv
v
Spring of Water Spring of Water Spring of Water Spring of Water / / / / WasserquelleWasserquelleWasserquelleWasserquelle
Total Flux through the Closed Surface Total Flux through the Closed Surface Total Flux through the Closed Surface Total Flux through the Closed Surface / / / / Gesamtfluss durch die geschlossene OberflGesamtfluss durch die geschlossene OberflGesamtfluss durch die geschlossene OberflGesamtfluss durch die geschlossene Oberfläääächechecheche
v
n
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 44
ES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderES Fields / ES FelderMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric GaussMethod of Electric Gauss’’’’ Law Law Law Law ---- Example /Example /Example /Example /
Methode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen GauMethode des elektrischen Gaußßßßschen Gesetzes schen Gesetzes schen Gesetzes schen Gesetzes ---- BeispielBeispielBeispielBeispiel
Example: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /ribution /ribution /ribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichtedichtedichtedichte
e0 00e e
0
( ) ( )
0
RR R
RR
R R
ρρ ρ
<
= = >
R
Prescribed: Electric Charge Density / Prescribed: Electric Charge Density / Prescribed: Electric Charge Density / Prescribed: Electric Charge Density / Vorgegeben: Elektrische RaumladungsdichteVorgegeben: Elektrische RaumladungsdichteVorgegeben: Elektrische RaumladungsdichteVorgegeben: Elektrische Raumladungsdichte
+
++
+
++
+
+
+ +
+
+++
+
+
++
+ + + ++
+
+
+
+
+
+ + ++
++
+++
+
+
+
+
+
+
+
ϕ
ϑ
0RR
R
R
0R
0R
e0 ( )Rρ
( )RD R
sin dR ϑ ϕ
dR ϑdR
e
e
( )
( ) ( ) d ( ) d
n
S V S V VD
Q
S Vρ=∂ =∂
==
= =∫∫ ∫∫ ∫∫∫i i����� �������
R
D R dS D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen (ES) FallBetrachte den elektrostatischen (ES) FallBetrachte den elektrostatischen (ES) FallBetrachte den elektrostatischen (ES) Fall
Charged Sphere with Radius RCharged Sphere with Radius RCharged Sphere with Radius RCharged Sphere with Radius R0000 / / / / Geladene Kugel mit dem Radius Geladene Kugel mit dem Radius Geladene Kugel mit dem Radius Geladene Kugel mit dem Radius RRRR0000
Solution for D(Solution for D(Solution for D(Solution for D(RRRR) / ) / ) / ) / LLLLöööösung fsung fsung fsung füüüür r r r D(D(D(D(RRRR))))
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n R
R
D D
n RD D
= =
=
=
R R
D R n D R e
R R
i i����� �����
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 45
Vector Differential Surface Element Vector Differential Surface Element Vector Differential Surface Element Vector Differential Surface Element / / / / Vektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles Fläääächenelement (1)chenelement (1)chenelement (1)chenelement (1)
d S=d S nDefinition:Definition:Definition:Definition:
Position Vector Position Vector Position Vector Position Vector / / / / OrtsvektorOrtsvektorOrtsvektorOrtsvektor
Position Vector Position Vector Position Vector Position Vector / / / / OrtsvektorOrtsvektorOrtsvektorOrtsvektor
Vector Differential Line Vector Differential Line Vector Differential Line Vector Differential Line Elements / Elements / Elements / Elements / Vektorielle Vektorielle Vektorielle Vektorielle differentielle differentielle differentielle differentielle LinienelementeLinienelementeLinienelementeLinienelemente
( )1 2,σ σR
2σ2σdR
Position Vector Position Vector Position Vector Position Vector / / / / OrtsvektorOrtsvektorOrtsvektorOrtsvektor
n
Position Vector Position Vector Position Vector Position Vector / Ortsvektor/ Ortsvektor/ Ortsvektor/ Ortsvektor
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 46
Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles Fläääächenelement (2)chenelement (2)chenelement (2)chenelement (2)
( )
( )1
2
1 2 11
1 2 22
, d
, d
σ
σ
σ σ σ
σ σ σ
=
=
dR σ
dR σ
Vector Differential Line Elements / Vector Differential Line Elements / Vector Differential Line Elements / Vector Differential Line Elements / Vektorielles differentielles LinienelementVektorielles differentielles LinienelementVektorielles differentielles LinienelementVektorielles differentielles Linienelement
( ) ( )1 2
1 2 1 2 1 21 2
d
, , d d
S σ σ
σ σ σ σ σ σ
=
=
dR × dR
σ ×σ
Scalar Differential Surface Elements / Scalar Differential Surface Elements / Scalar Differential Surface Elements / Scalar Differential Surface Elements / Skalares differentielles FlSkalares differentielles FlSkalares differentielles FlSkalares differentielles Fläääächenelementchenelementchenelementchenelement
Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vector Differential Surface Element / Vektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles FlVektorielles differentielles Fläääächenelement chenelement chenelement chenelement
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 47
GaussGaussGaussGauss’’’’ Electric Law Electric Law Electric Law Electric Law / Gau/ Gau/ Gau/ Gaußßßßsches elektrisches Gesetzsches elektrisches Gesetzsches elektrisches Gesetzsches elektrisches Gesetz
e eQψ =
Closed Surface Integral /Geschlossenes Flächenintegral Summation of all Normal Componentes of
at the Closed Surface of the Volume /
Summation a
( )
( ) ( ) d
n
S V S V
S= VV
D
S=∂
∂
=∂=
=∫∫ ∫∫i i��������������
R
D
D R dS D R n
e
Volume In
ller Normalkomponenten von auf der geschlossenen Oberfläche des
Volumens
Flux Through the Colsed Surface /Fluss durch die geschlossene Oberfläche
e ( ) d
S= VV
VV
ψ
ρ
∂
=
= ∫∫∫
�����
���
�������
�����
���
�
D
R
e
tegral /Volumenintegral
Summation of all charges inside the Volume /
Summation aller Ladungen in dem Volumen
V
V
Q=
�����
������
��
���
�����
����
z
S∈R
y
x
Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 48
Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius a a a a / / / / Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius aaaa (1)(1)(1)(1)
( )2
2
0 0( ) [ ( , , )][ ( , , )]
e
( ) ( ) d [ ( , , )] , sin d d
=
n R
n
RS V S VD D R a
D R a
S R a a
π π
ϕ ϑ ϑ ϕϑ ϕ
ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ
ψ
=∂ =∂= == = =
= =
= = =∫∫ ∫∫ ∫ ∫i i i����� �������������
R R
R
D R dS D R n D R e
z
S∈R
y
x
Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve
: ktor
n
S V= ∂
nD
nD = D ni
Sphere/Kugel: V
dS=dS n
dS
nn D=D n
( ) ( )2 2
d d
d ( d d )
, sin d d , sin d dR R
S SR a
S h h
R a
ϑ ϕϑϕ ϑ ϕ
ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ
=
= =
= =������� ������������ �����
n n
dS n n
e e
0
0 2
ϑ π
ϕ π
≤ ≤
≤ <
( )
e
( ) d
( ) d
n
S VD
V
S
Vρ
=∂=
=
∫∫
∫∫∫
i�����
R
D R n
R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 49
Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius Example: Sphere with Radius a a a a / / / / Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius Beispiel: Kugel mit Radius aaaa (2)(2)(2)(2)
z
S∈R
y
x
Outward Normal Unit-Vector / Nach Außen zeigender Normaleneinheitsve
: ktor
n
S V= ∂
nD
nD = D ni
Sphere/Kugel: V
dS=dS n
dS
nn D=D n
0
0
0 2
R a
ϑ π
ϕ π
≤ ≤
≤ ≤
≤ <
( )
e
( ) d
( ) d
n
S VD
V
S
Vρ
=∂
=
∫∫
∫∫∫
i�����
R
D R n
R
( )2d sin d d d d d d RV R R h h h Rϑ ϕϑ ϑ ϕ ϑ ϕ= =
22
e e
0 0 0
e
( )d [ ( , , )] sin d d d
a
VR
V R R R
Q
π π
ϕ ϑ
ρ ρ ϑ ϕ ϑ ϑ ϕ= = =
=
=
∫∫∫ ∫ ∫ ∫R R
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 50
Example: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge DistExample: Electric Field Due to Spherically Symmetric Charge Distribution /ribution /ribution /ribution /Beispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen RaumladungsBeispiel: Elektrisches Feld einer kugelsymmetrischen Raumladungsdichtedichtedichtedichte
e0 00e
0
( )
0
RR R
R
R R
ρρ
<
= >
RElectric Charge Density / Electric Charge Density / Electric Charge Density / Electric Charge Density / Elektrische RaumladungsdichteElektrische RaumladungsdichteElektrische RaumladungsdichteElektrische Raumladungsdichte
+
++
+
++
+
+
+ +
+
+++
+
+
++
+ + + ++
+
+
+
+
+
+ + ++
++
+++
+
+
+
+
+
+
+
ϕ
ϑ
0R R
R
R
0R
0R
e0ρ
RD
sin dR ϑ ϕ
dR ϑdR
e
( )
( ) d ( ) d
n
S V VD
S Vρ=∂
=
=∫∫ ∫∫∫i�����
R
D R n RConsider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Consider the Electrostatic (ES) Case / Betrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen FallBetrachte den elektrostatischen Fall