Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 3rd Lecture / 3. Vorlesung University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 D-34121 Kassel Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein [email protected]http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html
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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 1 Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) / Electromagnetic Field Theory I (EFT I) 3rd.
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Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 1
Elektromagnetische Feldtheorie I (EFT I) /
Electromagnetic Field Theory I (EFT I)
3rd Lecture / 3. Vorlesung
University of KasselDept. Electrical Engineering / Computer
Science (FB 16)Electromagnetic Field Theory
(FG TET)Wilhelmshöher Allee 71
Office: Room 2113 / 2115D-34121 Kassel
Universität KasselFachbereich Elektrotechnik / Informatik
with Einstein’s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention
Einstein‘s Summation Convention: If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von 1 bis 3 summiert.
1 2 3{ , , } { , , }x y z x x x 1 2 3{ , , } { , , }x y z x x xmit mit
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 7
Position Vector / Ortsvektor (Positionsvektor)
( ) ( ) ( )
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
r z
r zr z
r z
R R R
r z
R R R R R R R
R e R e R e
e e
Cylindrical Coordinate System / Zylinderkoordinatensystem
Transformation of the Coordinates / Transformation der Koordinaten Position Vector in the Cartesian Coordinate System as
a Function of Cylinder Coordinates / Ortsvektor im Kartesischen Koordinatensystem als
Funktion der Zylinderkoordinaten
Transformation of the Scalar Vector Components / Transformation der skalaren Vektorkomponenten
2 2
1
cos cos sin sin
(cos sin )
cos sin sin cos 0
r
z z
R r r
r r
R r r
R R
( )r z
r zR R
r z R e e
Position Vector in the Cylinder Coordinate System /
Ortsvektor in dem Zylinderkoordinatensystem
( , , , , , )
, , ( ) , , ( ) , ,
r z
r zr z
r y R R R
R r y R r y R r y
R
e e e
?Position Vector in the Cylinder Coordinate
System / Ortsvektor im Zylinderkoordinatensystem
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 20
Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (1)
( ) ( ) ( )S t C t S t
m( ) ( ) ( ) ( )
d( , ) ( , ) ( , )
dC t S t S t S tt t t
t E R dR B R dS J R dS
Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz
Time Dependent Surface /Zeitabhängige Fläche
Time Dependent Contour /Zeitabhängige Kontur
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 21
Faraday‘s Induction Law in Integral Form /Faradaysches Induktionsgesetz in Integralform (2)
Faraday‘s Induction Law / Faradaysches Induktionsgesetz
( ) ( )C t S t dR
( , )tE R
dR
( , )tE R dR
[m] Closed Contour Integral / Geschlossenes Kurvenintegral
[V/m] Electric Field Strength / Elektrische Feldstärke
[m] Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentielles Linienelement
[V]Scalar Product of E and dR = tangential projection of E onto dR / Skalarprodukt von E auf dR = Tangentialprojektion von E auf dR
dRdR s
Vectorial Differential Line Element / Vektorielles differentiellesLinienelement
Tangential Unit Vector / Tangentialer
Einheitsvektor
Scalar Differential Line Element / Skalares differentielles
Linienelement
m( ) ( ) ( ) ( )
d( , ) ( , ) ( , )
dC t S t S t S tt t t
t E R dR B R dS J R dS
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 22
Different Products / Verschiedene Produkte
C A BScalar Product / Skalarprodukt
C AB
C A×BVector Product / Vektorprodukt
Dyadic Product / Dyadisches Produkt
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 23
Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (1)
cos ( , )
cosAB
ABAB
A B A B A B
cos ABB
AB
A
B
cos ABA
ABEnclosed Angle / Eingeschlossener
Winkel
cos
cosBA
AB
BA
AB
A B B A
cos cosAB AB
cos
arccos
AB
AB
A B
A B
A B
A B
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 24
Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (2)
1 00
0 1 0
10 0
( ) ( )
+
+
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y z zz x z y z z
A A A B B B
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A B
A
A B e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
x x y y z zB A B A B
1 2 3 1 2 31 2 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3
3
1
( ) ( )
( ) ( )
i i
x y z x y zx y z x y z
x x y y z z
x x x x x xx x x x x x
x x x x x x
x xi
A A A B B B
A B A B A B
A A A B B B
A B A B A B
A B
A B e e e e e e
e e e e e e
x y z e e e
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren
1
0
0
x x
x y
x z
e e
e e
e e
0
1
0
y x
y y
y z
e e
e e
e e
0
0
1
z x
z y
z z
e e
e e
e e
1
2
3
x x
y x
z x
Cartesian Coordinates / Kartesische Koordinaten
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 25
Scalar Product (Dot or Inner Product) / Skalarprodukt (Punktprodukt oder inneres Produkt) (3)
3 3
1 1
3 3
1 1
3 3
1 1
( ) ( )
or/oder
i ji j
i ji j
i j i j
ij
i j i j
ij
i j
xi
x y z x y zx y z x y z
x xx xi j
x xx xi j
x x x xi j
x x x x
x x ij
B
A A A B B B
A B
A B
A B
A B
A B
A B e e e e e e
e e
e e
e e
e e
i j
x j
x xj j
i i
x ij x
A
A B
x x
A B
A B
1
0iji j
i j
Kronecker Delta / Kronecker-Delta
with Einstein’s Summation Convention / mit Einsteinscher Summationskonvention
Einstein‘s Summation Convention: If a index appears two times at one side of an equation (and not at the other side), the index is automatically summed over 1 to 3. / Einsteinsche Summenkonvention: Wenn ein Index auf einer Seite einer Gleichung zweimal vorkommt (und auf der anderen nicht), wird darüber von 1 bis 3 summiert.
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 26
Magnitude of a Vector / Betrag eines Vektors
1 00
0 1 0
10 0
(A A A ) (A A A )
A A A A A A
+ A A A A A A
+ A A A A A A
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y z zz x z y z z
A A A
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
e e e e e e
1
2
2 2 2
A A A A A A
A A A
A
x x y y z z
x y z
3 3
1 1
2
i ji j
i ji j
i j i j
ij
i
x xx xi j
x xx x
x x x x
x
A B
A A
A A
A
A A A
e e
e e
e e
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 27
Example: Position Vector and Electric Field Strength Vector / Beispiel: Ortsvektor und elektrischer Feldstärkevektor
( , , ) R ( , , ) R ( , , ) R ( , , )
x y zx y z
x y z
x y z x y z x y z x y zx y z
R e e ee e e
Cartesian Coordinate System / Kartesisches Koordinatensystem
( , ) ( , , , )
E ( , , , ) E ( , , , ) E ( , , , )x y zx y z
t x y z t
x y z t x y z t x y z t
E R E
e e e
Electric Field Strength Vector / Elektrische Feldstärkevektor
2 2 2
( , , )ˆ ( , , )( , , )
x y z
x y zx y z
x y zx y z
x y z
RR
Re e e
2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
x y z x y z
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z
R R R
e e e e e e
2 2 2
( , , )ˆ ( , , )( , , )
E E E
E E E
x y zx y z
x y z
x y zx y z
x y z
EE
Ee e e
2 2 2
( , , ) ( , , ) ( , , )
E E E E E E
E E E
x y z x y zx y z x y z
x y z
x y z x y z x y z
E E E
e e e e e e
Position Vector / Ortsvektor
Magnitude of the Position Vector (Distance) / Betrag des Ortsvektor (Abstand)
Magnitude of the Electric Field Strength Vector (Strength) / Betrag des elektrische Feldstärkevektors
(Stärke)
Position Unit Vector (Direction) / Ortseinheitsvektor (Richtung)
Electric Field Strength Unit Vector (Direction) / Elektrische Feldstärkeeinheitsvektor (Richtung)
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 28
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (1)
sin ( , )
sin
AB
AB
AB
C
AB
S
C A×B
A B A B
AB
A
B
C
ABS
and /
und C A C B
Surface / Fläche
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 29
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (2)
A×B B×A
0
0
( ) ( )
+
+
yz
z x
y x
x y z x y zx y z x y z
x x x y x zx x x y x z
y x y y y zy x y y y z
z x z y zz x z y
A A A B B B
A B A B A B
A B A B A B
A B A B A
ee
e e
e e
A×B e e e × e e e
e ×e e ×e e ×e
e ×e e ×e e ×e
e ×e e ×e
0
( ) ( ) ( )
z z z
y z z y z x x z x y y xx x y z
B
A B A B A B A B A B A B
e ×e
e e e e
A×A 0
x y z e e e
Orthonormal Unit Vectors / Orthonormale Einheitsvektoren
x x
x y z
x z y
y x z
y y
y z x
z x y
z y x
z z
e × e 0
e × e e
e × e e
e × e e
e × e 0
e × e e
e × e e
e × e e
e × e 0
Dr.-Ing. René Marklein - EFT I - SS 06 - Lecture 3 / Vorlesung 3 30
Vector Product (Cross or Outer Product) / Vektorprodukt (Kreuzprodukt oder äußeres Produkt) (3)
( )
+ ( )
( )
x y z
x y z
x y z
x y z x y
x y z x y
x y z x y
y z z y x
z x x z y
x y y x z
A A A
B B B
A A A A A
B B B B B
A B A B
A B A B
A B A B
e e e
A×B
e e e e e
e
e
e
Add the first two Columns / Addiere die beiden ersten Spalten