Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 11 / Vorlesung 11 - WS 2005 / 2 1 Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) / 11th Lecture / 11. Vorlesung Universität Kassel Fachbereich Elektrotechnik / Informatik (FB 16) Fachgebiet Theoretische Elektrotechnik (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Büro: Raum 2113 / 2115 D-34121 Kassel Dr.-Ing. René Marklein [email protected]http://www.tet.e-technik.uni-kassel.de http://www.uni-kassel.de/fb16/tet/marklein/index.html University of Kassel Dept. Electrical Engineering / Computer Science (FB 16) Electromagnetic Field Theory (FG TET) Wilhelmshöher Allee 71 Office: Room 2113 / 2115 D-34121 Kassel
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 11 / Vorlesung 11 - WS 2005 / 2006 1 Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I) Numerische Methoden.
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Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 11 / Vorlesung 11 - WS 2005 / 2006 1
Numerical Methods of Electromagnetic Field Theory I (NFT I)
Numerische Methoden der Elektromagnetischen Feldtheorie I (NFT I) /
Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung
Consistency / Konsistenz
Dispersion / Dispersion
Stability Condition / Stabilitätsbedingung
Convergence / Konvergenz
?
?
z
t
( )t f z
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 11 / Vorlesung 11 - WS 2005 / 2006 3
Analytical and Numerical Dispersion Relation Analytische und Numerische Dispersionsrelation
where kz is the z component of the wave vector k / wobei kz die z-Komponente des Wellenvektors k ist
where kz is the z component of the wave vector k / wobei kz die z-Komponente des Wellenvektors k ist
Dispersion relation for a plane wave propagation in 1-D und 3-D: /
Dispersionsrelation für die Ausbreitung einer ebenen Welle in 1D und 3D
0
0
j0 0
j0 0
ˆ1D: ( , ) ( , ) e
ˆ3D: ( , ) ( , ) e
zt k zx
t
E z t E
t E
k R
k
E R k
1D:
3D: z z
x y zx y z
k
k k k
k e
k e e e
2
2 2 2
1D:
3D:
z z
x y z
k k k
k k k k
k k k
k k k
with magnitude / mit dem Betragwith magnitude / mit dem Betrag
2 2
2 2 20
2
2 20
1( , ) ( , ) 0
1( , ) ( , ) 0
x xE z t E z tz c t
t tc t
E R E R
Insert the plane wave ansatz into the scalar 1-D and vector 3-D wave equation / Setze den ebenen Wellenansatz in die skalare 1D und vektorielle 3D Wellengleichung
ein
Insert the plane wave ansatz into the scalar 1-D and vector 3-D wave equation / Setze den ebenen Wellenansatz in die skalare 1D und vektorielle 3D Wellengleichung
ein
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Derivation of the Stability Condition for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der Stabilitätsbedingung für das 1D-FD-Schema
2ter Ordnung
2 2 2 2
0
k k k =k
k k k k
x z z zx z z z
x y z z zk k
kc
k e e e e
k k k
Wave vector / Wellenvektor
Magnitude of the wave vector /Betrag des Wellenvektors
Wavenumber /Wellenzahl
Circular freque
0 02
sgn
(k ) kk sgn(k )ˆ sgn(k )k
ˆ sgn(k ) (
z zz zzz zz z
z
z z
f
k
k k
k k
ee ek
k
ek
k R e
ncy /Kreisfrequenz
Propagation direction /Ausbreitungsrichtung
Phase of the plane wave /Phase der ebenen Welle ) sgn(k ) sgn(k )z zx z z z zx y z k z k z e e e e e
Complex Monofrequent (monochromatic) plane wave in the time domain /Komplexe monofrequente (monochromatische) ebene Welle im Zeitbereich
0
0
ˆj0 0
ˆj j0 0
ˆ( , ) ( , ) e
ˆ( , ) e e
t kx
t k
E t E
E
k R
k R
R k
k
k̂
R
ˆ const.k R
Plane of constant phase /Ebene konstanter Phase
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Analytical and Numerical Dispersion Relation Analytische und Numerische Dispersionsrelation
0 0
0 0
0
2 2
2 2 20
2 2j j
0 0 0 02 2 20
j j2 20 0 0 0 02
0
2j2 0
0 020
1( , ) ( , ) 0
1ˆ ˆ( , ) e ( , ) e 0
1ˆ ˆ(j ) ( , ) e (j ) ( , ) e 0
ˆ( , ) e 0
z z
z z
z
x x
t k z t k z
t k z t k zz
t k zz
E z t E z tz c t
E Ez c t
k E Ec
k Ec
k k
k k
k
We compute / Wir berechnenWe compute / Wir berechnen
Dispersion relation / Dispersionsrelation
Dispersion relation / Dispersionsrelation
22 2 0
20
zk kc
Dispersion relation of a monochromatic plane wave / Dispersionsrelation einer monochromatischen ebenen Welle
Dispersion relation of a monochromatic plane wave / Dispersionsrelation einer monochromatischen ebenen Welle
00 0 0 0
0
( ) ( )k k c k k c kc
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Analytical and Numerical Dispersion Relation Analytische und Numerische Dispersionsrelation
0 0
0 0
0
2
2 20
2j j
0 0 0 02 20
j j2 2 2 2 20 0 0 0 02
0
2j2 2 2 0
0 020
1( , ) ( , ) 0
1ˆ ˆ( , ) e ( , ) e 0
1ˆ ˆj ( ) ( , ) e (j ) ( , ) e 0
ˆ( ) ( , ) e 0
t t
t tx y z
tx y z
t tc t
E Ec t
k k k E Ec
k k k Ec
k R k R
k R k R
k R
E R E R
k k
k k
k
We compute in the 3-D case / Wir berechnen im 3D-FallWe compute in the 3-D case / Wir berechnen im 3D-Fall
Dispersion relation / Dispersionsrelation
Dispersion relation / Dispersionsrelation
22 2 2 2 0
20
x y zk k k kc
00 0 0 0
0
( ) ( )k k c k k c kc
Dispersion relation of a monochromatic plane wave / Dispersionsrelation einer monochromatischen ebenen Welle
Dispersion relation of a monochromatic plane wave / Dispersionsrelation einer monochromatischen ebenen Welle
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Analytical and Numerical Dispersion Relation Analytische und Numerische Dispersionsrelation
0
0 0
( )k kc c
Dispersion relation for a plane wave / Dispersionsrelation für eine
ebene Welle
Dispersion relation for a plane wave / Dispersionsrelation für eine
ebene Welle
0( )k k c
This means that the circular frequency is a function of k / Dies bedeutet, dass die Kreisfrequenz eine Funktion von k ist
This means that the circular frequency is a function of k / Dies bedeutet, dass die Kreisfrequenz eine Funktion von k ist
Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung
Consistency / Konsistenz
Dispersion / Dispersion
Stability Condition / Stabilitätsbedingung
Convergence / Konvergenz
?
?
z
t
( )t f z
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Derivation of the Numerical Dispersion Relation for the 1-D FD Scheme of 2nd Order / Ableitung der numerischen Dispersionsrelation für das 1D-FD-Schema
2ter OrdnungStability by the von Neumann’s method
(Fourier series method):
Insert a complex monofrequent (monochromatic) plane wave into the discrete FD equations and analyze the spectral radius of the amplification
matrix, where the spectral radius must be smaller equal one.
Stabilität durch die von Neumannsche Methode(Fourier-Reihen-Methode):
Setze eine komplex monofrequente (monochromatische) ebene Welle in die diskreten FD-Gleichungen ein und analysiere den spektralen Radius der Verstärkungsmatrix, wobei der spektrale Radius kleinergleich Eins
sein muss.Complex monofrequent (monochromatic) plane wave
/Komplex monofrequente (monochromatische) ebene
Welle
0
0
ˆj0 0
ˆj j0 0
ˆ( , ) ( , ) e
ˆ( , ) e e
t kx
t k
E t E
E
k R
k R
R k
k
FD FD( 1) ( )1D 1D
:t tn n W G W G Amplification matrix /Verstärkungsmatrix
FD FD1D 1D
1 G Gof the matrix /Spectral radius /Spektraler Radius der Matrix
FD FD FD FD1D 1D 1D 1D1. .
where max / -w obe :i n nn N
nn
G G G Gth eigenvalue of the matrix
ter Eigenwert der Matrix
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Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung
Consistency / Konsistenz
Dispersion / Dispersion
Stability Condition / Stabilitätsbedingung
Convergence / Konvergenz
?
?
z
t
( )t f z
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 11 / Vorlesung 11 - WS 2005 / 2006 26
Consistency / Konsistenz
ConsistencyConsistency means that the discrete equations result in
the analytical equations by calculating the limit {Δz, Δt} → 0.
We can prove the consistency of the 1-D FD scheme using the above numerical dispersion relation. We show, that the grid dispersion relation reaches in the limit {Δz, Δt} → 0 the analytical dispersion relation for a
plane wave as a solution of the homogeneous Helmholtz equation.
KonsistenzKonsistenz bedeutet, dass die diskreten Gleichungen bei dem
Grenzübergang {Δz, Δt} → 0 in die analytischen Gleichungen übergehen.
Wir können die Konsistenz des 1D-FD-Schemas anhand der numerischen Dispersionsrelation überprüfen. Wir zeigen, dass die numerische Dispersionsrelation bei dem Grenzübergang {Δz, Δt} → 0 in die
analytische Dispersionsrelation einer ebene Welle als Lösung der homogenen Helmholtz-Gleichung übergeht.
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Consistency / Konsistenz
0
{ , } 0 0
k1 1lim sin sin
2 2z
z t
zt
c t z
0 0
0
0
lim sin2 2
k klim sin
2 2
t
z z
z
t t
z z
0
0
0
0
0
0
k1 1
2 2
k
k
z
z
k
z
zt
c t z
c
k
2 20
2 2{ , } 00
k1 1lim sin sin
2 2z
z t
t z
zc t
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 11 / Vorlesung 11 - WS 2005 / 2006 28
Spatial and Temporal Discretization / Räumliche und zeitliche Diskretisierung
Consistency / Konsistenz
Dispersion / Dispersion
Stability Condition / Stabilitätsbedingung
Convergence / Konvergenz
?
?
z
t
( )t f z
Dr.-Ing. René Marklein - NFT I - Lecture 11 / Vorlesung 11 - WS 2005 / 2006 29
Convergence / Konvergenz
ConvergenceThe importance of the concept of consistency and stability is seen in the
Lax-Richtmyer equivalence theorem, which is the fundamental theorem in the theory of finite difference schemes for initial value problems.
Lax-Richtmyer Equivalence TheoremA consistent finite difference scheme for a partial differential equations of which the initial value problem is well-posed is convergent if and only if it
is stable.
KonvergenzDie Wichtigkeit des Konzeptes der Konsistenz und Stabilität kann man an
dem Lax-Richtmyer-Äquivalenztheorem sehen, welches ein fundamentales Theorem in der Theorie der Finite Differenzen zur Lösung eines
Anfangswertproblems darstellt.
Lax-Richtmyer ÄquivalenztheoremEin konsistentes Finite Differenzen Schema für eine partielle
Differentialgleichung eines gut gestellten Anfangswertproblems ist konvergent, wenn und nur wenn es stabil ist.
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