ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL
UNIVERSIDAD “CESAR VALLEJO” - TRUJILLOFacultad de Ingeniería
Escuela Profesional de Ingeniería Civil
TEMA : “DINÁMICA DE FLUIDOS REALES”
NOMBRE DEL CURSO : MECÁNICA DE FLUIDOS I
PROFESOR : ING. LOAYZA RIVAS, CARLOS ADOLFO
FECHA : TRUJILLO 11 DE JULIO DEL 2013- I
N INTEGRANTES1 AGUILAR PEREDA, BORIS2 BACA RÍOS, RENE3 BALTODANO RODRÍGUEZ, GABRIEL4 CALDERÓN SARE, ERICK5 DÍAZ CISNEROS, LUIS6 FERMÍN VALDERRAMA, JOEL7 FLORES ZAVALETA, LUIGHI8 NARRO TERRONES, JULY9 RUIZ AGUILAR, YON10 TORRES VÁSQUEZ, ALEXIS11 VILLANUEVA GAMBOA, VICTORIA12 VILLANUEVA SANTILLÁN, JAIME
OBSERVACIONES:
1.- ……………………………………………………………………………………………………………………………………
NOTA:……............................. ................................................
EN NUMERO EN LETRA FIRMA DEL PROFESOR
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PRESENTACIÓN
INFORME N° 003 – 2013 I/UCV/FAI
DE : LOS ALUMNOS
A : ING. LOAYZA RIVAS, CARLOS ADOLFODOCENTE DE MECÁNICA DE FLUIDOS
TEMA : “DINÁMICA DE FLUIDOS REALES”
FECHA : 11 de Julio del 2013
Los alumnos de la Escuela Profesional de Ingeniería Civil tienen el agrado
de presentar el informe acerca de Dinámica de los fluidos reales.- Ecuación
de Bernoulli Modificada.- potencia neta y bruta.-Coeficiente de Coriolis y
Boussinesq.-Ecuación de la Energía aplicada a bombas y turbinas.
El desarrollo del trabajo se realizó después de las correspondientes
indicaciones impartidas por nuestro docente Mg.TC.Ing° Carlos Adolfo
Loayza Rivas.
A este informe adjuntamos una serie de información acerca de los temas
tratados en clase, lo cual es parte de nuestra información.
Esperamos que este informe cumpla con las exigentes de nuestro docente,
ya que es fruto de nuestro mayor esfuerzo.
Los Alumnos.
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Objetivos
Objetivo General:
Presentar y exponer la temática de la dinamica de fluidos reales,
realizando una serie de aplicaciones y experimentos.
Objetivos Específicos:
Conocer e interpretar la ecuacion de bernoulli para fluidos reales.
Explicar, analizar e interpretar las expresiones y/o conceptos de
dinamica de fluidos reales.
Definir flujo uniforme y turbulento
Demostrar y dar a conocer coeficiente de Coriolis y el coeficiente de
Boussinesq.
Desarrollar la ecuación de Reynolds.
Dar a conocer la potencia en la dinamica de fluidos reales.
Conocer la distribucion de velocidades.
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INTRODUCCIÓN
Al incluir el análisis del movimiento de los fluidos, se debe tomar en cuenta
varios factores que interviene en el movimiento de estos fluidos, uno de estos
factores es la viscosidad, está influye en la velocidad directamente, de tal
manera que los flujos son rotacionales, por lo tanto las deformaciones
mencionadas anteriormente juegan un papel importante en el estudio de estos.
Los fluidos reales se mueven generalmente bajo dos tipos de flujo, estos son el
laminar o viscoso, donde el flujo es dominado por las acciones de la viscosidad,
es decir, esta se mueve en capa paralelas, y el otro tipo de flujo turbulento,
además de las fuerzas debidas a la viscosidad, actúan otras originadas por el
intercambio aleatorio y permanente de cantidad de movimiento dentro del
campo de flujo, produciendo así un movimiento inestable.
DINÁMICA DE LOS FLUIDOS REALES
Mecánica de fluidos I Página 4
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DEFINICIÓN:
Los Fluidos Reales son aquellos fluidos que presentan viscosidad y es la
principal característica que hace que se diferencien de los Fluidos Ideales; es
decir presentan un rozamiento interior que origina tensiones tangenciales entre
los filetes hidráulicos.
A la vez la viscosidad es una especie de rozamiento interno en los fluidos tanto
en los líquidos como en los gases, solo que en los líquidos es mucho más
resaltante la viscosidad que en los gases.
No debemos olvidar que un fluido con viscosidad es llamado también Fluido
Newtoniano, en la cual cumple con la Ley de Newton de los Fluidos.
EFECTO DE LA VISCOSIDAD
En la mecánica de fluidos se emplea muy frecuentemente el cociente de la
viscosidad absoluta, “μ”, entre la densidad, “ρ”. Este cociente recibe el
nombre de viscosidad cinemática y se representa mediante el símbolo ¨v¨.
Como la densidad tiene dimensiones [ M /¿ ], las dimensiones que resultan para
¨v¨ son ¿¿¿ . En el sistema métrico absoluto de unidades, la unidad para ¨v¨
recibe el nombre de stoke = m2/s.
La viscosidad es una manifestación del movimiento molecular dentro del fluido.
Las moléculas de regiones con alta velocidad global chocan con las moléculas
que se mueven con una velocidad global menor, y viceversa. Estos choques
permiten transportar cantidad de movimiento de una región de fluido a otra. Ya
que los movimientos moleculares aleatorios se ven afectados por la
temperatura del medio, la viscosidad resulta ser una función de la temperatura.
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Cuando el fluido se mueve, se desarrolla en él una tensión de corte, cuya
magnitud depende de la viscosidad del fluido. La tensión de corte, denota con “
τ” (tao), puede definirse como la fuerza requerida para deslizar una capa de
área unitaria de una sustancia sobre otra capa de la misma sustancia. Así
pues, “τ” es una fuerza dividida entre un área y puede medirse en unidades de
newtons por metro cuadrado. En un fluido como el agua, aceite, alcohol o
cualquier otro liquido común, encontramos que la magnitud de la tensión de
corte es directamente proporcional al cambio de velocidad entre diferentes
posiciones del fluido.
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Se muestra en la figura 4-28 el concepto de cambio de velocidad en un fluido
mediante la exhibición de una capa delgada del fluido situada entre dos
superficies, una de las cuales esta estacionaria, mientras que la otra se está
moviendo.
Una condición fundamental que se presenta cuando tenemos un fluido real en
contacto con una superficie frontera, es que el fluido tiene la misma velocidad
que la frontera, el fluido que está en contacto con la superficie inferior tiene
velocidad cero y el que está en contacto con la superficie superior tiene
velocidad ¨v¨. Si la distancia entre las dos placas es pequeña, entonces la
rapidez de cambio de velocidad con respecto de la posición “y” es lineal. El
gradiente de velocidad es una medida del cambio de velocidad y se define
como ∆ v∆ y
.
Conocida como rapidez de corte, el hecho de que la tensión de corte del fluido
es directamente proporcional al gradiente de velocidad puede establecerse,
matemáticamente como: τ =μ( ∆ v∆ y )
En la que la constante de proporcionalidad “μ”, se conoce como viscosidad
dinámica del fluido. La acción de revolver hace que se cree un gradiente de
viscosidad en el fluido. Se requiere una mayor fuerza para revolver un aceite
frió, que tiene una viscosidad mayor, que la requerida para revolver agua, cuya
viscosidad es menor. Esto es una indicación de la mayor tensión de corte en el
aceite frío.
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ECUACIÓN ANALÍTICA PARA LOS FLUIDOS REALES:
Para la Demostración analítica de la Ecuación que exprese a los Fluidos
Reales para su respectiva aplicación en los problemas debemos conocer:
TEOREMA DE BERNOULLI:
Z1+P1
γ+
V 12
2 g=Z2+
P2
γ+
V 22
2 g………………………… ( a1 )
Válida para una línea de corriente de un flujo permanente, de un fluido ideal
incompresible. Cada término tiene unidades de energía por unidad de peso y
los tres términos se refieren a energía utilizable.
De considerarse la viscosidad en el análisis anterior, aparecerá un término
adicional en función del esfuerzo cortante” ” que representaría la energía por
unidad de peso, empleado para vencer las fuerzas de fricción. Este término,
por razones de orden práctico se puede expresar e interpretar del modo que
sigue:
Z1+P1
γ+
V 12
2 g=Z2+
P2
γ+
V 22
2 g+HP 1−2
……………… ( a2 )
Donde: H P1−2=¿
pérdida de energía por unidad de peso.
Ecuación que explica el principio de la energía para una línea de corriente: “La
energía total por unidad de peso en (1), es igual a la energía por unidad de
peso en (2) más la pérdida de la energía producida desde (1) hasta (2)”
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Para una tubería se puede considerar:
1. El filete hidráulico o la línea de corriente coincide con el eje de la
tubería.
2. Que, los valores de z, p y son los representativos de cada
sección.
3. Que, el valor de V en esta línea de corriente no es representativo
de las velocidades en la sección.
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4. Que, en consecuencia de “3”, conviene utilizar como valor
representativo de estas velocidades, el valor medio (velocidad media);
debiendo, en consecuencia reemplazar:
¿> V 2
2 g=α ∙
V −2
2 g
Reemplazando en (a2)
Z1+P1
γ+α1 ∙
V 12
2 g=Z2+
P2
γ+α 2∙
V 22
2 g+H P1−2
……………………… .. (a3 )
Ecuación de energía para una tubería en flujo permanente real viscoso de bajo
campo gravitacional; donde las presiones como las velocidades en las
secciones (1) y (2) son las medias.
POTENCIA DE UNA CORRIENTE LÍQUIDA:
Corriente líquida: son escurrimientos líquidos bajo campo gravitacional que
puede concebirse formado por filetes rectos o de suave curvatura.
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Sea: ¿>H =Z+ Pγ
+α ∙V 2
2 g
La carga total o energía total por unidad de peso en una sección, con respecto
a un plano de referencia (m, kg-m/kg).
= representa el peso del líquido que pasa por la sección en la unidad de
tiempo (kg/seg).
γQ= Wt
+γ ∙∀t
γQH = representa la energía por unidad de tiempo, es decir la potencia de la
corriente con respecto al plano de referencia (kg-m/seg) en la sección.
Por eso:
pot=γQH → pot=γH V m S→ pot=Bm γ V m S
EXPRESIÓN DEL COEFICIENTE DE CORIOLIS:
La potencia elemental de un filete hidráulico o de una línea de corriente es:
dP=(Z+ pγ
+ V 2
2 g )∙ γ ∙ V ∙ ds……………… …( a4 )
La potencia total de toda la corriente será:
pot=∫S
❑
(Z+ pγ
+ V 2
2g ) ∙ γ ∙ V ⋮ ds… ……………… .. ( a5 )
La potencia total de toda la corriente que le corresponde utilizando la
velocidad media será:
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pot=H ∙ γ ∙V m ∙ S ……………………… .. ( a6 )
(a6 )=( a5 )
H ∙ γ ∙V m∙ S=∫S
❑
(Z+ pγ
+ V 2
2 g ) ∙ γ ∙ V ∙ ds
H=∫S
❑
(Z + pγ
+ V 2
2 g )∙ γ ∙V ∙ ds
γ ∙ V m∙ S
Para el caso de los líquidos; = cte.
H=∫S
❑
(Z + pγ ) ∙ γ ∙V ∙ ds
γ ∙V m ∙ S+∫
S
❑V 2
2 g∙ γ ∙ V ∙ ds
γ ∙ V m∙ S
H=(Z+ pγ ) ∙
∫S
❑
V ∙ ds
V m∙ S+
∫S
❑
V 3∙ ds
2g ∙V m∙ S
Pero: ∫S
❑
V ∙ ds=V m ∙ S=Q
¿>H =(Z+ pγ )+
∫S
❑
V 3∙ ds
2 g ∙V m∙ S
Multiplicando el numerador y el denominador por
H=(Z+ pγ )+ V m
2
2 g∙∫
S
❑
V 3 ∙ ds
V m3 ∙ S
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Bm=H =(Z+ pγ )+α ∙
V m2
2g…………………… ( a7 )
Dónde: α=∫
S
❑
V 3 ∙ ds
V m3 ∙ S
= Coeficiente de Coriolis o Coeficiente de Corrección de la Energía
Cinética
OTRA FORMA DE EXPRESAR EL COEFICIENTE DE CORIOLIS Y ECUACIÓN DE BERNOULLI:
Al pasar de la vena líquida de fluido ideal a la de fluido real, con v≠ 0
(viscosidad nula), se deben tener en cuenta dos factores: 1) La irregular
distribución de la velocidad en una sección transversal considerada y 2) Las
pérdidas de energía o pérdidas de presión.
Ambos factores son consecuencia de la viscosidad del fluido. Si bien un fluido
ideal, como ya se vio, puede presentar un perfil de velocidades no plano, dicho
flujo no produce pérdida de energía.
En cuanto al primer factor, el mismo se pone de manifiesto en lo que se
denomina el coeficiente de corrección de la energía cinética o coeficiente de
Coriolis. Sea una corriente líquida (Fig. N°1), con una sección transversal “S”
en dirección perpendicular al movimiento, formada por “n” filamentos de
corriente aproximadamente paralelos entre sí, pero con velocidades variables
de v1a vn
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Fig. N° 1: Escurrimiento de un fluido. Consideraciones para la
Determinación del Coeficiente de Coriolis
En tal supuesto la altura piezométrica se mantiene constante, de modo que a
una variación de la altura geodésica del filamento de corriente le corresponde
una variación inversa de la altura de presión y viceversa. Es decir, en la
sección transversal “S” las presiones varían según la ley hidrostática, por
cuanto la variación de las velocidades de los filamentos de corriente origina
aceleraciones y por lo tanto fuerzas en dirección perpendicular a la sección
“S”, que no afectan al peso ni a las presiones hidrostáticas. Como la velocidad
de cada filamento de corriente puede variar, la altura cinética no es constante y
en consecuencia, el plano de carga hidrodinámico varía y el valor “H” de
Bernoulli varía de un filamento de corriente a otro. De modo que para encontrar
la energía cinética total de la corriente líquida será necesario integrar las
energías cinéticas de todos los filamentos de corriente. La energía cinética del
líquido, transportada a través de toda la sección será:
Ec=12
∙ ρ ∙∫V
❑
v2 ∙ dV =12
∙ ρ ∙∫V
❑
v2 ∙ dQ ∙dt
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y en la unidad de tiempo:
Ec=12
∙ ρ ∙∫V
❑
v2 ∙ dQ=12
∙ ρ ∙∫V
❑
v3 ∙ dS
Si la variación de la velocidad de los filamentos de corriente responde a una ley
definida, es posible establecer una velocidad media “U”, constante en toda la
sección y en tal caso:
E ' c=12
∙ ρ ∙V 3 ∙∫S
❑
dS=12
∙ ρ ∙ V 3 ∙ S
La relación entre estas energías cinéticas será:
Ec
E 'c
=
12
∙ ρ ∙∫S
❑
v3 ∙ dS
12
∙ ρ ∙V 3 ∙ S=∫S
❑
v3 ∙ dS
V 3 ∙ S=α
Siendo: α , el denominado coeficiente de Coriolis.
El mismo resulta ser la relación entre la energía cinética real de la corriente
líquida y la energía cinética, que tendría ésta, si la velocidad de cada filamento
de corriente fuera constante e igual a la velocidad media de la corriente.
Por lo tanto:
α = 1, para un frente plano de velocidades, característico del escurrimiento de
un fluido ideal en régimen Irrotacional.
α = 2, para el frente parabólico de distribución de velocidades, característico
del régimen laminar de un fluido real. Fig. N° 2
α = 1,03 a 1,08, para el perfil característico de un flujo de fluido real en régimen
turbulento. Fig. N° 2
Fig. N° 2: Perfiles de velocidad característicos de los regímenes laminar
y turbulento
En cuanto a las pérdidas de energía o pérdidas de presión, éstas se hacen
sentir en todo a lo largo de la conducción. Más adelante me explayaré sobre
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este punto, por ahora diré que las mismas estarán contempladas en el término
∑ H pérd. .
La ecuación de Bernoulli entre dos puntos 1 y 2 de un escurrimiento de fluido
real queda expresada, entonces, como sigue:
z1+P1
γ+
v12
2 g=Z2+
P2
γ+
v22
2 g=cte .=H
La ecuación de Bernoulli para un fluido real ya no es igual a una constante “H”,
si entendemos por “H” al resultado de la suma de las energías específicas
disponibles en el flujo fluido.
Graficando los términos de la suma de Bernoulli para un fluido real se obtiene
(Fig. N°3):
Fig. N°3: Líneas piezométrica (HGL) y de energías totales (EGL) para el
flujo de un fluido real según la Ec. de Bernoulli
La pérdida de energía de presión,∑ H pérd. se transforma en calor, que es
disipado constantemente, por ello, el incremento de temperatura en el fluido es
imperceptible. El problema es que esta transformación es irreversible.
La ecuación de Bernoulli representa para el fluido ideal la conservación de la
energía mecánica y para el fluido real, el balance energético computando las
pérdidas.
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Las pérdidas dependen de: la forma del cauce, sus dimensiones, la rugosidad
de la superficie interior, la velocidad del flujo y su viscosidad y son de dos tipos.
Tipos de pérdidas
1) Pérdidas primarias o por rozamiento en tramo recto de tubería de
sección constante:
Se componen no tan sólo de la pérdida por rozamiento en la capa límite
(Próxima a la superficie sólida) sino también de las por rozamiento entre capa y
capa fluida (régimen laminar) o entre porciones de fluido en mezcla (régimen
turbulento).
La pérdida se evidencia al colocar dos piezómetros, por la altura ∆ H roz . que se
observa y que se incrementa, a medida que progresamos en el tubo (Fig. N°4):
Fig. N° 4: Disminución de la altura piezométrica debida a la pérdida
primaria
2) Pérdidas secundarias o localizadas y/o por accesorios:
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Son las que se producen en cualquier perturbación que encuentra la corriente
en alguna sección: ensanchamiento, estrangulación, válvulas, codos, curvas,
orificios de entrada y de salida, placas orificios, etc. (Fig. N°5)
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Tipos de flujos de fluidos reales
Los fluidos reales escurren básicamente según dos tipos de regímenes, a
saber:
1) Régimen laminar:
Es un desplazamiento ordenado de capas de fluido que resbalan unas respecto
de otras, acusando una velocidad máxima sobre el eje del conducto (cuando
el escurrimiento se realiza a través de una tubería de sección circular), que va
decreciendo hacia la periferia hasta hacerse ≅ 0 (Fig. N°6).
Fig.N°6: Flujo laminar en una tubería circular. El fluido se desplaza
ordenadamente en capas anulares concéntricas. Este tipo de movimiento se ha
denominado a veces movimiento telescópico.
Este tipo de escurrimiento está regido por la ecuación de viscosidad de
Newton:
τ =−μdvdy
, siendo ' τ ' la tensión tangencial que origina la resistencia al
escurrimiento.
Si bien el régimen es ordenado, entre capa y capa las partículas ejecutan
movimientos de rotación sobre sus ejes instantáneos de giro (flujo rotacional).
El movimiento principal es el del flujo, el de la partícula es un movimiento
secundario sin salirse de la capa.
2) Régimen turbulento:
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El fenómeno turbulento es ocasionado por la inestabilidad del flujo laminar,
creando pequeños remolinos que se mueven de manera aleatoria a lo largo y
ancho del campo de flujo. Esta situación ocasiona un cambio constante de la
magnitud y dirección del vector velocidad en cualquier punto. La turbulencia es
un intercambio continuo y aleatorio de masa entre las diferentes zonas del
campo de flujo que propicia la mezcla. Esto implica que materia de mayor
energía cinética que pasa por el centro de la tubería pase a las zonas laterales
y viceversa ocasionado una mayor uniformidad de las velocidades promedio en
sentido del movimiento general (Fig4-31)
El flujo turbulento representa un incremento sustancial en la perdida de
energía. En resumen, la turbulencia se caracteriza por su condición aleatoria en
el tiempo y en el espacio, un rápido proceso de mezcla, la fluctuación
tridimensional de las velocidades y la alta disipación de energía, y por eso un
fenómeno controlado por las características del flujo como por las del fluido. La
turbulencia se presenta para números de Reynolds elevados y es un
movimiento macroscópico de pequeños remolinos.
Para la determinación de esfuerzos cortantes en flujo turbulento se parte de la
ecuación,
τ =μdVdy
pero esta deja de tener validez, por lo que debe definirse como un promedio,
pues tiene características aleatorias,
τ =nd Vdy
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n ; viscosidad del remolino
V ; velocidad promedio
La naturaleza de esta viscosidad de remolino “n”, presenta toda la dificultad
del análisis de flujo turbulento, pues este será función no solo del fluido, sino
también de las características del flujo.
Para situaciones intermedias donde la viscosidad y la turbulencia tiene
influencia, el esfuerzo cortante se puede expresar como:
τ =( μ+n ) d Vdy
μ ; viscosidad dinámica ya conocida
PRINCIPIO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
APLICADO A LAS CORRIENTES LÍQUIDAS:
Sea la vena liquida siguiente:
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El sentido de los vectores de las secciones transversales siempre salientes de
la vena liquida y perpendiculares a la seccion, es decir:
d s⃗1=n⃗1 ∙ d s1
d s⃗2=n⃗2∙ d s2
Donde y son vectores unitarios perpendiculares a las secciones y
respectivamente:
F⃗=−∫S1
❑
( ρ V 1 ) (V 1 ∙ d s1 )+∫S2
❑
( ρ V 2 ) (V 2 ∙ d s2 )
Luego aceptando que los filetes hidráulicos son rectos o a lo más con suave
curvatura. Se puede decir que las velocidades son perpendiculares a las
secciones transversales:
V 1=n1 ∙V 1;V 2=n2∙ V 2
Luego:F⃗=−ρ ∙∫
S1
❑
n⃗1 ∙V 1 ∙V 1 ∙ d s1+ρ ∙∫S2
❑
n⃗2 ∙V 2 ∙V 2 ∙ d s2
F⃗=−ρ ∙∫S1
❑
V 12∙ d s1 ∙ n⃗1+ ρ ∙∫
S2
❑
V 22 ∙ d s2 ∙n⃗2;
;
Ordenando: F⃗=ρ ∙∫S2
❑
V 22 ∙ d s2 ∙ n⃗2−ρ ∙∫
S1
❑
V 12 ∙ d s1 n⃗1
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F⃗=ρ ∙[∫s2
❑
V 22 ∙ d s2 ∙ n⃗2−∫
S1
❑
V 12 ∙ d s1 ∙ n⃗1] …………. ( a8 )
Pero: V m2 ∙ S ∙ n⃗=V m∙ Q ∙n⃗ En general,
O, en particular: V m1
2 ∙ S ∙ n⃗1=V m1∙Q ∙ n⃗1
V m2
2 ∙ S2 ∙ n⃗2=V m2∙Q ∙ n⃗2
En la Ecuación (a8), multiplicando el numerador y al denominador por
{V} rsub {{m} rsub {2}} ∙Q∙ widevec {{n} rsub {2}} y {V} rsub {{m} rsub {2}} rsup {2} ∙ {S} rsub {2} ∙ widevec {{n} rsub {2}}
, respectivamente tenemos:
F⃗=ρ ∙[∫S2
❑ V 22 ∙ d s2 ∙ n⃗2
V m2
2 ∙ S2 ∙ n⃗2
∙V m2∙ Q∙ n⃗2−∫
S1
❑ V 12 ∙d s1 ∙ n⃗1
V m1
2 ∙ S1 ∙n⃗1
∙ V m1∙Q ∙ n⃗1]
Dónde: β=∫
S
❑
V 2∙ ds
V m2 ∙ S
= Es el coeficiente de Boussinesq o Coeficiente de Corrección de la
Cantidad de Movimiento
F⃗=ρ ∙Q ∙ [ β2 ∙ V⃗ m2−β1∙ V⃗ m1 ]
Para el caso de líquidos: ρ= γg
F⃗= γ ∙Qg
∙ [ β2 ∙ V⃗ m2−β1 ∙ V⃗ m1 ]
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RELACIÓN ENTRE Y :
Sea:
β=∫
S
❑
V 2∙ ds
V m2 ∙ S
De la figura superior, reemplazando:
β=∫
S
❑
(V m ± ∆ V )2 ∙ ds
V m2 ∙ S
=∫S
❑
[ V m2 ± 2V m ∙ ∆ V + (± ∆ V )2 ]∙ ds
V m2 ∙ S
¿>β=∫S
❑
V m2 ∙ ds
V m2 ∙ S
+∫
S
❑
2V m ∙ (± ∆ V ) ∙ ds
V m2 ∙ S
+∫S
❑
(± ∆ V )2∙ ds
V m2 ∙ S
El segundo término del segundo miembro se puede eliminar debido a que V,
son de signos positivos y también negativos, y tomando en cuenta la simetría
de la sección, entonces se cancelarán mutuamente, reduciéndose a cero,
quedando:
β=V m
2 ∙∫S
❑
ds
V m2 ∙ S
+∫S
❑
(± ∆ V )2 ∙ ds
V m2 ∙ S
La reducción del primer término es 1,
Entonces:
β=1+∫
S
❑
(± ∆ V )2 ∙ ds
V m2 ∙ S
Luego:
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β−1=∫S
❑
(± ∆ V )2 ∙ ds
V m2 ∙ S
………………………………. (a9 )
Además, se sabe que:
α=∫
S
❑
V 3 ∙ ds
V m3 ∙ S
=∫S
❑
(V m± ∆ V )3 ∙ ds
V m3 ∙ S
=∫S
❑
[V m3 ± 3 V m
2 ∙ (± ∆ )+3V m (± ∆ )2+(± ∆ )3 ]∙ ds
V m3 ∙ S
α=1+3 V m2 ∙
∫S
❑
(± ∆ V ) ∙ ds
V m3 ∙ S
+3V m∙∫
S
❑
(± ∆ V )2∙ ds
V m3 ∙ S
+∫
S
❑
(± ∆ V )3∙ ds
V m3 ∙ S
Por similar fundamento, que en el caso anterior, el segundo y cuarto término
del segundo miembro de la ecuación inmediata anterior, se reducen a cero,
quedando:
α=1+3∫
S
❑
(± ∆ V )2∙ ds
V m2 ∙ S
¿>¿ α−13
=∫S
❑
(± ∆ )2∙ ds
V m2 ∙ S
…………………(a10)
De (a9) y (a10):
β−1= α−13
β= α+23
………………………(a11)
Número de Reynolds El carácter de una corriente fluida se determina mediante lo que se conoce
como el Nº de Reynolds y se identifica por Re.
El Re es un adimensional que se define como la relación entre las fuerzas de
inercia y las fuerzas de viscosidad que están presentes en el escurrimiento de
un fluido real.
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A continuación se hace uso del análisis dimensional a fin de arribar a la
expresión del Re:
ℜ= J 'γ
; siendo J`: fuerza de inercia y γ : fuerza de viscosidad
Si: J '=m∙ a y γ=τ ∙ A ;
ℜ= m∙ aτ ∙ A
=ρ∙ L3 ∙ ( L/T 2 )
μ∙ ( dvdy )∙ L2
=ρ∙ L4 ∙ ( v2/ L2 )
μ ∙( vy ) ∙ L2
= ρ ∙ v2
μ ∙ (v / L )= ρ∙ v ∙ L
μ=¿ℜ= V ∙L
v
Siendo L una longitud característica, que en el caso de un conducto de sección
circular lleno, equivale al diámetro, V =V m es la velocidad media del flujo y v, la
viscosidad cinemática, por lo tanto, la ecuación del Nº de Reynolds queda:
ℜ=V m∙∅
v
Si el conducto no es de sección circular o en el caso de canales abiertos, la
longitud característica en la ecuación del Re, se la conoce como el diámetro
hidráulico: DH, el cual es igual a:
DH= 4 ∙ FP Siendo F: la sección del escurrimiento y P: el valor del perímetro
mojado.
La ecuación del Re en función del diámetro hidráulico queda:
ℜ=V m∙ DH
v
Veamos los siguientes ejemplos (Fig. N° 8):
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Fig. N°8: Expresiones del diámetro hidráulico para conductos de
diferentes formas
El diámetro hidráulico es un parámetro que equivale al diámetro de una tubería
de sección circular de diámetro igual al diámetro hidráulico.
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES
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La distribución de velocidades en una sección recta seguirá una ley de
variación parabólica en el flujo laminar. La velocidad máxima tiene lugar en el
eje de la tubería y es igual al doble de la velocidad media.
Para el flujo turbulento resulta una distribución de velocidades más uniforme. A
partir de los datos experimentales de Nikuradse y otros investigadores, se dan
a continuación las ecuaciones de los perfiles de velocidades en función de la
velocidad en el eje de la tubería “V c” o en función de la velocidad de corte “
V corte”
Una fórmula experimental es:
V =V c ∙ ( y /r0 )n
Dónde: n=1/7; para tuberías lisas hasta Re=100000
n=1/8; para tuberías lisas Re= 100000 a 400000
(a) Para tuberías lisas,
V =V c ∙ [ (5.5+5.75 log y V corte )/V ]
(b) Para tuberías lisas:
(5000 < Re < 3,000.000) y para tuberías rugosas en la zona de exclusiva
influencia de la rugosidad,
(V c−V )=−2.5√V 0/ ρ ∙ log y /r0
En función de la velocidad media, Vennard ha sugerido que VV c
puede
escribirse como:
(V c−V )= 1
1+4.07 √ f /8
(c) Para tuberías rugosas,
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V =V c ∙ (8.5+5.75 log y /ϵ )
Dónde:
∈; Rugosidad absoluta de la pared de la tubería.
(d) Para contornos rugosos o lisos,
v−V
v √ f=2 log y /r 0+1.32
Dónde: f; Coeficiente de rozamiento de Darcy.
Ejercicios de aplicación
I ) Suponiendo que la ley distribución de velocidades, es una tubería, se puede aproximar según la figura, calcular el coeficiente de Coriolis (tubería circular)
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v=vmax (1− r2
ro2 )
Solución
vmed=∫ vdA
A
vmed=∫0
r0
vmax (1− r 2
r02 )(2 π∗r∗dr )
π∗r02
vmed=2∗vmax
r04 ∫
0
ro
(¿ r 02∗r−r3)dr= vmax
2¿
∝= 1A ∫¿¿
∴∝=2
II ) Determinar si el flujo es laminar o turbulento, si fluye glicerina a 25 ºC
en un conducto cuyo diámetro inferior es de 150 mm. La velocidad
promedio de flujo es de 3.6 m/s.
Solución. Se debe evaluar Reynolds,
Datos:
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N R= υdρμ
v=3 .6 m/ sd=0 .15 mρ=1258 kg/m3 (anexos )μ=9 .60×10−1 Pa⋅s(anexos )
Entonces tendremos:
N R=(3 .6 )(0 . 15)(1258 )
9 .60×10−1=708
debido a que NR = 708, menor que 2000, el flujo será laminar. Obsérvese
que todos los términos fueron convertidos a unidades SI antes de evaluar
NR.
III ) Determine el caudal que pasa por la tubería cuya distribución de
velocidades que se muestra y que sigue la siguiente ley: v=V(y/r)1/7, donde
V es 3m/s y R es 0,15 m.
Solución.
En la figura se tiene que: r=R-y, de donde se puede hallar que:
El caudal se puede hallar aplicando ecuaciones diferenciales, de
manera que:
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dydr
dyyRr
yVdrrvvdAdQ
2)2(
7/1
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Reemplazando valores se tendrá que: Q = 0,172m3/s
IV ) Por la tubería indicada en la figura circula agua, siendo la relación entre el diámetro en el punto 1 y el diámetro en el punto 2 igual a √2. En 1 la presión es de 0.5 Kg/cm2 y la elevación 100 m. En 2 la presión es 3.38 Kg/cm2 y la elevación 70 m. Calcular la velocidad en dichos puntos despreciando el rozamiento.
Solución:
Por continuidad se tiene:
v1 A1=v2 A2⟹v1=A2
A1
v2=d2
2
d12 v2
Como:d2
d1
= 1√2
⟹v1=12
v2 ……(1)
La ecuación de Bernoulli entre las secciones “1” y “2” es:
v12
2 g+
P1
γ+Z1=
v22
2 g+
P2
γ+Z2 ……(2)
Reemplazando (1) en (2):v1
2
2 g+
P1
γ+Z1=
2v12
g+
P2
γ+Z2
Luego:
v1=√ 23
g ⌈ ( P1−P2
γ )+( Z1−Z2) ⌉
Como:
P1 = 0.5 Kgf/cm2 = 5000 Kgf/m2P2 = 3.38 Kgf/cm2 = 33800 Kgf/m2
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∫
0
15,0
0
15,0
7/157/8
7/17/1
7/1 15
7
872)(2
yRy
R
VdyyRy
R
VQ
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Z1 = 100 m Z2 = 70 m γ = 100 Kgf/m2
Se obtiene:v1=2.8 m /sv2=5.6 m /s
V ) El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal de un tubo de corriente a partir de la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente designado con la letra β (coeficiente de Boussinesq o de la cantidad de movimiento). Determine el valor de β para dicha sección:
SOLUCION:
Si v es la velocidad media, en la sección transversal del tubo de corriente, la cantidad de movimiento se expresa por:
ρQ V m ………….i
Como:Q=V m A
Decimos en i:ρ V m V m A
ρ V m2 A …………. aproximado
Y para un tubo de corriente menor, de sección transversal dA es:
ρ V 2 dA
Entonces la cantidad de movimiento de toda la sección transversal será:
∫A
❑
ρ v2dA ………………exacto
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vn
V
dA
A
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Para que el valor aproximado sea igual al exacto debe multiplicarse por un coeficiente β:
Entonces: βρ V m2 A=∫
A
❑
ρ v2 dA
Despejando β:
β=∫A
❑
ρ v2 dA
ρ V m2 A
β=∫A
❑
v2 dA
V m2 A
……………………rpta
Que es lo mismo que:
β=∫
S
❑
v2 dS
V m2 S
Entonces podemos decir que el término:
βρ V m2 A
Expresa la CANTIDAD DE MOVIMIENTO de una sección dada.
Conclusiones
Se logró determinar la ecuación de Reynolds
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Se pudo conocer la ecuación de Bernoulli para flujos reales.
Se conoció los temas y las ecuaciones que nos ayudan a conocer el
comportamiento de los flujos reales en tuberías y canales.
Se aprendió el tema de dinámica de flujos reales, lo que nos ayudara a
entender mejor el comportamiento de los flujos reales.
Bibliografía
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* Víctor L. Streeter. Mecánica de los Fluidos. Ediciones del Castillo, S.A.,
Madrid, España.
* Francisco Ugarte Palacin. Mecánica de Fluidos.1era edición. Agosto de 1989.
* Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas. Fluidos I.. Versión en español.
LinKografía
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http://www.fisicanet.com.ar/fisica/dinamica_fluidos/ap01_hidrodinamica.php
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