ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL UNIVERSIDAD “CESAR VALLEJO” - TRUJILLO Facultad de Ingeniería Escuela Profesional de Ingeniería Civil TEMA : “DINÁMICA DE FLUIDOS REALES” NOMBRE DEL CURSO : MECÁNICA DE FLUIDOS I PROFESOR : ING. LOAYZA RIVAS, CARLOS ADOLFO FECHA : TRUJILLO 11 DE JULIO DEL 2013- I N INTEGRANTES 1 AGUILAR PEREDA, BORIS 2 BACA RÍOS, RENE 3 BALTODANO RODRÍGUEZ, GABRIEL 4 CALDERÓN SARE, ERICK 5 DÍAZ CISNEROS, LUIS 6 FERMÍN VALDERRAMA, JOEL 7 FLORES ZAVALETA, LUIGHI 8 NARRO TERRONES, JULY 9 RUIZ AGUILAR, YON 10 TORRES VÁSQUEZ, ALEXIS 11 VILLANUEVA GAMBOA, VICTORIA 12 VILLANUEVA SANTILLÁN, JAIME OBSERVACIONES : 1.- …………………………………………………………………………………………………………………………………… Mecánica de fluidos I Página 1
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UNIVERSIDAD “CESAR VALLEJO” - TRUJILLOFacultad de Ingeniería
= Es el coeficiente de Boussinesq o Coeficiente de Corrección de la
Cantidad de Movimiento
F⃗=ρ ∙Q ∙ [ β2 ∙ V⃗ m2−β1∙ V⃗ m1 ]
Para el caso de líquidos: ρ= γg
F⃗= γ ∙Qg
∙ [ β2 ∙ V⃗ m2−β1 ∙ V⃗ m1 ]
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RELACIÓN ENTRE Y :
Sea:
β=∫
S
❑
V 2∙ ds
V m2 ∙ S
De la figura superior, reemplazando:
β=∫
S
❑
(V m ± ∆ V )2 ∙ ds
V m2 ∙ S
=∫S
❑
[ V m2 ± 2V m ∙ ∆ V + (± ∆ V )2 ]∙ ds
V m2 ∙ S
¿>β=∫S
❑
V m2 ∙ ds
V m2 ∙ S
+∫
S
❑
2V m ∙ (± ∆ V ) ∙ ds
V m2 ∙ S
+∫S
❑
(± ∆ V )2∙ ds
V m2 ∙ S
El segundo término del segundo miembro se puede eliminar debido a que V,
son de signos positivos y también negativos, y tomando en cuenta la simetría
de la sección, entonces se cancelarán mutuamente, reduciéndose a cero,
quedando:
β=V m
2 ∙∫S
❑
ds
V m2 ∙ S
+∫S
❑
(± ∆ V )2 ∙ ds
V m2 ∙ S
La reducción del primer término es 1,
Entonces:
β=1+∫
S
❑
(± ∆ V )2 ∙ ds
V m2 ∙ S
Luego:
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β−1=∫S
❑
(± ∆ V )2 ∙ ds
V m2 ∙ S
………………………………. (a9 )
Además, se sabe que:
α=∫
S
❑
V 3 ∙ ds
V m3 ∙ S
=∫S
❑
(V m± ∆ V )3 ∙ ds
V m3 ∙ S
=∫S
❑
[V m3 ± 3 V m
2 ∙ (± ∆ )+3V m (± ∆ )2+(± ∆ )3 ]∙ ds
V m3 ∙ S
α=1+3 V m2 ∙
∫S
❑
(± ∆ V ) ∙ ds
V m3 ∙ S
+3V m∙∫
S
❑
(± ∆ V )2∙ ds
V m3 ∙ S
+∫
S
❑
(± ∆ V )3∙ ds
V m3 ∙ S
Por similar fundamento, que en el caso anterior, el segundo y cuarto término
del segundo miembro de la ecuación inmediata anterior, se reducen a cero,
quedando:
α=1+3∫
S
❑
(± ∆ V )2∙ ds
V m2 ∙ S
¿>¿ α−13
=∫S
❑
(± ∆ )2∙ ds
V m2 ∙ S
…………………(a10)
De (a9) y (a10):
β−1= α−13
β= α+23
………………………(a11)
Número de Reynolds El carácter de una corriente fluida se determina mediante lo que se conoce
como el Nº de Reynolds y se identifica por Re.
El Re es un adimensional que se define como la relación entre las fuerzas de
inercia y las fuerzas de viscosidad que están presentes en el escurrimiento de
un fluido real.
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A continuación se hace uso del análisis dimensional a fin de arribar a la
expresión del Re:
ℜ= J 'γ
; siendo J`: fuerza de inercia y γ : fuerza de viscosidad
Si: J '=m∙ a y γ=τ ∙ A ;
ℜ= m∙ aτ ∙ A
=ρ∙ L3 ∙ ( L/T 2 )
μ∙ ( dvdy )∙ L2
=ρ∙ L4 ∙ ( v2/ L2 )
μ ∙( vy ) ∙ L2
= ρ ∙ v2
μ ∙ (v / L )= ρ∙ v ∙ L
μ=¿ℜ= V ∙L
v
Siendo L una longitud característica, que en el caso de un conducto de sección
circular lleno, equivale al diámetro, V =V m es la velocidad media del flujo y v, la
viscosidad cinemática, por lo tanto, la ecuación del Nº de Reynolds queda:
ℜ=V m∙∅
v
Si el conducto no es de sección circular o en el caso de canales abiertos, la
longitud característica en la ecuación del Re, se la conoce como el diámetro
hidráulico: DH, el cual es igual a:
DH= 4 ∙ FP Siendo F: la sección del escurrimiento y P: el valor del perímetro
mojado.
La ecuación del Re en función del diámetro hidráulico queda:
ℜ=V m∙ DH
v
Veamos los siguientes ejemplos (Fig. N° 8):
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Fig. N°8: Expresiones del diámetro hidráulico para conductos de
diferentes formas
El diámetro hidráulico es un parámetro que equivale al diámetro de una tubería
de sección circular de diámetro igual al diámetro hidráulico.
DISTRIBUCIÓN DE VELOCIDADES
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La distribución de velocidades en una sección recta seguirá una ley de
variación parabólica en el flujo laminar. La velocidad máxima tiene lugar en el
eje de la tubería y es igual al doble de la velocidad media.
Para el flujo turbulento resulta una distribución de velocidades más uniforme. A
partir de los datos experimentales de Nikuradse y otros investigadores, se dan
a continuación las ecuaciones de los perfiles de velocidades en función de la
velocidad en el eje de la tubería “V c” o en función de la velocidad de corte “
V corte”
Una fórmula experimental es:
V =V c ∙ ( y /r0 )n
Dónde: n=1/7; para tuberías lisas hasta Re=100000
n=1/8; para tuberías lisas Re= 100000 a 400000
(a) Para tuberías lisas,
V =V c ∙ [ (5.5+5.75 log y V corte )/V ]
(b) Para tuberías lisas:
(5000 < Re < 3,000.000) y para tuberías rugosas en la zona de exclusiva
influencia de la rugosidad,
(V c−V )=−2.5√V 0/ ρ ∙ log y /r0
En función de la velocidad media, Vennard ha sugerido que VV c
puede
escribirse como:
(V c−V )= 1
1+4.07 √ f /8
(c) Para tuberías rugosas,
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V =V c ∙ (8.5+5.75 log y /ϵ )
Dónde:
∈; Rugosidad absoluta de la pared de la tubería.
(d) Para contornos rugosos o lisos,
v−V
v √ f=2 log y /r 0+1.32
Dónde: f; Coeficiente de rozamiento de Darcy.
Ejercicios de aplicación
I ) Suponiendo que la ley distribución de velocidades, es una tubería, se puede aproximar según la figura, calcular el coeficiente de Coriolis (tubería circular)
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v=vmax (1− r2
ro2 )
Solución
vmed=∫ vdA
A
vmed=∫0
r0
vmax (1− r 2
r02 )(2 π∗r∗dr )
π∗r02
vmed=2∗vmax
r04 ∫
0
ro
(¿ r 02∗r−r3)dr= vmax
2¿
∝= 1A ∫¿¿
∴∝=2
II ) Determinar si el flujo es laminar o turbulento, si fluye glicerina a 25 ºC
en un conducto cuyo diámetro inferior es de 150 mm. La velocidad
debido a que NR = 708, menor que 2000, el flujo será laminar. Obsérvese
que todos los términos fueron convertidos a unidades SI antes de evaluar
NR.
III ) Determine el caudal que pasa por la tubería cuya distribución de
velocidades que se muestra y que sigue la siguiente ley: v=V(y/r)1/7, donde
V es 3m/s y R es 0,15 m.
Solución.
En la figura se tiene que: r=R-y, de donde se puede hallar que:
El caudal se puede hallar aplicando ecuaciones diferenciales, de
manera que:
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dydr
dyyRr
yVdrrvvdAdQ
2)2(
7/1
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Reemplazando valores se tendrá que: Q = 0,172m3/s
IV ) Por la tubería indicada en la figura circula agua, siendo la relación entre el diámetro en el punto 1 y el diámetro en el punto 2 igual a √2. En 1 la presión es de 0.5 Kg/cm2 y la elevación 100 m. En 2 la presión es 3.38 Kg/cm2 y la elevación 70 m. Calcular la velocidad en dichos puntos despreciando el rozamiento.
Solución:
Por continuidad se tiene:
v1 A1=v2 A2⟹v1=A2
A1
v2=d2
2
d12 v2
Como:d2
d1
= 1√2
⟹v1=12
v2 ……(1)
La ecuación de Bernoulli entre las secciones “1” y “2” es:
V ) El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal de un tubo de corriente a partir de la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente designado con la letra β (coeficiente de Boussinesq o de la cantidad de movimiento). Determine el valor de β para dicha sección:
SOLUCION:
Si v es la velocidad media, en la sección transversal del tubo de corriente, la cantidad de movimiento se expresa por:
ρQ V m ………….i
Como:Q=V m A
Decimos en i:ρ V m V m A
ρ V m2 A …………. aproximado
Y para un tubo de corriente menor, de sección transversal dA es:
ρ V 2 dA
Entonces la cantidad de movimiento de toda la sección transversal será:
∫A
❑
ρ v2dA ………………exacto
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vn
V
dA
A
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Para que el valor aproximado sea igual al exacto debe multiplicarse por un coeficiente β:
Entonces: βρ V m2 A=∫
A
❑
ρ v2 dA
Despejando β:
β=∫A
❑
ρ v2 dA
ρ V m2 A
β=∫A
❑
v2 dA
V m2 A
……………………rpta
Que es lo mismo que:
β=∫
S
❑
v2 dS
V m2 S
Entonces podemos decir que el término:
βρ V m2 A
Expresa la CANTIDAD DE MOVIMIENTO de una sección dada.
Conclusiones
Se logró determinar la ecuación de Reynolds
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Se pudo conocer la ecuación de Bernoulli para flujos reales.
Se conoció los temas y las ecuaciones que nos ayudan a conocer el
comportamiento de los flujos reales en tuberías y canales.
Se aprendió el tema de dinámica de flujos reales, lo que nos ayudara a
entender mejor el comportamiento de los flujos reales.
Bibliografía
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* Víctor L. Streeter. Mecánica de los Fluidos. Ediciones del Castillo, S.A.,
Madrid, España.
* Francisco Ugarte Palacin. Mecánica de Fluidos.1era edición. Agosto de 1989.
* Ing. Carlos Adolfo Loayza Rivas. Fluidos I.. Versión en español.