Université de Liège Faculté des Sciences Appliquées
CONCEPTION ASSISTEE PAR ORDINATEUR DU MATERIEL
ELECTRIQUE
Notes de cours V2.4
2005
Date d’impression : 22/02/2007 à 14:56:55
André GENON
2
REFERENCES
Dhatt et Touzot, Une présentation de la méthode des éléments finis, éditions Laloine, 1984 Hari and Silvester, Finite elements for electrical and magnetic problems, J.Whiley, 1980 Zienkiewicz, La méthode des éléments finis, Mc Graw Hill, 1979 Lascaux et Théodor, Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur, 2 volumes, Masson, 1987
CHAPITRE 1 : INTRODUCTION
1. SCHEMA GENERAL DE CONCEPTION
!
Figure 1.1
Dans le domaine de l'électricité, la conception d'un produit nouveau est un processus itératif dont la première itération est généralement basée sur :
• l’extrapolation de systèmes analogues réalisés précédemment; • des calculs basés sur des hypothèses simplificatrices; • des résultats d’expérience.
CAO des systèmes électriques Chapitre 1 : Introduction 4
La simulation sur ordinateur nécessite en général le calcul numérique du champ électromagnétique. La structure générale du ou des logiciels de simulation est la suivante :
Figure 1.2
2. METHODES NUMERIQUES
Les trois principales méthodes numériques utilisées pour la résolution d’équations aux dérivées partielles sont la méthode des différences finies, la méthode des éléments finis et la méthode des équations intégrales. 2.1. LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES
• la plus ancienne, la plus simple à mettre en œuvre; • nécessite un maillage régulier, ce qui rend souvent difficile l’application à des
géométries complexes; • le maillage doit souvent être serré pour bien épouser les contours et pour avoir une
précision valable; • la résolution de problèmes non bornés n’est en toute rigueur pas possible ; • le système d’équations résultant comporte généralement beaucoup d’inconnues et est
très creux; il peut être résolu par des techniques spéciales. 2.2. LA METHODE DES ELEMENTS FINIS
• basée sur le découpage de l’espace en morceaux de dimensions finies sur lesquels on approxime la fonction inconnue par une fonction plus simple (souvent un polynôme) dépendant des inconnues (nodales, d’arête, ...);
• le découpage épouse facilement des formes complexes; • la prise en compte de problèmes non bornés peut s’effectuer en utilisant des éléments
finis spéciaux;
CAO des systèmes électriques Chapitre 1 : Introduction 5
• le système d’équations obtenu, fort creux et généralement symétrique peut être résolu par des techniques très performantes.
2.3. LA METHODE DES ELEMENTS DE FRONTIERES
• les inconnues sont situées sur les frontières; • le découpage épouse facilement des formes complexes; • la méthode réduit d’un ordre la dimension du problème, ce qui facilite les opérations
de maillage et réduit le nombre d’inconnues; • la prise en compte de géométries non bornées s’effectue naturellement; • le système d’équations à résoudre ne possède généralement pas de propriétés
remarquables (pas très creux, ni symétrique) permettant d’utiliser les méthodes efficaces de résolution.
3. MODELISATIONS
A priori, les structures à étudier se trouvent dans l’espace à trois dimensions. Cependant, dans de nombreux cas, on peut admettre que la géométrie et les champs sont quasi invariants dans une direction privilégiée. A ce moment, il est possible de simplifier le problème et de ne l’étudier que dans un seul plan. On parle alors de problème bidimensionnel (2D) Dans d’autres cas fréquents, le problème est axisymétrique. Dans ce cas, il est souvent avantageux de modifier les équations de telle sorte qu’au niveau modélisation et maillage, il suffise de considérer une coupe passant par l’axe de symétrie.
CHAPITRE 2 EQUATIONS DE MAXWELL.
FORMULATIONS POTENTIELLES.
1. EQUATIONS DE MAXWELL
Les phénomènes électromagnétiques sont régis par les équations de Maxwell. Dans un milieu continu, celles-ci s’écrivent :
t
rot∂∂DjiH ++=
loi de Maxwell-Ampère
ρ=D div loi de Gauss
t
rot∂∂BE −=
loi de Faraday
0 =Bdiv conservation du flux d’induction magnétique Ces équations font apparaître les champs vectoriels suivants :
• le champ magnétique H (A/m) ; • la densité de courant i forcés (A/m2) ; • la densité de courant j qui respecte la loi d'Ohm (A/m2) ; • le déplacement électrique D (C/ m2); • le champ électrique E (V/m) ; • l'induction magnétique B(T).
Le champ scalaire ρ désigne la densité volumique de charge électrique (C/m3). Ces champs sont reliés entre eux par les équations de Maxwell et par les caractéristiques de la matière dans laquelle ils sont présents. On sait que l'induction magnétique dépend du champ magnétique, mais également d'autres caractéristiques de la matière, telles la température, les traitements mécaniques subis antérieurement, etc. ... . On exprime généralement cette liaison par la relation : HB µ=
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 8
dans laquelle le coefficient µ (en H/m), appelé perméabilité magnétique n'est pas nécessairement une constante, ni même un scalaire (µ peut être de nature tensorielle) ; de plus, la relation liant B et H peut ne pas être biunivoque (phénomène d'hystérésis). De même, le déplacement électrique dépend du champ électrique : ED ε= où ε (en F/m) est la permittivité diélectrique du milieu matériel. Comme µ , ε n'est pas nécessairement une constante ni même un scalaire. Dans les milieux conducteurs, la densité de courant est reliée au champ électrique par la loi d'Ohm : Ej σ= où σ est la conductivité du milieu (en Ω−1m−1 ou S/ m ) qui peut dépendre de diverses autres propriétés (température, tensions mécaniques, ... ). A la frontière entre deux matériaux, on a (figure 2.1) :
( )( )( )( ) 0.ou0
.ou0ou00ou0
=−==−==Λ−==Λ−=
+−+
+−+
+−+
+−+
nBBBnDDDnEEEnHHH
s
dds
s
s
divdivrotrot
σσ
Figure 2.1
Les équations de Maxwell peuvent être séparées en 3 groupes : a) les équations aux dérivées partielles (linéaires) reliant H et D avec les charges
et les courants :
t
rot∂∂DjiH ++=
ρ=D div
]0)([ =++t
div∂∂ρji (conservation de la charge électrique)
b) les équations aux dérivées partielles (linéaires) reliant E et B :
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 9
t
rot∂∂BE −=
]0 [ =Bdiv
c) les lois de comportement (généralement non linéaires et tensorielles) :
EjEDHB
σεµ
===
.
Remarque L’équation de conservation du flux d’induction n’est pas indépendante de l’équation de Faraday car, si on prend la divergence de celle-ci, on obtient :
0 =−=t
divrotdiv∂
∂ BE .
Cela signifie que si, à un moment donné, 0=Bdiv dans un système, le respect de la loi de Faraday entraîne que 0=Bdiv est nul à tout autre moment. En pratique, cela signifie que la loi de Faraday assure la conservation du flux d’induction magnétique, pour autant que les conditions initiales du problèmes aient été bien définies. 2. FORMULATION ELECTROSTATIQUE
2.1. ELECTROSTATIQUE : POTENTIEL SCALAIRE
Formulation générale Dans le cadre de l’électrostatique, on ne considère que les phénomènes engendrés par des charges fixes. Les équations de Maxwell se réduisent donc à : 0 =Erot ρ=D div ED ε= De la première équation, on peut déduire qu’il existe un potentiel V tel que : Vgrad−=E . Dès lors, on a :
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 10
0)( =+ ρε Vgraddiv .
Quand ε est constant, la relation précédente conduit à l’équation de Poisson :
0=+∆ερV .
Condition d’unicité Le potentiel trouvé est unique si, en chaque point de la frontière du domaine étudié, on connaît la valeur du potentiel (condition de Dirichlet) ou de sa dérivée normale (condition de Neumann). Démonstration : Considérons 2 solutions V1 et V2 satisfaisant l’équation de Poisson dans le domaine considéré. Définissons : 21 VVDV −= . Dès lors, puisque les 2 solutions satisfont l’équation de Poisson, on a, dans le volume v considéré : 0 =∆ DV . On peut écrire successivement :
2 .) .( DVgradDVDVDVgradDVdiv +∆=
∫∫ =vv
dvDVgraddvDVgradDVdiv ) .( 2
∫∫ =Σ v
dvDVgraddsDVgradDV . 2n
∫∫ =Σ v
dvDVgraddsn
DVDV 2
∂∂ .
De la relation précédente, on déduit immédiatement que DVgrad sera nul en tout point du volume v si DV ou nDV ∂∂ / est nul en tout point de la frontière Σ délimitant le volume v. Dès lors, la solution de l’équation de Poisson est unique (à une constante près) si, en tout point de la frontière, on impose, soit :
• la valeur du potentiel (condition de Dirichlet) • la valeur de la dérivée normale du potentiel (condition de Neumann)
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 11
• le rapport entre la valeur du potentiel et celle de sa dérivée normale (condition de Robin) (ce dernier point, bien que ne découlant pas de la démonstration précédente, peut être démontré par ailleurs).
Remarque :
nDgradVnV ε
∂∂
−=−== Enn .. .
3. FORMULATIONS MAGNETOSTATIQUES
Dans le cas où on n’envisage que les effets de courants invariants dans le temps, on se trouve dans le cadre de la magnétostatique. Les équations de Maxwell deviennent: iH = rot 0 =Bdiv HB µ= . Plusieurs formulations sont possibles. 3.1. MAGNETOSTATIQUE : POTENTIEL VECTEUR
Formulation générale Etant donné que la divergence de B est nulle, il est possible trouver un potentiel vecteur A tel que : AB rot= . La circulation du potentiel vecteur le long d’une courbe fermée représente le flux d’induction magnétique qui traverse la courbe. En effet (figure 2.2) : ∫ ∫
Σ
= ds . . nBdlA
Figure 2.2
Ce potentiel n’est pas unique : en effet, si A est une forme du potentiel vecteur,
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 12
fgrad+= AA2 est également une solution valable (f désigne un champ scalaire quelconque). En fait, seuls deux champs scalaires indépendants sont strictement nécessaires pour définir n'importe quel champ indivergentiel. Dès lors, on peut choisir arbitrairement une relation scalaire (appelée jauge) entre les trois composantes de A. Souvent, on choisit la jauge de Coulomb : 0=Adiv . Celle-ci présente l’avantage de simplifier l’écriture vectorielle des équations (voir plus loin). Une autre jauge, couramment utilisée en calcul numérique est la suivante : 0. =Aw . w est une champ vectoriel non nul, défini en tout point du domaine étudié et dont les lignes de champ ne se referment pas sur elles-mêmes à l’intérieur de ce domaine. Cette dernière jauge génère une relation linéaire entre les 3 composantes de A en chaque point du domaine étudié. D’autres jauges peuvent être envisagées ( 0=xA , … ). En introduisant l’expression du potentiel vecteur A dans la loi de Maxwell-Ampère, on obtient :
iA =)1( rotrotµ
.
Si on adopte la jauge de Coulomb et si la perméabilité magnétique est une constante, on retrouve la forme bien connue de l’équation vectorielle de Poisson :
0=+∆ iA µ .
Conditions d'unicité Soient A1 et A2 deux solutions différentes qui satisfont les équations dans un volume v. Définissons la différence : 21 AADA −= . Alors, on peut écrire successivement : dvrotrotrotdvrotdiv
vv
)) ( . ( ) ( 2
∫∫ −=Λ DADADADADA ννν ,
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 13
∫∫ =Λvv
dvrotdvrotdiv ) ( 2DADADA νν ,
∫∫ =ΛΣ v
dvrotdsrot ). ( 2DAnDADA νν
et, finalement : . ) .( 2
∫∫ =ΛΣ v
dvrotds DAnDHDA ν
Figure 2.3
Etant donné que : . ) ( . ) ( DHDAnDAnDH Λ=Λ , le potentiel vecteur A sera unique dans le domaine considéré (à la jauge près) si, en tout point de la frontière délimitant le domaine considéré, on impose :
• soit la composante tangentielle de A (condition de Dirichlet), • soit la composante tangentielle du champ magnétique H (condition de Neumann) • soit une relation entre les deux composantes précédentes (condition de Robin).
Signalons que la dernière condition ne se déduit pas immédiatement de la démonstration qui précède. Notons que connaître la composante tangentielle de A sur une surface est équivalent à connaître le flux d’induction qui traverse cette surface. Dire que le potentiel vecteur est constant sur une surface implique qu’aucun flux ne traverse cette surface (figure 2.3). De même, connaître la valeur de la composante tangentielle de H sur une surface est équivalent à connaître le courant qui traverse cette surface. 3.2. MAGNETOSTATIQUE : POTENTIEL SCALAIRE TOTAL
Formulation générale Dans les zones où il n’y a pas de courant, le rotationnel de H est nul. Dans ces zones, on peut considérer que le champ magnétique dérive d’un potentiel scalaire : Φ−= gradH .
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 14
Figure 2.4
Puisque :
0=Bdiv , on obtient :
0) ( =Φgraddiv µ .
La différence de potentiel magnétique entre deux points représente la circulation de H le long d'une courbe reliant les deux points (figure 2.4) :
∫=Φ−Φ2
121 . dlH
L’unicité du potentiel scalaire n’est assurée que si son domaine de définition est simplement connexe. En effet, considérons un parcours fermé entourant des conducteurs : ∑∫∫ ==Φ−=Φ−Φ courbe lapar entourés' .). ( IgradAA dlHdl
(Ω).
Ω
Σ 1
Σ 2
Γ 0
Γ 1Γ 2
Figure 2.5 : domaine multiplement connexe
Si la perméabilité µ est constante, on retrouve l’équation de Laplace
0=∆Φ
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 15
Unicité de la solution
Supposons que nous disposions de deux expressions du potentiel scalaire Φ1 et Φ2 satisfaisant l’équation de Laplace en tout point d’un domaine v simplement connexe. Définissons : 21 Φ−Φ=ΦD . On peut écrire successivement : dvDgraddivDDgraddvDgradDdiv
vv
)) ( ( ) ( 2
∫∫ ΦΦ+Φ=ΦΦ µµµ ,
dvDgraddsDgradDv
. 2
∫∫ Φ=ΦΦΣ
µµ n ,
soit
dvDgraddsdDv
. 2
∫∫ Φ=Φ−Σ
µnB .
Le potentiel scalaire Φ sera unique (à une constante près) si en tout point de la frontière délimitant le domaine considéré, on impose :
• soit la valeur du potentiel Φ (condition de Dirichlet), • soit la composante normale de l’induction (condition de Neumann) • soit une relation entre les deux grandeurs précédentes (condition de Robin).
Remarquons que connaître le potentiel scalaire sur une surface est équivalent à connaître la valeur du champ tangentiel sur cette surface. Dire que le potentiel scalaire est constant sur une surface signifie que le champ magnétique est perpendiculaire à cette surface (figure 2.6)
Figure 2.6
3.3. MAGNETOSTATIQUE : POTENTIEL SCALAIRE PARTIEL
Dans les zones où circulent des courants, on peut décomposer le champ magnétique en deux composantes :
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 16
rs HHH += . Si on suppose que Hs est donné par la loi de Biot et Savart :
dvrs ∫Λ
= 3
41 riHπ
on a : Srs rotrotrotrot HHHH =+= et, par conséquent : rr gradΦ−=H . Hs est dénommé champ source. C’est le champ magnétique que l’on aurait en l’absence des matériaux magnétiques. Hr est le champ de réaction. En exprimant la divergence de B, on obtient :
( ) 0=Φ rgraddiv µ
ou, si la perméabilité magnétique est constante :
0 =Φ∆ r
Comme pour le potentiel magnétique total, l’unicité de la solution est assurée si, en tout point de la surface extérieure au domaine étudié, on connaît soit le potentiel scalaire partiel, soit sa dérivée normale. Remarques :
• Le potentiel scalaire partiel n’est généralement pas utilisé à l’intérieur des milieux magnétiques non conducteurs. En effet, dans ces milieux, le champ magnétique de réaction est généralement démagnétisant et du même ordre de grandeur que le champ source. La figure 2.7 montre un exemple monodimensionnel. Dans ces conditions, la méthode du potentiel scalaire partiel est souvent fort imprécise.
• Nous avons choisi comme champ Hs le champ donné par la loi de Biot et Savart. Celui-ci est indivergentiel. En réalité, il n’est pas nécessaire que le champ Hs soit
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 17
indivergentiel ; la seule condition qu’il doit satisfaire est que son rotationnel soit égal à la densité de courant.
Figure 2.7
4. FORMULATION ELECTROCINETIQUE
L’électrocinétique étudie la répartition des courants dans les conducteurs en régime continu. Elle se situe donc dans le même cadre que la magnétostatique, mais, alors qu’en magnétostatique, on suppose la distribution des courants connue, en électrocinétique, on s’intéresse précisément à déterminer cette distribution de courants. Les équations de Maxwell qui régissent l’électrocinétique sont donc : 0 =Erot 0)( =+ jidiv
Ej .σ= Deux types de potentiels peuvent être envisagés : un potentiel vecteur dont dériverait la densité de courant (car 0)( =+ jidiv ) ou un potentiel scalaire dont dérive le champ électrique (car 0 =Erot ). Généralement, c’est la seconde possibilité qui est utilisée. Dans ces conditions, on peut écrire : Vgrad −=E . Dès lors, on obtient :
0) ( =− Vgraddiv σi
et, là où σ est constant :
0 div1-V =∆ iσ
Les conditions d’unicité de la solution sont les mêmes qu’en électrostatique.
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 18
5. FORMULATION MAGNETODYNAMIQUE
Dans le cadre de l’électrotechnique classique, les courants de déplacement sont généralement négligeables vis-à-vis des courants de conduction. Dans ces conditions, en l’absence de charge d’espace, les équations de Maxwell deviennent : jiH += rot
t
rot∂∂BE −=
0 =Ddiv 0 =Bdiv HB µ= ED ε= Ej σ= . 5.1. MAGNETODYNAMIQUE : FORMULATION A-V
Formulation générale
Etant donné que 0 =Bdiv , on peut définir le potentiel vecteur magnétique A :
AB rot= .
Si on introduit cette expression dans la loi de Faraday, on obtient :
0)( =+t
rot∂∂AE ,
ce qui permet de définir le potentiel scalaire électrique V :
Vgradt
−=+∂∂AE .
Le potentiel vecteur A s’interprète comme en magnétostatique : sa circulation le long d’une courbe fermée représente le flux d’induction magnétique traversant toute surface s’appuyant sur la courbe. Le potentiel scalaire V représente ce qu’on appelle communément la tension : c’est la grandeur que l’on peut mesurer avec un voltmètre. En effet, intégrons la dernière relation le long d’une spire filiforme de faible section (figure 2.8) :
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 19
Figure 2.8
. . . )( . 22
1
2
1
2
11 ∫∫∫∫
Σ
+=+=−=− dsnBdljdlAEdltt
VgradVV∂∂ρ
∂∂
soit
21 tIRVV
∂∂Φ
+=− .
En introduisant les potentiels dans la loi d’Ampère, on obtient :
0 ) ( =−++ iAA Vgradt
rotrot σ∂∂σν .
Si les propriétés physiques du milieu sont linéaires ( εσν et, constants), on peut écrire :
0 ) ( =−++ iAA Vgradt
rotrot σ∂∂σν .
En utilisant la jauge de Coulomb (div A = 0 ), la relation précédente devient :
0 =+−−∆ iAA µσµ∂∂σµ Vgrad
t.
Si on utilise la jauge de Lorentz ( Vdiv σµ−=A ), on obtient :
0 ) ( =−++ iAA Vgradt
rotrot σ∂∂σν
0 =−++∆− iAAA µσµ∂∂σµ Vgrad
tdivgrad
0 =+−∆ iAA µ∂∂µσ
t
Unicité de la solution Supposons que l’on a choisi la jauge de Lorentz et que l’on dispose de deux solutions A1 et A2 satisfaisant les équations suivantes à l’intérieur d’un domaine v :
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 20
0 =+−∆ iAA µ∂∂σµ
t
Vdiv σµ−=A Recherchons les conditions sous lesquelles les deux solutions sont équivalentes. Soit : 21 AAA −=D . Dès lors :
0 =−∆t
DD∂
∂µσ AA
0=AdivD soit
0 ) ( =+t
DDrotrot∂
∂σν AA .
On a donc également :
0 ) ( . 0
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +∫ ∫
t
vdtdv
tDDrotrotD∂
∂σν AAA ,
0 ) 2
) ( . (0
2
=+∫ ∫t
vdtdv
tD
DrotrotD∂
∂σνA
AA ,
0 2
) ( 0
22 =
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+Λ−∫ ∫
t
vdtdv
tD
DrotDdivDrot∂
∂σννA
AAA
et, en utilisant le théorème d’Ostrogradski :
∫∫ ∫
∫∫ ∫
+Λ
=+
Σ v
t
v
t
v
dvDdtdsDrotD
dvtDdtdvDrot
2
0
2
0
2
)0( 2
. ) (
)( 2
AnAA
AA
σν
σν
Notons également que : AnAAnAnAA DrotDDDrotDrotD . ) ( . ) ( . ) ( ννν Λ−=Λ=Λ Dès lors, l’unicité de la solution est assurée si le second membre de la relation intégrale précédente est identiquement nul, c’est-à-dire si les deux conditions suivantes sont vérifiées : • la valeur du potentiel vecteur A est connue en tout point du domaine étudié à l’instant
initial ;
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 21
• la valeur de la composante tangentielle du potentiel vecteur ( nA Λ ) ou celle de la composante tangentielle du champ magnétique ( nHnA Λ=Λrotν ) est connue tout point de la surface extérieure au domaine à tout instant postérieur à l’instant initial.
Dans les conditions aux limites que nous venons d’établir, on reconnaît les conditions aux limites des équations de type parabolique. Cas du régime sinusoïdal Le régime sinusoïdal peut être étudié en utilisant les nombres complexes. L’équation générale devient :
0 ) ( =−++ iAA Vgradjrotrot σσων .
Si les propriétés physiques du milieu sont linéaires ( εσν et, constants), on peut écrire :
0 ) ( =−++ iAA µµσµσω Vgradjrotrot .
En utilisant la jauge de Coulomb ( 0=Adiv ), la relation précédente devient :
0 =+−−∆ iAA µµσµσω Vgradj .
Si on utilise la jauge de Lorentz ( Vdiv σµ−=A ), on obtient :
0 =+−∆ iAA µµσωj .
Dans ce cas, l’équation est de type elliptique et l’unicité de la solution est unique si on connaît :
• soit la composante tangentielle de A (condition de Dirichlet), • soit la composante tangentielle du champ magnétique H (condition de Neumann) • soit une relation entre les deux composantes précédentes (condition de Robin).
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 22
5.2. MAGNETODYNAMIQUE : FORMULATION T-Ω
Formulation générale Puisque : 0)( =+ jidiv , on peut définir un potentiel vecteur électrique T tel que : Tji rot=+ . Dans ces conditions, la loi d’Ampère devient : 0)( =− THrot et on peut définir le potentiel scalaire magnétique Ω tel que : Ω−= gradTH . Le potentiel vecteur T est lié aux courants. Sa circulation le long d’une courbe fermée représente le courant qui traverse n’importe quelle surface qui s’appuie sur cette courbe. Le fait que la composante tangentielle de ce potentiel soit constante sur une surface signifie qu’aucun courant ne traverse cette surface. Le potentiel vecteur T est défini à un gradient près ; pour rendre la solution unique, il faut donc lui adjoindre une jauge. Si on choisit comme jauge 0=Tdiv , T est solution du système d’équations suivant : Tji rot=+
0=Tdiv .
Dans ce cas, T représente le champ magnétique engendré dans le vide par la répartition totale de courants et Ω peut donc être regardé comme le champ de réaction. En remplaçant T et Ω dans la loi de Faraday, on obtient :
0)()()1( =−Ω−+ iTT γµ∂∂
∂µ∂
σrotgrad
ttrotrot
Si µ et σ sont constants, l’équation devient :
0=−Ω−+ iTT rott
gradt
rotrot∂∂µσ
∂∂µσ
En adoptant comme jauge :
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 23
0 =Ω
−t
div∂∂µσT ,
on obtient :
0=+−∆ iTT rott∂
∂µσ .
On peut montrer que l’unicité de la solution est assurée si on connaît
• les valeurs de T en tout point du domaine étudié à l’instant initial • la valeur de la composante tangentielle du potentiel vecteur ( nTΛ ) ou celle de la
composante tangentielle du courant ( njinT )( Λ+=Λrot ) en tout point de la surface extérieure au domaine à tout instant postérieur à l’instant initial.
Cas du régime sinusoïdal Le régime sinusoïdal peut être étudié en utilisant les nombres complexes. Les équations deviennent
0)()1( =−Ω−+ iTT γµωµωσ
rotgradjjrotrot .
Si µ et σ sont constants, l’équation devient :
0=−Ω−+ iTT rotgradjjrotrot µσωµσω
En adoptant comme jauge :
0 =Ω− µσωjdivT ,
on obtient :
0=+−∆ iTT rotj µσω .
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 24
Dans ce cas, l’équation est de type elliptique et l’unicité de la solution est unique si on connaît :
• soit la composante tangentielle de T (condition de Dirichlet), • soit la composante tangentielle du courant i+j (condition de Neumann) • soit une relation entre les deux grandeurs précédentes (condition de Robin).
5.3. MAGNETODYNAMIQUE : FORMULATION A*.
Le potentiel vecteur modifié A* est défini par les deux relations suivantes : * AB rot= ,
t∂
∂ *AE −= .
Dans ces conditions, la loi de Faraday et celle de la conservation du vecteur induction magnétique sont vérifiées automatiquement. En effet : 0≡= AB rotdivdiv et
0**
≡∂∂
+∂
∂−=
∂∂
+ AABE rottt
rott
rot .
Le potentiel vecteur modifié A* peut être considéré comme une primitive temporelle du champ électrique car :
∫−=t
dt0
* EA .
En introduisant le potentiel vecteur modifié dans la loi d’Ampère et en utilisant la loi d’Ohm, on obtient :
iAA =+t
rotrot∂
∂σν*
* ) ( .
REMARQUE
Si on prend la divergence de l’expression précédente, on obtient :
0 * ≡= iA divdivt∂
∂σ
soit constante * =Adiv
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 25
Dans les régions conductrices où s'applique la loi d’Ohm ( 0≠σ ), il existe donc une jauge implicite liée au choix du potentiel. Par contre, dans les régions non conductrices, une jauge doit être imposée classiquement.
On peut montrer que l’unicité de la solution est assurée si on connaît
• les valeurs de A* en tout point du domaine étudié à l’instant initial • la valeur de la composante tangentielle du potentiel vecteur ( nA Λ* ) ou celle de la
composante tangentielle du champ magnétique ( nHnA * Λ=Λrotν ) en tout point de la surface extérieure au domaine à tout instant à partir de l’instant initial.
6. FORMULATIONS ELECTROMAGNETIQUES
Dans les milieux non conducteurs (σ = 0 , donc j = 0), en l’absence de densité de charge macroscopiques, les équations de Maxwell s’écrivent :
t
rot∂∂DiH +=
t
rot∂∂BE −=
0 =Ddiv 0 =Bdiv HB µ= ED ε= . Comme il a été dit plus haut, la loi de Faraday assure la conservation de l’induction ( 0 =Bdiv ), pour autant que les conditions initiales soient formulées correctement. De même, la loi de Maxwell-Ampère assure la loi de Gauss ( 0 =Ddiv dans ce cas-ci), pour autant que les conditions initiales relatives aux courants imposés soient formulées correctement. 6.1. ELECTROMAGNETISME : FORMULATION A-V
Formulation générale Comme en magnétodynamique, on peut définir, on peut définir le potentiel vecteur A et le potentiel scalaire V à partir des lois de conservation du flux d’induction et de Faraday par les relations suivantes : AB rot= ,
Vgradt
−=+∂∂AE .
En introduisant ces relations dans la loi de Maxwell-Ampère, on obtient :
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 26
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
∂∂
+=t
Vgradt
irotrot∂∂ε
µAA 1
Si le milieu est linéaire, on obtient :
02
2
=−++ iAAtVgrad
trotrot
∂∂µε
∂∂µε
L’unicité du potentiel vecteur A peut être fixée au moyen d’une jauge convenable. Le choix de la jauge de Lorentz généralisée :
0 =+tVdiv
∂∂εµA
conduit à la relation suivante :
0 2
2
=+−∆ iAA µ∂
∂µεt
L’équation est cette fois de type hyperbolique. On peut montrer que l’unicité de la solution est assurée si on connaît
• les valeurs de A ainsi que ses dérivées premières en tout point du domaine étudié à l’instant initial (conditions de Cauchy)
• les valeurs des composantes tangentielles du potentiel vecteur (condition de Dirichlet) ou des composantes tangentielles du champ magnétique (condition de Neumann) en tout point de la surface extérieure au domaine à tout instant postérieur à l’instant initial.
Cas du régime sinusoïdal Le régime sinusoïdal peut être étudié en utilisant les nombres complexes. Dans ce cas, en utilisant la jauge de Lorentz généralisée :
0 =+tVjdiv
∂∂µεωA
on obtient, pour les matériaux linéaires, la relation suivante :
0 2 =++∆ iAA µµεω
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 27
L’équation est de type elliptique et l’unicité de la solution est assurée si on connaît les valeurs des composantes tangentielle du potentiel vecteur ou du champ magnétique en tout point de la surface extérieure au domaine. 6.3. ELECTROMAGNETISME: POTENTIEL DE HERTZ
Formulation générale Nous introduirons le potentiel de Hertz dans les milieux linéaires. Le potentiel de Hertz Π est lié aux potentiels A et V par les relations suivantes :
t∂
∂=
ΠA εµ
et ΠdivV −= .
Dans ce cas, on a :
t
rotrot∂
∂==
ΠAB µε
et
2
2
(t
divgradt
Vgad∂∂
−=∂∂
−−=ΠΠAE εµ) .
Les équations de conservation de l'induction et de Faraday ainsi que la jauge de Lorentz généralisée sont ainsi vérifiées identiquement car :
0≡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
trotdivdiv
∂∂µε ΠB
0( ≡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ∂
∂∂
−=∂∂
−t
rottdtt
divgradrott
rot ΠΠΠBE µεεµ)
( ) 0≡∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
=∂∂
+ ΠΠA divtt
divtVdiv µεµεµε .
En introduisant le potentiel de Hertz dans l’équation de Maxwell-Ampère, on obtient :
0 3
322 =+−
∂∂
∆ iΠΠ µ∂∂µεεµ
tt.
Si on simplifie et intègre cette dernière relation, on obtient :
0 1 2
2
=+−∆ ∫∞−
t
dtt
iΠΠε∂
∂µε .
CAO des systèmes électriques Chapitre2 : Equations de Maxwell 28
Les conditions d’unicité de la solution sont, comme pour les autres équations de type hyperbolique, la fixation :
• des valeurs de Π en tout point du domaine étudié à l’instant initial • la valeur de la composante tangentielle du potentiel ( nΠ Λ ) ou celle de la composante
tangentielle de son rotationnel ( nΠ Λrot ) en tout point de la surface extérieure au domaine à tout instant à partir de l’instant initial.
Cas du régime sinusoïdal : En régime sinusoïdal, l’équation du potentiel de Hertz s’écrit :
0 2 =++∆ωε
µεωj
iΠΠ .
On obtient à nouveau une équation elliptique ; l’unicité de la solution est assurée si on connaît les valeurs des composantes tangentielle du potentiel de Hertz (condition de Dirichlet) ou de son rotationnel (condition de Neumann) en tout point de la surface extérieure au domaine.
CHAPITRE 3 : METHODE DES ELEMENTS FINIS
1. PRINCIPES GENERAUX
1.1. AVERTISSEMENT
Ce chapitre n’a pas pour prétention de traiter de manière exhaustive la méthode des éléments finis. D’excellents ouvrages sont disponibles et d’autres cours universitaires sont spécialisés dans ce domaine. Nous n’envisagerons ici que le cas des éléments finis du premier ordre et insisterons par contre plus particulièrement sur les aspects spécifiques liés à la résolution des équations de Maxwell. 1.2. NOTION D’ELEMENT FINI
La méthode des éléments finis est basée sur une discrétisation de l’espace à étudier en éléments de forme simple (triangles, quadrangles en 2D, tétraèdres, hexaèdres, prismes ... en 3D) et de taille suffisamment faible. Des inconnues sont associées à ces éléments. Selon le cas, ces inconnues sont liées aux nœuds de l’élément (éléments finis nodaux), aux arêtes (cas des éléments d’arête), aux facettes (cas des éléments de facette) ou aux éléments de volume (éléments finis volumiques). L’utilisation d’une fonction d’évolution, souvent un polynôme d’ordre 0, 1 ou 2, permet d’approximer la valeur des grandeurs inconnues sur chaque élément fini. 1.4. ELEMENTS FINIS NODAUX TRIANGULAIRES DU PREMIER ORDRE
Définition Considérons un problème à 2 dimensions discrétisé en éléments finis triangulaires. A titre d’exemple, la figure 3.1 représente le maillage en éléments triangulaires de la coupe transversale d’un câble triphasé blindé. Remarque : On note que les éléments finis doivent respecter les frontières des objets et qu'ils ne peuvent se chevaucher.
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 30
Figure 3.1 : exemple de maillage
Figure 3.2 : assemblage d’éléments finis
A chaque nœud du maillage obtenu, on associe une inconnue qui est la valeur de la fonction recherchée en ce nœud. On exprime ensuite la fonction recherchée sous la forme suivante :
i
N
iiUzyxU ∑
=
=1
),,( β)
.
• ),,( zyxU
) est la valeur estimée de la fonction inconnue U au point de coordonnées
(x,y,z) ; • N est le nombre de nœuds ; • iU est la valeur estimée de la fonction inconnue U au nœud i ;
• ),( yxiβ est la fonction de forme associée au nœud i. La fonction de forme ),( yxiβ possède les propriétés suivantes (figure 1.2) :
• elle vaut 1 au nœud i : 1),( =iii yxβ ;
• elle est nulle en tout autre nœud : ijyx jji ≠= si 0),(β ;
• sa valeur évolue d’une certaine manière (linéairement pour des fonctions de forme linéaires) sur les éléments finis qui touchent le nœud i.
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 31
Les éléments finis nodaux assurent naturellement la continuité d’une fonction lorsque l’on passe d’un élément à l’autre. Ils conviennent donc particulièrement bien lorsque l’inconnue est un potentiel.
Figure 3.3 : fonction de forme d’un nœud (2D - 1er degré)
Espace réel et espace de référence Considérons un des éléments finis triangulaires (figure 3.4). Afin de faciliter la mise en œuvre des calculs, il est habituel d’associer à l'élément fini réel, un élément fini de référence situé dans un plan ξ, η dit plan de référence. A chaque point du triangle situé dans l’espace réel x,y est associé un et un seul point du triangle de référence situé dans l’espace de référence ξ, η. Si U1, U2 et U3 sont les valeurs de U aux 3 sommets du triangle (on les appelle valeurs nodales). Dans l’espace de référence, on peut écrire :
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=
3
2
1
1),(UUU
U ηξηξηξ)
.
La relation précédente permet d’évaluer la fonction inconnue U en tout point de l’élément de référence en fonction des valeurs nodales de la fonction. Les fonctions de forme des nœuds 1,2 et 3 sont respectivement :
ηηξβξηξβ
ηξηξβ
==
−−=
),(),(
1),(
3
2
1
On peut également écrire : N
T UN ),(),( ηξηξ =U (1) avec
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 32
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −−=
3
2
1
3
2
1
et),(),(),(1
),(UUU
NUNηξβηξβηξβ
ηξ
ηξηξ .
Figure 3.4 : élément de référence triangulaire
De même, on peut définir les transformations de coordonnées, qui permettent d’associer à tout point de l’élément fini de référence un et un seul point de l’élément réel : ( ) NN
T xxN' '3
'2
'1),(),( βββηξηξ ==x (2)
( ) NNT yyN' '
3'2
'1),(),( βββηξηξ ==y (3)
si
et
3
2
1
3
2
1
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
yyy
xxx
NN yx .
Les relations (1), (2) et (3) permettent d’associer tout point (ξ,η) de l’élément de référence un et un seul point (x, y) de l’espace réel ainsi que la valeur en ce point de la fonction approchée. Quand βi
' = βi , les mêmes fonctions de forme sont utilisées pour l’approximation des inconnues et pour les transformations de coordonnées et on parle de transformations isoparamétriques. Le passage de l’espace (ξ,η) à l’espace (x,y) est donc particulièrement simple. La transformation inverse est généralement plus compliquée. Formule de transformation pour les dérivées On calcule :
),( ),( ),( yxFy
xyxFy
xyx
yxyxF
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂η∂
∂η∂
∂ξ∂
∂ξ∂
∂η∂∂ξ∂
J
avec
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 33
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
∂η∂
∂η∂
∂ξ∂
∂ξ∂
yx
yxJ .
J est dénommée la matrice jacobienne de la transformation. Dans le cas des éléments finis triangulaires du premier ordre, la matrice jacobienne vaut :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−−
=1313
1212
yyxxyyxx
J
et Ayyxxyyxxdtm 2))(())(()( 12131312 =−−−−−=J où A représente l’aire du triangle réel. On a également :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−−−
=−
1221
3113
21
xxyyxxyy
A1J
et, finalement :
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−
∂η∂∂ξ∂
∂∂∂∂
1Jy
x
Formule de transformation pour les intégrales L’intégrale d’une fonction sur un élément réel peut se calculer en intégrant sur l’élément de référence par la formule suivante :
∫
∫∫
∆
∆∆
=
=
réf
réf
ddfA
dddtmyxfdydxyxf
ηξηξ
ηξηξηξ
),(2
)( )),(),,(( ),(
*
J
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 34
1.5. ELEMENTS FINIS D’ARETE DU PREMIER ORDRE
i j
kl
ijklf
i
j
k
ijkfi
i
jija
noeud
arête
facette triangulaire
facette quadrangulaire Figure 3.5 : nœuds, arêtes et facettes
Au lieu de choisir comme inconnues la valeur de la fonction recherchée aux nœuds du maillage, on peut choisir comme inconnues la circulation d’un vecteur (E ou H par exemple) le long des arêtes du maillage. On parle alors d’éléments finis d’arête. Dans ce cas, si U est la grandeur vectorielle inconnue, on peut écrire :
∑=AN
ij
dlijijUzyx pU ),,(
)
• ),,( zyxU
) est la valeur estimée de la fonction vectorielle inconnue en x,y,z ;
• AN est le nombre d’arêtes ;
• dlijU est la circulation du vecteur U le long de l’arête ij ;
• ijp est la fonction de forme (vectorielle) associée à l’arête ij.
La fonction de forme ijp associée à une arête ij est une fonction vectorielle possédant les propriétés suivantes :
• sa circulation le long de l’arête ij (dans le sens i => j) vaut 1 : 1. =∫ dlpj
i ij ;
• sa circulation le long de toute autre arête est nulle : ijkll
k kl ≠=∫ si 0.dlp ;
• sa valeur n’est non nulle que sur les éléments finis dont ij est une arête.
Figure 3.6 : désignation de la facette ij,
Les éléments finis d’arête assurent naturellement la continuité de la composante tangentielle des vecteurs inconnus. Ils conviennent donc particulièrement bien lorsque le champ vectoriel inconnu est le champ électrique E ou le champ magnétique H.
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 35
En 3D, dans le cas d’éléments finis comportant 3 arêtes par nœud, la fonction de forme d’une arête ij reliant les nœuds i et j peut se déduire des fonctions de forme nodales par la formule : ∑∑
∈∈
−=jiFijF Nr
riNr
rjij gradgrad,,
ββββp
où ijFN , désigne l'ensemble des nœuds de la facette de l'élément fini considéré qui contient le nœud j mais pas le nœud i . Une telle facette est unique pour des éléments possédant trois arêtes issues de chaque nœud ainsi que l’indique la figure 3.6. C’est le cas des tétraèdres, hexaèdres, pyramides à base triangulaire et des prismes). Le cas des éléments finis comportant plus de 3 arêtes par nœud n’est pas traité ici. Sur la figure 3.7a, on remarque que le vecteur
(a) (b)
+
(c)
Figure 3.7 : interprétation de la fonction de forme d'arête
∑
∈ ijFNrrj grad
,
ββ
• est nul sur toutes les arêtes qui ne touchent pas le nœud j (car jβ y est nul);
• est perpendiculaire à la facette hachurée (car 1,
=∑∈ ijFNr
rβ est constant sur cette facette);
• s'annule au nœud i (car jβ y est nul).
1.6. ELEMENTS FINIS DE FACETTE
De même que l’on a défini des éléments finis nodaux et d’arête, on peut définir des éléments finis de facette où les inconnues sont le flux d’une grandeur vectorielle au travers d’une facette (flux d’induction magnétique par exemple). La grandeur vectorielle inconnue s’exprime alors sous la forme :
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 36
∑ Φ=FN
ijkijkijkUzyx sU ),,(
)
• ),,( zyxU
) est la valeur estimée de la fonction vectorielle inconnue en x,y,z ;
• FN est le nombre de facettes ;
• ΦijkU est le flux du vecteur U au travers de la facette ijk ;
• ijks est la fonction de forme vectorielle associée à la facette ijk.
La fonction de forme ijks associée à une arête ijk est une fonction vectorielle possédant les propriétés suivantes :
• son flux au travers de la facette ijk (dans le sens positif choisi) est égal à 1 :
1. =∫ dssijk ijk ;
• son flux au travers de toute autre facette est nul : ijklmnlmn ijk ≠=∫ si 0.dss ;
• sa valeur n’est non nulle que sur les éléments finis dont ijk est une facette. Les éléments de facette assurent naturellement la continuité de la composante normale du champ vectoriel approximé. Elles conviennent donc particulièrement bien à l'approximation du champ d'induction magnétique B..
Figure 3.8
Les expressions des fonctions de forme de facette peuvent être dérivées des fonctions de forme d’arête. Pour les facettes à 3 nœuds, on a :
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛Λ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛= ∑∑ ∑
−+ ∈= ∈ 1,,1,,
3
12
iiFiiF Njj
i Njjif gradgrad βββs
et pour celles comportant 4 nœuds :
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 37
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛Λ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛= ∑∑ ∑
−+ ∈= ∈ 1,,1,,
4
1 iiFiiF Njj
i Njjif gradgrad βββs .
Dans les expressions précédentes :
• la première sommation s’effectue sur chacun des nœuds i de la facette f ; • la seconde sommation s’effectue sur les nœuds de la facette adjacente qui contient
le nœud i, mais pas le nœud i+1 (obtenu par permutation circulaire) ; • la troisième sommation s’effectue sur les nœuds de la facette adjacente qui
contient le nœud i, mais pas le nœud i-1 (obtenu par permutation circulaire). La figure 3.8 illustre la sélection des facettes adjacentes, tandis que la figure 3.9 montre l’allure du champ vectoriel engendré par la fonction de forme fs .
Figure 3.9
1.7. ELEMENTS FINIS DE VOLUME
Des éléments finis de volume peuvent également être définis. Dans ceux-ci, les inconnues sont des scalaires représentant l’intégrale volumique de l’inconnue sur l’élément fini considéré. La grandeur inconnue s’exprime alors par :
∑=EN
ijkl
vijklijklUvzyxU ),,(
)
• ),,( zyxU
) est la valeur estimée de la fonction inconnue en x,y,z ;
• EN est le nombre d’éléments finis ;
• vijklU est l’intégrale de l’inconnue U sur l’élément fini ijkl ;
• ijklv est la fonction de forme associée à l’élément fini ijkl.
La fonction de forme ijklv associée à un élément fini ijkl est possède les caractéristiques suivantes :
• elle est égale à l’inverse du volume de l’élément fini ijkl en tout point de celui-ci, si bien que son intégrale volumique sur cet élément fini est égale à 1 ;
• elle vaut 0 en tout partout ailleurs, si bien que son intégrale volumique sur tout autre élément fini est égale à 0.
Les éléments finis de volume conviennent bien à l'approximation de la charge électrique.
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 38
1.8. ESPACES FONCTIONNELS
On peut associer à chaque type d’élément fini un espace fonctionnel dans lequel il est défini. L’espace fonctionnel dans lequel sont définis les éléments finis nodaux est baptisé S0 (on parle également de 0-formes). Celui des éléments finis d’arêtes se dénomme S1 (1-formes), celui des éléments finis de facettes, S2 (2-formes) et celui des éléments finis de volume, S3 (3-formes). Ces espaces fonctionnels ne sont pas indépendants et on peut montrer que :
• le gradient d’une fonction scalaire définie dans l’espace S0 est une fonction vectorielle définie dans l’espace S1 ;
• le rotationnel d’une fonction vectorielle définie dans l’espace S1 est une fonction vectorielle définie dans l’espace S2 ;
• la divergence d’une fonction vectorielle définie dans l’espace S2 est une fonction scalaire définie dans l’espace S3.
La figure 3.10 illustre cette propriété remarquable.
S S S Sgrad rot div0 1 2 3⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯⎯
Figure 3.10
Exemples : • Si le potentiel scalaire électrique V est défini dans l’espace des éléments nodaux (S0), le
champ électrique E qui en dérive est situé dans l’espace S1 des éléments d’arêtes )( Vgrad−=Ε . Dans les mêmes conditions, l’induction magnétique se trouve dans
l’espace S2 des éléments de facette )/( EB rotdtd = (figure 3.11). • De manière analogue, si le potentiel scalaire magnétique Φ est défini dans l’espace S0 des
éléments finis nodaux, le champ magnétique H est défini dans l’espace S1 des éléments d’arêtes )( Φ−= gradH . Dans les mêmes conditions, la densité de courant i et le déplacement électrique D se trouvent dans l’espace S2 des éléments de facette
)/( HiD rotdtd =+ . Dans le même contexte, la densité de charge électrique se trouve dans l’espace S3 )( ρ=Ddiv (figure 3.11).
• Si le potentiel vecteur magnétique A est défini dans l’espace S1 des éléments finis d’arêtes, l’induction magnétique B )( AB rot= se trouve dans l’espace S2 des éléments finis de facettes (figure 3.11).
1.9. DIAGRAMME DE TONTI
La figure 3.11 montre les 2 suites d’espaces fonctionnels naturels dans lesquels évoluent les grandeurs électromagnétiques ainsi que les lois de comportement qui les relient. Les lois de comportement relient des grandeurs situées dans des espaces fonctionnels différents (par exemple H défini dans l’espace des éléments d’arêtes et B défini dans l’espace des éléments de facettes). On peut en déduire que dans un espace discrétisé, il est impossible de satisfaire en tout point à la fois les équations de Maxwell et les lois de comportement. Le diagramme de la figure 3.11 est appelé diagramme de Tonti.
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 39
1.10. AUTRES TYPES D’ELEMENTS FINIS
D'autre types d’éléments finis sont utilisés : • Les éléments finis polynomiaux d’ordre supérieur (second ordre, troisième ordre, ...) • Les éléments finis nodaux décrits précédemment assurent naturellement la continuité
des inconnues au passage d’un élément à un autre. On peut envisager également d’assurer la continuité de la dérivée de la fonction inconnue au passage d’un élément à un autre. On parle alors d’éléments finis d’Hermite.
Pour la théorie complète des éléments finis nodaux, on consultera la littérature spécialisée (voir bibliographie). 1.11. CONCLUSION
D’une manière générale, la ou les grandeurs inconnues peuvent s’exprimer sous la forme : ( ) ii UyxfyxU ),(, ∑=
)
où ( )yxfi , est la fonction de forme associée à l’inconnue iU . Rappelons que cette fonction de forme (ou son intégrale) vaut 1 sur l’élément auquel elle est associée (nœud, arête, facette, ...). Dans le cas des éléments finis nodaux, d’arête et de facette, la fonction de forme est non nulle sur les éléments finis qui touchent l’élément associé et elle est nulle partout ailleurs. Une fois la modélisation choisie, il s’agit de rechercher les valeurs des grandeurs inconnues de telle manière que l’ensemble de ces valeurs fournisse une solution acceptable au problème posé. Pour ce faire, plusieurs techniques peuvent être mises en œuvre.
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 40
EF ... EF ... nodaux V ρ volume ↓ ↑ grad div ↓ ↑ → ε → (jω) D arêtes (jω)A→ E → σ → j← ↑ facettes i← ↑ ↓ ↓ ↑ → rot rot ↓ ↑ facettes (jω)B ← µ ← H arêtes ↓ ↑ div grad ↓ ↑ volume 0 Φ nodaux
Figure 3.11
2. ELECTROSTATIQUE
2.1. METHODE VARIATIONNELLE DE RITZ-RAYLEIGH
2.1.1. Principe
Soit un domaine Ω de l’espace délimité par une frontière 21 Γ+Γ constituée d’une partie 1Γ où le potentiel scalaire VD est connu (condition de Dirichlet) et d’une partie 2Γ où est connue la composante normale du déplacement électrique Dn (condition de Neumann). Considérons une fonction scalaire V définie sur le volume Ω et satisfaisant la condition de Dirichlet 1sur Γ= DVV ainsi que la fonctionnelle )(VΨ définie par :
∫∫ΓΩ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Ψ
22
)(2
dsVDdvVEV nρε .
Parmi l’ensemble des fonctions V, celle qui minimise Ψ est celle qui satisfait aux équations de l’électrostatique.
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 41
Figure 3.12 : conditions aux limites
2.1.2. Démonstration Calculons :
))((.)(.)()( VgraddVdVVVVd
E∂∂
∂∂ Ψ
−Ψ
=Ψ ,
( ) ∫∫ΓΩ
+−−=Ψ2
)(.)( dsdVDdvdVdVgradVd nρεE .
Comme : EEE divdVdVgraddVdiv += .)( , on obtient : ( ) ∫∫
ΓΩ
+−+−=Ψ2
)()( dsdVDdvdVdivdVdVdivVd nρεε EE
( ) ∫∫∫ΓΓ+ΓΩ
+−−=Ψ221
.)( dsdVDdsdVdvdVdivVd nnEE ερε
Puisque, par définition, dV est nul sur 1Γ , on obtient : ( ) ( ) dsdVDdvdVdivVd n∫∫
ΓΩ
−−−=Ψ2
.)( nEE ερε .
Etant donné que dV est quelconque (sauf sur 1Γ ), )(VΨ sera extrémale si et seulement si :
• 0=− ρε Ediv en tout point de Ω et • 0. =− nDnEε sur 2Γ .
Par ailleurs, étant donné que Vgrad−=E , le rotationnel de E est identiquement nul. Le potentiel scalaire V obtenu satisfait donc aux équations de l’électrostatique et aux conditions limites imposées.
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 42
2.1.3. Interprétation physique Reprenons l’expression de la fonctionnelle, dans le cas où le volume Ω s’étend jusqu’à l’infini :
dvVEV ∫∞Ω
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Ψ ρε
2)(
2
.
On se souviendra des deux expressions de l’énergie électrostatique :
• la première, évaluée à partir du champ électrique :
dvE∫∞Ω 2
2ε
• et la seconde, calculée à partir de la valeur des charges et du potentiel auquel elles sont portées
dvV∫∞Ω 2
ρ .
On en déduit que, lorsque V est le potentiel électrostatique, la fonctionnelle )(VΨ représente au signe près l’énergie électrostatique contenue dans le système. 2.1.4. Construction du système d’équations à résoudre
Discrétisons l’espace Ω en éléments finis nodaux. Soit une fonction ( )yxV ,)
satisfaisant les conditions de Dirichlet sur la frontière 1Γ :
( ) ∑=
=N
iii VyxyxV
1
),(, β)
.
On peut écrire :
∑=
−=N
iii Vyxgrad
1
),(βE)
et
∫∫ΓΩ
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=Ψ
22
)(2
dsVDdvVEV n
)))
)ρε
Minimisons la fonctionnelle )(V
)Ψ par rapport à Vj :
0.)(
2
=+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Ψ∫∫
ΓΩ
dsVVDdv
VV
VVgradVgrad
VV
jn
jjj ∂∂
∂∂ρ
∂∂ε
∂∂
))))
)
,
( ) 0.)(
2
=+−=Ψ
∫∫ΓΩ
dsDdvgradVgradVV
jnjjj
ββρβε∂
∂ ))
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 43
0.)(
21=+⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−=
Ψ∫∫ ∑ΓΩ =
dsDdvgradgradVV
Vjnj
N
ijii
j
ββρββε∂
∂)
.
Dès lors, on obtient le système d’équations suivant :
0.21
=+− ∫∫∑ ∫ΓΩ= Ω
dsDdvdvgradgradV jnj
N
ijii ββρββε ( N ...., ,1=j ).
Le système d’équations peut s’écrire sous forme matricielle : BVM = où :
• ∫Ω
= dvgradgradM jiij ββε . est le terme général d’une matrice M symétrique et creuse,
puisque ji gradgrad ββ . n’est non nul que si les nœuds i et j sont voisins ;
• V est le vecteur contentant les inconnues Vi ; • B est un vecteur dont le terme général vaut ∫∫
ΓΩ
−=2
dsDdvdvB jnjj ββρ .
La résolution du système d’équations fournit la solution du problème. 2.2. METHODE DES RESIDUS PONDERES
Discrétisons, comme précédemment le domaine à étudier en éléments finis et définissons la fonction ( )yxV ,
) qui satisfait aux conditions de Dirichlet sur la frontière 1Γ :
( ) ∑=
iii VyxyxV ),(, β
)
Dans ces conditions, le champ électrique a pour expression : ∑−=−=
iii VyxgradVgrad ),(β
))E
Dès lors le rotationnel de E
) sera identiquement nul. La méthode des résidus pondérés
consiste à déterminer les coefficients Vi qui vérifient « au mieux » l'expression de la divergence du vecteur déplacement dans le volume considéré ainsi que les conditions de Neumann sur la frontière 2Γ . Soit une fonction de pondération ),( yxη quelconque définie sur Ω et nulle sur la frontière
1Γ . Formons le résidu : ( ) ∫∫
ΓΩ
−+−=2
).( dsDdvdivR n ηεηρε nEE))
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 44
soit ( ) ∫∫
ΓΩ
++−−=2
).( dsVgradDdvVgraddivR n ηεηρε n))
Ce résidu est à annuler. En observant la relation précédente, on constate qu’elle fait apparaître les dérivées secondes du potentiel. Cette expression constitue ce qu'on appelle la formulation forte de la méthode des résidus. Si le résidu est nul pour n’importe quelle fonction de pondération ),( yxη , la solution obtenue est la solution exacte. Généralement, on préfère utiliser une formulation faible, obtenue en réalisant une intégration. Puisque VgradgradVgraddivVgraddiv
))).)( ηεεηεη −= ,
on obtient successivement : ( ) ∫∫
ΓΩ
++−+−=2
).(.)( dsVgradDdvVgradgradVgraddivR n ηεηρηεεη n)))
,
( ) ∫∫∫ΓΓ+ΓΩ
++−−=221
).(.. dsVgradDdsVgraddvVgradgradR n ηεηεηρηε nn)))
( ) ∫∫ΓΩ
+−=2
. dsDdvVgradgradR nηηρηε)
,
soit :
∫∫∑ ∫ΓΩ= Ω
+−=2
1. dsDdvdvgradgradVR n
N
iii ηηρβηε
L’annulation du résidu pour N fonctions de pondérations indépendantes fournit N équations à N inconnues. Au niveau des fonctions de pondération, plusieurs choix sont possibles :
• si les fonctions de pondération sont des fonctions de Dirac centrées sur chaque nœud inconnu, on parle de collocation ;
• si on choisit comme fonctions de pondération les fonction de forme, on obtient la méthode de Galerkin:
0.
2
=+−= ∫∫∫∑ΓΩΩ
dsDdvdvgradgradVR jnjiji
ij ββρββε .
On remarque que la méthode de Galerkin conduit aux même système d’équations que la méthode de Ritz-Rayleigh. 2.3. ASPECTS PARTICULIERS
2.3.1. Symétries Bien souvent, les structures à étudier possèdent des symétries qui permettent de simplifier le problème.
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 45
Symétrie plane Dans bien cas, les structures à étudier ont une dimension beaucoup plus importante que les autres et, en négligeant les effets de bord, on peut admettre que la structure s’étend jusqu’à l’infini dans cette direction privilégiée (baptisons-la z). C’est par exemple souvent le cas de jeux de barres dans des postes électriques de transformation. Dans ces conditions, le vecteur champ électrique se trouve dans le plan perpendiculaire à la direction z et les grandeurs inconnues ne dépendent pas de z. A ce moment, il suffit d’étudier ce qui se passe dans un des plans x,y et le problème devient bidimensionnel. Symétrie axiale Lorsque la géométrie présente une symétrie axiale (cas des isolateurs par exemple), on simplifie fortement le problème en en tenant compte. On choisit alors comme éléments finis des éléments toroïdaux dont la section droite est un élément fini 2D (triangle, quadrangle, ...).
Figure 3.13 : symétrie axiale
Les intégrales volumiques et de surface deviennent respectivement des intégrales de surface et de contour dans le plan r,z : ∫∫ ∫ ==
sv sdszrfrdzdrzrfrdvzyxf ),( 2 ),( 2 ),,( ππ
∫ ∫=s c
dlzrfrdszyxf ),( 2 ),,( π .
Plan de symétrie/ d’antisymétrie Dans certains cas, la géométrie possède des propriétés de symétrie par rapport à un plan, accompagnées d’une symétrie ou d’une antisymétrie électrique.
• Dans le cas d’une symétrie électrique, le champ est tangent au plan de symétrie et on peut se contenter d’étudier un côté du plan, en imposant sur le plan la condition limite de Neumann suivante :
0=nD .
• Dans le cas d’une antisymétrie électrique, le plan de symétrie est à potentiel nul. On y impose donc la condition de Dirichlet :
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 46
0=V . Symétries et antisymétries cycliques Dans les cas de symétries cycliques, il suffit d’étudier un quartier (voir figure 3.14)
Figure 3.14 : symétrie/antisymétrie cyclique
2.3.2. Points anguleux On sait que le champ électrique devient très intense au voisinage de points anguleux. Si on n'y prend garde, la méthode des éléments finis lissera ce phénomène, dont la cause n’est pas une valeur importante du potentiel, mais bien une variation rapide du celui-ci. Cette variation rapide du potentiel au voisinage d’un point anguleux n'est généralement pas rendue correctement par les fonctions de forme. Si on désire déterminer la valeur correcte du champ au voisinage d'un point anguleux, il faut d'abord représenter correctement ce point (s'il s'agit d'une pointe parfaite, il n'y a pas besoin de calcul, puisque le champ est infini !) et ensuite mailler son voisinage de manière suffisamment fine. 2.3.3. Conducteurs à potentiel flottant Aux frontières des conducteurs à potentiel fixe, on impose simplement des conditions de Dirichlet (valeur du potentiel fixé). Pour un conducteur à potentiel flottant (donc inconnu), il faut exprimer que tous les points du conducteur sont au même potentiel et que la charge totale du conducteur est connue (généralement nulle). Une première méthode pour résoudre ce problème consiste à considérer chaque point de la frontière du conducteur à potentiel flottant comme un point où s’applique une condition de Neumann de valeur Dn inconnue. S'il y a NF nœuds sur cette frontière, il y aura donc 2 inconnues en chaque nœud, soit en tout 2NF inconnues. L'annulation des résidus fournira NF équations auxquelles on ajoutera les relations suivantes : 21 VV = 31 VV = ...
FNVV =1
0 ==∫∫ dsDdsD nS
n
F
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 47
La dernière relation exprime que la charge totale du conducteur est nulle. Une autre méthode consiste à fusionner tous les nœuds situés à la surface de l’objet à potentiel flottant en un seul nœud inconnu et d’attribuer à ce nœud une fonction de forme spéciale. Dans ce cas, si
) V x, y( ) désigne la fonction inconnue et si FΩ est un objet à potentiel flottant,
on peut regrouper les nœuds portés au même potentiel VF :
( ) ∑∑∑ΩΩ−Ω
+==FF
Fiiii
ii VyxVyxVyxyxV ),(),( ),(, βββ)
soit
( ) FFii VyxVyxyxVF
),(),(, ββ += ∑Ω−Ω)
avec ∑
Ω∈
=Fi
iF ββ .
La fonction de forme vaut 1 en tout point de la surface du conducteur à potentiel flottant et est nulle en tous les autres nœuds. Dans le système d’équations, le terme correspondant au nœud "fusionné" sera :
0.2
* =+−== ∫∫∫∑∑ΓΩΩ
Ω
dsDdvdvgradgradVRR FnFiFi
ij
F
ββρββε .
Le dernier terme de la relation précédente représente la charge portée par le conducteur à potentiel flottant : ∫∫
ΩΓ
=F
dsDdsD nFn
2
β .
L’intérêt de cette seconde méthode est qu’elle ne rompt pas la symétrie du système matriciel à résoudre. 2.3.4. Espaces non confinés D'un manière générale, le champ électromagnétique s'étend jusqu'à l'infini. Dans beaucoup de situations, il est assez aisé de délimiter le domaine d'étude soit par une condition de symétrie ou par une frontière suffisamment éloignée de la zone d'intérêt pour qu'on puisse supposer que le potentiel électrique y est nul. Une autre méthode permettant de tenir compte de l'espace situé au-delà d'une certaine limite consiste à utiliser une transformation géométrique transformant cette partie (infinie) de l'espace en un espace de dimension finie qu'il est possible de mailler. Considérons une géométrie bidimensionnelle et la transformation géométrique suivante :
),(),(
2
1
YXfyYXfx
==
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 48
reliant les coordonnées x, y de l'espace réel infini ∞Ω aux coordonnées X, Y de l'espace fini (élément de volume *Ω ).
Dans les équations d’éléments finis, les termes correspondant à l’intégration sur l’espace infini deviennent :
),(
),(
),( .),(
*
*
*
*11
∫
∫
∫∫
Ω
Ω
−−
ΩΩ
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
∞∞
dv
Y
XYX
YXf
dvdtm
Y
XYX
YXf
dv
y
xyx
yxfdvgradgradyxf
j
j
ii
j
j
Tii
j
j
iiji
∂∂β∂∂β
∂∂β
∂∂β
∂∂β∂∂β
∂∂β
∂∂β
∂∂β∂
∂β
∂∂β
∂∂βββ
T
JJJ
avec
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
Yf
Xf
Yf
Xf
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
22
11
J
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+
−
+−
−
+−
−
+
=== −−
Yf
Xf
Yf
Xf
Xf
Xf
Yf
Xf
Yf
Xf
Yf
Xf
Yf
Xf
Yf
Xf
Yf
Xf
Yf
Xf
Yf
Xf
Yf
Xf
Yf
Xf
Yf
Yf
dtmT
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
1221
2
22
2
21
1221
2211
1221
2211
1221
2
22
2
21
11 JJJT
Si la transformation 21 fjf + est conforme, c’est-à-dire si :
Yf
Xf
Yf
Xf
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
12
21
−=
=,
la matrice T est la matrice unité.
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 49
Figure 3.15
La transformation de Kelvin :
22
2
2
22
2
1
),(
),(
YXYAYXfy
YXXAYXfx
+==
+==
est une transformation conforme qui associe la partie de l'espace située au-delà d'un cercle de rayon A à l'intérieur d'un cercle de rayon A. La transformation cylindrique :
Figure 3.16
( )
( )22222
22221
),(
),(
YXBABA
YXYYXfy
YXBABA
YXXYXfx
+−
−
+==
+−
−
+==
transforme l'espace situé au-delà d'un cercle de rayon A en une couronne circulaire située entre A et B.
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 50
Il est également possible de définir des couronnes rectangulaires ou elliptiques. 3. MAGNETOSTATIQUE
En magnétostatique, plusieurs modélisations sont possibles : • potentiel vecteur ; • potentiel scalaire (total et partiel) ; • éléments d’arête ; • éléments de facette.
3.1. MODELISATION NODALE UTILISANT LE POTENTIEL VECTEUR
3.1.1. Méthode variationnelle de Ritz-Rayleigh La fonctionnelle à minimiser a pour expression : ( ) ∫∫
ΓΩ
−−∫=Ψ2
0 .)()( dsdvdB tB A.HA.jBHA .
Si on discrétise l’espace Ω en éléments finis nodaux, on obtient : ( ) ii yxyx AA ),(, ∑= β
)
( ) iigradyx AB , Λ= ∑ β)
.
La fonction A
) est supposée satisfaire les conditions de Dirichlet sur la frontière 1Γ . Dès lors,
( ) ∫∫
ΓΩ
−−∫=Ψ2
. )()(
0dsdvdB t
ArotA.HA.jBHA))) )
.
Minimisons la fonctionnelle )(A
)Ψ par rapport à une composante (x par exemple) de Ai :
0.)(
2
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
Ψ∫∫ΓΩ
dsdvrotrot xi
txi
xi
xi A
A.HAA.j
AAA
AA
∂∂
∂∂
∂∂ν
∂∂
))))
)
,
( )( ) 0 .)(
2
=−−Λ=Ψ
∫∫ΓΩ
dsdvgradrot xitxixixi
1.H1.j1AA
A βββν∂
∂ ))
( ) 0.)(
2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−ΛΛ=
Ψ∫∫∑∫ΓΩΩ
xtiij
ijjxi
dsdvdvgradgrad 1HjAA
A ββββν∂
∂)
.
Sous forme vectorielle, on a donc :
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 51
( ) 02
=−−ΛΛ ∫∫∑∫ΓΩΩ
dsdvdvgradgrad itij
ijj ββββν HjA
On obtient par conséquent un système d’équations symétrique et creux (puisque
ij gradgrad ββ Λ n’est non nul que si les nœuds i et j sont voisins) comportant autant d’équations que d’inconnues. On peut montrer aisément que la solution qui minimise le fonctionnelle est celle qui satisfait l’équation d’Ampère jH =rot à l’intérieur du domaine étudié et les conditions de Neumann sur la frontière 2Γ . Le potentiel vecteur ainsi obtenu n’est pas unique. Si on désire assurer l’unicité du potentiel vecteur, il faut choisir une jauge, c’est-à-dire une relation scalaire entre les composantes de A
)
en chaque point. On remarque qu’ici aussi, la valeur de la fonctionnelle représente, au signe près, l'énergie magnétique du système, car :
( ) dvdvdBWVV
Bmag ∫∫ =∫= A.jBH
21.)(0 .
3.1.2. Méthode des résidus pondérés Subdivisons le domaine à étudier en éléments finis et soit
) A x ,y( ) = βi∑ (x, y) Ai
une fonction vectorielle qui satisfait aux conditions de Dirichlet sur la frontière 1Γ . Dès lors, puisque iigradrot AAB Λ== ∑ β
)),
la divergence de
) B sera identiquement nulle. Il restera à vérifier « au mieux » l’équation
d’Ampère ainsi que les conditions de Neumann sur la frontière concernée. Soit une fonction de pondération u),( yxη nulle sur 1Γ (u est un vecteur quelconque). Formons le résidu : ( ) ∫∫
ΓΩ
Λ−−−=2
.)(.)( dsrotdvrotrotR unAHtujA ηνην))
C’est ce résidu que l’on va minimiser. En observant l’expression précédente, on constate qu’elle fait apparaître les dérivées secondes du potentiel vecteur. Cette formule constitue ce qu'on appelle la formulation forte de la méthode. Généralement, on lui préfère une formulation faible, obtenue en réalisant une intégration. Puisque :
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 52
.)()(.
)(.)()(.
uAuAAu
uAuAAu
Λ+Λ=
+Λ=
ηνηννη
ηνηννη
gradrotrotdivrotrot
rotrotrotdivrotrot)))
)))
( ) 2∫∫
ΓΩ
−−Λ= dsdvgradrotR tηηην HjA)
( ) 0 2
=−−ΛΛ ∫∫∑∫ΓΩΩ
dsdvdvgradgrad tj
jj ηηηβν HjA .
En utilisant les fonctions de forme comme fonctions de pondération, on obtient la formulation de Galerkin : ( ) 0
2
=−−ΛΛ ∫∫∑∫ΓΩΩ
dsdvdvgradgrad itij
ijj ββββν HjA .
La remarque faite au paragraphe précédent concernant l’unicité du potentiel vecteur reste valable. 3.2. MODELISATION NODALE UTILISANT LE POTENTIEL SCALAIRE
Dans les zones sans courant, on a 0=Hrot et Φ−= gradH . Le potentiel magnétique est multiforme si le domaine considéré est multiplement connexe et traversé par un courant. Dans ce cas, il est nécessaire de réaliser des coupures de manière à rendre le domaine simplement connexe. Après avoir discrétisé le domaine d’étude, on écrira : ( ) ii yxyx Φ=Φ ∑ ),(, β
)
en respectant les conditions de Dirichlet. Dans ce cas, la loi d’Ampère est automatiquement vérifiée et restera à vérifier « au mieux » :
Ω= dans 0B)
div et
2sur . Γ= nBnB)
. La formulation forte s'écrit :
0 ) ( ) ( 2
=+Φ
−Φ ∫∫ΓΩ
dsBn
dvgraddiv ini β∂∂µµβ
))
.
En tenant compte de ( ) ( ) Φ−Φ=Φ
)))gradgradgraddivgraddiv iii .βµµβµβ
( ) ∫∫∫ΩΓΩ
Φ−Φ
=Φ dvgradgradn
dvgraddiv iii
))
).
2
βµ∂∂µβµβ ,
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 53
on obtient la formulation faible : 0.
2
=+Φ ∫∑∫ΓΩ
dsBdvgradgrad inj
jij βββµ .
3.3. MODELISATION NODALE UTILISANT LE POTENTIEL SCALAIRE PARTIEL
Dans les zones comportant du courant, on peut utiliser le potentiel scalaire partiel tel que rs HHH += avec
dvrs ∫Λ
= 4 3
0 rjHπ
µ
et rr gradΦ−=H . Dès lors, la formulation forte s'écrit :
0 . )) ( ( 2
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ−−Φ− ∫∫
ΓΩ
dsBn
dvgraddiv inr
srsi β∂
∂µµβ)
)nHH .
En tenant compte de
( )( ) ( )( ) ( )( )( )
∫∫
∫∫Φ+−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ−=Φ−
Φ−−Φ−=Φ−
ΓΩ
Vri
Vsi
rsirsi
rsirsirsi
dvgradgraddvgrad
dsn
dvgraddiv
gradgradgraddivgraddiv
)
))
)))
..
.
.
2
βµβµ
∂∂µβµβ
βµµβµβ
H
nHH
HHH
on obtient la formulation faible : 0 . .
2, =+−Φ ∫∫∑∫
ΓΩΩ
dsBdvgraddvgradgrad inisj
jrij ββµββµ H .
3.4. ELEMENTS D’ARETE - FORMULATION EN A
Les inconnues (circulation du potentiel vecteur le long des arêtes) sont associées aux arêtes du maillage. On peut montrer qu'imposer (en pratique, annuler) les valeurs de la circulation de A le long des branches d’un arbre topologique construit sur le maillage constitue une jauge valable (un arbre topologique est une ligne constituée d’arêtes qui passe par tous les nœuds du problème sans jamais se refermer ; l’ensemble des autres arêtes constituent le co-arbre). On peut vérifier que le nombre de branches du co-arbre est égal au nombre de facettes. La définition complète du flux d’induction requiert une inconnue par facette, donc un nombre d’inconnues égal au
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 54
nombre de branches du co-arbre. Convenons donc d'annuler la circulation de A le long des branches de l’arbre topologique. Si Nc désigne le nombre de branches du co-arbre, on peut donc écrire :
∑=
=cN
ij
dlijij A
1sA
)
et
∑=
=cN
ijij
dlij rotA
1sB
).
Figure 3.17 : arbres et co-arbres topologiques
Il s’ensuit que B est indivergentiel et il reste à vérifier « au mieux » la loi de Maxwell-Ampère, ce qui fournit la formulation forte : ( )( ) 0.)(.
2
=−Λ+− ∫∫ΓΩ
dsdvrotrot ijtij sHnHsiA))
ν .
En tenant compte de ijijij rotrotrotdivrotrot sAsAsA . ) ( . ) (
)))ννν +Λ= ,
on obtient la formulation faible :
0...21
=−− ∫∫∑ ∫ΓΩ= Ω
dsdvdvrotrotA ijtij
N
klijij
dlij
c
sHsissν pour cNij ,...,1= .
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 55
3.5. ASPECTS PARTICULIERS
Symétries. On peut simplifier l’étude de problèmes comportant des symétries en utilisant des conditions limites adéquates : Sur un axe ou un plan de symétrie électrique, le champ tangentiel est nul. Dès lors, sur l’élément de symétrie : 0=tH ; constante=Φ . L’induction normale à un axe ou un plan de symétrie est nulle ; dès lors, sur l’élément de symétrie :
0=Φ
dnd ; constante=tA .
Espaces non confinés Les espaces non confinés peuvent être traitées de manière analogue à ce qui a été présenté en électrostatique. Couplage entre méthodes Dans un même problème, on peut traiter des domaines différents par des méthodes différentes, pour autant que l’on puisse exprimer les conditions de passage d’un domaine à l’autre. Pour ce faire, toutes les frontières séparant des domaines utilisant des méthodes différentes sont traitées en y plaçant en chaque nœud (arête ou facette) deux inconnues correspondant aux conditions aux limites classiques (Dirichlet, Neumann). On exprime ensuite les conditions de passage d’un domaine à l’autre :
• la continuité de la composante tangentielle de H ; • la continuité de la composante normale de B.
Exemple : modélisations par potentiel scalaire partiel et potentiel scalaire total A la limite entre les deux modèles, on écrit en chaque nœud : 21 nnn BBB =⇒ et, le long des arête constituant la frontière :
rjri
j
i sjit Φ−Φ+=Φ−Φ⇒ ∫ dlHH . .
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 56
4. MAGNETODYNAMIQUE
4.1. METHODE NODALE A-V
Afin de ne pas alourdir inutilement la présentation de ce paragraphe, nous supposerons que le problème comporte :
• Des courants imposés i • Des courants induits j • Des conditions limites de Dirichlet (A connu sur 1Γ ) et de Neuman (Ht connu sur 2Γ )
Dans ces conditions, on a AB rot= et
dtdVgrad AE −−= .
Dans l’expression précédente, V représente la tension appliquée au système. Dans le cas de courants induits, celle-ci est nulle et on a :
dtdAE −=
Nous adopterons également la jauge de Coulomb : 0=Adiv . Choisissons comme inconnues le potentiel vecteur A aux nœuds du maillage et construisons les fonctions de forme vérifiant les conditions de Dirichlet : ii AA ∑= β
).
Donc iigradrot AAB Λ== ∑ β
))
dt
ddtd i
iAAE ∑−=−= β
))
Grâce au choix des potentiels, on aura automatiquement 0 =B
)div
et
t
rot∂∂BE
))
−= .
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 57
Il reste à vérifier "au mieux" : jiH
))+= rot
et 0 =D
)div
(notons que, dans le cas linéaire, la dernière relation est automatiquement vérifiée dans les conducteurs si la précédente l’est, car
0)( ====+ DEjji))))
divdivdivdivεσσ )
En formulation forte, on aura donc 0)() (
2
=−Λ+−−= ∫∫ΓΩ
dsdvrot jtjj ββσ HnHEiHR)))
( ) 0)( 2
=−Λ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= ∫∫
ΓΩ
dsdvdtdrotrot jtjj ββσν HnHAiAR
))
).
Pour obtenir la formulation faible, on projette le résidu sur un vecteur u constant quelconque :
( ) 0.)( ..2
=−Λ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−= ∫∫
ΓΩ
dsdvdtdrotrot jtjj ββσν uHnHuAiARu
))
)
et on utilise l’identité suivante : .)()(. uAuAAu Λ+Λ= jjj gradrotrotdivrotrot βνβννβ
)))
( ) ( )
0.)( .
. . )(.
2
=−Λ++
−Λ+Λ=
∫∫
∫∫∫
ΓΩ
ΩΩΩ
dsdvdtd
dvdvgradrotdvrotdiv
jtj
jjjj
ββσ
ββνβν
uHnHuA
uiuAuARu
))
))
( )
0.)( . .
. .)(.
2
2
=−Λ++−
Λ+Λ=
∫∫∫
∫∫
ΓΩΩ
ΩΓ
dsdvdtddv
dvgradrotds
jtjj
jjj
ββσβ
βνβ
uHnHuAui
uAnuHRu
))
))
soit
( ) 0. . . ..2
=−+−Λ= ∫∫∫∫ΓΩΩΩ
dsdvdtddvdvgradrot jtjjjj ββσββν uHuAuiuARu
))
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 58
car unHuHnnuH ... Λ−=Λ=Λ jjj βββ .
On aura également :
( ) 0. . . ..2
=−+−Λ= ∫∫∫∫ΓΩΩΩ
dsdvdtddvdvgradrot jtjjjj ββσββν uHuAuiuARu
))
ou
( ) 0 2
=−+−Λ= ∫∫∫∫ΓΩΩΩ
dsdvdtddvdvgradrot jtjjjj ββσββν HAiAR
))
Finalement, on obtient :
( )
0
21
1
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ΛΛ−=
∫∑ ∫
∫∑ ∫
Γ= Ω
Ω= Ω
dsdt
ddv
dvdvgradgrad
jti
N
iji
j
N
ijiij
βββσ
βββν
HA
iAR
Exercice : poursuivre le développement et l'appliquer au cas bidimensionnel ( zz 1i1A zz iA == ; ) 4.2. METHODE NODALE T-Ω
On choisit comme inconnues le potentiel scalaire magnétique (partiel ou total selon le cas) et le potentiel vecteur électrique aux nœuds du maillage. S'il y a des courants imposés dans le domaine, on définit Hs par la loi de Biot et Savart (d’autres solutions sont possibles)
Hs =1
4πi Λ r
r3∫
alors
Ω−+=⇒=−−
=⇒=⇒=−+=+=
0)( 0 )(
gradrotrotdivrot
rotrot
ss
s
s
THHTHHTjjjHH
HjijH
Dès lors, on aura automatiquement :
rot H = j + idiv D = div εE = div εγ j = 0
si εγ est constant. Soit
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 59
) T = βi∑ Ti
) Ω = βi∑ Ωi
On aura
) j = grad βi∑ Λ Ti
) E = γ grad βi∑ Λ Ti
) B = µ Hs + βi∑ Ti − Ωi grad βi∑( )
Il reste à vérifier au mieux
rot
) E = −
∂) B
∂t
( div ) B = 0 est identiquement vérifiée si la précédente l’est)
En formulation forte, on aura donc
R j = rot
) E +
∂) B
∂t⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
V∫ β j dv − (E t −
) E Λ n) βj ds
Γ2∫ = 0
et en formulation faible
R j =
) E Λ gradβ j +
∂) B
∂tβj
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ dv
V∫ − E t β j ds
Γ2∫ = 0
Notons qu'ici aussi, il convient de choisir une jauge pour T 4.3. METHODE DES ELEMENTS D'ARETE - FORMULATION EN H.
4.3.1. Zones sans courants Les zones sans courants sont traités par potentiel scalaire comme en magnétostatique. 4.3.2. Zones à courants induits (et forcés) Choisissons comme inconnues la circulation de H le long des arêtes. On pourra donc écrire (Nb désigne le nombre de branches)
) H = pi
Nb∑ Hli
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 60
Calculons E à partir de l'équation de Maxwell-Ampère
) E = γ rot
) H − γ i = γ Hli rot pi
Nb∑ − γ i
Dans ces conditions, pour autant que div i soit nul et que ε et γ soient constants, on aura div
) D = 0
Il reste à vérifier "au mieux" l'équation de Faraday qui implique elle-même que div B soit nul. La formulation forte s'écrira donc
rot ) E +
∂) B
∂t⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
V∫ . p j dv − (Et −
) E Λ n) . p j ds
Γ2∫ = 0
et la formulation faible
) E . rot p j +
∂) B
∂t . p j
⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟ dv
V∫ − E t . p j ds
Γ 2∫ = 0
γ Hli rot piNb∑ . rot p j + µ ∂Hli
∂t pi
Nb∑ . pj − γ i . rot p j
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ dv
V∫ −
− Et . pj dsΓ2∫ = 0
4.4. METHODE DES ELEMENTS D'ARETE - FORMULATION EN A*.
Choisissons comme inconnues la circulation du potentiel vecteur modifié A* le long des arêtes. Dans ces conditions, la somme algébrique des circulations le long des arêtes d’une facette fournit le flux d’induction magnétique qui traverse cette facette. 4.4.1. Zones sans courants (ou à courants imposés) Nous avons vu que dans les zones ne comportant pas de courants soumis à la loi d’Ohm, une jauge doit être définie pour assurer l’unicité du potentiel vecteur. On peut montrer que le nombre de composantes de A* que l’on peut fixer arbitrairement sont associées aux arêtes d’un arbre topologique. On peut donc annuler arbitrairement les inconnues associées aux branches d’un arbre topologique convenablement choisi. On pourra donc écrire (Nc désigne le nombre de branches du co-arbre)
) A * = pi
Nc∑ Ali
*
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 61
On a donc
) B = Ali
* rot piNc∑
B est donc indivergentiel et il reste à vérifier « au mieux » la loi de Maxwell-Ampère:
(rot(ν rot ) A * ) − i
V∫ ) . p j dv + (
) H Λ n − Ht ) . p j ds
Γ2∫ = 0
et en formulation faible en tenant compte de
rot(ν rot
) A * ) . p j = div(ν rot
) A * Λ p j) + ν rot
) A * . rot p j
(ν Ali* rot pi . rot
Nc∑ p j − i
V∫ . pj ) dv − Ht . p j ds
Γ2∫ = 0
4.4.2. Zones à courants induits Dans ces zones, il n’y a pas besoin de jauge. Les inconnues sont donc en nombre égal aux arêtes. On pourra donc écrire (Nb désigne le nombre de branches)
) A * = pi
Nb∑ Ali
*
On a donc
) B = Ali
* rot piNb∑
) E = −
∂) A *
∂t= − pi
Nb∑
∂Ali*
∂t
B est donc indivergentiel et la loi de Faraday est vérifiée. Il reste à vérifier « au mieux » la loi de Maxwell-Ampère. En formulation forte, on aura donc
(rot )
H − i − σ V∫
) E ) . p j dv + (
) H Λ n − Ht ) . p j ds
Γ2∫ = 0
et en formulation faible
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 62
() H . rot p j
V∫ − i . p j − σ
) E . p j ) dv − Ht . pj ds
Γ 2∫ = 0
(ν Ali* rot pi
Nb∑ . rot p j
V∫ − i . pj + σ
∂Ali*
∂t pi
Nb∑ . pj ) dv −
− Ht . pj dsΓ2∫ = 0
5. RESUME DES METHODES (MAGNETOSTATIQUE ET MAGNETODYNAMIQUE)
Méthode équations vérifiées identiquement
équations vérifiées "au mieux"
A divB = 0 rotH = j Φ,Φ r rotH = j divB = 0 A,V divB = 0
rotE = −∂B∂t
rotH = i + j divD = 0
T,Ω rotH = i + j divD = 0
divB = 0
rotE = −∂B∂t
formulation en H rotH = i + j divD = 0
divB = 0
rotE = −∂B∂t
A* divB = 0
rotE = −∂B∂t
rotH = i + j divD = 0
Figure 3.18
6. ENCADREMENT DE LA SOLUTION PAR DES METHODES DUALES DANS LES CAS STATIQUES
Considérons un problème fermé de magnétostatique ( 0nB =. sur la frontière extérieure): div B = 0 rot H = i Supposons que par une méthode, on puisse obtenir une estimation de H*(x,y) de H qui respecte rot H* = i (potentiel scalaire partiel par exemple). Soit B*(x,y) obtenu par une autre méthode qui respecte div B* = 0 (potentiel vecteur par exemple). Définissons l’erreur d'énergie par :
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 63
0...),( 21**
00
****
≥−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=∆ ∫ ∫∫ cc
v
BH
r EEdvddHBE HBBBHH νµ (voir figure 3.19).
avec ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
v
H
c dvdHHE*
01 µ
et ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=
v
B
c dvHBdBBE **
02
*
ν
Figure 3.19
1cE et 2cE constituent deux approximations de la coénergie. Leurs valeurs sont égales lorsque en tout point, la solution ),( ** HB se trouve sur la courbe de magnétisation (solution exacte). Puisque la solution H* satisfait l'équation d'Ampère, on peut écrire H* = Hs − grad φ r
* . et
( ) ∫∫∫∫∫∫ =−+=−=Γ v
srv
rv
sv
rsv
dvdvdvdivdvdvgraddvHB HBnBBHBHB ********** .φφφ .
L’erreur en énergie peut par conséquent se mettre sous la forme
0...),(**
0
*
0
** ≥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆ ∫ ∫∫ ∫
v
B
sv
H
r dvddvdHBE BBHBHH νµ
soit 0)()(),( *2
*1
** ≥−=∆ BEHEHBE ccr L’erreur d’énergie est toujours positive (voir figure 3.19) à cause de la courbure négative de la courbe de saturation. La solution exacte correspond donc au minimum (zéro) de la fonction ∆Er (B
*,H* ). Etant donné que cette fonction est la somme de deux fonctions de variables indépendantes ( H* et B* ), le minimum sera le minimum de chacune de ces deux fonctions. La solution exacte sera donc le minimum de la fonction EC2
B*
Be
EC1
H*
He
CAO des systèmes électriques Chapitre3 : Eléments finis 64
Figure 3.20
∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
v
H
c dvdHHHE*
0
*1 )( µ
et le maximum de la fonction
∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
v
B
sc dvdBBHBBE*
0
**2 )( ν .
Dès lors, on peut écrire : Ec (H* ) ≥ Ec(H e) = Ec(Be ) ≥ Ec(B* ) .
ANNEXE AU CHAPITRE 3
NOTE
Les lignes qui suivent sont extraites de « Modélisation du champ magnétique et des courants induits dans des systèmes tridimensionnels non linéaires » P. DULAR, Thèse de doctorat, ELEMENTS DE REFERENCE TRIDIMENSIONNELS
Nous définissons ci-après les éléments de référence qui sont associés aux trois types d’éléments géométriques considérés, c’est-à-dire aux tétraèdres, aux hexaèdres et aux prismes à base triangulaire. Des éléments finis nodaux, d’arête, de facette et de volume, sont définis sur ces éléments géométriques.
TETRAEDRE DE REFERENCE DE TYPE I
Le tétraèdre de référence de type I est un élément à 4 noeuds dont les coordonnées sont données sur la figure 1. Les entités géométriques associées, ainsi que leur numérotation, sont mises en évidence sur la figure 2. Les fonctions de base nodales et d’arête de cet élément sont données dans les tableaux 1 et 2. Le tableau 3 reprend la numérotation des facettes. Les matrices d’incidence sont données par (2), (3) et (4).
n1
n 2
n 3
n4 (0, 0, 1)
(0, 1, 0)
(1, 0, 0)
(0, 0, 0)
u
v
w
Fig. 1. Tétraèdre de référence de type I.
CAO des systèmes électriques Chapitre 3 : Annexe 66
n1
n 2
n 3
n4
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
a 6
f 1
f 2
f 4f 3
Entité Noeud (ni) Arête (ai) Facette (fi) Volume Nombre 4 6 4 1
Fig. 2. Entités géométriques définies sur un tétraèdre de type I.
Noeud i ∈ N
Fonction de base nodale pi (u, v, w) = si (u, v, w)
1 1 – u – v – w 2 u 3 v 4 w
Tableau 1. Fonctions de base nodales du tétraèdre de type I.
Arête a = i, j sa(u) , u = (u, v, w) a ∈ A i ∈ N j ∈ N sa,u sa,v sa,w
1 1 2 1 – v –w u u 2 1 3 v 1 – u –w v 3 1 4 w w 1 – u –v 4 2 3 – v u 0 5 2 4 – w 0 u 6 3 4 0 – w v
Tableau 2. Numérotation des arêtes du tétraèdre de type I et fonctions de base d’arête associées (sa).
Facette f = i, j, k f ∈ F i ∈ N j ∈ N k ∈ N
1 1 2 4 2 1 3 2 3 1 4 3 4 2 3 4
Tableau 3. Numérotation des facettes du tétraèdre de type I.
CAO des systèmes électriques Chapitre 3 : Annexe 67
Matrice d’incidence arête - noeud Matrice d’incidence facette - arête
GAN =
a nO 1 2 3 4123456
1 11 11 1
1 11 1
1 1
−−−
−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
. .. .. .
. .
. .
. .
, RFA =
f aO 1 2 3 4 5 61234
1 1 11 1 1
1 1 11 1 1
. . .. . .
. . .
. . .
−− −
− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟
(2-3)
Matrice d’incidence volume - facette
DVF = ( )
v fO 1 2 3 41 1 1 1 1
(4)
HEXAEDRE DE REFERENCE DE TYPE I
L’hexaèdre de référence de type I est un élément à 8 noeuds dont les coordonnées sont données sur la figure 3. Les entités géométriques associées, ainsi que leur numérotation, sont mises en évidence sur la figure 4. Les fonctions de base nodales (dites trilinéaires) et d’arête de cet élément sont données dans les tableaux 4 et 5. Le tableau 6 reprend la numérotation des facettes. Les matrices d’incidence sont données par (5), (6) et (7).
n 1
n2 n3 u
v
wn 4(–1, –1, –1)
( 1, –1, –1) ( 1, 1, –1)
(–1, 1, –1)
n 5
n6 n7
n 8
( 1, –1, 1) ( 1, 1, 1)
(–1, 1, 1)(–1, –1, 1)
Fig. 3. Hexaèdre de référence de type I.
CAO des systèmes électriques Chapitre 3 : Annexe 68
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
f 1
f 2
f 3
f 4
n1
n 2 n3
n 4
n5
n 6 n7
n 8
a 6
a 7
a 8
a 9
a 10
a 11a 12
f 5
f 6
Entité Noeud (ni) Arête (ai) Facette (fi) Volume Nombre 8 12 6 1
Fig. 4. Entités géométriques définies sur un hexaèdre de type I.
Noeud i∈N
Fonction de base nodale pi (u, v, w) = si (u, v, w)
1 (1 – u) (1 – v) (1 – w) / 8 2 (1 + u) (1 – v) (1 – w) / 8 3 (1 + u) (1 + v) (1 – w) / 8 4 (1 – u) (1 + v) (1 – w) / 8 5 (1 – u) (1 – v) (1 + w) / 8 6 (1 + u) (1 – v) (1 + w) / 8 7 (1 + u) (1 + v) (1 + w) / 8 8 (1 – u) (1 + v) (1 + w) / 8
Tableau 4. Fonctions de base nodales de l’hexaèdre de type I.
Arête a = i, j sa(u) , u = (u, v, w) a∈A i∈N j∈N sa,u sa,v sa,w
1 1 2 (1 – v) (1 – w) / 8 0 0 2 1 4 0 (1 – u) (1 – w) / 8 0 3 1 5 0 0 (1 – u) (1 – v) / 8 4 2 3 0 (1 + u) (1 – w) / 8 0 5 2 6 0 0 (1 + u) (1 – v) / 8 6 3 4 –(1 + v) (1 – w) / 8 0 0 7 3 7 0 0 (1 + u) (1 + v) / 8 8 4 8 0 0 (1 – u) (1 + v) / 8 9 5 6 (1 – v) (1 + w) / 8 0 0
10 5 8 0 (1 – u) (1 + w) / 8 0 11 6 7 0 (1 + u) (1 + w) / 8 0 12 7 8 –(1 + v) (1 + w) / 8 0 0
Tableau 5. Numérotation des arêtes de l’hexaèdre de type I et fonctions de base d’arête associées (sa).
CAO des systèmes électriques Chapitre 3 : Annexe 69
Facette f = i, j, k, l
f ∈ F i ∈ N j ∈ N k ∈ N l ∈ N 1 1 2 6 5 2 1 4 3 2 3 1 5 8 4 4 2 3 7 6 5 3 4 8 7 6 5 6 7 8
Tableau 6. Numérotation des facettes de l’hexaèdre de type I.
Matrice d’incidence arête - noeud
GAN
a n
=
−−−
−−
−−
−−−
−−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
O 1 2 3 4 5 6 7 8123456789
101112
1 11 11 1
1 11 1
1 11 1
1 11 11 1
1 11 1
. . . . . .. . . . . .. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
(5)
Matrice d’incidence facette - arête
RFA =
f aO 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12123456
1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 11 1 1 1
1 1 1 11 1 1 1
. . . . . . . .. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .
− −− − −
− −− −
− −−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
(6)
Matrice d’incidence volume - facette
DVF = ( )
v fO 1 2 3 4 5 61 1 1 1 1 1 1
(7)
PRISME A BASE TRIANGULAIRE DE REFERENCE DE TYPE I
Le prisme à base triangulaire de référence de type I est un élément à 6 noeuds dont les coordonnées sont données sur la figure 5. Les entités géométriques associées, ainsi que leur numérotation, sont mises en évidence sur la figure 6. Les fonctions de base nodales et d’arête
CAO des systèmes électriques Chapitre 3 : Annexe 70
de cet élément sont données dans les tableaux 7 et 8. Le tableau 9 reprend la numérotation des facettes. Les matrices d’incidence sont données par (8), (9) et (10).
n1
n 2
n 3(0, 1, –1)
(1, 0, –1)
(0, 0, –1)
u
v
w
n4
n 5
n 6(0, 1, 1)
(1, 0, 1)
(0, 0, 1)
Fig. 5. Prisme à base triangulaire de référence de type I.
a 1
a 2
a 3
a 4
a 5
f 1
f 2
f 3
f 4
n1
n2
n3
n4
n5
n 6
f 5
a 6
a 7
a 8
a 9
Entité Noeud (ni) Arête (ai) Facette (fi) Volume Nombre 6 9 5 1
Fig. 6. Entités géométriques définies sur un prisme de type I.
Noeud i ∈ N
Fonction de base nodale pi (u, v, w) = si (u, v, w)
1 (1 – u – v) (1 – w) / 2 2 u (1 – w) / 2 3 v (1 – w) / 2 4 (1 – u – v) (1 + w) / 2 5 u (1 + w) / 2 6 v (1 + w) / 2
Tableau 7. Fonctions de base nodales du prisme de type I.
CAO des systèmes électriques Chapitre 3 : Annexe 71
Arête a = i, j sa(u) , u = (u, v, w) a ∈ A i ∈ N j ∈ N sa,u sa,v sa,w
1 1 2 (1 – v) (1 – w) / 2 u (1 – w) / 2 0 2 1 3 v (1 – w) / 2 (1 – u) (1 – w) / 2 0 3 1 4 0 0 (1 – u – v) / 2 4 2 3 – v (1 – w) / 2 u (1 – w) / 2 0 5 2 5 0 0 u / 2 6 3 6 0 0 v / 2 7 4 5 (1 – v) (1 + w) / 2 u (1 + w) / 2 0 8 4 6 v (1 + w) / 2 (1 – u) (1 + w) / 2 0 9 5 6 – v (1 + w) / 2 u (1 + w) / 2 0
Tableau 8. Numérotation des arêtes du prisme de type I et fonctions de base d’arête associées (sa).
Facette f = i, j, k (, l) f ∈ F i ∈ N j ∈ N k ∈ N l ∈ N
1 1 2 5 4 2 1 3 2 – 3 1 4 6 3 4 2 3 6 5 5 4 5 6 –
Tableau 9. Numérotation des facettes du prisme de type I.
Matrice d’incidence arête - noeud
GAN
a n
=
−−−
−−
−−−
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
O 1 2 3 4 5 6123456789
1 11 11 1
1 11 1
1 11 11 1
1 1
. . . .. . . .. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
(8)
Matrice d’incidence facette - arête
RFA =
f aO 1 2 3 4 5 6 7 8 912345
1 1 1 11 1 1
1 1 1 11 1 1 1
1 1 1
. . . . .. . . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . . .
− −− −
− −− −
−
⎛
⎝
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
(9)
Matrice d’incidence volume - facette
DVF = ( )
v fO 1 2 3 4 51 1 1 1 1 1
(10)
CAO des systèmes électriques Chapitre 3 : Annexe 72
FONCTIONS DE BASE D’ARETE DANS LES ELEMENTS REELS
L’expression générale des fonctions de base d’arête pour les éléments de type I est
s x x xx xa j rr N i rr Nij F ji F ijp grad p p grad p( ) ( ) ( )
, ,= −
∈ ∈∑ ∑ ,
pour une arête aij=i, j dont les noeuds origine et extrémité sont respectivement i et j ; l’indice associé à l’opérateur grad indique le système de coordonnées utilisé. Les fonctions de base étant en général exprimées dans des éléments de référence, des transformations de coordonnées sont nécessaires pour les exprimer dans les éléments réels. Plus précisément, la présence de l’opérateur gradient dans l’expression de sa va nécessiter, dans ce but, l’application de la matrice jacobienne de transformation. En effet, nous avons
grad p pu v wu v wu v w
p
p grad p
r
x
y
z
r
x x x
y y y
z z z
u
v
w
r
u
v
w
r r
x
u
x x u
J u J u
( ) ( ) ( )
( ) ( )
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=⎛
⎝
⎜⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟⎟
=− −
∂∂∂
∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂
∂∂∂
∂∂∂
1 1
et donc,
s x J u J u
J u u
J s u
u u
u u
a j rr N i rr N
j rr N i rr N
a
ij F ji F ij
F ji F ij
ij
p grad p p grad p
p grad p p grad p
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
, ,
, ,
= −
= −
=
−∈
−∈
−∈ ∈
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
−
∑ ∑
∑ ∑
1 1
1
1
Il suffit donc de prémultiplier la fonction de base d’arête exprimée dans l’élément de référence par l’inverse de la matrice jacobienne de transformation, pour obtenir la fonction de base exprimée dans l’élément réel.
CHAPITRE 4 METHODES NUMERIQUES
1. INTEGRATION NUMERIQUE
L’intégration analytique n’est réalisable que dans des cas simples. Même dans ces conditions, l’intégration numérique est bien souvent préférée pour des raisons de précision. En éléments finis, les fonctions à intégrer ne présentent normalement pas de singularité sur l’élément, ce qui fait que leur intégration numérique ne pose généralement aucun problème. La méthode d’intégration numérique la plus utilisée est la méthode de Gauss. 1.1. INTEGRATION A UNE DIMENSION.
1.1.1. Méthode de Gauss.
Les n coefficients wi et les n abscisses ξi sont déterminés de manière à intégrer exactement tout polynôme d’ordre 12 −≤ nm .
y(ξ) d−1
1
∫ ξ = wi y(ξi )i =1
n
∑
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 74
Méthode d’intégration de GAUSS n ξi wi Degré du
polynôme 1 0 2 1 2 ±
13
1 3
3 0
±35
89
59
5
4 ±
3 − 2 6 / 57
±3 + 2 6 / 5
7
12
+1
6 6 / 5
12
−1
6 6 / 5
7
1.1.2. Méthode de Newton-Cotes Les abscisses sont régulièrement espacées. A ce moment, avec n coefficients, on intègre exactement un polynôme d’ordre n (si n impair) ou n-1 (n pair).
Méthode d’intégration de NEWTON-COTES n ξi wi Degré du
polynôme 2 ±1 1 1 3 0
±1 4 / 3 1 / 3
3
4 ±1 / 3 ±1
3 / 4 1 / 4
3
5 0 ±1 / 2 ±1
12 / 45 32 / 45 7 / 45
5
1.1.3. Méthode de Patterson La méthode de Patterson, basée sur la méthode de Gauss, a été conçue pour être utilisée dans le cadre de méthodes d'intégrations adaptatives. Connaissant une évaluation de l'intégrale basée sur n points on ajoute p points supplémentaires. Disposant ainsi de n+2p degrés de liberté (n+p coefficients de pondération et p abscisses), on peut intégrer exactement tous les polynômes de degré 12 −+≤ npm . Si, par exemple, on part d'une formule de Gauss à 3 points, on obtient le schéma représenté sur le tableau suivant :
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 75
Méthode d’intégration de PATTERSON n p degré max m base (Gauss) 3 5 +4 3 4 10 +8 7 8 22 +16 15 16 46 1.2. INTEGRATION A 2 ET 3 DIMENSIONS
1.2.1. Utilisation de formules produit Cette méthode consiste à utiliser dans chacune des directions une intégrations numérique à une dimension. Ces formules fournissent souvent des points d’intégration mal répartis. 1.2.2. Formules directes Voir par exemple l’ouvrage de Datt et Touzot cité en référence. 2. INTEGRATION TEMPORELLE
2.1. METHODES EN "THETA"
Dans les problèmes d’évolution temporelle, le système d’équations à résoudre peut se mettre sous la forme )()()( ttt by My S =+& ou encore :
( )ttt ,)( )y(fy =& .
Ce système peut être non linéaire, car les coefficients des matrices peuvent dépendre des inconnues. Il s’agit de trouver une solution )(tyy = satisfaisant le système d’équations et la condition initiale 0)0( yy = .
Linéarisons la fonction )(ty entre les points nt et 1+nt . A un instant quelconque θt compris dans l’intervalle [ ]1, +nn tt tel que : nn ttt )1( 1 θθθ −+= + ( [ ]1, +∈ nn ttθ ), la fonction peut être approchée par la relation suivante : nnt yy)y( )1( 1 θθθ −+= + . En discrétisant l’équation différentielle ( )ttt ,)y(f)(y =& dans l’intervalle considéré, on peut écrire :
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 76
( ) ( ))(),(, 111
nnnnnnnn ttttt
tt −+−+==
∆−
≈ +++ θθθθ yyyf)y(fyy)(y&
Si on choisit : • θ=0, on obtient la méthode d’Euler explicite :
yn+1 − yn
∆t= f yn ,tn( )
• θ=0,5, on parle de méthode de Crank-Nicholson :
yn+1 − yn
∆t= f
yn+1 + yn
2,tn+1 + t n
2⎛ ⎝
⎞ ⎠
• θ=2/3, la méthode est dite de Galerkin :
yn+1 − yn
∆t= f yn +
23
yn +1 − yn( ), tn +23
tn +1 − tn( )⎛ ⎝
⎞ ⎠
• θ=1, on parle de méthode d’Euler implicite :
( )y yf yn n
n ntt+
+ +
−=1
1 1∆,
Notons que la méthode est dite implicite à partir du moment où 0≠θ Stabilité de la méthode Considérons l’équation différentielle suivante : &y y+ =α2 0 . Sa solution est
y Ce t= −α2
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 77
α4321
θ
θ
θ
θ Figure 4.1
Appliquons le schéma en « théta » à cette équation :
( )( )y yn nn nt
y y++
−= − − +1 2
11∆
α θ θ
soit ( ) ( ) nnn F
tt yyy θ
θαθα
=∆+
∆−−=+ 2
2
1 111 .
La figure 4.1 montre l’évolution de la fonction ( )F θ en fonction de α 2 ∆t . Pour θ ≥ 0 5. , l’algorithme est inconditionnellement stable. Sinon, la stabilité n’est assurée que pour des pas de calcul suffisamment faibles. 2.2. METHODES DE RUNGE-KUTTA
Soit à résoudre : ( )ttt ,)y(f)(y =& . Supposons connu ny en nt . Nous recherchons la valeur 1+ny en ttt nn ∆+=+1 . En développant la solution en série de Taylor au voisinage de ny , on obtient :
...!3!2 3
33
2
22
1 +∆
+∆
+∆+=+ tt
tt
tt nnn
nn ∂∂
∂∂
∂∂ yyyyy
ou
( )1
11 !
+
=+ ∆+
∆+= ∑ k
k
iin
ii
nn tti
t Oyyy∂
∂ .
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 78
1 2 ... s 1 α1 β11 β12 ... β1s
2 α2 β21 β22 ... β2s
... ... ... ... ... ...
s αs βs1 βs2 ... βss
µ1 µ 2 ... µ s
Tableau 4.1
La méthode de Runge-Kutta consiste à utiliser le schéma d'intégration suivant :
yn+1 = yn + µ i kii =1
s
∑
avec
ki = ∆t f yn + βij k j,j =1
s
∑ tn + αi ∆t⎛
⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
où les coefficients αi , βij et µ i sont choisis de telle sorte que l'erreur soit d'ordre aussi élevé que possible. Les coefficients de Runge-Kutta se placent usuellement dans un tableau (tableau 4.1). Lorsque tous les coefficients βij situés sur et au-dessus de la diagonale sont nuls, la méthode est dite explicite. Le tableau 4.2 indique les coefficients de la méthode de Runge-Kutta explicite du quatrième ordre (erreur proportionnelle à ∆t5 ) : 1 2 3 4 1 0 0 0 0 0
2 1/2 1/2 0 0 0
3 1/2 0 1/2 0 0
4 1 0 0 1 0
1/6 1/3 1/3 1/6
Tableau 4.2
Le schéma d’intégration est dans ce cas :
( )
( )
6336
,2
,2
2,
2
,
43211
34
23
12
1
kkkkyy
kyfk
kyfk
kyfk
yfk
++++=
∆++∆=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆++∆=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∆++∆=
∆=
+ nn
nn
nn
nn
nn
ttt
ttt
ttt
tt
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 79
3. RESOLUTION DE SYSTEMES NON LINEAIRES : METHODE DE NEWTON-RAPHSON
Nous allons illustrer cette méthode à partir de l’exemple de la magnétostatique 2D utilisant le potentiel vecteur. Le système à résoudre est de la forme : ∑ =
kikik bAM (i=1,... N)
où Ak désigne la valeur du potentiel vecteur au nœud k et Mik dépend du champ magnétique : ekiik dgradgradHM
e
Ω= ∫∫Ω ββν .)(
La résolution de ce problème s’effectue de manière itérative. Le système d’équations peut s’écrire également :
.,...,1pour 0)()(1
NibAAMAR i
N
kkiki ==−= ∑
=
))
Supposons que le résidu R Ai ( )
)ne soit pas nul. Soit A
)∆ l’incrément nécessaire pour obtenir la
bonne solution. En développant en série de Taylor et en le limitant au premier terme, on a :
.0)()()(1
=∆+=∆+ ∑=
N
jj
j
iii A
AARARAAR
∂∂
))))
On obtient donc un nouveau système d’équations linéaires où les inconnues sont les jA∆ . La matrice :
j
iij A
ARJ∂
∂ )()
=
est appelée matrice jacobienne du système. Dans notre cas particulier, elle se met sous la forme
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−== ∑
=
N
kikik
jj
iij bAAM
AAARJ
1)()( )
)
∂∂
∂∂
soit
J ij = Mij +∂Mik∂A j
Akk =1
N
∑ = M ij + Kij
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 80
La matrice jacobienne est donc égale à la somme de la matrice Mij et d’une matrice de correction Kij. Evaluons la contribution e
ijK d’un élément fini :
K ije =
∂Mike
∂A j
A kk=1
Ne
∑ =∂
∂A j
νΩe
∫∫ gradβi .gradβk dΩe⎡ ⎣
⎤ ⎦ k=1
N e
∑ A k ,
Si on suppose que la réluctivité dépend de l’induction (ou de son carré), on aura successivement: ν = ν(B2 ) et
∂ν
∂A j
=∂ν
∂(B2 )∂(B2 )∂A j
= 2∂ν
∂(B2 )A lgradβl .grad βj
l=1
N e
∑ ,
car, en 2D,
B = rot A = rot A1 z = grad AΛ1 z = Algradβl Λ1 zl =1
N e
∑
d’où
K ije = 2
∂ν∂(B2 )
A lgradβ l.gradβj( )A kgradβi .gradβk( )dΩel=1
N e
∑k=1
N e
∑Ωe∫∫ .
La matrice jacobienne obtenue est creuse et symétrique, si bien que l’on peut utiliser des méthodes de résolution adaptées. L’algorithme de résolution prend dès lors la forme suivante : 1. initialisation de la solution : A(0), 2. résolution du système : [J(k)]. DA(k) = -R(k), 3. correction de la solution: A(k+1) = A(k) + DA(k), 4. test de convergence:
A Ak k go to
endk k( ) ( )
: , , : .
+ −> = +
<⎧⎨⎩
11 2ε
ε
4. RESOLUTION DE SYSTEMES LINEAIRES
Soit à résoudre le système d’équations linéaires suivant : bAx = où A désigne une matrice carrée de dimensions nxn; x le vecteur des n inconnues et b le vecteur second membre. La méthode la plus efficace pour résoudre ce système d’équations va dépendre des propriétés de la matrice A. Celle-ci peut être symétrique ou non; pleine ou creuse. Les algorithmes de résolution sont groupés en deux catégories : les méthodes directes et les méthodes itératives.
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 81
4.1. METHODES DIRECTES
Les méthodes directes sont basées sur l’élimination de Gauss. La méthode classique consiste à factoriser la matrice A en un produit d’une matrice triangulaire inférieure (L) et supérieure (U) : A LU= . Dans ce cas, si on introduit un vecteur intermédiaire w, le système d’équations peut se mettre sous la forme suivante : Lw b= Ux w= . L’intérêt de cette méthode est que la résolution d’un système triangulaire est triviale. En effet, la résolution de la première équation matricielle s’effectue par substitution avant :
11
11 l
bw = ,
niwlbl
wi
jjiji
iii ,,3,2pour 1 1
1K=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−= ∑
−
=
,
tandis que la seconde se résout par substitution arrière :
nn
nn u
wx =
1,,2,1pour 11
K−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−= ∑
+=
nnixuwu
xn
ijjiji
iii
4.1.1. Réalisation de la LU décomposition Calculons le terme général du produit des matrices L et U :
jijiaululul
jijiaulululjijiaululul
ijjjjjjiji
iiiiiiiiii
ijiiiijiji
>∀=+++=∀=+++<∀=+++
pour ,pour ,pour ,
2211
2211
2211
L
L
L
On obtient ainsi n2 équations avec n2+n inconnues. On peut donc choisir arbitrairement n inconnues. On choisit généralement : nilii ,,1pour 1 K== . L’algorithme de Crout permet de résoudre aisément le système de la manière suivante : 1. Assignons nilii ,,1pour 1 K==
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 82
2. Pour j=1, ..., n, on calcule dans l’ordre :
jiulaui
kkjikijij ,,1pour
1
1K=−= ∑
−
=
njiulau
li
kkjikij
jjij ,,1pour 1 1
1K+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−= ∑
−
=
4.1.2. Stratégie de pivotage Dans la dernière relation du paragraphe précédent, on voit apparaître ujj comme diviseur. La méthode de Crout devient imprécise ou peut être mise en échec si ce coefficient devient trop petit, voire nul. Pour ce faire, on effectue un pivotage partiel : à l’étape j de l’algorithme précédent, on permute les lignes de telle sorte à faire apparaître en position jj le coefficient de valeur absolue la plus importante possible : kj
nkjjj aa max
≤≤
= .
4.1.3. Raffinement itératif de la solution Les méthodes directes appliquées à des grands systèmes d’équations conduisent à des imprécisions quelquefois importantes au niveau de la solution. Pour améliorer la précision des résultats, on peut recourir au raffinement itératif. Soit x la solution exacte du système : Ax b= . Supposons que nous connaissions une solution approchée x + δx où δx désigne l’erreur commise. On aura : ( )A x x b b+ = +δ δ soit A x bδ δ= . L’évaluation de l’erreur δx s’effectuera en résolvant le système ( )A x A x x bδ δ= + − . 4.1.4. Autres méthodes (pour mémoire) Méthode frontale Méthode « ligne du ciel » (skyline) Ces méthodes ont connu un grand succès lorsque les ordinateurs possédaient une mémoire vive peu importante et que les méthodes itératives n’étaient pas encore utilisées. Elles ne sont plus guère utilisées aujourd’hui.
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 83
4.2. METHODES ITERATIVES1
4.2.1. Cas des matrices symétriques définies positives Principe des méthodes de pente. Si A est une matrice symétrique et définie positive, résoudre le système : Ax b= revient à minimiser la fonctionnelle : E(x) = A (x − x ) . (x − x ) si x est la solution du système. En effet, si : x = x + ∂x , alors E(x) = A ∂x . ∂x ≥ 0 est nul si et seulement si ∂x est nul. Dans les méthodes de pente, à chaque itération, on détermine une direction de recherche pk et un scalaire αk, et on calcule xk+1 par la formule : kkkk pxx α+=+1 Si la direction pk est imposée, l’évaluation de αk, s’effectue en minimisant
( ) ( )kkkk pxExE α+=+1 par rapport à kα : On a en effet ;
( )( )( )( ) ( )
( ) kkkkkk
kkkkk
kkkkkkkkkE
pxxAppA
xxpAxxxxAxpxxpxApx
−++
−+−−=−+−+=+
αα
αααα
2
)(
En posant : ( ) bxArxxA −≡−=− kkk , on obtient : kkkkkkkkkk EE ppAprxpx 22)()( ααα +−=+ car
1 Pour plus de renseignements, consulter par exemple P.LASCAUX et R.THEODOR : « Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur » Ed Masson, 1986
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 84
( ) ( ) ( ) ( ) kkkkkktkkkk prpxxApxxApAxxxxpA −=−=−=−=− Dès lors, le minimum s'obtient pour :
kk
kkk ppA
pr⋅
⋅=α
Les propriétés suivantes peuvent être vérifiées : • rk+1 = rk − α k A pk
En effet : rk+1 = b − Axk+1 = b − A xk + αk pk( )= rk − αk Apk
• pk . rk +1 = 0
En effet : ( ) 0..
.... 1 =−=−=+ kkkk
kkkkkkkkkk pAp
pApprrppArprp α
• )1)(()( 1 kkk EE γ−=+ xx
avec
γ k =(rk .p k )2
(Apk .pk )(A−1rk .rk )≥ 0
En effet :
( )
( ) ( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
−=+−=+
−kk
kk
kkk
kk
kk
kk
kk
kkkkkkkkkkkkk
EE
E
EEE
pAppr
rArx
pAppr
xx
pApprxppAprxpx
..11)(
.)(11)(
.)(2)()(
2
1
2
22ααα
Pour un problème à deux inconnues, constante)( =xE est l’équation d’une ellipse centrée sur la solution. Les dimensions de cette ellipse sont d’autant plus faible que l’on est près de la solution. le vecteur pk est tangent à )( 1+kE x et 1+kr est normal à cette ellipse (figure 4.2).
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 85
xkrk+1
xk+1
pk
x
E(xk+1)
E(xk)X1
X2
Figure 4.2
On peut également montrer que :
2
.)(
1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≥
kk
kkk K pr
prA
γ
où K(A) est le nombre de conditionnement de la matrice A (rapport entre la plus grande valeur propre et la plus petite)
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 86
Méthode du gradient
Dans la méthode du gradient, le résidu kr est choisi comme direction de recherche kp . Alors kkkk rxx 1 α+=+ et
kk
kk rAr
r.
2
=α
Si l’ellipse d’équation constante)( =xE est un cercle (cas des valeurs propres égales), la direction de recherche pointe vers la solution. Par contre, plus l’ellipse est allongée et plus la convergence risque d’être longue. On peut montrer que la rapidité de la convergence est donnée par la formule :
)(114)( 0
2
xx EKKE
k
k ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
+−
≤
où )(AKK = . Méthode du gradient conjugué
Dans la méthode du gradient conjugué, la direction de recherche kp est prise dans le plan ( kk rp ,1− ) de manière à réduire autant que possible l’erreur restante (figure 4.3) (il s’agit donc de maximiser kγ ). On a : 1 −+= kkkk prp β . Dès lors : ( ) 2
1 2
1 ... kkkkkkkkkkk rprrprrpr =+=+= −− ββ
et
kk
kk ppA
r.
2
=α
On a donc :
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−=+ −
kkkk
kkkkk EE
pAprArr
xpx.
1.
1)()( 1
2
α
Minimiser )( kkkE px α+ revient donc à maximiser kk pAp . . Comme :
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 87
( )( ) kkkkkkkkkkkkkkkk rArrAppApprprApAp ..2... 1 112
1 1 ++=++= −−−−− ββββ ,
kβ est donné par la formule suivante :
11
1 .
.
−−
−−=kk
kkk pAp
rApβ .
Dès lors,
( ) 0...... 11
11
111 11 =−=+= −−
−−
−−−−− kk
kk
kkkkkkkkkk pAp
pAprAprApprAppAp β
Les vecteurs 1−kp et kp sont dits A-conjugués. Par ailleurs, on a les propriétés suivantes : 0.1 =+ kk rr
En effet : ( ) ( )
0..
....
1 2
1 22
1
=+−=
−−=−=−=
−
−+
kkkkkkkk
kkkkkkkkkkkkkkkk
ppAppAr
pppArrpArrpArrr
βαα
βααα
De manière générale, on peut montrer (par récurrence) que :
),1(0.1 kjjk ⊂∀=+ rr
Les résidus sont donc tous orthogonaux entre eux.
xk-1rk
xk
pk-1
x
E(xk)
E(xk-1)
pk-1
pk
X1
X2
Figure 4.3
D’autre part,
( ) 211
1.1. kk
kkkk
kk rrrrrApαα
−=−= −−
et
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 88
( ) 21111111
1.1.1. −−−−−−− ==−= kk
kkk
kkkk
kk rprprrpApααα
d’où
21
2
11
1 .
.
−−−
− =−=k
k
kk
kkk
rr
pAprApβ
En théorie, la méthode des gradients conjugués converge en au plus N itérations. En effet les résidus étant tous orthogonaux les uns aux autres, le (N+1)ième ne peut être que nul. Dans la pratique, si le système est bien conditionné, la convergence est rapide, voire très rapide ; par contre si le conditionnement est mauvais, la méthode peut ne pas converger, suite aux erreurs numériques de troncature des calculateurs. L’algorithme de résolution est le suivant 1. initialisation : x0 ; p0=r0=b-Ax0,
2. tant que ε≥kr ,
3. calculer :
kkkk
k
kk
kkkk
kkkk
kk
kk
prpr
r
pArrpxx
pApr
111
2
21
1
1
1
2
.
+++
++
+
+
+=
=
−=+=
=
β
β
αα
α
La rapidité de la convergence est donnée par la formule suivante :
)(1)(1)(
4)( 0
2
xAA
x EKK
Ek
k ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
≤ .
Préconditionnement La rapidité de la convergence des méthodes de descente dépend du nombre de conditionnement )(AK de la matrice A. Plus )(AK est proche de 1, plus vite l’algorithme converge. Le principe de préconditionnement d’une matrice A consiste à remplacer la résolution du système bxA = par celle du système équivalent bCxAC 11 −− = . La matrice C−1 doit être choisie de telle sorte que ( )AC 1−K soit beaucoup plus petit que )(AK . En théorie, le meilleur choix est 11 −− = AC car alors ( ) 11 =− ACK . Il faut donc trouver 1−C la plus proche de A−1 sans que les calculs pour l’obtenir soient trop importants. Une fois C trouvée, l’algorithme du gradient conjugué préconditionné devient : 1. initialisation : x0 ; r0 = b - Ax0 ; Cp0 = r0 ; z0 = p0,
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 89
2. tant que ε≥kr
3. calculer :
α
αα
β
β
kk k
k k
k k k k
k k k k
k k
kk k
k k
k k k k
=
= += −
=
=
= +
+
+
+ +
++ +
+ + +
r zAp p
x x pr r A pC z r
r zr z
p z p
..
.
.
1
1
1 1
11 1
1 1 1
On constate qu’à chaque itération, il faut, en plus des opérations habituelles, résoudre un système de la forme : rCz = . Il est donc indispensable que cette résolution soit facile à réaliser. On choisit souvent C de telle manière qu’elle soit factorisée de manière évidente en un produit d’une matrice triangulaire inférieure par sa transposée, soit : tTTC = . Exemple 1: factorisation SSOR d’Evans La matrice A, symétrique et définie positive, est mise sous la forme : A = D − E − Et . D est la diagonale de A, E est la triangulaire inférieure et Et la triangulaire supérieure. La matrice T est déterminée par la relation suivante :
T =1
ω 2 − ω( )D − ωE( ) D−1/ 2
avec 0 < ω < 2 . Dès lors,
C =1
ω 2 − ω( )D − ωE( )D−1 D − ωE( )t .
La matrice T se déduit donc immédiatement de A sans calculs compliqués. Exemple 2: factorisation incomplète de Choleski
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 90
La factorisation complète d’une matrice A symétrique, creuse et définie positive sous forme A = LL t conduit généralement à un remplissage important de la matrice L. La méthode dénommée « IC(0) » consiste à calculer la matrice T de telle sorte qu’elle ait la même structure que la partie triangulaire inférieure de A c’est-à-dire : 0 si 0 == ijij at .
Pour déterminer les valeurs non nulles de ijt , on impose la condition suivante :
( ) 0si0 ≠=− ijijt aTTA .
4.2.2. Extension de la méthode du gradient conjugué à des matrices quelconques La méthode du gradient conjugué est extrêmement efficace, mais elle ne s’applique qu’aux matrices définies positives. De nombreuses recherches ont été faites pour adapter cette méthode à la résolution de systèmes comportant des matrices quelconques. Méthode de l’équation normale
Soit A une matrice régulière. En prémultipliant par tA les deux membres de l’équation bAx = , on obtient l’équation dite normale A Ax A bt t= . La matrice A At est symétrique et
définie positive et on peut dès lors appliquer la méthode du gradient conjugué. On minimise alors
( )E t( )x A A r.r=−1
où r b Ax= − . La relation de conjugaison des directions de descente est :
( )A A p .pt k k
−
− =1
1 0 . La rapidité de la convergence est donnée par la formule :
EKK
Ek
k
( ) ( )x x≤−+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟4
11
2
0
où K K Kt= =( ) ( )A A A2 . L’algorithme converge théoriquement pour toute matrice régulière, mais la rapidité de convergence est plus faible ; à chaque itération, il faut effectuer deux produits d’une matrice par un vecteur
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 91
Méthode du résidu minimal (MINRES) Dans la méthode du résidu minimal, on cherche à minimiser : E( )r r.r r= = 2 où r b Ax= − . La relation de conjugaison est :
( )A A p .pt k k
−
− =1
1 0 . L’algorithme de résolution est le suivant : 1. initialisation : x0 ; r0 = b - Ax0 ; p0 = r0 ; q0 = A p0,
2. tant que ε≥kr ,
3. calculer :
kkkk
kkkk
kk
kkk
kkkk
kkkk
kk
kkk
qArqprp
qqqAr
qrrpxx
qqqr
111
111
1 1
1
1
..
..
+++
+++
++
+
+
+=+=
−=
−=+=
=
ββ
β
αα
α
On peut montrer que Ar .rk j j k= ∀ ≠0 . Cet algorithme ne converge pas pour toute matrice A. On peut démontrer la convergence dans certains cas et notamment lorsque partie symétrique de A est définie positive. La rapidité de la convergence est donnée par la formule :
EKK
Ek
k
( ) ( )x x≤−+
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟4
11
2
0
où K K= ( )A . Méthode généralisée du résidu minimal (GMRES2) Dans cette méthode, on cherche à minimiser : E( )r r.r r= = 2 2 Voir par exemple : Iterative solution of linear systems ; RW Freud, GH Golub, NM Nachtigal, Acta Numerica, 1992, pp 1-44
CAO des systèmes électriques Chapitre 4 : Méthodes numériques 92
où r b Ax= − . La relation de conjugaison est : Ap .pk j j k= ∀ ⊂ −0 1 1( , ) .
La matrice A n’ayant aucune propriété particulière, l’évaluation de la direction pk nécessite d’utiliser tous les p j précédents. Pour limiter l’espace mémoire, on utilise souvent des algorithmes avec « restart », redémarrant le processus après un nombre donné d’itérations.
CHAPITRE 5 METHODE DES ELEMENTS FRONTIERES
1. INTRODUCTION
Les méthodes d'éléments finis vues précédemment nécessitent une discrétisation volumique du domaine à étudier et la connaissance de conditions aux limites de ce domaine. Les méthodes des éléments frontières (BEM = Boundary Element Methods), objets de ce chapitre, ne nécessitent que la discrétisation des surfaces de discontinuité, lorsque les matériaux ont un comportement linéaire. 2. CAS DE L’ELECTROSTATIQUE
2.1. POSITION DU PROBLEME
Considérons un domaine V comportant des diélectriques et des conducteurs à potentiels fixes et flottants. Supposons de plus que ce domaine est limité par une frontière Γ sur une partie de laquelle (Γ1) le potentiel est connu (condition de Dirichlet) tandis que la composante normale du déplacement est connue sur la partie Γ2 de cette frontière (condition de Neumann). On recherche la répartition du potentiel et du champ électrique dans le domaine. Les équations à résoudre sont les suivantes : • dans le volume :
ED
DE
0
ερ
===
divrot
• sur les surfaces de discontinuité :
σ=
=DE
0
s
s
divrot
Si on pose E = −grad V, on peut écrire :
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 94
0 .
0) (=++∆
=+ρεε
ρεVgradgradV
Vgraddiv
EE . ε
εερ graddivV +−=−=∆
Lorsque le milieu possède une permittivité constante, on retrouve l’équation de Poisson :
0 =+∆ερV
2.2. FONCTION DE GREEN
La fonction de Green est la solution fondamentale de l'équation aux dérivées partielles à résoudre lorsque la source est ponctuelle et unitaire. La fonction de Green de notre problème est donc la solution de l'équation : 0)(),( =−+∆ QPQPG δ .
Q
P
RPQ
Figure 5.1
C'est donc le potentiel engendré au point P par une charge de valeur ε0 placée au point Q situé dans le vide (figure 5.1) , soit :
PQr
QPG 141),(π
=
Cas bidimensionnel plan Dans ces conditions, on a : ),( yxVV = et
2
2
2
2
yV
xVV
∂∂
∂∂
+=∆ .
La fonction de Green est le potentiel engendré par une densité de charge linéique ε0 située sur le fil Q (figure 5.2) :
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 95
PQr
QPG 1ln21),(π
= .
Q P
xy
z
r
Figure 5.2
Cas axisymétrique Dans le cas présent : ),( zrVV = et
2
2
2
2 1zV
rV
rrVV
∂∂
∂∂
∂∂
++=∆ .
Q
P
xy
z
r Q
r P
Figure 5.3
La fonction de Green est le potentiel engendré par une spire filiforme de rayon rQ portant une charge ε0 :
22
2
)()(
)( 1),(QPQP
Q
rrzz
kKrQPG
++−=
π
avec
222
2/
022
2
)()( 4sin1
)(
QPQP
QP
rrzzrr
k
kdkK
++−=
Ψ−
Ψ= ∫
π
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 96
2.3 PROPRIETE FONDAMENTALE DE LA FONCTION DE GREEN
P
Qdv
Figure 5.4
Considérons l’intégrale suivante : ∫∫ −=∆=
VQ
VQ dvQPdvQPGI ),( ),( δ .
1. Si le point P est extérieur au volume V (figure 5.4), on aura 0=I .
P r
Figure 5.5
2. Si le point P est intérieur au volume V, isolons une petite sphère s centrée sur le point P (figure 5.5), on a :
∫∫∫
∫∫∫
−=Ω−=−==
=∆=∆=
ssQ
e
sQe
sphèreQ
sphèreQ
vQ
ddsr
dsQPGgrad
dvQPGgraddivdvQPGdvQPGI
1 41
4.),(.
)),(( ),( ),(
3 ππrnn
3. Si le point P situé est sur la surface délimitant le volume, on isole encore la singularité par
une portion de sphère (figure 5.6) et on obtient :
∫∫∫Ω
−=Ω−=−=∆=ss
Qe
vQ dds
rdvQPGI
πππ 4 41
4. ),( 3rn
où Ω est l'angle solide sous lequel le domaine considéré est vu du point P.( 2/14/ =Ω π dans le cas d’une frontière lisse)
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 97
P Figure 5.6
En résumé, on peut écrire : ∫∫ −=−=∆=
VQ
VQ hdvQPdvQPGI ),( ),( δ
où 0=h si P est extérieur au volume V 1=h si P est intérieur au volume V π4/Ω=h si P se trouve sur la frontière du volume V. 2.4. INVERSION DES OPERATEURS DIFFERENTIELS
La formule de Green
dsnn
dviiv
) ( ) ( ∂∂ψϕ
∂∂ϕψϕψψϕ −=∆−∆ ∫∫
Σ
est valable pour toute fonction ϕ et ψ. En remplaçant dans la formule de Green ϕ par G(P,Q) et ψ par V(Q), on obtient :
dsnVG
nGVdvQPGQVQVQPG
iivQQ ) ( )),( )( )( ),((
∂∂
∂∂
−=∆−∆ ∫∫Σ
ou
dsnVG
nGVdvdivGdvQPGQV
iivQ
vQ ) ( ),( )(
∂∂
∂∂
−+=∆− ∫∫∫Σ
E
soit
dsnVG
nGVdvdivGPVh
iiv
) ( )( ∂∂
∂∂
−+= ∫∫Σ
E
où 0=h si P est extérieur au volume V 1=h si P est intérieur au volume V π4/Ω=h si P se trouve sur la frontière du volume V.
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 98
ni
Figure 2.7
Interprétation physique Dans le cas 3D, l’équation précédente devient :
141
41
41)( 3 ∫∫∫
ΣΣ
−−= dsnV
rds
rVdv
rdivPVh
ii
v ∂∂
πππrnE
ou
( ) ( ) ( ) /41.
41 .
41
41)( 3 ∫∫∫∫
ΣΣ
−−−= dsr
nVdsr
Vdvr
graddvr
PVh ii
vv
∂ε∂πε
επε
επε
ρπε
rnE
Les deux premiers termes du second membre de la relation précédente représentent la contribution des charges contenues dans le volume V considéré ainsi que l’effet de l’inhomogénéité éventuelle des matériaux. Les 2 termes suivants représentent l’influence sur le potentiel du point P des charges et matériaux situés à l’extérieur du volume V. L’influence de l’extérieur du volume V sur le potentiel d’un point situé à l’intérieur de celui-ci peut être traduite par deux répartitions de charges électriques situées sur la frontière du volume considéré : • une répartition de charges électriques superficielles de densité égale à
in
V∂∂ε−
• une répartition de superficielle de dipôles électriques de densité dipolaire égale à iVnε− . Remarque A partir de la relation suivante :
dsnVG
nGVdvdivGPVh
iiv
) ( )( ∂∂
∂∂
−+= ∫∫Σ
E
on a développé deux types de méthodes : • La méthode indirecte où le volume V s’étend jusqu’à l’infini.
Dans ce cas, l’équation précédente devient :
∫=v
dvdivGPV )( E
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 99
car d’une part le point P se trouve toujours à l’intérieur du domaine étudié et d’autre part, les intégrales sur la surface extérieure s’annulent à l’infini. Dans ce cas, les inconnues sont
E div en tout point. Si les milieux sont linéaires par morceaux, les inconnues sont E sdiv sur les surfaces de discontinuités.
• La méthode directe où les volumes Vi sont des volumes continus à caractéristiques linéaires. Dans ce cas, dans chaque volume, on a 0 =Ediv et pour chacun, on a l’équation :
dsnVG
nGVPVh
ii
) ()( ∂∂
∂∂
−= ∫Σ
Actuellement, les méthodes directes sont les plus utilisées. Nous limiterons par conséquent l’exposé à ces méthodes. 2.5. METHODE DIRECTE
2.5.1. Principe Supposons les milieux matériels linéaires et les charges électriques disposées à la surface des conducteurs. On subdivise le domaine à étudier en sous-domaines de telle sorte que les discontinuités (changement de permittivité, conducteurs) soient situées à la frontière des sous-domaines. Dans ce cas, chaque sous-domaine constitue un milieu homogène ne comportant pas de charges internes et on a pour chaque sous-domaine :
dsnVG
nGVPVh
ii
) ()( ∂∂
∂∂
−= ∫Σ
Le problème consiste à déterminer les valeurs correctes des coefficients V et inV ∂∂ / sur les frontières des sous-domaines.
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 100
Exemple en 3D
dsnV
rrVPVh
rQPGgrad
rQPG
i
i
PQPQ
QP
PQ
QP
PQ
)1 .
(41)(
41),(
141),(
3
3
∂∂
π
π
π
−=
=
=
∫Σ
rn
r
Cette dernière équation indique que l'influence du milieu extérieur peut être traduite par une simple et une double couche de charges équivalentes situées sur la surface extérieure du domaine considéré. 2.5.2. Etablissement du système d’équations Discrétisation des frontières Divisons le problème étudié en un nombre suffisant de sous-domaines de telle sorte que dans chaque sous-domaine, le milieu puisse être considéré comme homogène. Discrétisons ensuite les frontières des sous-domaines de manière à faire apparaître des nœuds auxquels nous associerons des inconnues. Pour la facilité de l'exposé, associons à chaque nœud 2 inconnues dans chaque domaine touchant ce nœud. Choisissons des fonctions de forme convenables pour interpoler l'évolution des grandeurs inconnues sur les frontières : ∑= jjVV α
∑ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=∂∂
jij
i nV
nV α
V ?
-V
ε
+V
Figure 5.8
Dans ce cas, dans chaque domaine, on pourra écrire
∑ ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ΣΣjj
jiijj dsG
nVds
nGVPVh )( α
∂∂
∂∂α
).
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 101
Conducteur à potentiel fixe Il n'y a pas besoin de placer d'inconnues à l'intérieur du conducteur, puisqu'on sait que le potentiel y est constant et connu et que le champ y est nul. En chaque point k de la surface (extérieure), on aura donc 2 inconnues et donc 2 relations : donnék VV =
∑ ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ΣΣjj
jiijjk dsG
nVds
nGVVh α
∂∂
∂∂α
Conducteur à potentiel flottant Dans ce cas s’ajoute une inconnue pour l'ensemble du conducteur: la valeur du potentiel. On aura donc 2 inconnues pour chaque nœud k : inconnuk VV =
∑ ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ΣΣjj
jiijjk dsG
nVds
nGVVh α
∂∂
∂∂α
Pour l'ensemble du conducteur, il manquera donc une relation. Celle-ci exprimera que la charge totale du conducteur est connue (généralement nulle). On sait que la densité superficielle de charge d'un conducteur vaut :
nV
∂∂εσ =
En intégrant sur la surface du conducteur, on obtient la relation supplémentaire :
0 ____
== ∫∫conducteurdusurfaceconducteurdusurface
dsnVds
∂∂εσ
))
Frontière entre deux diélectriques A la frontière entre 2 diélectriques, on a en chaque point k 4 inconnues (2 de chaque côté m et n de la frontière). On exprimera donc : n
km
k VV = (continuité du potentiel)
0 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
n
kn
m
km n
VnV
∂∂ε
∂∂ε (continuité de Dn)
∑ ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ΣΣj
mj
jii
mjj
mk dsG
nVds
nGVVh α
∂∂
∂∂α (dans domaine m)
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 102
∑ ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ΣΣj
nj
jii
njj
nk dsG
nVds
nGVVh α
∂∂
∂∂α (dans domaine n)
2.6. PRISE EN COMPTE DES SYMETRIES AU MOYEN DE FONCTIONS DE GREEN MODIFIEES
Cas d'un plan d'(anti)symétrie En 3D, on utilisera la fonction de Green modifiée suivante (figure 5.9) :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±=
'
1141
PQPQ RRG
π
P
Q
Q' Figure 5.9
Cas d'une géométrie cyclique Dans ce cas, on pourra utiliser la fonction de Green suivante (figure 5.10) :
∑=
±=n
i PQiR
G1
141π
PQ1
Qn
Q3
Q2
Figure 5.10
2.7. DIFFICULTES NUMERIQUES
Dans les expressions précédentes, on voit apparaître deux types d'intégrales, dont les intégrants sont singuliers au voisinage du point potentié. Ces singularités sont néanmoins intégrables. Premier type de singularité :
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 103
dsQPGmj ),( ∫
Σ
α
La fonction G(P,Q) tend vers l’infini si P tend vers Q. Isolons un petit cercle centré sur le point P et plaçons en ce point l'origine du système de coordonnées. On aura donc :
dsGddsGdsGdsGdsG
G
dds
s
mj
s
mj
s
mj
s
mj
s
mj
mj
2
41
2
∫∫∫∫∫∫−Σ−Σ−ΣΣ
→+=+≈
=
=
αρααααα
ρπ
ρρπ
Second type de singularité :
dsnG
i
mj ∂
∂α ∫Σ
ϕ
θ
π/2−θ
Figure 5.11
En isolant le voisinage du point potentié P, et en prenant un système de coordonnées centré sur ce point (figure 5.11), on a :
∫∫∫ =≈ dsr
dsnGds
nG m
j
i
mj
i
mj 24
nr.11π
α∂∂α
∂∂α
Q
ddrrdsθ
ϕsin
=
ϕθ
ϕθθ
ddrR
ddrr
dsr QQQ
Q 21
sin1 1
sincos
2 ==nr.11
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 104
0 21
sin1 →≈ ∫∫ ϕθ
α∂∂α ddr
Rds
nG
mj
i
mj
2.8. RESOLUTION DU SYSTEME D'EQUATIONS
Le système d'équations à résoudre ne possède pas de particularités intéressantes: la matrice n'est ni creuse ni symétrique. Les méthodes classiques d'élimination sont souvent utilisées. Note : Les équations BEM que nous avons écrites vérifient la continuité du potentiel et de la composante normale du vecteur déplacement électrique aux nœuds du maillage (collocation) :
∑ ∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ΣΣj
mj
jii
mjj
mk dsG
nVds
nGVVh α
∂∂
∂∂α
On pourrait également envisager d'effectuer cette vérification "au mieux " sur les frontières et intégrer l'équation multipliée par les fonctions de forme :
∑ ∫∫∫∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
j
mj
mk
jii
mj
mkj
mk
mk dsG
nVds
nGVdsVh αα
∂∂
∂∂ααα
Dans ces conditions, la matrice se symétrise. Cette dernière technique est peu utilisée, car elle rend le volume de calculs numériques encore plus important. 3. MAGNETOSTATIQUE
Le cas de la magnétostatique est formellement très analogue à celui de l’électrostatique. en adoptant la jauge de Coulomb, l’équation différentielle à résoudre est : 0=+∆ iA µ La fonction de Green est la même que celle de l’électrostatique et on obtient aisément pour chaque sous-domaine :
141.
41
4)( 3 ∫∫∫
ΣΣ
−−= dsnr
dsr
dvr
Phi
i
v ∂∂
πππµ ArnAiA
A la frontière entre deux sous-domaines, on exprime la continuité du potentiel vecteur et de la composante tangentielle du champ magnétique.
Remarque : ∂∂
µA
Hn t=
En effet, exprimons que l’intégrale du potentiel vecteur sur un petit contour (figure 5.12) situé dans le plan n, t1 est égal au flux d’induction qui traverse ce contour dans la direction t2 :
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 105
dn
at1
t2
n+
-
Figure 5.12
( )
dnd
dnd
dnadnaa
AnH
tnHtA
tnHtHtAAdlA
=Λ⇒
Λ=⇒
Λ==−= −+∫
)(
).(.
).(...
11
121
µ
µ
µµ
INCONNUES ET MISE EN EQUATIONS
A chaque nœud de la frontière d’un domaine, on associe 6 inconnues : zyx
zyx dnd
dnd
dndAAA ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ AAA ,,,,, .
L’équation 141.
41
4)( 3 ∫∫∫
ΣΣ
−−= dsnr
dsr
dvr
Phi
i
v ∂∂
πππµ ArnAiA utilisant les nœuds frontières de
ce domaine fournit 3 équations scalaires. Les trois autres équations scalaires dérivent des conditions de passage d’un domaine à l’autre (continuité ou non du potentiel vecteur et de sa dérivée normale) 4. MAGNETODYNAMIQUE TRANSITOIRE
EQUATIONS
A titre d’exemple, nous traiterons de la méthode A-V. Les autres modélisations sont également utilisables. Nous avons vu qu'en choisissant la jauge de Lorentz :
0=+ Vdiv σµA ,
on obtient les équations suivantes :
0
0
=−∆
=+−∆
tVV
t
∂∂µσ
µ∂∂µσ iAA
FONCTION DE GREEN
La fonction de Green de la magnétodynamique est la solution de l'équation :
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 106
0)()(),,,( =−−+−∆ QPttGQtPGP δτδ
∂∂σµτ
où )()( QPt −− δτδ désigne une impulsion de Dirac apparaissant au point Q à l'instant τ. Son expression à n dimensions s'écrit :
)()(2
11),,,( )(4
2
ττπ
σµσµ
τ τσµ
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
= −−
tuet
QtPG tRn
Figure 5.13
La figure 5.13 représente cette fonction de Green. INVERSION DES OPERATEURS DIFFERENTIELS
Considérons l'identité suivante :
( )∂τ
∂σµ∂τ∂σµ
∂τ∂σµ x
xxQQxx
xQAGGgradAgradAGdivGGAAAG −−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +∆−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −∆
Etant donné que :
),,,(),,,( ττ QtPGQtPG PQ ∆=∆
),,,(),,,( dtQtPGQdttPGcartGG
−=+−= ττ∂∂
∂τ∂ ,
on obtient :
)()(),,,(),,,( QPttGQtPGGQtPG PQ −−−=−∆=+∆ δτδ
∂∂σµτ
∂τ∂σµτ
et
( ) xQx
xxQx iGAGGgradAgradAGdivQPtA µ∂τ
∂σµδτδ −−−=−− )()(
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 107
Intégrons cette dernière équation sur un domaine où σµ est constant et de t0 jusqu'à t+ de telle sorte que )( τδ −t se trouve à l’intérieur de l’intervalle et que ),,,( +tQtPG soit nul en application du principe de causalité :
∫∫ ∫∫ ∫ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
Σ Vx
t
t i
x
ix
v
t
txx dvtQAtQtPGdds
nAG
nGAddviGtPAh ),(),,,(),( 00
00
σµτ∂∂
∂∂τµ
En regroupant les 3 composantes, on a :
∫∫ ∫∫ ∫ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
Σ V
t
t iiV
t
t
dvtQtQtPGddsn
GnGddvGtPh ),(),,,(),( 00
00
AAAiA σµτ∂∂
∂∂τµ
Remarques : • Les formules précédentes ne sont valables que dans des domaines où le produit σµ est
constant • Le calcul du potentiel à un instant t nécessite la connaissance :
• du potentiel en tout point du domaine à un instant initial t0 • des valeurs des inconnues sur les frontières à tout instant compris entre t0 et t
INCONNUES ET MISE EN EQUATIONS
A chaque nœud de la frontière d’un domaine, on associe 6 inconnues : zyx
zyx dnd
dnd
dndAAA ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ AAA ,,,,, .
L’équation ∫∫ ∫∫ ∫ −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+=
Σ V
t
t iiV
t
t
dvtQtQtPGddsn
GnGddvGtPh ),(),,,(),( 00
00
AAAiA σµτ∂∂
∂∂τµ
utilisant les nœuds frontières de ce domaine fournit 3 équations scalaires. Les trois autres équations scalaires dérivent des conditions de passage d’un domaine à l’autre (continuité ou non du potentiel vecteur et de sa dérivée normale) 5. MAGNETODYNAMIQUE SINUSOÏDALE
EQUATIONS
En régime sinusoïdal, les équations du paragraphe précédent deviennent, en utilisant les nombres complexes :
0=+ Vdiv σµA ,
0
0 =−∆
=+−∆VjV
jµσω
µµσω iAA
FONCTION DE GREEN
La fonction de Green des équations précédentes est la solution de l'équation :
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 108
0)( ),( * =−+−∆ QPGjQPGP δµσω où )(* QP −δ désigne une impulsion de Dirac apparaissant au point Q et d’amplitude variant de manière sinusoïdale dans le temps. La fonction de Green tridimensionnelle est :
Rj
eR
G δ
π
+−
=1
41
où µσω
δ
2= s’appelle la profondeur de pénétration.
INVERSION DES OPERATEURS DIFFERENTIELS
L'identité ) () () ( gradGAgradAGdivGjGAAjAG xxQQxxxQ −=−∆−−∆ ωσµωσµ
intégrée sur le domaine considéré fournit le résultat suivant :
dsn
GnGdvGPh
iiV
)()(∂∂
∂∂µ AAiA −+= ∫∫
Σ
.
INCONNUES ET MISE EN EQUATIONS
A chaque nœud de la frontière d’un domaine, on associe 6 inconnues : zyx
zyx dnd
dnd
dndAAA ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ AAA ,,,,, .
L’équation dsn
GnGdvGPh
iiV
)()(∂∂
∂∂µ AAiA −+= ∫∫
Σ
utilisant les nœuds frontières de ce
domaine fournit 3 équations scalaires. Les trois autres équations scalaires dérivent des conditions de passage d’un domaine à l’autre (continuité ou non du potentiel vecteur et de sa dérivée normale) 6. ELECTROMAGNETISME
Considérons le cas de matériaux linéaires non conducteurs (ε et µ peuvent être tensoriels et complexes). Dans ce cas, les équations de Maxwell deviennent :
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 109
0
0
=
−=
=
=
E
HE
H
EH
divt
rot
divt
rot
∂∂µ
∂∂ε
Dès lors,
t
rotdivgradrotrot∂
∂ε EHHH =∆−=
t
rotdivgradrotrot∂
∂µ HEEE −=∆−=
et 02
2
=−∆t∂
∂εµ HH
02
2
=−∆t∂
∂εµ EE
CAS DU REGIME SINUSOÏDAL
Les équations deviennent : 02 =+∆ EE εµω
02 =+∆ HH εµω La fonction de Green des équations précédentes est la solution de l'équation
0)(),( *2
2
=−++∆ QPGc
QPGP δω
où )(* QP −δ désigne une impulsion de Dirac sinusoïdale apparaissant au point Q et sinusoïdale dans le temps et
c =1εµ
est la vitesse de propagation de la lumière dans le milieu considéré. La fonction de Green tridimensionnelle s'écrit :
R
eGR
cj
π
ω
4=
CAO des systèmes électriques Chapitre 5 : Eléments frontières 110
Exercice : poursuivre les calculs …
CHAPITRE 6 COUPLAGE ENTRE METHODES
COUPLAGE ENTRE METHODES DE CALCUL DE CHAMP
COUPLAGE ENTRE ELEMENTS FINIS ET METHODES INTEGRALES.
On a vu que dans les méthodes intégrales, il y a toujours 2 types d’inconnues par nœud et que ces inconnues sont toujours reliées aux champs normal et tangentiel. Dans les équations d’éléments finis, on peut également faire apparaître ces deux types d’inconnues à la frontière d’un domaine, si on suppose que 2Γ=Γ (frontière de Neumann) . Dès lors, les équations du couplage exprimeront :
• la continuité ou la discontinuité de la composante normale de l’induction magnétique et du déplacement électrique au travers de la surface de séparation des domaines concernés :
(B1 - B2) . n = 0 (D1 - D2) . n = σ
• la continuité de la composante tangentielle du champ magnétique (et du champ électrique) au travers de la surface
(H1 - H2) Λ n = 0 (E1 - E2) Λ n = 0
EXEMPLE en magnétostatique
Dans le domaine traité par éléments finis, on écrira pour le nœud i (inconnues iA et tiH :
( ) 02
=−−ΛΛ ∫∫∑∫ΓΩΩ
dsdvdvgradgrad itij
ijj ββββν HjA
2Γ désigne la frontière commune entre les domaines FEM et BEM (+ éventuellement les frontières de Neumann) Dans le domaine traité par éléments frontières, on aura pour le nœud k (frontières lisses, inconnues iA et ( )iin∂∂ /A ) :
1.41
42 3∑ ∫∫∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
ΣΣj jij
ijj
v
i dsnr
dsr
dvr ∂
∂ααππ
µ ArnAiA
A la frontière entre les deux domaines, on exprimera les conditions de passage :
CAO des systèmes électriques Chapitre 6 : Couplage 112
iBEMiEF AA = (continuité de la composante normale de B)
iBEMFEMti dn
d⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
AHµ1 (continuité de la composante tangentielle de H)
COUPLAGE ENTRE MODELES D’ELEMENTS FINIS.
Pour coupler deux modèles d’éléments finis, on fait apparaître sur la frontière de séparation les deux types d’inconnues dont il est question au paragraphe précédent. Le couplage est effectué en écrivant les mêmes équations exprimant le comportement des champs au passage de la frontière. EXEMPLE en magnétostatique A : domaine traité par potentiel scalaire total :
Φ−= gradH En tout nœud du domaine :
0.2
=+Φ ∫∑∫ΓΩ
dsBdvgradgrad inj
jij βββµ
B : domaine traité par potentiel scalaire partiel : rs gradΦ−= HH En tout nœud du domaine : 0 . .
2, =+−Φ ∫∫∑∫
ΓΩΩ
dsBdvgraddvgradgrad inisj
jrij ββµββµ H .
A la limite entre les deux domaines, on exprime en chaque nœud : - la continuité de la composante normale de l’induction :
21 nnn BBB =⇒ - la continuité de la composante tangentielle du champ :
rjri
j
i sji
j
iΦ−Φ+=Φ−Φ= ∫∫ dlHdlH ..
COUPLAGE AVEC D’AUTRES PHENOMENES PHYSIQUES
INTRODUCTION
Les phénomènes électriques sont généralement accompagnés d’autres phénomènes physiques, comme des échauffements, des mouvements, des déformations mécaniques, des écoulements, ... . Bien souvent, les phénomènes en question ne sont pas indépendants et ils s’influencent mutuellement, si bien qu’une approche réaliste nécessite de tenir compte de ces interactions. Le couplage entre les différents modèles physiques peut être envisagé de deux manières :
• couplage fort : les différents phénomènes sont étudiés simultanément, ce qui nécessite que le logiciel soit conçu de telle sorte à permettre cette résolution globale du problème ;
• couplage faible : dans un processus itératif, les différents phénomènes sont étudiés tour à tour ; les résultats obtenus lors d’une itération permettent de modifier les données relatives à l’itération suivante. Cette technique permet d’utiliser des logiciels non intégrés.
CAO des systèmes électriques Chapitre 6 : Couplage 113
COUPLAGE AVEC LA MECANIQUE
Souvent, les dispositifs électrotechniques sont utilisés pour effectuer une conversion électromécanique. Pour simuler complètement ces dispositifs, il est généralement nécessaire d’adjoindre aux équations électriques les équations mécaniques du mouvement. A ce niveau apparaissent deux difficultés :
• le mouvement déforme la géométrie. Le maillage doit donc être conçu de telle sorte qu’il permette ces déformations sans nécessiter un remaillage total à chaque pas de calcul. Une solution consiste à définir l’entrefer, ou une partie de celui-ci comme étant un domaine BEM qui ne sera maillé qu’aux frontières. Une autre solution, applicable dans le cas des entrefers des machines électriques tournantes consiste à définir dans l’entrefer une zone cylindrique maillée de manière régulière. Le pas de calcul est alors choisi de telle sorte qu’au bout de celui-ci, le maillage ait retrouvé la même forme qu’au début.
• le couplage avec la mécanique nécessite l’évaluation des forces mécaniques liées aux phénomènes électriques. Ces forces sont des fonctions quadratiques des inconnues qui compliquent la résolution du système d’équations.
COUPLAGE AVEC LA THERMIQUE
Qu’ils soient souhaités (chauffage par induction par exemple) ou parasites (pertes dans les moteurs par exemple), des phénomènes thermiques sont toujours associés aux phénomènes électriques. La simulation complète des dispositifs électrotechniques nécessite donc de tenir compte de ces phénomènes. Les sources de chaleurs à considérer sont :
• les pertes Joule apparaissant dans les matériaux conducteurs parcourus par des courants (sources volumiques) ;
• les pertes par courants de Foucault apparaissant dans des matériaux conducteurs soumis à un champ magnétique variable ;
• les pertes par hystérésis apparaissant dans le matériaux magnétiques soumis à un champ magnétique variable ;
• les pertes diélectriques apparaissant dans les diélectriques soumis à un champ électrique variable.
Les modes d’évacuation de la chaleur sont bien connus :
• la conduction thermique dans les matériaux ; • la convection naturelle au contact des matériaux avec un milieu gazeux ou liquide ; • la convection forcée là où une ventilation forcée a été mise en place ; • le rayonnement.
Les constantes de temps thermiques et électriques ne sont généralement pas du même ordre de grandeur. Dans les systèmes alimentés par des courants sinusoïdaux, il est souvent acceptable d’admettre que les constantes de temps thermiques sont beaucoup plus longues que les constantes de temps électriques. On peut dès lors admettre qu’au point de vue électrique, le système est en régime harmonique (résolution par nombres complexes), tandis qu’au point de vue thermique, on est en régime transitoire.
CHAPITRE 7 ANALYSE DES RESULTATS
1. REPRESENTATION GRAPHIQUE DES RESULTATS
Evolution temporelle de l’induction magnétique source.
Variation de l’induction le long de la coupe OX.
CAO des systèmes électriques Chapitre 7 : Analyse des résultats 115
Champ d’induction b en x = 0 et y = 0 (t = 20 ms et maillage Mh3) ;
(bmin = 0.00604 T, bmax = 0.0563 T).
Champ d’induction b en z = 0.0254 m (t = 20 ms et maillage Mh3) ;
(bmin = 0.0154 T, bmax = 0.0500 T).
CAO des systèmes électriques Chapitre 7 : Analyse des résultats 116
Lignes d’isovaleurs de la densité de courant à la surface de la brique (t = 20 ms et maillage Mh3) ;
(jmin = 0, jmax = 2.46 106 A/m2, nombre de niveaux = 12, niveau 1 = 1.89 105 A/m2, niveau 12 = 2.27 106 A/m2, écart entre niveaux = 1.89 105 A/m2).
Champ de densité de courant j en z = 0.0230 m (t = 20 ms et maillage Mh3) ;
(jmin = 3.44 105 A/m2, jmax = 2.28 106 A/m2).
2. EVALUATION DE GRANDEURS GLOBALES
2.1. CALCUL DES COURANTS
... à partir de la densité de courant :
∫ += dsI . )( nji
... à partir de la loi d’Ampère :
∫= dlH . I
CAO des systèmes électriques Chapitre 7 : Analyse des résultats 117
Cette formulation est très efficace lorsque le champ magnétique tangentiel a été calculé. C’est par exemple le cas sur les frontières séparant deux domaines couplés. C’est également le cas en éléments frontières et en éléments d’arête en H. 2.2. CALCUL DES PERTES JOULE
... à partir de la densité de courant :
∫ += dsPJ 2jiρ
... à partir du vecteur de Poynting
Le flux du vecteur de Poynting R = E Λ H au travers d’une surface fermée est égal à la puissance électromagnétique qui traverse cette surface dans le sens de la normale positive. Cette propriété peut être utilisée pour calculer dans certaines conditions (pas de conversion électromécanique à l’intérieur de la surface, régime permanent) la puissance dissipée par effet Joule à l’intérieur d’un domaine. On a
nHEnHHEEnHEnR ).()).()(().(. ttntnt Λ=+Λ+=Λ= En notations complexes, on aura
HER Λ= * et le flux de ce vecteur au travers d'une surface fermée représente la puissance complexe qui traverse cette surface dans le sens de la normale positive. 2.3. CALCUL DE L’ENERGIE MAGNETIQUE
... à partir du champ :
dvWv
B
m ) . (0∫ ∫∞
= dbH
Cette intégrale doit s’étendre en principe jusqu’à l’infini. ... à partir des courants et du potentiel vecteur
dvWsconducteur
A
m ) . )((0∫ ∫ += daji
Cette intégrale s’étend à tous les volumes conducteurs. Notons que l’énergie magnétique emmagasinée dans les aimants permanents n’est pas prise en compte par cette formulation. 2.4. CALCUL DES INDUCTANCES
... à partir du flux embrassé : Le flux total embrassé par un conducteur peut s’évaluer par
∫∑ ∫ ==Φ dlAdsB . . __
_spireslestoutes
spirechaquet
Pour calculer le coefficient de self-inductance d’une bobine i, on alimente cette bobine par un courant Ii et on détermine le flux total embrassé par la bobine. On a donc :
iiit IL =Φ
CAO des systèmes électriques Chapitre 7 : Analyse des résultats 118
Pour calculer le coefficient d’inductance mutuelle entre les bobines i et j, on alimente la bobine j par un courant Ij et on détermine le flux total embrassé par la bobine i. On a donc :
jijti IL =Φ
Rappelons que jiij LL = .
... à partir de l’énergie magnétique Dans le cas d’une bobine seule, on a
2 21
iiim ILW = 2
2
i
mii I
WL =
Dans le cas de 2 bobines couplées, on obtient
jiijjjjiiim IILILILW 21
21 22 ++=
En inversant le sens du courant dans une des bobines, on a
jiijjjjiiim IILILILW 21
21 22' −+=
Dès lors :
ji
mmij II
WWL2
'−=
2.5. CALCUL DES CAPACITES
Lorsqu'on a un système de conducteurs chargés, on peut écrire pour le conducteur i :
∑=
=N
jjiji VCQ
1
La charge s'évalue en intégrant sur la surface extérieure du conducteur la composante normale du déplacement :
∫=iS
i dsQ D.n
La matrice des capacitances s'évalue en calculant : )1 ; 0( =≠∀== jkiij VjkVQC .
2.6. CALCUL DES FORCES
... à partir de la loi de Laplace La force qui s’exerce sur un conducteur parcouru par un courant s’exprime par :
∫ Λ+=v
dv )( BjiF
Cette formule ne permet pas de calculer les forces dues aux aimants permanents ni à la variation de perméabilité. La formule complète est en fait :
∫∫ −Λ=vv
dvgradHdvrot µ2
2
BHF
CAO des systèmes électriques Chapitre 7 : Analyse des résultats 119
... à partir des travaux virtuels On suppose les courants constants et une faible variation de la géométrie dans la direction où on souhaite évaluer la force.
F, dli=cst
e
On peut écrire : dlF . +=+= magmécmag dWdWdWdtie .
Comme dtde Ψ
=
et ( ) ( )),()(),()( Ψ−Ψ−Ψ+Ψ−Ψ+Ψ=−= iWidiWdiDCEABEdW ccmag
soit cmag dWdidW −Ψ=
i
Ψ
Ψ+δΨ
FE
DC
BA
d’où csti
cdW=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
dlF
où Wc désigne la coénergie du système. Notons qu’en régime linéaire, l’énergie et la coénergie ont la même valeur :
2 21 ILWW cmag ==
... à partir du tenseur de Maxwell Nous avons vu que la force magnétique totale s'exerçant sur un volume v a pour expression :
∫∫ −Λ=vv
dvgradHdvrot µ2
2
BHF .
CAO des systèmes électriques Chapitre 7 : Analyse des résultats 120
On montre que cette force peut également se mettre sous la forme d'une intégrale de surface :
∫=s
ds . nTF
avec
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
2
2
2
21
21
21
HHHHHHH
HHHHHHH
HHHHHHH
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
µT
Les densités normale et tangentielles de force valent donc
)21( 22
tnt
nn
H
HH
HF
nF
µ
µ
=
−=
Notons que l’intégrale de la force ne fournit pas d’information sur le point d’application de celle-ci
CHAPITRE 8 CONCEPTION DES DISPOSITIFS
ELECTROTECHNIQUES STATIQUES.
1. BOBINE D’INDUCTANCE A AIR
L’inductance d’une bobine de rayon moyen a et de longueur l comportant n spires par mètre est donnée par la formule suivante :
Figure 8.1
)2( 220
ll
aanL Φ= πµ
où
)(1)(12234)2( 3
2
3
2
kKk
kkEk
kaa −+
−=Φ
ll π (figure 8.1)
( )( )2
2
/21/2
l
l
aak
+=
)(et )( kEkK sont des fonctions elliptiques de première et de seconde espèce :
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 122
∫
∫
−=
−=
2/
0
22
2/
0 22
sin1()(
sin1()(
π
π
φφ
φφ
dkkE
kdkK
Cette formule donne des résultats précis. Lorsque plusieurs couches de conducteurs sont superposées et/ou lorsque les conducteurs ont une section importante, se pose la question de définir correctement le rayon a et de tenir compte de l’effet pelliculaire. Dans ces conditions, la formule précédente constitue un bon point de départ et la modélisation permet d’affiner le modèle. La section du conducteur est déterminée en se basant sur les 2 critères suivants :
• Le facteur de qualité Q désiré : sl
QLR ρω
==
• Les échauffements admissible : La chaleur produite par les pertes Joule sljIRP 22 ρ== doit pouvoir être évacuée. Dans le cas de convection naturelle et en
régime permanent, on peut écrire )( ace TTShP −=
où Se est la surface d’échange, Tc la température du conducteur, Ta la température ambiante et h le coefficient d’échange (souvent voisin de 5 watts/m2°K)
Remarques:
• Lors du dimensionnement, il faut prévoir l’isolation entre spires ; • Les efforts doivent également être pris en compte. Le cas échéant; il faut prévoir un
calage efficace des conducteurs. L’effort tendant à allonger la bobine a pour expression :
lddLIF
2
2
=
et l’effort tendant à augmenter le diamètre de la bobine vaut
dadLIF
2
2
= ;
• Si les dimensions des conducteurs sont du même ordre de grandeur ou supérieures à la profondeur de pénétration, l’effet pelliculaire doit être pris en considération.
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 123
2. BOBINE COMPORTANT UN CIRCUIT MAGNETIQUE
Dans ce cas, les formules du paragraphe précédent ne sont plus valables. Si la bobine est destinée à être utilisée en régime variable, il faut penser aux pertes dans le circuit magnétique. • Les pertes par hystérésis (par unité de masse) sont données par les fabricants. On peut
approximativement les écrire sous la forme : pH = kH f Bν
où f désigne la fréquence et ν est le coefficient de Steinmetz compris entre 1,4 et 1,7. • Les pertes par courants de Foucault (par unité de volume) dans les matériaux
ferromagnétiques feuilletés sont données par la formule :
)( 2
2max
222
δρπ eFBefpF = avec
µπρδ
f=
si f désigne la fréquence, e l’épaisseur des tôles, δ la profondeur de pénétration et ρ la résistivité du matériau et
)/(cos)/()/(sin)/()(
δδδδδ
δ eecheesh
eeF
−
−=
NOTE : 1 31)( <≈
δδepoureF
4 )( >≈δ
δδ
epoure
eF
00,05
0,10,15
0,2
0,250,3
0,350,4
0 2 4 6 8
e/delta
F(e/
delta
)
Figure 8.2
Les courants de Foucault sont également responsables d’une réduction de la valeur de l’induction magnétique qui peut être évaluée par :
)/(cos)/()/(c)/( 2
)0()(
δδδδδ
eecheosech
eeBeB
+
−=
=
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 124
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
0 1 2 3 4 5 6
e/delta
B(e
)/B(0
)
Figure 8.3
Pour les ferrites (3C90) :
soit pour Bmax = 0,3 T : 20 W/kg à 10 kHz et 1kW/kg à 100 kHz 2.1. BOBINE COMPORTANT UN CIRCUIT MAGNETIQUE A PETIT ENTREFER OU SANS ENTREFER
Dans ces conditions, on évalue la réluctance ℜ du circuit magnétique vue depuis la bobine et on réalise un premier dimensionnement sur base de la formule suivante :
ℜ=
2NL
où N désigne le nombre de spires. La section du conducteur s’évaluera selon les mêmes critères que dans le cas précédent.
δ
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 125
Figure 8.4
Notes • On se rappellera que la réluctance de circuits magnétiques comprenant des matériaux
ferromagnétiques dépend du niveau de saturation atteint; • En première approximation, on peut négliger le flux de fuite qui est en principe beaucoup
plus faible que le flux principal; • La section du fil à utiliser se calculera comme pour une bobine à air en tenant compte des
conditions particulières d’évacuation de la chaleur; • Il ne faut pas oublier les entrefers « parasites » (d’air à la jointure entre pièces différentes
du circuit magnétique). Retenons qu’un entrefer de 0,1 mm présente la même réluctance qu’un mètre de matériau magnétique (µ=10000). Pour réduire l’entrefer effectif, on utilise des techniques spéciales pour réaliser les joints entre les tôles (voir figure 8.5)
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 126
Figure 8.5
2.2. BOBINE COMPORTANT UN CIRCUIT MAGNETIQUE A GRAND ENTREFER
Dans le cas d’un grand entrefer, la difficulté consiste à évaluer l’allure des lignes d’induction dans cet entrefer. Si on y parvient, on peut calculer la réluctance des différents tubes d’induction obtenus par la formule suivante :
sl
0
1µ
=ℜ
et tenir compte du fait qu’ils sont en parallèle. Si cette évaluation n’est pas réalisable, quelques calculs de champ exploratoires ou l’expérience peuvent guider le concepteur pour un premier dimensionnement. 3. INDUCTANCES SATURABLE
Ces bobines sont dimensionnées de telle sorte qu’elles présentent une grande impédance lorsque le courant qui les traverse est faible (matériau magnétique non saturé) et une impédance faible pour de grands courants (matériau magnétique saturé). 4. TRANSFORMATEUR
D’une manière générale, le transformateur sera dimensionné de telle sorte qu’il ait une impédance suffisamment élevée à vide (impédance magnétisante) et une impédance de court-circuit (due aux flux de fuite principalement) donnée, généralement (mais pas toujours) faible. En général, les données de base d’un transformateur sont sa fréquence, ses tensions nominales et sa puissance apparente. Les courants nominaux sont ainsi connus car :
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 127
2211 NNNNN IUIUP ==
4.1. SCHEMA EQUIVALENT
4.2. CIRCUITS MAGNETIQUES MONOPHASES
4.2.1 Transformateurs basse fréquence
4.2.1 Transformateurs haute fréquence Le matériau magnétique est généralement de la ferrite. Le circuit magnétique peut avoir différentes formes.
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 128
4.3. CIRCUITS MAGNETIQUES TRIPHASES
4.4. FORMULES ET REGLES DE BONNE PRATIQUE :
• Force électromotrice
maxmax BABSknE
nE
nU
nU
enn 2
2
2
2
1
1
2
2
1
1 ωω≈≈≈≈≈
avec 2 fπω = Sn section brute du noyau
kn coefficient d’utilisation du noyau (+/- 0,9)
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 129
Ae section nette Bmax induction maximum dans le noyau, limitée par la saturation
(1,1 à 1,9 Tesla selon la qualité des tôles et les performances désirées ; 0,3 à 0.4 tesla pour les ferrites)
• Pertes magnétiques (hystérésis et courants de Foucault)
Pfer = Vfer δ fer pfer avec Vfer volume de l’acier constituant le circuit magnétique
δfer masse spécifique des tôles magnétiques (7.500 kg/m3) pfer pertes fer spécifiques (0,6 à 1,3 W/kg selon la qualité des tôles)
En réalité cette valeur dépend de l’induction dans le noyau Pour les ferrites (voir plus haut)
• Pertes Joule : ( )222111 InInqP mmJ ll += δρ
avec ρ résistivité du cuivre (1,785 10-8 Ωm à 20 °C, avec un coefficient de température égal à 3,8 10-3).
δ densité de courant dans les conducteurs (1.5 A/mm² si pas de ventilation à 3 A/mm² si refroidissement forcé)
q nombre de phases lm1, lm2 longueur moyenne d’une spire primaire, secondaire 21, ss section des conducteurs primaires, secondaires
• Lorsque le rendement du transformateur est maximum, les pertes joules et
magnétiques sont égales.
• L’élancement du noyau n
n
Sh
=λ est généralement compris entre 2 et 4 (hn est la
hauteur du noyau et Sn sa section). • La résistance des bobinages est souvent référencée par rapport à l’impédance du base
du transformateur :
1
111
N
NR I
UkR =
2
222
N
NR I
UkR =
1Rk et 2Rk sont généralement compris entre 0.5 et 2%
1NU , 1NI , 2NU , 2NI sont les tension et courants nominaux
• Le bobinage basse tension sera placé près du noyau. Les bobinages seront isolés par rapport au noyau ainsi qu’entre eux au moyen d’isolants (cartons, films plastiques ...). En première approximation , on pourra adopter pour l’épaisseur d’isolant la formule suivante :
eis = (2 + U is / 5000)mm où U is est le niveau d’isolement souhaité.
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 130
• Les conducteurs d’un même bobinage devront également être isolés entre eux (émaillage, ...). Il ne faut pas oublier de tenir compte du facteur de remplissage des bobinages ( de l’ordre de 0,6 en tenant compte de l’isolant pour des bobinages en fil rond).
• Self de magnétisation :
LAnnL 22
=ℜ
=µ
4.5. CALCUL ET OPTIMISATION
Pour fixer les idées, on va raisonner sur un transformateur monophasé cuirassé à section de noyau carrée. On suppose connus a priori :
• La tension, le courant et la puissance apparente nominaux primaires ( 11111 *,, NNNNN IUSIU = )
• La tension nominale secondaire 2NU
• La fréquence Mode opératoire
• On s’impose la valeur de la densité de courant δ (1.5 à 3 A/mm²), ce qui permet de calculer les sections de cuivre :
δ1
1nIs =
• On se fixe la valeur moyenne de Rk (0.01 par exemple, ce qui fixe l’importance des pertes joules) et on évalue la longueur moyenne des conducteurs du primaire à l’aide de la relation suivante :
1
1,
1
11 sI
UkR Cu
N
NR
lρ== on déduit 1,Cul
Dès lors : ( ) 1,14 CuFn lcn l=+ (1)
NOTE : A ce stade, la quantité de cuivre du transfo est fixée car 11, **2 sV CuCu l=
• D’autre part, si Cuk est le coefficient de remplissage de la fenêtre (0.6 par exemple) et λ l’élancement du noyau (entre 2 et 4), on aura :
CunFnF k
snclhl 112== λ
Cu
nF
ks
ncl
λ1
1
2= (2)
• Par ailleurs, à partir de la relation donnant la force électromotrice, on obtient
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 131
maxBkUcn
n
Nn
2
121 ω
= (3)
• Les relations (1) à (3) permettent de déterminer les valeurs de ncn ,1 et Fl
• On détermine ensuite 11
22 n
UUn
N
N= et 12
12 s
nns =
• A ce moment, on peut recalculer avec plus de précision les valeurs de 1R et de 2R • On vérifiera :
o La valeur coefficient de remplissage de la fenêtre Cuk o L’échauffement du bobinage o L’échauffement du matériau magnétique
• En modifiant la valeur de l’élancement du noyau, il est possible d’optimiser la quantité de matériau magnétique utilisée.
4.6. EVALUATION DE LA REACTANCE MAGNETISANTE
La réactance magnétisante (vue du côté 1) vaut ℜ
=21nX ωµ où ℜ désigne la réluctance du
circuit magnétique. Par ailleurs, on a :
20
215.2221
nn
nFn
ccclh ε
µµ+
++=ℜ
où µ est la perméabilité magnétique du matériau magnétique ε est la longueur cumulée des entrefers parasites
Notes : • la contribution des entrefers parasites n’est en général pas négligeable • dans un transformateur bien dimensionné, la réactance magnétisante vaut entre 20
et 40 fois l’impédance de base du transformateur :
1
1
1
1 4020I
UXI
U≤≤ µ
4.7. EVALUATION DE LA REACTANCE DE FUITE
Supposons que les enroulements soient concentriques (l’extension à d’autres types d’enroulements est aisée). hypothèses :
• l’énergie du champ est confinée dans les bobinages et dans l’espace qui les sépare ; • géométrie plane 2D • densité de courant uniforme dans les bobinages
Soit • 1ml longueur moyenne des spires de la bobine 1
• 2ml longueur moyenne des spires de la bobine 2
• l0 longueur moyenne de l’espace situé entre les bobines • h hauteur des bobines
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 132
•
H
a1 e1 a2 e2
h
nI/h
On aura
1
11
ehIn
drdH
= à l’intérieur du conducteur intérieur et
2
22
ehIn
drdH
−= à l’intérieur du conducteur extérieur.
∫== dxHhILW 2
21 202 l
µ
soit
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+= 2 0
2 21 1210
3 aeehnL mm l
llµ
4.8. PARAMETRES SUPPLEMENTAIRES A CONSIDERER
• Résistance: lorsque les dimensions des conducteurs sont importantes, il faut tenir compte de l’effet pelliculaire. En première approximation, on calcule les pertes supplémentaires comme si les conducteurs se trouvaient dans une encoche ouverte (voir plus loin);
• Echauffement: le calcul se fera comme pour les bobines.
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 133
• Efforts électrodynamiques: pour limiter les efforts électrodynamiques, les différentes bobines placées sur une même colonne ont généralement la même longueur et sont centrées sur la hauteur de la colonne. Les efforts électrodynamiques peuvent être importants lors de la mise sous tension et il importe de les calculer et d’assurer un calage convenable des bobines .
4.9. SUITE DES OPERATIONS
Le recours au calcul de champ permet de préciser les différents paramètres importants : • courant magnétisant (amplitude et harmoniques) ; • impédance de court-circuit ; • pertes joules et magnétiques ; • forces électrodynamiques
et d’affiner le dimensionnement du transformateur. 5. AUTOTRANSFORMATEUR
I 1
U1
U2
I 2
I 1 I 2
I 1- I 2
I 1
Pour une densité de courant δ donnée, la section totale de cuivre d’un transformateur (courant nominal I1; rapport de transformation n1/n2 et 21 nn > ) est donnée par
Str = n1I1δ
+ n2I2δ
= 2 n1I1δ
Pour un autotransformateur, on aura
Satr = (n1 − n2)I1δ
+ n2I2 − I1
δ= 2 n1
I1δ
(1 −n2n1
)
Le gain sera donc d’autant plus important que le rapport de transformation sera proche de 1. Par ailleurs, l’inductance de fuite de l’autotransformateur sera plus faible. On trouve aisément que :
L =
µ0 l (n1 − n2 )2
3 h (e1 + e2 )
où l est la longueur moyenne d’un spire ; h est la hauteur commune des 2 bobines ;
CAO des systèmes électriques Chapitre 8 : Dispositifs électriques statiques 134
e1 et e2 sont les épaisseurs des 2 bobinages accolés.
CHAPITRE 9 CONCEPTION DE DISPOSITIFS COMPORTANT DES AIMANTS
PERMANENTS
1. INTRODUCTION
Fig 1
Un aimant permanent est constitué d'un matériau ferromagnétique à large cycle d'hystérésis. Si la plupart des alliages de fer, de cobalt et de nickel présentent un cycle d'hystérésis, les matériaux à large cycle sont beaucoup plus rares. Un aimant permanent doit être stable (insensibilité aux chocs, aux cycles thermiques et au viellissement) et présenter de bonnes caractéristiques mécaniques. La physique des matériaux permet de lier les caractéristiques des aimants permanents aux phénomènes atomiques et corpusculaires. Si la notion de dipôle magnétique est associée au spin de l'électron, celle de ferromagnétisme est liée à la création de domaines magnétiques d'un seul tenant, dans lesquels les moments magnétiques atomiques sont alignés parallèlement les uns aux autres, les domaines de Weiss. Ces domaines sont séparés entre eux par des zones
CAO des systèmes électriques Chapitre 9 : Dispositifs à aimants permanents 136
de transition, dites parois de Bloch. C'est le comportement de celles-ci qui est responsable du phénomène de rémanence.
fig 2
2. CARACTERISTIQUE MAGNETIQUE
La caractéristique magnétique d’un aimant permanent est représentée dans le second quadrant du plan B-H (fig 2). Le cycle magnétique de l’aimant permanent est caractérisé par : • l'induction rémanente Br qui correspondant à H = 0, • le champ coercitif Hc , qui correspond à une induction B = 0 . • la perméabilité ( )HB ∆∆ / qui a une valeur proche de 1. La caractéristique magnétique principale ou de désexcitation (fig 2) est obtenue à la suite d’une forte magnétisation du matériau (B et H positifs dans le 1er quadrant). 3. LA DROITE DE RECUL
Partant d'un point de la caractéristique principale (Q sur la figure 3), on constate qu'on quitte celle-ci lorsque l'induction augmente. Le chemin suivi peut être approché par une droite qui est approximativement parallèle à la tangente de la caractéristique de désexcitation au point (O, Br). Cette droite, appelée droite de recul, est également parcourue lors d’une diminution de l'induction, jusqu'à ce que le point de fonctionnement rejoigne la caractéristique principale. Si, partant du point Q l’induction diminue, l’état magnétique suit la caractéristique principale. Le point de fonctionnement d’un aimant permanent dépend donc de la valeur minimale atteinte par l’induction dans l’aimant après sa magnétisation initiale. Note : dans la réalité, la droite de retour présente également un phénomène d'hystérésis (figure 3b). Pour des fréquences importantes, ce phénomène doit être pris en considération.
CAO des systèmes électriques Chapitre 9 : Dispositifs à aimants permanents 137
fig 3
4. POINT DE FONCTIONNEMENT
Considérons le dispositif de la figure suivante, supposé sans flux de fuites. a est un aimant permanent, f sont des structures en matériau magnétique à haute perméabilité et e est un entrefer.
a
f f
e
droitede recul
H0 Hc
Br
point de fonctionnement fig 4
Loi d’Ampère : Hala + Hf lf + Hele = 0 Conservation du flux : BaSa = µ0HeSe = µ f HfSf ,
Dès lors : ( )efa
aa
e
e
ff
f
a
aaa
SBSS
SBH ℜ+ℜ−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=
l
ll
l 0µµ
ou ( )efa
aaa S
HBℜ+ℜ
−=l .
ℜ désigne la réluctance d’un élément de circuit magnétique. La droite )( aa HfB = que nous venons de définir possède une pente inversement proportionnelle à la réluctance du circuit magnétique vu de l’aimant. Le point de fonctionnement aa HB , de l’aimant se trouve donc à l’intersection de cette droite et de la droite de recul : Ba = µ a H a − H0( ) (H 0 ≤ 0) Certains aimants, de type ferrite ou samarium-cobalt (voir figure) présentent une caractéristique principale linéaire. Elle est alors confondue avec l’ensemble des droites de recul.
CAO des systèmes électriques Chapitre 9 : Dispositifs à aimants permanents 138
5. SCHEMA EQUIVALENT D’UN CIRCUIT MAGNETIQUE COMPORTANT UN AIMANT PERMANENT
Comme Hala + Hf lf + Hele = 0 Φ=== fffeeaa SHSHSB µµ0
et Ba = µ a H a − H0( ),
on peut écrire : 00
0 =+++e
eee
ff
fffa
aa
aaaa S
SBS
SBS
SBHµµµll
ll
l
ou aefaF ℜΦ+ℜΦ+ℜΦ=
où aa HF l0−= désigne la force magnétomotrice. On en déduit le schéma équivalent suivant :
fig 5
6. FORCE PORTANTE
Supposons que l’on écarte légèrement les deux extrémités de l’entrefer d’un dispositif comprenant un aimant permanent. L’énergie mécanique fournie servira :
• à augmenter l’énergie magnétique contenue dans l’entrefer ( ( )2
eeeee
BHSW l= ) de
dWe :
2
eeeeeeeee
BHdSdBHSdW ll +=
• à augmenter l’énergie magnétique contenue dans le matériau magnétique de dWf : fffff dBHSdW l=
• à augmenter l’énergie magnétique de l’aimant de dWa : aaaaa dBHSdW l=
D’où aaaaffffee
eeeeee dBHSdBHSBHdSdBHS llll +++=2
.dlF .
Comme Ba = µ a H a − H0( ) BaSa = BeSe = BfSf = Φ Sa dBa = Se dBe = Sf dBf = dΦ ,
CAO des systèmes électriques Chapitre 9 : Dispositifs à aimants permanents 139
on a Φ+ΦΦ+ΦΦ+Φ
+ΦΦ= dHdS
dSS
ddS a
aa
a
ff
f
ee
e
ee
e0
2
2. l
llll
µµµµdlF
soit ( ) Φ−ℜΦ
+ΦΦℜ+ℜ+ℜ= ddd aeafe F 2
.2
dlF
Puisque ( )Φℜℜℜ= afeaF ++ (cfr schéma équivalent),
on peut écrire eee
e dSBd l0
22
22.
µ=ℜ
Φ=dlF .
L’énergie fournie pour augmenter la taille de l’entrefer de l’aimant est égale à l’énergie magnétique contenue dans le supplément d’entrefer.
Comme afe
aa FFℜℜℜ
=ℜ
=Φ++
( ) eafe
a dFd ℜℜℜℜ
−=Φ 2++,
on a aussi ( ) 221. 0
2a
aaeafe
dBHvdFdF=Φ−=ℜ
ℜℜℜ=
++2
2adlF
d’où 2
. 0 aa
dBHv=dlF
La force portante d’un aimant est donc proportionnelle au volume de l’aimant ainsi qu’au champ coercitif. 7. MODELISATION DES AIMANTS.
Considérons l’aimant représenté que la figure 6. On lui associe le coefficient de fuite σ tel que
1utileflux
aimantl' danscirculant flux ≥=
ΦΦ
=u
aσ
En pratique, ce coefficient est généralement compris entre 1,1 et 3. S’il est relativement facile de déterminer les flux de fuite associés aux parties du circuit magnétique ayant une grande perméabilité, les flux de fuite directement associés à l'aimant sont plus délicats à évaluer. En effet, d’une part la perméabilité de l’aimant est faible et d’autre part la distribution locale des domaines de Weiss sur les bords des aimants est déterminante quant à la répartition spatiale des lignes de fuite.
CAO des systèmes électriques Chapitre 9 : Dispositifs à aimants permanents 140
fig 6
RELATIONS APPROCHEES
Les expressions du facteur de fuite qui suivent sont connues sous le nom de relations de Maynard et Tenzer. Elles concordent avec une précision de ± 10% avec les valeurs réelles dans la plupart des cas pratiques. Les pa pb et pc désignent les périmètres de la section droite des éléments de longueur a, b, c. Aδ représente la section de l’entrefer. Les autres paramètres sont définis sur les figures.
fig 7
CAO des systèmes électriques Chapitre 9 : Dispositifs à aimants permanents 141
fig 8
fig 9
fig 10
CAO des systèmes électriques Chapitre 9 : Dispositifs à aimants permanents 142
fig 11
8. OPTIMISATION DU VOLUME DE L’AIMANT
fig 12
En négligeant le flux de fuite de l’aimant, on a : ffeeaa SBSBSB == et 0=++ aaffee HHH lll
Dès lors =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
22ff
fee
e
BHvBHv
22ee
eaa
aBHvBHv ≈− .
Le volume minimum d’aimant nécessaire pour accumuler une certaine énergie magnétique dans l’entrefer s’obtient pour le maximum du module du produit Ha Ba . 9. CIRCUITS MAGNETIQUES DEFORMABLES
Dans beaucoup d’applications, l’aimant fonctionne avec un circuit magnétique déformable. C’est le cas des fermetures magnétiques de porte, des moteurs pas à pas, ....
CAO des systèmes électriques Chapitre 9 : Dispositifs à aimants permanents 143
aimant
acier
fig 13 fig 14
Considérons par exemple le cas d’une fermeture magnétique (figure 13). Le point de fonctionnement se situe sur la droite de recul SB0 (figure 14). Le point N correspond à l’entrefer maximum et le point M à l’entrefer minimum. Le point S correspond au niveau d’induction minimum atteint lors des opérations antérieures (montage par exemple). L’énergie mécanique développée pour passer du point M au point N peut se calculer à partir de l’expression vue plus haut (§ 6)
aamec dBHvdW 021. == dlF
d’où ( )
aMN
mec vHBBW2
0−= .
CHAPITRE 10 CONCEPTION DES MACHINES ELECTRIQUES TOURNANTES
1. CALCUL DU STATOR D’UNE MACHINE TRIPHASEE
En général, on dispose a priori des données suivantes : • puissance utile Pu; • tension nominale par phase UV = (couplage triangle) ou 3/UV = (couplage
étoile); • fréquence d’alimentation f ; • vitesse synchrone pfps /2/ πωω == .
1.1. BOBINAGE ET FORCE ELECTROMOTRICE
Les conducteurs sont logés dans des encoches (figure 1). Lors de la conception, il faut songer que les dents situées entre les encoches doivent véhiculer tout le flux traversant l’entrefer. Par ailleurs, ces encoches sont soumises à des efforts non négligeables. Par définition, le pas polaire τ est la distance, mesurée à la périphérie de l'entrefer, séparant les axes de deux pôles magnétiques successifs de polarité différente. Par conséquent, si ρI désigne le rayon de la machine et si celle-ci comporte 2p pôles, on a :
τ =2 π ρI
2 p=
π ρI
p.
Soit q le nombre de phases et m le nombre d'encoches par pôle et par phase. Le bobinage comporte alors 2 pm q encoches identiques réparties uniformément à la périphérie de l'entrefer. La distance τd séparant les axes de deux encoches successives est appelée pas de denture et vaut :
τd =2 πρI
2p q m=
τq m
.
Dans chaque encoche sont logés na conducteurs identiques. La figure 1 montre la disposition des conducteurs d'un bobinage statorique triphasé tétrapolaire comportant deux encoches par pôle et par phase (p = 2, q = 3, m = 2). Afin de ne pas surcharger le dessin, un seul conducteur a été dessiné dans chaque encoche. La figure 2 représente une vue développée de cet enroulement.
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 146
τ
τ
m=2p=2q=3
µ >>
µ = µ0
µ >>rotor
stator
dent
entrefer
fig 1
τ
m=2p=2q=32 τ / 3
1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'
2 τ / 3
τ τ τ
µ >>
µ = µ0
1
τd
Fig 2.
Le nombre total de conducteurs logés dans les encoches est égal à : anmqpn 2= Supposons que l'encoche située à l'extrême gauche de la figure 2 constitue le départ de la première phase et qu’en suivant le bobinage, cette encoche soit parcourue dans le sens indiqué sur la figure (du recto vers le verso de la feuille). Comme la première encoche, les (m-1) encoches suivantes font partie de la première phase et sont parcourues dans le même sens que la première. L’encoche distante d’un pas polaire τ de la première encoche, ainsi que les (m-1) encoches suivantes, font également partie de la première phase, mais elles sont parcourues dans le sens contraire de l’encoche de départ. S'il y a plusieurs paires de pôles, la disposition précédente (m encoches parcourues dans un sens, m encoches parcourues en sens contraire) est répétée à des distances 2τ , 4τ ,... 2(p −1)τ de la première encoche. L'ensemble de ces conducteurs ainsi que leurs interconnexions constituent la première phase du bobinage. La seconde phase est identique à la première, mais elle est décalée spatialement de 2τ / q par rapport à la première. La troisième phase, également identique à la première, est décalée spatialement de 2τ / q par rapport à la seconde et ainsi de suite...
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 147
Tous les bobinages polyphasés à un étage sont réalisés de cette manière. Ils se distinguent néanmoins par la manière dont les conducteurs sont reliés entre eux en dehors des encoches, c’est-à-dire au niveau des têtes de bobines. La figure 3 montre une vue développée d’un tel bobinage. Sur cette figure, les parties de conducteurs situées dans les encoches sont représentées en traits épais. D’autres types de bobinages sont présentés dans l’annexe A de ce chapitre.
m=2p=2q=3
1 2 3 3' 1' 2'
P
Q
1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'
Fig 3.
π
fig 4
D’une manière générale, la force électromotrice totale développée aux bornes d’un enroulement vaut (figure 4):
Φ= ed KKdq
nE 22
ω
mq
qKd
2 sin m
2 sin
π
π
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
τπ 1
2sin yKe
• ω est la pulsation; • d est le nombre de dérivations d’une phase (conducteurs en parallèle); • Kd est le facteur de bobinage;
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 148
• Φ est le flux d’induction magnétique par pôle • τ est le pas polaire • τ/1y est l’embrassement relatif des sections du bobinage, égal à 1 dans le cas des
bobinages à un étage. 1.2. DIMENSIONS PRINCIPALES : RELATION DE FISHER-HINNEN
Ce sont le diamètre D et la longueur L du stator. On les déduit des considérations suivantes : Puissance utile : ηϕ cos IVqPu =
• Pu : puissance utile ou puissance mécanique (watt) • q : nombre de phases • V : tension aux bornes d’une bobine • I : courant dans une bobine • cos ϕ : cosinus phi • η : rendement
Tension aux bornes d’une phase Φ=≅ 22 ed KKdq
nEV ω
• n : nombre total de conducteurs périphériques du stator • d : nombre de dérivations d’une phase • Φ : flux par pôle dans l’entrefer
•
mq
qKd
2 sin m
2 sin
π
π
=
• τ
π 1
2 sin yKe =
• m : nombre d’encoches par pôle et par phase • y1 : largeur des sections (distance séparant des conducteurs aller des conducteurs
retour) • τ : pas polaire
Si l’induction était répartie sinusoïdalement le long de l’entrefer, le flux par pôle serait égal à
LBdxLxB eet 2sin max0
max τπτ
πτ
∫ =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=Φ
En réalité, on a
LBe 2max τ
πα=Φ avec 1≤α
En introduisant le coefficient d’élancement du stator τ
λL
= , on obtient :
Φ = α2π
Be max τ 2 λ
Par ailleurs, définissons la densité linéique (efficace) de courant :
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 149
dpInA 2
τ
=
La densité linéique de courant est une grandeur importante, car elle conditionne l’échauffement du stator : en effet, le rapport entre l’effet joule dissipé dans les encoches et la surface de l’entrefer vaut ρ A δ (ρ résistivité des conducteurs; δ : densité de courant dans les conducteurs). En effet, si on
désigne par ds
I
c
=δ la densité de courant dans les conducteurs ( cs est la
section d’un conducteur) et par pL 2Se τ= la surface de l’entrefer, le rapport entre les pertes Joule et la surface de l’entrefer vaut :
δρδτ
ρτ
ρρ Adp
InpLsd
LIndI
sLn
===⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
2
2SSP
2
22
ee
J
A partir des formules (encadrées) précédentes, on obtient aisément la relation de Fischer-Hinnen :
τ3 =24
1α λ η cos ϕ Kd Ke A Be max
Pu
p f
On en déduit :
λτ
πτ==
LpD /2
Remarque
Le volume du rotor de la machine vaut λτπ
τππ 22 2
44⎟⎠⎞
⎜⎝⎛==
pLDV , soit
V =
24 π
1α η cos ϕ K dKe A Be max
p Pu
f
Ordres de grandeur
• α est compris entre 0,7 (grosses machines) et 0,9 (petites machines) • λ est compris entre 1 à 1,5 (p=1) et 2,5 (p=10) • η et cos ϕ sont donnés en première approximation par le tableau suivant
Pu 100 W 1 kW 10 kW 2000 kW η 55% 75% 87% 96% cos ϕ
(1500 tr/min) 0,7 0,75 0,84 0,87
Le cos ϕ décroît si la vitesse diminue : pour une machine de 10 kW, il varie de 0.88 (3000 tr/min) à 0.82 (750 tr/min)
• KdKe ≅ 0, 9
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 150
• A varie entre 250 et 400 A/cm pour des puissances croissantes (plus A est élevé, plus la réactance de fuite est importante)
• Be max est compris entre 0,65 et 1 Wb/m2 (limité par la nécessité de limiter la saturation dans les dentures)
• τ doit être supérieur à 6 cm (pour avoir des dents suffisamment larges) et inférieur à 80 cm (pour limiter les forces centrifuges car la vitesse périphérique vaut v=2 f τ )
Algorithme :
soient α, λ, η, cos φ, K, A, Bemax, q, p, f, Pu calculer le pas polaire : τ la longueur du stator L= τ λ le diamètre intérieur du stator D=2pτ/π
1.3. ENCOCHES
Il y a intérêt à choisir un nombre d’encoches par pôle et par phase m élevé afin de réduire la réactance de fuite X1. Néanmoins, le pas de denture τd ne peut être trop faible
• 8 à 25 mm en BT < τd < 40 à 50 mm en HT La largeur minimale de dent ld sera choisie de telle sorte que l’induction maximum dans les dents Bdmax ne soit pas trop élevée (1,5-1,8 Tesla). On a donc
dedd BlB τmaxmax = Le type d’encoche sera choisi correspondra à un des modèles représentés sur la figure 5.
Notons o les types a et b sont des encoches rectangulaires pour des bobinages à un ou
deux étages (machines de grosse puissance) o les types c et d sont utilisés pour les rotors à cages o les types e et f sont dimensionnées de telle sorte que la largeur de la denture
est constante (machines de faible puissance) o l’ouverture de l’encoche c et la valeur de h4 doivent être choisis pour limiter le
flux de fuite d’encoche (c > 1,5 mm; h4 < 0,75 mm) Le nombre de conducteurs par encoche se déduit de la formule
nceId
= A τd
La section des conducteurs sc dépend de la densité de courant admissible, laquelle est en corrélation avec A, car l’échauffement du stator dépend de A δ.
• En unités MKSA, le produit A δ est compris entre 10 1010 et 20 1010 selon l’efficacité de la ventilation.
• δ est généralement compris entre 4 et 8 A/mm2.
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 151
fig 5
L’intérieur de l’encoche doit être tapissé d’un isolant afin de protéger électriquement et mécaniquement les conducteurs. L’épaisseur indicative de cet isolant est donnée par le tableau suivant U (volts) <500 500 1000 2000 4000 6000 e (mm) 0,3 0,7 1,3 1,3 1,7 2,3 Pour le dimensionnement de l’encoche, il faut également tenir compte de l’isolant qui doit entourer chaque conducteur et du coefficient de remplissage. Les conducteurs sont maintenus dans l’encoche grâce à une cale en bakélite de 2 à 5 mm d’épaisseur (selon la largeur de l’encoche). Algorithme :
• sachant que τ=q m τd, • déterminer m de telle sorte que τd soit acceptable • choisir le type d’encoche • choisir la largeur des dents ld • calculer nce • fixer δ de telle sorte que Aδ soit acceptable • calculer sc • en tenant compte des encombrements, dimensionner l’encoche
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 152
1.4. NOYAU
Le flux produit se referme sous les encoches et vaut Φ/2. L’induction maximum dans le noyau Bnmax sera limitée à 1,2 à 1,4 T. 1.5. ENTREFER
Pour les moteurs asynchrones, l’épaisseur de l’entrefer sera choisie le plus faible possible, en tenant compte que le stator et le rotor ne peuvent entrer en contact . En pratique, on peut adopter comme première approximation :
δ entrefer = (0,2 + D.L ) 10−3 (longueurs exprimées en m)
1.6. EVALUATION DE LA RESISTANCE DES BOBINAGES
Pour calculer la résistance d’une phase, il faut évaluer la longueur des conducteurs en tenant compte des têtes de bobine. Si les dimensions des conducteurs ne sont pas négligeables vis-à-vis de la profondeur de pénétration, il faut tenir compte de l’effet pelliculaire (voir annexe B de ce chapitre). 1.7. EVALUATION DE L’INDUCTANCE DE FUITE DES BOBINAGES
L’inductance de fuite d’un bobinage représente la partie du flux produit par ce bobinage et qui n’influence pas les bobinages situés de l’autre côté de l’entrefer. On distingue :
• l’inductance de fuite d’encoche : elle résulte du fait qu’une partie du flux produit par les conducteurs situés dans une encoche n’entre pas dans l’entrefer (voir annexe). Cette inductance de fuite est influencée par l’effet pelliculaire qui peut naître dans les conducteurs de l’encoche.
• l’inductance de fuite des têtes de dents : représente la partie du flux produit par les conducteurs qui se referme dans l’entrefer sans atteindre l’autre côté de celui-ci. Elle est souvent négligeable .
• l’inductance de fuite des têtes de bobines : elle représente le flux entourant les conducteurs situés aux extrémités du bobinage et servant à relier les encoches entre elles (voir annexe)
• l’inductance de fuite de dispersion différentielle : le flux produit par un bobinage n’est pas sinusoïdal et il comporte des harmoniques spatiaux; il en résulte qu’une partie de ce flux traverse l’entrefer mais ne produit pas de force électromotrice dans les bobinages situés de l’autre côté de l’entrefer
L’inductance de fuite totale est la somme de ces quatre termes :
dtbtd λλλλ ++= L’annexe C de ce chapitre fournit des indications relatives à l’évaluation des inductances de fuite.
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 153
2. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR ASYNCHRONE A ROTOR BOBINE
Le calcul du rotor s’effectue comme celui du stator en tenant compte des remarques suivantes :
• le nombre de pôles et de phases rotoriques sont identiques à ceux du stator; • le rotor est couplé en étoile (pour éviter les courants homopolaires); • la tension rotorique est choisie inférieure à 220 V pour les petites et moyennes
puissances afin de faciliter l’isolement; • pour éviter des points morts au démarrage, m2 est choisi premier avec m1 et le plus
grand possible en maintenant τd compris entre 15 et 30 mm; • à vide : U2I2 ≈ 0,9 U1I1; • les résistance R2 et la réactance de fuite X2 se calculent comme pour le stator;
• R’2 = R2 / τ2 X’2 = X2 / τ2 I’2 = τ I2 211
122
1
2
dnKdnK
EE
==τ .
3. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR ASYNCHRONE A SIMPLE CAGE
Les encoches sont généralement de forme circulaire ou telles que la denture soit de section constante: Le nombre de barres N2 sera choisi de telle sorte qu’il n’y ait pas de points morts dans le couple. En pratique, on choisit N2 pair et N 2 ≅ 0, 9 N1 ( N1 = 2p m1 q1 est le nombre d’encoches statoriques); Les barres de cuivre ou d’aluminium sont logées dans des encoches sans isolation intermédiaire. La densité de courant admissible est de l’ordre de 3 à 6 A/mm2; Aux deux extrémités, les barres sont court-circuitées par des anneaux de court-circuit. Evaluation du courant dans une barre Sachant que 111222 9,0 IEqIEN ≅
avec Φ= 22 1
11
11 K
dqnE ω
et Φ= 222
ωE ,
on obtient : τ
12 9,0 II =
avec 11
21
KnNd
=τ
Dans l’anneau, le courant vaut
2
2
sin 2N
pII a π
=
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 154
car ( )2/2
2 /sin22 NpIeIII aNpj
aa ππ =−= (voir figure 6)
π
fig 6
4. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR ASYNCHRONE A ENCOCHES PROFONDES
Dans ces moteurs, les encoches rotoriques sont allongées (type c voir figure 5). Pour le calcul, on peut admettre en première approximation qu’entre la vitesse de synchronisme et le glissement correspondant au couple maximum, le courant est quasiment réparti uniformément dans la barre. Au démarrage (g=1), on peut considérer que la résistance est celle d’une barre de même largeur et de hauteur égale à 1 cm (pour 50 Hz). Dans les mêmes conditions, l’inductance de fuite d’encoche est approximativement celle d’une barre de 1,5 cm de hauteur (50 Hz) parcourue par un courant uniforme. 5. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR ASYNCHRONE A DOUBLE CAGE
La figure 7 montre les configurations les plus fréquentes. La réactance de fuite de la cage intérieure est élevée et sa résistance faible, de telle sorte que c’est elle qui prédomine lorsque le glissement est faible. La cage extérieure, dont la résistance est élevée et la réactance faible intervient au démarrage. Les calculs s’effectuent de la manière suivante :
• On effectue un premier calcul de N2 et de la section des barres sb et de l’anneau sa comme pour une simple cage.
• Ensuite, on répartit la résistance de barre et d’anneau entre les 2 cages de la manière suivante : 80 % pour la cage extérieure et 20 % pour la cage intérieure. Les 2 cages sont distantes de 10 à 20 mm.
• Au démarrage, la cage extérieure intervient pratiquement seule, tandis qu’à la vitesse de synchronisme, c’est principalement la cage intérieure qui travaille.
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 155
fig 7
6. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR A RELUCTANCE VARIABLE
La figure 8 représente un tel moteur comportant 4 pôles.
Fig 8
L’expression générale du couple est :
int
2
2sin2
δω dq
qd
LLLLUpqC
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
avec q nombre de phases statoriques p nombre de paires de pôles U tension d’alimentation du stator dL inductance directe de la machine
qL inductance transversale de la machine
δ int angle interne de la machine (angle entre l’axe du champ statorique et l’axe magnétique du rotor divisé par la nombre de paires de pôles)
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 156
Fig 9
Dans le cas d’un bobinage triphasé, on pourra évaluer les valeurs de dL et qL à partir du calcul de l’énergie magnétique emmagasinée dans le cas où l’axe magnétique correspond à celui du flux (fig 9.a pour une machine bipolaire) et dans le cas où l’axe magnétique est orthogonal à celui du flux (fig 9.b)
(a) dvBIL Md ∫=
0
22
24 µ
(b) dvBIL Mq ∫=
0
22
24 µ
• MI est la valeur de crête des courants triphasés circulant dans les bobinages • l’intégrale de la densité d’énergie magnétique s’effectue en principe sur tout
l’espace, mais les contributions des éléments suivants sont généralement négligeables :
o l’espace extérieur au moteur o les circuits magnétiques.
7. CALCUL DU ROTOR D’UN MOTEUR A AIMANTS PERMANENTS
L’expression générale du couple est :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+= int
2
int2 2sin21sin1 δ
ωδ
ω dq
qd
d
v
LLLLU
LUEpqC
avec q nombre de phases statoriques p nombre de paires de pôles U tension d’alimentation du stator dL inductance directe de la machine
qL inductance transversale de la machine
Ev force électromotrice induite par les aimants
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 157
δ int angle interne de la machine (angle entre l’axe du champ statorique et l’axe magnétique du rotor divisé par le nombre de paires de pôles)
SN
SN
S N
SN
SN
S N
SN
SN
SN
SN
S N SN
(c)(b)(a) Fig 10
Le bobinage rotorique des moteurs synchrones peut être remplacé par des aimants permanents. Il en résulte un meilleur rendement du moteur vu l’absence de pertes joules rotoriques. Différentes possibilités existent quant à la disposition des aimants sur le rotor (voir figure 10). Selon le matériau utilisé pour réaliser les aimants, la valeur moyenne de l’induction dans l’entrefer varie de 0.3 à 0.7 Tesla. Du fait de la très faible perméabilité des aimants permanents, il résulte que la largeur de l’entrefer est augmentée fictivement de ah µ/ ou h est l’épaisseur de l’aimant et aµ sa perméabilité relative. Dans certains cas, l’entrefer effectif selon l’axe d peut être supérieur à celui de l’axe q. Alors
qd XX < et le couple a l’allure indiquée sur la figure 10. Dans ce cas, la machine ne possède pas de point de fonctionnement stable au voisinage de 0int =δ . Les moteurs synchrones à aimants permanents possèdent généralement une cage rotorique. Cette cage permet d’une part le démarrage autonome de la machine et d’autre part elle protège les aimants permanents contre la désaimantation pendant la phase de démarrage, du moins lorsque les aimants se trouvent à l’intérieur de la cage. A faible vitesse, à côté du couple asynchrone engendré par la cage, le moteur possède un couple de freinage, dû au fait que les bobinages statoriques court-circuitent la force électromotrice engendrée par la rotation des aimants permanents. Ce phénomène détériore les performances de ce type de moteur au démarrage. Lors du dimensionnement du moteur, il faut s’assurer que dans tous les cas de fonctionnement, l’état magnétique de l’aimant demeure sur la droite de recul (figure 12).
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 158
Fig 11
Fig 12
Le tableau suivant indique quelques caractéristiques d’aimants permanents :
(BH)max (kJ/m3)
Br (T)
Hc (kA/m)
Alnico 40 1,2 52 Ferrite 26 0,37 240 SmCo5 160 0,9 660 Sm(0.5)Pr(0,5)Co5 200 1,0 800 Sm2Co17 200 1,025 730 Nd2Fe14B 250 1,12 775 Re2Fe14 238 1,13 835
Si les aimants comprenant des terres rares paraissent plus intéressants que ceux au Samarium-Cobalt, il faut cependant tenir compte de leur prix plus élevé et du fait que leurs propriétés magnétiques se dégradent plus rapidement lorsque la température de fonctionnement augmente (voir tableau suivant).
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 159
Coefficient de température de Br (%/K) de Hc (%/K) SmCo -0,03 -0,3 Nd2Fe14B -0,126 -0,6
8. MOTEURS PAS A PAS
Les moteurs pas à pas font partie de la famille des moteurs à réluctance variable et/ou à aimants permanents. L’expression générale du couple est :
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
pdq
qd
pd
v
LLLLU
LUEKC
βδ
ωαδ
ω2sin
21sin1 2
2
avec U tension d’alimentation du stator Ev force électromotrice induite par les aimants éventuels dL inductance directe de la machine (réluctance minimale)
qL inductance transversale de la machine (réluctance maximale)
δ angle interne de la machine (angle entre l’axe du champ statorique et la position de réluctance minimale la plus proche)
pα pas angulaire du moteur
Note : les lignes et les illustrations qui suivent sont inspirées de JUFER « Electromécanique » publié chez Dunod 8.1. MOTEUR RELUCTANT MULTICIRCUITS
Ces moteurs comportent plusieurs circuits statoriques indépendants (un par phase) ; les circuits rotoriques sont communs ou indépendants. Les nombres de dents du stator et du rotor sont égaux ( sr ZZ = ).
Fig 13
La figure 13 représente un tel moteur triphasé. Si rZ est le nombre de dents rotoriques, le pas dentaire angulaire du rotor vaut rr Z/2πα = . Les trois parties du stator sont décalées l’une par rapport à l’autre d’un angle qrp /αα = où q désigne le nombre de phases. Le nombre de
pas par tour vaut par conséquent rpp qZN == απ /2 .
Propriétés :
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 160
• moteur relativement volumineux. • nécessite un minimum de 3 phases • inductance mutuelle nulle entre les phases statoriques. • pas de couple à courant nul
8.2. MOTEUR RELUCTANT A SIMPLE CIRCUIT
Fig 14
Un tel moteur est représenté sur la figure 14. Le stator de ce moteur est triphasé et possède un pas dentaire ss Z/2πα = . Le pas dentaire du rotor est égale à rr Z/2πα = . Le pas angulaire du moteur vaut rssrsrp ZZZZ /2 −=−= πααα .
Le nombre de pas par tour vaut par conséquent
srsrpp ZZZZN −== //2 απ
Une période électrique correspond à q (nombre de phases) impulsions, soit à une rotation d’un angle égal à pr qαα = . Dès lors,
srs ZZZq −= / .
Le nombre de phases est généralement compris entre 3 et 8. Le tableau suivant donne quelques exemples :
pN pα qsZ rZ
6 60° 3 3 2 12 30° 3 6 4
120 3° 3 60 40 24 15° 4 8 6 60 6° 4 20 15
120 3° 4 24 30 La figure 15 présente un autre type de moteur réluctant à simple circuit comportant le même pas dentaire au stator et au rotor. Dans ce cas-ci, les pôles du stator sont décalés l’un par rapport à l’autre d’un angle qrp /αα = . Alors, le nombre de pas par tour est égal à
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 161
rpp qZN == απ /2
Cette disposition permet d’obtenir un nombre de pas par tour est élevé avec une nombre de bobines statoriques faible. Le moteur représenté sur la figure 15 comporte 4 phases et il effectue 72 pas par tour.
Fig 15
Propriétés : • moteur compact • nécessite un minimum de 3 phases • pas de couple à courant nul • possibilité d’obtenir un grand nombre de pas par tour avec peu de bobinages
statoriques 8.3. MOTEUR ELECTROMAGNETIQUE
Ce type de moteur comporte un aimant permanent (figure 16 et 17). En l’absence de courant : • le rotor n’est pas libre de tourner comme dans le cas des moteurs réluctants. • ce moteur possède un nombre de positions d’équilibre stable égal au nombre de pas.
Contrairement au moteur réluctant qui nécessite un minimum de 3 phases, le moteur électromagnétique peut ne comporter que deux phases pour autant que l’on puisse inverser le courant dans ces phases. Le moteur représenté sur la figure 15 comporte deux phases. En les alimentant dans l’ordre +A, +B, -A, -B, on fait tourner le moteur dans le sens antihoraire.
Fig 15 Fig 16
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Moteurs électriques 162
Le moteur de la figure 16 comporte 8 pas par tour. Propriétés :
• moteur compacts. • possibilité de réaliser des version biphasées • couple non nul à courant nul • moteur comportant peu de pas par tour
8.4. MOTEUR RELUCTANT POLARISE
Le moteur réluctant polarisé est un moteur réluctant auquel on a ajouté un aimant permanent afin de lui permettre de développer un couple à courant nul. La figure 18 montre le principe d’un tel moteur à 4 phases et 72 pas par tour. Le rotor comporte deux parties, reliées par un aimant permanent à aimantation axiale. Le circuit magnétique de l’aimant se referme par les entrefers et le stator. Les positions d’équilibre stable au repos sont celles correspondant à la réluctance minimale de ce circuit magnétique (en nombre égal au nombre de pas par tour). Propriétés :
• moteur compact • nécessite un minimum de 3 phases • couple non nul à courant nul • possibilité d’obtenir un grand nombre de pas par tour avec peu de bobinages
statoriques
Fig 18
CHAPITRE 10 - ANNEXE A BOBINAGES POLYPHASES
1. INTRODUCTION
Les machines tournantes à courants alternatifs sont composées d’un stator et d’un rotor séparés par un entrefer. Le stator et le rotor comportent des enroulements parcourus par des courants continus ou alternatifs qui produisent dans l'entrefer des champs magnétiques glissants. L'interaction entre les champs glissants produits par le stator et par le rotor engendre le couple mécanique dans la machine. 2. CONSTITUTION DES BOBINAGES POLYPHASES.
2.1. ENROULEMENT A UN ETAGE A M ENCOCHES PAR POLE ET PAR PHASE.
2.1.1. Disposition des conducteurs dans les encoches. Par définition, le pas polaire τ est la distance, mesurée à la périphérie de l'entrefer, séparant les axes de deux pôles magnétiques successifs de polarité différente. Par conséquent, si ρI désigne le rayon de la machine et si celle-ci comporte 2p pôles, on a :
τ =2 π ρI
2 p=
π ρI
p.
Soit q le nombre de phases et m le nombre d'encoches par pôle et par phase. Le bobinage comporte alors 2 pm q encoches identiques réparties uniformément à la périphérie de l'entrefer. La distance τd séparant les axes de deux encoches successives est appelée pas de denture et vaut :
τd =2 πρI
2p q m=
τq m
.
Dans chaque encoche sont logés na conducteurs identiques. La figure 1 montre la disposition des conducteurs d'un bobinage statorique triphasé tétrapolaire comportant deux encoches par pôle et par phase (p = 2, q = 3, m = 2). Afin de ne pas surcharger le dessin, un seul conducteur a été dessiné dans chaque encoche et on a supposé que les encoches enveloppent complètement les conducteurs. La figure 2 représente une vue développée de cet enroulement.
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe B 166
1
2'
2'
3
3
1'
1'
2
2
3'
3'
1
1
2'
2'
3
3
1'
1'
2
2
3'
3'
1
τ
τ
m=2p=2q=3
µ >>
µ = µ0
µ >>rotor
stator
entrefer
Fig 1.
τ
m=2p=2q=32 τ / 3
1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'
2 τ / 3
τ τ τ
µ >>
µ = µ0
1
τd
Fig 2.
Le nombre total de conducteurs logés dans les encoches est égal à : anmqpn 2= Supposons que l'encoche située à l'extrême gauche de la figure 2 constitue le départ de la première phase et qu’en suivant le bobinage, cette encoche soit parcourue dans le sens indiqué sur la figure (du recto vers le verso de la feuille). Comme la première encoche, les (m-1) encoches suivantes font partie de la première phase et sont parcourues dans le même sens que la première. L’encoche distante d’un pas polaire τ de la première encoche, ainsi que les (m-1) encoches suivantes, font également partie de la première phase, mais elles sont parcourues dans le sens contraire de l’encoche de départ. S'il y a plusieurs paires de pôles, la disposition précédente (m encoches parcourues dans un sens, m encoches parcourues en sens contraire) est répétée à des distances 2τ , 4τ ,... 2(p −1)τ de la première encoche. L'ensemble de ces conducteurs ainsi que leurs interconnexions constituent la première phase du bobinage. La seconde phase est identique à la première, mais elle est décalée spatialement de 2τ / q par rapport à la première. La troisième phase, également identique à la première, est décalée spatialement de 2τ / q par rapport à la seconde et ainsi de suite...
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe B 167
Tous les bobinages polyphasés à un étage sont réalisés de cette manière. Ils se distinguent néanmoins par la manière dont les conducteurs sont reliés entre eux en dehors des encoches, c’est-à-dire au niveau des têtes de bobines. 2.1.2. Disposition des têtes de bobines. Enroulement concentrique avec têtes de bobines sur trois rangs. La figure 3 montre une vue développée d’un tel bobinage. Sur cette figure, les parties de conducteurs situées dans les encoches sont représentées en traits épais. Ce type de bobinage peut être fractionné en plusieurs parties en ne sectionnant que des raccords monofilaires entre bobines (section PQ sur la figure). Il est utilisé pour la réalisation du stator des très grosses machines qui doivent être démontées pour le transport.
m=2p=2q=3
1 2 3 3' 1' 2'
P
Q
1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'
Fig 3.
Enroulement concentrique avec têtes de bobines sur deux rangs. La figure 4 représente un tel bobinage. Il est plus compact que le précédent, mais il n'est pas fractionnable.
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe B 168
m=2p=2q=3
1 3' 2 1'3 2'
1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'
Fig 4.
Bobinage Alioth. Comme indiqué sur la figure 5, les sections de ce type de bobinage sont de forme trapézoïdale. Le bobinage Alioth est compact, mais il ne convient qu'en basse tension, car les têtes de bobines des différentes phases sont accolées.
m=3p=2q=3
1 1'
1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2' 1 1 3' 3' 2 2 1' 1' 3 3 2' 2'1 3' 2 1' 3 2' 1 3' 2 1' 3 2'
Fig 5.
2.1.3. Force électromotrice induite dans les enroulements à un étage
Φ= 22 dKdq
nE ω
mq
qKd
2 sin m
2 sin
π
π
=
• ω est la pulsation;
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe B 169
• d est le nombre de dérivations d’une phase (conducteurs en parallèle); • Kd est le facteur de bobinage; • Φ est le flux d’induction magnétique par pôle
2.2. ENROULEMENT A DEUX ETAGES.
Dans les enroulements à deux étages, également appelés enroulements à deux couches, chaque encoche comporte deux groupes de conducteurs identiques (de même section et en même nombre) qui sont disposés l’un au-dessus de l’autre (voir figure 6).
étage 2
étage 1
Fig 6.
2.2.1. Enroulement imbriqué diamétral. Dans l’enroulement imbriqué diamétral, la disposition des conducteurs dans les encoches est identique à celle des bobinages en une seule couche, sauf qu'il y a deux groupes de conducteurs dans chaque encoche. La figure 7 montre le schéma des connexions de ce type d’enroulement. Pour faciliter la lisibilité de la figure, les conducteurs situés dans le haut de l’encoche sont représentés en trait plein tandis que ceux situés dans le bas de l’encoche sont dessinés en pointillés et légèrement décalés par rapport aux premiers. Les têtes de bobines sont, comme dans les machines à courant continu, de forme hélicoïdale.
m=2p=2q=3
1 1' Fig 7.
2.2.2. Enroulement imbriqué à pas raccourcis. Dans l'enroulement imbriqué à pas raccourcis (voir figure 8), la partie du bobinage située au fond des encoches est décalée par rapport à la partie supérieure d'un nombre entier d'encoches
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe B 170
de telle sorte que l'ouverture des sections est inférieure au pas polaire. Nous verrons plus loin l'avantage que l'on peut retirer d'une telle disposition. La figure 8 montre le schéma des connexions d'un tel enroulement lorsque le raccourcissement de pas est d’une encoche.
m=2p=2q=3
1 1' Fig 8.
2.2.3. Enroulement ondulé. La figure 9 représente un tel enroulement qui peut être, soit diamétral, soit à pas raccourcis.
m=2p=2q=3
1 1' Fig 9.
2.2.4. Force électromotrice induite dans les enroulements à deux étages
Φ= ed KKdq
nE 22
ω
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe B 171
mq
qKd
2 sin m
2 sin
π
π
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
τπ 1
2sin yKe
• ω est la pulsation; • d est le nombre de dérivations d’une phase (conducteurs en parallèle); • Kd est le facteur de bobinage; • Ke est le facteur d’embrassement • Φ est le flux d’induction magnétique par pôle • τ est le pas polaire • τ/1y est l’embrassement relatif des sections du bobinage.
3. INTERET DE MULTIPLIER LE NOMBRE D'ENCOCHES PAR POLE ET PAR PHASE
La répartition des conducteurs d'un bobinage dans plusieurs encoches a pour effet de réduire l'amplitude de la composante fondamentale du champ magnétique produit par un bobinage ainsi que celle de la composante fondamentale de la force électromotrice produite aux bornes de ce bobinage. Le tableau suivant, qui indique la valeur du facteur de distribution pour des enroulements triphasés, montre que le facteur de distribution relatif au fondamental reste élevé lorsque le nombre d'encoches par pôle et par phase augmente. Dans ce même tableau, on peut voir que la multiplication du nombre d'encoches par pôle et par phase produit par contre une réduction importante de l'amplitude des harmoniques. En multipliant le nombre d'encoches, l'allure du champ magnétique se rapproche de la sinusoïde idéale. Cette remarque est également valable pour les forces électromotrices que nous évaluerons au paragraphe suivant. Nous avons vu que le champ magnétique produit par un enroulement comporte une composante fondamentale et des harmoniques. La composante fondamentale étant la seule recherchée, le reste du flux produit par le bobinage (celui relatif aux harmoniques) constitue un flux de fuite, dénommé flux de dispersion différentielle. On peut montrer que l'inductance associée à ce flux de fuite (voir annexe C) est proportionnelle à
Σ =K d,2 j+1
2j +1⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
2
j=1
∞
∑ .
La dernière colonne du tableau précédent indique la valeur de ce dernier coefficient.
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe B 172
valeur de Kd pour un bobinage triphasé
m fondamental harmonique 5
harmonique 7
harmonique 11
harmonique 13
harmonique 17
harmonique 19 1000 Σ
1 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 96.6 2 0.966 0.259 0.259 0.966 0.966 0.259 0.259 26.5 3 0.960 0.218 0.177 0.177 0.218 0.960 0.960 13.0 4 0.958 0.205 0.158 0.126 0.126 0.158 0.205 8.2 5 0.957 0.200 0.149 0.109 0.102 0.102 0.109 5.9 6 0.956 0.197 0.145 0.102 0.092 0.084 0.084 4.7 7 0.956 0.196 0.143 0.097 0.086 0.075 0.072 4.0 8 0.956 0.194 0.141 0.095 0.083 0.070 0.066 3.5 9 0.955 0.194 0.140 0.093 0.081 0.066 0.062 3.2 10 0.955 0.193 0.140 0.092 0.079 0.064 0.060 3.0 11 0.955 0.193 0.139 0.091 0.078 0.063 0.058 2.8 12 0.955 0.193 0.139 0.090 0.078 0.062 0.057 2.7 13 0.955 0.192 0.138 0.090 0.077 0.061 0.056 2.5 14 0.955 0.192 0.138 0.089 0.076 0.060 0.055 2.5 15 0.955 0.192 0.138 0.089 0.076 0.060 0.054 2.4
4. INTERET DU RACCOURCISSEMENT DE PAS
Le raccourcissement du pas a un effet analogue à celui de la multiplication du nombre d'encoches par pôle et par phase. Le tableau suivant indique la valeur du coefficient de bobinage (produit du facteur de distribution et du facteur d'embrassement) ainsi qu'en dernière colonne, le coefficient de flux de fuite de dispersion différentielle
Σ =K d,2 j+1 Kd,2 j+1
2j +1⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠
2
j=1
∞
∑ .
Ce tableau montre que le raccourcissement du pas d'enroulement permet de réduire, voire d'annuler les harmoniques 5 et 7 qui sont les plus gênants. Dans les moteurs asynchrones, l'harmonique 7 du champ magnétique est le plus gênant, car il se déplace dans le même sens que le champ magnétique fondamental. En pratique, afin de ne pas trop réduire l'amplitude du champ magnétique fondamental, on choisit généralement un rapport y1 / τ > 2 / 3. L'optimum se trouve généralement au voisinage de y1 / τ = 0.8, valeur qui conduit à l'annulation de l'harmonique 5.
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe B 173
valeur de Kd Ke pour un bobinage triphasé rang de l'harmonique y1 / τ 1 5 7 11 13 17 19 1000 Σ
m=1 3/3 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 96.62 2/3 0.866 0.866 0.866 0.866 0.866 0.866 0.866 72.47 m=2 6/6 0.966 0.259 0.259 0.966 0.966 0.259 0.259 26.53 5/6 0.933 0.067 0.067 0.933 0.933 0.067 0.067 20.49 4/6 0.837 0.224 0.224 0.837 0.837 0.224 0.224 19.90 m=3 9/9 0.960 0.218 0.177 0.177 0.218 0.960 0.960 12.95 8/9 0.945 0.140 0.061 0.061 0.140 0.945 0.945 10.27 7/9 0.902 0.038 0.136 0.136 0.038 0.902 0.902 9.02 6/9 0.831 0.188 0.154 0.154 0.188 0.831 0.831 9.72 m=4 12/12 0.958 0.205 0.158 0.126 0.126 0.158 0.205 8.16 11/12 0.949 0.163 0.096 0.016 0.016 0.096 0.163 6.65 10/12 0.925 0.053 0.041 0.122 0.122 0.041 0.053 5.34 9/12 0.885 0.079 0.146 0.048 0.048 0.146 0.079 5.39 8/12 0.829 0.178 0.136 0.109 0.109 0.136 0.178 6.12 7/12 0.760 0.204 0.021 0.077 0.077 0.021 0.204 5.34 m=5 15/15 0.957 0.200 0.149 0.109 0.102 0.102 0.109 5.93 14/15 0.951 0.173 0.111 0.045 0.021 0.021 0.045 4.97 13/15 0.936 0.100 0.016 0.073 0.093 0.093 0.073 3.82 12/15 0.910 0.000 0.088 0.104 0.060 0.060 0.104 3.41 11/15 0.874 0.100 0.146 0.011 0.068 0.068 0.011 3.82 10/15 0.829 0.173 0.129 0.095 0.089 0.089 0.095 4.45 m=6 18/18 0.956 0.197 0.145 0.102 0.092 0.084 0.084 4.72 17/18 0.953 0.179 0.119 0.058 0.039 0.007 0.007 4.05 16/18 0.942 0.127 0.050 0.035 0.059 0.082 0.082 3.09 15/18 0.924 0.051 0.038 0.098 0.089 0.022 0.022 2.50 14/18 0.898 0.034 0.111 0.078 0.016 0.079 0.079 2.51 13/18 0.867 0.113 0.145 0.009 0.075 0.035 0.035 3.00 12/18 0.828 0.171 0.126 0.088 0.080 0.072 0.072 3.54
CHAPITRE 10 - ANNEXE B : RESISTANCE DE CONDUCTEURS DE
SECTION IMPORTANTE
EVALUATION DES PERTES JOULES
Dès que les dimensions des conducteurs ne sont plus négligeables vis à vis de la profondeur de pénétration, l’effet pelliculaire se fait sentir et la résistance effective des bobinages est supérieure à leur résistance en courant continu. Soit
RcRaK =
le coefficient de majoration de la résistance. Considérons une encoche comportant des conducteurs rectangulaires (figure 1).
a bcd
l
le
h
x
dx
fig 1
L’application de la loi d’Ampère le long du contour abcd donne immédiatement dxJ(x)aH(x)dx)H(x ee lll =−+
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe B 176
)( )( xJadx
xdH
el
l=
• J(x) est la densité de courant • a est le nombre de conducteurs disposés côte à côte • H(x) est le champ dans l’encoche.
L’application de la loi de Faraday le long d’un contour orthogonal au précédent et situé dans un conducteur donne immédiatement
LdxH(x)jLE(x)Ldx)E(x 0ωµ=−+
σJE =
)( )(0 xHj
dxxdJ µσω=
• ω est la pulsation • σ est la conductivité électrique • µ0 = 4π 10−7 est la perméabilité du vide.
On obtient donc )( )(02
2
xJajdx
xJd
el
lµσω=
Si on pose δ
µσωαγ hahhe
===l
l 2 0
(α est l’inverse de la profondeur de pénétration), la solution générale de l’équation précédente s’écrit :
xjchJxjshJxJ ba αα )1()1()( +++= En poursuivant les calculs, Emde a trouvé que pour une barre donnée, le coefficient de majoration de la résistance est donné par
)( cos)()0()( *
2
γψδγϕω
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛+==
JJ
JJK
RR ii
e
ahhl
l 2 0µσωαγ ==
γγγγγγψ
γγγγγγϕ
cos sin 2)(
2 cos2 2 sin2 )(
+−
=
−+
=
chsh
chsh
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe B 177
γ
ϕψ
fig 6
Ji est la valeur efficace du courant total circulant au-dessous du niveau de la barre considérée J est la valeur efficace du courant total circulant dans l’ensemble des barres situées au même niveau que la barre considérée
*δ est le déphasage entre les courants Ji et J Note : dans le cas d’un conducteur unique (moteurs asynchrones à encoches profondes), la formule se simplifie et on a :
RR
( )( )
( )ω
ϕ γ0
=
Dans ce cas, si h / δ est supérieur à 3, on a approximativement :
δρ
δω
lLhRR == )0()(
CHAPITRE 10 - ANNEXE C EVALUATION DES INDUCTANCES DE FUITE
1. INDUCTANCE DE FUITE D’ENCOCHE
Celle-ci résulte du fait qu’une partie du flux produit par les conducteurs situés dans une encoche n’entre pas dans l’entrefer (voir figure 1). Cette inductance de fuite est influencée par l’effet pelliculaire qui peut naître dans les conducteurs de l’encoche.
Fig 1
La figure ci-dessus montre l’allure du champ magnétique. L’énergie magnétique correspondant au flux de fuite d’encoche est essentiellement concentrée dans les conducteurs et le dessus de l’encoche. On pourra donc écrire pour une encoche
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe C 180
ecece
e
cem
me
Ldn
ch
chL
dn
cdInH
LhchcHdvHI
Σ=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +== ∫
3
3
221
21
2
2
012
2
2
01
12
202
02
1
µµλ
µµλ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=Σ
ch
chavec e 3
12
d’où
eee Ldq
nmp
pm Σ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
22
2
01
µλλ
On trouvera ci-dessous les valeurs de Σe valables pour d’autres types d’encoches.
Fig 2
Note : dans la figure g, l’abscisse représente l’embrassement relatif des sections (= 1 dans le cas d’enroulements à une couche)
encoche a :
ch
cah
ah
ah
e4321 2
3+
+++=Σ
encoche b :
ah
ch
cah
ahk
ahke 4
232 '
4322
'1
1 +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+++=Σ
(pour k1 et k2, voir graphique g) encoche c :
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe C 181
ch
e4623,0 +=Σ
encoche d :
ch
ah
e41
3623,0 ++=Σ
encoches e et f :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++≅Σ
chk
ahke
42
11 623,0
3
2. INDUCTANCE DE FUITE DES TETES DE BOBINES
L’inductance de fuite des têtes de bobines représente le flux entourant les conducteurs situés aux extrémités du bobinage et servant à relier les encoches entre elles . Elle est très difficile à calculer analytiquement (lignes de champ complexes, interaction avec les autres phases ....) Aussi se contente-t-on généralement d’une approximation semi-empirique:
λ tb ≅µ 0
2 p mn
q d⎛ ⎝ ⎜ ⎞
⎠ ⎟
2
0, 45 Ltb
Ltb est la longueur des têtes de bobines (1,6 à 2,3 τ) 3. INDUCTANCE DE FUITE DE DISPERSION DIFFERENTIELLE
Le flux produit par un bobinage n’est pas sinusoïdal et il comporte des harmoniques spatiaux; il en résulte qu’une partie de ce flux traverse l’entrefer mais ne produit pas de force électromotrice dans les bobinages situés de l’autre côté de l’entrefer. La figure 3 montre l’allure du champ et de sa composante fondamentale pour un bobinage triphasé à 2 encoches par pôle et par phase.
Fig 3
En calculant l’énergie magnétique associée aux champs harmoniques (située essentiellement dans l’entrefer), on obtient l’inductance de dispersion différentielle. Tous calculs faits, on trouve:
λ d =µ 0
2 qn
π d⎛ ⎝
⎞ ⎠
2 τ Lp δ e
Σd
CAO des systèmes électriques Chapitre 10 : Annexe C 182
où Σd est donné par la table qui suit: enroulement diamétral y1/τ idéal m y1/τ 103 Σd y1/τ 103 Σd 2 1 26,5 5/6 20,5 3 1 12,9 7/9 9 4 1 8,16 10/12 5,34 5 1 5,94 12/15 3,41 6 1 4,72 15/18 2,5 7 1 4 17/21 1,84 8 1 3,51 20/24 1,5 9 1 3,19 22/27 1,19 10 1 2,96 24/30 1,01 11 1 2,78 27/33 0,86 12 1 2,65 29/36 0,76 13 1 2,13 34/39 0,76 On remarquera que l’inductance de dispersion différentielle décroît si le nombre d’encoches par pôle et par phase m augmente (c’est normal, car le champ dans l’entrefer devient de plus en plus sinusoïdal). Pour m donné, il y a une valeur optimale du raccourcissement de pas qui conduit à un minimum de cette inductance.
RAPPELS D'ANALYSE VECTORIELLE FORMULES
grad a b grad a grad bdiv div divrot rot rot
div a grad a a divrot a grad a a rotdiv rot rot
div rotrot grad arot rot grad div
( ) ( ) ( )
( ) . ( ) ( ) . .
( ) ( )
( ) . (
+ = ++ = ++ = +
= += +
= −
==
= −
=
a b a ba b a b
b b bb b b
a b b a a b
a
a a a
a b c c
ΛΛ
∆
Λ Λ
00
a b b c a) . ( ) . = Λ
THEOREMES
div dv dsV
. a a n∫ ∫=Σ
(Théorème d'Ostrogradski)
rot advV∫ = nΛ a ds
Σ∫
rot a . n dsΣ∫ = a . dl∫ (Théorème de Stokes)
grad a dvV∫ = a n ds
Σ∫
IDENTITES DE GREEN
(a ∆ b − b∆ a)dvV∫ = (a grad b − bgrad a).ne ds
Σ∫
(a . ∆b − b.∆ a) dv
V∫ = (a divb+ aΛ rot b −bdiv a − bΛ rot a).ne ds
Σ∫
car a .∆ b = a .grad(div b) − a .rot(rot b)
= div(adiv b)− div adiv b + div(aΛ rot b) − rot a .rot b
TABLE DES MATIERES
Références............................................................................................................................... 2 CHAPITRE 1 : INTRODUCTION............................................................................................ 3
1. Schéma général de conception............................................................................................ 3 2. Méthodes numériques ......................................................................................................... 4
2.1. La méthode des différences finies ................................................................................ 4 2.2. La méthode des éléments finis...................................................................................... 4 2.3. La méthode des éléments de frontières......................................................................... 5
3. Modélisations...................................................................................................................... 5 CHAPITRE 2 EQUATIONS DE MAXWELL. FORMULATIONS POTENTIELLES.......... 7
1. Equations de Maxwell......................................................................................................... 7 2. Formulation électrostatique ................................................................................................ 9
2.1. Electrostatique : Potentiel scalaire................................................................................ 9 Formulation générale...................................................................................................... 9 Condition d’unicité....................................................................................................... 10
3. Formulations magnétostatiques ........................................................................................ 11 3.1. Magnétostatique : Potentiel vecteur ........................................................................... 11
Formulation générale.................................................................................................... 11 Conditions d'unicité...................................................................................................... 12
3.2. Magnétostatique : Potentiel scalaire total ................................................................... 13 Formulation générale.................................................................................................... 13 Unicité de la solution.................................................................................................... 15
3.3. Magnétostatique : Potentiel scalaire partiel................................................................ 15 4. Formulation électrocinétique ............................................................................................ 17 5. Formulation magnétodynamique ...................................................................................... 18
5.1. Magnétodynamique : Formulation A-V ..................................................................... 18 Formulation générale.................................................................................................... 18 Unicité de la solution.................................................................................................... 19 Cas du régime sinusoïdal.............................................................................................. 21
5.2. Magnétodynamique : Formulation T-Ω ..................................................................... 22 Formulation générale.................................................................................................... 22 Cas du régime sinusoïdal.............................................................................................. 23
5.3. Magnétodynamique : Formulation A*. ....................................................................... 24 6. Formulations électromagnétiques ..................................................................................... 25
6.1. Electromagnétisme : Formulation A-V ...................................................................... 25 Formulation générale.................................................................................................... 25
CAO des systèmes électriques Table des matières 186
Cas du régime sinusoïdal.............................................................................................. 26 6.3. Electromagnétisme: Potentiel de Hertz ...................................................................... 27
Formulation générale.................................................................................................... 27 Cas du régime sinusoïdal : ........................................................................................... 28
CHAPITRE 3 : METHODE DES ELEMENTS FINIS ........................................................... 29 1. Principes généraux ............................................................................................................ 29
1.1. Avertissement ............................................................................................................. 29 1.2. Notion d’élément fini.................................................................................................. 29 1.4. Eléments finis nodaux triangulaires du premier ordre................................................ 29
Définition ..................................................................................................................... 29 Espace réel et espace de référence ............................................................................... 31 Formule de transformation pour les dérivées............................................................... 32 Formule de transformation pour les intégrales............................................................. 33
1.5. Eléments finis d’arête du premier ordre ..................................................................... 34 1.6. Eléments finis de facette............................................................................................. 35 1.7. Eléments finis de volume ........................................................................................... 37 1.8. Espaces fonctionnels................................................................................................... 38 1.9. Diagramme de TONTI................................................................................................ 38 1.10. Autres types d’éléments finis ................................................................................... 39 1.11. Conclusion ................................................................................................................ 39
2. Electrostatique................................................................................................................... 40 2.1. Méthode variationnelle de Ritz-Rayleigh................................................................... 40
2.1.1. Principe............................................................................................................... 40 2.1.2. Démonstration .................................................................................................... 41 2.1.3. Interprétation physique....................................................................................... 42 2.1.4. Construction du système d’équations à résoudre ............................................... 42
2.2. Méthode des résidus pondérés.................................................................................... 43 2.3. Aspects particuliers..................................................................................................... 44
2.3.1. Symétries............................................................................................................ 44 Symétrie plane.......................................................................................................... 45 Symétrie axiale......................................................................................................... 45 Plan de symétrie/ d’antisymétrie .............................................................................. 45 Symétries et antisymétries cycliques........................................................................ 46
2.3.2. Points anguleux .................................................................................................. 46 2.3.3. Conducteurs à potentiel flottant ......................................................................... 46 2.3.4. Espaces non confinés ......................................................................................... 47
3. Magnétostatique................................................................................................................ 50 3.1. Modélisation nodale utilisant le potentiel vecteur...................................................... 50
3.1.1. Méthode variationnelle de Ritz-Rayleigh .......................................................... 50 3.1.2. Méthode des résidus pondérés............................................................................ 51
3.2. Modélisation nodale utilisant le potentiel scalaire ..................................................... 52 3.3. Modélisation nodale utilisant le potentiel scalaire partiel .......................................... 53 3.4. Eléments d’arête - formulation en A .......................................................................... 53 3.5. Aspects particuliers..................................................................................................... 55
Symétries...................................................................................................................... 55 Espaces non confinés ................................................................................................... 55 Couplage entre méthodes ............................................................................................. 55
Exemple : modélisations par potentiel scalaire partiel et potentiel scalaire total..... 55 4. Magnétodynamique........................................................................................................... 56
4.1. Méthode nodale A-V .................................................................................................. 56
CAO des systèmes électriques Table des matières 187
4.2. Méthode nodale T-Ω .................................................................................................. 58 4.3. Méthode des éléments d'arête - formulation en H. ..................................................... 59
4.3.1. Zones sans courants............................................................................................ 59 4.3.2. Zones à courants induits (et forcés).................................................................... 59
4.4. Méthode des éléments d'arête - formulation en A*..................................................... 60 4.4.1. Zones sans courants (ou à courants imposés)..................................................... 60 4.4.2. Zones à courants induits..................................................................................... 61
5. Résumé des méthodes (magnétostatique et magnétodynamique)..................................... 62 6. Encadrement de la solution par des méthodes duales dans les cas statiques .................... 62
ANNEXE AU CHAPITRE 3 ................................................................................................... 65 Note....................................................................................................................................... 65 Eléments de référence tridimensionnels ............................................................................... 65
Tétraèdre de référence de type I ........................................................................................ 65 Hexaèdre de référence de type I ........................................................................................ 67 Prisme à base triangulaire de référence de type I .............................................................. 69
Fonctions de base d’arête dans les éléments réels ................................................................ 72 CHAPITRE 4 METHODES NUMERIQUES ......................................................................... 73
1. Intégration numérique....................................................................................................... 73 1.1. Intégration à une dimension. ...................................................................................... 73
1.1.1. Méthode de Gauss. ............................................................................................. 73 1.1.2. Méthode de Newton-Cotes................................................................................. 74 1.1.3. Méthode de Patterson ......................................................................................... 74
1.2. Intégration à 2 et 3 dimensions................................................................................... 75 1.2.1. Utilisation de formules produit .......................................................................... 75 1.2.2. Formules directes ............................................................................................... 75
2. Intégration temporelle....................................................................................................... 75 2.1. Méthodes en "théta".................................................................................................... 75
Stabilité de la méthode ................................................................................................. 76 2.2. Méthodes de Runge-Kutta .......................................................................................... 77
3. Résolution de systèmes non linéaires : Méthode de Newton-Raphson ............................ 79 4. Résolution de systèmes linéaires ...................................................................................... 80
4.1. Méthodes directes ....................................................................................................... 81 4.1.1. Réalisation de la LU décomposition .................................................................. 81 4.1.2. Stratégie de pivotage .......................................................................................... 82 4.1.3. Raffinement itératif de la solution...................................................................... 82 4.1.4. Autres méthodes (pour mémoire)....................................................................... 82
Méthode frontale ...................................................................................................... 82 Méthode « ligne du ciel » (skyline).......................................................................... 82
4.2. Méthodes itératives..................................................................................................... 83 4.2.1. Cas des matrices symétriques définies positives................................................ 83
Principe des méthodes de pente. .............................................................................. 83 Méthode du gradient................................................................................................. 86 Méthode du gradient conjugué................................................................................. 86 Préconditionnement.................................................................................................. 88
4.2.2. Extension de la méthode du gradient conjugué à des matrices quelconques ..... 90 Méthode de l’équation normale................................................................................ 90 Méthode du résidu minimal (MINRES)................................................................... 91 Méthode généralisée du résidu minimal (GMRES) ................................................. 91
CHAPITRE 5 METHODE DES ELEMENTS FRONTIERES .............................................. 93
CAO des systèmes électriques Table des matières 188
1. Introduction....................................................................................................................... 93 2. Cas de l’électrostatique ..................................................................................................... 93
2.1. Position du problème .................................................................................................. 93 2.2. Fonction de Green ...................................................................................................... 94
Cas bidimensionnel plan .............................................................................................. 94 Cas axisymétrique ........................................................................................................ 95
2.3 Propriété fondamentale de la fonction de Green ......................................................... 96 2.4. Inversion des opérateurs différentiels......................................................................... 97
Interprétation physique................................................................................................. 98 Remarque ..................................................................................................................... 98
2.5. Méthode directe .......................................................................................................... 99 2.5.1. Principe............................................................................................................... 99
Exemple en 3D....................................................................................................... 100 2.5.2. Etablissement du système d’équations............................................................. 100
Discrétisation des frontières ................................................................................... 100 Conducteur à potentiel fixe .................................................................................... 101 Conducteur à potentiel flottant ............................................................................... 101 Frontière entre deux diélectriques .......................................................................... 101
2.6. Prise en compte des symétries au moyen de fonctions de Green modifiées ............ 102 Cas d'un plan d'(anti)symétrie ................................................................................ 102 Cas d'une géométrie cyclique................................................................................. 102
2.7. Difficultés numériques ............................................................................................. 102 Premier type de singularité :....................................................................................... 102 Second type de singularité : ....................................................................................... 103
2.8. Résolution du système d'équations ........................................................................... 104 3. Magnétostatique.............................................................................................................. 104
Inconnues et mise en équations ....................................................................................... 105 4. Magnétodynamique transitoire ....................................................................................... 105
Equations ......................................................................................................................... 105 Fonction de Green ........................................................................................................... 105 Inversion des opérateurs différentiels.............................................................................. 106 Inconnues et mise en équations ....................................................................................... 107
5. Magnétodynamique sinusoïdale...................................................................................... 107 Equations ......................................................................................................................... 107 Fonction de Green ........................................................................................................... 107 Inversion des opérateurs différentiels.............................................................................. 108 Inconnues et mise en équations ....................................................................................... 108
6. Electromagnétisme.......................................................................................................... 108 Cas du régime sinusoïdal ................................................................................................. 109
CHAPITRE 6 COUPLAGE ENTRE METHODES ............................................................. 111 Couplage entre méthodes de calcul de champ .................................................................... 111
Couplage entre éléments finis et méthodes intégrales..................................................... 111 EXEMPLE en magnétostatique ................................................................................. 111
Couplage entre modèles d’éléments finis. ....................................................................... 112 EXEMPLE en magnétostatique ................................................................................. 112
Couplage avec d’autres phénomènes physiques ................................................................. 112 Introduction ..................................................................................................................... 112 Couplage avec la mécanique ........................................................................................... 113 Couplage avec la thermique ............................................................................................ 113
CHAPITRE 7 ANALYSE DES RESULTATS ................................................................... 114
CAO des systèmes électriques Table des matières 189
1. Représentation graphique des résultats........................................................................... 114 2. Evaluation de grandeurs globales ................................................................................... 116
2.1. Calcul des courants................................................................................................... 116 ... à partir de la densité de courant :............................................................................ 116 ... à partir de la loi d’Ampère : ................................................................................... 116
2.2. Calcul des pertes Joule ............................................................................................. 117 ... à partir de la densité de courant :............................................................................ 117 ... à partir du vecteur de Poynting .............................................................................. 117
2.3. Calcul de l’énergie magnétique ................................................................................ 117 ... à partir du champ :.................................................................................................. 117 ... à partir des courants et du potentiel vecteur........................................................... 117
2.4. Calcul des inductances.............................................................................................. 117 ... à partir du flux embrassé : ...................................................................................... 117 ... à partir de l’énergie magnétique............................................................................. 118
2.5. Calcul des capacités.................................................................................................. 118 2.6. Calcul des forces....................................................................................................... 118
... à partir de la loi de Laplace .................................................................................... 118
... à partir des travaux virtuels .................................................................................... 119
... à partir du tenseur de Maxwell ............................................................................... 119 CHAPITRE 8 CONCEPTION DES DISPOSITIFS ELECTROTECHNIQUES STATIQUES................................................................................................................................................. 121
1. Bobine d’inductance à air ............................................................................................... 121 2. Bobine comportant un circuit magnétique...................................................................... 123
2.1. Bobine comportant un circuit magnétique à petit entrefer ou sans entrefer ............. 124 2.2. Bobine comportant un circuit magnétique à grand entrefer ..................................... 126
3. Inductances saturable ...................................................................................................... 126 4. Transformateur................................................................................................................ 126
4.1. Schéma équivalent.................................................................................................... 127 4.2. Circuits magnétiques monophasés............................................................................ 127
4.2.1 Transformateurs basse fréquence ...................................................................... 127 4.2.1 Transformateurs haute fréquence ...................................................................... 127
4.3. Circuits magnétiques triphases ................................................................................. 128 4.4. Formules et règles de bonne pratique : ..................................................................... 128 4.5. Calcul et optimisation............................................................................................... 130 4.6. Evaluation de la réactance Magnétisante.................................................................. 131 4.7. Evaluation de la réactance de fuite ........................................................................... 131 4.8. Paramètres supplémentaires à considérer ................................................................. 132 4.9. Suite des opérations .................................................................................................. 133
5. Autotransformateur ......................................................................................................... 133 CHAPITRE 9 CONCEPTION DE DISPOSITIFS COMPORTANT DES AIMANTS PERMANENTS ..................................................................................................................... 135
1. Introduction..................................................................................................................... 135 2. Caractéristique magnétique............................................................................................. 136 3. La droite de recul ............................................................................................................ 136 4. Point de fonctionnement ................................................................................................. 137 5. Schéma équivalent d’un circuit magnétique comportant un aimant permanent ............. 138 6. Force portante ................................................................................................................. 138 7. Modélisation des aimants................................................................................................ 139
Relations approchées ....................................................................................................... 140 8. Optimisation du volume de l’aimant............................................................................... 142
CAO des systèmes électriques Table des matières 190
9. Circuits magnetiques deformables.................................................................................. 142 CHAPITRE 10 CONCEPTION DES MACHINES ELECTRIQUES TOURNANTES....... 145
1. Calcul du stator d’une machine triphasée ....................................................................... 145 1.1. Bobinage et force électromotrice.............................................................................. 145 1.2. Dimensions principales : relation de Fisher-Hinnen ................................................ 148 1.3. Encoches................................................................................................................... 150 1.4. Noyau........................................................................................................................ 152 1.5. Entrefer ..................................................................................................................... 152 1.6. Evaluation de la résistance des bobinages................................................................ 152 1.7. Evaluation de l’inductance de fuite des bobinages................................................... 152
2. Calcul du rotor d’un Moteur asynchrone à rotor bobiné................................................. 153 3. Calcul du rotor d’un Moteur asynchrone à simple cage ................................................. 153 4. Calcul du rotor d’un Moteur asynchrone à encoches profondes..................................... 154 5. Calcul du rotor d’un Moteur asynchrone à double cage ................................................. 154 6. Calcul du rotor d’un Moteur à réluctance variable ......................................................... 155 7. Calcul du rotor d’un Moteur à aimants permanents........................................................ 156 8. moteurs pas à pas ............................................................................................................ 159
8.1. Moteur réluctant multicircuits .................................................................................. 159 8.2. Moteur réluctant à simple circuit.............................................................................. 160 8.3. Moteur électromagnétique........................................................................................ 161 8.4. Moteur réluctant polarisé.......................................................................................... 162
CHAPITRE 10 - ANNEXE A BOBINAGES POLYPHASES ............................................ 165 1. Introduction..................................................................................................................... 165 2. Constitution des bobinages polyphasés. ......................................................................... 165
2.1. Enroulement à un étage à m encoches par pôle et par phase.................................... 165 2.1.1. Disposition des conducteurs dans les encoches. .............................................. 165 2.1.2. Disposition des têtes de bobines....................................................................... 167
Enroulement concentrique avec têtes de bobines sur trois rangs. .......................... 167 Enroulement concentrique avec têtes de bobines sur deux rangs. ......................... 167 Bobinage Alioth. .................................................................................................... 168
2.1.3. Force électromotrice induite dans les enroulements à un étage ....................... 168 2.2. Enroulement à deux étages. ...................................................................................... 169
2.2.1. Enroulement imbriqué diamétral...................................................................... 169 2.2.2. Enroulement imbriqué à pas raccourcis. .......................................................... 169 2.2.3. Enroulement ondulé. ........................................................................................ 170 2.2.4. Force électromotrice induite dans les enroulements à deux étages.................. 170
3. Intérêt de multiplier le nombre d'encoches par pôle et par phase ................................... 171 4. Intérêt du raccourcissement de pas ................................................................................. 172
CHAPITRE 10 - ANNEXE B : RESISTANCE DE CONDUCTEURS DE SECTION IMPORTANTE ...................................................................................................................... 175
Evaluation des pertes joules................................................................................................ 175 CHAPITRE 10 - ANNEXE C EVALUATION DES INDUCTANCES DE FUITE ............ 179
1. Inductance de fuite d’encoche ........................................................................................ 179 2. Inductance de fuite des têtes de bobines ......................................................................... 181 3. Inductance de fuite de dispersion différentielle .............................................................. 181
RAPPELS D'ANALYSE VECTORIELLE ........................................................................... 183 Formules ............................................................................................................................. 183 Théorèmes........................................................................................................................... 183 Identités de Green ............................................................................................................... 183
CAO des systèmes électriques Table des matières 191
TABLE DES MATIERES ..................................................................................................... 185