Matematika DiskritBab 1.

Deret Tak HinggaFungsi Pembangkit

Indah Yanti

Pendahuluan Alat untuk menangani masalah – masalah pemilihan dan penyusunan dengan pengulangan

Menyelesaikan masalah yang tidak memperhatikan urutan

Banyak menggunakan deret kuasa2

Deret KuasaDEFINISI 1.1.Deret kuasa adalah deret takhingga yang berbentuk

Catatan:1.Deret kuasa di atas dapat dipandang sebagai

fungsi f dari X.2.Terdefinisi untuk nilai – nilai x yang jumlah

takhingganya konvergen.3.Asumsi: dipilih x yang membuat deret kuasa

konvergen

3

Perluasan Deret KuasaDEFINISI 1.2.Jika f mempunyai perluasan deret kuasa di titik c, yaitu jika

maka koefisiennya dapat dinyatakan dalam rumus

Jika disubstitusikan maka akan diperoleh

4

Deret Taylor

Fungsi Pembangkit BiasaDEFINISI 1.3.Fungsi Pembangkit Biasa (Ordinary Generating Function) dari barisan adalah deret takhingga

5

Fungsi Pembangkit BiasaContoh 1.1.Misalkan untuk k = 0, 1, 2, … . Maka fungsi pembangkit biasa dari barisan adalah

dengan syarat .6

Fungsi Pembangkit BiasaTEOREMA 1.4.Misal dan . Maka

dan

7

Fungsi Pembangkit BiasaTEOREMA 1.5.Misal barisan mempunyai fungsi pembangkit . Maka fungsi pembangkit untuk barisan

adalah . BUKTIKAN!!!8

Fungsi Pembangkit BiasaSoal 1. Misal diketahui

dengan menggunakan contoh 1.1. tentukan koefisien pada ekspansi

Soal 2. Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 3, 1, 3, 1, … .

Soal 3. Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, … .

9

Koefisien Binomial Diperluas

TEOREMA 1.6.Misal dan bilangan bulat nonnegatif. Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan oleh

10

Teorema Binomial Diperluas

TEOREMA 1.7.Misal dengan . Dan , maka

11

Fungsi Pembangkit Eksponensial

Misal a0, a1, a2, … adalah barisan bilangan real. Fungsi

disebut fungsi pembangkit eksponensial untuk barisan yang diberikan.Contoh 1.2.Barisan: 1, 1, 1, …, 1, 0, 0, …Fungsi pembangkit eksponensial:

12

2 3

0 1 2 30

( ) 2! 3! !i

ii

x x xf x a a x a a ai

2 3

01 2! 3! !

ix

i

x x xe xi

Soal-soalTentukan koefisien x10 dalam deret pangkat fungsi-fungsi berikut ini:

a.1/(1+x)2

b.1/(1-2x)

c.x4/(1-3x)3

13

Soal-soalAda berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik kepada 3 anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue?

Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara mendistribusikan 25 donat identik kepada 4 polisi sehingga setiap polisi mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7 donat.

Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara memilih pecahan mata uang bernilai Rp. 100, Rp. 500 dan Rp. 1000 jika kita ingin membayar suatu barang yang bernilai Rp. r, apabila: a. urutan pemilihan diperhatikan atau b. tidak diperhatikan.

14