Matematika Diskrit Bab 1. Deret Tak Hingga Fungsi Pembangkit Indah Yanti
Pendahuluan Alat untuk menangani masalah – masalah pemilihan dan penyusunan dengan pengulangan
Menyelesaikan masalah yang tidak memperhatikan urutan
Banyak menggunakan deret kuasa2
Deret KuasaDEFINISI 1.1.Deret kuasa adalah deret takhingga yang berbentuk
Catatan:1.Deret kuasa di atas dapat dipandang sebagai
fungsi f dari X.2.Terdefinisi untuk nilai – nilai x yang jumlah
takhingganya konvergen.3.Asumsi: dipilih x yang membuat deret kuasa
konvergen
3
Perluasan Deret KuasaDEFINISI 1.2.Jika f mempunyai perluasan deret kuasa di titik c, yaitu jika
maka koefisiennya dapat dinyatakan dalam rumus
Jika disubstitusikan maka akan diperoleh
4
Deret Taylor
Fungsi Pembangkit BiasaDEFINISI 1.3.Fungsi Pembangkit Biasa (Ordinary Generating Function) dari barisan adalah deret takhingga
5
Fungsi Pembangkit BiasaContoh 1.1.Misalkan untuk k = 0, 1, 2, … . Maka fungsi pembangkit biasa dari barisan adalah
dengan syarat .6
Fungsi Pembangkit BiasaTEOREMA 1.5.Misal barisan mempunyai fungsi pembangkit . Maka fungsi pembangkit untuk barisan
adalah . BUKTIKAN!!!8
Fungsi Pembangkit BiasaSoal 1. Misal diketahui
dengan menggunakan contoh 1.1. tentukan koefisien pada ekspansi
Soal 2. Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 3, 1, 3, 1, … .
Soal 3. Tentukan fungsi pembangkit dari barisan 0, 0, 0, 0, 1, 2, 3, 4, … .
9
Koefisien Binomial Diperluas
TEOREMA 1.6.Misal dan bilangan bulat nonnegatif. Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan oleh
10
Fungsi Pembangkit Eksponensial
Misal a0, a1, a2, … adalah barisan bilangan real. Fungsi
disebut fungsi pembangkit eksponensial untuk barisan yang diberikan.Contoh 1.2.Barisan: 1, 1, 1, …, 1, 0, 0, …Fungsi pembangkit eksponensial:
12
2 3
0 1 2 30
( ) 2! 3! !i
ii
x x xf x a a x a a ai
2 3
01 2! 3! !
ix
i
x x xe xi
Soal-soalTentukan koefisien x10 dalam deret pangkat fungsi-fungsi berikut ini:
a.1/(1+x)2
b.1/(1-2x)
c.x4/(1-3x)3
13
Soal-soalAda berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik kepada 3 anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue?
Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara mendistribusikan 25 donat identik kepada 4 polisi sehingga setiap polisi mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7 donat.
Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara memilih pecahan mata uang bernilai Rp. 100, Rp. 500 dan Rp. 1000 jika kita ingin membayar suatu barang yang bernilai Rp. r, apabila: a. urutan pemilihan diperhatikan atau b. tidak diperhatikan.
14