EPPD1043 MATEMATIK UNTUK EKONOMI DAN PERNIAGAAN TOPIK 01: FUNGSI
FUNGSI KONSEP DAN DEFINISI
Katakan persamaan y = x + 2 ditakrifkan sebagai satu aturan; di mana dengan tepatnya ia memberikan setiap nombor input x, satu nombor output y:
x
y(= x + 2)
nombor input
nombor output
set semua nombor input yang aturan ini boleh digunakan disebut domain fungsi. Set semua nombor output disebut julat.
Contoh :
Jika set domain bagi y = 3x 1 ialah { 2, 4, 6 }, cari set julat.
x = 2, x = 4, x = 6,
y = 3 (2) 1 = 5 y = 3 (4) 1 = 11 y = 3 (6) 1 = 17
Set julat ialah { 5, 11, 17 }
Contoh : Katakan fungsi hasil sebuah firma ialah H = 100Q Q dengan H ialah jumlah hasil dan Q ialah kuantiti jualan. Nyatakan julat fungsi hasil jika had tertinggi jualan sebulan ialah 500 unit sahaja. Q = 0, Q = 500, H = 100 (0) 0 =0
H = 100 (500) 500 = 49500
Set julat ialah { H | 0 H 49500 }
1
Hubungan ialah pemetaan dari set domain kepada set julat dengan setiap unsur dalam set domain mempunyai satu atau lebih unsur dalam set julat.
X Y Z
1 2 3
Fungsi ialah pemetaan dari set domain kepada set julat dengan setiap unsur dalam set domain mempunyai satu dan hanya satu unsur sepadan dalam set julat.
W X Y Z
1 2 3
Setiap fungsi adalah hubungan tetapi tidak semua hubungan adalah fungsi. Fungsi ialah subset hubungan.
Selain daripada pemetaan (1), hubungan dan fungsi boleh digambarkan melalui pasangan bertertib (2), satah koordinat (3), persamaan (4) dan lakaran graf (5).
Satu set pasangan bertertib (2) ialah hubungan.
Komponen pertama ialah
domain, manakala komponen kedua ialah julat. Contohnya, (4, 1) dan (2, 2).
Pada satah koordinat (3), paksi-x mengambil nilai domain (abscissa) dan paksiy mengambil nilai julat (ordinat).
2
y (2, 3)
3 (-4, 1) -4 1
2
x
Pasangan unsur set domain dengan unsur set julat boleh dinyatakan atau ditunjukkan dalam bentuk persaman (4). y2 = x y bukan fungsi x kerana jika x = 9, y = 3 (dua nombor output). Ia adalah hubungan. y = x2 y ialah fungsi x ( satu dan hanya satu nombor output).
Contoh :
Contoh :
Selalunya huruf-huruf seperti f, g, h, F, G dan sebagainya digunakan bagi menamakan fungsi. Andaikan kita menganggap f mewakili fungsi yang
ditakrifkan oleh y = x + 2, maka tatatanda f(x) yang dibaca sebagai f bagi x digunakan untuk menandakan nombor output yang sepadan dengan nombor input, x. Input
f(x) Output Jadi, f(x) adalah sama dengan y. Oleh kerana y = x + 2, maka f(x) = x + 2
3
Untuk mencari f(3), iaitu output yang berpadanan dengan input 3, kita gantikan x dalam persamaan (1) dengan 3: f (3) = 3 + 2 = 5
Pembolehubah yang mewakili nombor-nombor input (unsur domain) bagi sesuatu fungsi disebut pembolehubah tak bersandar. Pembolehubah yang mewakili nombor-nombor output (unsur julat) ialah pembolehubah bersandar kerana nilainya bergantung kepada nilai pembolehubah tak bersandar.
Dalam persamaan y = x + 2, pembolehubah tak bersandar ialah x, pembolehubah bersandar ialah y, dan y ialah fungsi x.
Penentuan sesuatu ungkapan itu sama ada fungsi atau hubungan boleh ditentukan daripada lakaran graf (5). y y1 y1 x1 y2 x x2 x1 x y
Hubungan
Fungsi
Graf sebelah kiri menunjukkan terdapat dua nilai y bagi satu nilai x. Graf sebelah kanan menunjukkan satu nilai x mempunyai satu nilai y, walaupun nilai y tersebut adalah sama.
4
Contoh:2 jika x > 1 Tentukan sama ada y = 0 jika x = 1 satu fungsi atau hubungan 2 jika x < 1 y
2-
o
1
x
-2-
o
Fungsi
Setiap satu nilai x hanya mempunyai satu sahaja nilai y yang sepadan dengannya. Persamaan ini ialah fungsi.
Set domain = { x | x ialah semua nombor nyata } Set julat = { 2, 0, 2 }
Contoh :
2 x Tentukan sama ada y = 3 x + 1
jika x 0 jika x < 0 satu fungsi atau hubungan
5
y y=2x
o
x
y=3x+1
Dari lakaran menunjukkan satu nilai x hanya mempunyai satu nilai y yang sepadan. Persamaan ini ialah fungsi.
Set domain = { x | x ialah semua nombor nyata } Set julat = { y | y ialah semua nombor nyata }
JENIS-JENIS FUNGSI
FUNGSI POLINOMIAL
Bentuk am fungsi polinomial yang mempunyai hanya satu pembolehubah tak bersandar ialah: y = f(x) = a0 + a1x + + an-1 xn-1 + anxn dengan n ialah sebarang integer bukan negatif dan a0, , an-1, an ialah sebarang pemalar nyata. 6x4 x1/2 x6 5x-4
Contoh:
(bukan polinomial) (bukan polinomial)
Polinomial boleh mengandungi lebih daripada satu pembolehubah.
6
Contoh:
5xy + 7z2
Polinomial yang mempunyai hanya satu sebutan ialah monomial. Polinomial yang mempunyai dua sebutan ialah binomial. Polinomial yang mempunyai tiga sebutan ialah trinomial. 3yz2 x5 + 2x3
Contoh:
monomial binomial trinomial
5 x + 3y
y4 + 3yz z4 6 7x2 + x6
Darjah sesuatu monomial ialah jumlah eksponen pembolehubah-pembolehubah yang terdapat dalam sebutan berkenaan. 3wx2y3
Contoh:
monomial berdarjah 6
Darjah bagi polinomial ditentukan oleh darjah sebutan yang mempunyai darjah tertinggi. 2x2y + xy2z + 4xz2 10 mengandungi tiga pembolehubah (x, y dan z). Darjah polinomial ialah 4 (iaitu 1 + 2 + 1 = 4, dengan sebutan xy2z mempunyai darjah tertinggi).
Contoh:
Polinomial berdarjah satu dinamakan polinomial linear. Polinomial berdarjah dua dinamakan polinomial kuadratik. Polinomial berdarjah tiga dinamakan polinomial kubik.
FUNGSI MALAR
Monomial yang berdarjah sifar y = f(x) = ax0 = a dengan a ialah pemalar (konstan)
Contoh:
y = f(x) = 20
f(10) = 20 f(1000) = 20 f(a + b) = 20
7
y
y = f(x) = 20
20
x
Apabila fungsi malar dilakarkan pada satah koordinat, ia akan menghasilkan garis lurus yang selari dengan paksix dan nilai persilangannya dengan paksi-y ialah 20.
Contoh:
Kos tetap adalah kos yang terpaksa ditanggung walaupun output sifar.
Fungsi malar boleh digunakan untuk menunjukkan hubungan kuantiti output dengan kos tetap.
FUNGSI LINEAR
y = f(x) = a + bx a, b nombor nyata, dan b 0
Fungsi polinomial yang mempunyai hanya satu pembolehubah berdarjah 1.
Apabila fungsi linear dilakarkan, ia akan menghasilkan satu garis lurus yang bersilang dengan paksi-y pada nilai a dan berkecerunan b.
Untuk memplot fungsi linear, dua titik diperlukan daripada persamaan dan lakaran dapat dihasilkan dengan menyambung kedua-dua titik berkenaan.
8
Contoh:
Plotkan fungsi linear f(x) = 1 + 2x
f(1) = 1 + 2(1) = 1 f(3) = 1 + 2(3) = 5y
(1, 1) (3, 5)
(3, 5) (1, 1)
x
-1
PENYELESAIAN PERSAMAAN LINEAR
Persamaan linear dalam pembolehubah x ialah persamaan yang boleh ditulis dalam bentuk a + bx = 0 dengan a dan b adalah malar dan b 0.
Untuk menyelesaikan satu persamaan bermakna, kita perlu mencari semua nilai pembolehubah yang persamaannya adalah benar. Nilai-nilai ini disebut
penyelesaian persamaan dan ia dikatakan memenuhi persamaan itu. Set bagi semua penyelesaian disebut set penyelesaian persamaan.
Jawapan boleh disemak dengan menguji sama ada pasangan (x, y) yang didapati merupakan penyelesaian.
Persamaan linear mempunyai hanya satu sahaja punca (penyelesaian).
9
Operasi penting dalam penyelesaian persamaan linear dan menjamin kesetaraan persamaan adalah: 1. Menambah (menolak) polinomial yang sama kepada (daripada) kedua-dua sisi persamaan, dengan polinomial berada dalam pembolehubah yang sama seperti yang terdapat dalam persamaan.
Contoh:
3x = 5 6x 3x + 6x = 5 6x + 6x 9x = 5
2.
Mendarab (membahagi) kedua-dua sisi persamaan dengan pemalar yang sama, kecuali sifar.
Contoh:
10x = 5 10x/10 = 5/10
3.
Menggantikan mana-mana sisi persamaan dengan ungkapan yang sama.
Contoh:
x(x + 2) = 3 x2 + 2x = 3
PENYELESAIAN FUNGSI LINEAR
Contoh :5 x 6 = 3x
5 x 6 + (3x) = 3x + (3x)2x 6 = 02x 6 + 6 = 0 + 6
2x = 6
10
2x 6 = 2 2x=3
Contoh :
2( p + 4) = 7 p + 2 2p +8 = 7p + 2
2p = 7p 6 5 p = 6 p= p= 6 5 6 5
KAEDAH MENDAPATKAN PERSAMAAN GARIS LURUS KECERUNAN FUNGSI LINEAR
Kecerunan (gradien) ialah ukuran cerun sesuatu pendakian. Bagi fungsi linear yang mempunyai persamaan y = a + bx, kecerunannya adalah sama dengan pekali bagi pembolehubah x, iaitu nilai b.
y
(4, 5) (2, 1)
x
11
Bila koordinat x meningkat dari 2 ke 4, koordinat y meningkat dari 1 ke 5. Kadar purata perubahan y terhadap x ialah
b=
Perubahan y 5 1 4 = = =2 Perubahan x 4 2 2
Pada mana-mana dua titik pada garis lurus tersebut, nisbahnya ialah 2. Oleh itu kecerunan garis ialah 2. Ini bermakna bagi setiap 1 unit tambahan dalam x, terdapat 2 unit tambahan dalam y. Garis tersebut meningkat dari kiri ke kanan.
Jika (x1, y1) dan (x2, y2), adalah dua titik yang berbeza pada satu garis linear, maka kecerunan bagi garis linear tersebut ialah y 2 y1 x 2 x1
b=
Contoh:
Cari kecerunan garis lurus yang menyambung titik (3, 2) dengan (2, 1).
b=
1 2 y 2 y1 2 (1) 3 = = = 3 2 x 2 x1 2 (3) 5
Kecerunan bagi setiap garis mengufuk ialah 0 dan kecerunan bagi setiap garis mencancang ialah tidak tertakrif.mencancang b = (3 2)/(2 2) = 1/0 tidak tertakrif
(2, 3) (3, 2)
b = (2 2)/(3 2) = 0/1 = 0
(2, 2)
mengufuk
12
Kecerunan sifar Kecerunan tidak tertakrif Kecerunan positif Kecerunan negatif
~ ~ ~ ~
garis mengufuk garis mencancang garis meningkat dari kiri ke kanan garis menurun dari kiri ke kanan
MENDAPATKAN PERSAMAAN GARIS LURUS
1.
Rumus bagi mendapatkan persamaan garis lurus yang merentasi sesuatu titik dan nilai kecerunan diberi dipanggil sebagai rumus titik kecerunan.y y1 x x1
b=
y y1 = b( x x1 )
Contoh:Dapatkan persamaan yang mempunyai kecerunan 2 dan melalui (1, 3).
y y1 y (3) y+3 y
= = = =
b(x x1) 2(x 1) 2x 2 2x 5
2.
Rumus bagi mendapatkan persamaan garis lurus daripada dua titik yang diberi (nilai kecerunan tidak diberi) dipanggil "rumus titik-titik". y y1 = b( x x1 ) y y1 = y 2 y1 ( x x1 ) x 2 x1
Contoh :Cari persamaan yang merentasi titik (3, 0) dan (1, 2)
13
y0 = 4y 2y y
20 ( x (3)) 1 (3) = 2( x + 3) = x 3
= 1 / 2 x 3 / 2
3.
Dari dua titik yang diberi, pertama tentukan kecerunan garis tersebut dan kemudian gunakan rumus titik kecerunan dengan mengambil mana-mana titik sebagai (x1, y1).Contoh :
Cari persamaan yang merentasi titik (3, 0) dan (1, 2) y 2 y1 2 0 2 1 = = = x 2 x1 1 (3) 4 2
b=
y y1 = b(x x1) y 0 = 1/2(x (3)) y = 1/2(x + 3) = 1/2x 3/2
4.
Jika suatu garis lurus melalui paksi-x dan paksi-y masing-masing pada titik (a, 0) dan (0, b), maka persamaan garis lurus tersebut ialah (x/a) + (y/b) = 1Contoh :
Cari persamaan yang memotong paksi-x pada (3, 0) dan memotong paksi y pada (0, 5). (x/3) + (y/5) = 1 y/5 = 1 (x/3) y = 5 (5x/3)
BENTUK PERSAMAAN GARIS LURUS
Bentuk titik kecerunan
y y1 = b(x x1)
14
Persamaan garis yang melalui (x1, y1) dan mempunyai kecerunan b. Bentuk kecerunan pintasan y = a + bx
Persamaan garis yang mempunyai kecerunan b dan pintasan y (0, a)
Bentuk linear am
Ax + By + C = 0
GARIS LURUS SELARI DAN SERENJANG
Garis selari
~
kecerunan kedua-dua garis adalah sama b1 = b2
Garis serenjang
~
hasil darab kecerunan kedua-dua garis ialah 1. b1 x b2 = 1
Garis selari
Garis serenjang
Contoh :
Diberi y = 3 + 2x. merentasi titik (1, 2).
Cari persamaan garis lurus yang selari dengannya dan
b1 = b2 = b = 2 y y1 = b(x x1) y (2) = 2(x 1) y + 2 = 2x 2 y = 4 + 2x15
Contoh :
Diberi y = 3 + 2x. Cari persamaan garis lurus yang berserenjang dengannya dan merentasi titik (1, 2).
b1(b2) = 1 2(b2) = 1 (b2) = 1/2 y y1 = b(x x1) y (2) = 1/2(x 1) y + 2 = (1/2)x + 1/2 y = (1/2)x 3/2
PERSILANGAN GARIS LURUS
Katakan terdapat dua garis lurus
y = a1 + b1x dan y = a2 + b2x
Titik persilangan (x, y) antara kedua-dua garis tersebut diperolehi apabila a1 + b1x = a2 + b2x
Contoh:
Dapatkan titik persilangan garis y = x + 1 dan garis y = 2x + 4 x + 1 = 2x + 4 3x = 3 x=1 Bila x = 1, y=x+1 y=1+1=2 atau y = 2x + 4 y = 2(1) + 4 = 2
16
Titik persilangan (x, y) = (1, 2)y = -2x + 4
(1, 2)
y=x+1
APLIKASI FUNGSI LINEAR
Keluk permintaan: keluk yang menunjukkan hubungkait antara harga barangan
berkenaan dengan kuantiti yang diminta. Hukum permintaan: kuantiti yang diminta akan menurun (meningkat) apabila harganya meningkat (menurun), ceteris paribus. Keluk permintaan akan mempunyai kecerunan negatif. Secara fungsi, ia ditulis Qd = a bP Qd dan P masing-masing ialah kuantiti yang diminta dan harga barangan tersebut.
Keluk penawaran: keluk yang menunjukkan hubungkait antara harga barangan
berkenaan dengan kuantiti yang ditawarkan. Hukum penawaran: kuantiti yang ditawar akan menurun (meningkat) apabila harganya menurun (meningkat), ceteris paribus.
Keluk penawaran akan mempunyai kecerunan positif.
Secara fungsi, ia ditulis Qs = c + dP
17
Qs dan P masing-masing ialah kuantiti yang ditawar dan harga barangan tersebut.
Kedua-dua keluk ini tidak semestinya linear. kuadratik.
Ia boleh mengambil bentuk
Apabila kedua-dua keluk penawaran dan permintaan sesuatu keluaran ditunjukkan pada satah koordinat yang sama, titik (m, n) yang kedua-dua keluk bersilang dinamakan titik keseimbangan.
Keluk fungsi dd dan ss ditunjukkan seperti berikut:Harga/ unit (RM) b Harga/ unit (RM) d
Keluk dd (a, b)
Keluk ss
(c, d)
a
Kuantiti/seminggu (unit)
c
Kuantiti/seminggu (unit)
Paksi mengufuk kuantiti Paksi mencancang harga
Keluk dd
Titik (a, b) menunjukkan pada harga RM b per unit, permintaan pengguna seminggu adalah sebanyak a unit.
Oleh kerana harga dan kuantiti negatif tidak memberi erti, kedua-dua a dan b mestilah tidak negatif.
Bagi kebanyakan barang peningkatan dalam kuantiti barang diminta dihubungkan dengan penurunan harga (membentuk cerun keluk yang menurun daripada kiri ke kanan).
18
Keluk ss
Titik (c, d) menunjukkan pada harga RM d per unit pengeluar akan menawarkan c unit seminggu.
Oleh kerana harga dan kuantiti negatif tidak memberi erti, kedua-dua c dan d mestilah tidak negatif.
Pengeluar akan menawarkan barang dengan lebih banyak pada harga yang lebih tinggi (membentuk cerun keluk yang meningkat daripada kiri ke kanan).
Keluk dd dan ss yang berbentuk garis lurus adalah seperti di bawah.p Keluk dd linear p Keluk ss linear
Cerun negatif q
Cerun positif q
Contoh:
Andaikan permintaan seminggu bagi satu barang adalah 100 unit apabila harga adalah RM58 seunit dan 200 unit pada harga RM51 setiap satu. Dengan mengandaikan
persamaan permintaan linear, tentukan persamaan permintaan tersebut.
Diberi maklumat berikut:
p = 58 apabila q = 100 P = 51 apabila q = 200
(q, p) koordinat adalah (100, 58) dan (200, 51)
Cerun garisb= 51 58 7 = 200 100 100
Persamaan garis lurus
19
p p1 = b (q q1) p 58 = 7 (q 100) 100
Persamaan permintaan p= 7 q + 65 100
FUNGSI KUADRATIKy = f(x) = ax2 + bx + c a, b, c nombor nyata dan a 0
Fungsi polinomial satu pembolehubah berdarjah 2. f(x) = x2 3x + 2 f(x) = 3x2 f(x) = 1/(x2 + 1)
Contoh:
(kuadratik) (kuadratik) (bukan kuadratik)
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRATIK
I. Kaedah Rumus Kuadratikf(x) = ax2 + bx + cx= b b 2 4ac 2a
Terbitan rumus kuadratik: Andaikan ax2 + bx + c = 0 ialah persamaan kuadratik. Oleh kerana a 0, kita boleh bahagikan kedua-dua sisi dengan a:ax 2 + bx + c 0 = a a 2 x + (b / a ) x + (c / a ) = 0 x 2 + (b / a ) x = (c / a ) Campurkan (b/2a)2 kepada kedua-dua sisi (supaya peraturan pemfaktoran IV dapat digunakan). x2 + (b/a)x + (b/2a)2 = (b/2a)2 (c/a)
20
Faktorkan sisi di sebelah kiri. [Peraturan IV (dpd peraturan pemfaktoran) : x2 + 2ax + a2 = (x + a)2] (x + b/2a)2 = (b/2a)2 (c/a) Ringkaskan sisi di sebelah kanan ( x + b / 2a ) = Selesaikan untuk x x= b 2 4ac b b 2 4ac b = 2a 2a 2a b 2 4ac b 2 4ac = 2a 4a 2
Nilai b2 4ac dipanggil pendiskriminasi. Ia menentukan bilangan pintasan x / punca yang wujud 1. Jika b2 4ac < 0, pintasan x/puncanya adalah nombor khayalan. Penyelesaian tidak wujud. 2. 3. Jika b2 4ac = 0, terdapat satu pintasan x / punca nombor nyata. Jika b2 4ac > 0, terdapat dua pintasan x / dua punca nombor nyata yang berbeza.
II. Kaedah PemfaktoranSenarai peraturan pemfaktoran (I) (II) (III) (IV) (V) (VI) xy + xz = x(y + z) x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b) ab x2 + (ad + bc)x + cd = (ax + c)(bx + d) x2 + 2ax + a2 = (x + a)2 x2 2ax + a2 = (x a)2 x2 a2 = (x + a)(x a)
Peraturan IIIx2 +
A x2
B
x+
C
=
0
ab
+ (ax + c)
ad + bc (bx + d) =
x + 0
cd
21
Pilih nilai-nilai a, b, c, d secara cuba jaya
ax
c
bx
d
Nilai-nilai tersebut perlu memenuhi syarat: = Ax2 = Bx = C
(ax) (bx) ad x + bc x (c) (d)
Faktorkan persamaan dalam bentuk (ax + c)(bx + d)
Contoh:Dapatkan nilai x bagi 6x2 25x + 25 = 0 dengan menggunakan kaedah pemfaktoran dan rumus kuadratik.
Kaedah Pemfaktoran
3x
5
2x Nilai-nilai tersebut akan memenuhi syarat:
-5
22
(3x) (2x)
= Ax2 = 6x2 = 25x = 25
15x + 10x = Bx (5) (5) = C
Faktorkan persamaan dalam bentuk (ax + c)(bx + d) = (3x 5)(2x 5)
Dapatkan nilai x: (3x 5)(2x 5) = 0 3x 5 x 2x 5 x x = {5/3 , 5/2} =0 = 5/3 =0 = 5/2
Rumus kuadratik
a = 6, b = 25, c = 25
x= x= x=
b b 2 4ac 2a (25) (25) 2 4(6)(25) 2(6)
25 625 600 2(6) 25 5 x= = 30 / 12 atau 20 / 12 12 = 5 / 2 atau 5 / 3 x = {5 / 3 , 5 / 2}Contoh:
1.
Selesaikan 4x 4x3 = 0 4x 4x3 = 0 4x(1 x2) = 0 4x(1 x)(1 + x) = 0 x = 0, 1, 1
23
2.
Selesaikan x(x + 2)2 (x + 5) + x(x + 2)3 = 0 Faktorkan x(x + 2)2 [(x + 5) + (x + 2)] = 0 x(x + 2)2 (2x + 7) = 0 x = 0, 2, 7/2 y + 1 y + 5 7(2 y + 1) + = y + 3 y 2 y2 + y 6
3.
Selesaikan
Darabkan kedua-dua belah dengan (y + 3)(y 2) (y 2)(y + 1) + (y + 3)(y + 5) = 7(2y + 1) 2y2 7y + 6 = 0 (2y 3)(y 2) = 0 y = 3/2 atau 2 (abaikan) y = 3/2 Selesaikan x2 = 3 x2 3 = 0 Faktorkan( x 3 )( x + 3 ) = 0 x 3 = 0 atau x + 3 = 0 x= 3
4.
5.
Selesaikan 4x2 17x + 15 = 0 menggunakan rumus kuadratik a = 4, b = 17, c = 15x= b b 2 4ac (17) (17) 2 (4)(4)(15) = 2a 2(4) = 17 49 = 3, 5 / 4 8
6.
Selesaikan 2 + 6 2 y + 9 y 2 = 0a = 9, b = 6 2 , c = 2 y= 6 2 0 2(9) 2 3
y=
24
7.
Selesaikan z2 + z + 1 = 0 a = 1, b = 1, c = 1
z=
1 3 2
Persamaan tiada penyelesaian
LAKARAN GRAF
Graf bagi fungsi kuadratik disebut sebagai parabola. Pada umumnya, bentuk fungsi kuadratik bergantung kepada tanda pekali x2. Secara am jika pekali a positif, maka grafnya akan berbentuk (cekung ke atas) dan jika pekali a negatif, grafnya akan berbentuk (cekung ke bawah).
Jika a > 0, bucu merupakan titik terbawah pada parabola tersebut dan pada titik itu, f(x) mempunyai nilai minimum. Jika a < 0, bucu merupakan titik teratas pada parabola tersebut dan pada titik itu, f(x) mempunyai nilai maksimum.
a>0
a 0, b 1 (kerana 1x = 1), dan eksponen x iaitu adalah sebarang nombor nyata, disebut sebagai fungsi eksponen mempunyai dasar/asas b.
Domain bagi fungsi eksponen adalah semua nombor nyata dan julatnya adalah semua nombor positif. b0 = 1 untuk setiap dasar b, sebagaimana yang ditunjukkan oleh titik bersilang (0, 1). y = bX mempunyai dua bentuk asas, bergantung sama ada b > 1 atau 0 < b < 1. Jika b > 1, apabila x meningkat, y meningkat. Jika 0 < b < 1, apabila x meningkat, y menyusut dan mengambil nilai-nilai yang hampir dengan sifar.
41
Dalam kajian ekonomi dan perniagaan, asas yang amat lazim ditemui untuk fungsi eksponen ialah e(= 2.71828).
Fungsi eksponen dapat dilakarkan melalui jadual nilai-nilai terpilih bagi x dan f(x) yang sepadan.
Hukum Asas Eksponen
1. 2.3. 4. 5. 6. 7. 8.
aman = am+nam = a mn an (am)n = amn (ab)n = anbn an a = n b b a1 = a a0 = 1 a n = 1 ann
42
Lakaran graf
1 Lakarkan f(x) = 2 , f(x) = 3 dan f(x) = 2x x
x
x -2 -1 0 1 2 3
2x 1/4 1/2 1 2 4 8
3x 1/9 1/3 1 3 9 27
1 2
x
f(x)=(1/3)x f(x)=()x
f(x)=3x f(x)=2x
4 2 1 1/2 1/4 1/81
FUNGSI LOGARITMA
Fungsi logaritma asas b, yang dilambangkan dengan logb, ditakrifkan sebagai y = logbx jika dan hanya jika by = x
Domain bagi logb adalah semua nombor positif dan julatnya adalah semua nombor nyata.
Fungsi logaritma adalah songsangan bagi fungsi eksponen.Contoh:
Bentuk eksponen 5 = 25 34 = 81 100 = 1Contoh :2
Bentuk logaritma log5 25 = 2 log3 81 = 4 log10 1 = 0 Bentuk eksponen 103 = 1000 641/2 = 8 2 4 = 1 16
Bentuk logaritma log10 1000 = 3 log64 8 = log 2 1 2
1 = 4 16
43
Contoh:
Dapatkan nilai x. a) log2x = 4 2 x4
b) ln(x + 1) = 7 e7
c) logx 49 = 2 x2 x x = 49 = 7 atau 7 (abai) =7
=x = 16
=x+1 =e 17
x
Lakaran Graf
Lakarkan fungsi y = log2x dan
y = log1/2 xy
x 1 2 4 8
log2x -2 -1 0 1 2 3
log1/2x 2 1 0 -1 -2 -3
log2x
3 2 - 1 -
-1 -2
- 1 2 -
3 4 5 6
7 8 Log1/2x
x
Sifat-Sifat Logaritma
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
logb (mn) = logb m + logb n logb (m/n) = logb m logb n logb mr = r logb m log b 1 = log b m m
logb 1 = 0 logb b = 1 logb br = rb log b m = m
log b m =
log a m log a b
Jika logb m = logb n, maka m = n Jika bm = bn, maka m = n
44
Contoh:
a)
Tuliskan lnln
x dalam bentuk ln x, ln z dan ln w zw
x = ln x ln zw zw = ln x (ln z + ln w) = ln x ln z ln w
b)
Tuliskan ln 3 + ln 7 ln 2 2 ln 4 dalam bentuk logaritma tunggal. ln 3 + ln 7 ln 2 2 ln 4 = ln 3 + ln 7 ln 2 ln 42 = ln 3 + ln 7 (ln 2 + ln 42) = ln(3 7) ln (2 42) = ln 21 ln 32 = ln 21 32
c)
Permudahkan ln e3x ln e3x = 3x ln e = 3x(1) = 3x
d)
Selesaikan x jika 10 log x = 252
10 log x = 252
log 25 = log x2 25 = x2 x=5 (25)x+2 = 53x4 (52)x+2 = 53x4 52x+4 = 53x 4 2x + 4 = 3x 4 8=x x=8
e)
Dapatkan x jika
45
f)
Selesaikan x jika 5 + (3)4x1 = 12 (3)4x 1 = 7 4x 1 = Ambil ln kedua-dua belah7 3 7 ( x 1) ln 4 = ln 3 ln 7 / 3 x 1 = ln 4 ln 7 / 3 +1 x= ln 4 1.6112 ln 4 x 1 = ln
7 3
APLIKASI FUNGSI LOGARITMAPersamaan permintaan suatu keluaran adalah p = 1210.1q. permintaan q = f(p) dengan menggunakan logaritma asas 10. p = 1210.1q
Dapatkan persamaan
Ambil log kedua-dua belah log p = log 1210.1q log p = (1 0.1q ) log 12 log p = 1 0.1q log 12 log p 0.1q = 1 log 12 q log p = 101 log 12
46
