Technische Universität Wien - FAMsgerhold/pub_files/sem18/s_tomic.pdf · Technische Universität Wien Seminararbeit Finanzmathematik Networkmodelsoffinancial systemicrisk:Areview

Technische Universität Wien

SeminararbeitFinanzmathematik

Network models of financialsystemic risk: A review

Slavko Tomić

betreut von Dr. Stefan GerholdWien, Juni 2018

Inhaltsverzeichnis1 Vorwort 2

2 Clearing Algorithmus 42.1 Das Eisenberg-Noe Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Konvergenz des Zahlungsvektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

3 Kaskaden von Zahlungsunfähigkeit der Banken wegen bilateraler zwi-schenbanklicher Entlarvungen 63.1 Das Gai-Kapadia-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3.1.1 Tree-based Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.1.2 Erzeugende Funktion Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.3 Finanzielle Verseuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Eine Möglichkeit zur Erweiterung des Treshold-Kaskaden-Modell . . . . . 113.2.1 Heterogene Kantengewichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 DebtRank 124.1 Erweiterung des DebtRank . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Empirische Strukturen zwischenbanklicher Netzwerke 135.1 Statische Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5.1.1 Zwischenbankliche Netzwerke verschiedener Länder . . . . . . . . 145.1.2 Die Core-Peripherie-Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.1.3 Empirische Netzwerke: Die Core-Peripherie-Struktur vs. bipartite

Strukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Warum zwischenbankliche Netzwerkdynamiken täglich gemessen werden

müssen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2.1 Die tägliche Netzwerkdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Diskussion und Konklusion 18

7 Literaturverzeichniss 19

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1 VorwortDas globale Finanzsystem kann man sich als großes komplexes Netzwerk in welchem Ban-ken, Hedgefonds, und andere Finanzinstitute durch sichtbare und unsichtbare finanzielleTransaktionen verbunden sind. In den letzten Jahren wurde ein immer größeres Au-genmerk darauf gelegt, den Mechanismus, der dieses Netzwerk zusammenbrechen lassenkönnte, zu verstehen. Das könnte zum Beispiel passieren, wenn die bestehenden finanziel-len Verbindungen statt ein Mittel von Risikostreuung, plötzlich zu einem Mittel von Ri-sikoausbreitung werden. In dieser Seminararbeit wird zusammenfassend erklärt wie mandas Risiko von Finanzsystemen modelliert. Wir fokusieren uns auf Herangehensweisenan Netzwerke, wie Modelle von Kaskaden von Zahlungsunfähigkeit wegen gegenseitigerEntlarvung oder DebtRank. Auch werden einwenig die neusten Ergebnisse der empiri-schen Strukturen von zwischenbanklichen Netzwerken beschrieben. Es gibt immer mehrneu aufkommende fachübergreifende Forschungsgebiete, die die Schnittmenge von bereitsvorhandenen Gebieten, wie z.B. Physik, Wirtschaft, Ökologie und Netzwerkwissenschaf-ten, bilden. Dies hat das immer größer werdende Interesse and der Modellierung vonFinanzmarktrisiken zur Folge.Die Komplexität dieser Modellierung folgt aus der Vielzahl an Teilnehmern am Finanz-markt, wie beispielsweise Banken, Versicherungen, Hedgefonds und Investoren. Diese in-teragieren durch kaufen und verkaufen von Finanzgütern. Damit werden Verbindlichkei-ten kreiert. Das Finanzsystemrisiko ist grob gesagt, das Risiko des Zusammenbruchs desFinanzsystems. Damit man Systemrisiko verstehen und modellieren kann, muss, der Me-chanismus der hinter der micro-macro Bewretung liegt, in Betracht gezogen werden. DieInteraktionen im Finanzmarkt können dargestellt werden als ein Netzwerk von Verknüp-fungen zwischen den einzelnen Finanzinstitutionen, was den Vorteil bringt, dass man diekomplexe Bewertung zwischen micro- und macroskopischen Phänomenen bewerten kann,ohne die finanziellen Verknüpfungen dabei zu übersimplifizieren, was bei der ökonomi-schen herangehensweise ein Problem darstellt.Im 2.Kapitel werden elementare Clearing-Algoritmen, welche man braucht um die Ver-teilung von Schulden der Schuldner an Gläubiger auszurechnen, erklärt. In der Regelwerden Schulden beglichen indem der Schuldner den ganzen Betrag seiner Schulden zu-rückbezahlt. Das Problem entsteht wenn ein Schuldner es nicht schafft seine Schuldenzu begleichen. Man sollte meinen, dass dies einfach zu modellieren wäre, indem man dieübergebliebenen Aktivaposten proportional den geborgten Vermögen zuordnet. Jedochentsteht dann eine Kettenreaktion, denn wenn ein Glaübiger seine hergeborgten Güternicht zurückbekommt, kann er auch seine Schulden, falls vorhanden, nicht zurückbezah-len. Dies führt im schlimmsten Fall zum Kollaps des Systems. Deshalb ist es wichtig inGegenwart von Zahlungsausfällen, wichtig die Verteilung von Finanzmitteln zu berech-nen. Weiters wird der Eisenberg-Noe Algorithmus vorgestellt.Im 3.Kapitel werden Modelle von Kaskanden von Zahlungsunfähigkeit erklärt, und ver-schiedene Modelle näher gebracht.Das 4.Kapitel umfasst das sogennante DebtRank Modell, in dem es darum geht dass es zueinem Notstand zwischen Schuldner und Gläubiger nicht nur dann kommen kann wennder Schuldner nicht mehr zahlungsfähig ist, sondern auch wenn sich die Kreditqualitätverschlechtert.Aber es muss nicht nur zu einem Notstand zwischen Schuldner und Gläubiger kommen.

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Es kann auch zu Problemen zwischen den Glaübigern selber kommen. Wenn ein Asset,an welchem mehrere Banken beteiligt sind an Wert verliert, dann verschelchtert das dieBilanz aller Banken die daran beteiligt sind. Im schlimmsten Fall, wenn eine Bank unterdie Minimalanforderung des capital ratio gelangt, dann muss diese einen Teil ihrer As-sets verkaufen. Dies senkt natürlich den Preis dieses Assets, was in der Schlussfolgerungauch zu Verlusten von anderen Banken, welche im besitz dieser Assets sind, führt. Dieskann im schlimmsten Fall zu einer Kaskade der Zahlungsunfähigkeit führen, welche durchden anfänglichen Wertabfall des Assets ausgelöst wurde. In diesem Fall ist es wichtig dieversteckten zwischenbänklichen Beziehungen zu modellieren um das Systemrisiko zu ver-stehen.Im 5.Kapitel wird die Struktur von empirischen zwischenbanklichen Netzwerken und de-ren Dynamik zusammengefasst.In dem 6.Kapitel folgt die Konklusion.

3

2 Clearing AlgorithmusDie Abrechnung spielt eine sehr wichtige Rolle bei Finanznetzwerken und Systemrisiko,da sie Informationen über verschiedene Transaktionen enthält. Sie ist die Basis wichtigereinsehbarer Informationen über Liquiditätsprobleme, ausstehender Zahlungen, Verlusteund Insolvenzen. Allgemein können finanzielle Transaktionen, entweder over-the-counter(OTC) Verträge sein, bei welchem die Gegenparteien jeweils einen eigenen Vertrag fest-legen müssen, oder von den Central-Clearing-Counterparties (CCPs) gesammelt und ge-handhabt werden. Hier wird das Abrechnungsmodell welches von Eisenberg und Noeeingeführ wurde und zu zahlreichen Arbeiten zu dem Thema von Schätzen des System-risikos in Finanznetzwerken führte. Nehmen wir an ein Schuldenvertrag zwischen zweiGegenparteien ist definiert als Betrag Lab, welcher bis zur Zeit T von dem FinanzinstitutA an das Finanzinstitut B bezahlt werden muss. Dieser Vertrag ist sehr einfach, wirdaber komplizierter wenn man in Betracht zieht, dass A nicht zahlen kann, oder will, inder vorher bestimmten Zeit T. Deswegen ist es für B wichtig vorab zu wissen, wie hochdie Wahrscheinlichkeit der Zahlungsunfhigkeit (PD) von A ist. Wir werden uns auf diedeterministische clearing Prozedur konzentrieren, und genauer gesagt schauen wir unseine beliebige Anzahl an Finanzinstituten an, welche in einfache zweiseitige Schuldenver-träge verwickelt sind. Es wird angenommen, dass alle Beteiligten die Verträge innerhalbdes Fälligkeitsdatums erfüllen.

2.1 Das Eisenberg-Noe ModellIn diesem Modell schauen wir uns N Banken an. Jede Bank hat Schulden einer ande-ren Bank gegenüber, die zur selben Zeit beglichen werden müssen. Diese Struktur anSchulden kann durch eine N ×N Matrix von nicht-negativen reelen Zahlen L, wo jederEintrag Lij für die Verbindlichkeit von Node i zu Node j steht, dargestellt werden. DieVerbindlichkeiten sind nicht-negativ, ein Schuldenvertrag Lij wäre eine Verbindlichkeitfür Bank j, also würde es einfach als Eintrag in Lji vorkommen. Eine weitere Annahmeist, dass eine Bank sich selbst gegenüber keine Verpflichtungen hat, was bedeutet dassdie Diagonale der Matrix nur aus Null-Einträgen besteht. Weiters hat jede Bank einennicht-negativen Cash-flow ei, welches das einkommendee Geld für jede Bank von ausser-halb des Systems, darstellt. Externe Verbindlichkeiten können ins Modell eingebundenwerden, entweder durch negative Werte vom Cash-flow oder durch hinzufügen von neuenBanken in die Verbindlichkeitsmatrix. Für so eine Bank würde ei = 0 gelten, und solleinen Betrag Li0 von jeder i-ten Bank erhalten. Nun versuchen wir eine weitere Bank zuimplementieren.Ein Finanzsystem F is ein Paar einer nicht-negativen Verbindlichkeitsmatrix und demcash-flow Vektor, F = (L, e). Dieses Modell ist natürlich sehr vereinfacht da es viele Sa-chen nicht berücksichtigt, wie z.B verschiedene Fälligkeitsdaten. Trotzdem ist das Modellerfolgreich uns einen Zahlungsverktor darzustellen, welcher zeigt wieviel jede Bank an anihre Gläubiger zahlen kann. Kommen wir nun zu einer etwas genaueren Definition. Hier-bei ist es von Nutzen einige Hilfsvariablen einzuführen. Die nominalen Verpflichtungenbezeichnen wir als p̄i, und definieren:

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p̄i =N∑

j=0Lij

und die Verbindlichkeitsmatrix, welche die Verbindlichkeiten der Bank i, welche die Bankj im Falle einer vollständigen Rückzahlung berechtigt ist zu bekommen:

Πij =

Lij

p̄ifür p̄i > 0

0 sonst

Die Vorraussetzungen für die Eisenberg-Noe clearing Prozedur sind:

• alle Elemente des Zahlungsvektors sind kleiner gleich dem verfügbaren cash-flowder Bank, d.h begrenzte Verbindlichkeiten

• Banken müssen, wenn sie die Möglichkeit haben, ihre Schulden abbezahlen

• Das Verhältnis zwischen zurückgezahlten Verbindlichkeiten an die zugehörige Ge-genpartei und der gesamte Betrag aller Verbindlichkeiten gegenüber allen Gegen-parteien muss gleich dem Verhältnis zwischen nominaler Verbindlichkeit und allerVerbindlichkeiten die die Bank hat, sein.

Daraus können wir nun die Netto-Position einer Bank berechnen mit einem gegebenenZahlungsvektor p. Die gesamten Assets einer Bank i summieren sich zu ei + ΣjΠjipj

Wenn wir von allen Banken verlangen ihre Schulden zur selben Zeit abzubezahlen be-kommen wir folgende Gleichung:

pi = min(ei + ΣjΠjipj, p̄i) ∀i = 1, ..., N

womit ein Fixpunktproblem für den Zahlungsvektor, dessen Komponenten die Vorraus-setzung p̄i ≥ pi ≥ 0 für jede Bank i, definiert ist.

2.2 Konvergenz des ZahlungsvektorsAls Ergebnis liefert uns dieses System eine Menge von nicht-linearen Gleichungen, fürwelche die Abhängigkeit jeder einzelnen Komponente des Zahlungsvektors stückweiselinear, monoton, beschränkt und stetig ist. Mit diesen Eigenschaften lässt sich die Existenzund Eindeutigkeit der Lösung zeigen (mit dem Knaster-Tarski Theorem). Um eine Lösungzu bekommen haben Eisenberg und Noe einen itterativen Algorithmus eingeführt, welcherin zwei Schritten verläuft. Zuerst definieren wir eine Menge in welcher die notleidendenBanken enthalten sind:

D(p) = [i ∈ [1, ..., N ]|pi < p̄i]Weiters wird der Zahlungsvektor aktualisiert indem wir den Fixpunkt aus dem folgendenAusdruck finden:

−→p

′ = Λ(−→p

′ )(Π(Λ(−→p

′ )−→p + (1− Λ(−→p

′ ))−→p +−→e ) + (1− Λ(−→p

′ ))−→p

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wobei Λ(−→p

′ ) eine Diagonalmatrix ist, sodass die Λ(−→p

′ )ii-Einträge aus i ∈ D(−→p

′ ), undsonst Null sind. Wir bekommen einen eindeutigen Fixpunkt aus der Gleichung, wenndas Finanznetzwerk regulär ist. Dies ist erfüllt wenn jede Bank im System ein striktpositives Eigenkapital besitzt. Dieser Fixpunkt −→p∗ wird verwendet, um die Menge D zuaktualisieren. Diese zwei Schritte werden so oft wiederholt, bis D und der Zahlungsvektorp die Gleichung von pi befriedingt. Unter der Bedingung der Regularität ist dann derZahlungsvektor p die einzige Lösung dieser Gleichung.

3 Kaskaden von Zahlungsunfähigkeit der Banken we-gen bilateraler zwischenbanklicher Entlarvungen

3.1 Das Gai-Kapadia-ModellEs haben viele Wissenschaftler Netzwerk Modelle von Kaskaden der Zahlungsunfähig-keit in Finanzsystemen entwickelt, insbesondere zwischenbankliche Netzwerke in welchensich die Banken gegenseitig Finanzgüter leihen. Das Gai-Kapadia-Modell basiert auf demWatts-Modell, welches in Netzwerken, welche durch soziale Interaktion durch Menschengeprägt sind, entstehen. Im Allgemeinem funktioniert das Watts-Modell, indem ein Nodevon seinen Nachbarn aktiviert wird, genau dann, wenn ein Anteil R ∈ [0, 1] seiner Nach-barn aktiviert ist. Dieses Modell gehört zu den Treshold-Modellen. Die Hauptaussagedes Watts-Modells ist, dass in einem zufälligen Netzwerkmodell wenn auch nur ein sehrkleiner Anteil der Nodes aktiviert ist, es dazu kommen kann, dass ein signifikatner Anteilaktiviert wird, solande das Netzwerk nicht zu seicht oder zu dicht ist. Wie werden unszuerst das Threshold-Modell etwas genauer anschauen. Es ist wichtig zuerst das sozialeNetzwerk, wo Menschen die ßu Aktivierendenßind, versteht, weil das die Grundlage fürviele Finanznetzwerkmodelle bildet.

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Abbildung 1: Threshold-Kaskade-Modell mit einer poisson Gradverteilung. Auf der y-Achse ist der Wert von ρ (wird im folgenden Abschnitt berechnet) eingetragen, die Kreisestellen die durchschnittlich simulierte Kaskadengröße dar (durchschnittlich über 1000Simulationen). N = 105 und R = 0, 18. z ist der mittlere Grad und ρ0 = 10−4 der zufälliggenerierte Startwert

3.1.1 Tree-based Approximation

Hier wird kurz die baumartige Approximationsmethode zur Lösung des Modells der so-zialen Verseuchung erklärt. Man versucht hier die durchschnittlich letzte Fraktion ρ vonaktivierten Nodes auszurechnen, unter der Annahme,dass das Netzwerk lokal baumartigist. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Node aktiv ist, wird mit der folgendenGleichung berechnet:

ρ = ρ0 + (1− ρ0)∞∑

k=1pk

k∑m=0

(k

m

)qm(1− q)k−mF (m

k)

wobei q die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein zufällig ausgewählter Nachbar aktiv ist. ρ istdie Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliger Anfangsnode aktiviert ist, pk ist die Gradver-teilung, und k und m stehen für den Grad beziehungsweise für die Anzahl der aktiviertenNachbarn. Die Aktivierungswahrscheinlichkeiten der Nachbarn sind unabhängig, wegenunserer Annahme, dass das Netzwerksystem lokal baumähnlich ist. Im einfachen Watts-Modell ist:

F (x) =1 fürm

k> R

0 sonst

Die Wahrscheinlichkeit q ist gegeben durch:

q = ρ0 + (1− ρ0)∞∑

k=1

k

zpk

k−1∑m=0

(k − 1m

)qm(1− q)k−1−mF (m

k)

wobei z der mittlere Grad (stellt den Verbindungsparameter dar) ist. Man bemerke, dasshier, im Gegensatz zur Berechnung von ρ, die Gradverteilung kpk

z, um die aktiven Nach-

barn der Nachbarn zu berechnen, ist. Der Elternnode beeinflusst den Kindnode, usw.

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Die Lösung für q erhält man als Fixpunkt der Rekursion dieser Geleichung. Mit diesembekommt man dann die Lösung für die Hauptkaskadengröße ρ. Bei mehreren Fixpunktenwird die kleinste Lösung als geltende Lösung betrachtet.Diese tree-based-Methode, auch wenn sehr simpel, kann die finale Größe der globalenKaskade sehr genau vorhersagen.Der Parameterabstand, in welchem die globale Kaskade auftreten kann, wird als dieKaskadenregion bezeichnet. Und die Vorraussetzung, dass die Parameter in der Kaska-denregion befreidigt sind, wird Kaskadenvoraussetzung genannt. Um die Ableitung dieserzu sehen, definieren wir uns zuerst ein S(q):

S(q) =∞∑

k=1

k

zpk

k−1∑m=0

(k − 1m

)qm(1− q)k−1−mF (m

k)

In der Arbeit von Gleeson und Cahalane wird argumentiert, dass wenn die Ableitung derrechte Seite der Gleichung für q, nah genug an q = 0, größer als 1 ist, dann führt ein sehrkleiner Startwert ρ0 zu einem sehr großen ρ.Das heißt die Hauptbedingung der Kaskadenvorrausetzung ist gegeben durch:

(1− ρ0)∞∑

k=1

k(k − 1)z

pk[F (1k− F (0)] > 1

Vergleiche mit den Simulationsergebnissen zeigen jedoch, dass diese nicht sehr genau, fürden Parameterraum (R, z), ist. Deswegen schauen wir uns noch die Kaskadenbedingungzweiter Ordnung an, welche gegeben ist durch:

(C1 − 1)2 − 4C0C2 + 2ρ0(C1 − C21 − 2C2 + 4C0C2) < 0

wobei wir annehmen, dass ρ2 ≈ 0 ist und Cl, mit S(q) = ∑∞l=0Clq

l, ist gegeben durch:

Cl =∞∑

k=l+1

l∑n=0

(k − 1l

)(l

n

)(−1)l−nk

zpkF (n

k)

Die zweite Kaskadenbedingung sagt uns, dass die Approximation zweiten Grades von q,q = ρ0+(1−ρ0)(C0+C1q+C2q

2), keine Lösung für q = 0 hat, weil die Existenz einer posi-tiven Wurzel um q = 0 bedeuten würde dass eine globale Kaskade unmöglich wäre. In derArbeit von Gleeson und Cahalane zeigen sie, dass die Kaskadenbedingung zweiter Ord-nung sehr gut mit der, durch nummerische Simulation ausgerechneten Kaskadenregion,übereinstimmt.

3.1.2 Erzeugende Funktion Ansatz

Dieser Ansatz wird verwendet um die erwartete Kaskadengröße zu berechnen. Damit be-rechnen wir wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass ein zufällig gewählter Node anfälligist. Als anfällig werden Nodes bezeichnet, wenn dessen Grad k die Ungleichung R ≤ 1

k

erfüllt. Das bedeutet, wenn ein Node anfällig ist und zumindest einer seiner Nachbarnaktiv ist, dann wird auch dieser Node aktiviert. Sei µk = P [R ≤ 1

k] die Wahrscheinlich-

keit, dass ein Node k anfällige Kanten hat.Wir erinnern uns, dass die Wahrscheinlichkeit,dass ein zufälliger Node Grad k hat pk ist. Somit bekommen wir die erzeugende Funktion

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von anfälligen Nodesgraden mit:

G0(x) =∞∑

k=0µkpkx

k

In der Funktion G0(x) sind alle Informationen aller Momente der Gradverteilung deranfälligen Nodes enthalten. Die erzeugende Funktion der Gradverteilung der anfälligenNodes führt zu:

G1(x) =∑∞

k=1 kµkpkxk−1∑∞

k=1 kpk

= G′0(x)z

Es ist anzumerken, dass G1(1) gleich der Wahrscheinlichkeit ist, dass ein zufällig ausge-wählter Nachbar anfällig ist.

Nun führen wir erzeugende Funktionen für die anfällige Cluster-Größe ein:

H0(x) =∞∑

n=0θnx

n

H1(x) =∞∑

n=0θ̃nx

n

θn bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Node zu einem anfälli-gen Cluster der Größe n angehört, und θ̃n ist die entsprechende Wahrscheinlichkeit einesNachbarn von einem zufällig ausgewählten Node. Die erzeugende Funktion der Wahr-scheinlicheit, dass ein zufällig ausgewählter Nachbar zu dem anfälligem Cluster gehörtsollte die folgenden Gleichung erfüllen:

H1(x) = 1−G1(1) + xG1(H1(x))Wie man sieht ist der erste Term die Wahrscheinlichkeit, dass ein Nachbar nicht anfälligist. Der zweite Term entspricht der Größenverteilung eines anfälligen Cluster zu welchemder ausgewählte Nachbar gehört. Es sein anzumerken, dass wenn ein Node zu einemanfälligem Cluster der Größe n gehört, dann müssen dessen Nachbarn auch zu einemanfälligem Cluster der Größe n gehören. Wir nehmen wieder an, dass das Netzwerk lokalbaumähnliche Strukturen hat. In diesem Fall gehören verschiedene Nachbarn unabhängi-gen Teilmengen des anfälligen Clusters an. Sobald wir H1(x) bekommen, können wir unsH0(x) wie folgt ausrechnen:

H0(x) = 1−G0(1) + xG0(H1(x))Das wird entsprechend über den Fixpunktansatz q mit der Treebased Methode berechnet.

Die durchschnittliche Größe des anfälligen Clusters is gegeben durch:

〈n〉 = H ′0(x)

= G0(1) + (G′0(1))2

z −G′′0(1)

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und die Kaskadenbedingung wird beschrieben als:

z < G′′0(1) =∑k=1

k(k − 1)µkpk

3.1.3 Finanzielle Verseuchung

In diesen finanziellen Modellen stellen Nodes und Schwellen, Banken und die ausborgen/herbogen-Beziehung dar. Die Aktivierung von Nodes wird als Zahlungsunfähigkeit einer Bank in-terpretiert. Um genau zu sein ist das Gai-Kapadia-Modell gleichzusetzen mit dem Watts-Modell wobei der einzige Unterschied ist, dass das Erstere mit einem gerichteten Graphenarbeitet, und das Zweite mit einem Ungerichteten. Um das zu verstehen, schauen wir unseine Bilanz von einer Bank an. Angenommen jede Bank hat zwei Arten von Finanzgü-tern: erstens zwischenbankliche Finanzgüter AIB, und außerbankliche Finanzgüter AE

(wie z.B Aktien). In der Bilanz auf der Verbindlichkeitsseite können sich zwischenbankli-che Verbindlichkeiten LIB und Anlagen von Kunden D befinden. Dann ist die Solvency-Vorraussetzung für eine Bank i gegeben durch:

AIBi + AE

i − LIBi −Di > 0

was soviel bedeutet wie das erwirtschaftete Kapital einer Bank sollte positiv sein.Nun sei angenommen die Menge aller Kredite, die zwischen den Banken ausgeliehen wer-den, sei gleichmäßig verteilt, sodass jeder dieser Kredite als AIB

i

|Ni| angeschrieben werdenkann. Dabei bezeichnet Ni die Menge aller Kreditnehmer welchen die Bank i einen Kre-dit gibt. Wir nehmen an, dass das Verhältnis der gesamten innerbanklichen FinanzgüternAIB

i zu dem Kapital Ki ist gleich bei allen Banken und soll gegeben sein durch AIBi

Ki= 1

R̄

für R̄ > 0. Mit diesen Bedingungen bekommmen wir:

φi >Ki

AIBi

= R̄i

wobei φi der Anteil der Banken die der Bank i den Kredit nicht zurückzahlen können, ist.Aus Zwecke der Vereinfachung nehmen wir an, dass die Banken, wenn zahlungsunfähig,100% des Kredites nicht zurückzahlen können. In der obigen Gleichung kann man heraus-lesen, dass die Bank i auch zahlungsunfähig wird, wenn der Anteil der zahlungsunfähigenPartnerbanken einen gewissen Schwellenwert R̄ überschreitet. (Anm: selber Mechanismuswie beim Watts-Modell). Die Bank i könnte nur in dem Fall, dass ihr Kapital R̄ > 1 ist.Die würde dann reichen um auch den größtmöglichen Verlustfall finanzieren zu können.Weil die Kanten die dem Risiko der Zahlungsunfähigkeit ausgesetzt sind immer ausge-hen sind, ist der Mechanismus der sozialen Ansteckung in einfacher Manier anwendbar,solange es keine zweiseitig gerichtete Kanten gibt. Der Trick hierbei ist, dass das Volu-men der innerbanklich verteilten Kredite gleichmäßig auf alle Kreditnehmer, welchen dieBank einen Kredit gewährt, verteilt sind. Sonst müsten wir φi, mit dem Gesamtanteil derVerluste einer Bank i ersetzen.

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Abbildung 2: Überblick: Bilanz einer Bank

3.2 Eine Möglichkeit zur Erweiterung des Treshold-Kaskaden-Modell

3.2.1 Heterogene Kantengewichte

Das Gai-Kapadia-Modell war der Anstoßpunkt vieler Wissenschaftlicher Arbeiten zurfinanziellen Verseuchung ween zwischenbanklicher Entlarvungen. Erinnern wir uns nochkurz was die wichtigsten Annahmen in dem Gai-Kapadia-Modell waren:

• Alle Darlehen sind gleichverteilt

• Das Riskio externer Assets wird nicht berücksichtigt

Es wird versucht die neusten Modelle die auf dem Gai-Kapadia-Modell basieren etwasrealistischer werden zu lassen, indem man die Annahmen abschwächt bzw. lockert. ZurErweiterung des Treshold-Kaskaden-Modell verwendet man die Eigenschaft, dass dasWatts- und das Gai-Kapadia-Modell isomorph sind.

Wenn nun Gewichte ins Gai-Kapadia-Modell eingefügt werden, dann bekommen wir eineoptimierte Ungleichung: ∑

j∈NdefiAIB

ij

AIBi

> R,

Diese Ungleichung drückt das Verhälnis aller Verluste der gesamten zwischenbanklichenAssets. AIB

ij stellt das gesamte Darlehen der Bank i zur Bank j, N defi ist die Menge aller

Banken die bei der Bank i ein Kredit aufgenommen haben und zahlungsunfähig gewordensind. Identische Gewichte würden uns zu unser ursprünglichen Gleichung führen, da AIB

ij =AIB

i /|Ni| und |N defi |/|Ni| ≡ φi sich aufheben würden. Aus diesem Grund können wir auch

nicht die mean-field Approximation zur Analyse verwenden. Ein Weg solche allgemeineren

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Modelle zu analysieren ist die numerische Simulation. Studien haben auch gezeigt, dassje heterogener die Gewichte sind, desto kleiner wird auch die Kaskade.

4 DebtRankWie wichtig es ist die Verseuchung der Gegenparteizahlungsunfähigkeit in der Praxis aus-zurechnen wurde empirisch und theoretisch in Frage gestellt. Empirisch gesehen hat dieVerseuchungsanalysis gezeigt, dass Dominoeffekte, welche durch den Ausfall einer kleinenAnzahl an Banken, verursacht werden können, in der Praxis sehr unwahrscheinlich sind.Aus theoretischer Sicht ist es im Eisenberg-Noe Modell die Ausfallswahrscheinlichkeit ver-schwindend gering, weil in demModell auch die “Konservation der Verluste“implementiertist, welche die Verstärkung exogener Schocks verhindert. Andererseits wurde auch ge-zeigt, dass Netzwerke von zwischenbanklichen Aufdeckungen die Notstandsübertragungvon Banken verstärken in der Gegenwart anderer Verseuchungskanäle. Außerdem ein an-derer wichtiger Grund warum wir die Netzwerke von zwischenbanklichen Aufdeckungenverfolgen ist, dass viele Modelle darauf aufbauen, als einzigen Grund von Verlusten fürdie Bank, welche den Kredit hergibt, dass die Rückzahlung von der Bank, welche sich denKredit ausgeborgt hat, ausfällt. In der Praxis ist das jedoch nicht der Fall. Nicht nur beiZahlungsunfähigkeit kommt es zu Verlusten, sondern auch wenn z.B. die Kreditwürdig-keit sinkt. Schauen wir uns zur Veranschaulichung folgendes Beispiel an. AngenommenBank j bekommt einen Kredit von der Bank i. Die Bank j erleidet einen großen Verlust,wodurch auch die Wahrscheinlichkeit, dass die Bank j zahlungsunfähig wird ansteigt.Somit verringert sich der Cashflow zwischen Bank i und Bank j. Wenn nun die zwischen-banklichen Assets öffentlich eingesehen werden können, würde das bedeuten, dass derWert der Assets der Bank i, welche in Verbindung mit der Bank j sind, deutlich an Wertverlieren würden. Die Idee die Notstandsübertragung in betrach zu ziehen, bevor es zueinem Zahlungsausfall kommt, führte zum sogennanten DebtRank.

Wir schauen uns ein System von N Banken an. Wij bezeichnet die zwischenbanklichenAufdeckungen der Bank i gegenüber der Bank j, Aext

i die externen Assets der Bank i, undLi die insgesamten Verbindlichkeiten. DebtRank beschreibt die Entwicklung der Markt-werte aller Banken, nachdem ein Schock das System getroffen hat. Im DebtRank könnensich Banken entweder im aktiven oder im inaktiven Zustand befinden. Eine aktive Bankgibt ihren Notstand einem ihrer Kreditgeber weiter, falls es zu einem Verlust kommt,und wird dann selber inaktiv, nachdem sie einmal den Notstand weitergereicht hat. Diesmuss nicht unbedingt heißen, dass die Bank zahlungsunfähig ist, oder dass sie nicht nochweitere Verluste machen kann, sondern es bedeutet für das System, dass es nicht zuweiteren Verlustübertragungen an den Kreditgeber kommen kann. Weiters bezeichnethi(t) = Ei(0)−Ei(t)

Ei(0) den relativen Verlust des Wertes der Bank i zum Zeitpunkt t, und A(t)bezeichnet die Menge aller aktiven Banken zum Zeitpunkt t:

hi(t+ 1) = min{1, hi(t) +∑

j∈A(t)

Wij

Ei(0)hj(t)}

A(t+ 1) = {i | hi(t) > 0, hi(t− 1) = 0}

Die obigen Gleichungen stellen den Verlust der Bank i zwischen der Zeit t = 0 und t+1,

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bis zu dem Zeitpunkt t plus den neuen Verlusten die von den Gegenparteien übermittletwerden, dar.Untersuchungen zeigen, dass man den Algorithmus effektiv nutzen kann, um Banken nachWichtigkeit für das System rangieren zu können. Man kann auch feststellen, dass kleinereBanken wichtiger für das System sein können.

4.1 Erweiterung des DebtRankNach der obigen Annahme, wird ein Node inaktiv wird, nachdem er seinen Notstandeinmal übertragen hat, d.h. Verluste können nur eine Runde im Netzwerk machen. Umweitere Runden an Übertragungen ins Modell einzubeziehen, modifizieren wir unsere De-finition für hi einwenig.

hi(t+ 1) = min{1, hi(1) +N∑

j=1

Wij

Ei(0)hj(t)}

wobei hi(1) der urspüngliche exogene Schock, der die Bank i beeinflusst, ist. Weiters neh-men wir an, dass hi(0) = 0,∀i = 1, ..., N ist . Die Matrix, welche mit den Einträgen vondem Bruch Wij

Eiausgefüllt ist, nennen wir die Matrix der innerbanklichen Hebelwirkung.

Wenn der größte Eigenwert dieser Matrix größer als 1 ist, dann werden Schocks durch dasNetzwerk deutlich verstärkt, wodurch sie zu Ausfällen von Banken führen würden. Eineweiter Annahme von dem ursprünglichen Modell, welche wir etwas modifizieren müssen,ist die, dass sich Verluste von Kreditnehmer zu Kreditgebern linear verbreiten. Die lässtsich durch eine kleine Veränderung in unserer Definition leicht machen.

hi(t+ 1) = min{1, hi(1) +N∑

j=1

Wij

Ei(0)f(hj(t))}

wobei unsere neu eingeführte Funktion f(x) eine Abbildung von [0, 1] auf die positivenrealen Halbachsen.Wissenschaftler haben auch herausgefunden, dass Zweit- und Drittrunden Verluste dieder ersten Runde meist deutlich übersteigen. Diese Errungenschaft impliziert, dass Stress-Tests, welche die Netzwerkeffekte nicht in Betracht ziehen, das Systemrisiko deutlich un-terschätzen.

5 Empirische Strukturen zwischenbanklicher Netz-werke

Es wurden schon viele Modelle zur Beschreibung von Finanznetzwerken in der realen Weltaufgestellt. Analyse und Bewertung dieser Modelle haben zwei primäre Ziele. Erstens gibtWissen über die Struktur einens Finanznetzwerks Einblick, wie sich lokale Risiken auf dasganze Netzwerk auswirken können. In diesen Arten von Studien betrachtet man Netzwer-ke, welche sich über eine gewisse Zeit nicht verändern (statische Strukturen). Zweitens,

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da sich Topologien über längere Perioden verändern, kann Wissen über dynamische Ver-änderungsmuster dabei helfen, wie sich Systemrisiken über gewisse Perioden verändern,vorherzusagen. Wir verschaffen uns im Folgenden einen Überblick über statische unddynamische Strukturen von zwischenbanklichen Netzwerken.

5.1 Statische Strukturen5.1.1 Zwischenbankliche Netzwerke verschiedener Länder

Die Topologie von zwischenbanklichen Netzwerken wurde in den letzten Jahren für vieleLänder. wie z.B. Österreich, Deutschland, Belgien, Japan, etc., beschrieben. In vielenLändern sind die gegenseitigen Transaktionen von Daten öffentlich einsehbar, jedoch gibtes auch einigen Länder in denen nur die Bilanz öffentlich gemacht werden muss. In diesenLändern muss man die zwischenbankliche Netzwerkstruktur mit einer passenden Metho-de abschätzen. Eine der meist verbreiteten solcher Methoden, ist die maximale EntropieMethode. Diese Methode schätzt die Netwerkstruktur ab, indem sie die Entropie der zwi-schenbanklichen Verknüpfungen maximiert. Dies bedeutet, dass alle zwischenbanklicheKredite möglichst gleich auf alle Kreditnehmer verteilt sind. Ein Nachteil dieser Metho-de ist jedoch, dass abgeschätzte Netzwerke viel dichter sein können als die Realen. Auchwird argumentiert, dass die maximale Entropie Methode das Risiko der Ansteckung durchZahlungsunfähigkeit über- oder unterschätzen würde.

Eine weitere, direktere Methode um Information über die zwischenbanklichen Transaktio-nen zu erhalten, ist es sich die Daten über zwischenbanklichen Zahlungen anzuschauen.Da der Zahlungsfluss Informationen über die Abrechnung erhält, kann man daraus Infor-mationen über zwischenbankliche Kredite herausfiltern.

5.1.2 Die Core-Peripherie-Struktur

Es wurde von vielen Wissenschaftlern schon behauptet, dass der beste Weg, zwischen-bankliche Netzwerke zu beschreiben, ab einem gewissen Zeitpunkt, die Core-Peripherie-Struktur, ist. Wie der Name preisgibt, besteht sie aus einem Kern und einer Umgebung.Die Kernknoten und die Umgebungsknoten werden Wie folgt unterschieden:

• Der Kern formt einen Teilgrafen des gesamten Netzwerkes, in welchem die Knotensehr dicht miteinander verbunden sind

• Die Umgebungsknoten stehen nur mit Kernknoten in direkter Verbindung, undnicht mit anderen Umgebungsknoten

Dies wird in folgender Adjazenzmatrix dargestellt:

A =[CC CPPC PP

]≈[

1 CPPC 0

]

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Hierbei stellt CC die Untermatrix dar, welche die Verbindung der Kernknoten beschreibt,und PC steht für die Untermatrix, welche die Verbindung zwischen Kernknoten und Um-gebungsknoten beschreibt. PC und CP sind ident, da wir ungerichtete Graphen betrach-ten. Das größte Problem hierbei ist es, Core-Peripherie-Strukturen in gerichteten Graphenfestzustellen, da die meisten Methoden zur Findung dieser für ungerichtete Graphen ent-wickelt worden sind. Im allgemeinen sollten in unserer Struktur zwei Sachen gelten:

• CC = 1, da alle Kernknoten miteinander verbunden sind

• PP = 0, da keine Verbindung zwischen den Umgebungsknoten existiert.

Alle Knotenpunkte, von der Umgebung und von dem Kern, zu Klassifizieren ist einenichttriviale Aufgabe, die beispielsweise dadurch gelöst wird, dass man Kernknoten fin-det, sodass die Differenz unserer zweien oberen Matrizzen möglichst minimiert ist.

5.1.3 Empirische Netzwerke: Die Core-Peripherie-Struktur vs. bipartite Struk-turen

Die existierenden Studien zur Abschätzung der Core-Peripherie-Struktur, unterscheidensich indem, woher sie ihre Informationen entnehmen. Einge Möglichkeiten zur Informa-tionsentnahme sind:

• Daten von zwischenbanklichen Transaktionen

• Transaktionsdaten, welche aus dem zwischenbanklichen Zahlungsfluss herausgefil-tert werden

• Regulatorische Daten, welche von den Finanzinstituten an die Finanzbehörddengemeldet werden

Eine weitere Möglichkeit Blockstrukturen zu erkennen ist die Stochastische-Block-Methode(SBM). Die SBM ist ein Wahrscheinlichkeitsmodell von Zufallsgraphen mit flexiblenBlockstrukturen. Das bedeutet, dass Knoten verschiedenen Blöcken zugewiesen werden,und jedem Paar von Knoten wird eine Wahrscjeinlichkeit zugeteilt in Abhängigkeit vomKnotenblock.

Jedoch stoßen wir, auch bei dem Fall gesagter Netzwerke, bei der Richtigkeit der Core-Peripherie-Struktur auf Kontroversen. Das Problem hierbei entsteht, dass wir angenom-men haben, dass ein empirisches Netzwerk aus jeweils einem Kernblock und einem Um-gebungsblock an Knoten besteht. Die bedeutet jedoch, dass auch wenn es keine Core-Peripherie-Struktur im empirschen Netzwerk gibt, klassifiziert unsere Abschätzungsme-thode jeden Knotenpunkt als entweder Kernknoten oder Umgebungsknoten.

Als Beispiel schauen wir uns eine Visualisation zischenbanklicher intalienischer Netz-werke an. Man kann in der ersten Abbildung deutlich sehen, dass die Kernknoten sehrdicht verbunden sind. Auch sieht es so aus dass die Umgebungsknoten zwischen sich keineVerbindung haben, zum Kern jedoch schon. In der zweiten Abbildung formen italienische

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Abbildung 3: Diese Abbildung zeigt zwischenbankliche Netzwerke italienischer Banken.Sie stellt Verbindungen die während 10 Geschäftstagen entstanden sind, dar. Die rotenKreise stellen italienische Banken dar, und die schwarzen Kreise ausländische Banken

und ausländische Banken zwei seperate Kerne. Das macht es schwer eine Core-Peripherie-Struktur daraus zu entnehmen. Als Schlussfolgerung würde nur Sinn machen, dass es zweiCore-Peripherie-Strukturen in diesem Netzwerk gibt.

5.2 Warum zwischenbankliche Netzwerkdynamiken täglich ge-messen werden müssen

Auch wenn die meisten empirischen Arbeiten auf statischen Netzwerken basiert, ist dieGenauigkeit der Daten wesentlich, um ungewöhnliches Verhalten von Finanzinstitutenzu erkennen. Die meisten Transaktionen zwischen zwei Banken findet nachts statt. Diehat zur Folge, dass die Beziehung zwischen den Banken nur für einen Tag oder wenigerandauert, in Abhängigkeit wann genau der Kreditvertrag abgeschlossen wurde. Wenn dasProblem darin besteht, die Vernetzung der finanziellen Risiken zu verstehen, dann ent-halten gesamte Netzwerke von nächtlichen Transaktionen keine relevanten Informationen,da sie aus verschiedenen Verknüpfungen, welche an verschiedenen Tagen oder Nächtenentstehen, bestehen, die jedoch nicht zur selben Zeit existieren. Aber das ist auch nichtder Grund warum diese gesamten Netzwerke studiert werden, sondern Wissenschaftlererhoffen sich dadurch Informationen über Strukturen langjähriger Beziehungen zwischenBanken. Ein weiterer Grund um gesamte Netzwerke zu betrachten, sie sind im Gegensatzzu täglichen Netzwerken viel dichter und stabiler. Bei täglichen Netzwerken kommt esjeden Tag, wie es scheint, zu vollkommend zufälligen Veränderungen die nicht vorherseh-bar sind.

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5.2.1 Die tägliche Netzwerkdynamik

Bei täglicher Auflösung von Netzwerken wurde gezeigt, dass Strukturen von zwischen-banklichen Netzwerken auf dem italienischen zwischenbanklichen Markt, nicht durch dieCore-Peripherie-Struktur dargestellt werden können. Sondern durch bipartite oder allge-meineren gesellschaftlichen Strukturen beschreibbar sind. Wenn man nun die Auflösungder Struktur nicht mehr täglich macht, sondern sie auf Wochen oder sogar Monate ve-längert, dann steigt die Wahrscheinlichkeit auf eine Core-Peripherie-Struktur zu treffenenorm.

Wenn wir uns zwischenbankliche Märkte als dynamische Systeme vorstellen, in welchendie Struktur der zweiseitigen Offenlegungen jeden Tag verändert wird, dann ist es inter-essant zu wissen, ob tägliche Dynamiken zufällig, oder ob sie robust und zeitinvariant sind.Angenommen der tägliche Markt wird dargestellt durch eine Kombination von (N,M),wobei N die Anzahl aktiver Banken ist, und M die Anzahl Kanten darstellt. Sie sindstehen in einer superlinearen Beziehung N ∝M1.5 oder 〈N〉 ∝

√M unabhängig von der

Struktur oder Größe des täglichen Netzwerkes. Dies ist schön in der Abbildung 4(a) zuerkennen. Es wurden auch einige tägliche dynamische Muster im italienischen Markt ent-deckt, wie z.B. die Potenzgesetze der Dauer der Transaktion (Abb 4(b)). Das interessantedaran ist, dass diese Gesetzmäßigkeiten auch in unseren sozialen Netwerken, die durchmenschliche Kommunikation gebildet werden, gelten.

Abbildung 4: Periode zwischen September 2000 und Dezember 2015. In a) stellt jederPunkt einen Tag dar

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6 Diskussion und KonklusionIn dieser Seminararbeit wurden neueste Arbeiten zu dem Thema des finanziellen System-risikos basierend auf Netzwerkansetzen. Es wurden möglichst viele Modelle vorgestellt,jedoch natürlich nicht alle, da das den Rahmen dieser Seminararbeit sprengen würde.Insbesondere wurden die Möglichkeiten, wie man Systemrisiko kontrollieren kann, garnicht diskutiert. Damit das Wissenschaftliche Feld rund um Sysetemrisiko immer weiterwächst, mehr Arbeiten darüber publiziert werden und sich immer mehr Menschen dafürinteressieren sind drei Schritte notwendig:

• Man muss den Mechanismus hinter dem Phänomen des Systemrisikos verstehen

• Man muss die Struktur des Systems vorhersagen

• Und drittens ist es wichtig zu versuchen, die Geschehnisse im System zu kontrollie-ren und unverhersehbare und ungewollte Veränderungen zu minimieren oder voll-kommend zu verhindern.

Das Forschungsgebiet des Systemrisikos ist im Vergleich noch sehr jung und befindet sichnoch in dessen anfänglicher Phase der Untersuchungen. Wissenschaftler aus verschiedenenGebieten beginnen erst ihr Wissen zusammenzufügen um die oberen drei Punkte weiterund genauer zu erforschen. Dies wird auch dringend benötigt um unser Verständnis überdie Komplexität von Finanznetzwerken zu verstehen und das Systemrisiko zu minimieren.

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