Renato Betti – Politecnico di Milano

Renato Betti – Politecnico di Milano

Galois e il concetto di gruppo

Évariste Galois (1811-1832)

Pristem, Padova 12 aprile 2013

Renato Betti – Politecnico di Milano

Pregherai pubblicamente Jacobi o Gauss di dare il loro parere, non sulla verità ma sull’importanza dei teoremi.Dopo questo ci sarà, spero, qualcuno che troverà il suo profitto a decifrare tutto questo guazzabuglio.

011

nnn axax

Risolubilità per radicali delle equazioni algebriche:

Renato Betti – Politecnico di Milano

… le frecce intere rappresentano generalizzazioni di varie costruzioni o risultati, mentre quelle tratteggiate rappresentano “ispirazioni”…

Renato Betti – Politecnico di Milano

0)( 11

nnn axaxxF

Q,...,, 21 naaa

……………………………………………………………………………………………………...

024 rxqxpx ……………………………………

XVI secolo: Tartaglia, Cardano, Ferrari

02 bxax2

42 baax

03 qpxx 323

323

42724272qpqqpqx

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XVI - XVII secolo: Viète, Girard, …

nn

n

nn

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21

131212

211

)1(

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)())(( 211

1 nnnn rxrxrxaxax

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Newton: Arithmetica Universalis (1707)

kn

kkk rrrs ....21

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kkk kaasass

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32

2211

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cbrrrrrr 44)()( 221

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274

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nn

nn

n

xxx

xxxxxxxxx

21

131212

211

.................

Ogni polinomio simmetrico si può esprimere univocamente come un polinomio nei polinomi simmetrici elementari.

Teorema fondamentale delle funzioni simmetriche

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t = r1 + α r2 + α2 r3

)()()(31

322

132

213211 rrrrrrrrrr

21t rr

)()(21

21211 rrrrr

Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)Joseph Louis Lagrange

01 2

t

t 3=¿u3=¿

𝑡 𝑢

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Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)Joseph Louis Lagrange

t=𝒓 𝟏−𝒓 𝟐+𝒓 𝟑−𝒓 𝟒 t𝟐=¿¿u𝟐=¿¿¿v𝟐=¿¿

tuv

t=𝒓 𝟏+𝜶𝒓𝟐+𝜶𝟐𝒓 𝟑+𝜶𝟑𝒓 𝟒+𝜶𝟒𝒓𝟓

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Teorema. Se è una funzione razionale in n indeterminate, a coefficienti noti, l’ordine del gruppo di isotropia I( ) di è un divisore di n! Inoltre è radice di un’equazione di grado n!/ |I( )| a coefficienti noti. Teorema (di Lagrange). In un gruppo finito, l'ordine di un sottogruppo è un divisore dell'ordine del gruppo.

Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)Joseph Louis Lagrange

Esempio: 4321 rrrr (𝟏𝟐𝟑𝟒 )(𝟑𝟒𝟏𝟐)(𝟐𝟏𝟑𝟒 )(𝟒𝟑𝟏𝟐)(𝟏𝟐𝟒𝟑 )(𝟑𝟒𝟐𝟏)(𝟐𝟏𝟒𝟑 )(𝟒𝟑𝟐𝟏)

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Teorema. Se e ψ sono espressioni razionali in m indeterminate, e ψ assume n valori distinti sotto l'azione delle permutazioni di , allora ψ è radice di un'equazione di grado n, i cui coefficienti si esprimono razionalmente mediante .

)(I

𝝍=(𝒓 𝟏+𝒓 𝟐 )−(𝒓 𝟑+𝒓 𝟒)

Réflexions sur la résolution algébrique des équations (1770-1772)Joseph Louis Lagrange

4321 rrrr (𝟏𝟐𝟑𝟒 )(𝟑𝟒𝟏𝟐)(𝟐𝟏𝟑𝟒 )(𝟒𝟑𝟏𝟐)(𝟏𝟐𝟒𝟑 )(𝟑𝟒𝟐𝟏)(𝟐𝟏𝟒𝟑 )(𝟒𝟑𝟐𝟏)

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Esempio: 0433 xx

L’idea di Galois

𝒙𝟑−𝟑 𝒙−𝟒=(𝒙−𝒓 )(𝒙𝟐+𝒓𝒙+𝒓𝟐)

33 3232 r

Teorema (Ruffini, 1799, Abel, 1826)L’equazione generale di grado superiore al quarto non è risolubile per radicali.

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{ id }

id,,, 221

id,1

id,,,,,,, 3214321

Il gruppo di Galois

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43211 rrrr

43212 rrrr

)()( 43213 rrrr

434 rr

24|| 4S

45 r

Mémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux (1832-46)

Évariste Galois

KrrrKrrrPG

nn

K

),,,(),,,()(

)()2()1(21

Renato Betti – Politecnico di Milano

)()()(

)( PGalPGalvQQ

vQQ

id

PGal

PGal

PGal

K

vvQ

vQ

Q

vvQ

vQ

Q

)(

)(

)(

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)(

),(

)(

21

1

21

1

La connessione di GaloisMémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux

(1832-46)

Renato Betti – Politecnico di Milano

Teorema. è risolubile per radicali se e solo se, ampliando progressivamente il campo dei coefficienti con termini ausiliari v tali v p (con p primo) appartenga al precedente campo dei coefficienti, il gruppo si riduce all’identità.

0)( XP

)(PGalK

DefinizioneUn gruppo finito G si dice risolubile se esiste una catena di sottogruppi tale che:

Évariste GaloisMémoire sur le conditions de résolubilité des équations par radicaux (1832-46)

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Évariste Galois

… {id}

𝒙 2+𝑎𝒙+𝑏=0

+ q = 0)

Teorema (Ruffini, Abel)Il gruppo simmetrico S5 non è risolubile. Quindi l’equazione generale di quinto grado non è risolubile per radicali.

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… Jordan, Kronecker, Dedekind …

Esistenza dei “campi di spezzamento” delle equazioni: ),,,( 21 nrrrK

GalK(P) = AutK),,,( 21 nrrrK

KK

rrrKrrrK

id

nn

),,,(),,,( 2121

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Teoria di Galois di Artin

estensione finita di Galois:KQ

)()(

)(

QGalHKMQ KK

GalK

MaaaKKMGalKMQ K ,)(|:)(|

HHKK H |,)(|

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Se è un’estensione finita di campi, la connessione di Galois

stabilisce una corrispondenza biunivoca, che inverte l’ordine, fra il preordine dei campi intermedi e il preordine dei sottogruppi di .

KQ

)()(

)(

QGalHKMQ KK

GalK

KMQ )(QGalK

Teorema fondamentale della teoria di Galois

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YU p ricoprimento di X

UU ~ ricoprimento universale di X

KQ UU ~

____________________________________________________________

)(QGalK )(U

KMQ Y

UU

~

____________________________________________________________

Il gruppo fondamentale

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Grazie per l’attenzione