NUMERI FIGURATI Renato Betti Politecnico di Milano 26 novembre 2008.

NUMERI FIGURATI

Renato BettiPolitecnico di Milano26 novembre 2008

“La teoria elementare dei numeri dovrebbe essere uno dei migliori argomenti per la prima educazione matematica.Richiede poche conoscenze preliminari ed è una materia tangibilee familiare; i processi logici che utilizza sono semplici, generali e in numero limitato, ed è unica fra le scienze matematiche per il suo richiamo alla naturale curiosità umana”(G.H. Hardy, 1929)

I numeri figurati “sbucano” inaspettatamente in risultati moderni:

Il teorema dei numeri poligonali (Fermat – Cauchy)Il teorema pentagonale (Eulero)

I numeri figurati non sono questi….

I numeri figurati sono disposizioni di unità in maniera ordinata, secondo figure geometriche….

(numeri poligonali)

(oblunghi)

(generalizzati)(tetractys)

(cubici) (piramidali)

1 1

3 5 8

7 9 11 27

13 15 17 19 64

21 23 25 27 29 125

… … … … … … … … … … …

Nicomaco di Gerasa(II aC)

23333 )...321(....321 nn

2)12(...531 nn

)1(2...642 nnn

nNnn 32)1(

18 312

4 nn NN

nNN nn 23

125 3

144

144

nnnn NNNN

n-1

n

Numeri poligonali

...97531

quadrati

...1310741

pentagonali

...1713951

esagonali

……………………

....11111 numeri

...54321 triangolari

numeri…5,4,3,2,1, n

triangolari…15,10,6,3,1,2

)1( nn

quadrati…25,16,9,4,1, 2n

pentagonali…35,22,12,5,1,2

3 2 nn

esagonali…45,28,15,6,1, nn 22

….……………… ….

Problema: nelle sequenze di numeri poligonali il terzo numero è sempre divisibile per 3 e il quinto numero è sempre divisibile per 5. Questa proprietà è vera anche per gli altri numeri poligonali (ettagono, ottagono etc)? E perché il quarto numero triangolare non è divisibile per 4? Vale la proprietà per il settimo? E in generale quando vale?

133

nn NnN

13

1334 2 nnnn NnNNN

qnqq )1(1...)21()1(1 )2( mq

nm

nm

N nm 2

4

2

2 2

13

1356 4 nnnn NnNNN

13

131 )2(

nnnm

nm NmnNNN

2)1(1

3nnnN n

mn

mN n

m 2

4

2

2 2

13

1345 3 nnnn NnNNN

Il teorema dei numeri poligonali

(Fermat, 1636)“Ho trovato della massima importanza la proposizione che ogni numero è composto da uno, da due o da tre triangolari; da uno o da due o da tre o da quattro quadrati; da uno o da due o da tre o da quattro o da cinque pentagonali; da uno o da due o da tre o da quattro o da cinque o da sei esagonali, e così via ad infinitum.Per dimostrare questa proposizione devo dimostrare che ogni primo che supera di un’unità un multiplo di 4, come 5, 13, 17, 29, 37, e così via, è composto da due quadrati.”

22)4(mod1 yxpp

Eulero: 1751

Lagrange: 1770

Se TZYX ,,,

Ancora Eulero, 1773:

Gauss, 1796:

numero!

7 (mod 8) u

uzyx a 4222L’equazione ha soluzioni intere

Teorema (Legendre):

Cauchy, 1813-15:

Ogni numero intero è uguale alla somma di 4 pentagonali o una somma simile aumentata di una unità; alla somma di 4 esagonali o ad una somma simile aumentata di una o didue unità; alla somma di 4 ettagonali o ad una somma simileaumentata di una o due o tre unità... e cosi via.

Lemma di Cauchy: Siano k ed s due interi negativi disparitali che e . Allora esistono interinon negativi a, b, c e d tali che:

ks 42 423 2 ssk

dcbas

dcbak

2222

k’ = k +2 ……..

n = Ak+Bs+r (0 r < m – 4) è somma di m numeri m-gonali

k >121, ksk 4133

n = Ak+Bs+r (0 r < m – 4)

Il teorema pentagonale (Eulero, 1750)

“In quanti modi si può scrivere il numero 50 come somma di 7diversi numeri?”(Ph. Naudé il giovane, 1740)

Hardy & Ramanujan, 1918:

Rademacher, 1937:

...75321)(1

1 543

0

2

1

xxxxxxnpx n

n

kk

...)....1...)....(1...)(1(1

1 2422

1

kk

kk

xxxxxxx

1)()(

....)(

....)(2

210

2210

xBxA

xbxbbxB

xaxaaxA

.................

0

0

1

021120

0110

00

bababa

baba

ba

11

1)1(

11

rk

k

k

xx

01

)()1(n

n

k

k xnqx

....1

)....1)...(1)(1()1(

3526221512752

2

1

xxxxxxxxx

xxxx k

k

k

Teorema pentagonale (Eulero):

2

3

1

2

)1()1(nn

n

k

k xx

kkk No

altrimenti

Nnsenq 55

0

)1()(

Casi eccezionali:

nnNNN nnn

2

1

2

3 25

134

nnNNN nnn

2

1

2

3 2534

La formula ricorsiva di Eulero per il calcolo delle partizioni

)()()1(

...)7()5()2()1()(

55kkk NnpNnp

npnpnpnpnp

0)()0(....)1()1()0()( nqpqnpqnp

)....7()5()2()1()( nnnnn

La formula ricorsiva di Eulero per la somma dei divisori di n

Eulero, De partitionenumerorum, 1750

Bibliografia

E. Delucchi, M.D. Froidcoeur, +& C., Bollettino dei docenti di Matematica della Svizzera italiana, n. 55 (2007)

G.A. Andrews, Euler’s Pentagonal Number Theorem, Mathematics Magazine 56, n. 5 (1983)

M.B. Nathanson, A short Proof of Cauchy’s Polygonal Number Theorem, Proc. AMS 99, n.1 (1987)

P. Bussotti, A. Scimone, Tutto è poligonale, I. L’antefatto, II. Verso la meta, Lettera Mat. Pristem, in corso di stampa

J. Conway, R. Guy, Numbers, Springer 1996

J. Bell, Euler and the Pentagonal Number Theorem, ArXiv: math/051005v2 [math HO]