I numeri figurati Numeri quadrati: Numeri triangolari:

I numeri figurati

• Numeri quadrati:

• Numeri triangolari:

• Numeri rettangolari

Indaghiamo sulle proprietà dei numeri naturali

a) Che relazione c’è tra ogni numero quadrato e il suo successivo?

b) Che relazione c’è tra ogni numero triangolare e il suo successivo?

c) Che relazione c’è tra ogni numero rettangolare e il suo successivo?

d) Esiste una relazione tra numeri quadrati e numeri triangolari?

e) Esiste una relazione tra numeri triangolari e numeri rettangolari?

a) La successione degli gnomoni (parte da aggiungere ad una figura per ottenerne un’altra della stessa forma) dei numeri quadrati corrisponde alla successione dei numeri dispari:

Quindi ogni numero dispari si può esprimere come

differenza di quadrati di due numeri consecutivi (Pitagora):

...

347

235

123

22

22

22

b) La successione degli gnomoni (parte da aggiungere ad una figura per ottenerne un’altra della stessa forma) dei numeri triangolari corrisponde alla successione dei numeri interi:

c) La successione degli gnomoni (parte da aggiungere ad una figura per ottenerne un’altra della stessa forma**) dei numeri quadrati corrisponde alla successione dei numeri pari:

** In realtà ottengo un altro rettangolo, che non ha però la stessa forma!

(tutti i rettangoli hanno però le dimensioni ))1( nn

d) Sommando tra loro due numeri triangolari consecutivi, si ottiene sempre un numero quadrato:

e) Ogni numero triangolare è la metà del numero rettangolare corrispondente:

Quindi l’n-simo numero triangolare è dato

dalla formula .

2

1nn

Poiché l’n-simo numero triangolare corrisponde alla somma dei primi n naturali, la formula ci permette di calcolare tale somma!

Esempio:

102

)14(443214

T

A questo punto, possiamo dimostrare la proprietà osservata al punto d) anche aritmeticamente.

Infatti dalla seguente catena di uguaglianze si ottiene:

1

2

2

22

1

)1(

2

242

2

22

2

2

)2)(1(

2

)1(

n

nn

Q

n

nn

nnnnn

nnnn

TT

T2+T3

T3

Quali sono le conoscenze e le competenze coinvolte in queste attività?

• Numeri naturali (pari, dispari, quadrati…)

• Addizione e sottrazione tra numeri naturali

• Relazioni e loro rappresentazioni

• Ordinamenti

• Confrontare e ordinare numeri

• Riconoscere, costruire e rappresentare relazioni tra numeri naturali

• Individuare e descrivere regolarità