I piaceri della dualità: un esempio Renato Betti – Politecnico di Milano.

I piaceri della dualità: un esempio

Renato Betti – Politecnico di Milano

0 cbxy


R(a,b)S(x,y)


Corrispondenza fra curve '

'

0 cbxy


0 cbxy


0 cbxy


0 cbxy


0 cbxy

02 cbtt

b

c


0 cbxy

2ty

tx

2xy


02 cbtt

02 cbtt


2

4

1bc La parabola di equazione è la duale della

2xy

02 bt

2

2

tc

tb

042 cb (discriminante dell’equazione di secondo grado)


03 cbtt

b

c

0 cbxy

3ty

tx

3xy

03 cbtt


Un’equazione di terzo grado ha sempre almeno una soluzione reale


03 2 bt

03 cbtt

3

2

2

3

tc

tb


0274 23 abLa cubica cuspidata di equazione è la duale della cubica di equazione

3xy

0274 23 ab (discriminante dell’equazione di terzo grado)


02 cbtt n 012 cbtt n

02 12 bnt n 0)12( 2 btn n

n

n

tnc

ntb2

12

)12(

2

12

2

2

)12(n

n

ntc

tnb


L’equazione ha due radici reali distinte se il punto (a,b) è esterno alla curva (convessa) di equazioni parametriche

02 cbtt n

n

n

tnc

ntb2

12

)12(

2

Ha due radici reali coincidenti se il punto (a,b) appartiene alla curva, non ne ha se il punto è interno alla curva.L’equazione ha una radice reale di molteplicità superiore a due solo se a = b = 0.


L’equazione ha sempre almeno una radice reale.

012 cbtt n

Ha tre radici reali e distinte quando il punto (a,b) è interno alla curva cuspidata di equazioni

12

2

2

)12(n

n

ntc

tnb

Ha una radice reale doppia se (a,b) appartiene alla curva ed una sola radice reale se il punto è esterno alla curva.L’equazione ha una radice reale di molteplicità superiore a due solo se a = b = 0.


04 cbtt 05 cbtt

Provate a studiare 024 dctbtt

Grazie

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