Proraun prema graninim stanjima deformacija Luka Uljarevi
15/10
Proraun prema graninim stanjima deformacija Luka Uljarevi
15/10
SADRAJUVOD21. OGRANIENJE DEFORMACIJA31.1. OGRANIENJE UGIBA32.
UGIB42.1. SREDNJA KRIVINA52.2. SADEJSTVO ZATEGNUTOG BETONA IZMEU
PRSLINA62.3. STATIKI UTICAJI PRI POJAVI PRSLINA82.4. VRSTOA BETONA
PRI ZATEZANJU SAVIJANJEM92.5. PRORAUN KRIVINE ELEMENTA IZLOENOG
ISTOM SAVIJANJU102.6. POETNA KRIVINA112.7. KRIVINA U TOKU
VREMENA132.8. KOEFICIJENTI ZA PRORAUN KRIVINE182.9. PRORAUN KRIVINE
ELEMENTA IZLOENOG SLOENOM SAVIJANJU202.10. POETNA KRIVINA212.11.
KRIVINA U TOKU VREMENA252.12. PRORAUN UGIBA282.13. PRORAUN UGIBA PO
BILINEARNOJ METODI302.14. SUPERPOZICIJA333. GRANINI UGIB354.
KRITERIJUM KADA PRORAUN UGIBA NIJE NEOPHODAN375.
PRIMER43ZAKLJUAK61LITERATURA62 UVODPod pojmom graninog stanja
podrazumeva se stanje preseka, odnosno konstrukcije pri kome presek
ili konstrukcija gubi sposobnost da se odupre spoljnim uticajima
ili pak dobije nedoputeno velika ili lokalna oteenja, ime prestaje
da ispunjava postavljene kriterijume u pogledu nosivosti, trajnosti
i funkcionalnosti. Prema tome, konstrukcija (ili deo konstrukcije)
smatrae se nepodobnim za predvienu upotrebu ako je prekoraeno bar
jedno od graninih stanja. Pristup na ovaj nain zasnovan na bazi
pouzdanosti konstrukcije zahteva da se odabere ogranien skup stanja
za opisivanje ponaanja konstrukcije. Ovakva stanja se obino
nazivaju graninim stanjima pri kojima konstrukcija zadovoljava
uslove za koje je projektovana.Granina stanja se uopte dele na dve
velike grupe: a) granina stanja nosivosti-loma; b) granina stanja u
eksploataciji, takozvana granina stanja upotrebljivosti, gde su
najznaajnija granina stanja deformacija i granina stanja prslina.
Proraun prema graninim stanjima prvi put se pojavio u bivem SSSR-u,
gde je 1939. godine ovaj nain prorauna armiranobetonskih
konstrukcija uveden u regulative SSSR-a (SNiP). Krajem esdesetih
godina proslog veka, veina zemalja Evrope je prela na ovaj nain
prorauna. Pravilnikom za beton i armiranibeton BAB 71 je i u naoj
zemlji uveden u upotrebu ovaj nain prorauna, u poetku samo kao
alternativa proraunu prema doputenim naponima koji je jo uvek, u to
vreme bio na snazi. Donoenjem Pravilnika BAB 87 prelo se na proraun
prema graninim stanjima. Kod nas je i dalje na snazi ovaj
Pravilnik, dok u zemljama Evropske unije za proraun
armiranobetonskih konstrukcija su na snazi Evrokodovi
(EC).Deformacija armiranobetonskih elemenata i konstrukcija se
doputa pod uslovom da ona ne izazove oteenja samog sistema i drugih
nenosivih elemenata, a samim tim i ne bude ugroena upotrebljivost
konstrukcije. Deformacija, ili izoblienje je opti naziv za ugib,
zakrivljenost, izduenje i skraenje, uvrtanje i promenu nagiba.
Prognoziranje deformacija je jedan vrlo kompleksan zadatak, zbog
uticaja mnogo faktora koji se menjaju du ose elemenata i u toku
vremena. Iz ovog razloga nije mogue dobiti ni jedan taan algoritam
za proraun deformacija, pa se rade pribline metode iji se dobijeni
rezultati meusobno razlikuju, kao i prema izmerenim vrednostima na
samoj konstrukciji. Veliina deformacija pre svega zavisi od
mehanikih karakteristika materijala, geometrijskih veliina, i vrsti
i veliini optereenja. Granine vrednosti deformacija propisuju se
zavisno od vrste konstrukcije, spoljanje strukture, osetljivosti
pregradnih zidova i vizuelnom efektu. Za razliku od stambenih i
poslovnih objekata, kod industrijskih objekata ogranienje
deformacija je u fukciji rada maina, kretanja krana i drugih
specifinih zahteva.
1. OGRANIENJE DEFORMACIJAKod prorauna armiranobetonskih
konstrukcija prema graninim stanjima deformacija treba dokazati da
prilikom najnepovoljnije kombinacije dejstava za vreme
ekspoloatacije, stanje deformacija svih elemenata i same
konstrukcije u celini ispunjava odgovarajue kriterijume
funkcionalnosti. Deformacije elemenata armiranobetonskih
konstrukcija moraju da budu kompitabilne sa moguim deformacijama
svih elemenata objekta, sa kojima su bilo u direktnom, bilo u
indirektnom kontaktu. Govorimo o elementima objekta koji su
izgraeni od razliitih materijala, razliitih deformacijskih
karakteristika i koji obezbeuju samu funkciju objekta, a pri tom
gledano u uem smislu te rei nisu deo konstrukcije. Da bi smo
obezbedili da ne doe do oteenja ovih elemenata objekta, usled ega
bi njihova funkcionalnost bila ugroena, treba ograniiti deformacije
armiranobetonskih elemenata.Kad je praksa u pitanju, poznati su
sluajevi ugroavanja funkcionalnosti, usled pojave oteenja ili
pojave prslina, koje su ak i velikih irina, i to na krtim
pregradnim zidovima, oblogama, izolacijama, ispunama i drugim
elementima objekta. Treba voditi rauna da deformacije
armiranobetonskih elemenata budu u granicama koje ne bi mogle da
promene predviene nagibe toliko da bi se poremetilo normalno
odvodnjavnje objekta. Da bi se izbegao nepovoljan psiholoki i
estetske utisak, takoe je potrebno organienje deformacija. U koliko
to bolje poznajemo stanje deformacija, u toliko emo moi preciznije
da proraunamo statiki neodreene armiranobetonske elemente. Ponaanje
betona u toku vremena bitno utie na stanje deformacija
armiranobetonskih elemenata. Vrenjem analize, redovno se uzima u
obzir uticaj teenja betona na stanje deformacija usled dugotrajnih
dejstva, a najee i uticaj skupljanja betona, koji je obino znatno
manji.Ovim proraunom prema graninim stanjima deformacija treba
dokazati da maksimalne deformacije armiranobetonskih elemenata
usled najnepovoljnije kombinacije dejstava u toku eksploatacije , a
u proizvoljnom trenutku vremena , nisu vee od graninih
vrednosti.
1.1. OGRANIENJE UGIBAKada govorimo o graninom stanju deformacija
armiranobetonskih elemenata koje je izloeno sloenom savijanju,
dolazimo do zakljuka da se ono svodi na granino stanje ugiba.
Proraunom prema graninom stanju ugiba treba dokazati da maksimalni
ugib armiranobetonskog elementa, usled najnepovoljnije kombinacije
dejstava u toku eksploatacije, u proizvoljnom trenutku vremena ,
nije vei od granine vrednosti ugiba . . 1.1.Uslov 1.1. je merodavan
za dimenzionisanje armiranobetonskih elemenata u sluaju kad su
granine vrednosti ugiba male.2. UGIBGovorei o ugibu
armiranobetonskog elementa koji je izloen sloenom savijanju, a u
proizvoljnom trenutku vremena , u praksi najee se proraunava
primenom postupka koji se bazira na principu virtualnog rada..
2.1.Iz jednaine 2.1. vidimo da se ugib odreuje integracijom po
duini elemenata proizvoda srednje krivine i fiktivnog momenta
savijanja , usled jednaine sile, koja po poloaju, pravcu i smeru
odgovara traenom ugibu.
Slika 1. Proraun ugiba
Na Slici 1. vidi se deo, elemenata ukupne duine , odgovarajui
dijagram srednje krivine od spoljanjih dejstava i, kao i dijagram
fiktivnih momenata savijanja , koji su potrebni pri proraunu ugiba
.
2.1. SREDNJA KRIVINA
Od stanja prslina zavisi srednja krivina armiranobetonskog
elementa. Kada se pojave prsline u armiranobetonskim elementima,
nastaju kvalitativne i kvantitativne promene stanja
deformacija.Slika 2. Srednja krivina armiranobetonskog elementa
izloenog istom savijanju momentom
Na prethodnoj slici vidimo karakteristini dijagram zavisnosti
srednje krivine od momenta savijanja , za armiranobetonski element
koji je izloen istom savijanju, koji odgovara rezultatima
eksperementalnih istraivanja.Za neisprskali armiranobetonski
element, dijagram je praktino linearan. Kako se pojave prsline,
koje izazivaju kvalitativnu promenu stanja napona i deformacija u
presecima sa prslinom i u njihovoj neposrednoj okolini, dolazi, sa
porastom momenta savijanja , do znatno breg poveanja srednje
krivine .U toku formiranja stabilizovane slike prslina, dijagram
zavisnosti srednje krivine od momenta savijanja izrazito je
nelinearan.Za isprskali armiranobetonski element, dijagram se, do
maksimalnog momenta savijanja u toku eksploatacije, ponovo
pribliava linearnom, ali sa znatno brim poveanjem sredine krivine
sa porastom momenta savijanja , nego za neisprskali element. Dalje
poveanje momenta savijanja , preko maksimalnih vrednosti koje se u
toku eksploatacije mogu pojaviti, dovelo bi do izraene
plastifikacije i loma armiranobetonskog elementa.U velikoj meri od
povrine donje, zategnute armature zavisi dijagram zavisnosti
srednje krivine od momenta savijanja . Veoj povrini donje,
zategnute armature , odnosno veem koeficijentu armiranja donjom,
zategnutom armaturom , odgovaraju manje vrednosti srednje krivine
.Kada moment savijanja nije vei od momenta pojave prsline , srednja
krivina identina je sa krivinom za stanje I , sraunatom za
proraunski model preseka bez prslina. Ovo se odnosi na neisprskali
armiranobetonski element., za , 2.2.Za isprskali armiranobetonski
element, vrednost srednje krivine , tj. kada je moment savijanja
vei od momenta pojave prslina , nalazi se izmeu najmanje mogue
vrednosti krivine za stanje , sraunate za proraunski model preseka
bez prslina i najvee mogue vrednosti krivine za stanje , sraunate
za proraunski model preseka sa prslinom. Nju raunamo sledeim
izrazom,, za . 2.3.
2.2. SADEJSTVO ZATEGNUTOG BETONA IZMEU PRSLINAKoeficijent zavisi
od sadejstva zategnutog betona izmeu prslina. Ukoliko tog sadejstva
ne bi bilo, koeficijent bi bio 1. Ukoliko se poveava sadejstvo,
koeficijent opada do 0, koja odgovara punom sadejstvu, bez
postojanja prslina. Koeficijent je kvadratna funkcija odnosa napona
u donjoj zategnutoj armaturi za naponsko stanje II, neposredno
posle pojave prsline i u proizvoljnom trenutku vremena , ,
2.4.Prema Modelu propisa CEB-FIP 78 / 25 / , pri odreivanju
koeficijenta , uvode se koeficijenti i , kao i ogranienje na
vrednost 0,4 . Izraz 2.4. svodi se na izraz,. 2.5.Koeficijent, koji
zavisi od sadejstva zategnutog betona izmeu prslina, za
armiranobetonski element izloen sloenom savijanju, prema izrazu
2.5., iznosi,, 2.6.a element izloen istom savijanju,, 2.7.Da bi smo
odredili koeficijent , prema jednainama 2.6. i 2.7. moemo koristiti
i sledei dijagram na Slici 3,
Slika 3. Dijagram koeficijenta Na dijagramu sa Slike 3, za
armiranobetonske elemente, izloene kratkotrajnim ili dugotrajnim,
odnosno vie puta ponovljenim dejstvima, armirane sa GA ili RA ,
prikazana je vrednost koeficijenta u zavisnosti od odnosa napona ,
odnosno od .Uticaj stepena prianjanja izmeu armature i betona uvodi
se preko koeficijenta . Za glatku armaturu uzima se da iznosi 0,5,
dok za rebrastu armaturu 1.
Vrsta armature
GA 240/3600,5
RA 400/5001
Tabela 1. KoeficijentPreko koeficijenta uvodi se uticaj reolokih
karakteristika betona u toku vremena. Za kratkotrajna dejstva
iznosi 1, a za dugotrajna ili vie puta ponovljena dejstva 0,5 to se
vidi u priloenoj Tabeli 2,Trajanje dejstva
Kratkotrajno1
Dugotrajno0,5
Vie puta ponovljeno
Tabela 2. Koeficijent Slika 4. Srednja krivina elementa izloenog
istom savijanju
2.3. STATIKI UTICAJI PRI POJAVI PRSLINAMoment pojave prsline ,
za armiranobetonski element izloen sloenom savijanju iznosi,,
2.8.za elemente izloene istom savijanju iznosi,. 2.9. normalna sila
koju treba uneti u izraz 2.8., zavisi od istorije optereenja do
pojave prslina.Ako istorija optereenja ne moe da se predvidi, a to
je redovna pojava, vrednost normalne sile treba, za analizu
graninog stanja ugiba, da odgovara najveoj vrednosti ugiba, odnosno
najveoj vrednosti srednje krivine , to je na strani sigurnosti.Na
osnovu izraza 2.3. za koeficijenta treba uzeti najveu vrednost,
koja se prema izrazu 2.4. dobija kada se za napon zatezanja u
donjoj armaturi , neposredno posle pojave prsline u preseku, uzme
po apsolutnoj vrednosti najmanja vrednost.Na osnovu sprovedene
analize, dolo se do zakljuka da za normalnu silu , ukoliko je ona
vea od nule, , treba uneti po apsolutnoj vrednosti, najveu
vrednost, a kada se radi o sili zatezanja, , treba uneti, po
apsolutnoj vrednosti, najmanju vrednost. Unoenjem vrednosti
normalne sile u izraz 2.8. moe se pokazati da najee ne utie bitno
na vrednost ugiba.2.4. VRSTOA BETONA PRI ZATEZANJU SAVIJANJEMlanom
51 Pravilnika BAB 87 definisana je vrstoa betona pri zatezanju
savijanjem , koja se unosi u izraze za odreivanje statikih uticaja
pri pojavi prslina.Prema graninim stanjima deformacija u proraunu
armiranobetonskih elemenata, odnosno prema graninom stanju ugiba,
unosi se srednja vrednost vrstoe betona pri zatezanju savijanjem ..
2.10.Srednja vrednost vrstoe betona pri aksijalnom zatezanju ,
ukoliko se ne raspolae rezultatima ispitivanja betona u konkretnom
sluaju, odreuje se u odnosu na vrsou betona pri pritisku , iz
izraza, , 2.11.vrstoe i su izraene u .
Slika 5 . Dijagram srednje vrstoe betona pri aksijalnom
zatezanju
Odnos srednje vrstoe betona pri zatezanju savijanjem i srednje
vrstoe betona pri aksijalnom zatezanju definisan je izrazom,,
2.12.Visina preseka je izraena u.Na narednoj slici prikazan je
dijagram odnosa srednjih vrstoa betona pri zatezanju savijanjem i
pri aksijalnom zatezanju u zavisnosti od visine preseka d .
Slika 6. Dijagram odnosa srednjih vrstoa betona pri zatezanju
savijanjem i pri aksijalnom zatezanju
2.5. PRORAUN KRIVINE ELEMENTA IZLOENOG ISTOM SAVIJANJU
Poetne krivine armiranobetonskog elementa i i krivine i, u toku
vremena t, za naponsko stanje I i za naponsko stanje II, a preko
njih i odogovarajue srednje krivine i , mogu se izraziti u funkciji
poetne krivine odgovarajueg neisprskalog betonskog elementa ,
koeficijenta teenja betona, slobodne dilatacije skupljanja betona i
6 koeficijenata ,,, ,,, preko kojih se uvodi uticaj armature,
uticaj teenja i uticaj skupljanja betona. , 2.13.U prethodnom
izrazu 2.13. prikazana je poetna krivina , neisprskalog betonskog
elementa, izloenog istom savijanju momentom, pri emu je moment
inercije poprenog preseka, a modul elastinosti betona u poetnom
trenutku vremena .
2.6. POETNA KRIVINA Slika 7. Proraunski model za odeivanje
poetne krivine Na Slici 7. prikazan je proraunski model za
odreivanje poetne krivine , armiranobetonskog elementa, izloenog
istom savijanju, sa poprenim presekom proizvoljnog oblika, za
naponsko stnje I.Poetna krivina , elementa izloenog istom
savijanju, iznosi, . 2.14. Slika 8. Proraunski model za odreivanje
poetne krivineNa Slici 8. prikazan je proraunski model za
odreivanje poetne krivine , armiranobetonskog elementa, izloenog
istom savijanju, sa poprenim presekom proizvoljnog oblika, za
naponsko stanje II.
Poetna krivina , za naponsko stanje II , izraena je slino kao i
za naponsko stanje I, i ona iznosi, . 2.15.Izrazi 2.14. i 2.15.
mogu se napisati i u sledeem obliku, , 2.16.. 2.17. Preko
koeficijenata i se uvodi uticaj armature i oni iznose, , 2.18. .
2.19.Srednja poetna krivina , odreuje se prema izrazima 2.2. i
2.3., iz, , za , 2.20. , za . 2.21.U funkciji momenta savijanja ,
srednja poetna krivina, je prikazana na sledeoj slici,
Slika 9. Srednja poetna krivina 2.7. KRIVINA U TOKU VREMENAZa
naponsko stanje I, krivina , armiranobetonskog elementa, izloenog
istom savijanju u toku vremena, odreuje se kao zbir poetne krivine
i promene krivine, u toku vremena, . 2.22.Proraunski model za
odreivanje promene krivine , elementa, sa poprenim presekom
proizvoljnog oblika, za naponsko stanje I, prikazan je na sledeoj
slici,
Slika 10. Proraunski model za odreivanje promene krivine
Promena krivine iznosi, . 2.23.Slobodna krivina iznosi, . 2.24.U
izrazu 2.25. prikazan je obrazac za izraunavanje fiktivnog momenta,
u odnosu na teite idealizovanog preseka , , 2.25.pri emu se
fiktivni uticaji i dobijaju iz sledeih obrazaca, , 2.26. .
2.27.
Slobodna dilatacija betona, na nivou teita armature iznosi, ,
2.28.Dilatacija , u teitu betonskog preseka, elementa izloenog
istom savijanju, dobija se jednainom, , 2.29.Odnosno, imajui u vidu
izraz 2.14., iznosi, . 2.30.Ako unesemo izraz 2.30. u 2.28.,
slobodna dilatacija betona , u nivou teita armature se dobija iz
sledeeg izraza, , 2.31.pa sada se fiktivna normalna sila, prema
izrazu 2.26. dobija iz, . 2.32.Sada fiktivni moment, unoenjem 2.24.
u 2.27., iznosi, . 2.33.Ako imamo u vidu izraze 2.32. i 2.33.,
fiktivni moment, prema izrazu 2.25., dobija se iz,
. 2.34.
Nakon unoenja izraza 2.24. i 2.34. u 2.23., promena krivine
iznosi,
. 2.35.pri emu je, . 2.36.Krivina armiranobetonskog elementa,
izloenog istom savijanju, za naponsko stanje II, u toku vrema,
odreuje se, slino kao i za naponsko stanje I, kao zbir poetne
krivine i promene krivine , u toku vremena, . 2.37.
Slika 11. Proraunski modela za odreivanje promene krivine
Promena krivine , za naponsko stanje II, izraena je slino kao i
za naponsko stanje I, samo je u jednain i 2.35. u oznakama naznaeno
da je naponsko stanje II umesto naponsko stanje I.Imajui u vidu
izraze 2.16. i 2.17., izrazi za promenu krivina za naponska stanja
I i II mogu se napisati u sledeem obliku,
, 2.38. . 2.39.
Koeficijenti i , preko kojih se uvodi uticaj teenja betona,
iznose, , 2.40. . 2.41.
Koeficijentii , preko kojih se uvodi uticaj skupljanja betona,
iznose,
, 2.42. . 2.43.
Krivine i , nakon unoenja 2.16. i 2.38. u 2.22., odnosno 2.18. i
2.39. u 2.37., odreuju se iz izraza,
, 2.44. . 2.45.
Srednja krivina , u toku vremena, odreuje se, prema izrazima
2.2. i 2.3. iz,
, za , 2.46. , za . 2.47.
Slika 12. Srednja krivina u toku vremena , za Na Slici 12.
prikazana je srednja krivina , u funkciju momenta , u toku vremena
, bez uticaja skupljanja betona.
Slika 13. Srednja krivina u toku vremena , za Na Slici 13.
prikazana je srednja krivina , u funkciju momenta , u toku vremena
, sa uticajem skupljanja betona.
2.8. KOEFICIJENTI ZA PRORAUN KRIVINEPoetne krivine i ,
armiranobetonskog elementa izloenog istom savijanju, kao i krivine
i , u toku vremena, za naponsko stanje I i za naponsko stanje II,
prema prikazanom postupku prorauna, izraene su u funkciji 6
koeficijenata .Za naponsko stanje I, proraunskog modela preseka bez
prslina i za naponsko stanje II, proraunskog modela preseka sa
prslinom, preko koeficijenata i, koji su dati u izrazima 2.18. i
2.19., uvodi se uticaj armature, preko koeficijenata i , koji su
datu izrazima 2.40. i 2.41., uticaj teenja betona, a preko
koeficijenata i , datih u izrazima 2.42. i 2.43., uticaj skupljanja
betona.U praksi, koeficijentise mogu dovoljno tano oitati i sa
dijagrama, koji su izraeni za najee oblike poprenog preseka.Za
jednostruko armitani T presek, irine rebra i visine, kao i irine i
visine gornje ploe, dijagrami koeficijenatadati su u Prilogu 3.5*
Prirunika.Na dijagramima, vrednosti koeficijenata su odreene prema
bruto betonskom preseku, odnosno , tj. za odgovarajue idealizovane
preseke i , odnosno i , to je za proraun deformacija u praksi
dovoljno tano.
Slika 14. Jednostruko armirani T presek
Slika 15. Koeficijentiza jednostruko armirani T presek
Na Slici 15. na dijagramima prikazane su vrednosti
koeficijenata, za jednostruko armirani T presek, za uobiajne
vrednosti koeficijenata i , u zavisnosti od koeficijentai odnosa .
, 2.48. , 2.49.U izrazima 2.48. i 2.49. prikazane su irina i visina
, gornje ploe T preseka, definisane preko koeficijenata i .Poloaj
teita betonskog preseka , u odnosu na gornju ivicu preseka iznosi,
. 2.50.Moment inercije betonskog preseka dobija se, onda iz izraza,
. 2.51.
U prethodnom izrazu 2.51. u srednjoj zagradi dat je koeficijent
momenta inercije T preseka, i prestavlja odnos momenta inercije T
preseka i odgovarajueg pravougaonog preseka (), irine rebra i iste
visine. U Prilogu 3.5.85 Prirunika se moe dovoljno tano oitati sa
dijagrama. Na tom dijagramu, vrednost prikazana je u zavisnosti od
koeficijenata i, to se vidi na sledecoj slici.
Slika 16. Moment inercije T preseka2.9. PRORAUN KRIVINE ELEMENTA
IZLOENOG SLOENOM SAVIJANJUPrema Priruniku CEB /22/, proraun krivine
armiranobetonskog elementa, izloenog sloenom savijanju, moe se
uvoenjem dopunskih pretpostavki svesti na proraun krivine elementa
izloenog istom savijanju. U tom sliaju krivina elementa izloenog
sloenom savijanju se moe izraziti preko istih 6 koeficijenata, koji
su korieni za proraun krivine elementa izloenog istom
savijanju.
2.10. POETNA KRIVINAPretpostavke koje su prikazane na Slici 17.
za proraun poetne krivine, se mogu uvesti kao dovoljno tane za
praksu.
Slika 17. Poetna krivina elementa izloenog sloenom savijanju
Pretpostavlja se da je poetna krivina za naponsko stanje I,
elementa izloenog sloenom savijanju momentomI normalnom silom,
jednaka sa poetnom krivinom, za naponsko stanje I, elementa
izloenog istom savijanju momentom , . 2.52.Pretpostavlja se da je
poetna krivina, za naponsko II, elementa izloenog sloenom
savijanju, za vrednost momenta , jednaka, takoe sa poetnom
krivinom, za naponsko stanje I, elementa izloenog istom savijanju
momentom. , za , 2.53.a da je, za vrednost momenta , jednaka zbiru
poetne krivine, za naponsko stanje II , elementa izloenog istom
savijanju momentom , i poetne krivine, za naponsko stanje II,
elementa izloenog istom savijanju momentom, koji u odnosu na teite
idealizovanog preseka sa prslinom daje normalna sila , koja deluje
u teitu idealizovanog preseka bez prsline, , za . 2.54.Usled
dejstva normalne sile, poetna krivina, odreuje se preko izraza, ,
2.55.odnosno, ako se ima u vidu izraz 2.19. iz, . 2.56.Moment, kao
granica vanosti izraza 2.60. i 2.61. za poetnu krivinu, odreuje se
iz uslova, koji se dobija izjednaavanjem ova dva izraza, , za .
2.57.Ako imamo u vidu ranije izraze 2.14., 2.15. i 2.55., izraz
2.57. svodi se na, , 2.58.odakle je, . 2.59.Ako uzmemo u obzir
izraze 2.18. i 2.19., moment, prema izrazu 2.59., odreuje se iz, .
2.60.Kada izraz 2.60. unesemo u izraz 2.56., poetna krivina, usled
dejstva normale sile , odreuje se iz izraza, . 2.61.Nakon
translacije koordinatnog poetka u taku sa koordinatama , srednja
poetna krivina , elementa izloenog sloenom savijanju, moe se
odrediti slino kao za odgovarajui element izloen istom savijanju, ,
za , 2.62. , za . 2.63.Koeficijent moemo odrediti iz izraza,.
2.64.Izrazi 2.62. i 2.63., za srednju poetnu krivinu, uzimajui u
obzir izraze 2.52. , 2.53. i 2.54., svode se na, , za , 2.65. , za
. 2.66. Srednja poetna krivina, u funkciji momenta i normalne sile,
prikazana je na sledee tri slike,
Slika 18. Srednja poetna krivina, za silu pritiska i
Slika 19. Srednja poetna krivina, za silu pritiska i
Slika 20. Srednja poetna krivina , za silu zatezanja2.11.
KRIVINA U TOKU VREMENAKada je re o krivini u toku vremena, kao
dovoljno tano za praksu, mogu se uvesti sline pretpostavke kao i za
proraun poetne krivine.
Slika 21. Krivina u toku vremena, elementa izloenog sloenom
savijanjuPretpostavlja se da je krivina, u toku vremena , za
naponsko stanje I, elementa izloenog sloenom savijanju momentom i
normalnom silom , jednaka sa krivinom , u toku vremena , za
naponsko stanje I, elementa izloenog istom savijanju momentom, .
2.67.Kada je naponsko stanje II u pitanju, krivina , u toku
vremena, elementa izloenog sloenom savijanju, pretpostavlja se da
je, za vrednost momenta , jednaka, takoe, sa krivinom , u toku
vremena , za naponsko stanje I, elementa izloenog istom savijanju
momentum , , za , 2.68.a da je, vrednost momenta momenta , jednaka
zbiru krivine , u toku vremena , za naponsko stanje II, elementa
izloenog istom savijanju momentom i krivine, u toku vremena , za
naponsko stanje II, elementa izloenog istom savijanju momentom,
koji u odnosu na teite idealizovanog preseka sa prslinom daje
normalna sila , koja deluje u teitu idealizovanog preseka bez
prsline. , za . 2.69.Usvaja se, kao dovoljno tano, pretpostavka, da
vrednost momenta, odnosno granice vanosti izraza 2.68. i 2.69. za
krivinu u toku vremena , odreena za poetnu krivinu izrazom 2.60.,
ostaje nepromenjena u toku vremena , . 2.70. . 2.71.Krivina, u toku
vremena, usled dejstva normalne sile , koja je data u prethodnom
izrazu 2.71. odreuje se preko izraza 2.61. , 2.44. i 2.45.Srednja
krivina , u toku vremena , elementa izloenog sloenom savijanju, moe
se, kao i srednja poetna krivina, posle translacije koordinatnog
poetka u taku sa koordinatama , odrediti slino kao za odgovarajui
element izloen istom savijanju, , za , 2.72. , za .
2.73.Koeficijent , prema izrazu 2.64., iznosi,. 2.74.Izrazi 2.72. i
2.73. za srednju krivinu , u toku vremena , imajui u vidu 2.67.,
2.68., 2.69., , za , 2.75., za . 2.76.
U funkciji momenta savijanja i normalne sile, srednje krivine ,
u toku vremena , bez uticaja skupljanja betona, prikazana je na
Slikama 22. , 23. i 24.
Slika 22. Srednja krivina u toku vremena , za silu pritiska i ,
bez uticaja skupljanja betona
Slika 23. Srednja krivina u toku vremena, za silu pritiska i ,
bez uticaja skupljanja betona Slika 24. Srednja krivina u toku
vremena , za silu zatezanja , bez uticaja skupljanja betona2.12.
PRORAUN UGIBANakon izraunavanja srednje krivine, ugib
armiranobetonskog elementa, izloenog sloenom savijanju, u trenutku
vremena , moe se odrediti integracijom prema izrazu 2.1. Ovde je
zapravo re o numerikoj integraciji proizvoda srednje krivine i
fiktivnog momenta savijanja po duini elementa.Na proizvoljan broj
delova se deli element po duini, a najjednostavnije je da ti delovi
budu jednaki. S druge strane, meutim, pri integraciji funkcija koje
imaju prelome ili skokove u pojedinim presecima, tanije je usvojiti
poklapanje podele sa tim presecima.Na prethodnoj Slici 24. vidi se
podela elemenata na delove i prikazane su funkcije koje su potrebne
za proraun ugiba, elementa izloenog istom savijanju, primenom
numerike integracije.Kada govorimo o elementu koji je izloen istom
savijanju, potrebna je analiza funkcija momenta savijanja,
koeficijenta, krivina elementa i, za stanje I i za stanje II,
srednje krivine i fiktivnog momenta savijanja .Kada je re o
elementu koji je izloen sloenom savijanju, pored svih prethodno
navedenih funkcija, potrebna je i analiza funkcija normalne sile i
odgovarajue krivine .Preseci elementa, u kojima je moment
savijanjajednak momentu pojave prslina , prestavljaju granicu izmeu
neisprskalog dela elementa, u stanju I, i isprskalog dela elementa,
u stanju II. Prema usvojenoj definiciji koeficijenta, odnosno
srednje krivine , u tom preseku pojavljuje se skok, pa to treba
imati u vidu prilikom podele elementa na delove.
Slika 25. Proraun ugiba elementa izloenog istom savijanju,
primenom numerike integracije
Fiktivni moment savijanja , usled jedinine sile, koja po
poloaju, pravcu i smeru odgovara traenom ugibu, u preseku u kome se
trai ugib ima prelom, pa pri usvajanju podele elementa na delove i
o tome treba voditi rauna .Nakon sraunavanja vrednosti navedenih
funkcija u presecima, koji odgovaraju izabranoj podeli elementa,
pristupa se numerikoj integraciji.Primenom trapeznog pravila
numerike integracije iz sledeeg izraza se izraunava ugi, .
2.77.Prema prethodnom izrazu 2.77., tanost prorauna ugiba numerikom
integracijom, zavisi od izabrane podele elementa na delove. Sa
poveanjem broja delova, tanost prorauna se poveava, ali se samim
tim i poveava obim posla.Iako se ugib numerikom integracijom moe
veoma tano odrediti, takav proraun nije pogodan za svakodnevnu
inenjersku praksu, jer je veoma obiman, a naroito pri podeli
elementa na veliki broj delova. Primenom raunara, ipak se lako moe
izraditi ovaj proraun ugiba .
2.13. PRORAUN UGIBA PO BILINEARNOJ METODIDa bi smo izbegli
obimnosti posla korienjem numerike integracije ili stalnu upotrebu
raunara u svakodnevnoj inenjerskoj praksi, napravljena je
bilinearna metoda, koja je jednostavnija, a ipak za praksu dovoljno
tana. Ona se bazira na uvoenju odgovarajuih dopunskih
pretpostavki.Bilinearna metoda je prikazana u Priruniku CEB /22/
.Ova metoda je bazirana na pretpostavci, da je, ne uzimajui u obzir
uticaj skupljanja betona, ugib bilinearna funkcija momenta
savijanja . Kada je re o neisprskalom armiranobetonskom elementu,
ugib , u trenutku vremena , identian je sa ugibom za stanje I,
sraunatim za proraunski model preseka bez prslina, , za .
2.78.Vrednost ugiba isprskalog armiranobetonskog elementa, nalazi
se izmeu najmanje mogue vrednosti ugiba za stanje I, sraunate za
proraunski model preseka bez prslina i najvee mogue vrednosti ugiba
za stanje II, sraunate za proraunski model preseka sa prslinom,
odreuje se iz izraza, , za . 2.79.pri emu se za koeficijent, koji
du elementa varira, pretpostavlja da ima konstantnu vrednost
.Koeficijent se odreuje u zavisnosti od momenta savijanja i momenta
pojave prslina u kritinom preseku.Pod kritinim presekom podrazumeva
se presek, u kome momenti savijanja dostiu maksimalnu vrednost i
koji se esto poklapa sa presekom, za koji treba sraunati maksimalni
ugib. Kod sistema proste i kontinualne grede, za kritini presek
usvaja se sredina polja, a kod konzole oslonac.Za armiranobetonski
element, izloen istom savijanju, koeficijent, odreuje se iz sledeeg
izraza, , 2.80.koji odgovara pretpostavci, da moment savijanja i
moment pojave prsline , koji du elementa variraju, imaju konstantnu
vrednost, odnosno da je, , 2.81.. 2.82.Ugib, u trenutku vremena,
armiranobetonskog elementa izloenog istom savijanju, za koji je
pretpostavljeno, da je bilinearna funkcija momenta, prikazana je na
sledeoj slici,
Slika 26. Ugib, elementa izloenog istom savijanjuKada je u
pitanju armiranobetonski element koji je izloen sloenom savijanju,
koeficijent, u koliko u kritinom preseku vrednost nije vei od
vrednosti momenta , dobija se iz sledeeg izraza, , za . 2.83.S
druge strane, ako je vrednosta vea od vrednosti momenta,
koeficijent je isti kao i za element izloen istom savijanju, koji
je dat u izrazu 2.80., , za . 2.84.Na narednim Slikama 27. i 28.,
prikazan je ugib, u trenutku vremena , armiranobetonskog elementa,
koji je izloen sloenom savijanju, za koji je pretpostavljeno da je
bilinearna funkcija momenta .
Slika 27. Ugib, elementa izloenog sloenom savijanju, za Slika
28. Ugib, elementa izloenog sloenom savijanju, za Vrednosti ugiba,
za naponsko stanje I i ugiba , za naponsko stanje II, elementa
izloenog istom savijanju, u trenutku vremena , mogu se, kada
koliina armature du elementa znatnije ne varira, priblino odrediti,
samo prema kritinom preseku / 84 /.Ugib moe se odrediti iz izraza,,
2.85.a ugib iz izraza, . 2.86.Ovde je zapravo pretpostavljeno da
koeficijenti, i , koji du elementa variraju, imaju konstantnu
vrednost, i to vrednost koja odgovara kritinom preseku.Vrednosti
integrala dati u prethodnim izrazima 2.85. i 2.86. iznose,, 2.87.=
, 2.88.pri emu je poetni ugib odgovarajueg neisprskalog betonskog
elementa, a koeficijent koji je zavisan od statikog sistema.Kada
unesemo izraze 2.87. i 2.88. u izraze 2.85. i 2.86., ugib, za
naponsko stanje I i ugib, za naponsko stanje II u trenutku vremena,
odreuju se iz izraza, , 2.89. . 2.90.
2.14. SUPERPOZICIJAO superpoziciji govorimo onog trenutka kada
govorimo o proraunu ugiba, u trenutku vremena, armiranobetonskog
elementa, izloenog sloenom savijanju, usled kombinacije razliitih
optereenja, odnosno dejstava.Srednja krivina neisprskalog elementa,
kada moment savijanja nije vei od momenta pojave prslina , prema
izrazu 2.2., linearna je funkcija momenta.U sluaju kada je moment
savijanja vei od momenta pojave prslina, srednja krivina,
isprskalog elementa, prema izrazima 2.3. i 2.4., je nelinearna
funkcija momenta .Iz prethodno navedenog, dolazimo do zakljuka da
je ugib neisprskalog elementa linearna funkcija momenta savijanja ,
a ugib isprskalog elementa nelinearna funkcija momenta savijanja
.Kada je praksa u pitanju, proraun ugiba je redovno interesantan
samo za isprskale elemente.Na isprskalom delu elementa, na kome je
moment savijanja vei od momenta pojave prslina , i koji je redovno
dui od neisprskalog dela, ugib je nelinearna funkcija momenta
savijanja , odnosno sadejstava koja ga izazivaju .
Slika 29.Ugib elementa u funkciji dejstavaNa prethodnoj Slici
29. kvalitativno je prikazan ugib, u trenutku vremena, u funkciji
dejstava, proporcionalnih momentu savijanja. . 2.91.Iz izraza 2.91.
se jasno vidi da superpozicija ne vai, tj. da ugib , u trenutku
vremena , od zbira dejstva , nije jednak zbiru ugiba, od dejstva i
ugiba, od dejstava . Takoe, isto se moe zakljuiti i za poetni ugib,
koji je prikazan isprekidanom linijom na Slici 31. . 2.92.Iz
prethodno prikazanog, dolazi se do zakljuka da ugib treba
sraunavati za odgovarajue kombinacije dejstava, a ne posebno za
pojedina dejstva.Sada, nakon prethodnog zakljuka, postavlja se
pitanje kako treba sraunati ugib za kombinacije dejstava, koje se
sastoje od kratkotrajnih i dugotrajnih dejstava, to je inae redovan
sluaj u praksi. Kada je re o kratkotrajnim dejstvima, utucaj teenja
betona se ne uzima u obzir, dok se kod dugotrajnih dejstava uzima u
obzir.Preporuuje se /7 /, kao dovoljno tano reenje za praksu, da se
za ugib, u trenutku vremena , usled ukupnih dejstava merodavne
kombinacije, odnosno usled zbira kratkotrajnih dejstava i
dugotrajnih dejstava , , 2.93.Ako usvojimo vrednost, da je razliita
od .Za vrednost ugiba uzima se zbir poetnog ugiba , usled ukupnih
dejstava i porasta ugiba , u toku vremena , usled dugotrajnih
dejstva ,
. 2.94.
Na sledeoj slici ova ideja je jasno prikazana,
Slika 30. Ugib usled ukupnih dejstava 3. GRANINI UGIBPre same
izrade statikog prorauna, neophodno je utvrditi granini ugib, kao
jedan od parametara za dimenzionisanje elemenata armiranobetonske
konstrukcije. U Pravilniku za beton i armiranibeton, BAB 87, data
je samo najvea vrednost graninog ugiba, koja ne bi trebalo da bude
prekoraena. Izuzetak postoji kada na osnovu zahteva iz projektnog
zadatka, bilo to mainskog, tehnolokog i drugog projekta objekta, a
u zavisnosti od specifinih uslova, moe se konvencionalno usvojiti i
otriji kriterijum, odnosno manja vrednost graninog ugiba.Usvajanje
graninog ugiba zavisi od zahteva u odnosu na funkcionalnost
konstrukcije, pri tom vodei rauna i o estetici, a i o nepovoljnim
psiholokim utiscima. Vrlo bitna stavka je i ekonomsko pitanje.
Pravilnikom BAB 87, data je najvea vrednost graninog ugiba, koja je
odreena u funkciji raspona elementa, . 3.1.Koeficijent zavisi od
vrste elementa i od statikog sistema. U narednoj tabeli,
Pravilnikom BAB 87, date su orijentacione vrednosti.
Vrsta elementa , statiki sistem
Greda300
Konzola150
Kranska staza750
Tabela 3. Koeficijent
Slika 31. Najvea vrednost graninog ugiba
4. KRITERIJUM KADA PRORAUN UGIBA NIJE NEOPHODANest sluaj u
praksi u proraunu armiranobetonskog elementa prema graninom stanju
ugiba, da je dovoljan samo dokaz, da maksimalni ugib elementa nije
vei od granine vrednosti, a pri tom nije neophodno i sraunavanje
same vrednosti ugiba. U tom sluaju, racionalno je, uvoenjem
dopunskih, ak i manje tanih, pretpostavki, proraun prema graninom
stanju deformacija svesti na kontrolu ispunjavanja relativno
jednostavnog kriterijuma / 85 /. Ukoliko je takav kriterijum
ispunjen, detaljniji proraun ugiba nije neophodan.
. 4.1.Izrazom 4.1. dat je dokaz da maksimalni ugib nije vei od
granine vrednosti, za isprskali armiranobetonski element, za koji
je kontrola ugiba praktino jedino potrebna, kada je element,
raspona l, izloen istom savijanju. Ako zanemarimo uticaj sadejstva
zategnutog betona izmeu prslina, odnosno za koeficijent usvoji
maksimalna vrednost 1, , 4.2.to je na strani sigurnosti, kao i
ukoliko se zanemari uticaj skupljanja betona, dokaz, izraz 4.1.,
imajui u vidu izraz 3.1., svodi se na, . 4.3.Kada je u pitanju
maksimalni poetni ugib neisprskalog betonskog elementa, od
kratkotrajnih dejstava, moe se u funkciji odgovarajueg momenta u
kritinom preseku, prikazati u sledeem obliku, , 4.4.a maksimalni
poetni ugib neisprskalog betonskog elementa, od dugotrajnih
dejstava, u funkciji momenta u kritinom preseku, u obliku, . 4.5.U
Prilogu 3.6 Prirunika data je vrednost koeficijenta , za najee
statike sisteme i tipove optereenja u praksi.
Ako imamo u vidu izraze 4.4. i 4.5., dokaz dat izrazom 4.3.,
moemo svesti na sledei izraz, , 4.6.odakle se dobija kriterijum za
odnos visine poprenog preseka d i raspona l elementa, u obliku, .
4.7.Ako se radi o istom tipu kratkotrajnog i dugotrajnog dejstva,
odgovarajui koeficijenti i meusobno su jednaki, , 4.8.pa se
kriterijum 4.7. svodi na, , 4.9.odnosno na, , 4.10.pri emu je odnos
momenata i u kritinom preseku, od dugotrajnog dejstva i od ukupnog,
kratkotrajnog i dugotrajnog dejstva , jednak odnosu odgovarajuih
dejstava i , . 4.11.Kriterijum 4.10. moe se napisati i u obliku, .
4.12.Ovaj kriterijum veoma je jednostavan za primenu u praksi, a
poto obuhvata uticaj vie parametara, precizniji je od kriterijuma
navedenog u Pravilniku BAB 87.Koeficijent iznosi, , 4.13.Odnosno,
imajui u vidu izraze 2.13. i 2.17., iznosi, . 4.14.Poetna krivina
elementa, u kritinom preseku, za naponsko stanje II, prikazana u
funkciji odgovarajue dilatacije u donjoj zategnutoj armaturi , ,
4.15.i u funkciji poloaja teita donje zategnute armature , u odnosu
na teite idealizovanog preseka , Slika 7, , 4.16.glasi, .
4.17.Nakon unoenja izraza 4.17. u 4.14., koeficijent , iznosi, .
4.18.Ako uvedemo pretpostavku, da najvei napon zatezanja u donjoj
armaturi , u kritinom preseku, za stanje II, elementa izloenog
istom savijanju, u funkciji granice razvlaenja elika , po
apsolutnoj vrednosti, priblino iznosi, , 4.19.i pretpostavka da
statika visina h priblino iznosi, , 4.20.pa je, , 4.21.koeficijent
moe se odrediti iz, . 4.22.Za vrednost modula elestinosti elika, ,
4.23.
i za glatku armature GA , koeficijent , prema izrazu 4.22.,
priblino iznosi, , 4.24.dok za rebrastu armature RA , priblino
iznosi, . 4.25.Koeficijent, za element izloen istom savijanju,
armiran sa GA ili RA , prema izrazima 4.24. i 4.25., u funkciji
koeficijenta poloaja neutralne linije , prikazan je na sledeoj
slici,
Slika 32. Koeficijent elementa izloenog istom
savijanjuKoeficijent poloaja neutralne linije , jednostruko
armiranog pravougaonog preseka, elementa izloenog istom savijanju,
moe se, u funkciji koeficijenta armiranja , , 4.26.izraziti u
obliku, . 4.27. Tada, koeficijent , prema izrazu 4.22., priblino
iznosi, , 4.28.
odnosno za glatku armaturu GA , je, , 4.29.za rebrastu armaturu
RA , je, . 4.30.
Slika 33 . Jednostruko armirani pravougaoni presek elementa
izloenog istom savijanjuVrednost koeficijenta, jednostruko
armiranog pravougaonog preseka, elementa izloenog istom savijanju,
za odgovarajuu marku betona i vrstu armature, a u zavisnosti od
koeficijenta armiranja, moe se oitati sa dijagrama u Prilogu 3.6
Prirunika.
Slika 34. Koeficijent jednostruko armiranog pravougaonog preseka
elementa izloenog istom savijanjuVrednosti koeficijenta jednostruko
armiranog pravougaonog preseka, elementa izloenog istom savijanju,
prikazan u tabeli 20 Pravilnika BAB 87, odgovarajuu marci betona MB
30, odnosno modulu elestinosti betona,
, 4.31.
i modulu elestinosti elika,
. 4.32.
5. PRIMER5.1. Sraunavanje Bilinearnom metodom, ugiba elementa,
izloenog istom savijanju od stalnog optereenja, pravougaonog
poporenog preseka
Kontrolisati ugib u sredini armiranobetonskog elementa izloenog
istom savijanju.Podaci:
- Statiki uticaji:
-Geometrijske karakteristike:
-Poetni ugib:poetni ugib , za stanje I
poetni ugib , za stanje II
moment pojave prslina , u kritinom preseku
poetni ugib ;
-Ugib u toku vremena:ugib , u toku vremena, za stanje I
ugib , u toku vremena, za stanje II
ugib , u toku vremena ;
Doputeni ugib:
Kontrola ugiba:
Ugib je u doputenim granicama.
Pored Bilinearne metode postoje i metoda Numerike integracije i
metoda po CREEP Programu. Vrednosti ugiba, sraunatih Numerikom
integracijom i po CREEP Programu su identine, dok vrednosti ugiba,
sraunatih Bilinearnom metodom i po CREEP Programu se razlikuju u
granicama koje su prihvatljive za praksu.
5.2. TOWEROsnovni podaci o modelu:
Datoteka:Luka Uljarevi - Ugibi
Datum prorauna:07.03. 2015.
Nain prorauna:2D model (Xp, Zp, Yr)
XTeorija I-og redaModalna analizaStabilnost
Teorija II-og redaSeizmiki proracunFaze graenja
Nelinearan proraun
Veliina modela
Broj vorova:12
Broj ploastih elemenata:0
Broj grednih elemenata:14
Broj graninih elemenata:12
Broj osnovnih sluajeva optereenja:3
Broj kombinacija opterecenja:8
Jedinice mera
Duina:m [cm,mm]
Sila:kN
Temperatura:Celsius
Tabela materijala
NoNaziv materijalaE[kN/m2][kN/m3]t[1/C]Em[kN/m2]m
1Betoni MB 303.150e+70.2025.001.000e-53.150e+70.20
Set: 1 Presek: b/d=30/60, Fiktivna ekscentrinost
Mat.A1A2A3I1I2I3
1 - Betoni MB
301.800e-11.500e-11.500e-13.708e-31.350e-35.400e-3
Set: 2 Presek: b/d=30/30, Fiktivna ekscentrinost
Mat.A1A2A3I1I2I3
1 - Betoni MB
309.000e-27.500e-27.500e-21.141e-36.750e-46.750e-4
Setovi takastih oslonaca
K,R1K,R2K,R3K,M1K,M2K,M3
11.000e+101.000e+101.000e+10
Konture greda Set 1. b/d=30/60
Oslobaanje uticaja
Novor Ivor JCvor ICvor JOzn. pozicije
M1M2M3N1T2T3M1M2M3N1T2T3
1211POS2
2412POS1
Lista sluajeva optereenja
NoOptereenjapX [kN]pY [kN]pZ [kN]
1Stalno (g)0.000.00-498.00
2Povremeno0.000.00-210.00
3Vetar31.500.000.00
4Komb.: 1.6xI+1.8xII+1.8xIII56.700.00-1174.80
5Komb.: I+1.8xII+1.8xIII56.700.00-876.00
6Komb.: 1.6xI+1.8xII0.000.00-1174.80
7Komb.: 1.6xI+1.8xIII56.700.00-796.80
8Komb.: I+1.8xIII56.700.00-498.00
9Komb.: I+1.8xII0.000.00-876.00
10Komb.: 1.6xI0.000.00-796.80
11Komb.: I0.000.00-498.00
Greda POS 1@1@PBAB 87
MB 30
RA 400/500
Dimenzionisanje grupe sluajeva
optereenja: 1-11
Presek 1-1 x = 6.00mMerodavna kombinacija zasavijanje:
1.60xI+1.80xII+1.80xIII
N1u =-28.69 kNM2u = 0.00 kNmM3u =-100.69 kNm
Merodavna kombinacija za smicanje:
1.60xI+1.80xII+1.80xIII
T2u =118.32 kN
T3u =0.00 kN
M1u =0.00 kNm
b/a = -1.356/10.000
Aa1 =0.00cm2
Aa2 =4.49cm2
Aa3 =0.00cm2
Aa4 =0.00cm2
Aa,uz =0.00cm2/m (m=2)
y = 0.81MPa < r , r = 1.10MPa
Presek 2-2 x = 12.00m
Merodavna kombinacija za
savijanje: 1.60xI+1.80xII+1.80xIII
N1u =-21.35kN
M2u =0.00kNm
M3u =93.82kNm
Merodavna kombinacija za smicanje:
1.60xI+1.80xII
T2u =-10.46kN
T3u =0.00kN
M1u =0.00kNm
b/a = -1.286/10.000
Aa1 =4.24cm2
Aa2 =0.00cm2
Aa3 =0.00cm2
Aa4 =0.00cm2
Aa,uz =0.00cm2/m (m=2)
y = 0.07MPa < r , r = 1.10MPa
Greda POS 1
@1@PBAB 87
MB 30
RA 400/500
Eb(t0) = 3.15e+007 kN/m2
Ea = 2e+008 kN/m2
fbzs = 1771.54 kN/m2
= 2.60
= 0.80
s = 0.000
k1 = 0.40
1 = 1.00
T = 0 Ugib
Merodavna kombinacija: 1.00xI
N1 = -9.37 kN
M3 = 37.98 kNm
M2 = 0.00 kNm
ug(t0) = 0.766 mm
T = Ugib
Dugotrajni uticaji
Merodavna kombinacija: 1.00xI
N1 = -9.37 kN
M3 = 37.98 kNm
M2 = 0.00 kNm
Kratkotrajni uticaji
N1 = 0.00 kN
M3 = 0.00 kNm
M2 = 0.00 kNm
ug(t) = 1.973 mm
Presek 1-1 x = 3.00m
ZAKLJUAKPrelaskom sa klasine teorije na dimenzionisanje po
graninom stanju nosivosti potpuno se gubi uvid u stepen naprezanja
konstrukcije u toku eksploatacije. Kada neki element konstrukcije,
ili konstrukcija u celini, poseduje potrebnu sigurnost u pogledu
nosivosti, to se postie dimenzionisanjem prema graninom stanju
loma, to jo uvek ne znai da e biti zadovoljeni i svi potrebni
zahtevi koji moraju biti ispunjeni u toku eksploatacije. Ti zahtevi
se odnose uglavnom na trajnost konstrukcije, na njen izgled i na
njenu deformabilnost.Prema tome, kompletno dimenzionisanje zahteva
i dodatni proraun koji obuhvata stanje prslina i stanje
deformacija. Ovim proraunom se dokazuje da irine prslina i veliine
ugiba armiranobetonskih elemenata pod delovanjem dugotrajnog
eksploatacionog optereenja nisu vee od graninih vrednosti. Granine
vrednosti definisane su propisima, i to na osnovu zahtevane
trajnosti i funkcionalnosti konstrukcije objekta. Tako, na primer,
veliina graninih vrednosti ugiba, ako drugaije nije definisano,
obino se vezuje za veliinu raspona. Za nosae sistema proste i
kontinualne grede maksimalni ugib se ograniava na , za konzole na ,
a za kranske staze na , to treba da garantuje normalno
funkcionisanje krana. Vano je i rei da vremenske deformacije betona
( skupljanje i teenje ) znatno utiu na konane vrednosti
deformacija, pa s tim u vezi i na granino stanje
upotrebljivosti.
LITERATURA
- Pravilnik za beton i armiranibeton BAB 87- Duan Najdanovi -
Betonske konstrukcije- Ivan Tomii - Betonske konstrukcije- Prof. dr
Aleksandar Ristovski - Teorija betonskih konstrukcija ( materijal
sa predavanja )
Page 62