Top Banner
58

pdf formátumban

Jan 29, 2017

Download

Documents

vodung
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
  • Bevezets a zikba

    Csand Mt

    2017. prilis 10.

    ltalban az albbi mdon keressk az j termszeti trvnyeket. Els lpsben feltesznk egyelmletet. Aztn megvizsgljuk a felttelezsnk kvetkezmnyeit, hogy lssuk, mit jelentene, ha azelmletnk igaz lenne. Majd a szmtsok eredmnyeit sszehasonltjuk a Termszettel, kzvetlenla meggyelsekkel, ksrlet vagy tapasztalat ltal, hogy lssuk, mkdik-e. Ha ellentmond a k-srleteknek, akkor az elmletnk hibs.

    Ebben az egyszer lltsban van a tudomny kulcsa. Nem szmt, milyen szp az elmle-tnk, nem szmt, milyen okosak vagyunk, hogy ki tallta ki az elmletet, hogy t hogy hvjk haellentmond a ksrleteknek, akkor hibs.

    Richard P. Feynman

    Tartalomjegyzk

    1 Bevezets 3

    1.1 Fizika a krnyezettudomnyban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.2 A zika trtnete dihjban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    1.3 A zika nyelvezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    1.4 Fizikai mennyisgek s mrtkegysgeik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2 Kinematika 6

    2.1 A mechanika s a kinematika modellje, alapfogalmai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    2.2 A meggyel szerepe a kinematikban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.3 Egydimenzis mozgs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2.4 Ktdimenzis mozgsok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    3 Newton trvnyei 10

    3.1 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    3.2 Newton hrom trvnye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    3.3 Newton trvnyeinek egyszer alkalmazsai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

    3.4 Lendlet s tmegkzppont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    4 Ltszlagos erk nem-inercia rendszerekben 12

    4.1 Tehetetlensgi erk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    4.2 A Coriolis-hats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    5 Egyszer dinamikai rendszerek 15

    5.1 Harmonikus oszcilltor, visszacsatols, rezonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

    5.2 Kzegellenlls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    5.3 Knyszererk s srlds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    6 Gravitci 18

    6.1 Meggyelsek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    6.2 Kepler trvnyei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    6.3 Newton gravitcis trvnye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    1

  • 7 Munkavgzs s energia 22

    7.1 A munka fogalma s a teljestmny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    7.2 A mozgsi s a gravitcis helyzeti energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

    7.3 Konzervatv erk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    7.4 Az energia megmaradsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    7.5 Egyszer gpek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    8 Pontrendszerek mechanikja 24

    8.1 Kls s bels erk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

    8.2 Tmegpontok egyszer rendszerei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

    8.3 Szabadsgi fokok, merev testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    8.4 Merev testekre hat erk, a forgatnyomatk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

    8.5 A slypont, egyenslyi helyzetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

    9 A forgmozgs dinamikja 29

    9.1 A tehetetlensgi nyomatk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    9.2 A forgs mozgsegyenlete, a perdlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

    9.3 Forg s halad mozgsok dualitsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    10 Folytonos kzegek statikja 32

    10.1 Rugalmassg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

    10.2 Folyadkok s gzok: alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    10.3 A hidrosztatikai nyoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

    10.4 A felhajter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    10.5 A felleti feszltsg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    11 Folytonos kzegek dinamikja: ramlstan 37

    11.1 Kontinuits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    11.2 A Bernoulli-trvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    11.3 A viszkozits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    11.4 Srld ramlsok, turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    12 Hullmmozgs s a hullmegyenlet 41

    12.1 A hullmmozgs matematikai alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    12.2 Periodikus hullmok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    12.3 A Fourier-ttel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    12.4 A hullmegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

    12.5 Trbeli hullmok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    12.6 A Doppler-jelensg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

    12.7 Hullmok elhajlsa, interferencia: a HuygensFresnel-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    13 Mechanikai hullmok 47

    13.1 Hullmtpusok, terjedsi sebessg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    13.2 A hang zikjnak alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    13.3 A hang ltal keltett rzet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    13.4 A hang forrsai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

    13.5 Hangsorok, konszonancia s disszonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

    A Ellenrz krdsek 52

    2

  • 1. Bevezets

    1.1. Fizika a krnyezettudomnyban

    A zika minden termszettudomny alapjt kpezi, miutn az anyag s az azt alkot molekulk, atomok selemibb rszecskk viselkedsrt felel. A htkznapok legtermszetesebb jelensgei mgtt a zika ll: pldulhogy mirt nem esik t az asztalra tett toll az asztallapon, vagy mirt halljuk a szomszd szoba zajait, mg azokforrst nem ltjuk. A kmia, biolgia, meteorolgia, fldtan folyamatainak jelents rszt rthetjk meg zikaialapfolyamatok segtsgvel. Ms termszettudomnyos jelensgek, folyamatok persze annyira sszetettek, hogynem sunk le a magyarzatot ad zikai okokig ennek ellenre ezek mgtt is zikai trvnyszersgek llnak.lljanak azrt itt pldaknt olyan krnyezeti jelensgek, amelyek mkdse a zika trvnyeinek segtsgvelvizsglhat:

    A fldkreg dinamikja, hegysgek kialakulsa, vulknok Lgkri folyamatok, az idjrs alakulsa, csapadk, szl, lgszennyezettsg A Fld energia-hztartsa, napsugrzs, veghzhats Folyk s tengerramlatok viselkedse Elektromgneses sugrzsok, ezek hatsa az emberre, elektromgneses zajszennyezs Nukleris folyamatok, atomenergia, termszetes radioaktivits, sugrvdelem Az ember energiagazdlkodsa, megjul s nem megjul energiaforrsok A hang zikja, zajszennyezs s zajvdelem Orvosi alkalmazsok: CT, rntgen, PET, MRI

    A (kt flves) kurzus vgn minden fenti krdsnek ismerjk majd a zikai alapjait, azaz kpesek lesznkannak rszletesebb megrtsre. A fentiekre vonatkoz tovbbi, a zikn tlmutat (pl. trsadalmi, politikai,gazdasgi) krdsek trgyalsa sorn a lehet legteljesebb kpet alkothatjuk.

    1.2. A zika trtnete dihjban

    Hogy a zika alapjait jelen kurzus kt flve sorn megrtsk, fontos ltnunk, hogy jutott el az emberisgezen tudsig, hogyan haladt a zikai vilg megismersnek tjn.A tudomny trtnete Egyiptomban, Me-zopotmiban s a termkeny flholdon rdott. Itt alakult ki az rs, az els szmrendszerek, a mrsekalapjt kpez els eszkzket itt fejlesztettk ki, s itt gyeltk meg elszr a csillagos eget. A grg-rmaikultra talajn fejldtt ki a geometria, jtt ltre az els (Fld-kzpont) vilgkp, itt ismertk fel az elektro-mossg jelensgt, alkottk meg az els atom-hipotzis, tovbb lefektettk a tudomnyos gondolkozs alapjait.Ugyanakkor ez mg messze volt attl, amit ma termszettudomnynak neveznk: inkbb termszetloznakhvhatjuk az akkori gondolkods s meggyels eredmnyeit. Elssorban azrt, mert a tudomny mrseket segyenleteken alapul nyelvezett mg nem alaktottk ki. A legjobb plda erre a ngy elem: Arisztotelsz el-mlete az els bizonyos rtelemben tudomnyos munka, amely a minket krlvev anyagi vilg megrtst tzteki clul. Az elmlet egyik fontos pontja az volt, hogy az elemek termszetes sorrendje alulrl felfel haladva afld, vz, leveg, tz. Ebbl vezette le a vilg sok trvnyt: ezrt sllyed le a vzben a k, ezrt esik lefel azes, ezrt lobog felfel a tz, s van a Nap fent az gen. Ez tulajdonkppen a tudomny esszencija: egyszerfeltevsekkel megmagyarzni sok meggyelt jelensget. Ma a feltevseket, trvnyeket a matematika nyelvenmegrt formulkkal adjuk meg, de ahogy ltjuk, nem volt ez mindig gy. A korai jkorban Kepler s Gali-lei jrultak hozz nagymrtkben a mai vilgkp kialakulshoz, de munkikat mg mindig lozokus nyelvenfogalmaztk meg. Newton s Leibniz dolgoztk ki a termszettudomny matematikai alapjait: a sorozatokat,hatrrtkeket, a dierencil- s integrlszmts alapjait. Erre tmaszkodva tudta maga Newton is ksbb aklasszikus kinematika s mechanika trvnyeit megfogalmazni. A modern kor tbb j tudomnygat hozott aa zikn bell: Coulomb, Galvani, Volta s trsaik az elektromossg alapjait fektettk le, mg Guericke, Boyle,Carnot, Joule pedig a termodinamika alapfogalmait s ftteleit fogalmaztk meg. A XX. szzad elejn ismtforradalmi vltozsokon ment keresztl a zika, a modern zika felfedezseivel. Thomson, Rutherford s Bohratommodelleket alkottak, Einstein (Maxwell, Lorentz s Poincar segtsgvel) megalkotta a specilis s az l-talnos relativits elmlett, Becquerel s a Curie-hzaspr felfedezte a radioaktivitst, Planck, Heisenberg sSchrdinger pedig megalkotta a kvantumelmletet1. Amai zika eszkzei pedig mr a tbb kilomteres rszecs-kegyorstk, asztrozikai ristvcsvek, a htkznapi letnkre is kezdenek hatssal lenni a nanozika, biozikas az anyagtudomny legjabb felfedezsei. Jelen kurzusban a modern zika alapjaiig jutunk el a msodik flvvgre.

    1Elnzst mindazoktl, akiket kihagytam e felsorolsbl.

    3

  • 1.3. A zika nyelvezete

    A matematika a zika legfontosabb eszkze, ezrt ismerete alapvet a zika megrtshez. Jelen tantrgygondolatmeneteinek kvetshez az albbi terleteken felttlenl szksg van biztos gyakorlati tudsra:

    Alapvet mveletek, trtek rendezse Egyenletek rendezse s megoldsa Fggvnyek kezelse s rtelmezse Vektorok, sszeadsuk, skalris s vektorilis szorzsuk Koordinta-rendszerek Szgfggvnyek s azonossgaik A geometria alapjai Hatrrtkek fogalma, innitezimlis mennyisgek Dierencils matematikai jelentse, zikai felhasznlsa Integrls matematikai jelentse, zikai felhasznls

    A matematikai kifejezseken s szmolsok megrtsn tl a legfontosabb, hogy egy-egy kplet mgtt lssuka jelentst. A zika alapjait a trvnyek kpezik, ezeket az egyszersg kedvrt kpletekkel rjuk le. Brmelytrvnyt azonban szavakkal kell tudni lerni elssorban. Fontos ltni, hogy egy trvnyben sosem

    az id, a h, vagy a tmeg

    szerepel, hanem konkrtan

    valamely adott t megttelhez szksges id, valamely adott folyamathoz szksges h, vagy valamely adott test tmege.

    A trvnyeket nem nmagukrt tanuljuk, hanem azrt, hogy a krnyezetnkben lejtszd folyamatok megrtsesorn alkalmazni tudjuk ket. Ezrt akkor mondatjuk, hogy megrtettnk egy zikai ttelt, trvnyt, lltst,ha htkznapi pldt tudunk mondani az alkalmazsra.

    1.4. Fizikai mennyisgek s mrtkegysgeik

    Sok zikai mennyisg egy (tbbnyire vals) szmmal jellemezhet, valamely alapegysghez viszonytott ar-nyt kifejezend, ezeket skalrmennyisgnek hvjuk. Ilyen az energia, a tmeg, a trfogat, a megtett t, ahmrsklet. Ms mennyisgeknek viszont van irnya is, ezeket vektormennyisgnek hvjuk: ezek kz tartozikaz elmozduls, a sebessg, a gyorsuls, az er, a forgatnyomatk vagy az elektromos trerssg. 2 Ezeknek issokszor csak a nagysgrl beszlnk, de fontos ltni, hogy van irnyuk is. Vannak olyan mennyisgek is, ame-lyeket legtbbszr skalrknt hasznlunk, de lehet vektorknt is rtelmezni ket, ilyen a fellet, amely vektorknta felletre merleges irnyba mutat.

    rdemes megemlteni, hogy a hely rdekes mennyisg: vektorknt gondolunk r, de prbljuk csak meg kthely sszegt venni. Hol van pldul a szoba kt sarknak az sszege? Vagy melyik pont az asztal bal sark-nak ktszerese? Ugyanakkor a trpontok klnbsgk mr knnyebben rtelmezhet: az ket sszekt vektor.Mindennek az az oka, hogy a tr pontjai valjban nem vektorteret, hanem gynevezett an teret alkotnak.Csak akkor tekinthetnk rjuk vektorknt, ha kijellnk egy origt, amelyben ezek kezddnek. ltalban ajelensgeket egy rgztett orig mellett szemlljk, ennek kijellse jelenti a meggyel meghatrozst.

    A vektorokat gyakran Descartes-fle derkszg koordintkban fejezzk ki, mskor polr-, henger- vagygmbi koordintkban. Persze a legjobb, ha egyltaln nincs szksg koordintzsra, hanem maguk a vektorokkztt runk fel sszefggseket. Mindenesetre egy ktdimenzis #a vektor polrkoordinti (a, ) s derkszgkoordinti (ax, ay) gy fggenek ssze:

    ax = | #a |cos() s ay = | #a |sin(), azaz (1)

    a = | #a | =a2x + a

    2y (2)

    (3)

    2Vannak ennl bonyolultabb tpus mennyisgek is, amelyeket mtrixokkal fejeznk ki, ezeket azonban itt nem trgyaljuk. Talnegy pldt rdemes emlteni: a tehetetlensgi nyomatkot ugyan tbbnyire skalrral fejezzk ki, de ltalnos esetben mtrixkntrtelmezend, amely a szgsebessgvektorral szorozva a perdletet adja meg.

    4

  • A vektorok sszeadsnak s k skalrral szorzsnak szablyai gy rhatak fel: gy rhatak fel:

    #a +#

    b =#

    b + #a (4)

    ( #a +#

    b ) + #c = #a + (#

    b + #c ) (5)

    k ( #a + #b ) = k #a + k #b (6)

    Lthatlag ugyangy kezelhetjk ket sszeadsuk s szmmal szorzsuk sorn, mint a kznsges skalrokat,ezrt egyes trvnyek felrsban nem szmt, hogy az adott mennyisgre vektorknt vagy skalrknt gondolunk.

    Vektorok kztt rtelmeznk tovbb ktfle szorzst: a skalrszorzat eredmnye skalr, a vektorszorzateredmnye vektor. A skalrszorzsra kvetkez egyszer sszefggsek igazak:

    #a #b =| #a || #b | cos(), ami azt jelenti, hogy (7)#a #b #a #b = 0 (8)

    Mg a vektorszorzsra a kvetkez sszefggsek teljeslnek:

    | #a #b | =| #a || #b | sin() (9)#a #b | #a #b | = 0 (10)#a #b #a s #a #b #b , (11)

    ahol ez utbbi azt jelenti, hogy a vektorilis szorzat eredmnye merleges mindkt szorztnyezre. rdemestovbb hangslyozni, hogy mg a skalrszorzat merleges vektorokra nulla, addig a vektorilis szorzat prhu-zamosok esetn nulla.

    Skalr- s vektormrtkegysgek deniljk a skalrmennyisgek skljt. A klasszikus zikban mindenmrtkegysg alapja a tmeg, a tvolsg s az id alapegysge. A metrikus rendszerben ezek: a kilogramm,a mter s a msodperc. Minden tovbbi mrtkegysget ezekbl szrmaztathatjuk, ahogy a pldul a Joulemrtkegysg mskppen kgm2/s2, mg a Newton pedig kgm/s2. Egyes mennyisgeknek llandkon keresztladunk j egysget: pldul a Kelvin a Boltzmann-llandn (1, 38 1023 J/K) keresztl addik a Joule-bl, aCoulomb az elemi tlts egysgn keresztl (1, 6 1019 C) darabban kis kifejezhet lenne, az Amper pedig darabper msodpercben.

    A modern zika felismersei nyomn kiderl azonban, hogy ez a hrom mrtkegysg sem felttlenl mindszksges. A hrom legalapvetbb modern zikai lland a specilis relativitselmletben fontos fnysebessg:c = 3 108 m/s, a kvantumelmletben fontos Planck-lland: ~ = 1034 Js, s az ltalnos relativitselmletbenfontos gravitcis lland: = 6, 7 1011 Nm2/kg2. Ezekkel az sszes mrtkegysg kifejezhet, pldul

    1 kg = 4, 59 107

    ~c, (12)

    1 m = 6, 19 1034~c3, (13)

    1 s = 1, 86 1043~c5, (14)

    a tbbi pedig mr ezekbl szrmazik. Ha teht ezeket az llandkat egysgnek vlasztjuk, megsznnek a mr-tkegysgek. Ez azonban furcsa, igen eltr nagysgrend s a htkznapi tapasztalatoktl idegen szmokateredmnyezne (a tmegek, idk s tvolsgok kifejezsben), ezrt maradunk a jl bevlt metrikus egysgrend-szernl.

    A mrtkegysgek hasznlatnak praktikus oldala, hogy bizonytalansg esetn segtenek egyszer kpletekellenrzsben. Tegyk fel, hogy tudjuk, hogy egy trgy sebessgnek [m/s] kiszmtsnak kpletben szerepela trgy ltal megtett tvolsg [m] s az ezalatt eltelt id [s], ms nem. Ekkor biztosak lehetnk benne, hogya trvnyben a megtett tvolsgot kell elosztanunk az ehhez szksges eltelt idvel, hiszen csak gy jhet ki akvnt mter/msodperc eredmny.

    A nagyon nagy vagy nagyon kis szmok hasznlatnak elkerlse vgett a mrtkegysgeket nagysgrendeketjell prexumokkal lthatjuk el (kivve a kilogrammot, amely mr a gramm ezerszerese, gy ott a grammotfokozzuk). Ezek a kvetkezk:

    5

  • deka dk 101 deci d 101

    hekto h 102 centi c 102

    kilo k 103 milli m 103

    mega M 106 mikro 106

    giga G 109 nano n 109

    tera T 1012 piko p 1012

    peta P 1015 femto f 1015

    exa E 1018 atto a 1018

    zetta Z 1021 zepto z 1021

    yotta Y 1024 yocto y 1024

    Az als sorokban lv prexumok ugyan ritkn kerlnek el, de egyre gyakrabban: az emberisg ves energiafel-hasznlst exajoule-ban rdemes megadni, a legrvidebb ltrehozhat lzerimpulzusok pedig mr az attom-sodpercek tartomnyban vannak.

    2. Kinematika

    2.1. A mechanika s a kinematika modellje, alapfogalmai

    A kinematika anyagi s geometriai talakuls nlkli rendszerek trbeli mozgst rja le. F clja, hogy ajelen llapot teljes lersbl a jvre kvetkeztessen. A mechanika ennl valamivel ltalnosabb cl, egyrsztdeformcikat, azaz geometriai talakulsokat is nyomon kvet, msrszt nem csak lerja a mozgst s a defor-mcit, de annak okt is vizsglja. Ezzel szemben a kinematika, ami a mechanika rsze, nem keresi a mozgsokokt.

    Jelen szakasz kinematikai alapfeltevse szerint a testek pontszerek, azaz tmegpontknt gondolunk rjuk.Ez igen j kzelts billird-golyk tkzseinek vizsglatakor, egy atom vagy rszecske pedig mg inkbb tmeg-pontnak tekinthet sok esetben. Ugyanakkor egy sszetett rendszer, mint pldul egy aut, szintn kezelhetpontszerknt, amennyiben a helyzett, sebessgt, gyorsulst vizsgljuk: hiszen ekkor egyltaln nem lnyegesa kiterjedse vagy a geometrija. Egy tmegpontot egy adott idpillanatban a helyzetvel tudunk megadni, ez(meggyel, azaz orig vlasztsa esetn) az #r vektort jelenti. A tmegpont teljes (mlt- s jvbeli) lersaa helyzetnek idfggsn keresztl rhet el, azaz #r (t) megadsval. Az albbiakban ezt a fggvnyt vetjkvizsglat al.

    A tmegpont lersnak alapja teht az #r helyvektor, erre az orig (azaz a meggyel) kivlasztsa adlehetsget.3 Az elmozduls t = t t idtartam alatt #r = #r #r mdon rhat fel. Denilhatjuk az ezenidtartam alatti sebessget:

    #v t,t = #r

    t

    [ms

    ](15)

    Ez teht a [t, t] idintervallum alatti tlagsebessg dencija. Ennek szoksos mrtkegysge mter permsodperc (m/s) vagy kilomter per ra (km/h).

    Sokszor azonban egy test pillanatnyi sebessgre vagyunk kvncsiak: mennyivel megy ppen most? r-dekes krds, hogy ezt hogyan lehet denilni, hiszen egy idpillanat sorn a test egy helyen van, teht a fentihnyados nevezje s szmllja is nulla. A hatrrtk-szmts siet a segtsgnkre: a fenti kifejezsben vegyka t 0 hatrtmenetet, azaz innitezimlis dt idtartamot s az ez alatti d #r elmozdulst:

    #v (t) = limt0

    #r

    t=d #r

    dt= #r (t), (16)

    azaz ez ppen az #r (t) fggvny id szerinti derivltja! Nagyon sokszor elfordul a zikban, hogy ilyen 0/0jelleg hnyadost kpeznk a hatrrtk-szmts segtsgvel. Ilyenkor mindig arra rdemes gondolni, hogy ahnyadost egyre kisebb id vagy egyb mennyisg esetn vesszk, s ekkor a hnyados maga egy adott rtkhezkonvergl. A pillanatnyi sebessg esetn gondolhatunk arra, hogy pl. egy aut tlagsebessge egy adott pilla-nat krli msodpercben, tizedmsodpercben s szzadmsodpercben nagyjbl ugyanannyi, s ha mg kisebbidtartamokat vennnk, akkor hatrrtkben ppen az adott pillanatbeli sebessget kapnnk meg.

    A tlagos s pillanatnyi gyorsuls hasonlan rtelmezhetek:

    #a t,t = #v

    t t=

    #v

    t(17)

    #a (t) = limt0

    #v

    t=d #v

    dt= #v (t)

    dd#rdt

    dt=d2 #r

    dt2= #r (t). (18)

    3Beszlhetnnk a helyek an terrl is, az elmozduls (kt hely klnbsge) akkor is rtelmezhet lenne

    6

  • A gyorsuls teht a sebessg id szerinti derivltja, illetve a helyzet id szerinti msodik derivltja (az id szerintiderivltat ponttal jelljk), azaz v = r s a = v = r. Mrtkegysge tbbnyire mter per msodperc ngyzet(m/s2). Lehetne a hely tbb derivltjt vizsglni, nha a harmadik derivltat is deniljk (s rndulsnaknevezik). Ugyanakkor erre tbbnyire nincs szksg, a kinematika megfelel alapfogalmai a hely, sebessg sgyorsuls.

    2.2. A meggyel szerepe a kinematikban

    Ahogy eddig is hangslyoztuk, a hely (s emiatt a sebessg s a gyorsuls is) meggyelfgg: mshol s mssebessggel mozgnak ltja a levegben szll rovart az autplyn szguld aut vezetje s a lellsvban vesz-tegl kamionos. Egyszeren belthatjuk, hogy mozg meggyelk vagy objektumok egymshoz kpesti sebessgeegy harmadik meggyelhz illetve objektumhoz kpesti sebessgk sszege, azaz a sebessgek sszeaddnak:100 km/h sebessg autbl 10 km/h-val kidobott teniszlabda az t mellett ll meggyel szerint 110 km/h-valmozog. Ezen htkznapi tapasztalat bizonytsa a kvetkez. Legyen egy adott meggyel (avagy vonatkoztatsirendszer) szerint egy tmegpont helye #r (t). Ha ehhez kpest egy msik meggyel #rm(t) vektorral arrbbtallhat, akkor szerinte a tmegpont helye #r (t) = #r (t) + #rm(t). Ebbl derivlssal #v (t) = #v (t) + #vm(t),tovbb #a (t) = #a (t) + #am(t) addik. Ennek van nhny alapvet kvetkezmnye:

    Ha a meggyelk egymshoz kpes egyenletesen mozognak (vm = lland azaz am = 0), akkor tetszlegesharmadik test gyorsulsa szmukra megegyezik ez ksbb fontos lesz.

    Ha egy meggyel szerint kt jrm #v a s #v b sebessggel mozog, akkor a b jrmbl nzve a jrm#v a #v b sebessg mozog.

    Ha egy meggyel szerint egy jrm #v a sebessggel mozog, s rajta egy ember a jrmvn l meggyelszerint #v b sebessggel mozog, akkor a meggyel szerint az ember #v a + #v b sebessggel mozog.

    A fentiekre rengeteg pldt lehetne hozni: autbl kidobott labda, vonaton stl kalauz, bolygk krl keringholdak s mholdak, az rllomson rstt vgz rhajs, a folyn halad haj, a repl ltal szlelt szl, sgy tovbb.

    A meggyelk azonban nem csak az origt jellhetik ki, de a derkszg koordinta-rendszer hrom tengelytis. Bizonyos mozgsok esetben alkalmas koordinta-rendszert vlasztva a folyamat egyszerbben lerhat: aclegyenesben halad versenyaut helyvektora csak az x irnyban nem nulla, ha a clegyenes irnyban vesszkfel az x tengelyt. A fociplyn szalad jtkosok pozcijnak meghatrozshoz elg kt komponens, ha a zirnyt a plyra merlegesen (felfel) vesszk fel. A tr teht hromdimenzis, de sok mozgs maga csak egy-vagy ktdimenzis, s ezeket egyszeren tudjuk kezelni. A kvetkezkben erre ltunk pldkat.

    2.3. Egydimenzis mozgs

    Ha egyenes mentn val mozgsnl a koordinta-rendszert megfelelen vettk fel, akkor x irnya a mozgsirnyba mutat: ekkor a helyvektornak csak egy komponense van. gy teht a helyet, a sebessget s a gyorsulstis szmknt kezelhetjk. Lssuk az egydimenzis (egyenes vonal) mozgsok nhny egyszer pldjt.

    Az egyenletes mozgs sorn a sebessg lland (azaz a gyorsuls nulla). Ekkor

    a = 0 (19)

    v = v0 (lland) (20)

    r = r0 + v t (21)(22)

    Figyeljk meg, hogy a = v s v = r. Egyenletes mozgsra plda a tempomattal kzleked aut, a Fld felzuhan escsepp (zuhansa vgn mr nem gyorsul, ahogy azt ksbb ltni fogjuk), vagy a gurul billird-goly.

    Egyenletesen gyorsul mozgs sorn a gyorsuls lland:

    a = a0 (lland) (23)

    v = v0 + a t (24)

    r = r0 + v0t+a

    2t2 (25)

    Egy [0, t] idtartam alatt megtett t ez alapjn s[0,t] = v0t +a2 t

    2, illetve ezen a szakaszon az tlagsebessg:v[0,t] = v0 +

    a2 t. Ilyen mozgsra plda a feldobott/leejtett trgy mozgsa, azaz a szabadess, de az elrajtol

    versenyaut is gy mozog egy rvid ideig. Fontos ltni, hogy a lassuls is gyorsuls, csak ekkor a sebessg s a

    7

  • gyorsuls irnya ellenkez, s gy v = v0 a t mdon rhat fel a sebessg idfggse (ha pozitv rtket adunka gyorsulsnak).

    A harmonikus rezgmozgs is egy dimenzis, s ahogy ksbb ltni fogjuk, ennek kiemelten fontos szerepevan a termszetben, gy mozog egy rugra kttt test, vagy a kristlyrcsban kttt atom is:

    r = A sin(t+ ) (26)v = A cos(t+ ) (27)a = A2 sin(t+ ) (28)

    Itt A a mozgs amplitdja, s az ismtlds peridusideje T = 2/ = 1/f , ahol a frekvencia f = /2.Tovbb a fzis a mozgs kezdeti kitrst jelli ki, ugyanis r(t = 0) = A sin. A fzis vltoztatsa lnyegbenidbeli eltolsnak felel meg, hiszen pldul t = T/2 idvel ksbbtl nzve a mozgs a szinuszhullm = szggel arrbb lv pontjbl indul.

    Csatolt rendszerek rezgsei sszeaddnak (gondoljunk kt sszekapcsolt rugra, vagy tallkoz hullmokra).Azonos frekvencijak az sszeadd rezgsek, azaz az r1(t) = A1 sin(t + 1) s r2(t) = A2 sin(t + 2)rezgsek r1(t)+r2(t) sszettelnek A amplitdja A1 +A2 s |A1A2| kztt vltozik, azaz kt rezgs ersheti,gyengtheti s ki is olthatja egymst. Maximlis ersts (A = A1 + A2) akkor lp fel, ha a kt rezgs fzisaazonos, azaz 1 = 2. Maximlis gyengts (A = |A1 A2|) akkor trtnik, ha a rezgsek fzisa ellenttes, azaz|21| = . Ez azonos amplitdk esetn kioltst eredmnyez. Klnbz 1 s 2 frekvencij rezgsek esetnaz tlagos (1 + 2)/2 frekvencival jn ltre rezgs, amelynek amplitdja lassan vltozik, cos((1 2)t/2)szerint: bizonyos idpillanatokban az amplitd szinte nulla, mskor maximlis: ez a lebegs jelensge.

    2.4. Ktdimenzis mozgsok

    A tr harmadik dimenzijt kihagy mozgsok ktdimenzisak, ekkor a mozgs skja az x, y sk. A ktirny fggetlen egymstl, ezrt ktdimenzis mozgsok kt egyenes vonal mozgsbl rakhatak ssze.

    A legegyszerbb eset, ha a gyorsulsvektor lland (azaz a nagysga s az irnya is), de nem prhuzamosa kezdsebessggel (mint egyenes vonal mozgsok, pldul elejtett k mozgsa esetn). gy mozog egy rakta,egy eldobott dartsnyl, a megttt teniszlabda. Ekkor a kezdsebessget gy rjuk fel:

    #v 0 = (vx, vy) = (| #v 0| cos, | #v 0| sin) (29)

    Vlasszuk meg a koordinta-rendszert gy, hogy a gyorsuls az y irnyba mutat (pldul egy trgy elhajtsaesetn a gyorsuls fggleges, legyen teht ez az y irny, mg az x a vzszintes irnyba mutat). Ekkor teht azx irnyban egyenletes mozgs, y irnyban lefel mutat, egyenletes gyorsuls alakul ki:

    x = x0 + vxt = x0 + | #v 0| cos()t (30)

    y = y0 + vyt+a

    2t2 = y0 + | #v 0| sin()t+

    a

    2t2 (31)

    Egy ilyen hajts esetn gyakran feltett krds, hogy az eldobott trgy milyen messzire repl, mekkora sebes-sggel r fldet s mennyi repls utn. A krds megvlaszolshoz meg kell hatrozni a kezdpozcit: legyenez az orig, az r0 = (x0, y0) = (0, 0) pont. A vzszintes mozgs egyenletes, teht a fldet-rs helye s idejearnyos egymssal: x = vxt. Az idt a fggleges mozgsbl hatrozhatjuk meg: ha a hajts egy h magassgpletrl trtnt, akkor fldetrskor az y koordinta rtke h, hiszen a kezdpont volt az orig. A gyorsulsvaljban lefel mutat, teht negatv eljellel vehetjk, a megoldand egyenlet innen h = vyt a2 t

    2. Az rnezzel kapcsolatos ksrletet is vgznk: a replsi id s tvolsgok mrsvel gyorsuls meghatrozhat! Fontostapasztalat, hogy a szabadon elengedett trgyak a Fld felsznhez kzel 9,81 m/s2 gyorsulssal indulnak el(ksbb ezt a gyorsulst cskkenti a kzegellenlls, ahogy ltni fogjuk. A hajtst illusztrlja az albbi bra:

    8

  • A ktdimenzis mozgsok msik egyszer esete a krmozgs, itt a pont plyja egy kr, azaz a kr dencijaszerint | #r | = R =lland. A pont helyzett az x s y koordinta megadsa helyett egy szggel is denilhatjuk,azaz megadhatjuk a helyet polrkoordintkban, a kr kzppontjt orignak vlasztva:

    r = (R sin,R cos) (32)

    Denilhatjuk tovbb a szgsebessget az idegysg alatti elfordulsknt:

    =d

    dt. (33)

    A szgsebessgre sokszor vektorknt tekintnk, amelynek irnya a forgstengelynek megfelel, a jobbkzszablyszerint (azaz ha jobb keznk behajltott ujjai irnyba trtnik a forgs, akkor # a hvelykujjunk irnybamutat).

    Egyenletes krmozgsrl beszlnk, ha = lland. Ekkor a T peridusid (teljes kr, azaz 2 megtte-lhez szksges id) s a szgsebessg = 2/T mdon fgg ssze. Az adott helyzethez tartoz szg pedig aszgsebessg llandsga miatt = t. A hely, a sebessg s a gyorsuls pedig:

    #r (t) = (R sin(t), R cos(t), (34)#v (t) = #r (t) = (R cos(t),R sin(t)), (35)#a (t) = #r (t) = (R2 sin(t),R2 cos(t)). (36)

    Innen knnyen belthat, hogy #r #v , hiszen a #r #v skalrszorzatuk nulla (a komponensek szorzsa ssszeadsa alapjn). A sebessgvektor nagysga is knnyen kiszmthat: |v| = R, s miutn ez a helyremerleges, azaz kerleti irny, kerleti sebessgnek nevezzk. Szintn belthat, hogy #a (t) = 2 #r (t), azaza gyorsuls s a helyvektor prhuzamosak. Ezt centripetlis gyorsulsnak nevezzk, s a kr kzppontja felmutat, nagysga |a| = 2|r| = 2R Az is belthat, hogy a mozgs x vagy y komponense ppen a harmonikusrezgs vetlete, hiszen x(t) = R sin(t). Mg annyit rdemes hozzfzni, hogy a szgsebessg vektor jellegtis gyelembe vve a #v = #r # sszefggs lesz rvnyes az egyszer v = R helyett de mivel skbelimozgsrl beszlnk, az #r vektor mindig merleges a forgstengelyre, ezrt a kt llts egyenrtk. Nemskbeli krmozgs esetn (pldul a Fld forgsnl) azonban mr a vektorilis sszefggst kell gyelembevennnk.

    9

  • Az egyenletes krmozgsra j plda a Fld Nap krli keringse. Ennek sorn kb. 365 nap alatt tesz meg egyteljes krt, szgsebessge teht = 2/(365 nap), azaz kb. 2 107 1/msodperc. Az ehhez tartoz sebessga plya tlagos 150 milli kilomteres sugart gyelembe vve 30 km/s, azaz 100 000 km/ra! Ekkora tlagossebessggel mozog teht a Fld a Nap krli plyjn. rdemes azt is megemlteni, hogy a Fld sajt tengelyekrli forgsnak szgsebessge 2/nap, a Fldnek az egyenltnl vett 6371 km-es tlagos sugarval szmolvaebbl 463 m/s, azaz kb 1700 km/h sebessg addik. Ekkora sebessggel mozgunk teht a Fld tengelye krl az egyenltnl, mshol a kisebb sugr miatt a fldrajzi szlessg koszinuszval szorzott rtk addik.

    Nem egyenletes krmozgs esetn lehet szggyorsuls is, ennek mrtke = d/dt = d2/dt2. Ekkor vanrintirny gyorsuls is, ezt a mdon jellhetjk, s nagysga egyenletesen gyorsul krmozgsnl (azaz ha = lland) |a| = R. Vltoz mdon gyorsul krmozgst vgez pldul az inga, amelynek fgglegesselbezrt szge = 0 cos(2t/T ) szerint vltozik.

    Krmozgs sorn igazbl s is vektorknt kezelendek, bizonyos esetekben van ennek jelentsge. Aszgsebessgvektor irnya a jobbkz-szably szerint a forgstengely irnyba mutat: ha jobb keznk behajltottujjai irnyban forog a trgy, szgsebessge hvelykujjunk irnyba mutat.

    3. Newton trvnyei

    3.1. Isaac Newton

    Isaac Newton annyira jelents alakja a klasszikus ziknak, hogy lett nagyon rviden itt is sszefoglaljuk.Newton 1642. december 25-n szletett Woolsthorpe Manorban, Angliban, fldmves apja halla utn hromhnappal. Tizenkt s tizenht ves kora kztt a The King's Schoolba jrt Granthamben, ahol matematikt nemtanult (de latinul igen). 17 ves korban az idkzben jrahzasodott anyja jra megzvegylt, ezrt hazavittkazzal a cllal, hogy (akarata ellenre) a fldeken dolgozzon. Iskolai tanra javaslatra azonban visszamehetett,s ekkor mr ltanul lett.

    1661-ben nagybtyja ajnlsval felvettk a cambridge-i Trinity College-ba. Itt elssorban Arisztotelsz mun-ki alapjn tantottak, de Newton modern tudsok eredmnyeit is tanulta, mint pldul Descartes, Galilei vagyKepler. 1665-ben felfedezte a binomilis ttelt s elkezdte kifejleszteni matematikai elmlett, amelyet ksbbcalculusnak neveztek el. Ezutn a cambridge-i iskola a pestis miatt kt vre bezrt, Newton ez alatt jelen-ts fejldst rt el matematikai munkival, tovbb a gravitcival s optikval kapcsolatban is eredmnyeketrt el. 1667-ben visszatrt Cambridge-be, s 1669-ben professzor lett ugyanitt. Ebben az vben rta meg Deanalysi per aequationes numeri terminorum innitas (A vgtelen sorok elemzsrl) s De methodis serierumet uxionum (A sorok s uxik mdszerrl) cm mveit, amelyek lefektettk a dierencilszmts alapjait(a knyvek azonban zikai megfontolsokon nyugv levezetsekre pltek). Ugyanakkor Leibniz tle fggetlenlszintn kifejlesztette lnyegben ugyanezeket a matematikai mdszereket, s ezrt komoly vita s ellensgeske-ds volt kzttk. Ma Leibniz jellsrendszert hasznljuk, a brit matematikusok is ezt vettk t az 1800-asvekben. Newton vitra ksz, de nem teljesen jindulat termszett illusztrlja Hooke-nak rt levele, akivelszintn vitban llt (optikai felfedezsekkel kapcsolatban): Ha messzebbre lttam, mint msok, csak azrt volt,mert risok vlln lltam. Ezzel sokak szerint nem szernysgt fejezte ki, hanem Hooke alacsony termetngnyoldott.

    Newton f mve, a Principia (Philosophiae naturalis principia mathematica, azaz a termszetloza ma-tematikai alapjai) 1684-87 kztt rdott. Ebben (noha mg nem a maga ltal kifejlesztett dierencilszmtsijellst hasznlta, hanem szban fogalmazta meg lltsait) lefektette a klasszikus mechanika alapjait, amelyekbizonyos keretek kztt (nem tl nagy sebessgek, nem tl nagy vagy tl kicsi tvolsgok s mretek, nem tlnagy tmegek) mig rvnyesnek bizonyultak. Knyvben dencikat s aximkat ad meg, majd rszletezi atestek mozgsnak lerst, bevezeti a gyorsuls, a tehetetlen tmeg s az er fogalmt, s beszl a srldsrls a gravitcirl. F cl szmra a mozgs oknak kutatsa. A meggyelkkel s koordinta-rendszerekkel isfoglalkozik, bevezeti az inerciarendszer fogalmt is.

    lete msodik felben politikai plyra lpett, az angol parlament tagja lett, a Kirlyi Pnzverde veze-tje, 1705-ben pedig (sokak szerint az azon vben tartott vlasztsokkal sszefggsben) lovagg tttk. 1727.mrcius 20-n lmban hunyt el Londonban, srja a westminsteri aptsgban tallhat.

    3.2. Newton hrom trvnye

    Newton els trvnye a grg termszetloza alapvet megjtsa: korbban azt gondoltk, hogy min-den mozgs fenntartshoz hatsra van szksg, a testek termszetes llapota a nyugalom, ezrt minden magtlmegll. Newton szerint azonban

    10

  • egy test megtartja egyenes vonal egyenletes mozgst, amg valami annak megvltoztatsra nemknyszerti.

    Ez persze nem minden meggyel szerint van gy: az indul vonatbl nzve a peronon ll brnd magtl elgu-rul. Azt a koordinta-rendszert (avagy meggyelt), ahol a fenti trvny, Newton els trvnye tnyleg mindigigaz, inerciarendszernek nevezzk. Ha megfelel koordinta-rendszert vlasztunk, akkor teht a mozgsllapotmegvltozsa csak klcsnhats eredmnyeknt kvetkezhet be.

    Egyszeren lthat, hogy inerciarendszerek egymshoz kpest nem gyorsulhatnak, hiszen ha tennk, az egyikszerint nyugv, magra hagyott test a msik szerint gyorsulna. Ezrt nha azt mondjuk, hogy az inerciarend-szerek nem gyorsul koordinta-rendszerek, ami valamelyest pongyola fogalmazs, hiszen egymshoz kpestnem gyorsulnak csak, ezrt gy ket denilni nem lehet.

    Ilyen nem gyorsul meggyelt nem egyszer tallni: a Fld eleve forog s kering, de a Naprendszer iskering a Tejtrendszer kzppontja krl. Az ezekhez rgztett koordinta-rendszerek nem inerciarendszerek!A gyakorlatban elhanyagolhat az ebbl add hats, j kzeltssel igaz, hogy a Fldn a magukra hagyotttrgyak nem mozdulnak meg maguktl.

    Gyorsul koordinta-rendszerben viszont termszetesen elmozdulhatnak trgyak maguktl, ezekben nemrvnyes Newton els trvnye (s a tbbi sem). Ilyen a gyorsul lift, repl, aut, vagy az ppen elindul vonat:a padlra rakott brnd magtl elgurul/felborul. Ezt rszletesebben a tehetetlensgi erknl trgyaljuk.

    Newton msodik trvnye azt is megadja, hogy mi trtnik, ha egy testet nem hagyunk magra, azazvalamilyen mdon hatunk r. Ekkor a test gyorsulni kezd, s a testre hat er arnyos a test gyorsulsval, azaz

    #

    F = m #a , vagy ha tbb er is van, akkor (37)i

    #

    F i = m#a (38)

    A fenti tulajdonkppen az m-mel jellt tmeg dencija is. Ez a test lland tulajdonsga, amely a gyorstha-tsgt befolysolja azaz a tehetetlensgt jelenti. Az egyenletben F az ert jelli, ez a mennyisg hozza ltrea gyorsulst. Mrtkegysge a N , azaz Newton. Egy test akkor tarthatja meg mozgsllapott (azaz akkor nemgyorsul), ha a r hat erk sszege nulla. A test egyenslynak felttele teht a i

    #

    F i = 0 egyenlet, s ekkora = 0. Vegyk szre, hogy ebbl termszetesen kvetkezik az els trvny: pontosan akkor nincsen gyorsuls, hanincsen er sem (vagy ezek sszege nulla). Ez a legfontosabb mechanikai trvny, minden mechanikai problmaesetn ebbl kell kiindulnunk.

    Fontos ugyanakkor ltni, hogy nem inerciarendszerben magtl megmozdulhat egy trgy: gyorsulhat ernlkl, mert itt nem rvnyes ez a Newton-trvny sem. Hogy mgis hasznlhassuk, illetve hogy megmagya-rzzuk az er nlkli gyorsulst, bevezetnk kpzeletbeli erket, amelyeket gyelembe lehet venni a tnylegeserkn kvl. Ezen kpzeletbeli erk a tehetetlensgi erk, #a -val gyorsul rendszerben a nagysga m #a . Egyilyen rendszerben, ha ms er nem hat a testre, kvlrl nzve nem is gyorsul. De bellrl nzve gyorsul, mivelkimozog alla a koordinta-rendszer. A gyorsulsa ppen a rendszer gyorsulsnak az ellentte, teht a. Eztpedig csak egy ma er okozhatn, ha rvnyes lenne a msodik Newton-trvny. Ezrt vezetjk be egy ilyener ltezst. Forg koordinta-rendszer a kzppontja fel gyorsul (centripetlis gyorsuls), ezzel ellenttes m atehetetlensgi er jn ltre: ez a centrifuglis er. Rszletesebben ezt a 4.1. rszben trgyaljuk.

    Newton harmadik trvnye a kvetkezkppen foglalhat ssze:

    Ha egy test ervel hat egy msikra, akkor a msik ugyanakkora, ellenttes irny ervel hat az elsre.

    Ez az ellener, a trvny teht az er-ellener trvnynek is nevezhet. Erre is szinte minden mechanikaiproblma esetn szksg van. Pldul az asztalon nyugv trgyat a slynak megfelel ervel tartja azt asztal(hogy az t ne szaktsa, t ne essen rajta), gy teht a trgy is ugyanekkora ervel nyomja az asztalt. A padlnyomja felfel a rajta ll embert, az ember pedig lefel a padlt. A Hold vonzza a Fldet, a Fld pedigugyanekkora ervel vonzza a Holdat. A puska kilvi a golyt nagy ervel - de a goly is visszalki a pusktugyanekkora ervel, az pedig a lvszt.

    3.3. Newton trvnyeinek egyszer alkalmazsai

    Az els trvnyt pldul egyenes vonal egyenletes mozgs esetn alkalmazhatjuk: miutn ekkor a = 0, ezrtaz gy mozg trgyra nem hat er. A msodik trvny mr ennl konkrtabban is alkalmazhatjuk. Eszerintlland er esetn egyenes vonal egyenletesen gyorsul mozgs jn ltre. Miutn tapasztalataink szerint aFldn magukra hagyott (elengedett) testek a = g nehzsgi gyorsulssal zuhannak lefel, ezrt Newtonmsodik trvnybl addan rjuk F = mg ernek kell hatnia. Ezt nevezzk nehzsgi ernek.

    11

  • Ktdimenzis mozgsokban is alkalmazhatjuk a msodik trvnyt: ha#

    F=lland (mint pldul egy hajtsesetn), akkor #a =lland. Ha teht csak a fgglegesen lefel mutat mg nehzsgi er hat a testre, akkora gyorsulsvektora is fggleges, nincs vzszintes komponense: vzszintesen teht egyenletes mozgst vgez azelhajtott test. Egy msik plda az egyenletes krmozgs, itt (ahogy korbban lttuk) |a| = 2R = |v|2/R, eza centripetlis gyorsuls. Ezt Newton msodik trvnye alapjn csak egy er okozhatja, ez a centripetlis er:

    Fcp = mR2 (39)

    Minden krmozgst vgz testre sszesen ppen ekkora ernek kell hatnia, ezrt vgezhet krmozgst. Hogy mifejti ki az ert, az mr a konkrt plda krdse, de lehet pldul a ktl (prgetett trgy esetn), a gravitci(mholdak, bolygk mozgsa) vagy a biztonsgi v (kanyarod aut esetn).

    3.4. Lendlet s tmegkzppont

    Newton msodik s harmadik trvnynek fontos kvetkezmnye, hogy bevezethetjk a lendlet fogalmt,illetve belthatjuk annak megmaradst. Newton egyenlete alapjn F = ma, azaz F = mv. Eszerint egy t idalatt hat tlagos er

    F =(mv)

    t, (40)

    azaz az mv mennyisg idegysg alatti megvltozsa. Ezt nevezzk el impulzusnak vagy magyarul lendletnek:

    p = mv , teht F =p

    t, innen p = Ft. (41)

    Az impulzus standard mrtkegysge kgm/s, egy 36 km/h (10 m/s) sebessg, egy tonns aut impulzusapldul 10000 kgm/s, mg egy 180 km/h (50 m/s) sebessg, 100 g tmeg teniszlabd 5 kgm/s.

    Newton harmadik trvnye szerint viszont kt trgy klcsnhatsa sorn F illetve F ervel hatnak egy-msra. Ha kls erk nincsenek, akkor az impulzusok megvltozsa: p1 = Ft s p2 = Ft. Innen azsszimpulzusuk megvltozsa p = (p1 + p2) = p1 + p2 = 0. Azaz az sszimpulzus vltozatlan, p1 + p2 =ll. Ez az impulzusmegmarads trvnye, amely igen nagy jelentsg trvny a zikban, minden krlmnyekkztt rvnyes marad (mg a kvantumzika s a relativitselmlet vilgban is, ahol sok ms trvny megkr-djelezdik vagy mdosul). Ebbl addik, hogy egy falrl/fldrl azonos sebessggel rugalmasan visszapattanlabda ltal tadott impulzus p = 2mv, mivel mv lendletbl mv lesz. A labda ltal kifejtett erhats azimpulzustads sebessgtl fgg, mivel F = p/t. Az elz bekezds vgn emltett teniszlabda teht 10kgm/s impulzust ad t a Fldnek, amely kb. 6 1024 kg tmege miatt ekkor 1024 m/s nagysgrend sebes-sggel kezd ellenkez irny mozgsba. Ez persze lnyegben elhanyagolhat. Ugyanakkor szz v alatt annyiteniszlabdt pattintanak le vilgszerte, hogy annak akr hatsa is lehetne vagy nem? A kvetkezkben erre isvlaszt kapunk.

    Az impulzusmegmarads teht azt jelenti, hogy kt tmegpont esetn m1v1 +m2v2 = lland, azaz ugyan-annyi minden pillanatban. Ezt gy is rhatjuk, hogy m1r1 +m2r2 = lland, azaz:

    m1r1t

    +m2r1t

    =(m1r1 +m2r2)

    t= lland. (42)

    Ez teht azt jelenti, hogy ha bevezetjk a tmegkzppont rtkp = (m1r1 + m2r2)/(m1 + m2) helyt s azm = m1 +m2 ssztmeget, akkor:

    mrtkp

    t= mvtkp = lland. (43)

    Ez az rtkp hely jelli ki a rendszer tmegkzppontjt, amely hbortatlanul mozog, egyenletes mozgst vgez, hanem hat a rendszerre kvlrl semmilyen er. Ennek oka az, hogy a rendszeren bell hat, bels erk nem tudjkmegvltoztatni a rendszer sszestett impulzust. A fentiekben ezt kt trgybl ll rendszerre vezettk le, determszetesen ltalnossgban is igaz. Teht valjban akrhny labdt is pattintunk le a Fldn, a Fld s arajta lv sszes trgy sszestett tmegkzppontja akkor sem mozdul el sosem. Egy mozg labda esetben isfontos ez: benne az atomok s molekulk mozgsban vannak, klcsnhatnak, de a tmegkzppont gy mozog,mint ha a labda egy pont lenne. Ezrt kezelhetjk a sok pontbl ll rendszereket is egy tmegpontknt.

    4. Ltszlagos erk nem-inercia rendszerekben

    4.1. Tehetetlensgi erk

    Ahogy a fentiekben lthattuk, nem inerciarendszerben magtl megmozdulhat egy trgy, azaz gyorsulhater nlkl, mert itt nem rvnyesek a Newton- trvnyek. Hogy mgis hasznlhassuk ezeket, bevezetnk kpze-

    12

  • letbeli erket, amelyeket gyelembe lehet venni a tnyleges erkn kvl, s ezekkel Newton msodik trvnyehasznlhat marad (ahogy majd ltni fogjuk, a harmadik trvny tovbbra is srl).

    Kpzeljnk el egy gyorsul (lassul) rendszert, pldul egy fkez buszt, s ebben egy brndt. A buszlefkez. Ekkor ez kvlrl nzve hbortatlanul mozog tovbb, egyenletes mozgssal, mivel nem hat r er. Debellrl nzve gyorsul, mivel kimozog alla a koordinta-rendszer. A gyorsulsa ppen a rendszer gyorsulsnakaz ellentte, teht a. Ezt pedig csak egy ma er okozhatja, ha rvnyben akarjuk tartani a Newton-trvnyt.Ezen kpzeletbeli er a tehetetlensgi er, a-val gyorsul rendszerben a nagysga

    Ftehetetlensg = ma. (44)

    Ezt illusztrlja az albbi bra, ahol a fkez (htrafel gyorsul) buszbl nzve a brnd kezd el elrefelgyorsulni, mg kvlrl nzve a brnd egyenletesen mozog, csak a busz kifkez alla:

    A tehetetlensgi er bevezetse megoldja ezt a furcsa problmt: az a gyorsulssal htrafel gyorsul buszbanlv m tmeg trgyakra ma er hat, ez lki elre a brndt. Az utast ezzel az ervel szemben a biztonsgiv, a srlds vagy az eltte lv ls tartja a helyn.

    rdekes plda az gynevezett slytalansg esete: ha a Fldn vagy a Fld krl keringve valaki lefel gyorsul ggyorsulssal, akkor a gyorsulva zuhans tehetetlensgi ereje s gravitcis er kiejtik egymst, gy sszessgbenltszlag (bellrl nzve) nem hat er az ebben a rendszerben meggyelt trgyakra. Ezrt lebeg az elengedetttoll vagy vzcsepp az rllomson, holott valjban a Fld kzppontja fel zuhan. A krmozgs pldjt kicsitjobban kifejtve azt mondhatjuk, hogy minden kering rendszer a kerings kzppontja fel gyorsul a = r2

    centripetlis gyorsulssal. A fentiek rtelmben egy ezzel ellenttes irny tehetetlensgi er jelenik meg, ez acentrifuglis er: forg koordinta-rendszerben kifel hat, minden, a koordinta-rendszerbl meggyelt testre.Nagysga:

    Fcf = mr2. (45)

    Az rllomson tl j plda erre a kanyarod aut, a krhinta, illetve ez prseli a ruht a centrifuga szlhez.rdekes tovbb, hogy a Fldn ez cskkenti a mrhet slyunkat (mg) is, mghozz r2/g arnyban, ha aFld szgsebessgnek felsznre merleges komponense. A Fld 24 rs peridusidejbl

    =2

    T=

    2

    86400s 7 105s1. (46)

    Ennek felsznre merleges komponense sin-vel arnyos, ha a szlessgi fok. Budapesten innen az adott tmegmrt slynak cskkense 0,001%, alig rzkelhet. Van egy vzszintes komponens is, teht a fggleges valjbannem a felsznre merleges irny, szintn kb. 0,001% mrtkben eltr attl.

    4.2. A Coriolis-hats

    A Coriolis-hats forg koordinta-rendszerben mozg testek esetben jelentkezik. Megmagyarzhat a Coriolis-er segtsgvel, amely a tehetetlensgi erk kz tartozik. Eredetileg Foucault ksrlete hvta fel r a gyelmet:ennek sorn egy hossz ingt lltottak fel a prizsi Panteonban, amelynek lengsi skja lassan elforgott, rmu-tatva, hogy a Fld nem lehet inerciarendszer.

    A hats egyszeren bemutathat. Tekintsnk egy forg korongon a kzppont irnybl kifel mozg puska-golyt (az egyszersg kedvrt, de a Fldn -D irnyban mozg trgy is megfelelne). Kiindulsi helyzetbena kerleti sebessg v = r. A sugrirny elmozduls a sugrirny v sebessg miatt L = vt, ennyivel vankijjebb a clpont a kiindulsi pontnl A clpont helyzetben a talaj kerleti sebessge (r + vt), de a goly

    13

  • vltozatlanul csak r, teht vt sebessgklnbsg van kztk, azaz a clpont elmozog a puskagoly ell. Akerleti irny elmozduls a sebessgklnbsg s az id szorzataknt a s = vt2 formula szerint addik. Ezt akerleti elmozdulst egy a kerleti gyorsulssal rhatjuk le, s miutn ezzel s = at2/2 utat tennnk meg, akerleti gyorsuls nagysga a = 2v. A fenti levezets illusztrcijaknt lsd az albbi brt:

    Ha a sebessg s a szgsebessg irnyt is gyelembe vesszk, mert nem forg skunk van (ahol a v sebessgmerleges az szgsebessgre), akkor a gyorsuls

    #aCoriolis = 2#v #. (47)

    ahol az szgsebessg-vektor a forgstengely irnyba mutat. A Coriolis-gyorsulst teht az okozza, hogynem vagyunk inerciarendszerben, s a fenti, aCoriolis mrtk ok nlkli gyorsuls lp fel. Ezrt bevezethetjkszoksos tehetetlensgi ert, amelynek neve ebben az esetben Coriolis-er:

    #

    FCoriolis = 2m#v #. (48)

    Ez a Coriolis-er, amely a v sebessgre s az szgsebessgre is merleges irny, teht szak-dli mozgs esetna felsznnel prhuzamosan kelet-nyugati irnyba mutat, hiszen ez az irny merleges mind a forgstengelyre,mind a sebessgre. Ez trti el az szak-dli irnyban mozg trgyakat, amelyre j plda a kiltt puskagoly,lgramlatok s szlrendszerek mozgsa, illetve a Foucault-inga (amelynek lengsi skjra mindig merleges afellp er, ezrt ez a sk elforog).

    Ha az egyik sarkon vagyunk (ahol a sebessgnk pontosan merleges a szgsebessg vektorra), s a megte-end -D tvolsg L, az ilyen irny sebessg v, ezrt t = L/v, azaz s = vt2 = L2/v, a relatv elmozdulspedig s/L = L/v. Ennek nagysga hatrozza meg, hogy szksges-e a eltrt hatssal egyltaln foglalkozni:ha s/L 1, azaz s L, akkor az eltrts minimlis.

    Ha nem ppen az egyik sarkon mozgunk -D irnyban, akkor a szgsebessg s a sebessg nem merlegesegymsra. A szg szlessgi krn szget zrnak be, gy a gyorsuls vagy az er nagysga a keresztszorzsmiatt | sin( )| = | sin| mrtkben vltozik, azaz ekkor ezek nagysga

    FCoriolis = 2mv| sin| illetve aCoriolis = 2v| sin| (49)

    A szlessgi kr hatst gyelembe vve vgs soron az eltrls L tvolsg v sebessggel val megttele esetn

    s =a

    2t2 = v| sin|t2 = L

    2 sin

    v(50)

    a relatv eltrls pedig

    s

    L=L sin

    v(51)

    Ahogy az elz szakaszban emltettk, a Fld forgsnak szgsebessge 7 105s1. Budapesten (ahol aszlessgi fok kb 47 fok, azaz sin 0.74) 1 m/s -D irny sebessg esetn, 1 m megttelnl kb. 0,05 mm azeltrls. Egy lefoly esetben teht a krkrs lefolyst nem a Coriolis-hats befolysolja. Ugyanakkor v = 10m/s sebessg esetn az eltrls 1 km megttele utn 5 m, 10 km-nl 500 m, 100 km-nl 50 km, azaz itt mr aCoriolis-er a legjelentsebb hats! Ekkor a nyomsklnbsg irnyba fj szelet eltrti a Coriolis-er, s azizobr vonal mentn fog fjni. Krk alakulnak ki, szakon az ra jrsval ellenttes, dlen megegyez irnyban.Ezt illusztrlja az albbi bra:

    14

  • Tovbbi rdekes jelensg, hogy a nagy (> 10 km) grblet folyk az szaki fltekn a jobb partot ersebbenmossk.

    Szelek esetn a hats erssgt jelz mrszm a Rossby-szm, ami tulajdonkppen a Coriolis-er miattirelatv eltrls inverze, azaz L/s, pontosabban ennek fele:

    Ro =v

    2L sin(). (52)

    Kis Rossby szm esetn a Coriolis-er hatsa nagy. Torndban Ro = 103, alacsony nyoms cellkban 1 krlivagy kisebb lehet (az ilyen dimenzi nlkli szmok gyakran hasznosak pldul ramlsok lersa esetn, aklnbz mretsklj rendszerek hasonlsgt mutatjk).

    Amennyiben a mozgs nem szak-dli irny, gy az ernek lesz a felsznre merleges (fggleges) kompo-nense is (hiszen ekkor # s #v keresztszorzata nem prhuzamos a felsznnel). Ha adott egy vkny kelet-nyugatiirny sebessg, akkor ez egy rszben szak-dli Coriolis-ert, rszben azonban egy fggleges irny ert fogeredmnyezni. Pontosabban maga az er 2mvkny nagysg lesz, de ennek cos rsze fggleges lesz (azaz a testslyt vltoztatja meg), sin rsze pedig szak-dli irny lesz (s eltrt erknt mkdik). A slyvltozstEtvs-hatsnak nevezzk. A trgy eredeti slyhoz kpest a vltozs Budapesten, 10 m/s kelet-nyugati irnysebessgnl 0,01% nagysgrendbe esik.

    rdekes az 1915-s Falklandi csata pldja, amely a dli szlessg 50. foknl van nagyjbl. Az angolokclzberendezsei ebben az idben igen nagy tvolsgra voltak megfelelek, akr tbb 10 km-re lv clt iseltalltak. Ez esetben azonban szz mterrel elvtettk a clt, a Coriolis-er miatt ugyanis az Angliban fellphats itt ugyanakkora, de ellenttes irny eltrlst eredmnyez, a korrekcis berendezseik teht ppen hogynveltk a cltvesztst!

    5. Egyszer dinamikai rendszerek

    5.1. Harmonikus oszcilltor, visszacsatols, rezonancia

    A 2.3. szakaszban lttuk, hogy a rezgmozgs sorn a helyzet r = A sin(t+ ) mdon fgg az idtl, gya gyorsuls a = A2 sin(t+), azaz a = 2r. Az ezt ltrehoz er F = m2r kell, hogy legyen, teht azegyenslyi helyzettl val eltrssel arnyos, s azzal ellenttes irny. Ezt negatv visszacsatolsnak nevezzk,hiszen az er az azt okoz kitrs ellenben hat. Az ilyen er a fentiek rtelmben rezgmozgst hoz ltre azegyenslyi helyzet krl, amennyiben a rendszert kitrtjk, majd magra hagyjuk. A rendszer ekkor felvettfrekvencija a sajtfrekvencia, amelyen magtl oszcilll.

    Induljunk ki most abbl, hogy egy testre a nyugalmi helyzetbl val kitrse esetn F = Dr er hat,ami teht arnyos a kitrssel de azzal ellenttes irny. Ha gyelembe vesszk, hogy a gyorsuls a helyzetmsodik derivltja, s felrjuk Newton msodik trvnyt, akkor a negatvan visszacsatolt rendszer, a harmonikusoszcilltor dierencilegyenlett kapjuk meg:

    mr(t) = Dr(t) azaz r(t) = A sin(t+ ), (53)

    ahol =D/m a rendszer sajt krfrekvencija, illetve ebbl f =

    D/m/2 a sajtfrekvencia. Ennek

    egyszer kvetkezmnye az, hogy minl nagyobb az adott kitrshez tartoz visszatrt er (azaz minl nagyobba D egytthat), annl nagyobb lesz a rendszer sajtfrekvencija. Azonos er, de nagyobb tmeg test esetbenviszont lassabb lesz a rezgs.

    15

  • A termszetben sokszor fordul el negatv visszacsatols (gazdasg, kolgia, kmia, zika), ezrt a fentiekbenlert harmonikus oszcillci gyakori. A negatvan visszacsatolt rendszereket nszablyoznak is nevezzk, hiszena rendszerben fellp er az egyenslyi helyzetbe val visszatrst segti. Ilyen rendszerre plda a rug, amelyF = Dr ert hoz ltre. Populcis modelleket is lehet pldnak hozni: legyen egy faj szmra rendelkezsrell tpllk x mennyisg. Ekkor ha alacsony az egyedszm, akkor knny a tpllkhoz val hozzfrs,magas a szaporulat. Ha viszont magas az egyedszm, akkor pp emiatt alacsony a szaporulat. Ezen egyszermodellben az idelis egyedszm krli harmonikus oszcillcit gyelhetnk meg4. Hasonlan a gazdasgban isoszcillcikat gyelhetnk meg, a ciklusok lnkls, virgzs, vlsg s pangs egymsutnjnak ismtldstjelentik. Mindegyik rendszer kzs jellemzje az egyensly fel visszatrt hats, azaz a negatv visszacsatols.

    A pozitv visszacsatols annyiban klnbzik ettl, hogy ekkor az er a kitrssel azonos irnyba hat. gyminl nagyobb a kitrs, annl nagyobb az er, gy mg nagyobb a kitrs s ezrt mg nagyobb az er, sgy tovbb (ez a pozitv visszacsatols lnyege). Ennek dierencilegyenlete mr(t) = +Dr(t) s az gy mkdrendszerek minden hatron tl ersdnnek, mert az egyenlet megoldsa exponencilis fggvny, r(t) = Aet,ahol 2 = D/m. Egy id utn a rendszer zikai korltai gtoljk a tovbbi ersdst. Pozitvan visszacsatoltrendszer pldul egy ritka, de sikeres faj egyedszmnak vltozsa: minl tbben vannak, annl tbb utdotnemzenek, ezrt kezdetben akr exponencilisan nhet a szmuk. Ugyangy, egy vllalat bevtelei is exponen-cilisan nhetnek, amennyiben piaci vkuumban jelenik meg a vllalat: a hasznot visszaforgatva n a termels,ami a hasznot tovbb nveli. Mindkt esetben egy id utn egyfajta teltds indul be, s megsznik a pozitvvisszacsatols.

    A valsgban mindkt fenti rendszernl fontosabbak a csillaptott rezgsek. Ez akkor kvetkezik be, ha amozgst valamilyen kzegellenlls tpus csillapt er gtolja, ami a sebessggel arnyos. Az egyenlet ekkor

    mr(t) = kr(t)Dr(t), (54)

    s ennek megoldsa egyre cskken amplitdj oszcillci, ahogy azt a htkznapi rezgsek sorn lthatjuk.

    A dierencil egyenlet megoldsa alapjn a rezgs amplitdja a z = k/2mD csillaptsi hnyadostl fggen

    mdon cskken az idben. Mindez azonban csak z < 1 esetn igaz, ugyanis z 1, akkor a rendszer oszcillcinlkl visszatr a kezdeti helyzetbe, z = 1 esetn a leggyorsabban. A z hnyados lnyegben a trolt energiarezgsi ciklusonknt elvesztett rszt adja meg.

    Knyszerrezgs esetn egy krfrekvencij periodikus rezget er hozza ltre az oszcillcit. Ekkor arendszer dierencilegyenlete

    mr(t) = kr(t)Dr(t) + F0 sin(t), (55)

    Ennek megoldsa bonyolult, itt most nem rjuk fel. Azt azonban fontos tudni, hogy adott F0 amplitdj rez-gets hatsra egy id utn bell valamekkora amplitdval egy oszcillci. Hogy mekkora maximlis rezgsiamplitd jhet ltre, az a csillaptstl s a rezget er frekvencijtl fgg. A rezget erhz kpest az amp-litd jelentsen felersdhet, klnsen akkor, ha a rezgets frekvencija kzel van a rendszer 0 =

    D/m

    sajtfrekvencijhoz: ez a rezonancia jelensge. Ezt gy rthetjk meg, ha a hinta pldjra gondolunk: hamindig a j pillanatban lkjk meg, akkor mindig gyorstunk rajta kicsit, ezrt a rezgs amplitdja nagyonnagyra nhet, kis lkds hatsra is. Gondolhatunk egy j temmel rzott fra is: ha a fa sajt lengs-nek frekvencijt eltalljuk, igen nagy kilengsre knyszerthetjk. Az ersts az 1/

    (2z0)2 + (1 2/20)2

    alak szerint rhat fel, ahol z = k/2mD tovbbra is a csillaptsi hnyados, 0 =

    D/m pedig a rendszer

    sajtfrekvencija. Albb lthatjuk az ersts csillapts- s frekvenciafggst.

    4Ez csak szemltetse a problmnak; valjban hasznlatos, rtelmes modell pldul a LotkaVolterra-egyenletek ltal fellltottrendszer, amely ragadoz s zskmny populcidinamikjnak klcsnhatst rja le

    16

  • Az ersts n, ahogy kzeledik 0 rtkhez (hiszen ekkor a gyk alatti kifejezs egyre kisebb), azaz egyreinkbb eltalljuk a rendszer sajtfrekvencijt. 5 Nagyon kis csillapts esetn ekkor extrm nagy ersts lphetfel, azaz a rendszer elri a zikai korltait (sszedl, eltrik, stb.). Ez a rezonanciakatasztrfa jelensge.

    5.2. Kzegellenlls

    A csillapt erk egyik j pldja a kzegellenlls, amely bizonyos krlmnyek kztt sebessggel arnyos,azzal ellenttes irny ert hoz ltre:6 F v. Ha a kzegellenllsi egytthat , akkor az er

    F = v. (56)

    A lgkrben val zuhans sorn a sebessg egyre n, emiatt viszont a lgellenlls is egyre n. Ha a lgellenllsppen megegyezik a gravitcis ervel, kiejtik egymst. Ekkor teht a testre hat erk sszege nulla, azazegyenletes mozgs jn ltre. Ennek felttele teht F = mgv = 0, innen a zuhans hatrsebessge vmax = mg .Az escseppek ezen jelensg miatt nem tnek lyukat az esernykbe: az s = at2/2 s v = at sszefggsekblegyenletes gyorsuls esetn v =

    2sa sebessget rnnek el. Ezrt 1000 m magassgbl 10 m/s2 gyorsulssal

    zuhanva kb. 140 m/s, azaz kb. 500 km/h sebessgk lenne. Ehelyett sokkal korbban bell egy egyenletessebessgk, s azzal rnek fldet.

    Nagy sebessgeknl7 azonban F v2 tpus er lp fel, pontosabban ekkor a kzegellenlls

    F = 0.5cAv2 (57)

    nagysg, ahol c az alakra jellemz tnyez, A a trgy sebessgre merleges fellete (keresztmetszete), a kzegsrsge. Az alaktnyez 0.11.0 krli szm (ramvonalas testre 0.05 is lehet, autk esetn 0.3 krli, kockra1.05). Autkra a cA szorzat 0.5 1 m2 krli rtket vesz fel, teht a v2 eltti tnyezk szorzata 0.3 0.6 kg/mnagysgrendben van, azaz a kzegellenllsi er sszessgben 10 m/s (36 km/h) sebessgnl 30 60 N, mg 30m/s (108 km/h) esetn 270 540 N, s 50 m/s (180 km/h) esetn 750 1500 N. Ekkora ert kell teht kifejteniaz autnak, ha egyenletes sebessggel akar haladni.

    5.3. Knyszererk s srlds

    A felletek kztt fellp nyomer gynevezett knyszerer, ppen akkora rtket vesz fel, hogy megaka-dlyozza az egyik fellet (test) beszakadst a felletbe. Sklapra helyezett m tmeg trgy esetn Fny = mgnagysg nyomer lp fel. Van tbbnyire egy maximlis lehetsges rtke, amely felett mgis beszakad a fellet.Ez a maximlis rtk azonban fgghet a fellet nagysgtl is (ezrt nem sllyed be a hba a nagy felletslc, mg a kis fellet lb igen; lsd mg a szg s a fal viszonyt)8. Hasonl knyszerer a ktl- s a tar-ter, amelynek maximlis rtke az adott anyag szaktszilrdsgtl fgg (ld. mg a rugalmassgrl szlszakaszban).

    A tapads is egy knyszerer, rtke ppen akkora, hogy a test a fellethez tapadjon, azaz ne cssszon meg.Van ugyanakkor egy maximlis lehetsges rtke, ez az Fny nyomervel arnyos, az arnyossgi tnyez pediga 0 a tapadsi egytthat. Az albbi llts igaz teht a tapadsi erre:

    Ft < 0Fny (58)

    5Az ersts valjban akkor a legnagyobb, ha a rendszer ppen az r = 01 2z2 rezonanciafrekvencia rtkt veszi fel,

    amely kis csillapts esetn megegyezik a rendszer sajtfrekvencijval.6Alacsony sebessgek esetn, ha a test krli ramls laminris, nem turbulens. Majd ltni fogjuk, hogy a kzegellenllsi ert

    a Stokes-trvny adja meg ilyen esetekben.7Ekkor az ramls turbulenss vlik, s a ksbb trgyalt Bernoulli-trvny alapjn lehet kiszmtani az ert.8Valjban a nyomstl fgg, s adott slyt tart fellet esetn a nyoms a slyer osztva a fellettel.

    17

  • A tapadsi egytthat rtke az rintkez anyagokra jellemz lland. Gumi s aszfalt kztt 0,8, mg vas-vasviszonylatban 0,1 a tapadsi egytthat. Ez utbbi hajtja a vonatot, mg az elbbi az autt: a kerk htraforogna el, a tapads ezt meggtolja, ami vgeredmnyben egy elrefel mutat er.

    Egy szg lejtn megcsszs akkor kvetkezik be, ha a tapadsi er nem tud elg nagy lenni ahhoz, hogyellentartson a gravitci lejtvel prhuzamos komponensnek, azaz ha Ft,max < mg sin. Mivel azonban

    Ft,max = 0FN = 0mg cos ezrt a megcsszs felttele0mg cos < mg sin , azaz 0 < tan. (59)

    Ebbl ismeretben 0 mrhet, ahogy az rn ezt meg is tettk.

    A trgyak felletei kztt mozgs esetn egy msik tpus er lp fel, a (csszsi) srlds. Ez egy, anyomerhz kapcsold csillapt jelleg er, amely azonban nem fgg a sebessg nagysgtl, csak az irnytl:azzal ellenttes irnyba mutat. Ez az er a srld felletek kztti Fny nyomertl fgg, azzal arnyos. Azarnyossgi tnyez , a srldsi egytthat, s ezzel az er gy rhat fel:

    Fs = Fny. (60)

    Nhny plda csszsi srldsi egytthatra: fa-fa: 0,5, acl-acl: 0,1, acl-jg: 0,01. A srldsi s a tapadsiegytthat tbbnyire 0 > mdon viszonyul egymshoz, az rintkez anyagokra jellemz lland mindkett.

    Nzznk meg egy konkrt pldt: a srldsi er hatst egy test meredeksg lejtn val csszsa esetn.Ekkor az els feladatunk rajz ksztse s az erk felrsa. A megolds kulcsa az erk felbontsa egy lejtvelprhuzamos illetve arra merleges komponensre. A lejtre merleges irnyban nincs mozgs (hiszen ekkor fel-szllna vagy beszakadna a test), de a lejtvel prhuzamosan igen! Ebbl addan a merleges erk eredjenulla kell, hogy legyen, mg a prhuzamos erk eredje nem ppen erre vagyunk kvncsiak. Bontsuk teht felaz erket erre a kt komponensre. A nyomer csak a lejtre merleges irnyban hat. A srlds csak a lejtvelprhuzamos irnyban hat. A gravitci viszont mindkt irnyban hat, teht ezt tnyleg kt komponensre kellbontani:

    Fg, = mg cos s Fg, = mg sin (61)

    A nyomer merleges a lejtre, teht a gravitcis er megfelel komponensvel ki kell egyenltenik egymst(mivel ebben az irnyban nincs gyorsuls). Ebbl addan

    F = Fg, + Fny = 0 , azaz Fny = mg cos (62)

    Ebbl meghatrozgat a srldsi er:

    Fs = Fny = mg cos. (63)

    Ez az er a lejtvel prhuzamos, lasstja a test mozgst. A gravitci lejtvel prhuzamos komponense (Fg,)pedig gyorstja a testet, a srldsi er ellenben. Ezrt teht a lejtvel prhuzamos erk eredje, az irnyokatis gyelembe vve:

    F = Fs + Fg, = mg cosmg sin (64)

    A test lefel gyorsul, ha F > 0, lassul, ha F < 0, s egyenletesen csszik, ha F = 0. Az egyenletes csszsfelttele innen cos = sin, azaz = tan. Ha ennl meredekebb a lejt, a test gyorsulva csszik, ha kevsbmeredek a lejt, akkor pedig lassulva. A fentieket illusztrlja az albbi bra:

    6. Gravitci

    6.1. Meggyelsek

    A zika alaplmnye a csillagok mozgsa, az gi mechanika. Mr az korban meggyeltk, hogy a csillagokegytt mozognak, 24 rs ciklusban, de vannak mshogy mozg gitestek, amelyek vndorolnak az gbolton:

    18

  • ezek a bolygk (a grg , azaz planetes sz jelentse vndorl). A grgk korban alakultak ki azels vilgkpek, azaz modellek a Fld, a Nap, a bolygk s a csillagok trvnyeirl. Arisztotelsz (i.e. IV.szzad) szerint a Fld van a mindensg kzppontjban, s krltte szfrkban rendezdnek el az gitestek.Ptolemaiosz (I-II. szzadi alexandriai tuds) Almageszt cm mve szmt az els csillagszati knyvnek. Ezegyben az egyik legnagyobb hats tudomnyos knyv, Eurpban a kora renesznsz korig (12 vszzadon t)meghatroz jelentsg. Ez is Arisztotelsz szfribl indul ki, de a korbbinl sokkal rszletesebben rja le abolygk s a csillagok mozgst (nagyrszt Hipparkhosz felfedezseire alapozva). Kitr a Nap gi plyjra, anapjegyenlsgek vltakozsra, a Hold s az ismert bolygk plyjnak rszleteire, s katalogizl 1022 csillagot.

    A csillagszat kvetkez forradalmi jtja Kopernikusz volt a XV-XVI. szzadban. Knyvben, melynekcme Az gi szfrk krforgsairl (De revolutionibus orbium coelestium), heliocentrikus vilgkpet vzolfel, amelyben a Fld egy a bolygk kzl, velk szomszdos szfrn mozog. Megvlaszolja azt a krdst is,hogy mirt hihettk korbban a Fld kzponti elhelyezkedst. Tblzatokat kzl, amelyek alapjn a bolygk(szerinte mg vndorl csillagok) pillanatnyi helyzett meghatrozhatjuk. Filozai okokbl ragaszkodott ahhozaz elkpzelshez, hogy az gitestek plyja tkletes kr.

    Ugyabben a korban lt Tycho Brahe is, aki szintn hozzjrult a renesznsz kor tudomnyos forradalm-hoz. Egy 1577-ben feltnt stks plyjt meggyelve s mozgst elrejelezve tbb tudomnyos dogmt ismegdnttt. Az teri vilg j jelensgeirl (De mundi aetherei recentioribus phaenomenis) cm knyvbenKopernikuszhoz hasonl nzeteket vall. Elfogadja a Nap krli forgst, de a Fldet mozdulatlan, abszolt k-zppontnak gondolja, arra alapozva lozjt, hogy a trgyak a Fld s nem a Nap fel esnek. Az segdje stantvnya volt Kepler, akit azonban kznpi szrmazsa miatt lenzett.

    Kepler 1571-1630 kztt lt, kivl matematikai rzkkel megldott tuds volt. Az j csillagszat s A vi-lg harmnija cm knyveiben alapvet fontossg meggyelseket tett a bolygk mozgsval kapcsolatban:ezeket nevezzk ma Kepler-trvnyeknek. Igen nagy jelentsg Optika cm knyve is, amellyel lnyegben azika egy j gt teremtette meg. lete vgn adta ki a Rudolf-fle tblzatokat, amelyben az addigi legponto-sabb bolygplya-lersokat adta meg. Newton ksbb ezekre is tmaszkodva alkotta meg gravitcis trvnyt.

    Ezen jegyzet nem lehet teljes anlkl, hogy megadjuk a Naprendszer bolyginak legfontosabb adatait:

    Bolyg Holdak tl. plyasugr v hossa tmr Nap hossza Gravitciszma [109 m] [fldi v] [106 m] [fldi nap] [fldi g]

    Merkr 0 57,9 0,24 4,878 58 0,37Vnusz 0 108,2 0,62 12,104 243 0,88Fld 1 149,6 1 12,756 1 1Mars 2 227,9 1,88 6,794 1,0 0,38Jupiter 16 778,3 11,9 142,984 0,4 2,64

    Szaturnusz 18 1427 29,5 120,536 0,4 1,15Urnusz 15 2870 84,0 51,118 0,7 0,93Neptunusz 8 4497 165 50,530 0,7 1,22

    Plt 1 5913 249 2,290 6,3 0,06Nap - - - 1392,684 25 27,9Hold - 0,384 29,5 3,475 27,3 0,16

    Fontos megemlteni, hogy a Plt 2006 ta nem szmt bolygnak, nhny ms Kuiper-vi9 objektummalegytt (pldul a 2006-ban felfedezett, a Plt defenesztrcijt okoz, nla 27%-kal nehezebb Eris) a trbe-bolygk kz soroljk. A Mars s Jupiter kztt a kisbolygvben tovbbi rengeteg (>1600) objektum kering,amelyek kzl a legnagyobb a Ceres.

    6.2. Kepler trvnyei

    Az albbiakban ttekintjk Kepler hrom csillagszati trvnyt, illetve azok newtoni mechanika szerintikvetkezmnyeit. Ez azrt is rdekes, mert maga Newton is ehhez hasonl gondolatmenet alapjn jtt r t-megvonzsi trvnyre.

    Kepler els trvnye az lltja, hogy

    a bolygk ellipszisplyn mozognak, amelynek egyik gyjtpontjban a Nap tallhat.

    Az ellipszisnek kt gyjtpontja van, s magt az ellipszist azon pontok alkotjk, amelyektl a kt gyjtponttvolsgnak sszege x. Az ellipszisnek kt tengelye van, amelyek hossza a s b. A bolyg a nagyobbik tengelymentn elhelyezkedve van a legkzelebb illetve a legtvolabb is a Naptl. A legkisebb lehetsges tvolsg neve

    9A Naprendszer Neptunusz plyjn tli rsze, a Fld plyjnak 30-50-szeresnek megfelel tvolsgban.

    19

  • perihelion (rp), a legnagyobb aphelion, (ra). Az ellipszis tengelyei s a legkisebb/legnagyobb tvolsg kzttisszefggs a = (ra + rp)/2 s b =

    rarp.

    Ezeken tl denilhatjuk mg a plya excentricitst is:

    =

    a2 b2a

    =ra rpra + rp

    . (65)

    Az excentricits a Fld esetn = 0.0167, mivel rp = 147, 1 milli km, ra = 152, 1 milli km. A Plt plyjraugyanez = 0.249, mivel rp = 4437 milli km, ra = 7376 milli km. Ezek az rtkek szzezer ves idsklnvltozkonyak, a Fld nhny szzad s nhny tized kztt is de ez a soktestproblma analitikus kezelhe-tetlensge miatt bizonytalan. Jelenleg a Fld plyja j kzeltssel kr alak, amit az alacsony excentricitsilletve ra s rp kzelsge is mutat.

    Kepler msodik trvnye szerint

    a Nap-bolyg sugr egyenl idk alatt egyenl terleteket srol:

    Ahogy a fenti illusztrcin is lthat, a t id alatt srolt (kzeltleg krv alak) v terlete az aktulis sugrs az ezen id alatt megtett vhossz szorzatnak a fele, azaz A Rs = R2. Miutn ezen terlet idegysgrevettve lland, azt mondhatjuk, hogy A/t = lland, azaz A = lland. Ebbl

    R2 = R2 = Rv = lland (66)

    kvetkezik (R, v s idben vltozik az ellipszisplyn val halads sorn, de a fenti kifejezs vgig lland).Ksbb ltjuk, ez (a bolyg tmegvel szorozva) ppen a perdletnek felel meg, teht a trvny azt fejezi ki,hogy a perdlet lland. Ez pedig azt jelenti, hogy az er centrlis, egy lland kzppont irnyban hat.

    Kepler harmadik trvnye szerint

    a keringsi id ngyzete osztva a nagytengely kbvel minden bolygra ugyanannyi,

    azaz a3/T 2 minden bolygra ugyanannyi. Ha R sugar kr alaknak gondoljuk a bolygk plyit, a keringsiidt pedig T = 2/ mdon kifejezzk a szgsebessgbl, akkor az R3/T 2 = C (lland) megllaptsblR32 = 4C2 kvetkezik. Ugyanakkor a krmozgshoz szksges er ismert, ez a centripetlis er, nagysgaF = mR2. Ezt az elz kifejezssel kombinlva a kvetkezt kapjuk:

    F = mR2 =C m

    R2(67)

    ha bevezetjk az j C = 4C2 llandt. Kepler harmadik trvnybl teht az kvetkezik, hogy a bolygkatkrplyn tart er a tvolsggal inverz ngyzetesen, illetve a bolyg tmegvel egyenesen arnyos. Ebbltulajdonkppen mr sszerakhatjuk a tmegvonzs Newton-fle trvnyt. A Nap bolygkra hat ereje arnyosa bolyg tmegvel, ezrt viszont bolyg Napra hat ereje (ami ugyanennyi Newton harmadik trvnye miatt)a Nap tmegvel arnyos. Vgeredmnyben teht az er mindkt tmeggel arnyos, a tvolsggal pedig inverzngyzetesen arnyos.

    20

  • 6.3. Newton gravitcis trvnye

    Newton szerint a bolygk mozgst a tmegvonzs trvnye irnytja, ahogy a trgyak Fld fel zuhanstis: forradalmi a felismers, hogy a kt nagyon klnbz jelensget ugyanaz egy, egyszeren megfogalmazhater irnytja! Eszerint minden tmeggel rendelkez test vonz hatssal van az sszes tbbire, az er nagysga:

    Fgrav = m1m2r2

    , (68)

    az er irnya pedig r-rel prhuzamos (azaz a kt trgyat sszekt irnyban hat), vonz tpus. A formulbanszerepel a gravitcis lland, melynek rtke = 6, 672591011Nm2/kg2. Ez a trvny alaprtelmezs szerintpontszer objektumokra (tmegpontokra) vonatkozik. A Nap-Fld rendszer esetben ez elg j kzelts lehet,hiszen 150 milli kilomterrl a kb. 1,4 milli km tmrj Nap elg kicsinek ltszik. A Holdrl nzve a Fld 400ezer kilomterre van, tmrje kb. 13 ezer km, ez mr rosszabb kzeltsnek tnik. Hogyan alkalmazhatjuk tehta fenti trvnyt kiterjedt objektumok esetben? A krdsre egyszer a vlasz: bontsuk a kiterjedt objektumokatkis rszekre, s ezek tmegvonzst egyesvel adjuk ssze. A felbonts javulsval, a kis rszek trfogatnaknullhoz tartsval (azaz trfogati integrlssal) megkapjuk az er valdi rtkt. Az az rdekes helyzet ll fenn,hogy gmb alak trgyak rajtuk kvl tallhat objektumokra hat vonzereje ppen akkora, mintha a teljestmegk a kzppontjukban lenne jelen a kzelebbi s a tvolabbi rszek ereje ppen gy tlagoldik ki. Gmbalak trgyak esetben a kzppontok tvolsgt gyelembe vve hasznlhatjuk teht a fenti trvnyt. gitestekesetben az gy trtn szmols ezrt nem jelent pontatlansgot.10

    Hogyan vethet mindez ssze a nehzsgi gyorsulssal? A Fldn ugyanis az a tapasztalat, hogy m tmegtrgyra F = mg er hat, ahol g = 9, 81 m/s2. Termszetesen mindkt trvny egyszerre rvnyes, amibl

    mg = mMFldR2Fld

    (69)

    kvetkezik, mivel a felszn kzelben a trgy a Fld gravitcis kzppontjtl RFld tvolsgra van (s azrtszmolhatunk gy, mert a Fld j kzeltssel gmb alak). Ebbl a Fld adataira a kvetkez addik:

    g = MFldR2Fld

    , (70)

    azaz ha RFld = 6373 km, akkor MFld = 5, 98 1024 kg.Azt mr lttuk, hogy Kepler trvnyei hogyan inspirlhatnak minket a Newton-fle tmegvonzsi trvny

    felismersre, illetve hogy a msodik s a harmadik Kepler-trvny tulajdonkppen egyenrtk Newton fentiegyenletvel. Ugyanakkor a plya ellipszis formja is levezethet, ha tudjuk, hogy az ertr centrlis. Ekkorugyanis egyszeren felrhatjuk a kzpont fel trtn gyorsulst, gyelembe vve, hogy nem krmozgsrl vansz, teht az r sugr is vltozhat. Ez a gyorsuls kt rszbl tevdik ssze: egyrszt a sugr r gyorsulsbl,msrszt az r2 centripetlis gyorsulsbl. Innen a kzppont fel mutat erre Newton trvnybl

    F = m(r r2) = m(r r2) = mMr2

    (71)

    addik. Vezessk be az u = 1/r vltozt, s az r(t) s (t) fggvnek helyett trjnk t az u() fggvnyre. Alevezets matematikjt nem rszletezve ebbl egy

    u() + u() = lland (72)

    dierencilegyenlet addik. Ennek megoldsa u() 1 + e cos, ahonnan viszont

    r (1 + e cos) = lland (73)

    addik. Ez 0 < e < 1 esetn ppen az e excentricits ellipszis egyenlete. Az e = 0 hatresetben kr alakplyt kapunk, mg e = 1 esetn parabolt, tovbb e > 1 esetn hiperbolt. A Nap (vagy bolyg-raktaviszonylatot vizsglva a bolyg) vonzst elhagy trgy esetn a plya parabola vagy hiperbola alak lesz,illetve a Naprendszeren tszguld stksk plyja is ilyen.

    Klnsen rdekes tny, hogy a newtoni gravitcis trvnyben szerepl tmeg megegyezik a tehetetlentmeggel, annak ellenre, hogy a tehetetlensgnek s a tmegvonzsnak ltszlag semmi kze egymshoz. Ez afelismers, amelyet Etvs Lornd igazolt igen nagy ksrleti pontossggal, ksbb az ltalnos relativitselmlet,a gravitci j elmletnek alapjul szolglt. Ezt pedig azrt kellett bevezetni, mert a newtoni gravitcival vanegy jelents problma: azonnali, kzvett nlkli hatst r le, azaz azonnal terjed informcit (pldul ha aNap elmozdulna vagy megsznne ltezni, azt a gravitcin keresztl mi azonnal reznnk). Ez viszont lehetetlen,semmilyen informci nem terjedhet a fnynl gyorsabban Einstein szerint. A problmra megoldsknt azltalnos relativitselmlet addott. Ennek jelentsgt s rszleteit lsd a kvetkez flv vgn.

    10Csak amennyire ezek nem pontosan gmb alakak, de ez mr tnyleg elhanyagolhat a legtbb esetben.

    21

  • 7. Munkavgzs s energia

    7.1. A munka fogalma s a teljestmny

    A most kvetkez rszekben nhny fontos j zikai mennyisget denilunk (jelen jegyzetben az er s atmeg ta ezek az els j denciink). Ezek kzl az els a munkavgzs, ahol a dencit fokozatosan fogjuknomtani. lland F er hatsra ezzel prhuzamos szakasz mentn trtn s elmozduls esetn azt mondjuk,hogy az er W = Fs munkt vgzett. A munka mrtkegysge ennek megfelelen Nm, vagy mskppen Joule.Ha az er s az elmozduls nem prhuzamos (de tovbbra is lland illetve egyenes mentn trtnik), hanem szget zr be, akkor a munkavgzs W = Fs cos, illetve vektorknt tekintve az erre s az elmozdulsraskalris szorzatukat rhatjuk fel:

    W =#

    F #s . (74)

    A munka teht az elmozduls sorn hat er s az er irnyba vgzett elmozduls szorzata (hiszen merlegesvektorok skalris szorzata nulla).11 A fenti denci azonban csak akkor alkalmazhat, ha az #s elmozdulssorn

    #

    F vgig lland. Egyb esetre hogyan ltalnosthatjuk ezt? A zikban gyakran elfordul, szoksosmdon jrunk el: felbontjuk a mozgst innitezimlisan kicsi d #x darabokra, ahol mr az er lland, azaz az ittvgzett munka dW (x) =

    #

    F (x)d #x mdon szmolhat. Ezeket a dW innitezimlis munkkat sszeadjuk, azazintegrljuk az ert ezeken a szakaszokon. Ebbl teht az s hosszsg szakaszon a munkavgzs

    W =

    s0

    #

    F (x)d #x . (75)

    Ha az t helyett az idre szeretnnk integrlni, x t vltozhelyettestst hajthatunk vgre, ekkor d #x = #v (t)dt,amit visszahelyettestve a W =

    T0F (t)v(t)dt sszefggsre jutunk. a dt idegysg alatti innitezimlis munka

    dW =#

    F (t) #v (t)dt.

    Ez ltal inspirlva bevezethetjk a munkavgzs sebessgt, azaz az idegysgre jut munkt, mskppenszlva a teljestmnyt:

    P =W

    t, mskppen P = W =

    dW

    dt. (76)

    Ennek mrtkegysge J/s vagy Watt. gy 1 J = 1 Ws, illetve 1 kWh = 3600 kJ, mivel 1 h = 3600 s s 1 kW= 1000 W; a kWh teht energia-mrtkegysg. Teljestmny-mrtkegysg viszont a ler, mghozz 1 LE =735,5 W (ez mskppen 75 kg egy msodperc alatt egy mterre emelshez szksges teljestmny). Az eddigiekalapjn knnyen belthat, hogy P = dWdt = F

    dsdt = Fv

    12. Ahogy az 5.2. rszben rtuk, egy egyenletesen haladautnak az F = 0.5cAv2 nagysg kzegellenllsi ert kell legyznie, amely egy tlagos autra (cA = 0.8 m2

    esetn) F = (0.4 kg/m)v2 nagysg . A leadott teljestmny teht P = (0.42 kg/m)v3, ami 30 m/s 11,3 kW(15 LE), mg 50 m/s esetn 52,5 kW (70 LE). Ezen fell persze tovbbi ellenllst is le kell gyznie az autnak(grdlsi ellenlls, az alkatrszek srldsa, emelkedn a gravitci, stb). Ugyanakkor csak ez alapjn egymaximum 70 LE teljestmnyt leadni kpes motor segtsgvel 50 m/s a fenti lgellenlls aut vgsebessge.Fontos mg megemlteni, hogy az emberisg ltal egy v alatt felhasznlt energia tlagosan kb. 500 EJ (1 EJ=1018 J) avagy kb. 150 000 TWh. Ez teljestmnyre lefordtva kb. 15 TW, azaz fejenknt valamivel tbb mint2 kW. Ennek nagyjbl az egy hetede (kb. 20 000 TWh) elektromos energia formjban jelenik meg, a tbbikzvetlenl (elektromos energit elllt ermvek kzbeiktatsa nlkl) ftsre, kzlekedsre s egyb ipari,lakossgi clokra felhasznlt energia.

    7.2. A mozgsi s a gravitcis helyzeti energia

    Vizsgljuk meg, hogy egyes konkrt pldk esetn mekkora a munkavgzs. Pldul mekkora munkt vgznk,ha egy trgyat v sebessgre gyorstunk? Legyen teht F egy lland erhats, amelyek hatsra a = F/mgyorsuls jn ltre (Newton msodik trvnye szerint). Ha a kezdsebessg nulla, akkor a vgsebessg (t ideltelte utn) v = at lesz. Az elmozduls ugyanezen id alatt s = at2/2, vagyis s = vt/2. Ha az er F = ma =mv/t mdon rjuk fel, akkor a munkra

    W = Fs =mv

    t vt

    2=

    1

    2mv2 (77)

    11Sokszor ugyanakkor elhagyjuk az er s az elmozduls vektor jellegt, s egyszeren az elmozduls irnyba hat erkomponenstrtjk F alatt: ekkor tovbbra is W = Fs igaz.

    12Itt a korbbiakban emltetteknek megfelelen a vektor jellst elhagytuk, s F alatt az elmozduls irnyban hat erregondolunk.

    22

  • addik, teht ennyi munkt vgznk, ha egy testet nullrl v sebessgre gyorstunk 13 Ugyanakkor ez fordtvais igaz: ha egy v sebessggel mozg trgy megll, akkor ennek sorn ugyanekkora munkt vgez (meglk egymsik trgyat vagy srldsval felmelegti a fellett). Ez a munkamennyisg valamilyen rtelemben tehteltroldik a v sebessggel mozg trgyban, annak pillanatnyilag rvnyes jellemzje lesz. Ezrt deniljuk av sebessggel mozg trgy mozgsi avagy kinetikus energijt, amely tulajdonkppen a munkavgz kpessgtjelenti:

    Ekin =1

    2mv2. (78)

    Ezzel teht a munka s a kinetikus energia kapcsolata W = Ekin lesz, teht a trgyon vgzett munka amozgsi energia megvltozst okozza, azzal egyenrtk. Ez az erk eredje ltal vgzett munkra igaz, tehtkzegellenlls, srlds jelenlte esetn a nem a teljes hzer nveli a mozgsi energit. Ezen egyenletben azt jelkpezi, hogy ha volt kezdeti sebessg is, akkor a munka a vgllapotbeli s a kezdeti mozgsi energiaklnbsgvel egyezik meg, azazW = Ekin,1 Ekin,2.

    Nzzk meg, hogy mekkora munkt vgznk, ha egy trgyat adott magassgba emelnk (illetve mekkoramunkt vgez a gravitci, ha a trgy az adott magassgbl lezuhan). Az emelshez szksges er F = mg,azaz lland. Az er irny elmozduls ppen a zuhans vagy emels sorn lekzdtt magassggal, h-val azonos,teht

    W = Fs = mgh. (79)

    Ekkora munka szksges a trgy h magassgba emelshez, illetve a gravitci ekkora munkt vgez a trgylezuhansa sorn. Ez is a h magassgban lv trgy llapotnak jellemzje lesz, valamilyen mdon ezt a munktelraktrozza (s amikor zuhan, a gravitcis er ltal visszakapja). gy bevezetjk a gravitcis helyzeti avagypotencilis energit, amely h magassgban lv m tmeg trgyra

    Epot = mgh (80)

    Ekkor a mozgsi energinl emltettekhez hasonlan a trgyon vgzett munka s a gravitcis helyzeti energijaa W = Epot = Epot,1 Epot,2 egyenlet szerint kapcsoldik egymshoz.

    Feltehetjk azt a krdst is, hogy a nyugalmi helyzetbl kitrtett rugn mekkora munkt vgeztnk, azazmekkora ennek potencilis energija. Ekkor az adott helyzetbe mozgats sorn nem lland, hanem F = Dx,ahonnan W =

    F (x)dx =

    Dxdx. Ezt az integrlt egyszeren elvgezhetjk, s arra jutunk, hogy az x

    tvolsgra megnyjtott rug ltala trolt potencilis energia nagysga Epot = Dx2/2.

    7.3. Konzervatv erk

    A gravitcis er vagy a ruger ltal vgzett munka esetn azt lttuk, hogy az csak a kiindulsi s avgs helyzettl fgg, az tvonaltl nem: azaz ugyanannyi munkt vgznk, akrhogy is emeljk fel a trgyath magassgba. Az ilyen ert, amelynek munkja nem fgg az tvonaltl (csak a kezdeti s a vgs helyzett)konzervatv ernek nevezzk. Srlds fellpse esetn ez nem igaz, hiszen a srldsi er a megtett tvonaltlfgg, nem csak a kezdeti s a vgllapotbeli helyzettl: minl hosszabb ton jutunk el ugyanoda, annl nagyobbmunkt fordtunk a srlds legyzsre. A srlds teht nem konzervatv er, mg a ruger s a gravitciigen. Konzervatv erknl van rtelme (a gravitci esetnek megfelelen ltalnostott) potencilis energirlbeszlni, hiszen ekkor a vgzett munka nem fgg az tvonaltl, teht az valamilyen mdon az adott pontbanlv trgy llapott jellemzi. Ilyenkor ezen er adott x pontban F (x) ervel hat, teht ha ennek hatsra egykis dx elmozdulst szenved a trgy, akkor ehhez a potencilis energia dEpot = F (x)dx vltozsa trsul (hiszenekkor egyfajta zuhans kvetkezik be, azaz cskken a helyzeti energia). A potencilis energit ekkor egyszerenpotencilnak nevezzk (s sokszor V -vel jelljk). Erre az elbbi sszefggsbl

    dV

    dx= F (x) avagy V (x) =

    F (x)dx (81)

    addik, teht a potencil s az er integrl/derivlt kapcsolatban van egymssal (konzervatv erk esetn). Amunka pedig a potencil kezdeti- s vgpontbeli klnbsge, teht az a pontbl b pontba elmozdulvn

    Wa,b =

    ba

    F (x)dx = [V (x)]ba = V (a) V (b). (82)

    13A fenti levezets egyenletes gyorsulsra vonatkozott. Ugyanakkor ltalnos esetben W =Fds =

    Fvdt =

    mavdt =

    m dvdtvdt mdon szmolhatunk, ami vgl W =

    mvdv = mv2/2 lesz, teht ugyanaz jn ki gy is.

    23

  • A fentiek akkor rvnyesek, ha a kezdeti- s a vgpontban azonos (pl. nulla) a vizsglt trgy mozgsi energija.ltalnossgban, konzervatv erk munkja a helyzeti s a mozgsi energit is mdosthatja, azaz ekkor

    W = Ekin + Epot (83)

    7.4. Az energia megmaradsa

    Zrt rendszerben, amelybe nem avatkozunk be, amelyen nem vgznk munkt (W = 0), a fentiek szerint arendszerben lv sszes energira a Ekin +Epot = 0 sszefggs lesz igaz. Ez mskppen (Ekin +Epot) = 0,ahonnan az

    Ekin + Epot = lland (84)

    megmaradsi trvny kvetkezik.

    Ez zrt rendszerre igaz (nylt rendszer sszenergija brmikor megvltozhat, hiszem bevihetnk energit arendszerbe), mghozz csak akkor, ha nincsenek nem-konzervatv erk a rendszeren bell (pldul srlds vagylgellenlls). A nem-konzervatv erk termszetesen nem emsztik fel az energit, hanem egyb energiafor-mkat hoznak ltre: henergit, elektromos vagy mgneses energit, kmiai energit, atommag-energit, vagya relativitselmlet rtelmben tmeget. A lehet legltalnosabban megfogalmazva a zika egyik legfontosabbtrvnyt kapjuk: zrt rendszer sszes energija lland. Ez az energia mindenfle formt lthet, tmegg istalakulhat, de nem veszik el s nem keletkezik. Mg egyszer hangslyozzuk: ez zrt rendszerben igaz, hiszenebben az esetben nem juthat energia se ki, se be, ettl zrt a rendszer.

    A fenti energiafogalom ltalnos dencija a munkavgzsre val kpessg. Ha megtrtnik a munkavgzs,akkor ez valamely ms objektum energijt nveli. Az energival szmolni praktikus, pldul ugyanis egy hmagassgbl lgellenlls nlkl zuhan test vgsebessgt kinematikai sszefggsekbl bonyolult kiszmolni,de az energiamegmaradssal egyszer: az energija kezdetben mgh, a vgn mv2/2, ezek egyenlsgbl mgh =mv2/2, azaz a vgsebessge

    2gh.

    7.5. Egyszer gpek

    Az energiamegmaradst aknzzk ki az egyszer gpek. Ezeknl egy trgyat gy juttatunk a magasba,hogy ugyanazt a munkt hosszabb ton vgezzk el. Miutn azonban a munka ugyanannyi (hiszen a helyzetienergia vltozsa is ugyanannyi), ezrt az er s a megtett t szorzata is ugyanannyi. Ha teht az t hosszabb,a szksges er lecskken. Ezrt megynk a hegyre (tbbnyire) szerpentinen, ezrt tekerjk hosszan az autkzi emeljt, mg az csak nhny centit emelkedik. A dolog lnyege, hogy G sly testet F < G ervel tudunkfelemelni. Nhny konkrt plda egyszer gpekre (a G sly test emelshez szksges F er megadsval):

    Lejt (melynek dlsszge ): F = G sin Emel (d1 s d2 karral): F = d1d2G Hengerkerk (r1 s r2 sugarakkal): F = r1r2G Mozg csiga: F = G/2 Csavar (h menetemelkeds s r sugr): F = h2rG k ( szg esetn): F = G sin.

    8. Pontrendszerek mechanikja

    8.1. Kls s bels erk

    Tmegpontok brmely halmazt egy rendszernek vehetjk, amelyben hatnak bels s kls erk. Elbbieka rendszer rszei kztt lpnek fel, utbbiak hatsa rendszeren kvl van. A bels erk sszege mindig nulla,

    24

  • hiszen mindkt fl a rendszer rsze, gy az ellener is bels er, s kiejti az ert az sszegzs sorn. ppen ezvezetett minket az impulzusmegmarads felismershez: a bels erk nem vltoztatjk meg az impulzust, ezrtelszigetelt (kls hatsok ell elzrt) rendszer sszimpulzusa lland.

    Ilyen rendszert alkot a Nap a bolygkkal: itt a Nap-bolyg gravitci bels, a Tejtrendszer gravitcijakls er. A Naprendszer sszimpulzust a bels erk nem vltoztatjk meg, s a Naprendszer tmegkzp-pontja a Tejtrendszeren bell gy halad, mintha egyetlen tmegpontrl lenne sz. Az tkz billird-golykatis hozhatjuk pldaknt: az asztal ltal kifejtett srlds kls, az tkzskor hat er bels er. A srldst elha-nyagolva a kt billird-goly zrt rendszernek tekinthet, azaz sszimpulzusuk lland. Ennek kvetkezmnyeita kvetkez szakaszban vizsgljuk. Egy darab billird-goly is tekinthet sszetett rendszernek, ugyanis rengetegatombl ll, amelyek kztt bonyolult erk hatnak. Ezen erk azonban nem befolysoljk a goly mozgst,nem vltoztatjk meg az impulzust.

    8.2. Tmegpontok egyszer rendszerei

    Golyk tkzse sorn teht kls s bels erk lehetsgesek, de az sszimpulzust csak a kls erk m-dosthatjk. Erre j plda bilirdgolyk tkzse (ahol a gravitci s az asztal nyomereje kiejti egymst, asrldst pedig tbbnyire elhanyagoljuk), vagy atommagok fzija (ahol egy deuteron s egy triton, azaz tr-cium atommag egyesl egy hlium magg, tovbb keletkezik mg egy neutron s nmi energia, azaz 3H+2H 4He+n+3 pJ energia), vagy a radioaktv bomlsok, pldul a bta-bomls, ahol egy neutronbl proton selektron keletkezik, plusz egy neutrn (np+e+) Az sszimpulzus lland a fenti folyamatokban, de azsszes mozgsi energia nem pont ez a lnyeg, hogy az energia klnbz formi talakulhatnak egymsba,pldul bels erk vgezhetnek munkt, amitl a mozgsi energia nhet vagy cskkenhet.

    Rugalmas tkzsnek nevezzk az olyan folyamatokat, ahol a mozgsi energia megmarad. Nzzk meg, mitrtnik egy v1 sebessg s m1 tmeg goly ll, m2 tmeg golyval val tkzse sorn!. Ekkor felrhatjukaz impulzus s az energia megmaradst (mivel rugalmas tkzsrl beszlnk):

    m1v1 + 0 = m1v1 +m2v

    2 s

    1

    2m1v

    21 + 0 =

    1

    2m1v

    21 +

    1

    2m2v

    22 (85)

    Innen az

    m2v2 = m1(v1 v1) sm2v22 = m1(v21 v21 ) = m1(v1 v1)(v1 + v1) (86)

    egyenletekre jutunk. Ezeket egymssal elosztva v2 = v1 + v1 addik, amit az eredeti, impulzusmegmaradsra

    vonatkoz egyenletbe visszahelyettestve m2(v1 + v1) = m1(v1 v1) jn ki, ahonnan pedig a mr megkapjuk aztkzs utni sebessgeket:

    v1 =m1 m2m1 +m2

    v1 s v2 =

    2m1m1 +m2

    v1 (87)

    Azonos tmegek esetn, azaz ha m1 = m2 = m, a kvetkez eredmnyre jutunk:

    v1 = 0 s v2 = v1. (88)

    Ez azt jelenti, hogy az els goly megll, a msodik pedig az els kezdeti sebessgvel megy tovbb (lsd azrai ksrletet azonos tmeg gurul asztalokkal), mintha kicserldtek volna egsz egyszeren. Ha azonbanm2 m1, azaz pldul a fldn lepattintott labda esetben, ahol a msik tkz goly a Fld,

    v1 = v1 s v2 = 0 (89)

    addik, teht a knnyebbik trgy azonos nagysg de ellenttes sebessggel halad tovbb (visszapattan), mga nehezebb trgy (a Fld) tovbbra is egy helyben marad.

    Rugalmatlan tkzs esetn az impulzus ugyan megmarad (hiszen ez ltalnos erej trvny), de a moz-gsi energia nem. Tkletesen rugalmatlan tkzsrl akkor beszlnk, ha a kt test sszetapad, azaz a fentijellsekkel v1 = v

    2 = v

    , azonos lesz az tkzs utni sebessgk. Ekkor erre az tkzs utni sebessgre a

    v =m1v1 +m2v2m1 +m2

    , (90)

    kifejezs addik.

    rdekes alkalmazs tovbb a raktameghajts esete. Az eredetileg m0 tmeg raktban van mzemanyagtmegnyi zemanyag. Ebbl minden t idtartam alatt kiramlik m tmegnyi zemanyag, amelynek rakt-hoz viszonytott sebessge vh. Miutn a kirepl zemanyag impulzusa a pillanatnyi tmegkzppontbl nzve

    25

  • mvh, ezrt ez mvh impulzust ad t a raktnak, az impulzusmegmarads miatt. gy a rakta impulzusramv = mvh. Ez innitezimlis idtartamokra a kvetkezt jelenti:

    v

    m dv

    dm= vh

    m(91)

    Ez egy dierencilegyenlet a rakta v sebessgnek s adott pillanatban rvnyes m tmegnek sszefggsre,amelynek megoldsa a v(m) = vh ln(m0/m), ha m0 a rakta kezdeti tmege (a kezdeti sebessge viszont nulla).Miutn az sszes zemanyag felhasznlsa utn a rakta tmege mrakta = m0 mzemanyag, gy az ebben apillanatban rvnyes vgsebessg a rakta s a hajtanyag tmegnek arnytl fgg:

    v = vh ln

    (1 +

    mzemanyagmrakta

    )(92)

    Ha teht a raktbl 100 m/s sebessggel ramlik ki a hajtanyag, s sajt tmegnek megfelel mennyisgtvisz magval, akkor a vgsebessge csak 100 ln 2 = 69 m/s lesz. Ezt a Fldn kiltt rakta esetben mg agravitci is mdostja, de ettl fent eltekintettnk.

    8.3. Szabadsgi fokok, merev testek

    Szabad pontrendszernek azt nevezzk, ahol minden rszecske mozoghat knyszer nlkl, csak tkzsekvannak: ilyen pldul egy nemesgz atomjainak rendszere, vagy a billird-golyk rendszere az asztalon. Ebbenaz esetben minden rszecsknek 3 szabadsgi foka van, azaz tr 3 irnyban mozoghat szabadon.

    Kttt rendszerekben azonban knyszerek lpnek fel, ezltal cskken a szabadsgi fokok szma. Pldul abillird-goly atomjai nem mozoghatnak akrhogyan, hiszen gy nem maradna meg a goly gmb alakja. Vagyegy slyz kt vgn lv slyok sem mehetnek akrmerre, a kztk lv tvolsg ugyanis lland (klnbensztszakadna a slyz). Kttt rendszerre a legegyszerbb plda egy ktatomos molekula hrom dimenziban.Itt mindkt atomnak hrom szabadsgi foka van, azaz a rendszernek sszesen 23 = 6 szabadsgi foka lenne, deaz atomok kztti kts (azaz a rgztett tvolsguk) miatt egy knyszer is fellp, azaz vgl a szabadsgi fokokszma 5 lesz. Ez azt is jelenti, hogy egy ktatomos molekula t darab adattal rhat le: helyzete a kzppontjnakhrom koordintjval, mg orientcija (irnya) kt szggel. A hrom atomos molekulk hrom pontbl ll,kttt rendszert alkotnak. Az atomok kztt hrom knyszer (kts) van, ugyanis egyik atom-pr tvolsgasem vltozhat meg. gy ebben az esetben a szabadsgi fokok szma 3 3 3 6. rdekes mdon tbb pontesetn sem lesz nagyobb a szabadsgi fokok szma: