YOU ARE DOWNLOADING DOCUMENT

Please tick the box to continue:

Transcript
Page 1: pdf formátumban

Bevezetés a �zikába

Csanád Máté

2017. április 10.

�Általában az alábbi módon keressük az új természeti törvényeket. Els® lépésben felteszünk egyelméletet. Aztán megvizsgáljuk a feltételezésünk következményeit, hogy lássuk, mit jelentene, ha azelméletünk igaz lenne. Majd a számítások eredményeit összehasonlítjuk a Természettel, közvetlenüla meg�gyelésekkel, kísérlet vagy tapasztalat által, hogy lássuk, m¶ködik-e. Ha ellentmond a kí-

sérleteknek, akkor az elméletünk hibás.

Ebben az egyszer¶ állításban van a tudomány kulcsa. Nem számít, milyen szép az elméle-tünk, nem számít, milyen okosak vagyunk, hogy ki találta ki az elméletet, hogy ®t hogy hívják � haellentmond a kísérleteknek, akkor hibás.�

Richard P. Feynman

Tartalomjegyzék

1 Bevezetés 3

1.1 Fizika a környezettudományban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 A �zika története dióhéjban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 A �zika nyelvezete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Fizikai mennyiségek és mértékegységeik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Kinematika 6

2.1 A mechanika és a kinematika modellje, alapfogalmai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 A meg�gyel® szerepe a kinematikában . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Egydimenziós mozgás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Kétdimenziós mozgások . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Newton törvényei 10

3.1 Isaac Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Newton három törvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3 Newton törvényeinek egyszer¶ alkalmazásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 Lendület és tömegközéppont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Látszólagos er®k nem-inercia rendszerekben 12

4.1 Tehetetlenségi er®k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4.2 A Coriolis-hatás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Egyszer¶ dinamikai rendszerek 15

5.1 Harmonikus oszcillátor, visszacsatolás, rezonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

5.2 Közegellenállás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5.3 Kényszerer®k és súrlódás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

6 Gravitáció 18

6.1 Meg�gyelések . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

6.2 Kepler törvényei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6.3 Newton gravitációs törvénye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1

Page 2: pdf formátumban

7 Munkavégzés és energia 22

7.1 A munka fogalma és a teljesítmény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.2 A mozgási és a gravitációs helyzeti energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7.3 Konzervatív er®k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7.4 Az energia megmaradása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.5 Egyszer¶ gépek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8 Pontrendszerek mechanikája 24

8.1 Küls® és bels® er®k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

8.2 Tömegpontok egyszer¶ rendszerei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

8.3 Szabadsági fokok, merev testek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.4 Merev testekre ható er®k, a forgatónyomaték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

8.5 A súlypont, egyensúlyi helyzetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

9 A forgómozgás dinamikája 29

9.1 A tehetetlenségi nyomaték . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9.2 A forgás mozgásegyenlete, a perdület . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

9.3 Forgó és haladó mozgások �dualitása� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10 Folytonos közegek statikája 32

10.1 Rugalmasság . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

10.2 Folyadékok és gázok: alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

10.3 A hidrosztatikai nyomás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10.4 A felhajtóer® . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

10.5 A felületi feszültség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

11 Folytonos közegek dinamikája: áramlástan 37

11.1 Kontinuitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11.2 A Bernoulli-törvény . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

11.3 A viszkozitás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

11.4 Súrlódó áramlások, turbulencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

12 Hullámmozgás és a hullámegyenlet 41

12.1 A hullámmozgás matematikai alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

12.2 Periodikus hullámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

12.3 A Fourier-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

12.4 A hullámegyenlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

12.5 Térbeli hullámok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

12.6 A Doppler-jelenség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

12.7 Hullámok elhajlása, interferencia: a Huygens�Fresnel-elv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

13 Mechanikai hullámok 47

13.1 Hullámtípusok, terjedési sebesség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

13.2 A hang �zikájának alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

13.3 A hang által keltett érzet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

13.4 A hang forrásai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

13.5 Hangsorok, konszonancia és disszonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

A Ellen®rz® kérdések 52

2

Page 3: pdf formátumban

1. Bevezetés

1.1. Fizika a környezettudományban

A �zika minden természettudomány alapját képezi, miután az anyag és az azt alkotó molekulák, atomok éselemibb részecskék viselkedéséért felel. A hétköznapok legtermészetesebb jelenségei mögött a �zika áll: példáulhogy miért nem �esik át� az asztalra tett toll az asztallapon, vagy miért halljuk a szomszéd szoba zajait, míg azokforrását nem látjuk. A kémia, biológia, meteorológia, földtan folyamatainak jelent®s részét érthetjük meg �zikaialapfolyamatok segítségével. Más természettudományos jelenségek, folyamatok persze annyira összetettek, hogynem ásunk le a magyarázatot adó �zikai okokig � ennek ellenére ezek mögött is �zikai törvényszer¶ségek állnak.Álljanak azért itt példaként olyan környezeti jelenségek, amelyek m¶ködése a �zika törvényeinek segítségévelvizsgálható:

• A földkéreg dinamikája, hegységek kialakulása, vulkánok• Légköri folyamatok, az id®járás alakulása, csapadék, szél, légszennyezettség• A Föld energia-háztartása, napsugárzás, üvegházhatás• Folyók és tengeráramlatok viselkedése• Elektromágneses sugárzások, ezek hatása az emberre, elektromágneses zajszennyezés• Nukleáris folyamatok, atomenergia, természetes radioaktivitás, sugárvédelem• Az ember energiagazdálkodása, megújuló és nem megújuló energiaforrások• A hang �zikája, zajszennyezés és zajvédelem• Orvosi alkalmazások: CT, röntgen, PET, MRI

A (két féléves) kurzus végén minden fenti kérdésnek ismerjük majd a �zikai alapjait, azaz képesek leszünkannak részletesebb megértésére. A fentiekre vonatkozó további, a �zikán túlmutató (pl. társadalmi, politikai,gazdasági) kérdések tárgyalása során a lehet® legteljesebb képet alkothatjuk.

1.2. A �zika története dióhéjban

Hogy a �zika alapjait jelen kurzus két féléve során megértsük, fontos látnunk, hogy jutott el az emberiségezen tudásig, hogyan haladt a �zikai világ megismerésének útján.A tudomány története Egyiptomban, Me-

zopotámiában és a termékeny félholdon íródott. Itt alakult ki az írás, az els® számrendszerek, a mérésekalapját képez® els® eszközöket itt fejlesztették ki, és itt �gyelték meg el®ször a csillagos eget. A görög-római

kultúra talaján fejl®dött ki a geometria, jött létre az els® (Föld-központú) világkép, itt ismerték fel az elektro-mosság jelenségét, alkották meg az els® atom-hipotézis, továbbá lefektették a tudományos gondolkozás alapjait.Ugyanakkor ez még messze volt attól, amit ma természettudománynak nevezünk: inkább természet�lozó�ánakhívhatjuk az akkori gondolkodás és meg�gyelés eredményeit. Els®sorban azért, mert a tudomány méréseket ésegyenleteken alapuló nyelvezetét még nem alakították ki. A legjobb példa erre a �négy elem�: Arisztotelész el-mélete az els® bizonyos értelemben tudományos munka, amely a minket körülvev® anyagi világ megértését t¶zteki célul. Az elmélet egyik fontos pontja az volt, hogy az elemek természetes sorrendje alulról felfelé haladva aföld, víz, leveg®, t¶z. Ebb®l �vezette le� a világ sok törvényét: ezért süllyed le a vízben a k®, ezért esik lefelé azes®, ezért �lobog felfelé� a t¶z, és van a Nap fent az égen. Ez tulajdonképpen a tudomány esszenciája: egyszer¶feltevésekkel megmagyarázni sok meg�gyelt jelenséget. Ma a feltevéseket, törvényeket a matematika nyelvenmegírt formulákkal adjuk meg, de ahogy látjuk, nem volt ez mindig így. A korai újkorban Kepler és Gali-lei járultak hozzá nagymértékben a mai világkép kialakulásához, de munkáikat még mindig �lozo�kus nyelvenfogalmazták meg. Newton és Leibniz dolgozták ki a természettudomány matematikai alapjait: a sorozatokat,határértékeket, a di�erenciál- és integrálszámítás alapjait. Erre támaszkodva tudta maga Newton is kés®bb aklasszikus kinematika és mechanika törvényeit megfogalmazni. A modern kor több új tudományágat hozott aa �zikán belül: Coulomb, Galvani, Volta és társaik az elektromosság alapjait fektették le, míg Guericke, Boyle,Carnot, Joule pedig a termodinamika alapfogalmait és f®tételeit fogalmazták meg. A XX. század elején ismétforradalmi változásokon ment keresztül a �zika, a modern �zika felfedezéseivel. Thomson, Rutherford és Bohratommodelleket alkottak, Einstein (Maxwell, Lorentz és Poincaré segítségével) megalkotta a speciális és az ál-talános relativitás elméletét, Becquerel és a Curie-házaspár felfedezte a radioaktivitást, Planck, Heisenberg ésSchrödinger pedig megalkotta a kvantumelméletet1. Amai �zika eszközei pedig már a több kilométeres részecs-kegyorsítók, asztro�zikai óriástávcsövek, a hétköznapi életünkre is kezdenek hatással lenni a nano�zika, bio�zikaés az anyagtudomány legújabb felfedezései. Jelen kurzusban a modern �zika alapjaiig jutunk el a második félévvégére.

1Elnézést mindazoktól, akiket kihagytam e felsorolásból.

3

Page 4: pdf formátumban

1.3. A �zika nyelvezete

A matematika a �zika legfontosabb eszköze, ezért ismerete alapvet® a �zika megértéséhez. Jelen tantárgygondolatmeneteinek követéséhez az alábbi területeken feltétlenül szükség van biztos gyakorlati tudásra:

• Alapvet® m¶veletek, törtek rendezése• Egyenletek rendezése és megoldása• Függvények kezelése és értelmezése• Vektorok, összeadásuk, skaláris és vektoriális szorzásuk• Koordináta-rendszerek• Szögfüggvények és azonosságaik• A geometria alapjai• Határértékek fogalma, in�nitezimális mennyiségek• Di�erenciálás matematikai jelentése, �zikai felhasználása• Integrálás matematikai jelentése, �zikai felhasználás

A matematikai kifejezéseken és számolások megértésén túl a legfontosabb, hogy egy-egy képlet mögött lássuka jelentést. A �zika alapjait a törvények képezik, ezeket az egyszer¶ség kedvéért képletekkel írjuk le. Bármelytörvényt azonban szavakkal kell tudni leírni els®sorban. Fontos látni, hogy egy törvényben sosem

• az id®,• a h®, vagy• a tömeg

szerepel, hanem konkrétan

• valamely adott út megtételéhez szükséges id®,• valamely adott folyamathoz szükséges h®, vagy• valamely adott test tömege.

A törvényeket nem önmagukért tanuljuk, hanem azért, hogy a környezetünkben lejátszódó folyamatok megértésesorán alkalmazni tudjuk ®ket. Ezért akkor mondatjuk, hogy megértettünk egy �zikai tételt, törvényt, állítást,ha hétköznapi példát tudunk mondani az alkalmazására.

1.4. Fizikai mennyiségek és mértékegységeik

Sok �zikai mennyiség egy (többnyire valós) számmal jellemezhet®, valamely alapegységhez viszonyított ará-nyát kifejezend®, ezeket skalármennyiségnek hívjuk. Ilyen az energia, a tömeg, a térfogat, a megtett út, ah®mérséklet. Más mennyiségeknek viszont van iránya is, ezeket vektormennyiségnek hívjuk: ezek közé tartozikaz elmozdulás, a sebesség, a gyorsulás, az er®, a forgatónyomaték vagy az elektromos térer®sség. 2 Ezeknek issokszor csak a nagyságáról beszélünk, de fontos látni, hogy van irányuk is. Vannak olyan mennyiségek is, ame-lyeket legtöbbször skalárként használunk, de lehet vektorként is értelmezni ®ket, ilyen a felület, amely vektorkénta felületre mer®leges irányba mutat.

Érdemes megemlíteni, hogy a hely érdekes mennyiség: vektorként gondolunk rá, de próbáljuk csak meg kéthely összegét venni. Hol van például a szoba két sarkának az összege? Vagy melyik pont az asztal bal sarká-nak kétszerese? Ugyanakkor a térpontok különbségük már könnyebben értelmezhet®: az ®ket összeköt® vektor.Mindennek az az oka, hogy a tér pontjai valójában nem vektorteret, hanem úgynevezett a�n teret alkotnak.Csak akkor tekinthetünk rájuk vektorként, ha kijelölünk egy origót, amelyben ezek �kezd®dnek�. Általában ajelenségeket egy rögzített origó mellett szemléljük, ennek kijelölése jelenti a �meg�gyel®� meghatározását.

A vektorokat gyakran Descartes-féle derékszög¶ koordinátákban fejezzük ki, máskor polár-, henger- vagygömbi koordinátákban. Persze a legjobb, ha egyáltalán nincs szükség koordinátázásra, hanem maguk a vektorokközött írunk fel összefüggéseket. Mindenesetre egy kétdimenziós #»a vektor polárkoordinátái (a, α) és derékszög¶koordinátái (ax, ay) így függenek össze:

ax = | #»a |cos(α) és ay = | #»a |sin(α), azaz (1)

a = | #»a | =√a2x + a2

y (2)

(3)

2Vannak ennél bonyolultabb típusú mennyiségek is, amelyeket mátrixokkal fejezünk ki, ezeket azonban itt nem tárgyaljuk. Talánegy példát érdemes említeni: a tehetetlenségi nyomatékot ugyan többnyire skalárral fejezzük ki, de általános esetben mátrixkéntértelmezend®, amely a szögsebességvektorral szorozva a perdületet adja meg.

4

Page 5: pdf formátumban

A vektorok összeadásának és k skalárral szorzásának szabályai így írhatóak fel: így írhatóak fel:

#»a +#»

b =#»

b + #»a (4)

( #»a +#»

b ) + #»c = #»a + (#»

b + #»c ) (5)

k · ( #»a +#»

b ) = k · #»a + k · #»

b (6)

Láthatólag ugyanúgy kezelhetjük ®ket összeadásuk és számmal szorzásuk során, mint a közönséges skalárokat,ezért egyes törvények felírásában nem számít, hogy az adott mennyiségre vektorként vagy skalárként gondolunk.

Vektorok között értelmezünk továbbá kétféle szorzást: a skalárszorzat eredménye skalár, a vektorszorzateredménye vektor. A skalárszorzásra következ® egyszer¶ összefüggések igazak:

#»a · #»

b =| #»a || #»b | cos(α), ami azt jelenti, hogy (7)#»a ⊥ #»

b ⇔ #»a · #»

b = 0 (8)

Míg a vektorszorzásra a következ® összefüggések teljesülnek:

| #»a × #»

b | =| #»a || #»b | sin(α) (9)#»a ‖ #»

b ⇔ | #»a × #»

b | = 0 (10)#»a × #»

b ⊥ #»a és #»a × #»

b ⊥ #»

b , (11)

ahol ez utóbbi azt jelenti, hogy a vektoriális szorzat eredménye mer®leges mindkét szorzótényez®re. Érdemestovábbá hangsúlyozni, hogy míg a skalárszorzat mer®leges vektorokra nulla, addig a vektoriális szorzat párhu-zamosok esetén nulla.

Skalár- és vektormértékegységek de�niálják a skalármennyiségek skáláját. A klasszikus �zikában mindenmértékegység alapja a tömeg, a távolság és az id® alapegysége. A metrikus rendszerben ezek: a kilogramm,a méter és a másodperc. Minden további mértékegységet ezekb®l származtathatjuk, ahogy a például a Joulemértékegység másképpen kgm2/s2, míg a Newton pedig kgm/s2. Egyes mennyiségeknek állandókon keresztüladunk új egységet: például a Kelvin a Boltzmann-állandón (1, 38 · 10−23 J/K) keresztül adódik a Joule-ból, aCoulomb az elemi töltés egységén keresztül (1, 6 ·10−19 C) darabban kis kifejezhet® lenne, az Amper pedig darabper másodpercben.

A modern �zika felismerései nyomán kiderül azonban, hogy ez a három mértékegység sem feltétlenül mindszükséges. A három legalapvet®bb modern �zikai állandó a speciális relativitáselméletben fontos fénysebesség:c = 3 · 108 m/s, a kvantumelméletben fontos Planck-állandó: ~ = 10−34 Js, és az általános relativitáselméletbenfontos gravitációs állandó: γ = 6, 7 · 10−11 Nm2/kg2. Ezekkel az összes mértékegység kifejezhet®, például

1 kg = 4, 59 · 107

√~cγ, (12)

1 m = 6, 19 · 1034

√γ~c3, (13)

1 s = 1, 86 · 1043

√γ~c5, (14)

a többi pedig már ezekb®l származik. Ha tehát ezeket az állandókat egységnek választjuk, megsz¶nnek a mér-tékegységek. Ez azonban furcsa, igen eltér® nagyságrend¶ és a hétköznapi tapasztalatoktól idegen számokateredményezne (a tömegek, id®k és távolságok kifejezésében), ezért maradunk a jól bevált metrikus egységrend-szernél.

A mértékegységek használatának praktikus oldala, hogy bizonytalanság esetén segítenek egyszer¶ képletekellen®rzésében. Tegyük fel, hogy tudjuk, hogy egy tárgy sebességének [m/s] kiszámításának képletében szerepela tárgy által megtett távolság [m] és az ezalatt eltelt id® [s], más nem. Ekkor biztosak lehetünk benne, hogya törvényben a megtett távolságot kell elosztanunk az ehhez szükséges eltelt id®vel, hiszen csak így jöhet ki akívánt méter/másodperc eredmény.

A nagyon nagy vagy nagyon kis számok használatának elkerülése végett a mértékegységeket nagyságrendeketjelöl® pre�xumokkal láthatjuk el (kivéve a kilogrammot, amely már a gramm ezerszerese, így ott a grammot�fokozzuk�). Ezek a következ®k:

5

Page 6: pdf formátumban

deka dk 101 deci d 10−1

hekto h 102 centi c 10−2

kilo k 103 milli m 10−3

mega M 106 mikro µ 10−6

giga G 109 nano n 10−9

tera T 1012 piko p 10−12

peta P 1015 femto f 10−15

exa E 1018 atto a 10−18

zetta Z 1021 zepto z 10−21

yotta Y 1024 yocto y 10−24

Az alsó sorokban lév® pre�xumok ugyan ritkán kerülnek el®, de egyre gyakrabban: az emberiség éves energiafel-használását exajoule-ban érdemes megadni, a legrövidebb létrehozható lézerimpulzusok pedig már az attomá-sodpercek tartományában vannak.

2. Kinematika

2.1. A mechanika és a kinematika modellje, alapfogalmai

A kinematika anyagi és geometriai átalakulás nélküli rendszerek térbeli mozgását írja le. F® célja, hogy ajelen állapot teljes leírásából a jöv®re következtessen. A mechanika ennél valamivel általánosabb célú, egyrésztdeformációkat, azaz geometriai átalakulásokat is nyomon követ, másrészt nem csak leírja a mozgást és a defor-mációt, de annak okát is vizsgálja. Ezzel szemben a kinematika, ami a mechanika része, nem keresi a mozgásokokát.

Jelen szakasz kinematikai alapfeltevése szerint a testek pontszer¶ek, azaz tömegpontként gondolunk rájuk.Ez igen jó közelítés billiárd-golyók ütközéseinek vizsgálatakor, egy atom vagy részecske pedig még inkább tömeg-pontnak tekinthet® sok esetben. Ugyanakkor egy összetett rendszer, mint például egy autó, szintén kezelhet®pontszer¶ként, amennyiben a helyzetét, sebességét, gyorsulását vizsgáljuk: hiszen ekkor egyáltalán nem lényegesa kiterjedése vagy a geometriája. Egy tömegpontot egy adott id®pillanatban a helyzetével tudunk megadni, ez(meg�gyel®, azaz �origó� választása esetén) az #»r vektort jelenti. A tömegpont teljes (múlt- és jöv®beli) leírásaa helyzetének id®függésén keresztül érhet® el, azaz #»r (t) megadásával. Az alábbiakban ezt a függvényt vetjükvizsgálat alá.

A tömegpont leírásának alapja tehát az #»r helyvektor, erre az origó (azaz a meg�gyel®) kiválasztása adlehet®séget.3 Az elmozdulás ∆t = t′ − t id®tartam alatt ∆ #»r = #»r ′ − #»r módon írható fel. De�niálhatjuk az ezenid®tartam alatti sebességet:

#»v t,t′ =∆ #»r

∆t

[ms

](15)

Ez tehát a [t, t′] id®intervallum alatti átlagsebesség de�níciója. Ennek szokásos mértékegysége méter permásodperc (m/s) vagy kilométer per óra (km/h).

Sokszor azonban egy test pillanatnyi sebességére vagyunk kíváncsiak: mennyivel megy éppen most? Ér-dekes kérdés, hogy ezt hogyan lehet de�niálni, hiszen egy id®pillanat során a test egy helyen van, tehát a fentihányados nevez®je és számlálója is nulla. A határérték-számítás siet a segítségünkre: a fenti kifejezésben vegyüka ∆t→ 0 határátmenetet, azaz in�nitezimális dt id®tartamot és az ez alatti d #»r elmozdulást:

#»v (t) = lim∆t→0

∆ #»r

∆t=d #»r

dt= #»r (t), (16)

azaz ez éppen az #»r (t) függvény id® szerinti deriváltja! Nagyon sokszor el®fordul a �zikában, hogy ilyen �0/0�jelleg¶ hányadost képezünk a határérték-számítás segítségével. Ilyenkor mindig arra érdemes gondolni, hogy ahányadost egyre kisebb id® vagy egyéb mennyiség esetén vesszük, és ekkor a hányados maga egy adott értékhezkonvergál. A pillanatnyi sebesség esetén gondolhatunk arra, hogy pl. egy autó átlagsebessége egy adott pilla-nat körüli másodpercben, tizedmásodpercben és századmásodpercben nagyjából ugyanannyi, és ha még kisebbid®tartamokat vennénk, akkor határértékben éppen az adott pillanatbeli sebességet kapnánk meg.

A átlagos és pillanatnyi gyorsulás hasonlóan értelmezhet®ek:

#»a t,t′ =∆ #»v

t′ − t=

∆ #»v

∆t(17)

#»a (t) = lim∆t→0

∆ #»v

∆t=d #»v

dt= #»v (t)

dd#»rdt

dt=d2 #»r

dt2= #»r (t). (18)

3Beszélhetnénk a helyek a�n terér®l is, az elmozdulás (két hely különbsége) akkor is értelmezhet® lenne

6

Page 7: pdf formátumban

A gyorsulás tehát a sebesség id® szerinti deriváltja, illetve a helyzet id® szerinti második deriváltja (az id® szerintideriváltat ponttal jelöljük), azaz v = r és a = v = r. Mértékegysége többnyire méter per másodperc négyzet(m/s2). Lehetne a hely több deriváltját vizsgálni, néha a harmadik deriváltat is de�niálják (és �rándulásnak�nevezik). Ugyanakkor erre többnyire nincs szükség, a kinematika megfelel® alapfogalmai a hely, sebesség ésgyorsulás.

2.2. A meg�gyel® szerepe a kinematikában

Ahogy eddig is hangsúlyoztuk, a hely (és emiatt a sebesség és a gyorsulás is) meg�gyel®függ®: máshol és mássebességgel mozgónak látja a leveg®ben szálló rovart az autópályán száguldó autó vezet®je és a leállósávban vesz-tegl® kamionos. Egyszer¶en beláthatjuk, hogy mozgó meg�gyel®k vagy objektumok egymáshoz képesti sebességeegy harmadik meg�gyel®höz illetve objektumhoz képesti sebességük összege, azaz �a sebességek összeadódnak�:100 km/h sebesség¶ autóból 10 km/h-val kidobott teniszlabda az út mellett álló meg�gyel® szerint 110 km/h-valmozog. Ezen hétköznapi tapasztalat bizonyítása a következ®. Legyen egy adott meg�gyel® (avagy vonatkoztatásirendszer) szerint egy tömegpont helye #»r (t). Ha ehhez képest egy másik meg�gyel® #»rm(t) vektorral �arrébb�található, akkor szerinte a tömegpont helye #»r ′(t) = #»r (t) + #»rm(t). Ebb®l deriválással #»v ′(t) = #»v (t) + #»vm(t),továbbá #»a ′(t) = #»a (t) + #»am(t) adódik. Ennek van néhány alapvet® következménye:

• Ha a meg�gyel®k egymáshoz képes egyenletesen mozognak (vm = állandó azaz am = 0), akkor tetsz®legesharmadik test gyorsulása számukra megegyezik � ez kés®bb fontos lesz.

• Ha egy meg�gyel® szerint két járm¶ #»v a és #»v b sebességgel mozog, akkor a b járm¶b®l nézve a járm¶#»v a − #»v b sebesség mozog.

• Ha egy meg�gyel® szerint egy járm¶ #»v a sebességgel mozog, és rajta egy ember a járm¶vön ül® meg�gyel®szerint #»v b sebességgel mozog, akkor a meg�gyel® szerint az ember #»v a + #»v b sebességgel mozog.

A fentiekre rengeteg példát lehetne hozni: autóból kidobott labda, vonaton sétáló kalauz, bolygók körül kering®holdak és m¶holdak, az ¶rállomáson ¶rsétát végz® ¶rhajós, a folyón haladó hajó, a repül® által észlelt szél, ésígy tovább.

A meg�gyel®k azonban nem csak az origót jelölhetik ki, de a derékszög¶ koordináta-rendszer három tengelyétis. Bizonyos mozgások esetében alkalmas koordináta-rendszert választva a folyamat egyszer¶bben leírható: acélegyenesben haladó versenyautó helyvektora csak az x irányban nem nulla, ha a célegyenes irányában vesszükfel az x tengelyt. A focipályán szaladó játékosok pozíciójának meghatározásához elég két komponens, ha a zirányt a pályára mer®legesen (�felfelé�) vesszük fel. A tér tehát háromdimenziós, de sok mozgás maga csak egy-vagy kétdimenziós, és ezeket egyszer¶en tudjuk kezelni. A következ®kben erre látunk példákat.

2.3. Egydimenziós mozgás

Ha egyenes mentén való mozgásnál a koordináta-rendszert megfelel®en vettük fel, akkor x iránya a mozgásirányába mutat: ekkor a helyvektornak csak egy komponense van. Így tehát a helyet, a sebességet és a gyorsulástis számként kezelhetjük. Lássuk az egydimenziós (egyenes vonalú) mozgások néhány egyszer¶ példáját.

Az egyenletes mozgás során a sebesség állandó (azaz a gyorsulás nulla). Ekkor

a = 0 (19)

v = v0 (állandó) (20)

r = r0 + v · t (21)

(22)

Figyeljük meg, hogy a = v és v = r. Egyenletes mozgásra példa a tempomattal közleked® autó, a Föld felézuhanó es®csepp (zuhanása végén már nem gyorsul, ahogy azt kés®bb látni fogjuk), vagy a guruló billiárd-golyó.

Egyenletesen gyorsuló mozgás során a gyorsulás állandó:

a = a0 (állandó) (23)

v = v0 + a · t (24)

r = r0 + v0t+a

2t2 (25)

Egy [0, t] id®tartam alatt megtett út ez alapján s[0,t] = v0t + a2 t

2, illetve ezen a szakaszon az átlagsebesség:v[0,t] = v0 + a

2 t. Ilyen mozgásra példa a feldobott/leejtett tárgy mozgása, azaz a szabadesés, de az elrajtolóversenyautó is így mozog egy rövid ideig. Fontos látni, hogy a �lassulás� is gyorsulás, csak ekkor a sebesség és a

7

Page 8: pdf formátumban

gyorsulás iránya ellenkez®, és így v = v0− a · t módon írható fel a sebesség id®függése (ha pozitív értéket adunka gyorsulásnak).

A harmonikus rezg®mozgás is egy dimenziós, és ahogy kés®bb látni fogjuk, ennek kiemelten fontos szerepevan a természetben, így mozog egy rugóra kötött test, vagy a kristályrácsban kötött atom is:

r = A · sin(ωt+ φ) (26)

v = Aω · cos(ωt+ φ) (27)

a = −Aω2 · sin(ωt+ φ) (28)

Itt A a mozgás amplitúdója, és az ismétl®dés periódusideje T = 2π/ω = 1/f , ahol a frekvencia f = ω/2π.Továbbá a φ fázis a mozgás kezdeti kitérését jelöli ki, ugyanis r(t = 0) = A sinφ. A fázis változtatása lényegébenid®beli eltolásnak felel meg, hiszen például t = T/2 id®vel kés®bbt®l nézve a mozgás a szinuszhullám φ = πszöggel arrébb lév® pontjából indul.

Csatolt rendszerek rezgései összeadódnak (gondoljunk két összekapcsolt rugóra, vagy találkozó hullámokra).Azonos frekvenciájúak az összeadódó rezgések, azaz az r1(t) = A1 · sin(ωt + φ1) és r2(t) = A2 · sin(ωt + φ2)rezgések r1(t)+r2(t) összetételének A amplitúdója A1 +A2 és |A1−A2| között változik, azaz két rezgés er®síheti,gyengítheti és ki is olthatja egymást. Maximális er®sítés (A = A1 + A2) akkor lép fel, ha a két rezgés fázisaazonos, azaz φ1 = φ2. Maximális gyengítés (A = |A1 −A2|) akkor történik, ha a rezgések fázisa ellentétes, azaz|φ2−φ1| = π. Ez azonos amplitúdók esetén kioltást eredményez. Különböz® ω1 és ω2 frekvenciájú rezgések eseténaz átlagos (ω1 + ω2)/2 frekvenciával jön létre rezgés, amelynek amplitúdója lassan változik, cos((ω1 − ω2)t/2)szerint: bizonyos id®pillanatokban az amplitúdó szinte nulla, máskor maximális: ez a lebegés jelensége.

2.4. Kétdimenziós mozgások

A tér harmadik dimenzióját �kihagyó� mozgások kétdimenziósak, ekkor a mozgás síkja az x, y sík. A kétirány független egymástól, ezért kétdimenziós mozgások két egyenes vonalú mozgásból rakhatóak össze.

A legegyszer¶bb eset, ha a gyorsulásvektor állandó (azaz a nagysága és az iránya is), de nem párhuzamosa kezd®sebességgel (mint egyenes vonalú mozgások, például elejtett k® mozgása esetén). Így mozog egy rakéta,egy eldobott dartsnyíl, a megütött teniszlabda. Ekkor a kezd®sebességet így írjuk fel:

#»v 0 = (vx, vy) = (| #»v 0| cosα, | #»v 0| sinα) (29)

Válasszuk meg a koordináta-rendszert úgy, hogy a gyorsulás az y irányba mutat (például egy tárgy elhajításaesetén a gyorsulás függ®leges, legyen tehát ez az y irány, míg az x a vízszintes irányba mutat). Ekkor tehát azx irányban egyenletes mozgás, y irányban lefelé mutató, egyenletes gyorsulás alakul ki:

x = x0 + vxt = x0 + | #»v 0| cos(α)t (30)

y = y0 + vyt+a

2t2 = y0 + | #»v 0| sin(α)t+

a

2t2 (31)

Egy ilyen �hajítás� esetén gyakran feltett kérdés, hogy az eldobott tárgy milyen messzire repül, mekkora sebes-séggel ér földet és mennyi repülés után. A kérdés megválaszolásához meg kell határozni a kezd®pozíciót: legyenez az origó, az r0 = (x0, y0) = (0, 0) pont. A vízszintes mozgás egyenletes, tehát a földet-érés helye és idejearányos egymással: x = vxt. Az id®t a függ®leges mozgásból határozhatjuk meg: ha a hajítás egy h magasságúépületr®l történt, akkor földetéréskor az y koordináta értéke −h, hiszen a kezd®pont volt az origó. A gyorsulásvalójában lefelé mutat, tehát negatív el®jellel vehetjük, a megoldandó egyenlet innen −h = vyt− a

2 t2. Az órán

ezzel kapcsolatos kísérletet is végzünk: a repülési id® és távolságok mérésével gyorsulás meghatározható! Fontostapasztalat, hogy a szabadon elengedett tárgyak a Föld felszínéhez közel 9,81 m/s2 gyorsulással indulnak el(kés®bb ezt a gyorsulást csökkenti a közegellenállás, ahogy látni fogjuk. A hajítást illusztrálja az alábbi ábra:

8

Page 9: pdf formátumban

A kétdimenziós mozgások másik egyszer¶ esete a körmozgás, itt a pont pályája egy kör, azaz a kör de�níciójaszerint | #»r | = R =állandó. A pont helyzetét az x és y koordináta megadása helyett egy szöggel is de�niálhatjuk,azaz megadhatjuk a helyet polárkoordinátákban, a kör középpontját origónak választva:

r = (R sinα,R cosα) (32)

De�niálhatjuk továbbá a szögsebességet az id®egység alatti elfordulásként:

ω =dα

dt. (33)

A szögsebességre sokszor vektorként tekintünk, amelynek iránya a forgástengelyének megfelel®, a jobbkézszabályszerint (azaz ha jobb kezünk behajlított ujjai irányába történik a forgás, akkor #»ω a hüvelykujjunk irányábamutat).

Egyenletes körmozgásról beszélünk, ha ω = állandó. Ekkor a T periódusid® (teljes kör, azaz 2π megtéte-léhez szükséges id®) és a szögsebesség ω = 2π/T módon függ össze. Az adott helyzethez tartozó szög pedig aszögsebesség állandósága miatt α = ωt. A hely, a sebesség és a gyorsulás pedig:

#»r (t) = (R sin(ωt), R cos(ωt), (34)#»v (t) = #»r (t) = (Rω cos(ωt),−Rω sin(ωt)), (35)#»a (t) = #»r (t) = (−Rω2 sin(ωt),−Rω2 cos(ωt)). (36)

Innen könnyen belátható, hogy #»r ⊥ #»v , hiszen a #»r · #»v skalárszorzatuk nulla (a komponensek szorzása ésösszeadása alapján). A sebességvektor nagysága is könnyen kiszámítható: |v| = ωR, és miután ez a helyremer®leges, azaz kerületi irányú, kerületi sebességnek nevezzük. Szintén belátható, hogy #»a (t) = −ω2 #»r (t), azaza gyorsulás és a helyvektor párhuzamosak. Ezt centripetális gyorsulásnak nevezzük, és a kör középpontja felémutat, nagysága |a| = ω2|r| = ω2R Az is belátható, hogy a mozgás x vagy y komponense éppen a harmonikusrezgés vetülete, hiszen x(t) = R sin(ωt). Még annyit érdemes hozzáf¶zni, hogy a szögsebesség vektor jellegétis �gyelembe véve a #»v = #»r × #»ω összefüggés lesz érvényes az egyszer¶ v = Rω helyett � de mivel síkbelimozgásról beszélünk, az #»r vektor mindig mer®leges a forgástengelyre, ezért a két állítás egyenérték¶. Nemsíkbeli körmozgás esetén (például a Föld forgásánál) azonban már a vektoriális összefüggést kell �gyelembevennünk.

9

Page 10: pdf formátumban

Az egyenletes körmozgásra jó példa a Föld Nap körüli keringése. Ennek során kb. 365 nap alatt tesz meg egyteljes kört, szögsebessége tehát ω = 2π/(365 nap), azaz kb. 2 · 10−7 1/másodperc. Az ehhez tartozó sebességa pálya átlagos 150 millió kilométeres sugarát �gyelembe véve 30 km/s, azaz 100 000 km/óra! Ekkora átlagossebességgel mozog tehát a Föld a Nap körüli pályáján. Érdemes azt is megemlíteni, hogy a Föld saját tengelyekörüli forgásának szögsebessége 2π/nap, a Földnek az egyenlít®nél vett 6371 km-es átlagos sugarával számolvaebb®l 463 m/s, azaz kb 1700 km/h sebesség adódik. Ekkora sebességgel mozgunk tehát a Föld tengelye körül �az egyenlít®nél, máshol a kisebb sugár miatt a földrajzi szélesség koszinuszával szorzott érték adódik.

Nem egyenletes körmozgás esetén lehet szöggyorsulás is, ennek mértéke β = dω/dt = d2α/dt2. Ekkor vanérint®irányú gyorsulás is, ezt a⊥ módon jelölhetjük, és nagysága egyenletesen gyorsuló körmozgásnál (azaz haβ = állandó) |a⊥| = Rβ. Változó módon gyorsuló körmozgást végez például az inga, amelynek függ®legesselbezárt szöge α = α0 cos(2πt/T ) szerint változik.

Körmozgás során igazából ω és β is vektorként kezelend®ek, bizonyos esetekben van ennek jelent®sége. Aszögsebességvektor iránya a jobbkéz-szabály szerint a forgástengely irányába mutat: ha jobb kezünk behajlítottujjai irányában forog a tárgy, szögsebessége hüvelykujjunk irányába mutat.

3. Newton törvényei

3.1. Isaac Newton

Isaac Newton annyira jelent®s alakja a klasszikus �zikának, hogy életét nagyon röviden itt is összefoglaljuk.Newton 1642. december 25-én született Woolsthorpe Manorban, Angliában, földm¶ves apja halála után háromhónappal. Tizenkét és tizenhét éves kora között a The King's Schoolba járt Granthamben, ahol matematikát nemtanult (de latinul igen). 17 éves korában az id®közben újraházasodott anyja újra megözvegyült, ezért hazavittékazzal a céllal, hogy (akarata ellenére) a földeken dolgozzon. Iskolai tanára javaslatára azonban visszamehetett,és ekkor már éltanuló lett.

1661-ben nagybátyja ajánlásával felvették a cambridge-i Trinity College-ba. Itt els®sorban Arisztotelész mun-kái alapján tanítottak, de Newton modern tudósok eredményeit is tanulta, mint például Descartes, Galilei vagyKepler. 1665-ben felfedezte a binomiális tételt és elkezdte kifejleszteni matematikai elméletét, amelyet kés®bb�calculusnak� neveztek el. Ezután a cambridge-i iskola a pestis miatt két évre bezárt, Newton ez alatt jelen-t®s fejl®dést ért el matematikai munkáival, továbbá a gravitációval és optikával kapcsolatban is eredményeketért el. 1667-ben visszatért Cambridge-be, és 1669-ben professzor lett ugyanitt. Ebben az évben írta meg �Deanalysi per aequationes numeri terminorum in�nitas� (A végtelen sorok elemzésér®l) és �De methodis serierumet �uxionum� (A sorok és �uxiók módszerér®l) cím¶ m¶veit, amelyek lefektették a di�erenciálszámítás alapjait(a könyvek azonban �zikai megfontolásokon nyugvó levezetésekre épültek). Ugyanakkor Leibniz t®le függetlenülszintén kifejlesztette lényegében ugyanezeket a matematikai módszereket, és ezért komoly vita és ellenségeske-dés volt közöttük. Ma Leibniz jelölésrendszerét használjuk, a brit matematikusok is ezt vették át az 1800-asévekben. Newton vitára kész, de nem teljesen jóindulatú természetét illusztrálja Hooke-nak írt levele, akivelszintén vitában állt (optikai felfedezésekkel kapcsolatban): �Ha messzebbre láttam, mint mások, csak azért volt,mert óriások vállán álltam�. Ezzel sokak szerint nem szerénységét fejezte ki, hanem Hooke alacsony termeténgúnyolódott.

Newton f® m¶ve, a �Principia� (Philosophiae naturalis principia mathematica, azaz a természet�lozó�a ma-tematikai alapjai) 1684-87 között íródott. Ebben (noha még nem a maga által kifejlesztett di�erenciálszámításijelölést használta, hanem szóban fogalmazta meg állításait) lefektette a klasszikus mechanika alapjait, amelyekbizonyos keretek között (nem túl nagy sebességek, nem túl nagy vagy túl kicsi távolságok és méretek, nem túlnagy tömegek) máig érvényesnek bizonyultak. Könyvében de�níciókat és axiómákat ad meg, majd részletezi atestek mozgásának leírását, bevezeti a gyorsulás, a tehetetlen tömeg és az er® fogalmát, és beszél a súrlódásrólés a gravitációról. F® cél számára a mozgás okának kutatása. A meg�gyel®kkel és koordináta-rendszerekkel isfoglalkozik, bevezeti az inerciarendszer fogalmát is.

Élete második felében politikai pályára lépett, az angol parlament tagja lett, a Királyi Pénzverde veze-t®je, 1705-ben pedig (sokak szerint az azon évben tartott választásokkal összefüggésben) lovaggá ütötték. 1727.március 20-án álmában hunyt el Londonban, sírja a westminsteri apátságban található.

3.2. Newton három törvénye

Newton els® törvénye a görög természet�lozó�a alapvet® megújítása: korábban azt gondolták, hogy min-den mozgás fenntartásához hatásra van szükség, a testek természetes állapota a nyugalom, ezért minden magátólmegáll. Newton szerint azonban

10

Page 11: pdf formátumban

egy test megtartja egyenes vonalú egyenletes mozgását, amíg valami annak megváltoztatására nemkényszeríti.

Ez persze nem minden meg�gyel® szerint van így: az induló vonatból nézve a peronon álló b®rönd magától elgu-rul. Azt a koordináta-rendszert (avagy meg�gyel®t), ahol a fenti törvény, Newton els® törvénye tényleg mindigigaz, inerciarendszernek nevezzük. Ha megfelel® koordináta-rendszert választunk, akkor tehát a mozgásállapotmegváltozása csak kölcsönhatás eredményeként következhet be.

Egyszer¶en látható, hogy inerciarendszerek egymáshoz képest nem gyorsulhatnak, hiszen ha tennék, az egyikszerint nyugvó, magára hagyott test a másik szerint gyorsulna. Ezért néha azt mondjuk, hogy az inerciarend-szerek �nem gyorsuló� koordináta-rendszerek, ami valamelyest pongyola fogalmazás, hiszen egymáshoz képestnem gyorsulnak csak, ezért így ®ket de�niálni nem lehet.

Ilyen nem gyorsuló meg�gyel®t nem egyszer¶ találni: a Föld eleve forog és kering, de a Naprendszer iskering a Tejútrendszer középpontja körül. Az ezekhez rögzített koordináta-rendszerek nem inerciarendszerek!A gyakorlatban elhanyagolható az ebb®l adódó hatás, jó közelítéssel igaz, hogy a Földön a magukra hagyotttárgyak nem mozdulnak meg maguktól.

Gyorsuló koordináta-rendszerben viszont természetesen elmozdulhatnak tárgyak maguktól, ezekben nemérvényes Newton els® törvénye (és a többi sem). Ilyen a gyorsuló lift, repül®, autó, vagy az éppen elinduló vonat:a padlóra rakott b®rönd magától elgurul/felborul. Ezt részletesebben a tehetetlenségi er®knél tárgyaljuk.

Newton második törvénye azt is megadja, hogy mi történik, ha egy testet �nem hagyunk magára�, azazvalamilyen módon hatunk rá. Ekkor a test gyorsulni kezd, és a testre ható er® arányos a test gyorsulásával, azaz

F = m #»a , vagy ha több er® is van, akkor (37)∑i

F i = m #»a (38)

A fenti tulajdonképpen az m-mel jelölt tömeg de�níciója is. Ez a test állandó tulajdonsága, amely a �gyorsítha-tóságát befolyásolja� azaz a tehetetlenségét jelenti. Az egyenletben F az er®t jelöli, ez a mennyiség hozza létrea gyorsulást. Mértékegysége a N , azaz Newton. Egy test akkor tarthatja meg mozgásállapotát (azaz akkor nemgyorsul), ha a rá ható er®k összege nulla. A test egyensúlyának feltétele tehát a Σi

F i = 0 egyenlet, és ekkora = 0. Vegyük észre, hogy ebb®l természetesen következik az els® törvény: pontosan akkor nincsen gyorsulás, hanincsen er® sem (vagy ezek összege nulla). Ez a legfontosabb mechanikai törvény, minden mechanikai problémaesetén ebb®l kell kiindulnunk.

Fontos ugyanakkor látni, hogy nem inerciarendszerben magától megmozdulhat egy tárgy: gyorsulhat er®nélkül, mert itt nem érvényes ez a Newton-törvény sem. Hogy mégis használhassuk, illetve hogy �megmagya-rázzuk� az er® nélküli gyorsulást, bevezetünk képzeletbeli er®ket, amelyeket �gyelembe lehet venni a ténylegeser®kön kívül. Ezen képzeletbeli er®k a tehetetlenségi er®k, #»a -val gyorsuló rendszerben a nagysága −m #»a . Egyilyen rendszerben, ha más er® nem hat a testre, kívülr®l nézve nem is gyorsul. De belülr®l nézve gyorsul, mivel�kimozog� alóla a koordináta-rendszer. A gyorsulása éppen a rendszer gyorsulásának az ellentéte, tehát −a. Eztpedig csak egy −ma er® okozhatná, ha érvényes lenne a második Newton-törvény. Ezért vezetjük be egy ilyener® létezését. Forgó koordináta-rendszer a középpontja felé gyorsul (centripetális gyorsulás), ezzel ellentétes m ·atehetetlenségi er® jön létre: ez a centrifugális er®. Részletesebben ezt a 4.1. részben tárgyaljuk.

Newton harmadik törvénye a következ®képpen foglalható össze:

Ha egy test er®vel hat egy másikra, akkor a másik ugyanakkora, ellentétes irányú er®vel hat az els®re.

Ez az ellener®, a törvény tehát az er®-ellener® törvényének is nevezhet®. Erre is szinte minden mechanikaiprobléma esetén szükség van. Például az asztalon nyugvó tárgyat a súlyának megfelel® er®vel tartja azt asztal(hogy az át ne szakítsa, át ne essen rajta), így tehát a tárgy is ugyanekkora er®vel nyomja az asztalt. A padlónyomja felfelé a rajta álló embert, az ember pedig lefelé a padlót. A Hold vonzza a Földet, a Föld pedigugyanekkora er®vel vonzza a Holdat. A puska kilövi a golyót nagy er®vel - de a golyó is visszalöki a puskátugyanekkora er®vel, az pedig a lövészt.

3.3. Newton törvényeinek egyszer¶ alkalmazásai

Az els® törvényt például egyenes vonalú egyenletes mozgás esetén alkalmazhatjuk: miután ekkor a = 0, ezértaz így mozgó tárgyra nem hat er®. A második törvény már ennél konkrétabban is alkalmazhatjuk. Eszerintállandó er® esetén egyenes vonalú egyenletesen gyorsuló mozgás jön létre. Miután tapasztalataink szerint aFöldön magukra hagyott (elengedett) testek a = g �nehézségi� gyorsulással zuhannak lefelé, ezért Newtonmásodik törvényéb®l adódóan rájuk F = mg er®nek kell hatnia. Ezt nevezzük nehézségi er®nek.

11

Page 12: pdf formátumban

Kétdimenziós mozgásokban is alkalmazhatjuk a második törvényt: ha#»

F=állandó (mint például egy hajításesetén), akkor #»a =állandó. Ha tehát csak a függ®legesen lefelé mutató mg nehézségi er® hat a testre, akkora gyorsulásvektora is függ®leges, nincs vízszintes komponense: vízszintesen tehát egyenletes mozgást végez azelhajított test. Egy másik példa az egyenletes körmozgásé, itt (ahogy korábban láttuk) |a| = ω2R = |v|2/R, eza centripetális gyorsulás. Ezt Newton második törvénye alapján csak egy er® okozhatja, ez a centripetális er®:

Fcp = mRω2 (39)

Minden körmozgást végz® testre összesen éppen ekkora er®nek kell hatnia, ezért végezhet körmozgást. Hogy mifejti ki az er®t, az már a konkrét példa kérdése, de lehet például a kötél (pörgetett tárgy esetén), a gravitáció(m¶holdak, bolygók mozgása) vagy a biztonsági öv (kanyarodó autó esetén).

3.4. Lendület és tömegközéppont

Newton második és harmadik törvényének fontos következménye, hogy bevezethetjük a lendület fogalmát,illetve beláthatjuk annak megmaradását. Newton egyenlete alapján F = ma, azaz F = mv. Eszerint egy ∆t id®alatt ható átlagos er®

F =∆(mv)

∆t, (40)

azaz az mv mennyiség id®egység alatti megváltozása. Ezt nevezzük el impulzusnak vagy magyarul lendületnek:

p = mv , tehát F =∆p

∆t, innen ∆p = F∆t. (41)

Az impulzus standard mértékegysége kgm/s, egy 36 km/h (10 m/s) sebesség¶, egy tonnás autó impulzusapéldául 10000 kgm/s, míg egy 180 km/h (50 m/s) sebesség¶, 100 g tömeg¶ teniszlabdáé 5 kgm/s.

Newton harmadik törvénye szerint viszont két tárgy kölcsönhatása során F illetve −F er®vel hatnak egy-másra. Ha küls® er®k nincsenek, akkor az impulzusok megváltozása: ∆p1 = F∆t és ∆p2 = −F∆t. Innen azösszimpulzusuk megváltozása ∆p = ∆(p1 + p2) = ∆p1 + ∆p2 = 0. Azaz az összimpulzus változatlan, p1 + p2 =áll. Ez az impulzusmegmaradás törvénye, amely igen nagy jelent®ség¶ törvény a �zikában, minden körülményekközött érvényes marad (még a kvantum�zika és a relativitáselmélet világában is, ahol sok más törvény megkér-d®jelez®dik vagy módosul). Ebb®l adódik, hogy egy falról/földr®l azonos sebességgel rugalmasan visszapattanólabda által átadott impulzus ∆p = 2mv, mivel mv lendületb®l −mv lesz. A labda által kifejtett er®hatás azimpulzusátadás sebességét®l függ, mivel F = ∆p/∆t. Az el®z® bekezdés végén említett teniszlabda tehát 10kgm/s impulzust ad át a Földnek, amely kb. 6 · 1024 kg tömege miatt ekkor 10−24 m/s nagyságrend¶ sebes-séggel kezd ellenkez® irányú mozgásba. Ez persze lényegében elhanyagolható. Ugyanakkor száz év alatt annyiteniszlabdát pattintanak le világszerte, hogy annak akár hatása is lehetne � vagy nem? A következ®kben erre isválaszt kapunk.

Az impulzusmegmaradás tehát azt jelenti, hogy két tömegpont esetén m1v1 +m2v2 = állandó, azaz ugyan-annyi minden pillanatban. Ezt úgy is írhatjuk, hogy m1r1 +m2r2 = állandó, azaz:

m1∆r1

∆t+m2

∆r1

∆t=

∆(m1r1 +m2r2)

∆t= állandó. (42)

Ez tehát azt jelenti, hogy ha bevezetjük a tömegközéppont rtkp = (m1r1 + m2r2)/(m1 + m2) helyét és azm = m1 +m2 össztömeget, akkor:

m∆rtkp

∆t= mvtkp = állandó. (43)

Ez az rtkp hely jelöli ki a rendszer tömegközéppontját, amely háborítatlanul mozog, egyenletes mozgást végez, hanem hat a rendszerre kívülr®l semmilyen er®. Ennek oka az, hogy a rendszeren belül ható, bels® er®k nem tudjákmegváltoztatni a rendszer összesített impulzusát. A fentiekben ezt két tárgyból álló rendszerre vezettük le, determészetesen általánosságban is igaz. Tehát valójában akárhány labdát is pattintunk le a Földön, a Föld és arajta lév® összes tárgy összesített tömegközéppontja akkor sem mozdul el sosem. Egy mozgó labda esetében isfontos ez: benne az atomok és molekulák mozgásban vannak, kölcsönhatnak, de a tömegközéppont úgy mozog,mint ha a labda egy pont lenne. Ezért kezelhetjük a sok pontból álló rendszereket is egy tömegpontként.

4. Látszólagos er®k nem-inercia rendszerekben

4.1. Tehetetlenségi er®k

Ahogy a fentiekben láthattuk, nem inerciarendszerben magától megmozdulhat egy tárgy, azaz gyorsulhater® nélkül, mert itt nem érvényesek a Newton- törvények. Hogy mégis használhassuk ezeket, bevezetünk képze-

12

Page 13: pdf formátumban

letbeli er®ket, amelyeket �gyelembe lehet venni a tényleges er®kön kívül, és ezekkel Newton második törvényehasználható marad (ahogy majd látni fogjuk, a harmadik törvény továbbra is sérül).

Képzeljünk el egy gyorsuló (lassuló) rendszert, például egy fékez® buszt, és ebben egy b®röndöt. A buszlefékez. Ekkor ez kívülr®l nézve háborítatlanul mozog tovább, egyenletes mozgással, mivel nem hat rá er®. Debelülr®l nézve gyorsul, mivel �kimozog� alóla a koordináta-rendszer. A gyorsulása éppen a rendszer gyorsulásánakaz ellentéte, tehát −a. Ezt pedig csak egy −ma er® okozhatja, ha érvényben akarjuk tartani a Newton-törvényt.Ezen képzeletbeli er® a tehetetlenségi er®, a-val gyorsuló rendszerben a nagysága

Ftehetetlenség = −ma. (44)

Ezt illusztrálja az alábbi ábra, ahol a fékez® (hátrafelé gyorsuló) buszból nézve a b®rönd kezd el el®refelégyorsulni, míg kívülr®l nézve a b®rönd egyenletesen mozog, csak a busz �kifékez� alóla:

A tehetetlenségi er® bevezetése megoldja ezt a furcsa problémát: az a gyorsulással hátrafelé gyorsuló buszbanlév® m tömeg¶ tárgyakra −ma er® hat, ez �löki el®re� a b®röndöt. Az utast ezzel az er®vel szemben a biztonságiöv, a súrlódás vagy az el®tte lév® ülés tartja a helyén.

Érdekes példa az úgynevezett súlytalanság esete: ha a Földön vagy a Föld körül keringve valaki lefelé gyorsul ggyorsulással, akkor a gyorsulva zuhanás tehetetlenségi ereje és gravitációs er® kiejtik egymást, így összességébenlátszólag (belülr®l nézve) nem hat er® az ebben a rendszerben meg�gyelt tárgyakra. Ezért �lebeg� az elengedetttoll vagy vízcsepp az ¶rállomáson, holott valójában a Föld középpontja felé zuhan. A körmozgás példáját kicsitjobban kifejtve azt mondhatjuk, hogy minden kering® rendszer a keringés középpontja felé gyorsul a = rω2

centripetális gyorsulással. A fentiek értelmében egy ezzel ellentétes irányú tehetetlenségi er® jelenik meg, ez acentrifugális er®: forgó koordináta-rendszerben kifelé hat, minden, a koordináta-rendszerb®l meg�gyelt testre.Nagysága:

Fcf = mrω2. (45)

Az ¶rállomáson túl jó példa erre a kanyarodó autó, a körhinta, illetve ez préseli a ruhát a centrifuga széléhez.Érdekes továbbá, hogy a Földön ez csökkenti a mérhet® súlyunkat (mg) is, méghozzá rω2/g arányban, ha ω aFöld szögsebességének felszínre mer®leges komponense. A Föld 24 órás periódusidejéb®l

ω =2π

T=

86400s≈ 7 · 10−5s−1. (46)

Ennek felszínre mer®leges komponense sinφ-vel arányos, ha φ a szélességi fok. Budapesten innen az adott tömegmért súlyának csökkenése 0,001%, alig érzékelhet®. Van egy vízszintes komponens is, tehát a függ®leges valójábannem a felszínre mer®leges irány, szintén kb. 0,001% mértékben eltér attól.

4.2. A Coriolis-hatás

A Coriolis-hatás forgó koordináta-rendszerben mozgó testek esetében jelentkezik. Megmagyarázható a Coriolis-er® segítségével, amely a tehetetlenségi er®k közé tartozik. Eredetileg Foucault kísérlete hívta fel rá a �gyelmet:ennek során egy hosszú ingát állítottak fel a párizsi Panteonban, amelynek lengési síkja lassan elforgott, rámu-tatva, hogy a Föld nem lehet inerciarendszer.

A hatás egyszer¶en bemutatható. Tekintsünk egy forgó korongon a középpont irányából kifelé mozgó puska-golyót (az egyszer¶ség kedvéért, de a Földön É-D irányban mozgó tárgy is megfelelne). Kiindulási helyzetébena kerületi sebesség v⊥ = rω. A sugárirányú elmozdulás a sugárirányú v sebesség miatt L = vt, ennyivel vankijjebb a célpont a kiindulási pontnál A célpont helyzetében a talaj kerületi sebessége (r + vt)ω, de a golyóé

13

Page 14: pdf formátumban

változatlanul csak rω, tehát vtω sebességkülönbség van köztük, azaz a célpont �elmozog� a puskagolyó el®l. Akerületi irányú elmozdulás a sebességkülönbség és az id® szorzataként a s = vt2ω formula szerint adódik. Ezt akerületi elmozdulást egy a⊥ kerületi gyorsulással írhatjuk le, és miután ezzel s = a⊥t

2/2 utat tennénk meg, akerületi gyorsulás nagysága a⊥ = 2vω. A fenti levezetés illusztrációjaként lásd az alábbi ábrát:

Ha a sebesség és a szögsebesség irányát is �gyelembe vesszük, mert nem forgó síkunk van (ahol a v sebességmer®leges az ω szögsebességre), akkor a gyorsulás

#»aCoriolis = 2 #»v × #»ω. (47)

ahol az ω szögsebesség-vektor a forgástengely irányába mutat. A Coriolis-gyorsulást tehát az okozza, hogynem vagyunk inerciarendszerben, és a fenti, aCoriolis mérték¶ �ok nélküli� gyorsulás lép fel. Ezért bevezethetjükszokásos tehetetlenségi er®t, amelynek neve ebben az esetben Coriolis-er®:

FCoriolis = 2m #»v × #»ω. (48)

Ez a Coriolis-er®, amely a v sebességre és az ω szögsebességre is mer®leges irányú, tehát észak-déli mozgás eseténa felszínnel párhuzamosan kelet-nyugati irányba mutat, hiszen ez az irány mer®leges mind a forgástengelyre,mind a sebességre. Ez téríti el az észak-déli irányban mozgó tárgyakat, amelyre jó példa a kil®tt puskagolyó,légáramlatok és szélrendszerek mozgása, illetve a Foucault-inga (amelynek lengési síkjára mindig mer®leges afellép® er®, ezért ez a sík elforog).

Ha az egyik sarkon vagyunk (ahol a sebességünk pontosan mer®leges a szögsebesség vektorára), és a megte-end® É-D távolság L, az ilyen irányú sebesség v, ezért t = L/v, azaz s = vt2ω = L2ω/v, a relatív elmozduláspedig s/L = Lω/v. Ennek nagysága határozza meg, hogy szükséges-e a eltérít® hatással egyáltalán foglalkozni:ha s/L� 1, azaz s� L, akkor az eltérítés minimális.

Ha nem éppen az egyik sarkon mozgunk É-D irányban, akkor a szögsebesség és a sebesség nem mer®legesegymásra. A φ szög¶ szélességi körön π−φ szöget zárnak be, így a gyorsulás vagy az er® nagysága a keresztszorzásmiatt | sin(π − φ)| = | sinφ| mértékben változik, azaz ekkor ezek nagysága

FCoriolis = 2mvω| sinφ| illetve aCoriolis = 2vω| sinφ| (49)

A szélességi kör hatását �gyelembe véve végs® soron az eltérülés L távolság v sebességgel való megtétele esetén

s =a

2t2 = vω| sinφ|t2 =

L2ω sinφ

v(50)

a relatív eltérülés pedig

s

L=Lω sinφ

v(51)

Ahogy az el®z® szakaszban említettük, a Föld forgásának szögsebessége ω ≈ 7 · 10−5s−1. Budapesten (ahol aszélességi fok kb 47 fok, azaz sinφ ≈ 0.74) 1 m/s É-D irányú sebesség esetén, 1 m megtételénél kb. 0,05 mm azeltérülés. Egy lefolyó esetében tehát a körkörös lefolyást nem a Coriolis-hatás befolyásolja. Ugyanakkor v = 10m/s sebesség esetén az eltérülés 1 km megtétele után 5 m, 10 km-nél 500 m, 100 km-nél 50 km, azaz itt már aCoriolis-er® a legjelent®sebb hatás! Ekkor a nyomáskülönbség irányába fújó szelet eltéríti a Coriolis-er®, és azizobár vonal mentén fog fújni. Körök alakulnak ki, északon az óra járásával ellentétes, délen megegyez® irányban.Ezt illusztrálja az alábbi ábra:

14

Page 15: pdf formátumban

További érdekes jelenség, hogy a nagy (> 10 km) görbület¶ folyók az északi féltekén a jobb partot er®sebbenmossák.

Szelek esetén a hatás er®sségét jelz® mér®szám a Rossby-szám, ami tulajdonképpen a Coriolis-er® miattirelatív eltérülés inverze, azaz L/s, pontosabban ennek fele:

Ro =v

2Lω sin(φ). (52)

Kis Rossby szám esetén a Coriolis-er® hatása nagy. Tornádóban Ro = 103, alacsony nyomású cellákban 1 körülivagy kisebb lehet (az ilyen dimenzió nélküli számok gyakran hasznosak például áramlások leírása esetén, akülönböz® méretskálájú rendszerek hasonlóságát mutatják).

Amennyiben a mozgás nem észak-déli irányú, úgy az er®nek lesz a felszínre mer®leges (függ®leges) kompo-nense is (hiszen ekkor #»ω és #»v keresztszorzata nem párhuzamos a felszínnel). Ha adott egy vkny kelet-nyugatiirányú sebesség, akkor ez egy részben észak-déli Coriolis-er®t, részben azonban egy függ®leges irányú er®t fogeredményezni. Pontosabban maga az er® 2mvknyω nagyságú lesz, de ennek cosφ része függ®leges lesz (azaz a testsúlyát változtatja meg), sinφ része pedig észak-déli irányú lesz (és eltérít® er®ként m¶ködik). A súlyváltozástEötvös-hatásnak nevezzük. A tárgy eredeti súlyához képest a változás Budapesten, 10 m/s kelet-nyugati irányúsebességnél 0,01% nagyságrendbe esik.

Érdekes az 1915-ös Falklandi csata példája, amely a déli szélesség 50. fokánál van nagyjából. Az angolokcélzóberendezései ebben az id®ben igen nagy távolságra voltak megfelel®ek, akár több 10 km-re lév® célt iseltaláltak. Ez esetben azonban száz méterrel elvétették a célt, a Coriolis-er® miatt � ugyanis az Angliában fellép®hatás itt ugyanakkora, de ellentétes irányú eltérülést eredményez, a korrekciós berendezéseik tehát éppen hogynövelték a céltévesztést!

5. Egyszer¶ dinamikai rendszerek

5.1. Harmonikus oszcillátor, visszacsatolás, rezonancia

A 2.3. szakaszban láttuk, hogy a rezg®mozgás során a helyzet r = A · sin(ωt+ φ) módon függ az id®t®l, ígya gyorsulás a = −Aω2 · sin(ωt+φ), azaz a = −ω2r. Az ezt létrehozó er® F = −mω2r kell, hogy legyen, tehát azegyensúlyi helyzett®l való eltéréssel arányos, és azzal ellentétes irányú. Ezt negatív visszacsatolásnak nevezzük,hiszen az er® az azt �okozó� kitérés ellenében hat. Az ilyen er® a fentiek értelmében rezg®mozgást hoz létre azegyensúlyi helyzet körül, amennyiben a rendszert �kitérítjük�, majd magára hagyjuk. A rendszer ekkor felvettfrekvenciája a �sajátfrekvencia�, amelyen magától oszcillál.

Induljunk ki most abból, hogy egy testre a nyugalmi helyzetéb®l való kitérése esetén F = −Dr er® hat,ami tehát arányos a kitéréssel de azzal ellentétes irányú. Ha �gyelembe vesszük, hogy a gyorsulás a helyzetmásodik deriváltja, és felírjuk Newton második törvényét, akkor a negatívan visszacsatolt rendszer, a harmonikusoszcillátor di�erenciálegyenletét kapjuk meg:

mr(t) = −Dr(t) azaz r(t) = A · sin(ωt+ φ), (53)

ahol ω =√D/m a rendszer saját körfrekvenciája, illetve ebb®l f =

√D/m/2π a sajátfrekvencia. Ennek

egyszer¶ következménye az, hogy minél nagyobb az adott kitéréshez tartozó visszatérít® er® (azaz minél nagyobba D együttható), annál nagyobb lesz a rendszer sajátfrekvenciája. Azonos er®, de nagyobb tömeg¶ test esetébenviszont lassabb lesz a rezgés.

15

Page 16: pdf formátumban

A természetben sokszor fordul el® negatív visszacsatolás (gazdaság, ökológia, kémia, �zika), ezért a fentiekbenleírt harmonikus oszcilláció gyakori. A negatívan visszacsatolt rendszereket önszabályozónak is nevezzük, hiszena rendszerben fellép® er® az egyensúlyi helyzetbe való visszatérést segíti. Ilyen rendszerre példa a rugó, amelyF = −Dr er®t hoz létre. Populációs modelleket is lehet példának hozni: legyen egy faj számára rendelkezésreálló táplálék �x mennyiség¶. Ekkor ha alacsony az egyedszám, akkor könny¶ a táplálékhoz való hozzáférés,magas a szaporulat. Ha viszont magas az egyedszám, akkor épp emiatt alacsony a szaporulat. Ezen egyszer¶modellben az ideális egyedszám körüli harmonikus oszcillációt �gyelhetünk meg4. Hasonlóan a gazdaságban isoszcillációkat �gyelhetünk meg, a ciklusok élénkülés, virágzás, válság és pangás egymásutánjának ismétl®désétjelentik. Mindegyik rendszer közös jellemz®je az egyensúly felé visszatérít® hatás, azaz a negatív visszacsatolás.

A pozitív visszacsatolás annyiban különbözik ett®l, hogy ekkor az er® a kitéréssel azonos irányba hat. Ígyminél nagyobb a kitérés, annál nagyobb az er®, így még nagyobb a kitérés és ezért még nagyobb az er®, ésígy tovább (ez a pozitív visszacsatolás lényege). Ennek di�erenciálegyenlete mr(t) = +Dr(t) és az így m¶köd®rendszerek minden határon túl er®södnének, mert az egyenlet megoldása exponenciális függvény, r(t) = Aeωt,ahol ω2 = D/m. Egy id® után a rendszer �zikai korlátai gátolják a további er®södést. Pozitívan visszacsatoltrendszer például egy ritka, de sikeres faj egyedszámának változása: minél többen vannak, annál több utódotnemzenek, ezért kezdetben akár exponenciálisan n®het a számuk. Ugyanígy, egy vállalat bevételei is exponen-ciálisan n®hetnek, amennyiben piaci vákuumban jelenik meg a vállalat: a hasznot visszaforgatva n® a termelés,ami a hasznot tovább növeli. Mindkét esetben egy id® után egyfajta telít®dés indul be, és megsz¶nik a pozitívvisszacsatolás.

A valóságban mindkét fenti rendszernél fontosabbak a csillapított rezgések. Ez akkor következik be, ha amozgást valamilyen közegellenállás típusú csillapító er® gátolja, ami a sebességgel arányos. Az egyenlet ekkor

mr(t) = −kr(t)−Dr(t), (54)

és ennek megoldása egyre csökken® amplitúdójú oszcilláció, ahogy azt a hétköznapi rezgések során láthatjuk.

A di�erenciál egyenlet megoldása alapján a rezgés amplitúdója a z = k/2√mD csillapítási hányadostól függ®en

módon csökken az id®ben. Mindez azonban csak z < 1 esetén igaz, ugyanis z ≥ 1, akkor a rendszer oszcillációnélkül visszatér a kezdeti helyzetébe, z = 1 esetén a leggyorsabban. A z hányados lényegében a tárolt energiarezgési ciklusonként elvesztett részét adja meg.

Kényszerrezgés esetén egy ω körfrekvenciájú periodikus rezget® er® hozza létre az oszcillációt. Ekkor arendszer di�erenciálegyenlete

mr(t) = −kr(t)−Dr(t) + F0 sin(ωt), (55)

Ennek megoldása bonyolult, itt most nem írjuk fel. Azt azonban fontos tudni, hogy adott F0 amplitúdójú rez-getés hatására egy id® után beáll valamekkora amplitúdóval egy oszcilláció. Hogy mekkora maximális rezgésiamplitúdó jöhet létre, az a csillapítástól és a rezget® er® ω frekvenciájától függ. A rezget® er®höz képest az amp-litúdó jelent®sen feler®södhet, különösen akkor, ha a rezgetés frekvenciája közel van a rendszer ω0 =

√D/m

sajátfrekvenciájához: ez a rezonancia jelensége. Ezt úgy érthetjük meg, ha a hinta példájára gondolunk: hamindig a jó pillanatban lökjük meg, akkor mindig gyorsítunk rajta kicsit, ezért a rezgés amplitúdója nagyonnagyra n®het, kis �löködés� hatására is. Gondolhatunk egy jó ütemmel rázott fára is: ha a fa saját �lengésé-nek� frekvenciáját eltaláljuk, igen nagy kilengésre kényszeríthetjük. Az er®sítés az 1/

√(2zω0)2 + (1− ω2/ω2

0)2

alak szerint írható fel, ahol z = k/2√mD továbbra is a csillapítási hányados, ω0 =

√D/m pedig a rendszer

sajátfrekvenciája. Alább láthatjuk az er®sítés csillapítás- és frekvenciafüggését.

4Ez csak személtetése a problémának; valójában használatos, értelmes modell például a Lotka�Volterra-egyenletek által felállítottrendszer, amely ragadozó és zsákmány populációdinamikájának kölcsönhatását írja le

16

Page 17: pdf formátumban

Az er®sítés n®, ahogy ω közeledik ω0 értékéhez (hiszen ekkor a gyök alatti kifejezés egyre kisebb), azaz egyreinkább eltaláljuk a rendszer sajátfrekvenciáját. 5 Nagyon kis csillapítás esetén ekkor extrém nagy er®sítés léphetfel, azaz a rendszer eléri a �zikai korlátait (összed®l, eltörik, stb.). Ez a rezonanciakatasztrófa jelensége.

5.2. Közegellenállás

A csillapító er®k egyik jó példája a közegellenállás, amely bizonyos körülmények között sebességgel arányos,azzal ellentétes irányú er®t hoz létre:6 F ∼ −v. Ha a közegellenállási együttható α, akkor az er®

F = −αv. (56)

A légkörben való zuhanás során a sebesség egyre n®, emiatt viszont a légellenállás is egyre n®. Ha a légellenálláséppen megegyezik a gravitációs er®vel, kiejtik egymást. Ekkor tehát a testre ható er®k összege nulla, azazegyenletes mozgás jön létre. Ennek feltétele tehát F = mg−αv = 0, innen a zuhanás határsebessége vmax = mg

α .Az es®cseppek ezen jelenség miatt nem ütnek lyukat az eserny®kbe: az s = at2/2 és v = at összefüggésekb®legyenletes gyorsulás esetén v =

√2sa sebességet érnének el. Ezért 1000 m magasságból 10 m/s2 gyorsulással

zuhanva kb. 140 m/s, azaz kb. 500 km/h sebességük lenne. Ehelyett sokkal korábban beáll egy egyenletessebességük, és azzal érnek földet.

Nagy sebességeknél7 azonban F ∼ v2 típusú er® lép fel, pontosabban ekkor a közegellenállás

F = 0.5ρcAv2 (57)

nagyságú, ahol c az alakra jellemz® tényez®, A a tárgy sebességre mer®leges felülete (keresztmetszete), ρ a közegs¶r¶sége. Az alaktényez® 0.1−1.0 körüli szám (�áramvonalas� testre 0.05 is lehet, autók esetén 0.3 körüli, kockára1.05). Autókra a cA szorzat 0.5− 1 m2 körüli értéket vesz fel, tehát a v2 el®tti tényez®k szorzata 0.3− 0.6 kg/mnagyságrendben van, azaz a közegellenállási er® összességében 10 m/s (36 km/h) sebességnél 30− 60 N, míg 30m/s (108 km/h) esetén 270− 540 N, és 50 m/s (180 km/h) esetén 750− 1500 N. Ekkora er®t kell tehát kifejteniaz autónak, ha egyenletes sebességgel akar haladni.

5.3. Kényszerer®k és súrlódás

A felületek között fellép® nyomóer® úgynevezett kényszerer®, éppen akkora értéket vesz fel, hogy megaka-dályozza az egyik felület (test) �beszakadását� a felületbe. Síklapra helyezett m tömeg¶ tárgy esetén Fny = mgnagyságú nyomóer® lép fel. Van többnyire egy maximális lehetséges értéke, amely felett mégis beszakad a felület.Ez a maximális érték azonban függhet a felület nagyságától is (ezért nem süllyed be a hóba a nagy felület¶síléc, míg a kis felület¶ láb igen; lásd még a szög és a fal viszonyát)8. Hasonló kényszerer® a kötél- és a tar-tóer®, amelynek maximális értéke az adott anyag szakítószilárdságától függ (ld. még a rugalmasságról szólószakaszban).

A tapadás is egy kényszerer®, értéke éppen akkora, hogy a test a felülethez tapadjon, azaz ne csússzon meg.Van ugyanakkor egy maximális lehetséges értéke, ez az Fny nyomóer®vel arányos, az arányossági tényez® pediga µ0 a tapadási együttható. Az alábbi állítás igaz tehát a tapadási er®re:

Ft < µ0Fny (58)

5Az er®sítés valójában akkor a legnagyobb, ha a rendszer éppen az ωr = ω0

√1− 2z2 rezonanciafrekvencia értékét veszi fel,

amely kis csillapítás esetén megegyezik a rendszer sajátfrekvenciájával.6Alacsony sebességek esetén, ha a test körüli áramlás lamináris, nem turbulens. Majd látni fogjuk, hogy a közegellenállási er®t

a Stokes-törvény adja meg ilyen esetekben.7Ekkor az áramlás turbulenssé válik, és a kés®bb tárgyalt Bernoulli-törvény alapján lehet kiszámítani az er®t.8Valójában a nyomástól függ, és adott súlyt tartó felület esetén a nyomás a súlyer® osztva a felülettel.

17

Page 18: pdf formátumban

A tapadási együttható értéke az érintkez® anyagokra jellemz® állandó. Gumi és aszfalt között 0,8, míg vas-vasviszonylatban 0,1 a tapadási együttható. Ez utóbbi �hajtja� a vonatot, míg az el®bbi az autót: a kerék hátraforogna el, a tapadás ezt meggátolja, ami végeredményben egy el®refelé mutató er®.

Egy φ szög¶ lejt®n megcsúszás akkor következik be, ha a tapadási er® nem tud elég nagy lenni ahhoz, hogyellentartson a gravitáció lejt®vel párhuzamos komponensének, azaz ha Ft,max < mg sinφ. Mivel azonban

Ft,max = µ0FN = µ0mg cosφ ezért a megcsúszás feltételeµ0mg cosφ < mg sinφ , azaz µ0 < tanφ. (59)

Ebb®l φ ismeretében µ0 mérhet®, ahogy az órán ezt meg is tettük.

A tárgyak felületei között mozgás esetén egy másik típusú er® lép fel, a (csúszási) súrlódás. Ez egy, anyomóer®höz kapcsolódó csillapító jelleg¶ er®, amely azonban nem függ a sebesség nagyságától, csak az irányától:azzal ellentétes irányba mutat. Ez az er® a súrlódó felületek közötti Fny nyomóer®t®l függ, azzal arányos. Azarányossági tényez® µ, a súrlódási együttható, és ezzel az er® így írható fel:

Fs = µFny. (60)

Néhány példa csúszási súrlódási együtthatóra: fa-fa: 0,5, acél-acél: 0,1, acél-jég: 0,01. A súrlódási és a tapadásiegyüttható többnyire µ0 > µ módon viszonyul egymáshoz, az érintkez® anyagokra jellemz® állandó mindkett®.

Nézzünk meg egy konkrét példát: a súrlódási er® hatását egy test φ meredekség¶ lejt®n való csúszása esetén.Ekkor az els® feladatunk rajz készítése és az er®k felírása. A megoldás kulcsa az er®k felbontása egy lejt®velpárhuzamos illetve arra mer®leges komponensre. A lejt®re mer®leges irányban nincs mozgás (hiszen ekkor �fel-szállna� vagy �beszakadna� a test), de a lejt®vel párhuzamosan igen! Ebb®l adódóan a mer®leges er®k ered®jenulla kell, hogy legyen, míg a párhuzamos er®k ered®je nem � éppen erre vagyunk kíváncsiak. Bontsuk tehát felaz er®ket erre a két komponensre. A nyomóer® csak a lejt®re mer®leges irányban hat. A súrlódás csak a lejt®velpárhuzamos irányban hat. A gravitáció viszont mindkét irányban hat, tehát ezt tényleg két komponensre kellbontani:

Fg,⊥ = mg cosφ és Fg,‖ = mg sinφ (61)

A nyomóer® mer®leges a lejt®re, tehát a gravitációs er® megfelel® komponensével ki kell egyenlíteniük egymást(mivel ebben az irányban nincs gyorsulás). Ebb®l adódóan

ΣF⊥ = Fg,⊥ + Fny = 0 , azaz Fny = mg cosφ (62)

Ebb®l meghatározgató a súrlódási er®:

Fs = µFny = µmg cosφ. (63)

Ez az er® a lejt®vel párhuzamos, lassítja a test mozgását. A gravitáció lejt®vel párhuzamos komponense (Fg,‖)pedig gyorsítja a testet, a súrlódási er® ellenében. Ezért tehát a lejt®vel párhuzamos er®k ered®je, az irányokatis �gyelembe véve:

ΣF‖ = Fs + Fg,‖ = µmg cosφ−mg sinφ (64)

A test lefelé gyorsul, ha ΣF‖ > 0, lassul, ha ΣF‖ < 0, és egyenletesen csúszik, ha ΣF‖ = 0. Az egyenletes csúszásfeltétele innen µ cosφ = sinφ, azaz µ = tanφ. Ha ennél meredekebb a lejt®, a test gyorsulva csúszik, ha kevésbémeredek a lejt®, akkor pedig lassulva. A fentieket illusztrálja az alábbi ábra:

6. Gravitáció

6.1. Meg�gyelések

A �zika alapélménye a csillagok mozgása, az �égi mechanika�. Már az ókorban meg�gyelték, hogy a csillagokegyütt mozognak, 24 órás ciklusban, de vannak máshogy mozgó égitestek, amelyek vándorolnak az égbolton:

18

Page 19: pdf formátumban

ezek a bolygók (a görög πλανητηζ, azaz planetes szó jelentése vándorló). A görögök korában alakultak ki azels® �világképek�, azaz modellek a Föld, a Nap, a bolygók és a csillagok törvényeir®l. Arisztotelész (i.e. IV.század) szerint a Föld van a mindenség középpontjában, és körülötte szférákban rendez®dnek el az égitestek.Ptolemaiosz (I-II. századi alexandriai tudós) Almageszt cím¶ m¶ve számít az els® csillagászati könyvnek. Ezegyben az egyik legnagyobb hatású tudományos könyv, Európában a kora reneszánsz korig (12 évszázadon át)meghatározó jelent®ség¶. Ez is Arisztotelész szféráiból indul ki, de a korábbinál sokkal részletesebben írja le abolygók és a csillagok mozgását (nagyrészt Hipparkhosz felfedezéseire alapozva). Kitér a Nap égi pályájára, anapéjegyenl®ségek váltakozására, a Hold és az ismert bolygók pályájának részleteire, és katalogizál 1022 csillagot.

A csillagászat következ® forradalmi újítója Kopernikusz volt a XV-XVI. században. Könyvében, melynekcíme �Az égi szférák körforgásairól� (De revolutionibus orbium coelestium), heliocentrikus világképet vázolfel, amelyben a Föld egy a bolygók közül, velük szomszédos szférán mozog. Megválaszolja azt a kérdést is,hogy miért hihették korábban a Föld központi elhelyezkedését. Táblázatokat közöl, amelyek alapján a bolygók(®szerinte még vándorló csillagok) pillanatnyi helyzetét meghatározhatjuk. Filozó�ai okokból ragaszkodott ahhozaz elképzeléshez, hogy az égitestek pályája tökéletes kör.

Ugyabben a korban élt Tycho Brahe is, aki szintén hozzájárult a reneszánsz kor tudományos forradalmá-hoz. Egy 1577-ben felt¶nt üstökös pályáját meg�gyelve és mozgását el®rejelezve több tudományos dogmát ismegdöntött. �Az éteri világ új jelenségeir®l� (De mundi aetherei recentioribus phaenomenis) cím¶ könyvébenKopernikuszhoz hasonló nézeteket vall. Elfogadja a Nap körüli forgást, de a Földet mozdulatlan, abszolút kö-zéppontnak gondolja, arra alapozva �lozó�áját, hogy a tárgyak a Föld és nem a Nap felé esnek. Az ® segédje éstanítványa volt Kepler, akit azonban köznépi származása miatt lenézett.

Kepler 1571-1630 között élt, kiváló matematikai érzékkel megáldott tudós volt. Az �Új csillagászat� és �A vi-lág harmóniája� cím¶ könyveiben alapvet® fontosságú meg�gyeléseket tett a bolygók mozgásával kapcsolatban:ezeket nevezzük ma Kepler-törvényeknek. Igen nagy jelent®ség¶ �Optika� cím¶ könyve is, amellyel lényegében a�zika egy új ágát teremtette meg. Élete végén adta ki a Rudolf-féle táblázatokat, amelyben az addigi legponto-sabb bolygópálya-leírásokat adta meg. Newton kés®bb ezekre is támaszkodva alkotta meg gravitációs törvényét.

Ezen jegyzet nem lehet teljes anélkül, hogy megadjuk a Naprendszer bolygóinak legfontosabb adatait:

Bolygó Holdak Átl. pályasugár Év hossa Átmér® Nap hossza Gravitációszáma [109 m] [földi év] [106 m] [földi nap] [földi g]

Merkúr 0 57,9 0,24 4,878 58 0,37Vénusz 0 108,2 0,62 12,104 243 0,88Föld 1 149,6 1 12,756 1 1Mars 2 227,9 1,88 6,794 1,0 0,38Jupiter 16 778,3 11,9 142,984 0,4 2,64

Szaturnusz 18 1427 29,5 120,536 0,4 1,15Uránusz 15 2870 84,0 51,118 0,7 0,93Neptunusz 8 4497 165 50,530 0,7 1,22

Plútó 1 5913 249 2,290 6,3 0,06Nap - - - 1392,684 25 27,9Hold - 0,384 29,5 3,475 27,3 0,16

Fontos megemlíteni, hogy a Plútó 2006 óta nem számít bolygónak, néhány más Kuiper-övi9 objektummalegyütt (például a 2006-ban felfedezett, a Plútó �defenesztrációját� okozó, nála 27%-kal nehezebb Eris) a törbe-bolygók közé sorolják. A Mars és Jupiter között a kisbolygóövben további rengeteg (>1600) objektum kering,amelyek közül a legnagyobb a Ceres.

6.2. Kepler törvényei

Az alábbiakban áttekintjük Kepler három csillagászati törvényét, illetve azok newtoni mechanika szerintikövetkezményeit. Ez azért is érdekes, mert maga Newton is ehhez hasonló gondolatmenet alapján jött rá tö-megvonzási törvényére.

Kepler els® törvénye az állítja, hogy

a bolygók ellipszispályán mozognak, amelynek egyik gyújtópontjában a Nap található.

Az ellipszisnek két gyújtópontja van, és magát az ellipszist azon pontok alkotják, amelyekt®l a két gyújtóponttávolságának összege �x. Az ellipszisnek két tengelye van, amelyek hossza a és b. A bolygó a nagyobbik tengelymentén elhelyezkedve van a legközelebb illetve a legtávolabb is a Naptól. A legkisebb lehetséges távolság neve

9A Naprendszer Neptunusz pályáján túli része, a Föld pályájának 30-50-szeresének megfelel® távolságban.

19

Page 20: pdf formátumban

perihelion (rp), a legnagyobbé aphelion, (ra). Az ellipszis tengelyei és a legkisebb/legnagyobb távolság közöttiösszefüggés a = (ra + rp)/2 és b =

√rarp.

Ezeken túl de�niálhatjuk még a pálya excentricitását is:

ε =

√a2 − b2a

=ra − rpra + rp

. (65)

Az excentricitás a Föld esetén ε = 0.0167, mivel rp = 147, 1 millió km, ra = 152, 1 millió km. A Plútó pályájáraugyanez ε = 0.249, mivel rp = 4437 millió km, ra = 7376 millió km. Ezek az értékek százezer éves id®skálánváltozékonyak, a Földé néhány század és néhány tized között is � de ez a soktestprobléma analitikus kezelhe-tetlensége miatt bizonytalan. Jelenleg a Föld pályája jó közelítéssel kör alakú, amit az alacsony excentricitásilletve ra és rp közelsége is mutat.

Kepler második törvénye szerint

a Nap-bolygó sugár egyenl® id®k alatt egyenl® területeket súrol:

Ahogy a fenti illusztráción is látható, a t id® alatt súrolt (közelít®leg körív alakú) ív területe az aktuális sugárés az ezen id® alatt megtett ívhossz szorzatának a fele, azaz A ∼ Rs = R2φ. Miután ezen terület id®egységrevetítve állandó, azt mondhatjuk, hogy ∆A/∆t = állandó, azaz A = állandó. Ebb®l

R2φ = R2ω = Rv = állandó (66)

következik (R, v és ω id®ben változik az ellipszispályán való haladás során, de a fenti kifejezés végig állandó).Kés®bb látjuk, ez (a bolygó tömegével szorozva) éppen a perdületnek felel meg, tehát a törvény azt fejezi ki,hogy a perdület állandó. Ez pedig azt jelenti, hogy az er® �centrális�, egy állandó középpont irányában hat.

Kepler harmadik törvénye szerint

a keringési id® négyzete osztva a nagytengely köbével minden bolygóra ugyanannyi,

azaz a3/T 2 minden bolygóra ugyanannyi. Ha R sugarú kör alakúnak gondoljuk a bolygók pályáit, a keringésiid®t pedig T = 2π/ω módon kifejezzük a szögsebességb®l, akkor az R3/T 2 = C (állandó) megállapításbólR3ω2 = 4Cπ2 következik. Ugyanakkor a körmozgáshoz szükséges er® ismert, ez a centripetális er®, nagyságaF = mRω2. Ezt az el®z® kifejezéssel kombinálva a következ®t kapjuk:

F = mRω2 =C ′m

R2(67)

ha bevezetjük az új C ′ = 4Cπ2 állandót. Kepler harmadik törvényéb®l tehát az következik, hogy a bolygókatkörpályán tartó er® a távolsággal inverz négyzetesen, illetve a bolygó tömegével egyenesen arányos. Ebb®ltulajdonképpen már összerakhatjuk a tömegvonzás Newton-féle törvényét. A Nap bolygókra ható ereje arányosa bolygó tömegével, ezért viszont bolygó Napra ható ereje (ami ugyanennyi Newton harmadik törvénye miatt)a Nap tömegével arányos. Végeredményben tehát az er® mindkét tömeggel arányos, a távolsággal pedig inverznégyzetesen arányos.

20

Page 21: pdf formátumban

6.3. Newton gravitációs törvénye

Newton szerint a bolygók mozgását a tömegvonzás törvénye irányítja, ahogy a tárgyak Föld felé zuhanásátis: forradalmi a felismerés, hogy a két nagyon különböz® jelenséget ugyanaz egy, egyszer¶en megfogalmazhatóer® irányítja! Eszerint minden tömeggel rendelkez® test vonzó hatással van az összes többire, az er® nagysága:

Fgrav = γm1m2

r2, (68)

az er® iránya pedig r-rel párhuzamos (azaz a két tárgyat összeköt® irányban hat), vonzó típusú. A formulábanszerepel a gravitációs állandó, melynek értéke γ = 6, 67259×10−11Nm2/kg2. Ez a törvény alapértelmezés szerintpontszer¶ objektumokra (tömegpontokra) vonatkozik. A Nap-Föld rendszer esetében ez elég jó közelítés lehet,hiszen 150 millió kilométerr®l a kb. 1,4 millió km átmér®j¶ Nap elég kicsinek látszik. A Holdról nézve a Föld 400ezer kilométerre van, átmér®je kb. 13 ezer km, ez már rosszabb közelítésnek t¶nik. Hogyan alkalmazhatjuk teháta fenti törvényt kiterjedt objektumok esetében? A kérdésre egyszer¶ a válasz: bontsuk a kiterjedt objektumokatkis részekre, és ezek tömegvonzását egyesével adjuk össze. A felbontás javulásával, a kis részek térfogatánaknullához tartásával (azaz térfogati integrálással) megkapjuk az er® valódi értékét. Az az érdekes helyzet áll fenn,hogy gömb alakú tárgyak rajtuk kívül található objektumokra ható vonzereje éppen akkora, mintha a teljestömegük a középpontjukban lenne jelen � a közelebbi és a távolabbi részek ereje éppen így átlagolódik ki. Gömbalakú tárgyak esetében a középpontok távolságát �gyelembe véve használhatjuk tehát a fenti törvényt. Égitestekesetében az így történ® számolás ezért nem jelent pontatlanságot.10

Hogyan vethet® mindez össze a nehézségi gyorsulással? A Földön ugyanis az a tapasztalat, hogy m tömeg¶tárgyra F = mg er® hat, ahol g = 9, 81 m/s2. Természetesen mindkét törvény egyszerre érvényes, amib®l

mg = γmMFöld

R2Föld

(69)

következik, mivel a felszín közelében a tárgy a Föld gravitációs középpontjától RFöld távolságra van (és azértszámolhatunk így, mert a Föld jó közelítéssel gömb alakú). Ebb®l a Föld adataira a következ® adódik:

g = γMFöld

R2Föld

, (70)

azaz ha RFöld = 6373 km, akkor MFöld = 5, 98× 1024 kg.

Azt már láttuk, hogy Kepler törvényei hogyan inspirálhatnak minket a Newton-féle tömegvonzási törvényfelismerésére, illetve hogy a második és a harmadik Kepler-törvény tulajdonképpen egyenérték¶ Newton fentiegyenletével. Ugyanakkor a pálya ellipszis formája is levezethet®, ha tudjuk, hogy az er®tér centrális. Ekkorugyanis egyszer¶en felírhatjuk a központ felé történ® gyorsulást, �gyelembe véve, hogy nem körmozgásról vanszó, tehát az r sugár is változhat. Ez a gyorsulás két részb®l tev®dik össze: egyrészt a sugár r gyorsulásából,másrészt az rω2 centripetális gyorsulásból. Innen a középpont felé mutató er®re Newton törvényéb®l

F = m(r − rω2) = m(r − rφ2) = γmM

r2(71)

adódik. Vezessük be az u = 1/r változót, és az r(t) és φ(t) függvének helyett térjünk át az u(φ) függvényre. Alevezetés matematikáját nem részletezve ebb®l egy

u′′(φ) + u(φ) = állandó (72)

di�erenciálegyenlet adódik. Ennek megoldása u(φ) ∼ 1 + e cosφ, ahonnan viszont

r · (1 + e cosφ) = állandó (73)

adódik. Ez 0 < e < 1 esetén éppen az e excentricitású ellipszis egyenlete. Az e = 0 határesetben kör alakúpályát kapunk, míg e = 1 esetén parabolát, továbbá e > 1 esetén hiperbolát. A Nap (vagy bolygó-rakétaviszonylatot vizsgálva a bolygó) vonzását elhagyó tárgy esetén a pálya parabola vagy hiperbola alakú lesz,illetve a Naprendszeren átszáguldó üstökösök pályája is ilyen.

Különösen érdekes tény, hogy a newtoni gravitációs törvényben szerepl® tömeg megegyezik a tehetetlentömeggel, annak ellenére, hogy a tehetetlenségnek és a tömegvonzásnak látszólag semmi köze egymáshoz. Ez afelismerés, amelyet Eötvös Loránd igazolt igen nagy kísérleti pontossággal, kés®bb az általános relativitáselmélet,a gravitáció új elméletének alapjául szolgált. Ezt pedig azért kellett bevezetni, mert a newtoni gravitációval vanegy jelent®s probléma: azonnali, közvetít® nélküli hatást ír le, azaz azonnal terjed® információt (például ha aNap elmozdulna vagy megsz¶nne létezni, azt a gravitáción keresztül mi azonnal éreznénk). Ez viszont lehetetlen,semmilyen információ nem terjedhet a fénynél gyorsabban Einstein szerint. A problémára megoldásként azáltalános relativitáselmélet adódott. Ennek jelent®ségét és részleteit lásd a következ® félév végén.

10Csak amennyire ezek nem pontosan gömb alakúak, de ez már tényleg elhanyagolható a legtöbb esetben.

21

Page 22: pdf formátumban

7. Munkavégzés és energia

7.1. A munka fogalma és a teljesítmény

A most következ® részekben néhány fontos új �zikai mennyiséget de�niálunk (jelen jegyzetben az er® és atömeg óta ezek az els® új de�nícióink). Ezek közül az els® a munkavégzés, ahol a de�níciót fokozatosan fogjuk�nomítani. Állandó F er® hatására ezzel párhuzamos szakasz mentén történ® s elmozdulás esetén azt mondjuk,hogy az er® W = Fs munkát végzett. A munka mértékegysége ennek megfelel®en Nm, vagy másképpen Joule.Ha az er® és az elmozdulás nem párhuzamos (de továbbra is állandó illetve egyenes mentén történik), hanemα szöget zár be, akkor a munkavégzés W = Fs cosα, illetve vektorként tekintve az er®re és az elmozdulásraskaláris szorzatukat írhatjuk fel:

W =#»

F #»s . (74)

A munka tehát az elmozdulás során ható er® és az er® irányába végzett elmozdulás szorzata (hiszen mer®legesvektorok skaláris szorzata nulla).11 A fenti de�níció azonban csak akkor alkalmazható, ha az #»s elmozdulássorán

F végig állandó. Egyéb esetre hogyan általánosíthatjuk ezt? A �zikában gyakran el®forduló, szokásosmódon járunk el: felbontjuk a mozgást in�nitezimálisan kicsi d #»x darabokra, ahol már az er® állandó, azaz az ittvégzett munka dW (x) =

F (x)d #»x módon számolható. Ezeket a dW in�nitezimális munkákat összeadjuk, azazintegráljuk az er®t ezeken a szakaszokon. Ebb®l tehát az s hosszúságú szakaszon a munkavégzés

W =

∫ s

0

F (x)d #»x . (75)

Ha az út helyett az id®re szeretnénk integrálni, x→ t változóhelyettesítést hajthatunk végre, ekkor d #»x = #»v (t)dt,amit visszahelyettestíve a W =

∫ T0F (t)v(t)dt összefüggésre jutunk. a dt id®egység alatti in�nitezimális munka

dW =#»

F (t) #»v (t)dt.

Ez által inspirálva bevezethetjük a munkavégzés �sebességét�, azaz az id®egységre jutó munkát, másképpenszólva a teljesítményt:

P =∆W

∆t, másképpen P = W =

dW

dt. (76)

Ennek mértékegysége J/s vagy Watt. Így 1 J = 1 Ws, illetve 1 kWh = 3600 kJ, mivel 1 h = 3600 s és 1 kW= 1000 W; a kWh tehát energia-mértékegység. Teljesítmény-mértékegység viszont a lóer®, méghozzá 1 LE =735,5 W (ez másképpen 75 kg egy másodperc alatt egy méterre emeléséhez szükséges teljesítmény). Az eddigiekalapján könnyen belátható, hogy P = dW

dt = F dsdt = Fv12. Ahogy az 5.2. részben írtuk, egy egyenletesen haladó

autónak az F = 0.5ρcAv2 nagyságú közegellenállási er®t kell legy®znie, amely egy átlagos autóra (cA = 0.8 m2

esetén) F = (0.4 kg/m)v2 nagyságú . A leadott teljesítmény tehát P = (0.42 kg/m)v3, ami 30 m/s 11,3 kW(15 LE), míg 50 m/s esetén 52,5 kW (70 LE). Ezen felül persze további ellenállást is le kell gy®znie az autónak(gördülési ellenállás, az alkatrészek súrlódása, emelked®n a gravitáció, stb). Ugyanakkor csak ez alapján egymaximum 70 LE teljesítményt leadni képes motor segítségével 50 m/s a fenti légellenállású autó végsebessége.Fontos még megemlíteni, hogy az emberiség által egy év alatt felhasznált energia átlagosan kb. 500 EJ (1 EJ=1018 J) avagy kb. 150 000 TWh. Ez teljesítményre lefordítva kb. 15 TW, azaz fejenként valamivel több mint2 kW. Ennek nagyjából az egy hetede (kb. 20 000 TWh) elektromos energia formájában jelenik meg, a többiközvetlenül (elektromos energiát el®állító er®m¶vek közbeiktatása nélkül) f¶tésre, közlekedésre és egyéb ipari,lakossági célokra felhasznált energia.

7.2. A mozgási és a gravitációs helyzeti energia

Vizsgáljuk meg, hogy egyes konkrét példák esetén mekkora a munkavégzés. Például mekkora munkát végzünk,ha egy tárgyat v sebességre gyorsítunk? Legyen tehát F egy állandó er®hatás, amelyek hatására a = F/mgyorsulás jön létre (Newton második törvénye szerint). Ha a kezd®sebesség nulla, akkor a végsebesség (t id®eltelte után) v = at lesz. Az elmozdulás ugyanezen id® alatt s = at2/2, vagyis s = vt/2. Ha az er® F = ma =mv/t módon írjuk fel, akkor a munkára

W = Fs =mv

t· vt

2=

1

2mv2 (77)

11Sokszor ugyanakkor elhagyjuk az er® és az elmozdulás vektor jellegét, és egyszer¶en az elmozdulás irányába ható er®komponenstértjük F alatt: ekkor továbbra is W = Fs igaz.

12Itt a korábbiakban említetteknek megfelel®en a vektor jelölést elhagytuk, és F alatt az elmozdulás irányában ható er®regondolunk.

22

Page 23: pdf formátumban

adódik, tehát ennyi munkát végzünk, ha egy testet nulláról v sebességre gyorsítunk 13 Ugyanakkor ez fordítvais igaz: ha egy v sebességgel mozgó tárgy megáll, akkor ennek során ugyanekkora munkát végez (meglök egymásik tárgyat vagy súrlódásával felmelegíti a felületét). Ez a munkamennyiség valamilyen értelemben tehát�eltárolódik� a v sebességgel mozgó tárgyban, annak pillanatnyilag érvényes jellemz®je lesz. Ezért de�niáljuk av sebességgel mozgó tárgy mozgási avagy kinetikus energiáját, amely tulajdonképpen a munkavégz® képességétjelenti:

Ekin =1

2mv2. (78)

Ezzel tehát a munka és a kinetikus energia kapcsolata W = ∆Ekin lesz, tehát a tárgyon végzett munka amozgási energia megváltozását okozza, azzal egyenérték¶. Ez az er®k ered®je által végzett munkára igaz, tehátközegellenállás, súrlódás jelenléte esetén a nem a teljes húzóer® növeli a mozgási energiát. Ezen egyenletben∆ azt jelképezi, hogy ha volt kezdeti sebesség is, akkor a munka a végállapotbeli és a kezdeti mozgási energiakülönbségével egyezik meg, azazW = Ekin,1 − Ekin,2.

Nézzük meg, hogy mekkora munkát végzünk, ha egy tárgyat adott magasságba emelünk (illetve mekkoramunkát végez a gravitáció, ha a tárgy az adott magasságból lezuhan). Az emeléshez szükséges er® F = mg,azaz állandó. Az er® irányú elmozdulás éppen a zuhanás vagy emelés során leküzdött magassággal, h-val azonos,tehát

W = Fs = mgh. (79)

Ekkora munka szükséges a tárgy h magasságba emeléséhez, illetve a gravitáció ekkora munkát végez a tárgylezuhanása során. Ez is a h magasságban lév® tárgy állapotának jellemz®je lesz, valamilyen módon ezt a munkát�elraktározza� (és amikor zuhan, a gravitációs er® által visszakapja). Így bevezetjük a gravitációs helyzeti avagypotenciális energiát, amely h magasságban lév® m tömeg¶ tárgyra

Epot = mgh (80)

Ekkor a mozgási energiánál említettekhez hasonlóan a tárgyon végzett munka és a gravitációs helyzeti energiájaa W = ∆Epot = Epot,1 − Epot,2 egyenlet szerint kapcsolódik egymáshoz.

Feltehetjük azt a kérdést is, hogy a nyugalmi helyzetéb®l kitérített rugón mekkora munkát végeztünk, azazmekkora ennek potenciális energiája. Ekkor az adott helyzetbe mozgatás során nem állandó, hanem F = Dx,ahonnan W =

∫F (x)dx =

∫Dxdx. Ezt az integrált egyszer¶en elvégezhetjük, és arra jutunk, hogy az x

távolságra megnyújtott rugó általa tárolt potenciális energia nagysága Epot = Dx2/2.

7.3. Konzervatív er®k

A gravitációs er® vagy a rugóer® által végzett munka esetén azt láttuk, hogy az csak a kiindulási és avégs® helyzett®l függ, az útvonaltól nem: azaz ugyanannyi munkát végzünk, akárhogy is emeljük fel a tárgyath magasságba. Az ilyen er®t, amelynek munkája nem függ az útvonaltól (csak a kezdeti és a végs® helyzett®)konzervatív er®nek nevezzük. Súrlódás fellépése esetén ez nem igaz, hiszen a súrlódási er® a megtett útvonaltólfügg, nem csak a kezdeti és a végállapotbeli helyzett®l: minél hosszabb úton jutunk el ugyanoda, annál nagyobbmunkát fordítunk a súrlódás legy®zésére. A súrlódás tehát nem konzervatív er®, míg a rugóer® és a gravitációigen. Konzervatív er®knél van értelme (a gravitáció esetének megfelel®en általánosított) potenciális energiárólbeszélni, hiszen ekkor a végzett munka nem függ az útvonaltól, tehát az valamilyen módon az adott pontbanlév® tárgy állapotát jellemzi. Ilyenkor ezen er® adott x pontban F (x) er®vel hat, tehát ha ennek hatására egykis dx elmozdulást szenved a tárgy, akkor ehhez a potenciális energia dEpot = −F (x)dx változása társul (hiszenekkor egyfajta �zuhanás� következik be, azaz csökken a helyzeti energia). A potenciális energiát ekkor egyszer¶enpotenciálnak nevezzük (és sokszor V -vel jelöljük). Erre az el®bbi összefüggésb®l

dV

dx= −F (x) avagy V (x) = −

∫F (x)dx (81)

adódik, tehát a potenciál és az er® integrál/derivált kapcsolatban van egymással (konzervatív er®k esetén). Amunka pedig a potenciál kezdeti- és végpontbeli különbsége, tehát az a pontból b pontba elmozdulván

Wa,b =

b∫a

F (x)dx = [−V (x)]ba = V (a)− V (b). (82)

13A fenti levezetés egyenletes gyorsulásra vonatkozott. Ugyanakkor általános esetben W =∫Fds =

∫Fvdt =

∫mavdt =∫

m dvdtvdt módon számolhatunk, ami végül W =

∫mvdv = mv2/2 lesz, tehát ugyanaz jön ki így is.

23

Page 24: pdf formátumban

A fentiek akkor érvényesek, ha a kezdeti- és a végpontban azonos (pl. nulla) a vizsgált tárgy mozgási energiája.Általánosságban, konzervatív er®k munkája a helyzeti és a mozgási energiát is módosíthatja, azaz ekkor

W = ∆Ekin + ∆Epot (83)

7.4. Az energia megmaradása

Zárt rendszerben, amelybe nem avatkozunk be, amelyen nem végzünk munkát (W = 0), a fentiek szerint arendszerben lév® összes energiára a ∆Ekin +∆Epot = 0 összefüggés lesz igaz. Ez másképpen ∆(Ekin +Epot) = 0,ahonnan az

Ekin + Epot = állandó (84)

megmaradási törvény következik.

Ez zárt rendszerre igaz (nyílt rendszer összenergiája bármikor megváltozhat, hiszem bevihetünk energiát arendszerbe), méghozzá csak akkor, ha nincsenek nem-konzervatív er®k a rendszeren belül (például súrlódás vagylégellenállás). A nem-konzervatív er®k természetesen nem �emésztik fel� az energiát, hanem egyéb energiafor-mákat hoznak létre: h®energiát, elektromos vagy mágneses energiát, kémiai energiát, atommag-energiát, vagya relativitáselmélet értelmében tömeget. A lehet® legáltalánosabban megfogalmazva a �zika egyik legfontosabbtörvényét kapjuk: zárt rendszer összes energiája állandó. Ez az energia mindenféle formát ölthet, tömeggé isátalakulhat, de nem veszik el és nem keletkezik. Még egyszer hangsúlyozzuk: ez zárt rendszerben igaz, hiszenebben az esetben nem juthat energia se ki, se be, ett®l zárt a rendszer.

A fenti energiafogalom általános de�níciója a munkavégzésre való képesség. Ha megtörténik a munkavégzés,akkor ez valamely más objektum energiáját növeli. Az energiával számolni praktikus, például ugyanis egy hmagasságból légellenállás nélkül zuhanó test végsebességét kinematikai összefüggésekb®l bonyolult kiszámolni,de az energiamegmaradással egyszer¶: az energiája kezdetben mgh, a végén mv2/2, ezek egyenl®ségéb®l mgh =mv2/2, azaz a végsebessége

√2gh.

7.5. Egyszer¶ gépek

Az energiamegmaradást aknázzák ki az egyszer¶ gépek. Ezeknél egy tárgyat úgy juttatunk a magasba,hogy ugyanazt a munkát �hosszabb úton� végezzük el. Miután azonban a munka ugyanannyi (hiszen a helyzetienergia változása is ugyanannyi), ezért az er® és a megtett út szorzata is ugyanannyi. Ha tehát az út hosszabb,a szükséges er® lecsökken. Ezért megyünk a hegyre (többnyire) szerpentinen, ezért tekerjük hosszan az autókézi emel®jét, míg az csak néhány centit emelkedik. A dolog lényege, hogy G súlyú testet F < G er®vel tudunkfelemelni. Néhány konkrét példa egyszer¶ gépekre (a G súlyú test emeléséhez szükséges F er® megadásával):

• Lejt® (melynek d®lésszöge α): F = G sinα• Emel® (d1 és d2 karral): F = d1

d2G

• Hengerkerék (r1 és r2 sugarakkal): F = r1r2G

• Mozgó csiga: F = G/2• Csavar (h menetemelkedés és r sugár): F = h

2πrG

• Ék (α szög esetén): F = G sinα.

8. Pontrendszerek mechanikája

8.1. Küls® és bels® er®k

Tömegpontok bármely halmazát egy rendszernek vehetjük, amelyben hatnak bels® és küls® er®k. El®bbieka rendszer részei között lépnek fel, utóbbiak hatása rendszeren kívül van. A bels® er®k összege mindig nulla,

24

Page 25: pdf formátumban

hiszen mindkét fél a rendszer része, így az ellener® is bels® er®, és kiejti az er®t az összegzés során. Éppen ezvezetett minket az impulzusmegmaradás felismeréséhez: a bels® er®k nem változtatják meg az impulzust, ezértelszigetelt (küls® hatások el®l elzárt) rendszer összimpulzusa állandó.

Ilyen rendszert alkot a Nap a bolygókkal: itt a Nap-bolygó gravitáció bels®, a Tejútrendszer gravitációjaküls® er®. A Naprendszer összimpulzusát a bels® er®k nem változtatják meg, és a Naprendszer tömegközép-pontja a Tejútrendszeren belül úgy halad, mintha egyetlen tömegpontról lenne szó. Az ütköz® billiárd-golyókatis hozhatjuk példaként: az asztal által kifejtett súrlódás küls®, az ütközéskor ható er® bels® er®. A súrlódást elha-nyagolva a két billiárd-golyó zárt rendszernek tekinthet®, azaz összimpulzusuk állandó. Ennek következményeita következ® szakaszban vizsgáljuk. Egy darab billiárd-golyó is tekinthet® összetett rendszernek, ugyanis rengetegatomból áll, amelyek között bonyolult er®k hatnak. Ezen er®k azonban nem befolyásolják a golyó mozgását,nem változtatják meg az impulzusát.

8.2. Tömegpontok egyszer¶ rendszerei

Golyók ütközése során tehát küls® és bels® er®k lehetségesek, de az összimpulzust csak a küls® er®k mó-dosíthatják. Erre jó példa biliárdgolyók ütközése (ahol a gravitáció és az asztal nyomóereje kiejti egymást, asúrlódást pedig többnyire elhanyagoljuk), vagy atommagok fúziója (ahol egy deuteron és egy triton, azaz trí-cium atommag egyesül egy hélium maggá, továbbá keletkezik még egy neutron és némi energia, azaz 3H+2H→ 4He+n+3 pJ energia), vagy a radioaktív bomlások, például a béta-bomlás, ahol egy neutronból proton éselektron keletkezik, plusz egy neutrínó (n→p+e−+ν) Az összimpulzus állandó a fenti folyamatokban, de azösszes mozgási energia nem � pont ez a lényeg, hogy az energia különböz® formái átalakulhatnak egymásba,például bels® er®k végezhetnek munkát, amit®l a mozgási energia n®het vagy csökkenhet.

Rugalmas ütközésnek nevezzük az olyan folyamatokat, ahol a mozgási energia megmarad. Nézzük meg, mitörténik egy v1 sebesség¶ és m1 tömeg¶ golyó álló, m2 tömeg¶ golyóval való ütközése során!. Ekkor felírhatjukaz impulzus és az energia megmaradását (mivel rugalmas ütközésr®l beszélünk):

m1v1 + 0 = m1v′1 +m2v

′2 és

1

2m1v

21 + 0 =

1

2m1v

′21 +

1

2m2v

′22 (85)

Innen az

m2v′2 = m1(v1 − v′1) ésm2v

′22 = m1(v2

1 − v′21 ) = m1(v1 − v′1)(v1 + v′1) (86)

egyenletekre jutunk. Ezeket egymással elosztva v′2 = v1 + v′1 adódik, amit az eredeti, impulzusmegmaradásravonatkozó egyenletbe visszahelyettesítve m2(v1 + v′1) = m1(v1− v′1) jön ki, ahonnan pedig a már megkapjuk azütközés utáni sebességeket:

v′1 =m1 −m2

m1 +m2v1 és v′2 =

2m1

m1 +m2v1 (87)

Azonos tömegek esetén, azaz ha m1 = m2 = m, a következ® eredményre jutunk:

v′1 = 0 és v′2 = v1. (88)

Ez azt jelenti, hogy az els® golyó megáll, a második pedig az els® kezdeti sebességével megy tovább (lásd azórai kísérletet azonos tömeg¶ guruló asztalokkal), mintha kicserél®dtek volna egész egyszer¶en. Ha azonbanm2 � m1, azaz például a földön lepattintott labda esetében, ahol a másik ütköz® �golyó� a Föld,

v′1 = −v1 és v′2 = 0 (89)

adódik, tehát a könnyebbik tárgy azonos nagyságú de ellentétes sebességgel halad tovább (�visszapattan�), míga nehezebb tárgy (a Föld) továbbra is egy helyben marad.

Rugalmatlan ütközés esetén az impulzus ugyan megmarad (hiszen ez általános erej¶ törvény), de a moz-gási energia nem. Tökéletesen rugalmatlan ütközésr®l akkor beszélünk, ha a két test összetapad, azaz a fentijelölésekkel v′1 = v′2 = v′, azonos lesz az ütközés utáni sebességük. Ekkor erre az ütközés utáni sebességre a

v′ =m1v1 +m2v2

m1 +m2, (90)

kifejezés adódik.

Érdekes alkalmazás továbbá a rakétameghajtás esete. Az eredetileg m0 tömeg¶ rakétában van müzemanyag

tömegnyi üzemanyag. Ebb®l minden ∆t id®tartam alatt kiáramlik ∆m tömegnyi üzemanyag, amelynek rakétá-hoz viszonyított sebessége vh. Miután a kirepül® üzemanyag impulzusa a pillanatnyi tömegközéppontból nézve

25

Page 26: pdf formátumban

∆mvh, ezért ez −∆mvh impulzust ad át a rakétának, az impulzusmegmaradás miatt. Így a rakéta impulzusáram∆v = −∆mvh. Ez in�nitezimális id®tartamokra a következ®t jelenti:

∆v

∆m→ dv

dm= −vh

m(91)

Ez egy di�erenciálegyenlet a rakéta v sebességének és adott pillanatban érvényes m tömegének összefüggésére,amelynek megoldása a v(m) = vh ln(m0/m), ha m0 a rakéta kezdeti tömege (a kezdeti sebessége viszont nulla).Miután az összes üzemanyag felhasználása után a rakéta tömege mrakéta = m0 − müzemanyag, így az ebben apillanatban érvényes végsebesség a rakéta és a hajtóanyag tömegének arányától függ:

v = vh ln

(1 +

müzemanyag

mrakéta

)(92)

Ha tehát a rakétából 100 m/s sebességgel áramlik ki a hajtóanyag, és saját tömegének megfelel® mennyiség¶tvisz magával, akkor a végsebessége csak 100 · ln 2 = 69 m/s lesz. Ezt a Földön kil®tt rakéta esetében még agravitáció is módosítja, de ett®l fent eltekintettünk.

8.3. Szabadsági fokok, merev testek

Szabad pontrendszernek azt nevezzük, ahol minden részecske mozoghat kényszer nélkül, csak ütközésekvannak: ilyen például egy nemesgáz atomjainak rendszere, vagy a billiárd-golyók rendszere az asztalon. Ebbenaz esetben minden részecskének 3 �szabadsági foka� van, azaz tér 3 irányában mozoghat szabadon.

Kötött rendszerekben azonban kényszerek lépnek fel, ezáltal csökken a szabadsági fokok száma. Például abilliárd-golyó atomjai nem mozoghatnak akárhogyan, hiszen így nem maradna meg a golyó gömb alakja. Vagyegy súlyzó két végén lév® súlyok sem mehetnek akármerre, a köztük lév® távolság ugyanis állandó (különbenszétszakadna a súlyzó). Kötött rendszerre a legegyszer¶bb példa egy kétatomos molekula három dimenzióban.Itt mindkét atomnak három szabadsági foka van, azaz a rendszernek összesen 2×3 = 6 szabadsági foka lenne, deaz atomok közötti kötés (azaz a rögzített távolságuk) miatt egy kényszer is fellép, azaz végül a szabadsági fokokszáma 5 lesz. Ez azt is jelenti, hogy egy kétatomos molekula öt darab adattal írható le: helyzete a középpontjánakhárom koordinátájával, míg orientációja (iránya) két szöggel. A három atomos molekulák három pontból álló,kötött rendszert alkotnak. Az atomok között három kényszer (kötés) van, ugyanis egyik atom-pár távolságasem változhat meg. Így ebben az esetben a szabadsági fokok száma 3 × 3 − 3 ⇒ 6. Érdekes módon több pontesetén sem lesz nagyobb a szabadsági fokok száma: hat adattal tetsz®leges merev test (azaz sok tömegpontmaximálisan kötött rendszere, ahol bármely két pont távolsága állandó) leírható. Jegyezzük meg például, hogynégy pont esetén hat kötésre van szükség, így a szabadsági fokok száma 4× 3− 6, azaz továbbra is 6.

8.4. Merev testekre ható er®k, a forgatónyomaték

A több pontból álló merev rendszereket merev testeknek nevezzük, amennyiben tetsz®leges két pontjánaktávolsága állandó, illetve tetsz®leges három pontja által kijelölt háromszög szögei állandóak. Ezen merev tes-teknek hat szabadsági foka van, ahogy fent láttuk. Ez azt jelenti, hogy ennyi független paraméterrel írhatjukle ®ket, avagy azt is mondhatjuk, hogy ennyiféle független mozgást tudnak végezni. Ebb®l három a tér háromirányába való mozgás, a többi három pedig a tér három irányába mutató tengely körüli forgás.

Két alapvet® mozgástípus van tehát: adott irányba való haladás, adott tengely körül való forgás. Ezekkombinációjából a merev testek minden mozgása felépíthet®. A haladó mozgást Newton második törvénye írjale (amely szerint a test akkor marad nyugalomban, ha az összes er® összege nulla). Hogyan írhatjuk le a forgómozgást, mint mondanak err®l a Newton-törvények?

Az els® kérdés, hogy két er® összesített hatását hogyan kezeljük. A gyorsulás szempontjából elég az összegü-ket megadni, de a forgató hatásuk más � hiszen két, nulla összeg¶ (azaz ellentétes irányú de azonos nagyságú)er® könnyedék okozhat forgást. Ennek vizsgálata során felhasználhatjuk azt a tényt, hogy az er®ket a hatásvo-naluk (azaz az er®re, mint vektorra fektetett egyenes) mentén eltolhatjuk, ez nem változtatja meg a rendszer

26

Page 27: pdf formátumban

dinamikáját. Ha egy testre két er® hat, amelyek összege ugyan nulla (azaz párhuzamosak, de ellentétes irá-nyúak), de különböz® a hatásvonaluk, akkor a test biztosan elfordul (ez mindennapi tapasztalatunk). Tehát aforgás szempontjából nyugalomban maradás feltétele az, hogy az er®k összege nulla legyen, továbbá egy pontbaredukálhatóak legyenek (azaz hatásvonalaik egy pontban metsszék egymást � két er® esetén ezek essenek egybe):

Egy mérleghinta példáját véve vizsgáljuk meg ezt! Legyen F1 az egyik végén ható függ®leges er®, F2 a másikvégén (a két hintázó súlya miatt fellép® er®k). Az alátámasztásnál fellép® F3 er® kiegyenlíti ezeket, tehát éppenF3 = F1 + F2 nagyságú, és felfelé mutat. A rendszer geometriája szerint F1 és F2 hassanak r1 és r2 távolságraaz alátámasztástól. A rendszer nem mozdul el lefelé vagy felfelé (mivel az er®k összege nulla), de elforoghat,ahogy azt tapasztaljuk! Mi a feltétele annak, hogy ne következzen be forgás? Az el®z® bekezdés végén említettekszerint a hinta akkor marad egyensúlyban, akkor nem fordul el, ha az F1 és F2 er®k összege az alátámasztásvonalába redukálható, ekkor ugyanis ez az összeg és F3 kiejtik egymást � egyébként elforgatják a hintát. Dehogyan redukálhatjuk egy pontba a két párhuzamos er®t? Vezessünk be két �segéder®t�, +F és −F mértékben,a mérleghinta vonalában. Ezeket F1 és F2 vektorhoz hozzáadva az új F1 + F és F2 − F er®ket kapjuk, amelyekviszont már egy pontba redukálhatóak, a hatásvonalaik metszik egymást. Ezt illusztrálja az alábbi ábra:

Látható, hogy az összesített F1 + F2 er® akkor esik az alátámasztás vonalába, ha az er®k alkotta háromszögekhasonlóak az r1, r2 illetve az er®k irányába húzott egyenesek metszéspontjáig tartó h magasság alkotta három-szögekkel. Ebb®l az ábrán látható r1

h : FF1

= r2h : F

F2feltétel adódik, amib®l r1F2 = r2F2 jön ki. Azt mondhatjuk

tehát, hogy ebben az esetben a nyugalomban maradás, azaz az egyensúly feltétele az, hogy az rF mennyiségekmegegyeznek.

Ez által motiválva bevezetjük az alátámasztásra mint forgástengelyre vonatkoztatott forgatónyomatékotM = rF módon. Ekkor a két er®re M1 = r1F1 illetve M2 = r2F2, ha mindezt az r1 és r2 er®karok el®jelét is�gyelembe véve tesszük, akkor az adódik, hogy az összesített M = M1 +M2 forgatónyomatéknak kell nullánaklennie, azaz a nyugalomban maradás feltétele M = 0.

Forgómozgások vizsgálata során a forgatónyomaték a legfontosabb �zikai mennyiség. Ennek pontos de�níci-ója az adott forgástengelyt és az er®t összeköt® #»r er®kar illetve

F ismeretében

# »

M = #»r × #»

F . (93)

ahol tehát vektoriális szorzást használunk, ami azt jelenti, hogy a forgatónyomaték-vektor iránya a forgástengelyiránya (hiszen ez mer®leges r-re és F -re is). A forgatónyomaték nagysága pedig α szöget bezáró er® és er®karesetén

|M | = rF sinα (94)

Itt r sinα az er® hatásvonalának távolsága az adott tengelyt®l (síkbeli rajz esetén a tengely általában egy pont,és az iránya általában a rajzra mer®leges � hiszen a forgás a rajz síkjában történik). Azt mondhatjuk tehát,

27

Page 28: pdf formátumban

hogy a forgatónyomaték nagysága az er® és a tengely távolsága az er®vel szorozva. Ebb®l az is adódik, hogya forgatónyomaték a tengelyt metsz® hatásvonalú er® esetén nulla, hiszen ekkor az er® és a tengely távolságanulla (vagy párhuzamos az er®vel, azaz α = 0).

A forgatónyomatékot tehát a fentiekben de�niáltuk. Ezután Newton els® törvényének (er® nélkül nincsgyorsulás) az fog megfelelni, hogy a nyugalomban maradás (el nem fordulás) feltétele

ΣM = 0, (95)

azaz az összes forgatónyomaték összege nulla � tetsz®legesen megválasztott tengely estén.14 A mérleghintaesetében az alátámasztásnál választva a forgástengelyt ebb®l r1F1 + r2F2 = 0 adódik, mivel az alátámasztásforgatónyomatéka nulla (hiszen éppen a forgástengelyben hat ez az er®).

8.5. A súlypont, egyensúlyi helyzetek

A Földön bármely tárgy esetén a gravitáció annak minden pontjára hat, tehát hogy nyugalomban marad-e, ezen er®k és forgatónyomatékok összege alapján d®l el. Az er®k összege egyszer¶en megadható, hiszen atestet kis m tömeg¶ részekre felbontva egyszer¶en minden kis m tömegre össze kell adni ezeknek mg súlyát,azaz a gravitációs er® nagyságát: az er®k iránya ugyanis megegyezik, mindegyik függ®leges (kis kiterjedés¶ testesetén). A test akkor van nyugalomban, ha egy ennek megfelel® nagyságú, függ®legesen felfelé mutató tartóer®van jelen. A forgatónyomaték esetében már bonyolultabb a helyzet, ugyanis a gravitáció forgatónyomatékátegyesével ki kell számolni a kis m tömegekre, és megvizsgálni, hogy ez a tartóer® forgatónyomatékát kiejti-e.Érdekes azonban, hogy létezik egy pont (azaz egy ezen átmen® vízszintes tengely), amelyre nézve a gravitációösszesített forgatónyomatéka nulla: ez a súlypont, ahova az összes kis súlyer® redukálható. Ha ezen átmen®hatásvonalú er®vel tartjuk a testet, akkor a tartóer® forgatónyomatéka is nulla (erre a tengelyre nézve), ígya test nyugalomban maradhat. Egyébként viszont biztosan elforog, hiszen a két forgatónyomaték nem ejti kiegymást. A gravitációs er® tehát egyetlen, a súlypontban ható er®ként képzelhet® el. A súlypont helye éppen atest pontjainak tömegükkel súlyozott átlagos helye:

#»r súlypont =Σm #»r

Σm. (96)

Az így de�niált súlypont homogén testek esetén tulajdonképpen éppen a geometriai középpont. Érdekes (deegyúttal természetes is, ha mélyebben belegondolunk), hogy ez éppen a tömegközépponttal egyezik meg, amitaz impulzusnál vezettünk be! Ahogy ott is, két pontból álló rendszerre itt is #»r = (m1

#»r 1 +m2#»r 2)/(m1 +m2).

A mérleghinta esetét így is megoldhatjuk: ezen pontban kell alátámasztani a hintát, hogy ne billenjen el.

Fontos továbbá látni, hogy a gravitációs er® munkája a súlypont magasságváltozásától függ. Ezért akkorstabil egy rendszer alátámasztással való rögzítése, ha kis elmozdulás esetén a súlypont felfelé mozdulna el; ekkorugyanis energiabefektetésre van szükség a kimozdításhoz. Instabil viszont az egyensúly, ha kis elmozdulásra asúlypont lefelé mozdul el, mert ekkor energia szabadul fel, ami a test további elbillenését segíti el®. Közömbösegyensúlyról beszélünk, ha a súlypont magassága kis elmozdítások esetén nem változik.

14Igazából az állandó szögsebesség¶ forgáshoz még nincs szükség forgatónyomatékra, csak a forgás szögsebességének megváltozá-sához, azaz a szöggyorsuláshoz.

28

Page 29: pdf formátumban

9. A forgómozgás dinamikája

9.1. A tehetetlenségi nyomaték

A fentiekben áttekintettük, hogy mikor marad nyugalomban egy merev test, mik az egyensúlyi helyzetei. Akövetkez®kben pedig nézzük át, hogy ha nem marad nyugalomban, mert az összes rá ható forgatónyomaték nemnulla, akkor hogyan kezd el forogni. El®ször (bár ehhez szintén összesen nulla forgatónyomatékra van szükség)vizsgáljuk meg az egyenletes forgás jellemz®it. Adott tengely körüli forgás esetén a #»ω szögsebességvektor iránya aforgástengely iránya. A tengelyt®l r távolságra (vagy a tengely egy pontjától #»r vektornyira) lév® pont sebessége,ahogy már a körmozgásnál láttuk #»v = #»r × #»ω . A vektor-jelölést elhagyhatjuk, ha mindig észben tartjuk, hogyr mit jelent, és hogy ω-nak is van iránya.

A forgatónyomaték által végzett munka egyenletes körmozgás esetén könnyen kiszámítható. Ekkor a kö-zépponttól r távolságban α elfordulás történik, azaz az elmozdulás s = rα, tehát W = Fs = Frα = Mα Ateljesítmény innen P = dW/dt = M∆α/∆t = Mω. Az adott, ω szögsebességhez tartozó mozgási energia szinténlevezethet®, ha a test egyes m tömeg¶ darabjai a forgástengelyt®l r távolságra vannak, és itt v = rω sebességgelmozognak. Nem kell mást tennünk, mint a kis m tömeg¶ darabokra összegezni:

Ekin = Σ1

2mv2 =

1

2ω2Σmr2 =

1

2Θω2, (97)

és itt bevezettük a tehetetlenségi nyomatékot:

Θ = Σmr2, (98)

ahol r az egyes részek forgástengelyt®l vett távolsága. A tehetetlenségi nyomaték tehát a forgástengely választá-sától függ. Alább megadjuk néhány geometriai alakzat tehetetlenségi nyomatékát (adott forgástengely esetén):

Test forgástengely ΘTömegpont r távolságra mr2

Két d távolságú tömegpont középen md2/2Két d távolságú tömegpont az egyik ponton át md2

Üreges r sugarú henger a szimmetriatengely mr2

Tömör r sugarú henger a szimmetriatengely mr2/2Rúd (l hosszúságú) középen ml2/12Rúd (l hosszúságú) az egyik végén át md2/3

Üreges gömb (r sugarú) a közepén át 2/3mr2

Tömör gömb (r sugarú) a közepén át 2/5mr2

Tömör gömb (r sugarú) egy érint® 7/5mr2

Gömbhéj (d átmér®j¶) a közepén át 2/3 md2

Érdemes ehhez még hozzátenni, hogy ha egy m tömeg¶ test esetén adott, a súlyponton átmen® tengelyre atehetetlenségi nyomaték értéke Θ, akkor az ezzel a tengellyel párhuzamos, de attól L távolságban vett tengelyrea tehetetlenségi nyomaték értéke Θ + mL2 lesz. A tehetetlenségi nyomaték a forgással szembeni �ellenállást�,tehetetlenséget jellemzi. Minél nagyobb egy test tehetetlenségi nyomatéka, annál nehezebb elforgatni, vagyisa szögsebességét növelni. Érdekes alkalmazása, hogy ezzel ki lehet választani két azonos tömeg¶ és méret¶henger közül az üregeset, hiszen ennek (a fenti táblázat szerint) kétszer akkor a tehetetlenségi nyomatéka, minta tömörnek. Ugyanígy, forgatással könnyen el lehet dönteni, hogy melyik tojás f®tt és melyik nyers: a nyerstojást nehezebb megforgatni majd megállítani is � ennek folyékony tartalma miatti átrendez®dése nagyobbtehetetlenségi nyomatékot eredményez.

9.2. A forgás mozgásegyenlete, a perdület

Merev testek forgásának mozgásegyenlete is könnyen megadható, Newton második törvényének mintájára,abból kiindulva. Vegyük egy m tömeg¶ pontszer¶ test r sugarú körön való keringését. Ekkor a forgatónyomaték

M = Fr = mar = mr∆v

∆t= mr2r

∆ω

∆t= mr2β (99)

módon írható fel. Ugyanakkor ha ez a forgatónyomaték több tömegpont gyorsításáért is felel, akkor ezekre atömegpontokra mind összegezni kell. Ezt �gyelembe véve tehát forgó mozgás esetén Newton második törvényetehát így értelmezhet® általánosságban:

M = Σmr2β = Θβ (100)

29

Page 30: pdf formátumban

Ez alapján a perdületet is de�niálhatjuk, az impulzushoz hasonlóan. A β = ∆ω/∆t összefüggésb®l kiindulva

M = Θ∆ω

∆t=

∆(Θω)

∆t=

∆J

∆tadódik, azaz legyen J = Θω (101)

A forgatónyomaték tehát a perdületet változtatja meg, ∆J = M∆t, és nulla forgatónyomaték esetén a perdületállandó. Egy kering® tömegpont esetén (melynek perdülete a fentiek szerint J = mr2ω = mrv), amelyrecentrális (a középpont felé mutató) er® hat, a középpontra nézve nincs forgatónyomaték, tehát ekkor perdületállandó! Mivel a perdület rv-vel arányos, ezért ebb®l éppen Kepler második törvénye következik. A perdületmegmaradásának szép példája a piruettez® korcsolyázó. Rá ugyanis lényegében csak a súrlódási er® hat, de haez (szinte) csak a forgástengelyben jelentkezik (mert csak ezen az egy ponton érintkezik a korcsolya a talajjal),akkor a rá ható forgatónyomaték (közel) nulla, tehát a piruettez® korcsolyázó perdülete (szinte) állandó. Ekkor,ha behúzza a kezét, lecsökken a Θ = Σmr2 tehetetlenségi nyomatéka (mivel néhány pontja a tengelyhez közelebb,kisebb r-rel jellemezhet® pozícióba kerül). Ugyanakkor a J = Θω perdület állandósága miatt ez azt jelenti, hogyn® a szögsebessége, azaz gyorsul a pörgése:

Fontos továbbá látni, hogy a perdület vektormennyiség, ω irányába mutat, hiszen a perdület vektoros de�-níciója szerint

J = Θ #»ω (itt említjük meg, hogy általánosságban a Θ tehetetlenségi nyomaték mátrixként avagytenzorként is értelmezhet®, és ekkor a perdület iránya eltérhet a szögsebességét®l). Ha

J állandó, akkor termé-szetesen a nagysága és az iránya sem változik, tehát forgatónyomaték híján nem csak a forgás sebessége, hanema tengelye sem változik meg. Erre jó példa a megpörgetett búgócsiga (vagy tengelyére állított biciklikerék, ahogyaz órai kísérletben) sokáig nem d®l el, mivel a perdület állandósága miatt nem változik a forgástengely irányasem. Ugyanakkor az alátámasztási pont nem tökéletesen pontszer¶, a tengelynek van kiterjedése, tehát az ittható súrlódásnak van forgatónyomatéka, még ha nagyon kicsi is. Ezért el®bb-utóbb mégis eld®l a forgó kerék,ahogy lelassul. A ferde tengely¶ búgócsiga mozgását pörgetty¶mozgásnak van precessziónak nevezzük. Enneksorán konstans (gravitációs) er® hat a döntött pörgetty¶re. A forgatónyomaték az er® és a tengely síkjára me-r®leges (a vektoriális szorzás miatt). Ez tehát ilyen irányban változtatja a perdületet, amely amúgy a tengelyirányába mutat. A perdület, és így a forgástengely is, egy függ®leges tengely körül forog majd:

A Föld mozgása is a pörgetty¶mozgás bonyolult alkalmazása, a Nap és a Hold forgatónyomatéka miatt jönlétre (mivel a Föld nem pontosan gömb alakú, ezért hathat rá forgatónyomaték), de a többi bolygó gravitációja isszerepet játszik ebben. A fentiekben leírt precesszió miatt tehát 26 ezer éves ciklusban forog a Föld forgástengelyea galaxis csillagaihoz képest � ugyan most a Sarkcsillag tényleg pontosan a Föld északi tengelye irányában van,de kb. tízezer év múlva a Vega nev¶ csillag veszi majd át a szerepét. Ugyanakkor a pálya síkja is ingadozik, ésösszességében 41 000 éves ciklusban változik a forgástengely és a pálya szöge, nagyjából 22,1 és 24,5 fok között,most 23,4 fok. Ez adja a napév (azaz két tavaszi napéjegyenl®ség közötti id®tartam) változásait, illetve ezekmiatt a (rák-, bak-) térít®k egyre közelebb lesznek az egyenlít®höz, évente nagyjából 14 méterrel. Fontos továbbámegemlíteni, hogy kb. 100 ezer éves ciklusban változik az excentricitás kb. (ε = 0− 0.07 között) Ugyanakkor abolygók miatt 134 ezer év alatt meg körbe is forog a pálya-ellipszis (azaz a tengelyek) iránya. Ezen túl évente0,02 másodperccel n® az év hossza az ár-apály mozgás miatt, és még további változásokat is lehetne említeni.Mindenesetre a fenti váltakozások jelentik a Föld éghajlatának éghajlati jelenségek egyik fontos okát. Példáulmost a pálya Naptól legtávolabbi pontján van nyár, míg a legközelebbin tél, de kb. 10.000 év múlva éppenfordítva lesz. Ugyanakkor a naptávolban való gyorsabb keringés miatt ekkor hosszabb és melegebb nyár várható.

30

Page 31: pdf formátumban

A fentieket foglalják össze a Milutin Milankovi¢ szerb csillagász és geo�zikus után elnevezett ciklusok, amelyeketegyrészt klimatológiai mérési adatok is igazolnak, másrészt azonban rengeteg kérdést vetnek fel, amelyeket ittmost nem tárgyalunk.

Érdemes ezen a ponton megemlíteni, hogy valójában a Naprendszer bolygóinak mozgása kaotikus: ha van néhányméter pontatlanság a mostani pozíció mérésében, akkor lehetetlen megmondani, hogy 100 millió év múlva hol lesza bolygó. Ez a több testb®l álló rendszerek esetében általában így van, különös tekintettel a leveg® részecskéinekmozgására, azaz az id®járásra. Ez nem azt jelenti, hogy a Newton-egyenlet alapján elméletben nem lehetnemegmondani a vizsgált részecskék tetsz®leges jöv®beli helyzetét és sebességét. Arról van �csupán� szó, hogy azadott pillanatban tett mérésünk pontatlansága igen közeli el®rejelzés esetén is már olyan bizonytalanságot okoz,hogy a rendszer lényegében el®rejelezhetetlenné válik. Ez a káosz jelensége.

9.3. Forgó és haladó mozgások �dualitása�

A forgó és a haladó mozgásokra vonatkozó mennyiségek párokba rendezhet®ek, egyfajta szótárt alkotva akét jelenségkör nyelvezete között:

megtett út, s⇔ szögelfordulás, α (102)

tömeg, m⇔ tehetetlenségi nyomaték, Θ (103)

er®, F ⇔ forgatónyomaték, M (104)

amely alapján további származtatott mennyiségekkel b®vül a szótár:

sebesség, v = s⇔ szögsebesség, ω = α (105)

gyorsulás, a = v ⇔ szöggyorsulás, β = β (106)

impulzus, p = mv ⇔ perdület, J = Θω (107)

31

Page 32: pdf formátumban

Mindezekkel pedig törvény-párok állíthatóak fel, illetve a haladó mozgás összefüggései egy az egyben lefordít-hatóak a forgómozgás nyelvére, és így ott is érvényes törvényeket kapunk:

F = ma⇔M = Θβ (108)

∆p = F∆t⇔ ∆J = M∆t (109)

Ekin =mv2

2⇔ Ekin =

Θω2

2(110)

s = v0t+at2

2⇔ α = ω0t+

βt2

2(111)

v = v0 + at⇔ ω = ω0 + βt (112)

A fentiek közül az utolsó kett® az egyenletes gyorsulásra illetve az egyenletesen gyorsuló körmozgásra vonatkozik.Mindez azért hasznos, mert elég a szótár els® három elemét tudni, és onnan a haladó mozgás mennyiségeinekés törvényeinek ismeretében a forgómozgásra vonatkozóak kikövetkeztethet®ek.

10. Folytonos közegek statikája

10.1. Rugalmasság

Ahogy fent tárgyaltuk, a merev test bármely két pontja közötti távolság állandó, azaz bármely három pontjaáltal alkotott háromszög szögei és oldalai állandóak, és egyáltalán, a geometriája nem változik. Ugyanakkorvalódi szilárd testek általánosságban mechanikai feszültség hatására deformálódhatnak, tökéletesen merev testnem létezik. Egy valódi test lineáris deformációját (megnyúlását)

ε =∆L

L(113)

módon de�niáljuk, azaz relatív hosszváltozásként. Ezt a megnyúlást valamilyen lineáris húzófeszültség hozzalétre, amelyet σ = F⊥/A módon de�niálunk, ahol az F⊥ er® hat a test A felületére mer®legesen. Ezekb®lkiindulva kimondhatjuk a rugalmasságtan Young-törvényét, amely a feszültség és a deformáció arányosságátmondja ki:

σ = Eε azaz a de�níciókat behelyettesítve ∆L =F⊥L

AE. (114)

Itt E az úgynevezett Young-modulus, amely különféle anyagok esetén nagyon különböz® lehet, például (109

N/m2 mértékegységben kifejezve) gumira 0,1, fára 10, betonra 30, üvegre 70, acélra 200, gyémántra pedig 1000.Általánosságban a Young-modulus függhet az összenyomódás mértékét®l vagy a h®mérséklett®l is, de bizonyosegyszer¶ esetekben, szobah®mérséklet környékén, kis összenyomódásokra lehet a fenti törvénnyel számolni. 15

Ezek alapján egy 1 m2 felület¶, 10 cm vastag betonlap 1 tonnának megfelel® súly (104 N) hatására háromszázad mikront, azaz �szinte semennyit sem� megy össze. Figyeljük meg, hogy a fenti törvény tulajdonképpen arugóer®nek felel meg, és a D rugóállandó megfelel®je itt AE/L.

Nyíró (azaz a felülettel párhuzamos) er®k esetén nyírófeszültség jelenik meg, amelyet a fentiekhez hasonlóan,τ = F‖/A módon de�niálunk. Ennek hatására szögelfordulás következhet be, ekkor

τ = Gφ, azaz φ =F‖

AG, (115)

ahol G, a nyíró modulus, többnyire fele/harmada a Young-modulusnak, értéke 109 N/m2 mértékegységbengyémántra 500, acélra 90, üvegre 25, gumira 0.0006. Értéke szintén függhet a konkrét deformációtól.

Bonyolultabb objektumok lehajlása a tárgyat vékony rétegekre osztva levezethet®, de ett®l itt most eltekin-tünk. Azt azért megemlítjük, hogy a jelenség vizsgálatában az adott test keresztmetszete (ennek alakja) fontosszerepet tölt be, a lehajlás mértéke például az egyik végén terhelt, a másik végén befogott tartó esetén

y =FL3

3EI, (116)

ahol F a terhel® er®, L a rúd hossza, E a rugalmassági modulus, és I az alak-tényez® (az ú.n. másodrend¶nyomaték). Minél kisebb I értéke, annál könnyebben hajlik le az adott rúd. Egy r sugarú körre r4/π, a oldalúnégyzetre a4/12, de például I-alakú tartóra az azonos méret¶ hengerének tízszerese is lehet � ezért I-alakúak avasgerendák.

15A σ mennyiség nem feltétlenül skalár, egyes esetekben mátrixként kell kezelnünk, ekkor feszültségtenzornak nevezzük. Ezzel afenti egyenletet valójában

#»F = σ

#»A. S®t, az általánosított Hooke-törvény szerint a deformáció is másodrend¶ tenzor (mátrix), és

ezt a feszültségtenzorral a Young-modulus helyett egy negyedrend¶ tenzor (mátrixok mátrixa) köti össze.

32

Page 33: pdf formátumban

A fenti törvények az elég kicsi, rugalmas (és visszafordítható) megnyúlások esetén igazak. Bizonyos határ fe-lett permanens deformáció, esetleg szakadás vagy törés léphet fel. Ezzel kapcsolatban szokás beszélni a rugalmastartományon túl egy folyáshatárról, ahol az anyag hirtelen megnyúlik, és maradandó alakváltozást szenved. Mégnagyobb feszültség esetén pedig a szakítószilárdság értékét érjük el, amely az anyag által törés vagy szakadásnélkül kibírt legnagyobb feszültséget jelenti. Ekkor többnyire az anyag még tovább nyúlik, de a feszültség márcsökken benne, majd elszakad.

10.2. Folyadékok és gázok: alapfogalmak

Az anyagok jelent®s része nem követi a fenti törvényeket, hiszen eleve nem vesz fel egy meghatározott alakot,mivel a részecskék egymáshoz képest �szinte szabadon� mozognak: ezek a folyadékok és gázok. Ezek többnyirekitöltik a rendelkezésükre álló teret, és egész más mechanikai törvények vonatkoznak rájuk. Ezek tárgyalásáhoznéhány alapfogalmat kell bevezetnünk. A folytonos közegek fontos jellemz®jük a s¶r¶ség, a térfogategységre jutótömeg:

ρ =m

V, azaz m = ρV (117)

Szilárd anyagok s¶r¶sége igen változó, 103−104 kg/m3 nagyságrendbe esik, míg folyadékokra többnyire tipikusannéhány száz vagy ezer kg/m3, gázokra pedig 1 kg/m3 (de ezek er®sen hozzávet®leges értékek, a gázok s¶r¶ségepéldául a h®mérséklett®l függ®en jelent®sen változhat).

A legfontosabb fogalom ebben a témakörben a nyomás: ez a felületegységre jutó er®. Mértékegysége N/m2, avagy Pascal (Pa). Néha használjuk az atmoszféra és a bar mennyiségeket is, ezekre 1 atm = 1, 013 bar = 101300Pa. A nyomás de�níciója tehát:

p =F

A(118)

Amennyiben statikus elrendezéseket vizsgálunk (azaz folyadékok és gázok statikájáról beszélünk), akkor a nyo-mást létrehozó er® mer®leges a felületre, egyébként mozgást hozna létre. A nyomás jelent®ségére jó példa az,hogy hóban, ingoványban az �el nem süllyedés� például ett®l függ: a felület adott nyomást bír ki � felületenugyanakkora súly kisebb nyomást eredményez (ld. még hótalp, síléc, stb.). Gázok esetén növekv® nyomás eseténcsökken a térfogat. Az ideális folyadékokat is ezen keresztül de�niáljuk: ezeknek s¶r¶sége nem függ a nyomástól,azaz nem tudjuk ®ket összenyomni. Fontos még megemlíteni, hogy minden irányból ható, három dimenziósösszenyomásokra de�niáljuk a térfogati rugalmassági modulust (az el®z® szakaszban említett Young-modulustóleltér®en) avagy kompresszibilitást, amely a ∆p nyomásváltozás hatására létrejöv® ∆V/V összenyomódást vagy∆ρ/ρ relatív s¶r¶ségváltozást adja meg (és bármely halmazállapotra értelmezzük):

K = −∆pV

∆V= ρ

∆p

∆ρ(119)

Láthatóan K mértékegysége is N/m2, azaz Pascal. A negatív el®jel itt abból származik, hogy a térfogat csökken.Folyadékokra és gázokra csak ez a K térfogati rugalmassági modulus értelmes, az el®z® fejezet E és G modulusainem � hiszen itt nincs konkrét alak, ami megváltozna. Ideális folyadékokra ez a K modulus nagyon nagy, mivelnagy ∆p nyomásváltozásra a folyadék s¶r¶sége közel állandó. Ilyen például a víz: több ezer méter mélyen semváltozik az óceán vízének s¶r¶sége érdemben, pedig a nyomás több százszorosára emelkedik (ezért tudnak egyesél®lények és búvárhajók igen mélyre süllyedni majd felemelkedni � ha a nyomás nagy változása nem zavarja®ket). Vízre konkrétan K = 2.2 GPa (109 N/m2), üvegre ennek kb. hússzorosa, gyémántra kétszázszorosa. Aleveg® viszont nagyon is összenyomható, és (körülményekt®l függ®en) 100 kPa körül van a K összenyomhatóságimodulusa.

33

Page 34: pdf formátumban

10.3. A hidrosztatikai nyomás

Folyadékok és gázok egyensúlyi állapotait (nyugalmi helyzeteit) tárgyalja a hidrosztatika. Ennek legalapve-t®bb kérdése, hogy mekkora nyomás alakul ki egy nyugvó közeg egyes pontjain. Erre könnyen válaszolhatunk,ha �gyelembe vesszük, hogy a közegben (amelyet hívjunk mostantól folyadéknak, de gázokra is ugyanúgy érvé-nyes mindez) h mélységben tulajdonképpen egy h magasságú folyadékoszlop van felettünk. Ha egy A felületettekintünk, akkor az efeletti oszlop tömege m = ρV = ρhA, innen az ez által kifejtett nyomás

p =F

A=mg

A=ρhAg

A= ρgh. (120)

Ez a hidrosztatikai nyomás törvénye. Eszerint 10 méterrel a vízszint alatt a nyomás éppen 1 bar mértékben n®meg (a víz tetején érvényes légköri nyomáshoz képest); 10 km magas, 1 kg/m3 s¶r¶ség¶ légoszlop nyomása pedig100 000 N/m2 azaz 100 kPa, avagy 1 bar. A fenti törvény érdekes módon nem csak folyadék- vagy gázoszlopraigaz, hanem, bármilyen alakú edényben is ekkora alul a nyomás. Ennek oka a Pascal-törvény:

Nyugvó folyadékban a nyomás gyengítetlenül továbbterjed minden irányban.

Eszerint egy folyadékban a nyomás nem csak az aljára, de a falára is hat � mélységt®l függ® mértékben.

Ez okozza azt is, hogy egy U alakú cs®ben a víz szintje mindkét oldalon ugyanakkora lesz, vagy hogy (bizonyoshatásokat elhanyagolva) a talajvíz szintje a tó mellett éppen a tó vízszintjének felel meg. További érdekesalkalmazás, hogy ezen okból tud egy vékony cs®ben bennmaradni a folyadék akkor is, ha fejjel lefelé fordítjuk:a légnyomás benntartja. Ez 10 m magas cs®ig igaz, hiszen a légköri nyomás éppen 10 m mély víznek felel meg.Ugyanerre alapul a Toricelli cs®: légnyomás 760 mm higannyal tart egyensúlyt, és ebb®l származik a Hgmm(higanymilliméter) mértékegység is, amely 133,4 Pascalnak felel meg. Ugyanezért lehet kifolyatni egy edényb®la vizet úgy, hogy egy csövön el®ször felfelé, majd lefelé kell a víznek áramolnia: a cs® lenti végén ρgh mértékbenkisebb a nyomás, mint a vízbe mártott végén (ha a cs® kinti vége h mélységben lóg) Erre alapul továbbá ahidraulikus emel® is: ha kis A2 felületen kis F2 er®t fejtünk ki, ez egy U alakú csövön keresztül a túloldalt nagyA1 felületen nagy F1 er®t eredményez (a nyomás ugyanis gyengítetlenül továbbterjed, azaz p = F1/A1 = F2/A2).Megemlítjük még, hogy vákuumnak a �zikában az üres teret nevezzük � ahol még leveg® sincs. Miután itt emiattnyomás sincsen, ezért a vákuumhoz tartozó nyomás értéke 0 Pa (bonyolultabb jelenségek, mint például a fényvákuumban is okozhatnak nyomást, de ett®l itt eltekintettünk).

34

Page 35: pdf formátumban

10.4. A felhajtóer®

Arkhimédész a Kr. e. III. században élt görög tudós volt, az ókori világ egyik legnagyobbja. Több mechanikaijelleg¶ találmánya (továbbá a kör kerületének és átmér®jének arányának, azaz π értékének a meghatározása ésmég sok egyéb matematikai levezetés) mellett az ® nevéhez f¶z®dik a felhajtóer® törvénye, azaz az Arkhimédész-törvény. Eszerint

folyadékban (vagy gázba) mártott testre a kiszorított anyag súlyával megegyez® felhajtóer® hat.

Az anekdota szerint Hérón király arra kérte Archimédeszit, hogy állapítsa meg egy koronáról annak tönkretételenélkül, hogy tiszta aranyból van-e. Miután a súlya ismert (megmérhet®), a kiszorított víz mennyisége alapjáneldönthet® a s¶r¶sége. Azt is mondhatnánk, hogy két egyforma tömeg¶ anyagot mérlegre helyezve, majd amérleget vízbe mártva a kevésbé s¶r¶ (azaz nagyobb térfogatú) tárgyra nagyobb felhajtóer® hat, ezért ez amérlegen könnyebbnek t¶nik. Mindezt könnyen levezethetjük, ha veszünk egy h mélységben lév®, a magasságú,A keresztmetszet¶ téglatestet. Ennek teteje ugyan h mélységben van, de az alja h + a mélységben, ezért arranagyobb hidrosztatikai nyomás hat: fent p = ρgh a nyomás, míg lent p′ = ρg(h+ a). Ebb®l a nyomáskülönbségρg(h+ a)− ρgh = ρga, illetve az er®különbség ρgaA = ρgV . Ez maga a felhajtóer®:

Ffel = ρgV (121)

ahol ρ a közeg s¶r¶sége, a felhajtóer® tehát éppen a kiszorított víz súlyával egyezik meg. Mindezek illusztrálásáraálljon itt az alábbi ábra:

Miután a testre ható gravitációs er® mg = ρtestV g, míg a felhajtóer® ρközegV g, ezért a testre összesen

ΣF = (ρfolyadék − ρtest)gV (122)

er® hat. Ha tehát ρközeg < ρtest (fémtömb vízben, labda leveg®ben), a tárgy lefelé süllyed (zuhan). Ugyanak-kor ρközeg > ρtest esetén (labda, hajó vízben, héliumos lu� leveg®ben) a tárgy felemelkedik. Ha a két s¶r¶ségmegegyezik, akkor a test �lebeg�. Ezt érdekesen alkalmazza a vízi állatok jó része: s¶r¶ségét változtatva tudnakemelkedni, süllyedni vagy lebegni. Ugyanígy a forró leveg®vel m¶köd® légballonban a leveg® h®mérsékletét vál-toztatva állítható a � járm¶� s¶r¶sége, és így a légballon függ®leges mozgása. Ez okozza továbbá a meleg (azazritkább) leveg® felfelé irányuló mozgását és a hideg (azaz s¶r¶bb) leveg® leszállását, azaz a légköri folyamatokjó részét. Ugyanez érvényes a vízre is: a meleg víz felfelé áramlik, a hideg lefelé. S®t, bizonyos k®zetek meg-szilárdulásában is ez a folyamat játszik szerepet! Egy további fontos következményt is érdemes megemlíteni.Mi történik a közegnél ritkább testtel? A közegbe (ami legyen most víz) mártva felúszik a felszínre, de hol leszegyensúlyban? Ha ugyanis nem az egész tárgy merül a vízbe, akkor a felhajtóer® is csökken � hiszen a kiszorítottvíz mennyisége is csökken. Ezt (és az el®z®eket) illusztrálja az alábbi ábra:

35

Page 36: pdf formátumban

Ha a Vteljes térfogatú tárgy Vbent térfogata merül csak a vízbe, akkor a kiszorított víz súlya ρvízgVbent, tehátekkora felhajtóer® hat a testre. A rá ható gravitációs er® viszont mtest = ρtestgVteljes. Ezek egyenl®sége eseténmarad a tárgy nyugalomban, tehát

ρvízgVbent = ρtestgVteljes ⇒Vbent

Vteljes=ρtest

ρvíz(123)

tehát ha a test s¶r¶sége a közegének 70%-a, akkor a test 70%-a merül a közegbe. A jég s¶r¶sége megközelíti asós vízét, annak kb. 90%-a, ezért a jéghegyek 90%-a a víz alatt van � lásd a � jéghely csúcsa� szókapcsolatot.

10.5. A felületi feszültség

A folyadékok felületén lév® atomok, molekulák �különleges� szerepet töltenek be, ®k a környezet molekuláivalvannak kapcsolatban, illetve a folyadékból kipárolgó g®zzel. Ezek (a folyadék molekulái között fellép® vonzó er®miatt) csak befelé éreznek vonzást, így tehát a felületen lév® molekulák az anyagba befelé törekednek. Azt ismondhatjuk, hogy a felszínen lév® molekulák energiaszintje nagyobb, ezért minél több ilyen molekula van egyadott térbeli alakzat esetén, annál több energiára van szükség ezen konstrukció létrejöttéhez. Milyen térbelialakzat esetén a legkisebb az adott mennyiség¶ (térfogatú) folyadék felszíne? Gömb esetén a felszín és a térfogataránya A/V = 4R2π/(4R3π/3) = 3/R. Ezzel szemben például kocka alak esetén A/V = 6a2/a3 = 6/a. Ezazt jelenti, hogy egy köbméter térfogatú test esetén a felszín tetraéder esetén 7,21 m−1, kocka esetén 6 m−1,oktaéder esetén 5,72 m−1, míg gömb esetén 4,8 m−1. A konkrét példán túl általánosságban is igaz, hogy adotttérfogathoz a legkisebb felszín gömb alak esetén kapcsolódik.

Adott térfogat esetén új felület �létrehozásához� tehát a fenti mikroszkopikusan értelmezhet® magyarázatmiatt energiára van szükség. A mérték¶ felületnövekedéshez

W = γA (124)

munka (energia) szükséges, ahol γ az úgynevezett felületi feszültség. Ha ezt az új felületet egy l vonal mentén,húzással érjük el, akkor x elmozdulás esetén W = Fx munkát végeztünk, az új felület pedig xl. Innen F = γl,tehát a felületi feszültség így egyfajta húzóer®ként jelenik meg. A γ felületi feszültség értéke (szobah®mérsékleten,10−3 J/m2 mértékegységben) alkoholra kb. 20, vízre 70, higanyra 500 � leveg®vel (pontosabban a saját g®zével)való érintkezés esetén.

A felületi feszültség teszi lehet®vé, hogy egyes rovarok a víz felszínén tudnak járni: ha belesüllyednek, azjelent®sen növeli a víz felszínét, és az ebb®l faladó er® megtartja a rovar súlyát. Ezen jelenség az oka annakis, hogy az ¶rben lebeg® folyadékok gömb alakot vesznek fel, illetve a szabadon es® cseppek is (a légállenállásmiatt ez módosulhat), vagy a szappanbuborékok. Ennek köszönhet® a folyó vízsugár cseppekre szakadása is(Plateau�Rayleigh-instabilitás), és rengeteg egyéb hétköznapi jelenség.

36

Page 37: pdf formátumban

A felületi feszültség hozza létre a kapillaritást is: ha egy cs® fala és a leveg® között nagyobb a felületifeszültség, mint a cs® fala és a folyadék között, akkor a folyadék felszíne homorú lesz. Mivel a folyadék és aleveg® közötti felületi feszültség ereje (amely a felszín irányában hat) a folyadék és a cs® közötti er®vel együtt egyfelfelé ható er®t eredményez. Ha a cs® nagyon keskeny, azaz a folyadék tömege kicsi, akkor a gravitáció ellenérea folyadék�felkúszik� cs® falán. Erre példa a talaj vizet felszívó hatása, az ecset szálai között felszívódó festék,de növényekben a sejtfalak járatai is kapillárisként m¶ködve szívják fel a vizet, és a kockacukorban felkúszó kávéjelensége is ennek köszönhet®16). Ha viszont a folyadék-cs® felületi feszültség nagyobb a leveg®-cs® értéknél,akkor a folyadék felülete domború lesz, az er® pedig lefelé hat: ekkor a folyadék szintje a �vártnál� alacsonyabblehet � erre példa higanyoszlop viselkedése üvegcs®ben (lásd higanyos h®mér®).

11. Folytonos közegek dinamikája: áramlástan

A következ®kben folyadékok és gázok stacionárius, azaz állandósult jelleg¶ áramlását tárgyaljuk. Ekkor aközeg minden pontján id®ben változatlan az áramlás iránya vagy a közeg s¶r¶sége. Az áramlások kialakulásavagy leállása lényegesen bonyolultabb, egyszer¶ egyenletekkel ki nem fejezhet® törvények vonatkoznak ezekre. Azállandósult áramlásokra azonban rengeteg egyszer¶ és fontos törvényt tudunk megfogalmazni. El®ször azonbanosszuk további kategóriákra az áramlásokat. El®ször is fontos tisztázni, hogy van-e bels® súrlódás a folyadékban.Ha nincs, akkor tökéletes folyadékról beszélünk17, ellenkez® esetben viszkózus folyadékról � err®l többet a 11.3.részben mondunk. Az áramlási kép jellege alapján pedig megkülönböztetünk turbulens és lamináris áramlásokat.Utóbbi esetben az anyag részei párhuzamos rétegekben áramlanak, és ezen rétegek között nincs keveredés. Ezzelszemben turbulens áramlásokban örvények alakulnak ki.

11.1. Kontinuitás

A közeg anyagának megmaradásából következik a kontinuitási törvény. Eszerint bármely kiszemelt térfogatbaugyanannyi folyadék áramlik ki, mint amennyi be: különben nem lenne stacionárius az áramlás. Ezt a törvénytcs®ben történ® áramlásra formalizálhatjuk is. Tegyük fel, hogy egy adott ponton A1 keresztmetszet¶ cs®ben v1

sebességgel áramlik a közeg, itt ρ1 a s¶r¶ség. Kés®bb a cs® lesz¶kül A2 felületre, ekkor a sebesség v2, a s¶r¶ségρ2. Mivel az A1 és az A2 felület közötti anyag nem veszhet el, amennyi tömeg bejön az egyik oldalon, annyitömegnek ki kell menni a másikon. Az A1 keretmetszet¶ ponton ∆t id® alatt ∆x1 = v1∆t szakasznyi anyagáramlik be, míg az A2 keresztmetszet¶ ponton ugyanez ∆x2 = v2∆t módon írható. Miután a bejöv® térfogatA1∆x1 (és a kijöv® is hasonlóan írható), a ki- és beáramló tömeg az alábbi módon írható fel:

∆m1 = ∆m2 (125)

ρ1∆V1 = ρ2∆V2 (126)

ρ1A1∆x1 = A2ρ2∆x2 (127)

ρ1A1v1 = A2ρ2v2 (128)

Ebb®l tehát ρAv állandósága adódik. Még érdekesebb, hogy összenyomhatatlan folyadék esetén, mivel itt as¶r¶ség állandó, ezért

Av = állandó (129)

adódik. Itt tehát ha nagyobb a keresztmetszet, kisebb a sebesség. Ezt rengeteg helyen tapasztaljuk: autóútonaz útsz¶kület kezdete után megn® a sebesség, illetve a locsolócs®ben a sz¶k nyíláson gyorsan áramlik ki a víz.

11.2. A Bernoulli-törvény

Stacionárius áramlások esetén az energia is állandó egy adott térfogatban, illetve csak a két szélén végzettmunka változtatja meg (amennyiben nincs bels® súrlódás: az alábbiak tehát súrlódásmentes áramlásra vonat-koznak). Az adott térfogatba beérkezik ∆m tömeg¶, v sebesség¶ anyag, ennek mozgási energiája ∆E = 1

2∆mv2.

16Bár egyesek szerint aki kockacukorral issza a kávét, az inkább csak egyen cukrot és feküdjön le korábban.17V.ü. ideális folyadék, amely összenyomhatatlan. Megemlíthet® továbbá, hogy a tökéletes folyadékoknak bels® h®vezetése sincs,

de ez a feltétel most számunkra nem lényeges.

37

Page 38: pdf formátumban

A térfogat szélén lév® p nyomás az A felület ∆x elmozdulása miatt W = F∆x = pA∆x munkát végez. Ezekösszege két tetsz®leges felületen megegyezik, azaz az összeg mindenhol állandó: ha nem így lenne, a két felületközött megnövekedne az energia, és az áramlás nem lenne stacionárius. Figyelembe véve, hogy v áramlási se-besség esetén ∆t id® alatt az elmozdulás ∆x = v∆t, az alábbi rövid levezetést tehetjük (amely szigorúan vévecsak konstans s¶r¶ség esetén érvényes, vagy ha a gáz összenyomására nem fordítódik jelent®s mérték¶ munka):

∆E +W = állandó

1

2∆mv2 + pA∆x = állandó

1

2ρA∆xv2 + pA∆x = állandó

1

2ρAv∆tv2 + pAv∆t = állandó

1

2ρv2 + p = állandó

Ennek eredménye a Bernoulli törvény, amely szerint p + ρv2/2 = állandó, tehát ha a sebesség nagy, lecsökkena nyomás. Ezt és a kontinuitási törvényt illusztrálja az alábbi ábra:

Erre rengeteg jelenség alapul, például a repül®gép felhajtóereje és autó leszorítóereje. Ezen esetekben egyolyan alakú tárgyat áramol körül a leveg®, hogy az egyik oldalon nagyobb áramlási sebesség alakul ki. Itt ezértkisebb lesz a nyomás; ez a nyomáskülönbség húzza felfelé a repül®t és szorítja az aszfalthoz a versenyautót.Hasonló módon �m¶ködik� az oldalszéllel közleked® vitorlás is: a széllel párhuzamos vitorla szárnyként visel-kedik, az egyik oldalán nagyobb áramlási sebesség és alacsony nyomás alakul ki, ez húzza a hajót a kívántirányba.Fontos látni, hogy a hátszéllel való közlekedés nem mindig optimális, mert a szélre mer®leges vitorlacsak kisebb sebességet engedne meg (és lehet, hogy az irány sem lenne jó): a szél vitorlához képesti sebességelecsökken, ha együtt mozognak. Megcsavart (forgó) labda viselkedését is a Bernoulli-törvény írja le: a labdaegyik oldala a széllel szemben forog, itt lecsökken a nyomás, és a labda pályája elhajlik.

A jelenség fontos az érrendszerben is: ha valahol egy kis tágulat jelentkezik, ott megn® a felület, így a kontinuitásmiatt lecsökken a sebesség, a Bernoulli-törvény miatt viszont emiatt megn® a nyomás, így a tágulat tovább n®

38

Page 39: pdf formátumban

� az értágulat tehát egy pozitívan visszacsatolt rendszer, amíg az ér rugalmas fala elég nagy er®vel ellen nemáll. Fontos továbbá megemlíteni, hogy változó magasságú cs®ben még a potenciális energia is szerepet játszik aBernoulli-törvényben, ekkor p + ρgh + ρv2/2 állandóságát kell kimondani, ahol h az áramlás adott pontjánakmagassága.

11.3. A viszkozitás

Lamináris áramlások esetén folyadékokban a folyással ellenkez® irányú nyíró er®k jelennek meg a folyadék-rétegek egymáson való súrlódása miatt. Ez a viszkozitás jelensége. Egy folyó példáján jól elmagyarázható ajelenség: a parton nulla a víz sebessége, de ∆y távolságra a parttól már ∆vx, és az eltér® sebesség¶ folyadékréte-gek �elcsúsznak� egymáson. A létrejöv® �súrlódási� er® ezzel a távolságegységre jutó sebességváltozással arányos,illetve az áramlás A keresztmetszetével:

Fx = ηA∆vx∆y

(130)

A fenti egyenletben az η arányossági tényez® a viszkozitás mértéke, amelynek mértékegysége Pa·s. A viszkozitása folyás tökéletességét jellemzi, a folyást gátló nyíró er®k hatását.18. Tökéletes folyadékban ilyen nyíró er®knincsenek � erre példa a szuperfolyékony hélium és a Világegyetem az ®srobbanás után. A folyás tökéletes-sége szemléletesen azt jelenti, hogy ha megkavarnánk egy pohárban ezt a folyadékot, az örökké keringene.19

A hagyományos folyadékok viszkózusak, azaz keringésük egy kis id® után leáll, ahogy azt egy pohár vízzelkipróbálhatjuk. Még viszkózusabb a méz, hiszen megkeverve el sem kezd keringeni. Extrém viszkózus folyadék-nak mondhatjuk az aszfaltot vagy akár az üveget is. Alább megadjuk néhány folyadék viszkozitását (többnyireszobah®mérsékleten értelmezett körülbelüli értékeket):

Anyag η [Pa·s] ρ [kg/m3] ν [m2/s]gázok (tipikus értékek) 10−5 1− 2 0,5−1 · 10−5

víz 10−3 1000 10−6

vér 3− 4 · 10−3 1000 3− 4 · 10−6

olaj 1 900 1,1·10−3

méz 2− 10 1400 0,001−0,007szurok kb. 108 1200 kb. 105

földköpeny (3000 fokon) 1020 3− 4000 2− 3 · 1016

üveg 1040 2500 4 · 1036

Az utolsó oszlopban megadtuk a viszkozitás és a s¶r¶ség ν = η/ρ hányadosát, amelyet �kinematikai viszkozitás-nak� nevezünk. Ennek értéke leveg®re a vízének tízszerese (mivel η százada, de a s¶r¶ség az ezrede a vízének).Így kinematikailag a leveg® viszkózusabb (tehát egy áramlás magától hamarabb leáll a leveg®ben), noha dina-mikailag a víz az (tehát adott nyomással kevesebb vizet lehet átpréselni egy csövön, illetve a közegellenállás isvízben nagyobb, ahogy alább látjuk majd). Érdekes még megemlíteni, hogy a szurok viszkozitását egy majdnem90 éve futó kísérletben mérik a Queenslandi Egyetemen: kb. tízévente cseppen egyet a tölcsérben elhelyezettanyag.

Fontos még megemlíteni, hogy vannak anyagok, amelyek esetében nem áll fenn a fejezet elején említettegyszer¶ összefüggés a visszahúzó er® (azaz a nyírófeszültség) és az áramlási sebesség változása között: egyesanyagok esetében n® a viszkozitás a nyírófeszültséggel (vízben oldott keményít®, vizes homok), más anyagokviszkozitása csökken növekv® nyírófeszültséggel (tejszínhab, vér, körömlakk, de jégrétegek is viselkednek így).S®t, olyanok is vannak, amelyekben az id®t®l függ a viszkozitás (gipsz vagy nyomtatófesték esetén n®, míg zsela-tin, pektin vagy joghurt esetén csökken). Mindezeket összefoglaló néven nem-newtoni folyadékoknak nevezzük.Ezekkel roppant érdekes jelenségeket lehet bemutatni, lásd pl. az órai kísérletet keményít® és víz keverékével(de a kicsit vízes homok is hasonlóan m¶ködik).

18A nyíró er®k szilárd testekre gyakorolt hatását lásd a 10.1. részben19Persze az edény falával attól még felléphetne súrlódás, de ez más lapra tartozik.

39

Page 40: pdf formátumban

11.4. Súrlódó áramlások, turbulencia

Most lássunk néhány, súrlódó áramlásokra vonatkozó egyszer¶ törvényt. Ezek közül legyen els® a Poiseuilletörvény, amely megadja, hogy ∆p nyomáskülönbség hatására másodpercenként hány köbméternyi anyag folyikát egy R sugarú, L hosszúságú csövön (ez a Q = ∆V/∆t térfogatáram, mértékegysége m3/s). Ez is az anyag ηviszkozitásától függ, méghozzá az alábbi módon:

Q =πR4

8ηL∆p. (131)

Ez azt jelenti, hogy kétszer akkora nyomás kétszer annyi anyagot nyom át, de kétszer akkora viszkozitásúfolyadék esetén csak feleannyi anyag áramlik át. Megadhatjuk az átfolyó anyag id®egységre jutó tömegét is:

∆m

∆t=ρ∆V

∆t= ρQ = ρ

πR4

8ηL∆p =

πR4

8νL∆p. (132)

Ez viszont már a kinematikai viszkozitástól függ! A törvény jelent®sége például abban áll, hogy kiszámíthatjuk,egy 10 km hosszú csövön mekkora nyomással tudunk annyi vizet átjuttatni, hogy azzal egy falut el lehessenlátni; vagy hogy egy 100 km hosszú gázvezetéken mekkora nyomás juttat át egy város f¶téséhez elegend® gázt.Ugyanezt a törvényt lehet alkalmazni akkor is, ha kíváncsiak vagyunk arra, a szívnek mekkora nyomást kelllétrehozni a keringés fenntartásához.

A következ® fontos törvény Stokes nevéhez f¶z®dik, és megadja, hogy egy R sugarú golyóra η viszkozitásúfolyadékban v lamináris áramlási sebesség esetén mekkora er® hat:

F = −6πηRv (133)

Ez tulajdonképpen a korábban említett F = −αv közegellenállási er® kifejtése. Nagyobb áramlási sebességek(vagy kisebb viszkozitás) esetén az áramlás turbulens lesz, erre az esetre vonatkozik az 5.2. részben említettF ∝ v2 törvény. Ez tulajdonképpen a Bernoulli-törvényben említett, v2-tel arányos nyomáskülönbség felléptemiatt van így.

Kérdés, hogy meg tudjuk-e el®re adni, hogy egy adott áramlás lamináris vagy turbulens lesz? Ebben vansegítségünkre a Reynolds-szám, melynek de�níciója a rendszer r méretskáláját és az áramlás v sebességét alapulvéve véve

Re =ρrv

η=rv

ν. (134)

Az ilyen jelleg¶ dimenziótlan számok jelent®sége az, hogy az áramlási kép kialakulása skálafüggetlen: feleakkoracs®ben kétszer akkora sebesség esetén hasonló áramlás alakul ki20 � erre alapulnak a szél- és vízcsatornák,amelyekben a mérnökön a �valódinál� kisebb méretben tesztelhetik berendezéseiket. Ha cs®ben történ® áramlásravonatkoztatjuk a Reynolds-számot, és r a cs® sugara, akkor Re<1150 esetén lamináris áramlás jön létre, mígRe>2000 esetén turbulens áramlás. A kett® között mindkett® lehetséges, és egyéb részletekt®l függ az áramlásikép. A Stokes-törvénybeli gömb alakú tárgy körül az áramlás képe az alábbi módon függ a Reynolds-számtól:

20Valójában még a nyomás per s¶r¶ség per sebesség négyzet de�níciójó Euler-szám hasonlósága is kell ehhez.

40

Page 41: pdf formátumban

Láthatóan minél kisebb a kinematikai viszkozitás, annál inkább jellemz® lehet az áramlásra a turbulencia meg-jelenése.

Lamináris áramlások esetén érvényes az el®z® bekezdésben említett Stokes-törvény, míg turbulens áramlásokesetén fellépnek örvények és sodrások � ezek a sebesség négyzetével arányos er®t eredményeznek. Az örvényekfelváltva érkezve kialakítanak egy fent látható áramlási pro�lt: ez lobogtatja a zászlót, hidak, épületek eseté-ben pedig azok rezonanciafrekvenciáját eltalálva rezonanciát, illetve széls®séges esetben rezonanciakatasztrófátidézhet el®.

12. Hullámmozgás és a hullámegyenlet

Ebben a fejezetben a hullámok absztrakt, azaz konkrét jelenségt®l független tulajdonságaival foglalkozunk. Azalap-jelenség egy térben és id®ben értelmezett függvény, f(t, x). Itt f pedig egy tér- és id®függ® mennyiség, amilehet például:

• egy húr kitérése (vonós hangszeren),• egy folyadék szintjének értéke (víz felszínének alakja),• az autók s¶r¶sége az autópályán,• egy rugó spiráljainak s¶r¶sége,

vagy bármi más, ami függhet tért®l és id®t®l.

12.1. A hullámmozgás matematikai alapjai

Ebben a szakaszban azt vizsgáljuk meg, hogy amit intuitívan �hullámmozgásnak� hívunk, azt hogyan forma-lizálhatjuk, azaz mit is jelent matematikailag egy hullám. Egy adott x0 pontban véve f(t, x0) csak az id®t®l függ:ez az autók s¶r¶sége az autópálya egy adott kilométerkövénél, a húr kitérése annak egy adott pontján, vagy avíz magassága egy adott helyen. Ha viszont egy adott t0 id®pontot veszünk, akkor f(t0, x) csak a helyt®l függ:ez a húr vagy a vízfelszín alakjáról készített pillanatkép az adott id®pontban. Ha egy hullám terjed mondjuk avízben, akkor az intuitívan azt jelenti, hogy a víz mostani magassága egy adott pontban ugyanakkora, mint egymásik pontban valamivel korábban: onnan � jött� ugyanis a hullám.

41

Page 42: pdf formátumban

Mindezt az f(x, t) függvényre vonatkozólag matematikailag úgy fogalmazhatjuk meg, hogy van olyan ∆t id®-tartam és hozzá tartozó ∆x távolság, amely esetén tetsz®leges helyen és id®pontban igaz a következ® egyenlet:

f(t+ ∆t, x) = f(t, x−∆x) (135)

Az autópálya esetére ez szavakkal úgy fogalmazható meg, hogy az autók s¶r¶sége (f) ugyanakkora lesz adotthelyen (x) egy perc múlva (t + ∆t), mint most (t) egy kilométerrel arrébb (x + ∆x).21 A hullámterjedés ma-tematikai megfogalmazása tehát a fenti egyenlet. Kérdés, hogy milyen függvények viselkednek így, azaz milyenfüggvények írnak le haladó hullámokat? Érdekes módon bármely olyan függvény teljesíti ezt, amely nem függkülön az x és t változóktól, csak ezek egy x + ct kombinációjától. Tehát az f(x, t) = F (x + ct) függvény (aholF () tetsz®leges egyváltozós függvény) teljesíti a (135) egyenletet, hiszen behelyettesítve:

f(t+ ∆t, x) = f(t, x−∆x) az eredeti egyenlet, innen (136)

F (x+ c(t+ ∆t)) = F (x+ ∆x− ct), ez biztosan teljesül, ha (137)

x+ c(t+ ∆t) = x+ ∆x− ct, azaz (138)

c∆t = ∆x, azaz (139)

∆x

∆t= c (140)

tehát a függvény alakja ∆t id®tartam múlva ugyanaz, csak c∆t mértékben eltolt, ahogy a fenti ábrán is látható.Ebb®l adódóan egyszer¶en megérthet®, hogy ezen f(x, t) = F (x+ ct) függvényalak esetén c a hullám �terjedésisebessége�. Azt is mondhatjuk, hogy a t0 = 0 id®pontban F (x) a hullám alakja, míg kés®bb F (x + ct), tehátugyanolyan alakú de eltolt hullámot látunk. Egyetlen pontot is kiszemelhetünk: az x = 0 helyen F (ct) módonfügg az id®t®l a �kitérés� (vagy az adott �zikai mennyiség). A fenti tárgyalás igen absztrakt volt, kicsit jobbanérthet® az egész, ha f helyére valami konkrét �zikai mennyiséget képzelünk (a fejezet elején említettek közülegyet). Megjegyzend® továbbá, hogy a fenti a legegyszer¶bb hullámokat írja le, valójában a fentit®l kicsit eltér®esetek is lehetnek, ahol az id®vel történ® eltolódás során a hullám alakja is változik.

12.2. Periodikus hullámok

Az absztrakt tárgyalást meg®rizve vizsgáljuk tovább a hullámokat! Ezek tipikusan térben periodikusak: azaznem egyetlen hullámhegyünk van, hanem ezek térben ismétl®dnek bizonyos távolságonként: ez a λ hullámhossz.Ezt matematikailag úgy fogalmazhatjuk meg, hogy x + nλ és x helyen ugyanaz a függvény értéke tetsz®legesn egész szám esetén, bármely t id®pillanatban: f(x, t) = f(x + nλ, t). Ez azonban azt jelenti, hogy id®ben isperiodikus a hullám, hiszen az f(x, t) = F (x+ ct) alakból kiindulva

F (x+ ct) = F (x+ λ+ ct) adódik, ahonnan (141)

F (x+ ct) = F

(x+ c

(t+

λ

c

))azaz (142)

F (x+ ct) = F (x+ c(t+ T )). (143)

21Az autópályán valóban így haladnak a torlódások, ezt nagyon egyszer¶ paraméterekkel szimulálva is lehet látni � elég hozzá egyreakcióid® miatti késleltetés és a kívánt sebességre való állandó visszagyorsítás, és bizonyos s¶r¶ség felett automatikusan kialakul adugó, amely aztán tényleg hullámszer¶en halad.

42

Page 43: pdf formátumban

Tehát ha térben λ periodicitással (hullámhosszal) rendelkezik a hullám, akkor T = λ/c periódusideje lesz (azazadott pontban ennyi id®nként ismétl®dik a látott függvényalak). A frekvencia de�níciója az id®egységenkéntiismétl®dések száma, azaz f = 1/T = c/λ (vigyázzunk, hogy az f frekvenciát ne keverjük össze a függvénytjelöl® bet¶vel).

Nézzük most meg, hogy milyen F függvényalakot választhatunk! Amennyiben egy egyszer¶ matematikaifüggvényt szeretnénk választani, mint valamely trigonometriai függvény, akkor az F (x) felírás nem m¶ködik �az x mennyiségnek ugyanis van mértékegysége (méter), míg a matematikai függvények argumentumába egy-szer¶ számokat írhatunk csak.22 Az F () függvény argumentumának mértékegységét tüntessük el egy k faktorral,amelynek 1/m a mértékegysége! Ekkor F (x+ct) helyett F (k(x+ct))-t írunk, illetve de�niáljuk az ω = kcmennyi-séget, és vegyük mostantól az f(x, t) = F (kx + ωt) alakot, amelyben F már tényleg bármilyen matematikaifüggvény lehet. Ha tetsz®leges periodikus függvény helyett szinuszhullámot választunk, azaz

f(x, t) = A sin(kx+ ωt) (144)

alakról beszélünk, akkor ennek hullámhossza λ = 2π/k lesz (hiszen a szinuszfüggvény 2π-nként ismétl®dik, ígysin(kx) = sin(k(x + 2π/k)) = sin(kx + 2π)). Ekkor a fentiek szerint T = λ/c = 2π/kc = 2π/ω is igaz lesz.Mindezeket összefoglalva a szinusz jelleg¶ periodikus hullámok alapvet® paramétereire ezek az összefüggésekigazak:

k =ω

c(145)

λ = 2πk (146)

T =λ

c(147)

f =1

T(148)

ω = 2πf. (149)

12.3. A Fourier-tétel

Általában hullámok esetén bonyolult térbeli alakok képzelhet®ek el, gondoljunk csak a víz felszínére viharosid®ben. Vajon hogyan kezelhetnénk ezen függvényeket egységesen? Joseph Fourier 1807-es �Mémoire sur lapropagation de la chaleur dans les corps solides� (Értekezés a szilárd testekben történ® h®terjedésr®l) cím¶munkájában (a h®terjedés �zikai tárgyalását egyszer¶sítend®) vezette be az azóta róla elnevezett Fourier-sorfejtésfogalmát: adott véges intervallumon bármely függvény felírható (számtani sorozat szerint növekv® frekvenciájú)szinusz és koszinusz függvény összegeként!23 Ezek a függvény úgynevezett Fourier-komponensei, illetve az ezekrevaló felbontás a Fourier-dekompozíció. Az egyes Fourier-komponensek relatív er®sségét a függvény Fourier-

22Gondoljuk meg: mennyi egy méter szinusza? Hogyan írjuk be ezt a számológépbe, sin(1)? De ha centiméterben fejezzük ki, akkorsin(100) lenne a jó megoldás? Vagy a végeredménynek is legyen valahogy mértékegysége, amelyet �méter szinusza� néven illetünk?Láthatólag ez nem m¶ködik. Különösen nyilvánvaló a dolog, ha sin(x) hatványsorára tekintünk: ebben x különböz® hatványaiszerepelnek, márpedig a méter különböz® hatványait nem adhatjuk össze!

23A valós számok teljes halmazán értelmezett függvény esetén ez csak akkor igaz, ha a függvény periodikus � ahogy a hullámoktöbbnyire.

43

Page 44: pdf formátumban

együtthatóinak nevezzük. Az F (x) függvény Fourier-felbontása tehát így néz ki:

F (x) =A0

2+

∞∑n=1

An cos(nx) +Bn sin(nx) (150)

Ezt mutatja a zenelejátszók kijelz®je is: gra�kusan kijelzi az alacsony, közepesen alacsony, közepes, közepesenmagas, magas hangok részarányát, azaz az ezeknek megfelel® Fourier-komponensek amplitúdóját.

A lényeg tehát az, hogy bármely hullámot felbonthatunk szinusz-komponensekre, és az általánosság meg-tartásával beszélhetünk mindig csak szinusz-hullámokról!24 A hullám prototípusa ezután tehát A sin(kx + ωt)lehet, ahogy a (144) egyenletben írtuk.

12.4. A hullámegyenlet

A fentiekben láttuk, hogy mit hívunk hullámnak, hogyan írhatjuk le matematikailag, és mik a legalapvet®bbparaméterei. Kérdés, hogy valóban kialakulnak-e ilyen hullámok, és ha igen, ennek mi az oka. Lássunk mostegy egyszer¶, mechanikai jelleg¶ példát, ahol hullámok megjelenésére számítunk: vegyük m tömeg¶ testek Drugóállandójú rugóval összekötött, ∆x távolságú sorozatát (ez elég jó modellje egydimenziós szilárd testeknek).Ekkor az f(x, t) mennyiség az x helyen lév® test kitérése t id®pontban, ahogy az alábbi ábrán is látszik (azid®függést az egyszer¶ség kedvéért nem mindig írtuk ki). Ekkor az x helyen lév® test gyorsulása az f(x, t)kitérés id® szerinti második deriváltja:

a =d2f(x, t)

dt2= f(x, t) (151)

Másrészt a testre ható er® az x + ∆x és x −∆x helyen lév® szomszédokhoz kötött rugók megnyúlásától függ,ahogy a lenti ábrán is látjuk (ahol az el®jelekre fokozottan kell �gyelni).

24A szinuszt és a koszinuszt ebb®l a szempontból egységesen kezelhetjük, hiszen az egyik csak eltoltja a másiknak. Nem periodikusfüggvényekre pedig az úgynevezett Fourier-transzformáció vonatkozik: itt az An együtthatók helyére egy A(ω) függvény lép, amellyelF (x) =

∫A(ω) sin(ωx)dω.

44

Page 45: pdf formátumban

Az er® összességében:

F = −D (f(x, t)− f(x+ ∆x, t))−D (f(x, t)− f(x−∆x, t))) (152)

Itt éppen a hely szerinti derivált t¶nik fel, mivel

f ′(x, t) =df(x, t)

dx' f(x, t)− f(x−∆x, t)

∆tilletve (153)

f ′′(x, t) =d2f(x, t)

dx2' f ′(x, t)− f ′(x−∆x, t)

∆t(154)

A (152) egyenlettel összevetve tehát mf(x, t) = D∆x2f ′′(x, t), c =√D/m∆x bevezetésével

f(x, t) = c2f ′′(x, t) (155)

Ezt hívjuk hullámegyenletnek, és eszerint az f(x, t) függvény második térbeli és id®beli deriváltja megegyezikegymással egy konstans erejéig. A fenti egyszer¶ esetre egzaktul levezettük ezt, de fontos tudni, hogy rengetegkülönböz® rendszerre kapunk hasonló egyenletet � a hullámegyenlet univerzális érvény¶ a �zikában.

De miért hívjuk ezt hullámegyenletnek, illetve hogyan mozog az ez által leírt rendszer? A kérdés matemati-kailag az, hogy mi a fenti parciális di�erenciálegyenlet megoldása. A válasz az, hogy tetsz®leges,

f(x, t) = F (x+ ct) (156)

alakú függvény megoldja a hullámegyenletet, F konkrét alakjától függetlenül. Ez az el®z® néhány szakasz alapjánegy c sebességgel terjed® hullámot jelent!25 A hullámmozgás oka tehát az, hogy a rendszer dinamikáját ahullámegyenlet írja le, amelynek megoldásai hullámok! Az olvasóra bízzuk annak ellen®rzését, hogy az f(x, t) =A sin(kx+ ωt) függvény megoldja-e a (155) egyenletet.

Egy ilyen rugós rendszerben irányával párhuzamosan történ® hatás nyomán tehát c =√D/m∆x sebesség¶

hullámok alakulhatnak ki. Most nem tárgyaljuk részletesen, de mer®leges hatás nyomán is hasonló hullám-egyenletre jutnánk, és a hullámok sebessége ekkor c =

√F∆x/m lenne, ahol rendszert a két végén kifeszít® F

er®.

12.5. Térbeli hullámok

A fentiekben eddig a hullámok legegyszer¶bb esetét tárgyaltuk, ahol egy térdimenzió van (azaz egy térko-ordináta, x), (és a hullámzó �zikai mennyiség is skalár, �egydimenziós�). A világ azonban háromdimenziós, és avalódi térben terjed® hullámok a #»r térpont mindhárom koordinátájától függhetnek. A hullámegyenletben ekkora második derivált helyébe a ∆ = d2

dx2 + d2

dy2 + d2

dz2 Laplace-operátor lép, amely az egyes irányok (az #»r = (x, y, z)

egyes komponensei) szerinti második deriváltak összegét képzi. Ezzel a háromdimenziós hullámegyenlet

f( #»r , t) = c2∆f( #»r , t) (157)

módon írható. Kérdés, hogy ennek ugyanolyan egyszer¶en írhatóak-e fel a megoldásai, mint a (155) egyenletbenláttuk. Két esetben igen.

Az els® a síkhullám: ekkor a hullám egy rögzített irányban halad, ezt az irányt adva a k hullámszámnak kap-juk a

k hullámszám-vektort. Ebben az esetben a#»

k -ra mer®leges síkokon konstans a hullámzó �zikai mennyiség,tehát tényleg olyan, mintha sík hullámfrontok haladnának el®re

k irányában, c sebességgel. Ezt matematikailagúgy írhatjuk, hogy

f( #»r , t) = A sin(#»

k #»r + ωt) (158)

Mivel itt skalárszorzat szerepel, ezért #»r -nek csak a#»

k irányú komponense számít, az erre mer®leges nem: a#»

k -ramer®leges felületeken adott id®pillanatban véve f( #»r , t) konstans. Megtehetjük, hogy a derékszög¶ koordináta-rendszerünket úgy választjuk meg, hogy az x tengely éppen

k irányába mutasson, ekkor#»

k = (k, 0, 0). Ezzel ésaz #»r = (x, y, z) összefüggéssel f( #»r , t) = A sin(kx+ ωt), tehát a síkhullámok tulajdonképpen egydimenziós hul-lámként is értelmezhet®ek. Az olvasóra bízzuk annak vizsgálatát, hogy ez kielégíti-e a fenti, Laplace-operátoroshullámegyenletet.

A térbeli hullámok másik egyszer¶ verziója a gömbhullám, ahol a hullámok kiindulópontja egyetlen pont, ésa hullámfrontok gömbfelületeknek felelnek meg. Ekkor a hullámegyenlet megoldásában a hullámzó mennyiségcsak a középponttól vett r = | #»r | távolságtól függ, és az amplitúdó a távolsággal fordítottan arányosan csökken:

f( #»r , t) =A

rsin(kr + ωt). (159)

25Valójában G(x − ct) is megoldás tetsz®leges G() függvénnyel, ami az ellenkez® irányba haladó hullámot jelent � s®t, a kett®kombinációja is megoldás.

45

Page 46: pdf formátumban

12.6. A Doppler-jelenség

Érdekes megvizsgálni, hogy hogyan észlelünk egy olyan hullámot, amelynek forrása mozog, azaz közeledikfelénk vagy távolodik t®lünk. Ahogy a lenti ábrán is látható, ilyenkor az egymás után kibocsátott hullámfrontokközött kisebb lesz a távolság, azaz a hullámhossz, hiszen a forrás �utánuk megy�. Tegyük fel, hogy a forrásfrekvenciája f , az ehhez tartozó periódusid® T = 1/f , a hullámhossz λ, a hullám terjedési sebessége pedig c.Ha a forrás v < c sebességgel közeledik26, akkor az els® hullámfronthoz képest a második közelebbr®l indul, ígya két hullám közötti távolság, azaz az álló meg�gyel® szerinti hullámhossz λ′ = λ − Tv szerint módosul. Ezekalapján (T = 1/f = λ/c miatt) λ′ = λ(1− v/c), azaz az észlelt frekvencia

f ′ = f1

1− v/c, (160)

ahol a sebesség el®jele közeledés esetén pozitív, távolodás esetén negatív. El®bbi esetben tehát egy egynél kisebbszámmal osztjuk a frekvenciát, ami növekszik: közeled® forrás frekvenciája n®, például közeled® ment®autószirénája magasabbnak hangzik (a hang frekvenciája annak magasságával függ össze, ahogy kés®bb látni fogjuk).

Hasonlóan belátható, hogy távolodó forrás frekvenciája csökken avagy hullámhossza n®: például a távolodócsillagok (galaxisok) fénye vörösebbnek t¶nik, ezt hívjuk vöröseltolódásnak. Ez a jelenség kiemelten fontos: ezalapján sejtették meg, hogy az Univerzum egyfajta ®srobbanásban keletkezett. Hiszen a vöröseltolódás alapjánminden galaxis távolodik, s®t, minél messzebb van, annál gyorsabban. Ez robbanásszer¶ tágulással magyaráz-ható, ahol azért van t®lünk távol valami, mert nagy volt eleve a sebessége.

Hanghullám esetében érdemes vizsgálni, hogy mi történik, ha a meg�gyel® közeledik a forráshoz, és a forrásáll. Ekkor a meg�gyel® az els® hullámfront után a másodikkal hamarabb találkozik, hiszen mozgása miatt�elébe megy�. Egymáshoz viszonyított relatív sebességük v + c módon számítható27, ezért a meg�gyel® szerinta periódusid®, azaz a λ távolságra lév® hullámfrontok észlelése között eltelt id® T ′ = λ/(v + c) = T/(1 + v/c)lesz, azaz

f ′ = f(1 + v/c) (161)

ahol ismét a sebesség el®jele közeledés esetén pozitív, távolodás esetén negatív. A hatás az el®z® esetben tár-gyalttal azonos, s®t, kis sebesség esetén 1 + v/c ' 1/(1 − v/c) (javasoljuk, hogy az olvasó próbálja ki ezt kisszámokra, például hasonlítsa össze 1 + 0, 001 és 1/(1− 0, 001) értékét. A két jelenség összevonva így írható:

f ′ = f1 + vm/c

1− vf/c(162)

ha vm a meg�gyel®, vf a forrás közeghez képesti közeledési sebessége (és távolodás esetén negatív sebességetkell �gyelembe venni mindkett®re).

26A hullám terjedési sebességénél nagyobb sebesség¶ meg�gyel®nél mindenféle furcsa jelenségeket lehet meg�gyelni, mint példáula hangsebesség átlépésekor keltett �hangrobbanás�, vagy fénynél az úgynevezett Cserenkov sugárzás

27Ez a levezetés fényre és más elektromágneses hullámokra nem érvényes, ahogy a következ® félévi anyagban látjuk majd, hiszenaz minden meg�gyel®höz képest ugyanazzal a c sebességgel megy.

46

Page 47: pdf formátumban

12.7. Hullámok elhajlása, interferencia: a Huygens�Fresnel-elv

A hullámok térbeli terjedése során sokféle érdekes jelenséget tapasztalunk. A hullámok néha eltérülnek, haakadályba ütköznek vagy közeghatárra érnek. Mi ennek az alapja? Hullámok terjedésének vizsgálata során alegalapvet®bb törvény a Huygens�Fresnel-elv, amely szerint a hullámfront minden pontja további elemi hullámokkiindulópontja.28. Az alábbi ábra bal rajza alapján ez megmutatja, hogy miért hallatszik ki egy ajtón a hangakkor is, ha a beszél®t eltakarja el®lünk a fal: a hullám az akadályon áthaladó hullámfront pontjaiból kiindulvajobbra és balra is elhajlik. Mindez csak akkor igaz, ha az akadály mérete a hullámhossz nagyságrendjébe esik:a fény már nem kanyarodik be az ajtón! Hasonlóan értelmezhet® az a jelenség is, hogy közeghatáron a hullámelhajlik: az új közegben lassabban terjedvén a határról induló hullámok a beérkez®t®l eltér® irányú hullámfrontotalakítanak ki. Az utóbbi (a lenti ábrán középs®) jelenség például a délibábban mutatkozik meg: a különböz®s¶r¶ség¶ leveg®rétegekben elhajlik a fény (és a hang is), és így egy tükrözött képet látunk a forró felületen.Mindezt a következ® félévi anyag optikáról szóló részében részletesebben is megvizsgáljuk. Megemlítend® még,hogy a földrengések hullámai is elhajlanak a Föld szerkezetének különböz® rétegeinek határára érve, ezért ezekkela hullámokkal tulajdonképpen a Föld bels® szerkezetét is vizsgálhatjuk.

Fontos még az interferencia jelensége is, amely hullámok találkozásakor jelenik meg, ahogy azt a 2.3. szakasz-ban is tárgyaltuk: azonos fázisú hullámok találkozásakor er®sítés jön létre, ellentétes fázis esetén gyengítés.Egy hullámot két résre bocsátva az utána elhelyezett erny®n interferencia-mintázat jelenik meg, ugyanis azerny® különböz® pontjaiig különböz® fázisban ér a két résb®l kiinduló hullám. Ez is a hullámhosszal azonosnagyságrendbe es® (vagy kisebb) méretskálájú rések esetén érvényes, ahogy azt majd a jöv® félévben tárgyaljuk.

13. Mechanikai hullámok

Mechanikai hullámokban valamely mozgás, azaz a részecskék kitérése hozza létre a hullámot, azaz általánosf(x, t) függvény itt valamilyen elmozdulást/kitérést jelent. Az alábbiakban a mechanikai hullámok típusait éstulajdonságait vizsgáljuk, illetve azok környezettani vonatkozásait.

13.1. Hullámtípusok, terjedési sebesség

A mechanikai hullámok két f® csoportba sorolhatóak. Az egyik típus a longitudinális hullám, ahol a ré-szecskék elmozdulása (kitérése) a hullám terjedési irányával azonos. Ilyen hullám a hang, illetve a földrengésekP-hullámai is, vagy a robbanásban keletkez® lökéshullámok. Ebben az esetben tulajdonképpen s¶r¶séghullámrólis beszélhetünk, hiszen az anyag bes¶r¶södik majd megritkul, ahogy a hullámfront elhalad (lásd az alábbi ábrát).Hasonlóan mondhatjuk ezt a típust nyomáshullámnak is, hiszen a s¶r¶södési helyeken a nyomás is megnövekszik.Ezt majd részletesen a következ® szakaszban tárgyaljuk.

A mechanikai hullámok másik f® típusa a transzverzális hullám, amelyben a részecskék kitérése mer®leges ahullám haladási irányára. Ilyen hullámok jönnek létre egy megpengetett húrban vagy egy megütött dobban is,illetve bár nem mechanikai jelleg¶, de transzverzálisnak tekinthet®ek az elektromágneses hullámok, például afény is (itt nem a kitérés, hanem az elektromos és mágneses tér mer®leges a hullám terjedési irányára).

28Maga az elv nem egészen helyes alapokon nyugszik, matematikailag és �zikailag is korrekt verzióját Kircho� írta le kés®bb.A következtetések, amelyeket levonhatunk bel®le, attól még érdekes módon helyesek, és az elv is kell®en egyszer¶ és szemléletesahhoz, hogy használjuk.

47

Page 48: pdf formátumban

Longitudinális mechanikai hullámok könnyen terjedhetnek mindenféle anyagban/közegben, hiszen itt a részecs-kék egész egyszer¶en meglökik egymást. A transzverzális hullámokkal már más a helyzet: egy gáz vagy folyadékmolekulájának fel-le mozgása nem hat a mellette lév®re, így ilyen hullám ezekben a közegekben nem terjedhet.Szilárd testekben viszont az egyes atomok vagy molekulák minden szomszédjukhoz kötöttek, és nyugalmi hely-zetük körül kis oszcillációkra képesek. Egy adott részecske fel-le mozgása a mellette lév®t is magával rántja, ígyszilárd közegben transzverzális hullámok is terjedhetnek.

Lássuk most ezen hullámok terjedési sebességét. A hullámegyenletnél említett rugós példában a hullámterjedési sebességére ∆x

√D/m jött ki. Ez (többek között) azt fejezi ki, hogy minél er®sebbek a részecskéket

összeköt® rugók, annál nagyobb a (példa szerint longitudinális) hullám terjedési sebessége. Ez valóban így van,a longitudinális hullámok terjedési sebessége a keménység gyökével arányos (és kicsit más törvény vonatkozikfolyadékokra és gázokra mint szilárd anyagokra), míg a transzverzálisoké a nyíró er®kével:

clong,gáz/foly. =

√dp

dρ=

√K

ρés clong,szil. =

√K + 4G/3

ρ, illetve ctransz =

√G

ρ(163)

ahol ρ az anyag s¶r¶sége, p a nyomás, G és K pedig a 10.1 és a 10.2. fejezetekben említett nyíró és térfogatirugalmassági együtthatók. Ennek megfelel®en a longitudinális mechanikai hullámok sebessége acélban 5-6000m/s, gyémántban 12000 m/s, míg ólomban alig 1000 m/s fölötti. Szilárd anyagokban transzverzális hullámokis terjednek, ezek sebessége körülbelül fele a longitudinális hullámok imént számszer¶sített sebességének. Fo-lyadékokban 1000-2000 m/s körül van ez a sebesség, vízben 1500 m/s. Gázokban szintén a fenti formulánakmegfelel®en ennél lényegesen alacsonyabb a terjedési sebesség, leveg®ben kb. 330 m/s (nulla fokon, efelett ele-inte kb. fokonként 0,6 m/s-mal n®). A fenti törvény szerint a s¶r¶séggel, azaz azon keresztül a móltömeggelfordítottan arányos a terjedési sebesség, ezért hidrogéngázban például az 1300 m/s értéket is eléri. Megemlítjüktovábbá, hogy egyatomos gázokban 1,1-szer nagyobb a sebesség, mint (azonos egyéb tulajdonságokkal rendel-kez®) kétatomos gázban. Az ebben a bekezdésben tárgyalt sebességet hangsebességnek is hívhatjuk, hiszen alongitudinális mechanikai hullámot hanghullámnak is nevezzük, ahogy majd alább tárgyaljuk.

A fent tárgyalt térfogati jelleg¶ (azaz a közeg belsejében terjed®) hullámokon túl úgynevezett felületi hul-lámok is kialakulnak, ha két közeg határát vizsgáljuk. Ezek közül kiemelten fontosak a Rayleigh-hullámok,melyeknél a felszínhez közeli részecskék a haladási iránynak megfelel®, a felszínre mer®leges körkörös mozgástvégeznek. Ezekre jó példa a vízfelszín hullámzása és a földrengések felszíni hullámai is, de ezekkel vizsgáljákegyes anyagok szerkezetét is. Ide tartoznak még a Love-hullámok is, melynek során a felszín a haladási irányramer®legesen, jobbra balra mozog, földrengéseknél ezek is jelent®sek. Ugyan bizonyos értelemben ez a hullám istranszverzális, de fontos, hogy itt csak a felszínhez közeli részek vesznek részt a hullámzásban.

A földrengések szeizmikus hullámai segítségével, azokat a Föld több pontján meg�gyelve lehet feltérképeznia Föld bels® szerkezetét, mivel beérkezésük ideje megtett útjukról árulkodik, melynek során a réteghatárokonelhajlanak. A hullámok típustól függ® módon terjednek: a térfogati hullámok közül a transzverzális a föld fo-lyékony bels® rétegein nem tud áthaladni, míg a longitudinális igen. Ez utóbbi gyorsabb is, el®bb ér az adottmeg�gyel®állomásra, ezért ezt P (primary) hullámnak nevezik � a transzverzális hullámokat pedig S (secondary)hullámnak. A felületi hullámok mindkett®nél lassabban érnek a meg�gyel®állomásra, viszont amplitúdójuk lé-nyegesen nagyobb. Mindezt az alábbi ábra illusztrálja:

A víz hullámain a vízfelszín részecskéik lényegében körmozgást végeznek, Rayleigh-hullámok módjára. Rö-viden említsük meg a vízhullámok sebességét: sekély vízben h mélység esetén c '

√gh jó közelítéssel, míg mély

vízben c '√gλ/2π a hullámok terjedési sebessége (ahol λ az adott hullám hullámhosza). Ez utóbbi esetben

tehát a nagyobb hullámhosszú hullámok gyorsabbak, ez egyfajta diszperziót okoz.

48

Page 49: pdf formátumban

13.2. A hang �zikájának alapjai

Az ember által hang formájában észlelhet® mechanikai hullámokat hangnak hívjuk. Többnyire gázban terjed®longitudinális hullámot jelent a hang, amelynek frekvenciatartománya nagyjából 20 Hz és 20 kHz között van. Ahang frekvenciáját a hang magasságaként és mélységeként érzékeljük: az alacsony frekvenciájú hangot mélynek,a nagy frekvenciájú hangot magasnak érzékeljük. Az érzékelés fels® és alsó határa az egyént®l és a kortól is függ� a nagyon magas hangokat csak a leg�atalabbak hallják.

Vizsgáljuk most meg, hogy mikroszkopikusan nézve hogyan terjed a hang a leveg®ben. Egy adott t id®pilla-natban az x helyen lév® molekulák kitérése f(x, t) = f0 sin(kx+ωt) módon írható, ha egyszer¶ szinuszhullámottekintünk. Ekkor egy ∆x vastagságú, A keresztmetszet¶ rétegre a Newton-törvény alapján

F = ma = ρV a = ρA∆xa = ρA∆xf(x, t) (164)

er®nek kell hatnia. Ez az er® a két oldali közötti nyomáskülönbségb®l származik, mértéke F = A∆p. A kétfélemódon kifejezett er® egyenl®ségét feltéve az alábbi levezetést tehetjük meg:

A∆p = ρA∆xf (165)

∆p

∆x= ρf (166)

p′(x, t) = ρf(x, t) (167)

p′(x, t) = −ρf0ω2 sin(kx+ ωt), azaz (168)

p(x, t) = p0 + ρf0ωc cos(kx+ ωt) (169)

adódik, ahol p0 a környezeti nyomás, ehhez képest ingadozik a leveg® nyomása az adott x pontban. A hang tehát anyomás p(x, t) szerint hullámzásának is tekinthet®, és a nyomáshullám amplitúdója pA = ρf0ωcmódon függ összea kitérés f0 amplitúdójával. A hanghullám amplitúdóját az ember a hang er®sségeként avagy hangosságakéntérzékeli: minél nagyobb a fent de�niált pA nyomásamplitúdó, annál hangosabbnak halljuk a hangot. Az emberiérzékelés alsó határa, azaz a legkisebb hallható hang amplitúdója körülbelül pr = 20 µPa, ezt a kés®bbiekbenreferenciaként fogjuk használni. Említsük meg, hogy miután a légköri nyomás 1 atmoszféra avagy 100 kPa,ezért ennél nagyobb hangnyomás nem lehetséges (hiszen ekkor a szinuszhullám negatív pólusán a nyomás márnegatív lenne). Ez a földi légkörre vonatkozik, más bolygók légkörében, vagy az óceán mélyén ennél nagyobbnyomásamplitúdó is lehetséges.

De�niáljuk még a hang I intenzitását, azaz az adott felületen id®egység alatt átáramló energiát. Mivel ateljesítmény az er® és a sebesség szorzata, ezért ennek felületegységre vetített értéke a nyomás és a sebességszorzata,29 azaz a pillanatnyi intenzitás I = pv. A sebesség viszont a kitérés id®beli deriváltja, f . Ebb®l tehátI(t) = p(t) · f(t). A pillanatnyi intenzitás helyett azonban az egy periódusra átlagolt mennyiséget tekintjükintenzitásnak. Egy periodus T = 2π/ω ideig tart, erre kell átlagolni a fenti kifejezést. Erre a következ® eredménytkapjuk:

I =1

T

T∫0

I(t) =1

T

T∫0

p(t)f(t) =1

T

T∫0

pA cos(kx+ ωt)f0ω cos(kx+ ωt) =1

2f0pAω =

p2A

2ρc(170)

Az intenzitás tehát a nyomásamplitúdó négyzetével arányos.30 A legkisebb érzékelhet® intenzitás ennek meg-felel®en nagyjából I0 = 10−12 W/m2 = 1 pW/m2 (1000 Hz frekvenciájú hang esetén). A lehet® legnagyobbintenzitású hang, amelynek nyomásamplitúdója 1 atm, I = 20 MW/m2 intenzitással rendelkezik.

13.3. A hang által keltett érzet

Általánosságban igaz, hogy az emberi érzékelés logaritmikus: az érzet általában az azt kiváltó �zikai hatáslogaritmusától függ; erre azért van szükség, hogy több nagyságrenden át változó környezeti paraméterek eseténis m¶ködjenek érzékeink. A hang esetében emiatt de�niáljuk a decibelben kifejezett hanger®sséget, amelynél apA nyomásamplitúdó pr minimális (referencia-) amplitúdóhoz viszonyított értékének logaritmusát vesszük:

d = 20 log10

(pApr

). (171)

Ezt hívjuk hangosságnak vagy hangnyomásszintnek is hívjuk, és dB (decibel) mértékegységet adunk neki. Ál-talában egy csöndes szobában 30 dB körül van ennek értéke, míg a városi zaj 60-70 dB körül van, ahogy a

29Itt csak a nyomásingadozás értéke számít, hiszen a p0 környezeti nyomás térben állandó, azaz nem gyorsít.30A nyomásváltozás négyzetének átlaga p2A/2, tehát ezt egyfajta e�ektív nyomásnégyzetnek tekinthetjük

49

Page 50: pdf formátumban

közepesen hangos beszéd is. A 120 dB körüli hang érzékelése már fájdalommal jár. Mivel, ahogy fent írtuk, azintenzitás a nyomás négyzetével arányos, ezért a fenti formula így is írható:31

d = 10 log10

(I

I0

). (172)

Vizsgáljuk meg a fenti összefüggéseket, el®ször az alábbi táblázat segítségével, ahol felsorolunk néhány ti-pikus decibel értéket, és a hozzá tartozó nyomásamplitúdót és intenzitást. Az átváltást magunk is könnyenmegtehetjük, ha invertáljuk a fenti formulákat, ebb®l ugyanis

pA = pr10d20 és I = I010

d10 . (173)

Hang d pA Ileghalkabb hallható hang (1 kHz-en) 0 dB 20 µPa 1 pW/m2

csendes szoba 30 dB 0.6 mPa 1 nW/m2

normál beszélgetés 1 méteren 50 dB 6 mPa 0.1 µW/m2

botmixer kézben tartva 70 dB 60 mPa 0.01 mW/m2

forgalmas út melletti zaj 90 dB 0.6 Pa 1 mW/m2

motoros láncf¶rész 100 dB 2 Pa 10 mW/m2

Fájdalomköszöb 130 dB 60 Pa 10 W/m2

Hanggránát, géppuska 170 dB 6 kPa 100 kW/m2

Fels® korlát 194 dB 100 kPa 25 MW/m2

Láthatóan a �zikailag értelmezett mennyiségek sok nagyságrendet felölelnek, míg a �hangosság� csak tízesével,húszasával változik. Ez a logaritmikus összefüggés lényege: ha az intenzitás a tízszeresére változik, a hangosságtízzel n®. Ennek még jobb megértése céljából vizsgáljuk meg, hogy milyen hangnyomásszint (d) jön létre, ha egy80 dB-es és egy 70 dB-es hang megszólal egyszerre. Miután d1 = 80 dB, ehhez I1 = I0108 = 0, 1 mW/m2 tartozik,míg d2 = 70 dB miatt I1 = I0107 = 0, 01 W/m2. Ez összesen I = 0, 11 mW/m2, amihez d = 10 log I/I0 = 80, 4dB érték tartozik. Tehát a 70 dB-es hang csak 0,4 dB emel a 80 dB-es hangnyomásszintjén!

Érdemes még megemlíteni, hogy az emberi hallás érzékenysége frekvenciafügg®: ahogy közelítünk a legkisebbill. legnagyobb frekvenciához, az adott �zikai hatás által keltett inger er®ssége csökken. Ezt kezelend® használjuka fon egységet, amely a decibelhez hasonló, csak frekvenciafügg® I0(f) küszöbérték szerepel a de�níciójában. Akonstans fon értékhez tartozó decibel érték ekkor a frekvenciától függ. Ezt mutatja az alábbi ábra:

Láthatóan a beszéd mind frekvenciában, mint intenzitásban kis tartományt foglal el a hallgató hangok térképén.A zene (f®leg a klasszikus zene) már lényegesen nagyobb területen jelenik meg. Kiemelten érdekes a fenti ábrán,hogy az emberi hallás érzékenységének frekvenciafüggését mutatja: ennek maximuma néhány kHz környékénvan: egy ugyanilyen intenzitású, 100 Hz frekvenciájú hangot 20-30 dB-lel halkabbnak hallunk. Ezt onnan lehetlátni, hogy az emberi érzékelés a konstans fon értékhez tartozó piros görbék jelképezik: a valójában 60 dBer®sség¶ hanghoz csak 40 fon tartozik, ha a frekvenciája 100 Hz, de a fon és a decibel értékek 1 kHz frekvenciaesetén megegyeznek.

A fentiek környezettani fontosságát hangsúlyozandó felhívjuk a �gyelmet a zajszennyezés, zajterhelés és zaj-védelem kérdésére. Magyarországon a zajtól védend® területeken a különféle (ipari, szabadid®s) létesítményekt®lszármazó zajterhelés esetére nagyvárosi környezetben nappal tipikusan 55 dB a korlát, míg éjszaka 45 dB. Ezt

31Ez és az el®z® összefüggés valójában nem feltétlenül egyenérték¶. El®bbit hangnyomásszintnek, utóbbit hangintenzitásszintnekhívják az akusztikában, és visszhangmentes térben egyeznek meg tökéletesen.

50

Page 51: pdf formátumban

jó hangszigetel® anyagok alkalmazásával érik el. Egy anyag zajelnyel® képessége �zikailag a viszkozitásától függ,ugyanis a nyíró er®k azok, amelyek által a hang elveszti energiáját. Érdekességképpen megemlítjük, hogy ahangintenzitás I(x) = I(0)e−αx módon csökken a szigetelés x vastagságától függ®en, ahol α a hangelnyelésiegyüttható, értéke er®sen frekvenciafügg® � magas hangokat a legtöbb anyag könnyebben nyel el. Beton eseténátlagosan 10 1/m körül van (tehát 10 cm beton 1/e = 0.368 mértékben, 36,8 %-ára csökkenti a hang inten-zitását), poliuretán hab esetén ennek 2-3-szorosa, míg üvegszálas szigetel®anyagok esetén ennek ötszöröse islehet.

13.4. A hang forrásai

A hangok forrása különféle testek rezgése, amelyet valamilyen hangsugárzó test rezonancia révén feler®-sít. Tipikusan arról van tehát szó, hogy a hangot egy húr, membrán vagy esetleg hangszál rezgése adja. AFourier-tételnek megfelel®en ez az eredeti rezgés sokféle Fourier-komponenst tartalmaz. A rezonátor a sajátfrek-venciáihoz közel es® frekvenciájú hangokat feler®síti, ez adja az adott hangképz® eszköz, hangszer vagy emberhangszínét. Egy hangszer által megszólaltatott �tiszta hang� esetében is vannak felhangok, azaz magasabbfrekvenciájú komponensek � ezért tudjuk megkülönböztetni a gitár, heged¶, zongora hangját, vagy különböz®emberek hangját akkor is, ha mind ugyanazt frekvenciájú (magasságú) hangot szólaltatják meg.

Vizsgáljuk meg, hogy hogyan alakul ki az eredeti hang. A legegyszer¶bb eset a húré. Ezen állóhullámokalakulhatnak ki, amelyek a húr sajátrezgései. A lehet® legnagyobb hullámhossz akkor jön létre, ha éppen egyfél hullám keletkezik a húron: ekkor λ = 2l és f = c/λ = c/2l. Ennek minden egész számú többszöröse létre-jöhet, ahogy egyre több csomópont jön létre a hullámon. A lehetséges rezgések frekvenciáit fn = nc/2l módonsorolhatjuk fel. Ismert, hogy a mindkét végén F er®vel feszített, l hosszúságú, A keresztmetszet¶, m tömeg¶és ρ s¶r¶ség¶ húron a transzverzális hullámok sebessége c =

√Fl/m =

√F/Aρ (hasonlóan a 12.4. szakaszban

tárgyaltakhoz). Ebb®l adódóan az er®sebben feszített húron nagyobb hullámok sebessége, azaz nagyobb a frek-vencia is: feszesebb húron magasabb hang szólal meg � ezt mindenki tudja, aki már hangolt húros hangszert. Azadott húrt megpengetve (kézzel, penget®vel, vonóval, zongorán kalapáccsal) megszólal a fenti fn frekvenciasorminden tagja, és a hangszer teste ezeket különböz® mértékben er®síti fel. Félig zárt cs® (amely fúvós hangszerekesetén fontos) sajátrezgései esetén a hullámhossz a cs® négyszeresének egész számmal osztott verziója, tehátλn = 4l/n, és ez alapján az fn = nc/4l frekvenciák szólalnak meg.

Membránok rezgései ennél lényegesen bonyolultabbak, ezeket az úgynevezett Chladni-ábrák mutatják: külön-féle módusok esetén a rezgésnek �csomóvonalai� vannak � ha homokot szórnánk a membránra, az itt gy¶lneössze. Minél több csomópontja vagy csomóvonala van az adott sajátrezgésnek, annál nagyobb az adott rezgésfrekvenciája.

51

Page 52: pdf formátumban

Ezek a rezgések hozzák létre a dobok hangját, de a ilyenek rezonanciája er®síti fel a heged¶ vagy a gitár általkiadott hangot is. Az adott alakhoz tartozó sajátrezgéseknek megfelel® sajátfrekvenciák adják az adott hangszerhangszínét � az ennek megfelel® felhangokat er®síti fel a hangszer teste.

13.5. Hangsorok, konszonancia és disszonancia

Befejezésként ebben a szakaszban a zene �zikáját (s®t, matematikáját) tárgyaljuk röviden. Kérdés, hogymiért hallunk egyes hangokat, hangsorokat kellemesnek, másokat kellemetlennek? Érdekes, hogy ez nem tanultképesség, hiszen a madarak éneke bizonyos szempontból igen hasonló a klasszikus zenében megjelen® hangso-rokhoz. Ennek részletes �ziológiája máig kutatott terület. Helmholtz szerint a két hang átmenetekor hallgatólebegések miatt lesz két hang disszonáns, de más magyarázatok is vannak (pl Stumpf: összeolvadási érzet). Ha azokokat nem is tudjuk pontosan, de tény, hogy azon hangok egymásutánja hangzik kellemesnek, konszonánsnak,amelyek frekvenciáinak hányadosa kis egész számok arányának felel meg. Tehát hangok egymás után (vagy egy-szerre) hangzásánál a f1/f2 hangköz határozza meg a konszonanciát. Az abszolút konszonancia a 2:1 hangköz(ezt oktávnak nevezzük), míg egyéb kis egész számok esetén teljes konszonanciáról beszélünk. Ezek közül a 3:2a kvint, 4:3 a kvart, 5:4 a nagy terc és 6:5 a kis terc.

Ennek �zikai és matematikai részleteit nem ismerve dalolnak a madarak és építettek igen kiváló hangszereketmár a középkorban is. Ezen hangszereken bizonyos konkrét hangközöket volt lehet®ség lejátszani: például egycsembalón vagy zongorán a �xen beépített húrok sajátfrekvenciái szólalhatnak meg. Ennek megfelel®en a zenétis úgy írták, hogy az adott hangszeren annak hangjai megszólaltathatóak legyenek. A lehetséges hangok korlátoslistája miatt hangsorokat de�náltak, melyeknél szomszédos hangok között a hangközök lehetséges értékei 9/8(nagy egész hang), 10/9 (kis egész hang) vagy 16/15 (nagy félhang) voltak. A két klasszikus skála a dúr és amoll. Mindkett®ben az egymást követ® hangok között egész hangközök vannak, de a dúr skála esetén a harmadikés a hetedik hangköz félhang, míg moll skála esetén a második és az ötödik az. A dúr hangsor így néz ki (ahangközöket is feltüntetve):

1 98

54

43

32

53

158 2

98

109

1615

98

109

98

1615

Ezzel szemben a moll hangsor és hangközei ezek:

1 98

65

43

32

85

95 2

98

1615

109

98

1615

98

109

Mindkét hangsor els® és utolsó hangja között egy oktáv van, tehát ezután ismét folytatódhat a hangsor � s®t,bármely hangjáról kezd®dhet, ezért c-moll, f-dúr és hasonló hangnemeket említenek a zenében. A moll hangsorharmadik hangközét®l indulva visszakapjuk a dúr sorrendet, vagy a dúr skála hatodik hangközét®l a mollt (ld.párhuzamos moll), néhány apró eltéréssel: kis egész hang helyett egyes pontokon nagy egész hang van, és viszont;míg az azonos hangok között a különbség egy kis félhang, 25/24 (ld. az �isz� és �esz� végz®dést). Az így �eltolt�moll skála és a dúr skála azonos hangjai ezért majdnem tökéletesen azonosak. Ugyanakkor tökéletes hangzástkívánva egy adott hangszert vagy a moll, vagy a dúr skálára kellett hangolni, ráadásul annak is adott hangrólinduló verziójára.

Felmerült az igény, hogy ugyanaz a zenem¶ tetsz®leges hangról kiindulva legyen lejátszható olyan hangszerenis, ahol nem a zenész határozza meg a hangok magasságát (azaz ahol a hangszer nem a zenész által hangolható).Ha a két fenti skálát összerakjuk, a minimum kis félhang hangköz¶ hangokat különböz®nek elfogadva, 21 hangotkapunk. Ez is túl b®, egy oktávon belül ennyi billenty¶ egy zongorára sok. A kínálkozó egyszer¶sítés az, hogylegyen 12 egyenl® hangköz (a dúr és a moll 2-2 félhangját felvéve a nyolc egész hang közé), azaz a hangsor 1,δ, δ2, . . . , δ12 hangokból álljon (azaz az egész hang δ, a félhang δ2 aránynak felel meg). Miután a végén el kellérni az egy oktávot, ezért 2 = δ12, amib®l δ = 12

√2 = 1, 0595 adódik. Az így kialakított skálát hívják temperált

skálának. Ebben például a kvint 1,05955=1,4983 értéket kap 3/2=1,5 helyett.

Érdemes még megemlíteni, hogy a fenti hangsorok akkor jelentenek konkrét frekvenciát, ha rögzítünk egy�x pontot is. Ez a hangoláshoz használt alaphang, amely az ötödik (az `a') hang, 1939 óta 440 Hz frekvenciájú(azel®tt 435 Hz volt). Eszerint az egyvonalas c, azaz c1 261,63 Hz (mivel 9 hangközzel arrébb van), �zikaihangolásban viszont ugyanez 256 Hz (mert ez egész szám, ráadásul kett® egész hatványa).

A. Ellen®rz® kérdések

Zárásként megadunk minden korábbi témához kapcsolódóan néhány kérdést (f® szakaszonként csoportosítva).Ezek célja, hogy segítségükkel az olvasó felmérhesse, megértette-e a kurzus illetve ezen jegyzet anyagát. A legjobb

52

Page 53: pdf formátumban

tehát, ha ezekre a választ ki-ki maga dolgozza ki, miután végigolvasta és feldolgozta a jegyzetet. Az el®adáshozkapcsolódó gyakorlaton rengeteg gyakorlati példa megoldására kerül sor, ezért az alábbiakban inkább �elméleti�jelleg¶ kérdéseket teszünk fel, a néhány �számolós� kérdés azért szerepel, mert sokszor ez teszteli igazán amegértést.

1. Mi a kapcsolat a hely, a sebesség és a gyorsulás között?

2. Egyenletes mozgás esetén hogyan függ a helyzet az id®t®l?

3. Egyenletesen gyorsuló mozgás esetén hogyan függ a helyzet az id®t®l?

4. Egyenletesen gyorsuló mozgás esetén hogyan függ a sebesség az id®t®l?

5. Mondj három példát egyenletesen gyorsuló mozgásokra! Rajzold le a mozgás vázlatát!

6. Egyenletes a lassulás esetén v0 sebességr®l mennyi id® alatt áll meg egy fékez® autó, és ez id® alatt mekkorautat tesz meg?

7. Egy tárgyat beleejtünk a liftaknába, majd 8 másodperc után halljuk, hogy földet ér. Milyen mély a liftakna,és mennyi volt a tárgy végsebessége?

8. Harmonikus rezgés esetén hogyan függ a hely az id®t®l?

9. Harmonikus rezgés esetén hogyan függ a sebesség az id®t®l?

10. Két dimenzióban történ® hajítás esetén hogyan függ a helyzet az id®t®l?

11. Vízszintesen eldobunk egy tárgyat egy 100 méteres ház tetejér®l. Ha elhanyagolható a légellenállás, milyenmesszire repül ez a tárgy � azaz x irányban hol ér földet?

12. Mondj példát állandó gyorsulású kétdimenziós mozgásra! Mi itt a gyorsulás forrása?

13. Egyenletes körmozgás esetén hogyan függ a hely(vektor) az id®t®l?

14. Egyenletes körmozgás esetén hogyan függ a sebesség(vektor) az id®t®l?

15. Hogy írható fel egy percenként 1200 fordulatot tev®, 60 cm sugarú autókerék futófelületének gyorsulás-vektora?

16. Egy test 1 méter sugarú körpályán kering, másodpercenként kétszer körbeérve. Ha α = 0 pozícióból indul,hogyan írható fel a 2,25 másodperccel kés®bbi gyorsulásvektora?

17. Mit jelent a szögsebesség?

18. Mit jelent a szöggyorsulás?

19. Körmozgás esetén mit tudunk a gyorsulásról?

20. Mit mond ki Newton els® törvénye?

21. Mi az inerciarendszer?

22. A Földhöz rögzített vonatkoztatási rendszer inerciarendszer?

23. Honnan tudhatjuk, hogy nem inerciarendszerben vagyunk? Mondj egyszer¶ példát is!

24. Mit mond ki Newton második törvénye?

25. Mi a tehetetlen tömeg de�níciója?

26. Egy 20 tonnás mozdony fékez®ereje tízezer Newton. Mekkora távolságon tud megállni 108 km/h sebesség-r®l?

27. Mekkora er®vel kell fékezni egy 1000 kg tömeg¶ autót, hogy 108 km/h sebességr®l 45 méteren megálljon?

28. Mi az er® nélküli gyorsulás problémája, hogyan kezelhetjük az ilyen helyzetet?

29. Newton második törvényéb®l miért következik, hogy a Földön a testekre mg er® hat lefelé?

30. A körmozgásra nézve mi következik Newton második törvényéb®l?

53

Page 54: pdf formátumban

31. Mit mond ki Newton harmadik törvénye?

32. Mi a lendület de�níciója?

33. Mi a lendület és az er® kapcsolata?

34. Egy tárgyra 10 másodpercig 1000 N er® hat. Mennyivel n® meg az impulzusa? Ha 10 kg a tömege,mennyivel n® meg a sebessége?

35. Mikor marad meg egy rendszerben az impulzus?

36. Mekkora impulzust ad át egy visszapattanó labda a falnak?

37. Mi a tömegközéppont?

38. Miért vezetünk be nem-newtoni er®ket?

39. Mi a tehetetlenségi er®, és mekkora a nagysága?

40. Milyen nem-newtoni er®ket ismersz?

41. Mekkora és milyen er® hat egy a gyorsulással (lassulással) fékez® buszban lév® m tömeg¶ testre, és miért?

42. A vidámpark egyik létesítményében 5g gyorsulást próbálhatunk ki. Mekkora er®t kell ekkor kibírnia a 100kg-os embert is elbíró biztonsági övnek?

43. Mi a kapcsolat/különbség centrifugális és centripetális er® között?

44. Mi a Coriolis-hatás, mit®l és hogyan függ nagysága és iránya?

45. Mekkora a Coriolis-er® eltérít® hatása adott szögsebesség, távolság és sebesség esetén?

46. Egy 300 m/s sebesség¶ puskagolyó Budapesten kil®ve mennyit térül el a 100 méterre délre lév® célig valórepülése során?

47. Mekkora Coriolis-er® hat egy 1000 kg tömeg¶ autóra, ha dél felé halad 126 km/h sebességgel?

48. Milyen �zikai rendszerekben jelent®s a Coriolis-er®?

49. Mi a Rossby-szám?

50. Mit jelent a pozitív és a negatív visszacsatolás?

51. Mit tudsz a rugóer®r®l?

52. Milyen er®hatás hoz létre harmonikus rezg®mozgást?

53. Mi a harmonikus oszcillátor?

54. Hogyan függ az id®t®l egy test kitérése csillapított rezgés esetén? Rajzolj ábrát!

55. Mi a rezonancia jelensége?

56. Mennyire er®síti fel egy rendszer a küls® forrásból jöv® rezgést rezonancia esetén? Rajzolj ábrát!

57. Mi a rezonancia-katasztrófa?

58. Hogyan hat a közegellenállási er® (mit®l függ és hogyan)?

59. Mikor lineáris és mikor négyzetes a közegellenállás sebességfüggése?

60. Miért nem gyorsulnak az es®cseppek zuhanásuk teljes id®tartama alatt?

61. Ha az egyenletes mozgáshoz nem kell er®, akkor miért van mégis az autóknak �végsebessége�?

62. Egy autóra F = 0, 1 kg/m ·v2 nagyságú közegellenállási er® hat. Ha maximum 100 kW teljesítményt tudleadni, akkor mekkora a maximális sebessége?

63. Hogyan hat a csúszási súrlódási er®?

64. Mit®l és hogyan függ, hogy a lejt®n csúszó test tovább gyorsul vagy lelassul és megáll?

54

Page 55: pdf formátumban

65. Hogyan hat a tapadási súrlódási er®?

66. Mit®l és hogyan függ, hogy egy test �megcsúszhat-e� egy lejt®n (vagy megcsúszása esetén egyb®l megállna)?

67. Milyen távolságra vannak a bolygók a Naptól nagyságrendileg?

68. Melyik bolygó van a Földhöz legközelebb?

69. Nagyságrendileg mekkorák a bolygók?

70. Mi Kepler els® törvénye?

71. Mi Kepler második törvénye?

72. Mi Kepler harmadik törvénye?

73. Mennyivel lenne hosszabb egy év, ha a Föld négyszer olyan messze lenne a Naptól?

74. Mi következik Kepler második törvényéb®l, illetve ez mib®l vezethet® le?

75. Mi következik Kepler harmadik törvényéb®l a gravitációs er®re vonatkozóan?

76. Mit mond ki Newton gravitációs törvénye?

77. Mekkora er®vel vonzza a Földet egy 1 kg tömeg¶ vizes�akon?

78. Mi a kapcsolat Kepler törvényei és Newton gravitációs törvénye között?

79. Mit tudsz a munkavégzésr®l?

80. Hogyan függ a munkavégzés az er® és az elmozdulás irányától?

81. Hogy számíthatjuk ki a változó er® által végzett munkát?

82. Mekkora egy v sebességgel mozgó m tömeg¶ test mozgási energiája?

83. Mekkora egy h magasságban lév® m tömeg¶ test gravitációs potenciális energiája?

84. Mekkora egy x hosszal összenyomott, D rugóállandójú rugó potenciális energiája?

85. Mi az a kinetikus energia?

86. Mikor de�niálhatjuk a helyzeti energiát?

87. Mit jelent az, hogy egy er® konzervatív?

88. Mit jelent az energiamegmaradás törvénye?

89. Mikor állandó a kinetikus és potenciális energia összege?

90. Hogy függ össze az energia és a munka?

91. Milyen energia-mértékegységeket ismersz?

92. Ha nem állandó a kinetikus és potenciális energia összege, akkor nem teljesül az energia-megmaradás?

93. Mekkora egy h magasságból lezuhant test sebessége, ha a közegellenállást elhanyagoljuk?

94. Mi a teljesítmény de�níciója?

95. Mekkora az emberiség teljesítmény-igénye egy emberre vonatkoztatva?

96. Hogyan csökkenthetjük az adott munka elvégzéséhez szükséges er®t?

97. Miért hasznosak az egyszer¶ gépek? Használatukkal kisebb energia-befektetésre van szükség?

98. Egy pontrendszer esetén mit jelentenek a küls® és a bels® er®k? Mondj példát!

99. Mit tudunk a pontrendszerek teljes impulzusáról? Mondj példát!

55

Page 56: pdf formátumban

100. Mi marad meg két test rugalmatlan ütközésében?

101. Mi marad meg rugalmas ütközés esetén?

102. Mit jelent a pontrendszerek szabadsági fokainak száma?

103. Hány szabadsági foka van egy két pontból álló kötött rendszernek és miért?

104. Hány szabadsági foka van egy három pontból álló kötött rendszernek és miért?

105. Mit nevezünk merev testnek?

106. Hány szabadsági foka van egy merev testnek és miért?

107. Mi merev testek egyensúlyban maradásának feltétele?

108. Mi az a forgatónyomaték, mire vonatkoztatva de�niáljuk?

109. Lehet egy nullánál nagyobb mérték¶ er® forgatónyomatéka nulla? Mit®l függ ez?

110. Mi a súlypont de�níciója?

111. Mi a különbség stabil és instabil egyensúly között?

112. Mi a tehetetlenségi nyomaték, mire vonatkoztatva de�niáljuk?

113. Mondj példát testek tehetetlenségi nyomatékára!

114. Mi a merev testek mozgásegyenlete (a Newton-egyenlet mintájára)?

115. Mi a perdület de�níciója?

116. Mikor marad meg egy test perdülete?

117. Mit mondhatunk el a piruettez® korcsolyázó perdületér®l?

118. Egy 1 kg tömeg¶ tárgy 1 méteres körpályán forog percenként egy fordulatot. Mekkora a tehetetlenséginyomatéka illetve a perdülete a kör középpontjára nézve?

119. Mennyivel n® meg az autó kerekének tehetetlenségi nyomatéka, ha centrírozás céljából egy 50 g tömeg¶tárgyat rögzítenek a felnire, a középponttól 35 centiméterre? És percenként 50-es fordulatszám eseténmennyivel n® meg ett®l a kerék mozgási energiája?

120. Miért nehéz egy forgó kerék forgási síkját megváltoztatni?

121. Mi a pörgetty¶mozgás (rajzold is le)?

122. Hogyan mozog a Föld azon kívül, hogy a tengelye körül forog, és a Nap körül kering?

123. Mi a forgó- és a haladó mozgás mennyiségeinek analógiája?

124. Mi a különbség merev és rugalmas test között?

125. Mi az a Young-modulus?

126. Mi a rugalmas testre ható feszültség de�níciója?

127. Mi a rugalmas test deformációjának de�níciója?

128. Mi a kapcsolat egy rugalmas testre ható feszültség és az ennek hatására fellép® deformáció között?

129. Mi a s¶r¶ség de�níciója? Mondj néhány konkrét értéket is!

130. Mi a nyomás de�níciója?

131. Mit®l és hogyan függ a hidrosztatikai nyomás (folyadék- vagy gázoszlop gravitációs nyomása)?

132. Mekkora nyomás uralkodik egy 25 méter mély medence alján?

133. Mit mond ki Pascal törvénye (a nyomás terjedésér®l edényekben)?

134. Hogy m¶ködik a hidraulikus emel®?

56

Page 57: pdf formátumban

135. Mi a felhajtóer®?

136. Mekkora er® hat adott térfogatú és s¶r¶ség¶ közegbe mártott testre?

137. Mekkora felhajtóer® hat egy 10 cm-es labdára, ha 1 méterrel a vízfelszín alatt van?

138. Mi a felszínen úszás feltétele Arkhimédész törvénye alapján?

139. Mit®l függ, hogy egy úszó test hányad része �lóg ki� a vízb®l?

140. Mit tudsz a felületi feszültségr®l, mi ennek az oka?

141. Milyen hétköznapi következményei vannak a felületi feszültség jelenségének?

142. Mi a különbség lamináris és turbulens áramlás között?

143. Mi a kontinuitás törvénye?

144. Mit mond ki Bernoulli törvénye (áramló folyadék nyomásáról)?

145. Miért marad fenn a repül® a leveg®ben?

146. Mi hajtja el®re a vitorlást oldalszél vagy részleges szembeszél esetén?

147. Mekkora er® hat egy 10 m2 felület¶ szárnyra, ha az alján 100, a tetején 110 m/s sebességgel áramlik az 1kg/m3 s¶r¶ség¶ leveg®?

148. Mi a viszkozitás de�níciója? Képletesen mit jelent a viszkozitás?

149. Mit®l és hogyan függ a csövön átáramló közeg mennyisége (Poiseuille-törvény)?

150. Mit®l és hogyan függ az R sugarú golyóra ható közegellenállási er® (Stokes-törvény)?

151. Mi a Reynolds-féle szám, mit jellemez, milyen kritikus értéke ismert?

152. Mik a nem-Newtoni folyadékok, hogyan viselkednek ezek?

153. Mi a hullámterjedés alap-gondolata?

154. Milyen f(x, t) függvény ír le egy c sebességgel terjed® hullámot?

155. Mi következik egy hullám térbeli periodicitásából?

156. Mit jelent a hullámhossz illetve a periódusid®?

157. Mi a hullámszám (k) jelentése?

158. Mi a kapcsolat frekvencia, terjedési sebesség, hullámhossz, periódusid® és hullámszám között?

159. Mit jelent a térbeli hullámszám-vektor?

160. Mit mond ki a Fourier-tétel?

161. Mi a Fourier-tétel jelent®sége?

162. Miért használunk általában szinusz/koszinusz függvényeket hullámok leírására?

163. Hogy néz ki a hullámegyenlet, és mi az általános megoldása?

164. Milyen egyszer¶ rendszerre vezethet® le könnyen a hullámegyenlet?

165. Mi a Doppler-jelenség?

166. Hogyan változik mozgó hullámforrás vagy mozgó meg�gyel® esetén az észlelt frekvencia?

167. Mi a Huygens�Fresnel-elv?

168. Miért �kanyarodik be� a hanghullám az ajtón?

169. Rajzolj szemléletes ábrát a hullámok elhajlásának magyarázatára!

57

Page 58: pdf formátumban

170. Mi az interferencia jelensége?

171. Mondj példát mechanikai hullámokra!

172. Mit tudsz a mechanikai hullámok gázokban mutatott terjedési sebességér®l?

173. Mit tudsz a mechanikai hullámok szilárd testekben mutatott terjedési sebességér®l?

174. Mit tudsz a mechanikai hullámok folyadékokban mutatott terjedési sebességér®l

175. Mi a különbség longitudinális és transzverzális hullám között?

176. Milyen közegben terjedhet longitudinális, ill. transzverzális hullám?

177. Milyen felületi hullámokat ismersz?

178. Hogyan segítenek a földrengések a Föld szerkezetének feltárásában?

179. Mi a kapcsolat a leveg® nyomásingadozása és a leveg®részecskék mozgása között?

180. Mi a hang nyomásamplitúdója?

181. Mi az a hangnyomásszint, mi a decibel de�níciója?

182. Mondj példát tipikus decibel értékekre!

183. Mekkora az intenzitásbeli különbség egy 60 és egy 70 dB er®sség¶ hang között?

184. Ha két 60 dB hangosságú hang szól egyszerre, akkor hány dB hanger®sséget észlelünk?

185. Mi a rezonancia szerepe a hangképzésben?

186. Mit jelent egy ember vagy egy hangszer hangszíne?

187. Mit jelent két hang hangköze?

188. Milyen �zikai paraméter adja meg a hang hangosságát, ill. magasságát?

189. Milyen hangsorokat ismersz? Mi köztük a különbség �zikailag?

190. Mi a temperált skála?

58


Related Documents