Materi Bab Turunan

8/13/2019 Materi Bab Turunan

1/34

2

BAB II

MATERI

A. KALKULUS

1. LIMIT FUNGSI

Konsep limit fungsi merupakan bagian yang sangat penting dalam

Kalkulus. Banyak konsep lain yang didasarkan pada konsep limit fungsi, seperti

konsep kekontinuan fungsi dan konsep turunan fungsi. Sehingga memahami

konsep limit fungsi dapat dikatakan sebagai pintu pembuka bagi pemahaman

konsep-konsep kekontinuan dan juga konsep turunan.

Secara intuitif, ide dari limit fungsi f pada suatu titik c adalah L, adalah

bahwa nilai f(x) akan dekat dengan L jika x dekat dengan c.

Definisi Limit Fungsi

Misal A R. f : A R , c R. L R disebut limit dari f di c, jika untuk setiap >0 , terdapat >0, sehingga untuk sebarang |x c| < , x di A, maka |f(x) L | < .

Definisi ini seringkali disebut kriteria - dalam membuktikan limit fungsi

pada suatu titik tertentu. Inti langkah ini adalah jika diberikan sebarang > 0,

harus dapat ditemukan sehingga untuk sebarang x yang memenuhi |x c| <

akan berakibat |f(x) k | < jika memang benar limit fungsi f di titik c adalah L.

Selanjutnya jika L merupakan limit fungsi f di titik c, dikatakan f konvergen ke L

di titik c. Dan seringkali ditulis dalam symbol f Lc x

lim atau )(lim x f Lc x

atau f(x) L , jika x c. Kemudian jika f tidak punya limit di titik c dikatakan f

divergen di c.

Dari definisi limit tersebut di atas kemudian muncul pertanyaan tentang

kemungkinan banyaknya nilai limit fungsi f pada suatu titik, tunggal atau bisa

lebih dari satu. Ternya limit fungsi di suatu titik ( jika ada ) haruslah tunggal ,

seperti hasil teorema berikut.

Teorema

Misal A R. f : A R , c R . Jika f punya limit di c, maka limitnya tunggal.


2/34


3/34

4

3. 22lim c xc x

Perhatikan bentuk fungsi f(x) = x 2 dengan L = c 2 pada contoh ini, tentunya

pembuktian nilai limitnya sama dengan c 2 tidak dapat dilakukan analog dengan

cara pembuktian terdahulu. Disini tampak bahwa bentuk |f(x) L | = |x 2 c2|

bentuknya lebih rumit dibangkan dengan bentuk pada contoh terdahulu.

Perhatikan bahwa |f(x) L | = |x 2 c2| = |x + c| |x c|, padahal akan dicari semua

nilai x yang memenuhi |x c| < , harus dipenuhi |f(x) L | < . Ini tidak bias

segera dilakukan karena |f(x) L | = |x 2 c2| , memuat factor dalam bentuk |x + c|

dan |x c| . Cara yang termudah adalah dengan membatasi nilai |x c| dengan

suatu nilai tertentu, kemudian kita dapatkan batas dari nilai | x + c| dan baru dicari

nilai yang membatasi nilai |x c|.

Analisis Pendahuluan.

Ambil > 0 sebarang. Akan dicari >0 , sehingga untuk x yang memenuhi |x c|

< , harus dipenuhi |f(x) L | < . Sekarang batasi dahulu nilai |x c | misalkan

kurang dari 1( boleh nilai yang lain asalkan positif ). Selanjutnya dari |x c | 0 yang diberikan, dapat dipilih nilai x sehingga |x c| 0,

terdapat bilangan asli K sedemikian sehingga untuk x > K, berlaku |f(x) L |

< .(b) Misalkan (- , b) A untuk suatu b R. Suatu bilangan real L merupakan limit

dari fungsi f jika x - , dan ditulis R L f x

lim , jika untuk setiap >0,

terdapat bilangan aslik K sedemikian sehingga untuk x < K, berlaku |f(x) L |

< .Limit Fungsi Aljabar

Menentukan limit fungsi berbeda dengan membuktikan bahwa bilangan

yang ditunjuk merupakan limit dari suatu fungsi yang diberikan. Pada beberapa

fungsi nilai limit dapat ditentukan dengan cara menentukan nilai fungsi di titik

yang ditunjuk.(jika fungsi tersebut terdefinisi pada titik yang ditunjuk). Berikut ini

diberikan cara menentukan limit fungsi aljabar.

Menentukan Limit dengan memfaktorkan atau merasionalkan bentuk akar.

Cara ini digunakan untuk menentukan nilai limit fungsi aljabar yang

berbentuk fungsi rasional yaitu)()(

)( xh x g

x f pada titik c dan x-c merupakan

faktor dari fungsi g(x) maupun h(x). Bentuk fungsi f(x) dapat direduksi menjadi

fungsi yang tidak lagi memuat faktor x-c, sehingga limitnya sama dengan nilai

fungsinya.


6/34

7

Contoh:

2)1(1

)1)(1(11

limlimlim11

2

1

x x

x x x

x

x x x

Menentukan limit fungsi untuk x .

Untuk menentukan limit fungsi rasional untuk x , dapat dilakukan

dengan membagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dan

menggunakan fakta bahwa .01

lim x x Sehingga,

21

263

741

263

74

26374

3

3

3

3

3

2

3

33

2

3

3

32

23

limlimlim x x

x x

x x

x x

x

x x x

x x

x x x x

x x x

Limit Fungsi Trigonometri

Dalam menentukan limit fungsi trigonometri, salah satu hasil yang terkait dengan

limit fungsi trigonometri yang harus diingat adalah 1sin

lim0 x

x

x dan

01)cos(

lim0 x

x

x.

Hasil ini ini diperoleh dengan memperhatikan fakta bahwa:

Dengan menggunakan ketaksamaan fungsi sinus dalam trigonometri, yaitu x -61

x3 sin(x) x untuk x 0, dan x sin(x) x -61

x3, untuk x 0, maka diperoleh

ketaksamaan x -61

x2 (sin(x))/ x 1. untuk setiap x 0. Selanjutnya karena

1)261

1(lim0

x x

, sehingga dapat disimpulkan bahwa 1)sin(

lim0 x

x

x.

(Catatan: Beberapa buku menggunakan pendekatan sudut dalam membuktikan

masalah ini, untuk hasil 01)cos(

lim0 x

x

x dapat dilakukan dengan langkah

serupa). Sehingga, 2sin

2

sin2sinlim2limlim

000 y

y

y

y

x

x

y y x


7/34

8

2. KEKONTINUAN PADA SUATU TITIK

Dalam pembahasan tentang limit fungsi, sama sekali tidak diperhatikan

keterdefinisian fungsi yang dimaksud pada titik yang dibicarakan keberadaan

limitnya. Dengan kata lain keberadaan limit fungsi tidak tergantung pada

keterdefinisian fungsi yang dimaksud pada titik tersebut. Selanjutnya pada kajian

kekontinuan fungsi, keterdefinisian fungsi yang dimaksud pada titik yang

dibicarakan menjadi syarat utama, karena Kekontinuan suatu fungsi pada suatu

titik adalah menguji apakah limit fungsi tersebut sama dengan nilai fungsi pada

titik tersebut. Sebelum lebih jauh mengkaji karakteristik fungsi-fungsi kontinu,

berikut disajikan definisinya.

Definisi Kekontinuan fungsi pada suatu titik

Misal A R. f : A R , c A. Fungsi f dikatakan kontinu di c, jika untuk setiap >0, terdapat > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x A, dengan | x c | < ,

maka |f(x)-f(c)|< .Perhatikan bahwa dalam pembahasan kekontinuan fungsi f: A R pada titik c,

agar dipenuhi f c x

c f lim)( , harus dipenuhi tiga hal yaitu (a) fungsi f harus

terdefinisi pada c, (b) limit fungsi f pada titik c ada di R, dan kedua nilai dari (a)

dan (b) sama.

1. Fungsi f(x) = k merupakan fungsi kontinu di R. Ini mudah dipahami

karena telah diketahui bahwa )(lim x f c x

k k c x

lim , dan f(c) = k , untuk

sebarang c di R. Jadi f kontinu di R.

2. Fungsi f(x) = x merupakan fungsi kontinu di R. Seperti contoh diatas telah

diketahui )(lim x f c x

c = f(c) , untuk sebarang c di R.

3. Fungsi f(x) = x 2 merupakan fungsi kontinu di R. Seperti contoh diatas

telah diketahui )(lim x f c x

c2 = f(c) , untuk sebarang c di R.

4. Fungsi x

x f 1

)( kontinu pada himpunan A = {x R| x>0} , tetapi tidak

kontinu di titik 0. Dari bahasan limit fungsi telah diketahui bahwa untuk


8/34

9

c A = {x R| x>0},c xc x

11lim . Sedangkan di titik 0, fungsi f(x) tidak

terdefinisikan. Jadi fungsi x x f

1

)( tidak kontinu di 0.

3. TURUNAN FUNGSI DAN PENERAPANNYA

Definisi Turunan

Misalkan I R suatu selang dan fungsi f : I R, dan c I. Bilangan real Ldisebut turunan fungsi f pada titik c jika untuk setiap bilangan 0 terdapatbilangan 0 sedemikian sehingga untuk setiap x I dengan 0

x c , berlaku

Lc xc f x f

.

Dalam hal ini kemudian seringkali dikatakan bahwa fungsi f differentiabel di titik

c, dan dan ditulis f (c) = L. Dengan pernyataan yang lain, turunan dari fungsi f di

c dinyatakan dalam bentuk limit sebagai c x

c f x f

c xc f

lim

asalkan

limitnya ada.

Secara umum, notasi yang di gunakan untuk menyatakan turunan suatu

fungsi f adalah f atau Df. Sedangkan jika fungsi ditulis dalam bentuk y=f(x)

seringkali ditulis sebagai Dy ataudxdy

. Selanjutnya dengan menggunakan definisi

limit dapat ditentukan nilai turunan suatu fungsi pada suatu titik tertentu.

Pandang fungsi konstan xk x f ,)( , dengan k bilangan real. Untuk

titik c sebarang, c xc xcc

c xc f x f

,0)()(

.

Akibatnya, 00lim)()(lim)(' c xc x c x

c f x f c f .

Sehingga dapat disimpulkan bahwa f(x)=0.

Kemudian fungsi identitas x x x f ,)( .

Untuk titik c sebarang , 1)()(

c xc x

c xc f x f

asalkan x c , akibatnya

11lim)()(

lim)(' c xc x c x

c f x f c f


9/34

10

Demikian juga, misal x x x f ,)( 3 maka

Untuk titik c sebarang ,c x

c xc xc xc xc x

c xc f x f ))(()()( 2233

= ,22 c xc x asalkan x c.

Akibatnya, 222 3lim)(' cc xc xc f c x

.Sehingga dapat disimpulkan

bahwa f(x)=3x 2. Akhirnya, jika 0,1

)( x x

x f .

Untuk titik c sebarang,

xcc x xc

x

c x

c x

c x

c f x f 1

)(

)(11

)()(

asalkan x c. Akibatnya, 211

lim)('c xc

x f c x

.

Sehingga dapat disimpulkan bahwa f(x)= 21

x.

Berikut ini teorema-teorema yang terkait dengan turunan fungsi.

Teorema

Misalkan I R suatu interval,kemudian misalkan c I ,dan fungsi -fungsi f:I Rand g : I R adalah fungsi diferensiabel pada titik c , maka berlaku :

(a) Jika R , maka fungsi f diferensiabel pada titik c, dan c f c f ''

(b) Fungsi jumlah f + g diferensiabel pada titik c, dan c g c f c g f ''' (c) Fungsi hasilkali fg diferensiabel pada titik c, dan

c g c f c g c f c fg '''

(d) Jika fungsi g(c) 0, maka fungsi hasil bagi f/g diferensiabel pada titik c,dan

2''

c g

c g c f c g c f c

g f

Berikut adalah rumus- rumus turunan fungsi.

1. x

xdxd 1

)(ln

2. aaadxd x x

ln.)(


10/34

11

3. x x eedxd

)(

4. x xdx

d cos)(sin

5. x xdxd

sin)(cos

6. x

xdxd

2cos1

)(tan

7. x

ctgxdxd

2sin1

)(

8.21

1)(arccos)(arcsin

x x

dx

d x

dx

d

9. 211

)cot()( x

gxarcdxd

arctgxdxd

Beberapa contoh Penggunaan Turunan

Perhatikan gambar berikut:

Garis l pada gambar di atas memotong kurva y = f(x) di titik P(x,f(x)) dan

Q(x+h,f(x+h) . Jika titik Q bergerak sepanjang kurva mendekati P maka hakan mendekati nol dan garis l akan menjadi garis g , yaitu garis singgung

kurva dititik P. Gradien garis l adalahh

x f h x f )()( , sedangkan

gradien garis g adalahh

x f h x f h

)()(lim

0 . Dari pembahasan

sebelumnyah

x f h x f h

)()(lim

0 merupakan turunan dari fungsi f yaitu

f(x).

l

P(x,f(x) )

( x + h ) x

Y

X

Q(x+h,f(x+h))h

g

y = f(x)


11/34

12

Jadi gradien garis singgung kurva y =f(x) di titik (x,f(x)) adalah

h x f h x f

x f h

)()(lim)('

0

Sedangkan persamaan garis singgung kurva y =f(x) di titik (a,f(a)) adalah

))((')( a xa f a f y atau ))((')( a xa f a f y

Sehingga untuk menentukan persamaan garis singgung kurva

542 2 x x y di titik (2,-5) dapat dilakukan sebagai berikut.

Dari 44)('542)( 2 x x f x x x f y , sehingga 4)2(' f .

Diperoleh persamaan garis singgung kurva di titik (2,-5) adalah y=4x-18.

Untuk membahas penerapan turunan berikut didefinisikan tentang fungsi

naik dan fungsi turun, serta teorema terkait.

Definisi Fungsi Naik

Fungsi f dikatakan naik pada interval I jika untuk setiap dua bilangan

21 , x x di I dengan 21 x x berlaku )()( 21 x f x f

Definisi Fungsi Turun

Fungsi f dikatakan turun pada interval I jika untuk setiap dua bilangan

21 , x x di I dengan 21 x x berlaku )()( 21 x f x f

Teorema

Misalkan I interval terbuka

1. Jika 0)(' x f untuk semua x di I, maka f naik pada I

2. Jika 0)(' x f untuk semua x di I, maka f turun pada I

3. Jika 0)(' x f untuk semua x di I, maka f konstan pada

Berdasarkan teorema tersebut diperoleh, fungsi 2)( x x f naik pada

interval ),0( , karena untuk setiap x di ),0( , 02)(' x x f .Sedangkan fungsi 2)( x x f turun pada interval )0,( , karena untuk

setiap x di )0,( , 02)(' x x f .

Misalkan 0 x titik dalam domain f(x). Terdapat 4 keadaan yaitu:

1. )( x f naik di 0 x jika 0)(' 0 x f

2. )( x f turun di 0 x jika 0)(' 0 x f

3. 0)(' 0 x f


12/34

13

4. )(' 0 x f tidak ada (tak memiliki turunan di 0 x )

Dalam keadaan 3 dan 4, 0 x disebut sebagai titik kritis. Khusus

0)(' 0 x f , 0 x disebut sebagai titik stasioner f(x).Pada fungsi 23)( x x f , karena 0)(' x f hanya dipenuhi oleh x = 0,

maka titik kritis hanyalah 0. Tepatnya x = 0 merupakan titik stasioner f(x).

Pada fungsi x x f )( . )0(' f tidak ada . Jadi x = 0 titik kritis namun

bukan titik stasioner.

Selanjutnya misal 0 x titik dalam domain fungsi f(x)

a. f(x) dikatakan mempunyai maksimum mutlak di 0 x jika

)()( 0 x f x f untuk setiap x dalam domain f(x).

b. f(x) dikatakan mempunyai minimum mutlak di 0 x jika

)()( 0 x f x f untuk setiap x dalam domain f(x).

c. f(x) dikatakan mempunyai maksimum lokal (relatif) di 0 x jika dan

hanya jika )()( 0 x f x f untuk semua x yang dekat dengan 0 x .

d. f(x) dikatakan mempunyai minimum lokal (relatif) di 0 x jika dan

hanya jika )()( 0 x f x f untuk semua x yang dekat dengan 0 x .

Teorema:

Jika f dan f ada pada setiap titik dalam selang terbuka (a, b) yang

memuat titik c, maka syarat perlu dan cukup supaya fungsi f mencapai

nilai ekstrim pada x = c adalah f(c) = 0 dan f(c) 0.

Jika f(c) < 0, maka f(c) adalah nilai maksimum.

Jika f(c) > 0, mak a f(c) adalah nilai minimum.

4. ANTI TURUNANPada bagian ini akan dibahas tentang konsep anti turunan (anti

derevatif), integral tak tentu dari suatu fungsi dan beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan teknik yang sistematik dalammenentukan suatu fungsi jika derivatifnya diketahui.

Kita telah memahami bahwa:

. x x xdx

d x x

dx

d x x

dx

d 1)

1(;2)7(;cos)(sin 2


13/34

14

Jika A dan B adalah himpunan fungsi dan kita buat relasi derivatifnya adalahdari A ke B, maka untuk beberapa fungsi di atas dapat diillustrasikan sebagai

berikut.

Dengan memperhatikan tabel di atas kita dapat mengatakan bahwa:

(1) adalah derivatif dari(2) adalah derivatif dari

(3) adalah derivatif dari

Uraian diatas secara formal dapat dinyatakan dengan definisi berikut.

Fungsi F disebut anti deri vatif dari fungsi pada suatu selang jika

pada selang itu.

Perhatikan bahwa, fungsi-fungsi semuanya

merupakan anti derivatif dari x4 karena derivatif dari setiap fungsi itu adalah x4 .Demikian juga untuk sebarang konstanta c, merupakan anti derivatif dari

. Itu menunjukkan bahwa anti derivatif suatu fungsi tidak tunggal (lebih dari

sebuah).Secara umum dinyatakan dengan teorema berikut ini.Teorema Jika )( x F anti derevatif dari )( x f , maka untuk sebarang konstanta c,

c x F )( juga anti derivatif dari )( x f .Teorema Jika )( x F dan )( xG anti derevatif dari )( x f , maka c x F xG )()(untuk suatu konstanta c.

Jika )( x F adalah fungsi sehingga )()]([ x f x F dxd

, maka fungsi dengan bentuk

c x F )( disebut anti derevatif dari )( x f dan ditulis dengan

c x F dx x f )()( .(1) Simbol dibaca integral dan )( x f disebut integran .

Pernyataan (1) dibaca integral tak tentu dari ) fx sama dengan )( x F ditambah c.

Kata tak tentu menunjukkan bahwa hasilnya tak tentu (banyak fungsi yang

xcos xsin x2 72 x

x x

1

x

1

f )()(' x f x F

2222 2,112,32,2 x x x x

c x 223

32

x

x x f sin)( )( 2 x x g

x xh

1)(

... xt

A

xcos x2

x x

1

3

B derivatifnya adalah


14/34


15/34

16

(b) dx x g dx x f dx x g x f )()(])()([ Kita perhatikan bahwa )('.)(

11

])(1

1[ 1 x f x f

nn

c x f ndx

d nn

= )('.)( x f x f n

Dengan demikian, c x f n

dx x f x f nn 1)(1

1)('.)( .

Mengingat dx x f xdf )(')( , maka dapat dirumuskan

Dengan metode yang sama seperti di atas (analog), dapat dikembangkan formula

yang lebih umum berikut. No Anti Derivatif

1 c x f dfx )(

2 c x f x f xdf

)(ln)()(

3 c x f n

xdf x f nn 1)(1

1)()(

4 c x f xdf x f )(sin)()(cos

5 c x f xdf x f )(cos)()(sin

6 ce xdf e x f x f )()( )(

7 c xtgf x f

xdf )(

)(cos)(

2

8 c xctgf dx x f

xdf )(

)(sin)(

2

5. INTEGRAL PARSIALTeknik lain sebagai salah satu alternatif yang mungkin dapat dilakukan

untuk menentukan integral tak tentu adalah dengan pengintegralan parsial. Teknik

ini didasarkan pada turunan hasil kali dua fungsi.

Misalkan maka x g vdan x f u ),()( )().()().()().( ,, x f x g x g x f x g x f dxd

.Dengan mengintegralkan kedua ruas persamaan di atas (dan menggunakan

Teorema 1.4) kita peroleh dx x f x g dx x g x f x g x f )().()().()().( ,,

1;)(1

1)()( 1 nc x f

n xdf x f nn


16/34

17

Atau dx x f x g x g x f dx x g x f )().()().()().( ,, .Karena dx x g dv )(, dan dx x f du )(, , persamaan terakhir dapat ditulis sebagai

berikut.

Persamaan di atas sering kita sebut dengan Rumus Integral Parsial (bagian demi

bagian).

Untuk menentukan dx x x cos , misalkan dx x x cos sebagai dvu . Salah satu

caranya adalah dengan memisalkan xu dan dx xdv cos . Dengan pemisalan

itu kita peroleh dxdu dan c xdx xv sincos . Dengan rumus integral parsial kita peroleh,

dx xc x xdx x x sin)(sin.cos C x x x cossin. .6. INTEGRAL TERTENTU

Konsep penting yang mengkaitkan Integral tak tentu dengan Integral tertentu

adalah suatu teorema yang seringkali disebut sebagai Teorema Dasar Kalkulus.

Teorema Dasar Kalkulus

Misalkan fungsi f kontinu pada [a, b] dan misalkan F sebarang anti turunan dari f ,

maka b

a

a F b F dx x f )()()( .

Sehingga, 3

1

2 )2( dx x x = 23

3

13

1 x x =

32

karena x x x f 2)( 2 kontinu pada

[1,3] dan 2331

)( x x x F anti turunan dari f.

Sedangkan

0sin dx x = xcos 0

=2 karena x x f sin)( kontinu pada [0, ] dan

anti turunan dari f adalah x x F cos)( .

MENENTUKAN LUAS DAERAH BIDANG

Salah satu penggunaan integral tentu adalah untuk menentukan luas daerah

bidang. Tentu tidak semua daerah bidang dapat ditentukan luasnya dengan mudah.

Pada bagian ini kita akan membahas cara menentukan luas daerah bidang yang

dibatasi oleh beberapa kurva yang diketahui atau dapat ditentukan persamaannya.

duvvudvu .


17/34


18/34


19/34

20

B. TRIGONOMETRI

Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan untuk

menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan-perbandingan pada

bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga. Pada

prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan

besar sudut, Trigonometri berasal dari bahasa Yunani, dimana terdiri dari dua

buah kata yaitu trigonom berarti bangun yang mempunyai tiga sudut dan sisi

(segitiga) dan metrom berarti suatu ukuran. Dari arti dua kata di atas, trigonometridapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang

perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau dari salah satu sudut yang

terdapat pada segitiga tersebut. Dalam mempelajari perbandingan sisi-sisi segitiga

pada trigonometri, maka segitiga itu harus mempunyai tepat satu sudutnya (90 0)

artinya segitiga itu tidak lain adalah segitiga siku-siku.

1. SATUAN SUDUT

Sebuah sudut dihasilkan oleh putaran sebuah sinar terhadap titik pangkalnya.

Terdapat beberapa satuan untuk menyatakan besar sudut :

Derajat siksagesimal, dimana satu putaran penuh dibagi menjadi 360 bagian

yang sama. Setiap bagian disebut 1 0 . Sehingga satu putaran penuh = 360 0

Radian.

Satu radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang

panjangnya sama dengan jari-jari.

AOB = 1 rad

Hubungan radian dengan derajat

360 =r

r 2 rad

= 2 rad

180 = rad

rr

O A

B


20/34

21

pendekatan 1 rad = 57,3 .

2. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI PADA SEGITIGA SIKU-SIKU

Gambar di samping adalah segitiga siku-siku

dengan titik sudut sikunya di C. Panjang sisi

di hadapan sudut A adalah a , panjang sisi di

hadapan sudut B adalah b, dan panjang sisi di

hadapan sudut C adalah c.

Terhadap sudut :

Sisi a disebut sisi siku-siku di depan sudut

Sisi b disebut sisi siku-siku di dekat (berimpit) sudut

Sisi c (sisi miring) disebut hipotenusa

Berdasarkan keterangan di atas, didefinisikan 6 (enam) perbandingan trigonometri

terhadap sudut sebagai berikut:

1.

2.cb

hipotenusa panjangAsudut(berimpit)dekatdisiku-sikusisi panjang

os c

3.ba

Asudutdekatdisiku-sikusisi panjangAsudutdepandisiku-sikusisi panjang

tan

4.

5.bc

Asudutdekatdisiku-sikusisi panjanghipotenusa panjang

sec

6.ac

Asudutdepandisiku-sikusisi panjangAsudutdekatdisiku-sikusisi panjang

cot

Dari perbandingan tersebut dapat pula ditulis rumus:

a c

sudut depan di siku - siku sisi panjang hipotenusa panjang

csc

c a

hipotenusa panjang sudut depan di siku - siku sisi panjang

sin

A

B

C

ca

bGb. 1. perbandingan trigonometri

cos

sintan

sin

cos cot

cos1

sec sin1

csc


21/34

22

3. KOORDINAT KARTESIUS DAN KOORDINAT KUTUB

Cara lain dalam menyajikan letak sebuah titik pada bidang xy selain koordinat

kartesius adalah dengan koordinat kutub.

Pada gambar A titik P ( x, y) pada koordinat kartesius dapat disajikan dalam

koordinat kutub dengan P (r , ) seperti pada gambar B.

Jika koordinat kutub titik P (r , ) diketahui, koordinat kartesius dapat dicari

dengan hubungan:

r x cos cosr x sehingga koordinat kutubnya

adalah P( sin,cos r r )

r

y sin sinr y

4. NILAI PERBANDINGAN TRIGONOMETRI UNTUK SUDUTISTIMEWA

Sudut istimewa adalah sudut yang perbandingan trigonometrinya dapat dicari

tanpa memakai tabel matematika atau kalkulator, yaitu: 0 , 30 , 45 ,60 , dan

90 . Sudut-sudut istimewa yang akan dipelajari adalah 30 , 45 ,dan 90 .

Untuk mencari nilai perbandingan trigonometri sudut istimewa digunakan

lingkaran satuan x 2 + y 2 = 1 seperti gambar berikut ini.

a. Sudut 45 0

Perhatikan segitiga O AB dengan O AB= 45 0 ,maka :

OA=OB

OA 2 + OB 2 = OC 2

y

x X

YP ( x,y )

O

Gb.A koordinat kartesius

y

x X

YP (r, )

r

O

Gb.B. koordinat kutub

O

B

A

Y

X

45


22/34

23

OA 2 + OA 2 = r 2

2OA 2 = 1

OA 2 = OA = = OB

Sehingga koordinat P( x,y) adalah (

b. Sudut 30 0

Perhatikan segitiga sama sisi yang terbentuk, yakni segitiga OAB, dan C

terletakpada AB. dengan sudut COB = 30 o . Segitiga OAB adalah segitiga

sama sisi dengan r =1, CB=CA= dan OC= 32

1

.

Sehingga P(x,y) adalah )21

,321

( P

2

103sin

321

03cos

33

1

3

130tan

Tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa.

0 30 45 60 90

sin 0 32

1 1

cos 1 22

1

2

1 0

tan 0 33

1 1 3

takterdefinisi

cot takterdefinisi

3 1 33

1 0

2

1

32

1

2 2 1

O

B

C

Y

X

30

30O

A


23/34

24

Gambar grafik :

5. PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUATU SUDUT DI BERBAGAIKUADRAN

P adalah sembarang titik di kuadran I dengan

koordinat (x,y). OP adalah garis yang dapat berputar

terhadap titik asal O dalam koordinat kartesius,

y

x X

YP( x,y )

r

1

O

y=sin x

y= cos x

y= tangent x


24/34

25

sehingga XOP dapat bernilai 0 sampai dengan 90 . Perlu diketahui bahwa

r y 22xOP dan r 0

Berdasarkan gambar di atas keenam perbandingan trigonometri baku dapat

didefinisikan dalam absis ( x), ordinat ( y), dan panjang OP ( r ) sebagai berikut:

1.r y

OP panjangPordinat

sin 4. yr

PordinatOP panjang

csc

2.r

xOP panjangPabsis

cos 5. xr

PabsisOP panjang

sec

3. x

y

Pabsis

Pordinattan 6.

y

x

Pordinat

Pabsiscot

Dengan memutar garis OP maka XOP = dapat terletak di kuadran I, kuadran

II, kuadran III atau kuadran IV, seperti pada gambar di bawah ini.

Sedangkan untuk mencari besar sudut jika diketahui harga sinus, cosinus atau

perbandingan trigonometri yang lain maka kita dapat mencarinya dengan Invers

Fungsi Trigonometri

Perhatikan y = Cos x

Misalkan x = /3 maka y = Cos /3 =

Ini berarti untuk setiap nilai x maka nilai y adalah tunggal

Misalkan y = maka x = /3 + k.360 atau

Gb. titik di berbagai kuadran

y

x X

YP( x,y )

r

1 O

y

x X

YP( x,y )

r

O

y

x

X

Y

r

P( x,y )

3 O

y

x

X

Y

r

P( x,y )

O


25/34

26

x = - ( /3) + k.360

Ini berarti bahwa jika y diketahui maka ditemukan lebih dari satu nilai x

y = Cos x : bila kita ingin menyatakan x dalam y maka :

x = Sudut yang nilai Cosinusnya y

x = Arcus Cosinus y

x = Arc Cos y atau x = Cos -1 y

Jadi untuk sudut x`dalam radian,

f = {(x,y) y = Cos x, x R} : merupakan fungsi dari R R, tetapi

f -1 = { (y,x) x = Cos -1 y ; -1 y 1 , y R} adalah Invers dari f atau relasi

Siklometri

Bagaimana menjadikan f -1 sebagai fungsi ??

Caranya adalah dengan membatasi daerah hasilnya.

Apabila daerah hasil relasi siklometri dibatasi maka relasi siklometri dapat

menjadi fungsi siklometri. Adapun pembatasan tersebut adalah sebagai berikut.

Fungsi Daerah Asal Daerah Hasil

x = Sin - y [ -1, 1][ - , ]

x = Cos -1y [ -1, 1] [0, ]

x = tan -1y ( - , )[ - , ]

x = Cosec -1y ( - , -1] [1, ) [ - , ], x 0

x = Sec -1y ( - , -1] [1, )[0, ] , x

x = Cot -1y ( - , ) (0, )

6. RUMUS PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT BERELASI

Sudut-sudut yang berelasi dengan sudut adalah sudut (90 ), (180 ),

(360 ), dan - . Dua buah sudut yang berelasi ada yang diberi nama khusus,

misalnya penyiku (komplemen) yaitu untuk sudut dengan (90 - ) dan

pelurus (suplemen) untuk sudut dengan (180 - ). Contoh: penyiku sudut

50 adalah 40 , pelurus sudut 110 adalah 70 .

2

2

2

2

2

2

2


26/34

27

y

x X

Y

P( x,y )r

(180 - )

P 1( x 1,y 1)

r 1

x 1

y 1

O

Gb. . sudut yang berelasi

a. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (90 - )

Dari gambar, Titik P 1 ( x1 ,y1) bayangan dari P( x,y) akibat pencerminan garis y

x, sehingga diperoleh:

a. XOP = dan XOP 1 = 90 -

b. x1

= x, y1

= y dan r 1 = r

Dengan menggunakan hubungan di atas dapat diperoleh:

1) cos90sin1

1

r x

r y

2) sin90cos1

1

r y

r x

3) cot90tan1

1

y x

x y

Dari perhitungan tersebut maka rumus perbandingan trigonometri sudut

dengan (90 - ) dapat dituliskan sebagai berikut:

b. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (180 - )

Titik P 1( x1 ,y1) adalah bayangan dari

titik P( x,y) akibat pencerminan

terhadap sumbu y, sehingga

1). XOP = dan XOP1 = 180 -

a. cos90sin d. sec90csc b. sin90cos e. eccos90sec

c. cot90tan f. tan90cot

y

x

X

Y

P( x,y )

r

(90- )

P 1( x 1,y 1)

r 1

x 1

y 1

y = x

Gb. sudut yang berelasi

O


27/34


28/34

29

d. Perbandingan trigonometri untuk sudut dengan (- )

Dari gambar di samping diketahui titik P 1( x1 ,y1) bayangan dari P( x,y) akibat

pencerminan terhadap sumbu x, sehingga

a. XOP = dan XOP 1 = -

b. x1 = x, y1 = y dan r 1 = r

maka diperoleh hubungan

1) sinsin1

1r y

r y

2) coscos1

1

r x

r x

3) tantan1

1

x y

x y

Dari hubungan di atas diperoleh rumus:

Untuk relasi dengan (- ) tersebut identik dengan relasi dengan 360

, misalnya sin (360 ) sin

7. IDENTITAS TRIGONOMETRI

Dari gambar di samping diperolehr

x cos ,

r y sin dan 22 y xr .Sehingga

2

2

2

222 cossin

r x

r y

a. sinsin d. csccsc b. coscos e. secsec c. tantan f. cotcot

y

x X

YP ( x, y )

r

O

Gb. . rumus identitas

y

x

X

YP( x,y )

r

(360 - 1)

P 1( x 1,y 1)

r 1

x 1

y 1

O -

Gb. sudut yang berelasi


29/34

30

122

2

22

r r

r y x

Begitu pun untuk :

22

22

cos 1

sec 1

ecctgn

tgn

8. Rumus-rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut

a. Rumus cos ( + ) dan cos ( )

Pada gambar di samping diketahui

garis CD dan AF keduanya adalah garis

tinggi dari segitiga ABC. Akan dicari rumus

cos ( + ).

ACAD

cos

cosACAD Pada segitiga siku siku CGF

CFGF

sin sinCFGF ..(1)

Pada segitiga siku siku AFC,

ACCF

sin sinACCF ..(2)

AC

AF cos cosACAF ..(3)

Pada segitiga siku siku AEF,

AFAE

cos cosAFAE ..(4)

Dari (1) dan (2) diperoleh

GF AC sin sin

Karena DE GF maka DE AC sin sin

Dari (3) dan (4) diperoleh

sin 2 +cos 2 1Jadi

A D E B

C

G F


30/34

31

AE AC cos cos

Sehingga AD AE DE

AC cos ( + ) AC cos cos AC sin sin

Jadi untuk menentukan cos ( ) gantilah dengan lalu

disubstitusikan ke rumus cos ( + ).

cos ( ) cos ( + ( ))

cos cos ( ) sin sin ( )

cos cos sin ( sin )

cos cos + sin sin

e. Rumus sin ( + ) dan sin ( )

Untuk menentukan rumus sin ( + ) dan sin ( ) perlu diingat rumus

sebelumnya, yaitu: sin (90 ) cos dan cos (90 ) sin

sin ( + ) cos (90 ( + )) cos ((90 ) )

cos (90 ) cos + sin (90 ) sin

sin cos + cos sin

Untuk menentukan sin ( ), seperti rumus kosinus selisih dua

sudut gantilah dengan lalu disubstitusikan ke sin ( + ).sin ( ) sin ( + ( ))

sin cos ( ) + cos sin ( )

sin cos + cos ( sin )

sin cos cos sin

f. Rumus tan ( + ) dan tan ( )

cos ( + ) cos cos sin sin

cos ( ) cos cos + sin sin

sin ( + ) sin cos + cos sin

sin ( ) sin cos cos sin


31/34

32

Dengan mengingat cos

sin tan , maka

sinsincoscos

sincoscossin

)(cos

)(sin)(tan

cossin

cossin

1

cos sin

cos sin

coscos sinsincoscos

coscossincoscossin

)(tan

tantan1 tantan

Jadi

Untuk menentukan tan ( ), gantilah dengan lalu disubstitusikan ke

tan ( + ).

tan ( ) tan ( + ( ))

)(-tantan1)(-tantan

)tan(tan1)(tantan

tantan1 tantan

Jadi

g. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Dari rumus rumus trigonometri untuk jumlah dua sudut, dapat

dikembangkan menjadi rumus trigonometri untuk sudut rangkap.

sin 2 sin ( + ) sin cos + cos sin 2 sin cos

cos 2 cos ( + ) cos cos sin sin cos 2 sin 2

tantan1 tantan)(tan

sin 2 2 sin cos

cos 2 cos 2 sin 2

tantan1 tantan

)(tan


32/34

33

Rumus rumus variasi bentuk lain yang memuat cos 2 dapat diturunkan

dengan mengingat rumus dasar cos 2 + sin 2 1.

cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2

cos 2 (1 cos 2 ) (1 sin 2 ) sin 2

2cos 2 1 1 2 sin 2

Sehingga

2tan1 tan2

tantan1tantan

)(tan2tan

h. Mengubah Rumus Perkalian ke rumus Penjumlahan/Pengurangan

Dari rumus cosinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:



cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos



cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

Dari rumus sinus untuk jumlah dan selisih 2 sudut diperoleh:



sin ( + ) + sin ( ) 2 sin cos

1) cos 2 cos 2 sin 2

2) cos 2 2cos 2 1

3) cos 2 1 2 sin 2

2tan1 tan2

2tan

+

cos ( + ) + cos ( ) 2 cos cos

cos ( + ) cos ( ) 2 sin sin

+


33/34

34




9. LUAS SEGITIGA

Dalam geometri untuk mencari luas segitiga terlebih dahulu kita harus

menentukan tinggi segitiga tersebut dan juga alasnya, kemudian digunakan

rumus bahwa

L =

Dalam pembahasan kali ini kita akan memanfaatkan aturan sinus dan aturan

cosinus untuk menghitung luas segitiga.

Perhatikan

Luas ABC=

Dengan mengganti nilai t dengan

diperoleh

Dan jika t diganti dengan diperoleh

Sedangkan jika kita mengganti posisi garis tinggi segitiga misalnya dari sudut

A dan tegak lurus terhadap BC akan diperoleh rumus luas segitiga yang lain

yaitu

Rumus luas segitiga ini dimanfaatkan untuk menghitung luas segitiga yang

diketahui besarnya salah satu sudut dan dua sisi yang mengapit sudut

tersebut.


sin ( + ) sin ( ) 2 cos sin


34/34

Materi Bab Turunan

Documents