BAB IV INTEGRALdwiermawati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/71017/... · BAB IV . INTEGRAL . Integral merupakan invers (kebalikan) dari turunan. Jika turunan dari F(x) adalah

BAB IV INTEGRAL

Integral merupakan invers (kebalikan) dari turunan. Jika turunan dari F(x) adalah f(x) maka integral dari f(x) adalah F(x) dan ditulis :

∫f(x) dx = F(x) (lambang dx berarti pengintegralan berdasar variabel bebas x)

A. INTEGRAL TAKTENTU Perhatikan ilustrasi berikut : Jika F(x) = 2x + 4 maka F’(x) = f(x) = 2 Jika F(x) = 2x – 9 maka F’(x) = f(x) = 2 Jika F(x) = 2x + 30 maka F’(x) = f(x) = 2 Jika F(x) = 2x + k dengan k sembarang konstanta maka F’(x) = f(x) = 2

Dengan langkah terbalik diperoleh :

∫ 2 dx = 2x + k dengan k sebuah konstanta yang nilainya belum dapat ditentukan

Secara umum didapatkan bahwa ∫ f(x) dx = F(x) + k disebut integral taktentu. Ada beberapa Kaidah Integral Taktentu : 1. ∫ a dx = ax + k (a sembarang konstanta)

Contoh : a. ∫ 3 dx = 3x + k b. ∫ –7 dx = –7x + k c. ∫ 29 dx = 29x + k

2. ∫ dxaxn = kx1n

a 1n ++

+

Contoh :

a. ∫ dxx2 kx12

1 12 ++

= +

= kx31 3 +

b. ∫ dxx10 4 kx14

10 14 ++

= +

= kx510 5 +

= kx2 5 +

3. ∫ dx )x(f . a = a ∫ dx )x(f

Contoh :

∫ dx x10 4 = 10 ∫ dx x 4

= 10 . kx14

1 14 ++

+

= 10 . kx51 5 +

= kx2 5 +

Ingat Derivatif/ Turunan fungsi berikut :

1. Jika F(x) = ex → F’(x) = ex

2. Jika F(x) = ln x → F’(x) = x1

31

4. ( )∫ ± dx g(x) )x(f = ∫ ∫± dx g(x) dx )x(f

Contoh :

∫ + dx )x8(6x2 = ∫∫ + dx x8dx 6x2

= 2x3 + 4x2 + k

5. Kaidah Logaritmis

∫ dxx1 = ln x + k

Contoh :

∫ dxx3 = 3 ∫ dx

x1 = 3 ln x + k

6. Kaidah Eksponensial

∫ dx ex = ex + k

Contoh :

∫ dx e5 x = ∫ dx e5 x = 5ex + k

7. Kaidah Substitusi

∫ dx )x('g . ))x(g(f dengan memisalkan g(x) = u diperoleh ∫ dx dxdu

(u)f

Contoh :

a. dx )212x(3x2∫ − = ??

Dengan cara biasa : Dengan substitusi :

dx 2)12x(3x2∫ − = dx x)42(36x3∫ − Misal u = 3x2 – 2

= kx224

x436 24 +− 6x

dxdu

=

= 9x4 – 12x2 + k dx = x6

du

Sehingga dx 2)12x(3x2∫ − = x6

du )u12x(∫

= du u 2∫

= u2 + k = (3x2 – 2)2 + k

b. dx 5) 24(2x 3∫ + =

Dengan substitusi Misal u = 2x + 5 dx 5)24(2x 3∫ + =

2du

)u24( 3∫

dxdu = 2 = du u 12 3∫

dx = 2du = 4u

412 + k

= 3 u4 + k = 3 (2x + 5)4 + k

32

Latihan :

1. dx 5) 8x(x 32∫ + = 6. dx )2x(3x

16x42∫ −+

+ =

2. dx )3(x

14x82∫ −

= 7. dx )1(x

8x2∫ +

=

3. dx 4 x2x 2∫ + = 8. dx 5)(4x 3∫ − =

4. dx 4)(x12x 532∫ − = 9. dx e2x∫ =

5. dx 1)-3x3)(x(2x 42∫ ++ = 10. dx e.x42x∫ =

8. Kaidah Integral Parsial

du vv.udv u ∫∫ −=

Contoh :

a. dx 5) 3x(2x 4∫ + = ??

u dv Misal u = 3x dv = (2x+5)4 dx

du = 3 dx v = dx 5) (2x 4∫ + = 5)5x2(101

+

dx 5) 3x(2x 4∫ + = u.v – du v∫

= (3x)( 5)5x2(101

+ ) – dx 3 .)5x2(101 5∫ +

= 5)5x2(10x3

+ – dx )5x2(103 5∫ +

= 5)5x2(10x3

+ – dx)5x2(121

103 6+

= 5)5x2(10x3

+ – dx)5x2(1203 6+

b. dx x ln .x ∫ =

Misal u = ln x dv = x dx du =

x1 dx v = ½ x2

dx x ln .x ∫ = u.v – du v∫

= x2 .ln x– dx x1

.x21 2∫ x

1

= x2 .ln x – dxx 21∫

= x2 .ln x – ¼ x2 + k Latihan :

1. dx 1)(6x6x 5∫ +

2. dx 3)(x2x 9∫ −

3. dx ex x∫

4. dx 4)(3x 2x 523∫ −

5. dx 2x4 x 23∫ −

33

9. Kaidah Integral Fungsi Rasional

Fungsi rasional f(x) berbentuk f(x) =)x(Q)x(P dimana P(x) dan Q(x) merupakan suku banyak.

- Jika pangkat P(x) > pangkat Q(x) maka dilakukan pembagian terlebih dahulu sehingga diperoleh bentuk

f(x) = R(x) +)x(g)x(h dimana R(x) merupakan hasil bagi dan

)x(g)x(h merupakan sisa pembagian dengan

pangkat h(x) < pangkat g(x). - Jika pangkat P(x) < pangkat Q(x) maka penyelesaian tergantung pada faktor-faktor dari Q(x).

Kasus 1 Penyebut berupa faktor Linier tidak berulang

Q(x) = (a1x + b1) (a2x + b2)... (a3x + b3)

Maka )x(Q)x(P =

nn2211 bxa...

...bxa

Bbxa

A+

+++

++

Kasus 2 Penyebut berupa faktor Linier berulang

Q(x) = (a1x + b1)m

Maka )x(Q)x(P =

m2 )bax(

......

)bax(

B)bax(

A

+++

++

+

Kasus 3 Penyebut berupa faktor kuadrat tidak berulang

Q(x) = (a1x2 + b1x + c1) (a1x2 + b1x + c1)... (a1x2 + b1x + c1)

Maka )x(Q)x(P =

)cxbxa(

...x......

)cxbxa(

DCx

)cxbxa(

BAx

nn2

n222

2112

1 ++

+++

++

++

++

+

Kasus 4 Penyebut berupa faktor kuadrat berulang

Q(x) = (a1x2 + b1x + c1)m

Maka )x(Q)x(P =

m2222 )cbxax(

...x......

)cbxax(

DCx

)cbxax(

BAx

++

+++

++

++

++

+

Contoh :

1. dx 94x

12∫ −

Penyelesaian : Penyebut berbentuk 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3)

94x

12 −

= 3)-(2x

B3) +(2x

A+

1 = A(2x – 3) + B(2x + 3)

1 = 2Ax – 3A + 2Bx + 3B

1 = 2Ax + 2Bx – 3A + 3B

1 = (2A + 2B)x + (–3A + 3B)

Diperoleh : 2A + 2B = 0 |x3| 6A + 6B = 0 2A + 2B = 0 –3A + 3B = 1 |x2| –6A + 6B = 2 2A + 2(

61 ) = 0

12B = 2 2A = – 31

B = 61

122

= A = – 61

34

Sehingga :

∫ −dx

9x4

12

= ∫ +−

dx3)-(2x

61

3) +(2x 61

= ∫ +−

dx3)-(2x

13) +(2x

161

= k)3x2ln(21

)3x2ln(21

61

+

−++−

= k)3x2ln(121

)3x2ln(121

+−++−

2. ∫ +−

++2

2

)2x)(1x(

7x15x5 dx

Bentuk penyebut (x – 1)(x + 2)2 sehingga

2

2

)2x)(1x(

7x15x5

+−

++ = 2)2x(

C)2x(

B)1x(

A

++

++

−

5x2 + 15x + 7 = A(x + 2)2 + B(x – 1)(x + 2) + C(x – 1) 5x2 + 15x + 7 = A(x2 + 4x + 4) + B(x2 + x –2) + Cx – C 5x2 + 15x + 7 = Ax2 + 4Ax + 4A + Bx2 + Bx – 2B + Cx – C 5x2 + 15x + 7 = (A + B)x2 + (4A + B + C)x + (4A – 2B – C)

Diperoleh : A + B = 5 (i) → A = 5 – B 4A + B + C = 15 (ii) 4A – 2B – C = 7 (iii)

(ii) 4(5 – B) + B + C = 15 (iii) 4(5 – B) – 2B – C = 7 20 – 4B + B + C = 15 20 – 4B – 2B – C = 7

–3B + C = –5 .......(iv) –6B – C = –13......(v)

(iv) –3B + C = –5 (iv) –3(2) + C = –5 (v) –6B – C = –13 C = 1 –9B = – 18 (i) A + 2 = 5 B = 2 A = 3

Sehingga

∫ +−

++2

2

)2x)(1x(

7x15x5 dx = ∫ ++

++

−dx

)2x(

1)2x(

2)1x(

32

= 3.ln |x – 1| + 2.ln |x + 2| – )2x(

1+

+ k

3. ∫ ++

+−

)1x)(1x4(

1x3x62

2dx

)1x)(1x4(

1x3x62

2

++

+− = )1x(

CBx)1x4(

A2 +

++

+

6x2 – 3x + 1 = A(x2 + 1) + (Bx + C)(4x + 1) 6x2 – 3x + 1 = Ax2 + A + 4Bx2 + Bx + 4Cx + C 6x2 – 3x + 1 = (A + 4B)x2 + (B + 4C)x + (A + C)

Didapat : A + 4B = 6 ......(i) B + 4C = –3 ......(ii) Diperoleh A = 2; B = 1; C = –1 A + C = 1 ......(iii) Buktikan !!!

Sehingga

∫ ++

+−

)1x)(1x4(

1x3x62

2dx = dx

)1x(

1x)1x4(

22∫ +

−+

+

35

4. ∫ ++

+−dx

)2x)(3x(

22x15x622

2

22

2

)2x)(3x(

22x15x6

++

+− = 222 )2x(

EDx

)2x(

CBx)3x(

A

+

++

+

++

+

6x2 – 15x + 22 = A(x2 + 2)2 +(Bx + C)(x + 3)(x2 + 2) + (Dx + E)(x + 3) 6x2 – 15x + 22 = A(x4 + 4x2 + 4) + (Bx + C)(x3 + 3x2 + 2x + 6) + Dx2 + 3Dx + Ex + 3E 6x2 – 15x + 22 = Ax4 + 4Ax2 + 4A + Bx4 + 3Bx3 + 2Bx2 + 6Bx + Cx3 + 3Cx2 + 2Cx + 6C + Dx2 + 3Dx + Ex + 3E 6x2 – 15x + 22 = (A + B)x4 + (3B + C)x3 + (4A + 2B + 3C+ D)x2 + (6B + 2C + 3D + E)x + (4A + 6C + 3E)

Didapat : A + B = 0 ......(i) 3B + C = 0 ......(ii) Buktikan bahwa 4A + 2B + 3C+ D = 6 ......(iii) A = 1; B = –1; C = 3; D = –5; dan E = 0 6B + 2C + 3D + E = –15 ......(iv) 4A + 6C + 3E = 22 ......(v)

Sehingga ∫ ++

+−dx

)2x)(3x(

22x15x622

2= ∫ +

−+

+

+−+

+dx

)2x(

x5

)2x(

3x)3x(

1222

Latihan Ubahlah bentuk Integral fungsi rasional berikut :

1. ∫ +dx

x2x

22

2. ∫ −

+dx

9x

3x52

3. ∫ −

+dx

)3x(

1x2

4. ∫ ++

+dx

4x4x

7x52

5. ∫ +

++dx

x5x2

10x19x34

2

6. ∫ +−

−−dx

)9x)(1x2(

36x3x22

2

36

B. APLIKASI INTEGRAL TAKTENTU DALAM BIDANG BISNIS DAN EKONOMI Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total apabila persamaan fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal merupakan turunan dari fungsi total maka dengan proses terbalik (integrasi) dapat diperoleh fungsi total jika diketahui fungsi marjinalnya. 1. Fungsi Biaya

Biaya Total TC = f(Q) → biaya marjinal MC = TC’ = f’(Q) Dengan demikian, Biaya Total (TC) merupakan integral dari Biaya Marjinal (MC) yaitu :

TC = ∫∫ = dQQfdQMC )('

Contoh :

Biaya marjinal suatu perusahaan diketahui MC = 3Q2 – 6Q + 4 Jika diketahui biaya tetapnya adalah 4, tentukan : a. Persamaan biaya total b. Persamaan biaya rata-rata c. Besarnya biaya total dan biaya rata-rata jika diproduksi sebanyak 5 unit.

Penyelesaian :

a. TC = ∫ dQMC

TC = ∫ (3Q2 – 6Q + 4) dQ

TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + k

Konstanta k tak lain merupakan biaya tetap yang diketahui sebesar 4. Sehingga TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4

b. AC = QTC

AC = Q

QQQ 443 23 ++−

AC = Q

QQ 4432 ++−

c. Untuk Q = 5 unit maka TC = Q3 – 3Q2 + 4Q + 4 = (5)3 – 3(5)2 + 4(5) + 4

= 125 – 75 + 20 + 4 = 74 Jadi biaya total = 74

AC = Q

QQ 4432 ++− = (5)2 – 3(5) + 4 +

54

= 25 – 15 + 4 + 0,8 = 14,8 Jadi biaya rata-rata = 14,8

2. Fungai Penerimaan

Penerimaan Total TR = f(Q) → Penerimaan Marjinal MR = TR’ = f’(Q) Dengan demikian, Penerimaan Total (TR) merupakan integral dari Penerimaan Marjinal (MR) yaitu :

TR = ∫∫ = dQQfdQMR )('

Dalam penerimaan total tidak ada penerimaan tetap, sebab penerimaan tidak akan ada jika tidak ada barang yang dihasilkan atau terjual. Contoh : Suatu perusahaan mempunyai penerimaan marjinalnya dengan fungsi MR = 16 – 4Q Tentukan Penerimaan Total dan penerimaan rata-rata jika diproduksi sebanyak 6 unit

37

Penyelesaian :

Penerimaan total TR = ∫ dQMR

TR = ∫ (16 – 4Q) dQ

TR = 16Q – 2Q2 Untuk Q = 6 maka TR = 16(6) – 2(6)2 = 96 – 72 = 24 Jadi jika diproduksi sebanyak 6 unit diperoleh Penerimaan total = 24

Penerimaan rata-rata AR = QQ

QQQTR

216216 2

−=−

=

Untuk Q = 6 unit maka AR = 16 – 2(6) = 16 – 12 = 4 Jadi jika diproduksi sebanyak 6 unit, penerimaan rata-ratanya = 4

3. Fungsi Utilitas

Utilitas Total TU = f(Q) → Utilitas Marjinal = MU = TU’ = f’(Q) Dengan demikian, Utilitas Total (TU) merupakan integral dari Utilitas Marjinal (MU) yaitu :

TU = ∫∫ = dQQfdQMU )('

Sama halnya dengan Penerimaan total, Fungsi Utilitas Total tidak terdapat Utilitas Tetap karena tidak akan ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tidak ada barang yang dikonsumsi. Contoh : Tentukan persamaan Utilitas Total jika diketahui Utilitas Marjinalnya MU = 90 – 10Q. Tentukan pula Utilitas total jika diproduksi sebanyak 11 unit.

Penyelesaian :

Utilitas Total UT = ∫ dQMU

UT = ∫ (90 – 10Q) dQ

UT = 90Q – 5Q2 Untuk Q = 11 unit maka UT = 90(11) – 5(11)2 UT = 990 – 605 = 385 Jadi jika diproduksi sebanyak 11 unit diperoleh utilitas total = 385

4. Fungsi Produksi

Produksi Total P = f(X) dimana P = keluaran dan X = masukan Produk Marjinal MP = P’ = f’(X)

Produk Total merupakan Integral dari Produk Marjinal

P = ∫∫ = dXXfdXMP )('

Contoh :

Produk Marjinal suatu perusahaan diketahui MP = 18X – 3X2. Tentukan : a. Persamaan Produk Total b. Persamaan Produk Rata-rata

Penyelesaian :

Produk Total P = ∫ dXMP

P = ∫ (18X – 3X2) dX

P = 9X2 – X3

(c = 0 sebab tidak akan ada produksi yang dihasilkan jika tidak ada bahan yang diolah)

38

Produk Rata-rata AP = XP

AP = 232

99 XX

XXX

−=−

5. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan

Dalam konsep ekonomi, pendapatan (Y) pertama-tama digunakan untuk memenuhi kebutuhan atau konsumsi (C), dan selebihnya ditabung atau saving (S) sehingga dapat dituliskan Pendapatan = Konsumsi + Tabungan.

Jadi Y = C + S a. Fungsi Konsumsi

Pada awalnya bisa jadi pendapatan Y lebih kecil dari konsumsi C. Artinya walaupun belum punya pendapatan tetapi manusia tetap harus memenuhi kebutuhan sehingga tetap melakukan konsumsi. Kondisi dimana besarnya konsumsi pada saat pendapatan sama dengan nol (Y=0) disebut konsumsi otonom. Dan setiap ada kenaikan pendapatan dapat dipastikan konsumsi juga meningkat. Perbandingan antara besarnya perubahan konsumsi (ΔC) dengan perubahan Pendapatan (ΔY) yang mengakibatkan adanya perubahan konsumsi tersebut dinamakan dengan Marginal Properity to Consume (MPC) Dari keterangan di atas maka fungsi konsumsi dapat dituliskan sebagai berikut :

C = a + MPC Y

a = konsumsi otonom (autonomous consumption) MPC (Marginal Properity to Consume) dapat ditentukan dengan

MPC = C’ = dYdC

Berdasar kaidah integrasi, maka Fungsi Konsumsi (C) merupakan integral dari MPC.

C = ∫ MPC dY + k

k = a (konsumsi otonom/autonomus consumption/konsumsi minimum jika Y = 0)

b. Fungsi Tabungan

Dari fungsi Pendapatan (Y = C + S) dan fungsi konsumsi (C = a + bY) maka : S = Y – C S = Y – (a + bY) S = Y – a – bY S = –a + Y– bY S = –a + (1 – b)Y

Hasrat untuk Menabung/Marginal Properity to Save (MPS) merupakan turunan pertama dari fungsi

tabungan S. Sehingga :

MPS = S’ = dYdS = (1 – b)

Berdasar kaidah integrasi, maka Fungsi Tabungan (S) merupakan integral dari MPS.

S = ∫ MPS dY + k

k = – a (tabungan otonom/autonomus Saving/tabungan negatif[dissaving] jika pendapatan Y = 0) Catatan : Autonomus saving = – autonomus consumption

39

Contoh :

1. Jika kecenderungan konsumsi marginal (MPC) = 0,8 dan komsumsi miminum = Rp 15 Milyar pada saat pendapatan Y=0. Cari fungsi konsumsinya. Penyelesaian :

C = ∫ MPC dY C = ∫ 0,8 dY C = 0,8Y + k Karena k = 15M maka C = 0,8 Y + 15 Milyar

2. Diketahui konsumsi minimumnya Rp 30M dan MPC = 0,6. Tentukan

a. Fungsi Konsumsi b. Fungsi Tabungan Penyelesaian : a. MPC = b = 0,6

Konsumsi otonom = a = 30M Fungsi Konsumsi = C = ∫ MPC dY

C = ∫ 0,6 dY C = 0,8Y + 30M b. MPS = (1 – b) = 1 – 0,6 = 0,4

Tabungan otonom = –a = – 30M Fungsi Tabungan = S = ∫ MPS dY S = ∫ 0,4 dY S = 0,4Y – 30M

Latihan : 1. Fungsi biaya marginal suatu produk:

MC=f(Q)=500+4Q Tentukan fungsi biaya total (TC) dan fungsi biaya rata-rata (AC) jika biaya tetap diketahui Rp.3.000,-

2. Biaya marginal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC=1,50Q2 – 4Q + 12. Cari persamaan biaya total dan biaya rata-rata jika biaya tetap sebesar 20

3. Jika fungsi penerimaan marginal dari suatu perusahaan adalah MR = f(Q) = 5 – 3Q. Tentukan fungsi penerimaan total (TR) dan fungsi penerimaan rata-rata (AR)

4. Cari persamaan fungsi penerimaan total dan fungsi penerimaan rata-ta jika penerimaan marginalnya MR = 900 – 28Q

5. Produk marjinal PT POOH ditunjukkan oleh persamaan 3Q2 + 5. Bentuklah fungsi produk total dan fungsi produk rata-ratanya ? Berapakah besarnya produk total dan produk rata-rata jika masukan yang digunakan sebesar 10 unit?

6. Bentuklah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marginalnya ditunjukkan oleh persamaan MU = 120 – 14Q. Berapakah besarnya utilitas total jika Q = 12?

7. Bentuklah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat suatu negara jika diketahui bahwa MPC = 0,55 dan konsumsi autonomnya sebesar 34 milyar?

40

C. INTEGRAL TERTENTU

Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang nilai-nilai variabel bebasnya memiliki batas-batas tertentu. Jika k)x(Fdx )x(f +=∫ maka Integral suatu fungsi f(x) antara x = a dan x = b dimana a < b ditulis dengan

∫b

adx )x(f = [ ]ba )x(F

= { F(b) + k } – { F(a) + k } = F(b) – F(a)

Notasi ∫b

adx )x(f dibaca : Integral f(x) untuk x antara a dan b

a disebut batas bawah integasi b disebut batas atas integrasi

Integral tertentu digunakan untuk menghitung luas wilayah yang terletak antara kurva y = f(x) dengan sumbu x pada rentang antara x = a dan x = b. Dapat pula untuk menentukan luas wilayah antara dua kurva f(x) dan g(x). Untuk menentukan luas wilayah antara kurva y = f(x)

Luas arsiran : ∫b

adx )x(f

Menentukan luas wilayah antara dua kurva y1= f(x) dan y2 = g(x) pada rentang antara x = a dan x = b

Luas arsiran : ∫−∫b

a

b

adx )x(gdx )x(f

= ∫ −b

adx )x(g)x(f

Kaidah-kaidah Integrasi tertentu

1. ∫b

adx )x(f = [ ]ba )x(F = F(b) – F(a)

Contoh :

∫ +4

1dx 3)x 6( = [ ] x3x3 2 4

1+

= {3(4)2 + 3(4)} – {3(1)2 + 3(1)} = (48 + 12) – (3 + 3) = 60 – 9 = 51

2. ∫a

adx )x(f = 0

Contoh :

∫2

2

2 dx x9 = [ ]223x3 = 3(2)3 – 3(2)3 = 24 – 24 = 0

a b

y = f(x)

x

y

a b

y = f(x)

x

y

y = g(x)

41

3. ∫b

adx )x(f = – ∫

a

bdx )x(f

Contoh :

∫5

1dxx 6 = [ ]512x3 = 3(5)2 – 3(1)2 = 75 – 3 = 72

– ∫1

5dxx 6 = – [ ]152x3 = – {{3(1)2 – 3(5)2 } = – ( 3 – 75 ) = – (–72) = 72

4. ∫b

adx )x(f.k = ∫

b

adx )x(f.k

Contoh :

∫ +4

1dx 1)x2(3 = ∫ +

4

1dx 1)x2(3

= [ ] xx3 2 41+

= 3{ (42 + 4) – (12 + 1)} = 3( 20 – 2) = 3(18) = 54

5. ∫ ∫+∫ =+b

a

b

a

b

adx )x(gdx )x(fdx )}x(g)x(f{

Contoh :

∫ +5

3

2 dx )x4x3( = ∫+∫5

3

5

3

2 dxx 4dx x3

= [ ] [ ] x2 x 2 53

3 53 +

= (53 – 33) + (2(5)2 – 2(3)2) = 116 + 32 = 84

6. Untuk a < c < b berlaku ∫ ∫=∫ +b

c

b

a

c

adx )x(fdx )x(fdx )x(f

Contoh :

∫+∫5

3

3

1dxx 6dxx 6 = [ ]312x3 + [ ]532x3

= {3(3)2 – 3(1)2 } + {3(5)2 – 3(3)2 } = (27 – 3) + (75 – 27) = 24 + 48 = 72

Latihan

1. ∫ +6

2

2 dx 8x)x6( 5. Tentukan luas daerah L1 dan L2 diarsir berikut :

2. ∫+

10

0dx

5xdx

3. ∫ +4

1dx 3)x2(

4. ∫ +20

10

2 dQ Q102Q1

8

y = ½ x + 1

x

y

5

1

y = – ¼ x + 7

L1

L2

42

D. APLIKASI INTEGRAL TERTENTU

1. Surplus Konsumen /Consumer’s Surplus (Cs)

Mencerminkan suatu keuntungan lebih (surplus) yang dinikmati konsumen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar suatu barang.

Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka bagi konsumen tertentu yang sebenarnya mampu dan bersedia membayar denga harga lebih tinggi dari Pe hal ini merupakan keuntungan baginya, sebab ia cukup membayar dengan harga Pe. Keuntungan inilah yang dinamakan dengan Surplus Konsumen.

Untuk fungsi permintaan berbentuk P = f(Q) maka Surplus Konsumen merupakan luas daerah yang dibatasi oleh fungsi P = f(Q) dan garis horisontal Pe dengan 0 sebagai batas bawah dan Qe sebagai batas atas.

Cs = ∫Qe

0dQ (Q)f – Qe.Pe

Untuk fungsi permintaan berbentuk Q = f(P) maka Surplus Konsumen dapat dihitung dengan

Cs = ∫P̂

PedP (P)f

P̂ adalah Nilai P pada saat Q = 0 Contoh : Fungsi Permintaan suatu barang mempunyai persamaan P = 20 – ½Q. Hitunglah Surplus Konsumen pada tingkat harga pasar 10. P = 20 – ½Q → Q = 40 – 2P Pe = 10 → Qe = 20 Q = 0 → P̂ = 20

Cara I : Kita gunakan rumus Cs = ∫Qe

0dQ (Q)f – Qe.Pe

Cs = ∫Qe

0dQ (Q)f – Qe.Pe

= ∫20

0dQ 0,5Q)-(20 – 20.10

= [ ]2 200Q25,0Q20 − – 200

= { 20(20) – 0,25(20)2 } – {20(0) – 0,25(0)2} – 200 = (400 – 100) – 0 – 200 = 300 – 200 = 100

Jadi diperoleh Cs = 100

Qe

P = f(Q)

x

y

E = (Qe, Pe) Pe

Surplus Konsumen

P̂

Q̂

Cara II : kita gunakan rumus Cs = ∫P̂

PedP (P)f

Jika Q = 0 maka 40 – 2P = 0 sehingga P̂ = 20

Cs = ∫P̂

PedP (P)f = ∫

20

10dP 2P-04

= [ ]2 2010PP40 −

= { 40(20) – (20)2 } – { 40(10) – (10)2 } = (800 – 400) – (400 – 100) = 400 – 300 = 100 Jadi diperoleh Cs = 100

43

2. Surplus Produsen / Producer’s Surplus (Ps) Mencerminkan keuntungan lebih (Surplus) yang dinikmati oleh produsen tertentu berkenaan dengan tingkat harga pasar dari barang yang ditawarkan.

Jika tingkat harga pasar adalah Pe maka bagi produsen tertentu yang sebenarnya bersedia menjual dengan harga lebih rendah dari Pe hal ini merupakan keuntungan baginya. Sebab ia dapat menjualnya dengan harga Pe. Keuntungan inilah yang disebut dengan Surplus Produsen.

Dalam hal fungsi Penawaran berbentuk P = f(Q) maka Surplus Produsen dapat dihitung dengan

Ps = Qe.Pe – ∫Qe

0dQ (Q)f

Untuk fungsi Penawaran berbentuk Q = f(P) maka Surplus Produsen dapat dihitung dengan

Ps = ∫Pe

P̂dP (P)f

P̂ adalah Nilai P pada saat Q = 0 Contoh: Seorang produsen mempunyai fungsi penawaran P = 0,5Q + 3. Tentukan Surplus Produsen bila tingkat harga keseimbangan pasar adalah 10 ! P = 0,5Q + 3 → Q = 2P – 6 Pe = 10 maka Qe = 14 Q = 0 maka P̂ = 3

Cara I : menggunakan rumus Ps = Qe.Pe – ∫Qe

0dQ (Q)f

Ps = 14.10 – ∫ +14

0dQ 3) ,5Q0(

= 140 – [ ]Q3Q25,0 2 140+

= 140 – [{ 0,25(14)2 + 3(14) } – {0,25(0)2 + 3(0)}] = 140 – [ { 49 + 42 } – 0] = 140 – 91 = 49

Latihan Fungsi penawaran dan Permintaan akan suatu barang di pasar masing-masing ditunjukkan oleh Q = –30 + 5P dan Q = 60 – 4P Hitunglah masing-masing Surplus yang diperoleh Konsumen dan Produsen !

Qe

P = f(Q)

x

y

E = (Qe, Pe) Pe

Surplus Produsen

P̂

Cara II : menggunakan rumus Ps = ∫Pe

P̂dP (P)f

Ps = ∫10

3dP 6)-2P( = [ ]P6P2 10

3−

= { (10)2 – 6(10) } – { (3)2 – 6(3) } = { (100 – 60) – (9 – 18) } = 40 – (–9) = 49

44