TUGAS KELOMPOK MATEMATIKA DASAR UNTUK FISIKA “KETERKAITAN ANTARA FUNGSI, LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN INTEGRAL” DISUSUN OLEH : 1. DIAH SETYORINI {NIM : 4201411001} 2. TRI HANDAYANI {NIM : 4201411012} 3. RIZQI YULIARTI {NIM : 4201411016} 4. DEKA FERIANA {NIM : 4201411019} ROMBEL : 03 JURUSAN : FISIKA PRODI : PENDIDIKAN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011
35
Embed
Keterkaitan antara fungsi, limit, kekontinuan, turunan, dan integral
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
TUGAS KELOMPOK
MATEMATIKA DASAR UNTUK FISIKA
“KETERKAITAN ANTARA FUNGSI, LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN INTEGRAL”
ROMBEL : 03JURUSAN : FISIKAPRODI : PENDIDIKAN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG
2011
FUNGSI
A. DEFINISI FUNGSI
Dalam matematika, yang dimaksud dengan fungsi adalah aturan memetakan setiap
objek x di suatu himpunan D (daerah asal) ke sebuah objek tunggal y di himpunan E (daerah
hasil). Fungsi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti f atau g.
Lambang f : D E berarti f adalah fungsi dari D ke E.
Fungsi merupakan hal yang mendasar dalam kalkulus. Misalkan diketahui himpunan A dan B, dan R adalah suatu cara yang menghubungkan atau mengkaitkan elemen A dengan elemen B. Dikatakan terdapat suatu relasi R antara A dan dengan sifat : f mengkaitkan setiap elemen A dengan satu dan hanya satu elemen B. f disebut fungsi dari A ke B dan dapat ditulis : f :AB.
Syarat fungsi adalah semua domain (daerah asal) mempunyai pasangan pada kodomain (daerah lawan).
Fungsi : A B
Domain Kodomain
Bukan fungsi : A B
Domain Kodomain
Dalam fungsi terdapat beberapa istilah, yakni :
1. Daerah Asal (domain) , yang dilambangkan dengan Df
2. Daerah Hasil (range) , yang dilambangkan dengan Rf
3. Daerah Lawan (kodomain)
B. SIFAT-SIFAT FUNGSI
1. Fungsi Injektif (fungsi satu-satu)
Fungsi f dikatakan satu-satu jika untuk setiap dua unsur beda di A mempunyai peta yang
beda. Definisi ini dapat ditulis sebagai berikut :
x1 , x2 ∈ A , x1 ≠ x2 , f (x1¿≠f (x2)
A B
x1 f (x2)
x2 f (x1)
Contoh :
Diketahui f : R R , f (x) = x3
Penyelesaian :
Ambil sembarang x1 , x2 ∈ R , x1 ≠ x2, jadi :
(x1 - x2) ≠ 0 dan (x12 + x1 . x2 + x1
2 ) ≠ 0
Jelas f (x1¿−¿f (x2) = x13 x2
3
= (x1 - x2) (x12 + x1 . x2 + x1
2 )
≠ 0
Jadi f (x1¿−¿f (x2) ≠ 0
Jadi x1 , x2 ∈R , x1 ≠ x2 , f (x1¿≠f (x2)
Jadi f suatu fungsi injektif
2. Fungsi Surjektif
Fungsi f dikatakan pada surjektif jika Rf = B. Definisi ini dapat ditulis sebagai berikut:
x∈ B, ∃ y ∈ A∋ f ( y )=x
A B
x1 y1
x1
x3 y2
Contoh :
Diketahui f : R R , f (x) = 2x 1
Penyelesaian :
Ambil sembarang x ∈ R
Maka x = 2 ( x+12 ) 1, pilih y = ( x+1
2 )∈ R
Jelas f (y) = 2 ( x+12 ) 1 = x
Jadi x∈ R, ∃ y ∈R∋ f ( y )=x
Jadi f merupakan suatu fungsi surjektif.
3. Fungsi Bijektif
Fungsi f : I R dikatakan bijektif apabila fungsi f merupakan fungsi injektif dan sekaligus
fungsi surjektif.
A B
C. Beberapa Jenis Fungsi Riil
1. Fungsi polinom (suku banyak)
Memiliki bentuk :
f (x) = a0 xn + a1 xn−1 + ……. + an−1x + an…….
a i bilangan riil ; a0≠ 0 , n bilangan bulat positif. Polinom di atas disebut berderajat n. Contoh :
f (x) = 5 x3 + 6 x2 + 2x 8 adalah polinom berderajat 3.
2. Fungsi Aljabar
Adalah suatu fungsi y = f (x) yang memenuhi persamaan berbentuk :
P0 ( x ) yn + P1 yn−1 + ……. + Pn−1 ¿x) y + Pn(x) = 0
Dimana Pi(x) suatu polinom dalam x.
Contoh : f (x) = x2 2x 24 ataupun f (x) = x−4
x3+7 merupakan fungsi aljabar rasional.
Sedangkan f (x) = x + √ x−x2 merupakan fungsi aljabar tidak rasional.
3. Fungsi Transenden
Merupakan fungsi yang bukan fungsi aljabar.
Beberapa fungsi transenden yang khusus :
a. Fungsi eksponensial f (x) = ax , a ≠ 0 , 1
b. Fungsi logaritma f (x) = a log x , a ≠ 0 , 1
4. Fungsi Trigonometri
Memiliki bentuk antara lain : sin x , cos x , tg x , ctg x , sec x , dan cosec x
5. Fungsi Identitas (Kesatuan)
Suatu fungsil Riil yang berbentuk f (x) = x untuk x variabel y, disebut Fungsi Identitas, ditulis
f = I. dapat ditulis dengan notasi :
I (x) = x , x ∈ A
6. Fungsi Invers (Kebalikan)
f−1 dinamakan fngsi invers dari f jika memenuhi f−1° f = f° f−1= I.
D. Definisi operasi pada fungsi :
(f + g)(x) = f (x) + g (x)
(f g)(x) = f (x) g (x)
(f . g)(x) = f (x) . g (x)
(f / g)(x) = f (x) / g (x)
LIMIT FUNGSI
A. SIFAT-SIFAT LIMIT : misalkan f dan g dua buah fungsi dan k ∈
R
1. limx c
k = k
2. limx c
x = c
3. limx c
(kf )(x ) = k limx c
f ( x )
4. limx c
(f +g ) ( x ) = limx c
f ( x ) + limx c
g ( x )
5. limx c
( f −g ) (x ) = limx c
f ( x ) limx c
g ( x )
6. limx c
( fg )(x ) = limx c
f ( x ) . limx c
g ( x )
7. limx c ( f
g )(x ) = lim
xc( f )(x)
limx c
( g )(x )
8. limx c
f n(x ) = ( limx cf (x))n , n ∈ N
B. SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. limx c
sin x = sin c dan limx c
cos x= cos x
2. limx 0
sin xx
= 1 dan limx 0
xsin x
= 1
3. limx 0
tan xx
= 1 dan limx 0
xtan x
= 1
KEKONTINUAN
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada suatu titik x = a bila nilai limit f(x) pada xmendekati a sama dengan nilai fungsi di x = a atau f(a). f disebut kontinu jika bersambung (grafis) secara analisis :
1. Nilai fungsinya ada
f (a) terdefinisi atau f (a) ∈ R
2. Nilai limitnya ada (limit kiri sama dengan limit kanan)
limxa−¿ f ( x)¿
¿ = limxa+¿ f (x)¿
¿
3. Nilai fungsinya sama dengan nilai limitnya
limx a
f ( x ) = f (a)
Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada interval buka ( a,b ) bila f(x) kontinu padasetiap titik di dalam interval tersebut. Sedangkan f(x) dikatakan kontinu pada intervaltutup [ a,b ] bila :
1. f (x) kontinu pada (a,b)
2. f (x) kontinu kanan x = a, ¿
3. f (x) kontinu kiri x = b , ¿
TURUNAN
A. SIFAT-SIFAT TURUNAN
1. Turunan fungsi konstan, yaitu f (x) = a, a konstanta maka f (x) = 0
f (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
a−ah
= 0
2. Turunan fungsi pangkat positif dari x , yaitu f (x) =xn
f (x) = xn , maka f ‘ (x) = nxn−1
3. Turunan f (x) = axn dengan a konstanta dan n bilangan positif atau rasional
f (x) =a xn , maka f ‘ (x) = a nxn−1
4. Turunan pangkat negative dari x, yaitu f (x) = 1
xn
f (x) = 1
xn , maka f ‘ (x) = - n
xn+1 atau f (x) =x−n maka f ‘ (x) = -n x−(n+1)
5. Turunan pada limit
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
6. Pada operasi limit fungsi
a. (f + g)’(x) = f (x) + g’(x)
b. (f – g)’(x) = f (x) – g’(x)
c. (cf)’(x) = cf(x), c konstanta
d. (f.g)’(x) = f (x) g’(x) + g (x) f (x)
e. (f / g)’(x) = g ( x ) f ' ( x )−f ( x ) g '( x)
[ g(x )2] , g (x) ≠ 0
INTEGRAL
A. DEFINISI INTEGRAL
Misalkan f (x) adalah suatu fungsi umum yang bersifat f ‘ (x) = f(x) atau f (x). dalam
hal ini f(x) dinamakan senagai anti turunan atau himpunan pengintegralan dari fungsi f ‘ (x) =
f (x).
B. SIFAT-SIFAT INTEGRAL
1. ∫ dx = x +c
∫ a dx = ax +c
2. ∫ ( x )+g ( x ) dx=¿∫ f ( x ) dx+∫ g (x)¿ dx
3. ∫ ( x )−g ( x ) dx=¿∫ f ( x ) dx−∫ g(x )¿ dx
∫ a xn dx = a
n+1 xn+1 + c dengan n ≠ -1
Sifat-sifat Integral Tertentu :
1. ∫b
a
f ( x )dx=0
2. ∫a
b
f ( x )dx=¿¿ −∫b
a
f ( x ) dx
3. ∫a
b
dx = b – a
4. ∫a
b
k dx = k (b – a) , k = konstanta
5. ∫a
b
k f ( x )dx=¿¿ k∫a
b
f ( x ) dx
6. ∫a
b
f ( x )+g (x)dx=¿¿ −∫a
b
f ( x ) d+∫a
b
g ( x ) dx
7. ∫a
b
f ( x )dx+¿∫b
c
f ( x ) dx ¿ = ∫a
c
f ( x )dx , a < b < c
8. a) jika f (x) ≥ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b, maka ∫a
b
f ( x )dx ≥ 0
b) jika f (x) ≤ 0 dalam interval a ≤ x ≤ b , maka ∫a
b
f ( x )dx ≤ 0
9. jika m dan M adalah nilai minimum dan maksimum fungsi f pada [a,b], maka :
m (b – a) ≤∫a
b
f ( x )dx ≤ M (b – a)
10. jika F (x) adalah anti turunan fungsi f (x) dx = F (b) – F (a)
CONTOH FUNGSI
YANG AKAN DICARI LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN
INTEGRAL, BESERTA GRAFIKNYA
1. Diketahui f ( x )={ x2+1 ,∧x ≤ 1x2−x+2 ,∧x>1
Tentukan :
a. limx→ 1−¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 1+¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=1d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebutf. Grafik
Penyelesaian:
a. limx→ 1−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=x2+1 untuk x≤ 1
f (1 )=(1 )2+1
f (1 )=2
b. limx→ 1+¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=x2−x+2untuk x>1
f ( x )= (1 )2−(1 )+2
f ( x )=2c. Ya, fungsi tersebut kontinu pada x=1 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
f ( x )={ x2+1 ,∧x ≤ 1x2−x+2 ,∧x>1
Untuk
∫ f ( x )dx=∫(x¿¿2+1)dx , x ≤ 1¿
F ( x )=13
x3+x+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫(x¿¿2−x+2)dx ¿,x>1
F ( x )=13
x3−12
x2+2 x+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=x2+1 , x≤−1
f ‘(x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
((x+h)¿¿2+1)−(x2+1)h
¿
= limh 0
x2+2 xh+h2+1−x2−1h
= limh 0
2 xh+h2
h
= limh 0¿ 2x + h
= 2x + (0)= 2x
f ' ( x )=2 x , x ≤−1Untuk
f ( x )=x2−x+2
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
=limh 0
((x+h)¿¿2−( x+h )+2)−(x2−x+2)h
¿
= limh 0
x2+2 xh+h2−x−h+2−x2+x−2h
= limh 0
2 xh+h2−hh
= limh 02 x+h−1
= 2x + (0) – 1= 2x – 1
f ' ( x )=2 x−1f. Grafik fungsi
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
2
4
6
8
10
12
Series2
2. Diketahui : f ( x ) {x2−1 , x≤−12 x+2 , x>−1
Tentukan:
a. limx→−1+¿ f (¿x)¿ ¿
¿
b. limx→−1−¿ f (¿ x)¿¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=-1?d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→−1+¿ f (¿x)¿ ¿
¿
f ( x )=2 x+2
f (−1 )=2 (−1 )+2
f (−1 )=0
b. limx→−1−¿ f (¿ x)¿¿
¿
f ( x )=x2−1
f (−1 )=(−1)2−1f (−1 )=0
c. Ya, fungsi tersebut kontinu pada x=-1 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
f ( x )={x2−1 ,∧x ≤−12 x+2 ,∧x>−1
Untuk
∫ f ( x )dx=∫(x¿¿2−1)dx , x≤−1¿
F ( x )=13
x3−x+C ,x ≤−1
Untuk
∫ f ( x )dx=∫(2 x+2)dx , x>−1
F ( x )=x2+2 x+C , x>−1
e. f ' (an )=n an−1
f ( x )=x2−1 , x≤−1
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
((x+h)¿¿2−1)−(x2−1)h
¿
= limh 0
x2+2 xh+h2−1−x2+1h
= limh 0
2 xh+h2
h
= limh 0¿ 2x + h
= 2x + (0)= 2x
f ' ( x )=2 x , x ≤−1
Untuk f ( x )=2 x+2 , x>−1
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
(2 ( x+h )+2 )−(2 x+2)h
= limh 0
2 x+2 h+2−2 x−2h
= limh 0
2 hh
f ' ( x )=2, x>−1f. Grafik fungsi
-4 -3 -2 -1 0 1 2 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Series2
3. f (x){2 x−2 , x≤−3x−5 , x>−3
Tentukan:
a. limx→−3+¿ f (¿ x)¿¿
¿
b. limx→−3−¿ f (¿x)¿ ¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=-3?d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→−3+¿ f (¿ x)¿¿
¿
f ( x )=2 x−2
f (−3 )=2 (−3 )−2
f (−1 )=−8
b. limx→−3+¿ f (¿ x)¿¿
¿
f ( x )=x−5
f (−1 )=(−3 )−5
f (−1 )=−8c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=-3 karena limit fungsi kanan sama dengan
limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
f (x){2 x−2 , x≤−3x−5 , x>−3
∫ f ( x )dx=∫(2 x−2)dx , x≤−1
F ( x )=x2−2 x+C , x≤−1Untuk
∫ f ( x )dx=∫ (x−5 ) dx , x>−1
F ( x )=12
x2−5 x+C , x>−1
e. f ' (an )=n an−1
untukf ( x )=2 x−2 , x≤−1
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
(2 ( x+h )−2 )−(2 x−2)h
=limh 0
2 x+2 h−2−2 x+2h
= limh 0
2 hh
= 2
f ' ( x )=2, x≤−1
Untuk f ( x )=x−5 , x>−1
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
( ( x+h )−5 )−(x−5)h
= limh 0
x+h−5−x+5h
= limh 0
hh
= 1
f ' ( x )=1, x>−1f. Grafik fungsi
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
Series2
4. f (x){x2+16 , x≥ 52 x , x<5
Tentukan :
a. limx→ 5−¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 5+¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=5d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→ 5−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=x2−15 untuk x≥ 5
f (1 )=(5 )2+15
f (1 )=10
b. limx→ 1+¿ f (x)¿
¿
Maka f ( x )=2 xuntuk x<5
f ( x )=2(5)f ( x )=10
c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=5karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={x2−15 ,∧x≥ 52 x ,∧x<5
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ ( x2−15 ) dx , x>1
F ( x )=13
x3−15 x+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫(2 x)dx
F ( x )=x2+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=x2−15 , x ≥5
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
((x+h)¿¿2+16) –(x¿¿2+16)
h¿¿
= limh 0
x2+2 xh+h2+16−x2−16h
= limh 0
2 xh+h2
h
= limh 0¿ 2x + h
= 2x + (0)= 2x
f ' ( x )=2 x , x ≤−1
Untuk f ( x )=2 x , x<5
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
(2 (x+h ))−(2 x)h
= limh 0
2 x+2 h−2 xh
= limh 0
2 hh
= 2f ' ( x )=2
f. Grafik fungsi
1 2 3 4 5 6 7 80
10
20
30
40
50
60
70
Series2
5. Diketahui f ( x )={2 x2−4 x+3 ,∧x>−23 x2+7 ,∧x≤−2
Tentukan :
a. limx→−2+¿ f (x)¿
¿
b. limx→−2−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=-2d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→−2+¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=2 x2−4 x+3 untuk x>−2
f (1 )=2 (−2 )2−4 x+3
f (1 )=19
b. limx→−2−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=3 x2+7untuk x>−2
f ( x )=3 (−2 )2+7
f ( x )=19c. Ya, karena fungsi tersebut kontinu pada x=-2karena limit fungsi kanan sama dengan
limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
f ( x )={2 x2−4 x+3 ,∧x>−23 x2+7 ,∧x≤−2
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ ( 2x2−4 x+3 ) dx , x>−2
F ( x )=23
x3−2 x2+3 x+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ ( 3x2+7 ) dx , x≤−2
F ( x )=x3+7 x+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=2 x2−4 x+3 , x>−2
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
(2 ( x+h )2−4 ( x+h )+3 )−(2x2−4 x+3)h
= limh 0¿¿¿
= limh 0
2 x2+4 xh+2 h2−4 x−4 h+3−2 x2+4 x−3h
= limh 0
4 xh+2 h2−4 hh
= limh 04 x+2h−4
= 4x + 2(0) – 4= 4x – 4
f ' ( x )=4 x−4Untuk f ( x )=3 x2+7 , x≤−2
f ‘ (x) = limh 0
f (x+h )−f (x)h
= limh 0
(3 ( x+h )2+7 )−(3 x2+7)h
= limh 0¿¿¿
= limh 0
3 x2+6 xh+3 h2+7−3 x2−7h
= limh 0
6 xh+3 h2
h
= limh 0¿6x + 3h
= 6x + 3(0)= 6x
f ' ( x )=6 xf. Grafik fungsi
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 20
10
20
30
40
50
60
Series2
CONTOH SOAL FUNGSI
KETERKAITAN LIMIT, KEKONTINUAN, TURUNAN, DAN
INTEGRAL
1. Diketahui f ( x )={x2−5 ,∧x>−2x+2 ,∧x ≤−2
Tentukan :
a. limx→−2+¿ f (x)¿
¿
b. limx→−2−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=-2d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→−2+¿ f (x)¿
¿
Makaf ( x )=x+2untuk x>−2
f (−2 )=(−2)+2
f (−2 )=0
b. limx→−2−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=x2−5
f (−2 )=(−2 )2−5
f ( x )=−1c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=-2 karena limit fungsi kanan tidak sama
dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={x2−5 ,∧x>−2x+2 ,∧x≤−2
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ ( x2−5 ) dx , x>−2
F ( x )=13
x3
−5 x+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ (x+2 ) dx , x ≤−2
F ( x )=12
x2+2 x+C+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=x2−5 , x>−2
f ' ( x )=2 xUntuk f ( x )=x+2 , x≤−2
f ' ( x )=1
2. f ( x )={√ x+2 , x ≤0x+2 , x>0
Tentukan :
a. limx→ 0+¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 0−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=0d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→ 0+¿ f (x)¿
¿
Makaf ( x )=x+2untuk x>0
f (0 )=(0)+2
f (0 )=2
b. limx→ 0−¿ f (x)¿
¿
Maka f ( x )=√x+2
f (0 )=√ (0 )2+2
f ( x )=√2c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=-2 karena limit fungsi kanan tidak sama
dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={√x+2 , x ≤ 0x+2 , x>0
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ (√x+2 ) dx , x>0
F ( x )=23(x+2)
32
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ (x+2 ) dx , x ≤ 0
F ( x )=12
x2+2 x+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )= (√x+2 ) , x>0
f ' ( x )= 2
√ x+2Untuk f ( x )=x+2 , x≤−2
f ' ( x )=1
3. f (x){3 x2+72
, x≤ 1
2 x2+2 , x>1
Tentukan:
a. limx→ 1+¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 1−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=1d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→ 1+¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=2 x2+2untuk x>1
f (1 )=2(1)2+2f (1 )=4
b. limx→ 1−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=3 x2+72
f (1 )=3 (1)2+72
f ( x )=5c. Tidak , fungsi tersebut tidak kontinu pada x=1 karena limit fungsi kanan tidak sama
dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={3 x2+72
, x≤ 1
2 x2+2 , x>1
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ 3 x2+72
dx , x>1
F ( x )= x3+7 x2 x
+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ 2 x2+2 dx , x>1
F ( x )=23
x3+2 x+C+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=3 x2+72
, x≤ 1
f ' ( x )=6 xUntuk
f ( x )=2 x2+2 , x>1
f ' ( x )=4 x
4. f (x){ √ x2−6 x+10 , x<3√4 x+3 x−20 , x ≥3
Tentukan:
a. limx→ 3+¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 3−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=3
d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→ 3+¿ f (x)¿
¿
Makaf ( x )=√4 x+3x−20 , x ≥3
f (3 )=√4 (3 )+3 (3 )−20
f (3 )=√12+9−20
f (3 )=√1f (3 )=1
b. limx→ 3−¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )=√x2−6 x+10 , x<3
f (3 )=√(3)2−6 (3 )+10
f (3 )=√9−18+10
f (3 )=√1f (3 )=1
c. Ya , fungsi tersebut kontinu pada x=3 karena limit fungsi kanan sama dengan limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={ √ x2−6 x+10 , x<3√4 x+3 x−20 , x ≥3
Untuk
∫ f ( x )dx=∫√x2−6 x+10 , x<3
F ( x )=23
( x2−6 x+10 )32.(2x-6)
F ( x )=43
x−4( x2−6 x+10)32
Untuk
∫ f ( x )dx=∫√4 x+3 x−20 dx , x>1
F ( x )=23
(4 x+3 x−20 )(4+3)+C
F ( x )=143
(4 x+3 x−20)32
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )=√x2−6 x+10 dx , x ≤3
f ' ( x )= 2
√x2−6 x+10(2 x−6 )
f ' ( x )= 4 x−12
√x2−6 x+10Untuk f ( x )=√4 x+3x−20 dx , x>3
f ' ( x )= 2
√4 x−3 x−20( 4+3 )
f ' ( x )= 14
√4 x+3 x−20
5. f ( x ) {x3−44
, x ≤ 4
5 x+7 , x>4
Tentukan:
a. limx→ 4+¿ f (x)¿
¿
b. limx→ 4−¿ f (x)¿
¿
c. Apakah kontinu pada x=4d. Integral fungsi tersebute. Turunan fungsi tersebut
Penyelesaian:
a. limx→ 4+¿ f (x)¿
¿
Maka
f ( x )= x3−44
, x ≤ 4
f ( 4 )=¿¿f (4 )=15
b. limx→ 4−¿ f (x)¿
¿
Maka f ( x )=5 x+7 , x>4
f ( 4 )=5 (4 )+7
f ( 4 )=¿27c. Tidak, fungsi tersebut kontinu pada x=4 karena limit fungsi kanan tidak sama dengan
limit fungsi kiri.
d. ∫ an= 1n+1
an+1
∫ f ( x )={x3−44
, x ≤ 4
5 x+7 , x>4
Untuk
∫ f ( x )dx=∫ x3−44
, x ≤ 4
F ( x )=
14
x4−4 x
4 x+C
Untuk
∫ f ( x )dx=∫5 x+7 , x>4
F ( x )=52
x2+7 x+C
e. f ' (an )=n an−1
Untuk
f ( x )= x3−44
, x ≤ 4
f ' ( x )=3 x2
Untuk f ( x )=5 x+7 , x>4
f ' ( x )=5
PENGGUNAAN TURUNAN DAN ATAU INTEGRAL
DALAM FISIKA ATAU BIDANG LAIN
1. Pada bidang ekonomi
Dengan cara menurunkannya dari persamaan biaya total dapat ditentukan nilai biaya marginal. Bisa ditulis biaya marjinal = biaya total’. Para matematikawan mengenal biaya marjinal sebagai dc/dx, turunan C terhadap x. Dengan demikian dapat didefinisikan harga marjinal sebagai dp/dx, pendapatan marjinal sebagai dR/dX, dan keuntungan marjinal sebagai dp/dx.Perhitungan: Sebuah perusahaan mempunyai biaya 3200 + 3,25x – 0,0003x2 dengan jumlah persatuan x=1000. tentukan biaya rata-rata dan biaya marjinal?Penyelasaianbiaya rata-rata = C(x)/x= 3200+3,25x-0,0003x2 / X= 3200+3,25 (1000)-0,0003(1000)2 / 1000= 6150 / 1000 = 6,15Maka biaya rata-rata persatuan yaitu 6,15 x 1000 = Rp.6150biaya marjinal = dc/dx= 3,25-0,0006x= 3,25-0.0006 (1000)= 2,65maka biaya marjinalnya, 2,65 x 1000 = Rp.2650 Pada x=1000 Dari hasil di atas, dapat dikatakan bahwa dibutuhkan Rp.6150 untuk memproduksi 1000 barang pertama dan membutuhkan Rp. 2,65 untuk membuat 1 barang setelah barang yang ke 1000, hanya dibutuhkan Rp. 2650 untuk membuat 1000 barang yang sama.
2. Pada bidang Fisika
Turunan pertama dari x terhadap waktu memberikan kecepatan v:
v=dxdt
=−Aω sin (ωt+δ )=Aωcos (ωt+δ+ π2 )
Dengan mendiferensialkan kecepatan terhadap waktu diperoleh percepatan benda:
a=dvdt
=d2 xd t2 =−ω2 A cos (ωt+δ )
Diketahui: s= (50+40 t +8 t2 ) i dalam meter. Berapa kecepatan benda pada saat t= 2 s ?
Penyelesaian:
v=d sdt
=d (50+40 t+8t 2)
dt=(40+16 t)t
v=40+16 (2 )=40+32=72
3. Pada bidang Matematika
Pada bidang MatematikaTurunan digunakan untuk pencarian dalam limit, yang bentuk soal limitnya harus di faktorkan atau di kalikan terlebih dahulu dengan akar sekawan. Selain itu , Aplikasi turunan juga digunakan untuk menentukan persamaan garis singgung.Contoh penggunaan Turunan untuk menentukan Garis singgung :Tentukan persamaan garis singgung dari y = x3 - 2x2 - 5 pada titik (3,2).Jawab :Y=f(x)= x3-2x2-5
Y=f(x)=3x2-4x f ’(3) = 3(3)2 - 4(3) = 15 ; m = 15.Rumus pers. Garis singgung :y-yo = m (x-xo), maka garis singgung fungsi diatas adalah :Y – 2 = 15 (x – 3) atau y = 15x – 43