Deferensiasi Parsial h r Volume silinder V = π r 2 h Harga V tergantung pada dua besaran r dan h. Bila r tetap dan h bertambah V bertambah Koefisien deferensial V terhadap h dengan r tetap : h V dh dV r konstan (koefisien deferensial parsial V terhadap h dengan r tetap) 2 2 1 . r r h V V
Differensiasi Parsial lengkap dengan penjelasan contoh yang akurat.
Welcome message from author
This document is posted to help you gain knowledge. Please leave a comment to let me know what you think about it! Share it to your friends and learn new things together.
Transcript
Deferensiasi Parsial
h
r
Volume silinder V = π r2 hHarga V tergantung pada dua besaran r dan h.Bila r tetap dan h bertambah V bertambahKoefisien deferensial V terhadap h dengan r tetap :
h
V
dh
dV
r
konstan
(koefisien deferensial parsial V terhadap h dengan r tetap)
22 1. rrh
V
V
Bila h tetap dan V tergantung pada perubahan r maka :
rhhrr
V 2.2.
V = π r2 h V = f(r, h) berarti ada dua koefisien deferensial Yang satu terhadap r dan satu yang lain terhadap h.Tinjaulah luas silinder : A = 2 π r h maka :
dan rh
Ah
r
A 22
Contoh : z = f (x, y) z = x2 y3
223 32 yxy
zxy
x
z
dan
u = x2 + xy + y2
Deferensial u terhadap x dengan y konstan :yx
x
u
2
Deferensial u terhadap y dengan x konstan :yx
y
u2
z = x3 + y3 – 2x2y
22
2
23
43
xyy
z
xyxx
z
Z = (2x – y)(x + 3y)
yxyxyxy
z
yxyxyxx
z
65)3)(1()3)(2(
54)2)(3()1)(2(
z = (4x -2y)(3x + 5y)
yxyxyxy
z
yxyxyxx
z
2014)2)(53()5)(24(
1424)4)(53()3)(24(
22
22
)(
3
)(
)1)(2()1)((
)(
3
)(
)1)(2()2)((
2
yx
x
yx
yxyx
y
z
yx
y
yx
yxyx
x
z
yx
yxz
z = sin (3x + 2y)
)23cos(22)23cos(
)23cos(33)23cos(
yxyxy
z
yxyxx
z
Soal Latihan :z = 4x2 + 3xy + 5y2
z = (3x + 2y)(4x – 5y)z = tan (3x + 4y)z = (sin (3x + 2y)) / (xy)
z = 3x2 + 4xy – 5y2
maka :
yxy
zyx
x
z10446
dan
Hasilnya masih merupakan f(x) dapat dicari koefisien deferensialnya terhadap x maupun y.
4)46(.
6)46(
2
2
2
2
2
yxyxy
z
yxxx
z
x
z
x
z
x
:y terhadap ialkandideferens
4.
10)104(
2
2
2
2
2
yx
z
yxyy
z
y
z
y
z
y
z = 3x2 + 4xy – 5y2
4.
4.
106
10446
22
2
2
2
2
yx
z
xy
z
y
z
x
z
yxy
zyx
x
z
dan
yx
z
xy
z
berlakuinihaldalam
..
:22
z = 5x3 + 3x2y + 4y3
xyx
zx
xy
z
yy
zyx
x
z
yxy
zxyx
x
z
6.
6.
24630
123615
22
2
2
2
2
222
z = x cos y – y cos x
xyyx
zxy
xy
z
yxy
zxy
x
z
xyxy
zxyy
x
z
sinsin.
sinsin.
coscos
cossinsincos
22
2
2
2
2
yx
z
xy
z
..
22Berlaku pula :
02
2
2
2
y
V
x
VJika V = ln (x2 + y2) buktikan bahwa :
222
22
222
22
2
2
2222
)(
22
)(
)2(22)(
22
1
yx
xy
yx
xxyx
x
V
yx
xx
yxx
V
222
22
222
22
2
2
2222
)(
22
)(
)2(22)(
)(
22
)(
1
yx
yx
yx
yyyx
y
z
yx
yy
yxy
z
02
2
2
2
y
V
x
V
terbukti
Jika V = f (x2 + y2) buktikan : 0
x
Vy
y
Vx
V adalah fungsi dari (x2 + y2), tetapi bentuk fungsinya tidak didefinisikan,tetapi dapat diberlakukan sebagai fungsi dari fungsi dan koefisien Diferensialnya terhadap variabel gabungan (x2 + y2) dinyatakan dengan:f’ (x2 + y2).
0)('.2)('.2
2).('.2).('.
2).(')()('
2).(')()('
2222
2222
222222
222222
yxfxyyxfxyx
Vy
y
Vx
xyxfyyyxfxx
Vy
y
Vx
yyxfyxy
yxfy
V
xyxfyxx
yxfx
V
0''
'1
''
'''
0
22
2
22
x
yf
x
xy
x
yf
x
xy
y
zy
x
zx
x
yf
xx
x
x
yf
x
y
yx
yf
y
z
x
yf
x
y
x
y
x
yf
x
y
xx
yf
x
z
y
zy
x
zxbahwatunjukkan
x
yfzJika
Jika V = f (ax + by) tunjukkan bahwa : 0
y
Va
x
Vb
0)(')('
)(')(')()('
)(')(')()('
byaxfabbyaxfbay
Va
x
Vb
byaxfbbbyaxfbyaxy
byaxfy
V
byaxfaabyaxfbyaxx
byaxfx
V
Deferensial parsial :Terhadap x maka semua variabel bebas yang lain, selain x dianggap konstan.Terhadap y maka semua variabel bebas yang lain, selain y dianggap konstan.
Bila z = f (x, y) maka kita dapat memperoleh :
yx
z
xy
z
y
z
x
z
y
z
x
z
..
22
2
2
2
2
dan
dan
dan
yx
z
xy
z
Berlaku
..
:22
Pertambahan kecil
r
h
V = π r2 h
)(
(
r tetaprh
V
tetaphrhr
V
2
)2
Jika r dan h berubah bersama-sama, r diubah menjadi r + δ(delta) r, h menjadih + δh maka V akan menjadi V + δV.
δV = π (r2h + 2r δr h + δr2 h + r2 δh + 2r δr δh + δr2 δh) - π r2 h ~ π (2r h δr + r2 δh) karena δr dan δh kecil suku yang lain dapat diabaikan.Jadi δV = 2 π r h δr + π r2 δh
hh
Vr
r
VV
Contoh Sebuah silinder memiliki ukuran r = 5 cm dan h = 10 cm.Tentukanlah harga pendekatan pertambahan volume nyajika r bertambah dengan 0,2 cm dan h berkurang 0,1 cm.
V = π r2 h
22 rh
Vdanrh
r
V
)(1,02,0
255
10010.52
2
2
2
berkuranghkarenaδhrh
Vr
V
rh
Vdanrh
r
V
tanda
396,545,175,220
)1,0.(252,0.100
cmV
V
hh
Vr
r
VV
Pertambahan volume = 54,96 cm3
z = f (x, y), bila harga x dan y bertambah dengan bilangan yang sangat kecil δx dan δy, maka harga pertambahan harga z (δz) akan kecil pula.
Jika kita jabarkan δz dalam deret δx dan δy maka : harga δz = A δx + B δy + suku-suku δx δy dengan pangkat yang lebih tinggi (A = f(x) dan B = f(y))
Jika y dijaga tetap, maka δy = 0 sehingga : δz = A δx + suku-suku δx dengan pangkat
lebih tinggi.
x
zAxA
x
z
,0
yy
zx
x
zz
yxfz
y
zBδyx
),(
0 maka , dan konstan Bila
ww
zy
y
zx
x
zz
wyxfz
),,(
Diketahui I = V / R, dengan V = 250 volt dan R = 50 ohm, Tentukan perubahan I jika V bertambah besar 1 volt dan R bertambah sebesar 0,5 ohm.
03,005,002,0)5,0(2500
250)1(
50
1
1
1
),(
2
2
I
RR
VV
RI
R
V
R
I
RV
I
RR
IV
V
II
R
VIRVfI
Harga I turun sebesar 0,03 Ampere
4
3
d
wsy
Tentukanlah persentasi pertambahan y:jika w bertambah 2%, s berkurang 3% dan d bertambah 1%. y = f (w, s, d) maka :
dd
ws-s
d
wsw
d
sy
d
ws-
d
y
d
ws
s
y
d
s
w
y
dd
ys
s
yw
w
yy
5
3
4
2
4
3
5
3
4
2
4
3
43
43
Tentukan harga δw, δs, δd
yyy
d
ws
d
ws
d
wsy
d
d
wss-
d
wsw
d
sy
dds-
δsww
%11100
11
100
4
100
9
100
2
100
14
100
33
100
2
100
1
100
3
100
2
4
3
4
3
4
3
5
3
4
2
4
3
y turun sebesar :11%
P = w2hd Jika kesalahan pengukuran w, h dan d dapat mencapai sampai 1% (plus atau minus), tentukanlah persentasi kesalahan maksimum yang akan diperoleh untuk harga P.
100100100
...2
2
22
22
2
dd
hh
ww
dhwhdwwwhdP
hwd
Pdw
h
Pwhd
w
P
dd
Ph
h
Pw
w
PP
hdwP
100
4
100
1
100
1
100
2100100100
2
1001001002
100100100
2
222
22
PhdwP
hdwhdwhdwP
dhw
hdw
wwhdP
dd
hh
ww
Kesalahan P terbesar apabila semua suku bertanda sama, bila belawanan tanda cenderung mengecilkan hasilnya.Kesalahan P terbesar = 4% dari P.
a
bh
Jika kesalahan pengukuran a dan kesalahan maksimum yang akan diperoleh dalam hasil perhitungan :