-
AWAL
KALKULUS IIKALKULUS II(TKE 201 / WAJIB)(TKE 201 / WAJIB)
DosenDosen PengajarPengajar::Drs. Ir. Drs. Ir. MochMoch. . DhofirDhofir, MT., MT.
-
MATERI
AWAL
RuangRuang DimensiDimensi TigaTiga dandan VektorVektorFungsiFungsi DinilaiDinilai VektorVektorDerivatifDerivatif ParsialParsialIntegral Integral LipatLipatKalkulusKalkulus VektorVektor
1
2
3
4
5
-
AWAL
JikaJika f f fungsifungsi duadua atauatau lebihlebih variabelvariabelbebasbebas dandan semuasemua dipertahankandipertahankantetaptetap kecualikecuali satusatu daridari variabelvariabel, , makamaka derivatifderivatif f f terhadapterhadap satusatuvariabelvariabel bebasbebas tersebuttersebut disebutdisebutdengandengan derivatifderivatif parsialparsial f. f.
Definisi
-
w = f(x,y,z) fungsi tiga variabelw = f(x,yo,zo) fungsi satu variabelw = f(xo,y,zo) fungsi satu variabelw = f(xo,yo,z) fungsi satu variabel
z = f(x,y) fungsi dua variabelz = f(x,yo) fungsi satu variabelz = f(xo,y) fungsi satu variabel
AWAL
Fungsi
-
z = f(x,y) berbentuk bidangz = f(x,yo) berbentuk kurve
z = f(x,yo) sama artinya dengan perpotonganbidang z = f(x,y) dan bidang datar y = yo
Jadi bentuk dari z = f(x,yo) adalah sebuah kurvedimana untuk nilai x sembarang, nilai y padakurve tetap sama dengan yo.
AWAL
Interpretasi Geometrik
-
AWALx
y
z
yo
Cz = f(x,y)
y = yox
z
(x,yo,z)
Kurve
C: z = f(x,yo)
-
AWAL
Notasi Turunan Parsial
xfatau
xyxf
),(
Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadapvariabel x dengan menganggapvariabel y tetap dinotasikan sebagai :
fx(x,y) atau
Nilai fx(x,y) di titik (xo,yo) adalah fx(xo,yo)
ataux
yxf oo
),(
-
AWAL
Notasi Turunan Parsial
yfatau
yyxf
),(
Turunan parsial fungsi f(x,y) terhadapvariabel y dengan menganggapvariabel x tetap dinotasikan sebagai :
fy(x,y) atau
Nilai fy(x,y) di titik (xo,yo) adalah fy(xo,yo)
atauy
yxf oo
),(
-
AWAL
Orde Lebih Tinggi
3
3
2
xf
xf
xxf
ffyxf
yf
xf
xxx
yxxy
xy
Orde dua
Orde tiga
-
AWAL
Contoh
f(x,y,zf(x,y,z) = (x) = (x2+y) +y) cos(yzcos(yz))TentukanTentukan : : ffxx ; ; ffyy ; ; ffzz ; ; ffxyxy ; ; ffxyzxyzJawabJawab ::ffxx = 2x = 2x cos(yzcos(yz) ; ) ; ffyy = = cos(yzcos(yz) ) -- z(xz(x2+y) +y) sin(yzsin(yz))ffzz = = --y(xy(x2+y) +y) sin(yzsin(yz) ) ffxyxy = = --2xz 2xz sin(yzsin(yz))ffxyzxyz = -(2x sin(yz) + 2xyz cos(yz)
-
AWAL
z = f(x,y)
x
y
z
yo
C
y = yo
xo
Kurve
C: z = f(x,yo)
Interpretasi GeometrikDerivatif Parsial f(x,y)
Slope garis singgung = fx(xo,yo)
Laju perubahan f(x,y) ketika x berubah
-
AWAL
z = f(x,y)
x
y
z
yo
C
x = xo
xo
Kurve
C: z = f(x,yo)
Interpretasi GeometrikDerivatif Parsial f(x,y)
Slope garissinggung = fx(xo,yo)
Laju perubahanf(x,y) ketika y berubah
-
SebuahSebuah titiktitik partikelpartikel Q Q bergerakbergeraksepanjangsepanjang interseksiinterseksi bola xbola x22 + y+ y22 + z+ z22 = 1 = 1 dandan bidangbidang datardatar x = 2/3. x = 2/3. BerapaBerapa lajulaju z z berubahberubah terhadapterhadap y y bilabila Q Q beradaberada didi titiktitik(2/3, 1/3, 2/3)?(2/3, 1/3, 2/3)?JawabJawab ::TitikTitik Q Q didi (2/3, 1/3, 2/3) (2/3, 1/3, 2/3) berapaberapa padapada bola bola bagianbagian atasatas, , sehinggasehingga diambildiambil ::z = z = (1 (1 xx22 yy22) = ) = f(x,yf(x,y))
Contoh
AWAL
-
AWAL
x 1
1
1
2/3
x
y
z
1/3
x = 2/3
X2 + y2 + z2 = 1
P(2/3, 1/3, 2/3)
P
-
PerpotonganPerpotongan bola bola dandan bidangbidang x = 2/3 x = 2/3 berupaberupa lingkaranlingkaran dengandengan persamaanpersamaan ::C: z = C: z = (1 (1 (2/3)(2/3)22 yy22) ) atauatauC: yC: y22 + z+ z22 = 5/9= 5/9(C (C adalahadalah lingkaranlingkaran berpusatberpusat didi (2/3,0,0) (2/3,0,0) dandan berjariberjari--jarijari 5/9). 5/9). SemuaSemua titiktitik padapadalingkaranlingkaran mempunyaimempunyai nilainilai x = 2/3 x = 2/3 atauatautetaptetap..
Penyelesaian
AWAL
-
LajuLaju perubahanperubahan z z terhadapterhadap y = y = ffyy
Penyelesaian
AWAL
21),(
)()(1),(
1
)2()1)((
31
32
32
31
23
123
2
31
31
32
22
2/12221
x
x
x
x
f
f
yxyf
yyxf
-
AWAL
Derivatif Parsial FungsiDInilai Vektor
FungsiFungsi konvensionalkonvensional : z = : z = f(x,yf(x,y))FungsiFungsi dinilaidinilai vektorvektor ::r(u,vr(u,v) = ) = x(u,vx(u,v) a) axx + + y(u,vy(u,v) a) ayy + + z(u,vz(u,v) ) aazzTurunanTurunan parsialparsial ::
zyx
zyx
avza
vya
vx
v
auza
uya
ux
u
r
r
-
AWALvkurvegmenyinggunvektorv
ukurvegmenyinggunvektoru
:r
:r
(0,0,0)
r(u,v)
r/u
r/v
n
Kurve-v
Kurve-v
z = f(x,y)
Garis Normal
Bidang Tangen
Bidang Tangen dan Garis Normal
-
AWAL
Persamaan Bidang Tangendan Garis Normal
Pers. bidang tangen yang menyinggungr(u,v) = x(u,v) ax + y(u,v) ay + z(u,v) azdapat ditentukan bila satu titik P(xo,yo,zo) dan vektor normal n diketahui.
zyx
vz
vy
vx
uz
uy
ux
zyx
CaBaAa
aaa
vu
n
nrr
-
AWAL
Bila sembarang titik Q(x,y,z) padabidang tangen, maka vektor PQakan normal pada n, sehinggaberlaku :PQ n = 0 = 0A(x-xo)+B(y-yo)+C(z-zo) = 0Ax + By + Cz + D = 0D = - (Axo+Byo+Czo)
PBT
-
AWAL
Karena vektor n sejajar garis normal dangaris normal juga melalui titik P(xo,yo,zo), dan dengan mengambil sembarang titikR(x,y,z) pada garis normal, makaPR sejajara n, maka berlaku :PR = t n = t ataux = xo+At ; y = yo+Bt ; z = zo+Ct
-
TentukanTentukan persamaanpersamaan bidangbidang tangentangen dandangarisgaris normal normal padapada paraboloidaparaboloida ::r(u,vr(u,v) = u a) = u axx + v a+ v ayy + (u+ (u2+v+v2) ) aazzdidi u = 1 u = 1 dandan v = 2.v = 2.
CatatanCatatan ::BentukBentuk konvensionalkonvensional paraboloidaparaboloida tsbtsbadalahadalah z = xz = x22+y+y22..
Contoh
AWAL
-
x = u ; y = v ; z = ux = u ; y = v ; z = u2+v+v2
TitikTitik yang yang terkaitterkait u=1 u=1 dandan v=2 v=2 adalahadalahP(1,2,5). P(1,2,5). TitikTitik iniini dilaluidilalui oleholeh bidangbidangtangentangen dandan garisgaris normal.normal.
Penyelesaian
AWAL
zyx
zyx
zyx
vz
vy
vx
uz
uy
ux
zyx
aaa,aavauvu
vu
aaaaaa
422122,
210201
nn
n
-
PersamaanPersamaan bidangbidang tangentangen (PBT) :(PBT) :Ax + By + Cz + D = 0-2x - 4y + z + 5 = 0 ; D = - (-2 -8 + 5) = 5
PersamaanPersamaan garisgaris normal (PGN) :normal (PGN) :x = xo+At ; y = yo+Bt ; z = zo+Ctx = 1 2t ; y = 2 4t ; z = 5 + t
Penyelesaian
AWAL
-
AWAL
Persamaan Bidang Tangen danGaris Normal Fungsi z =f(x,y)
Vektor normal pada fungsi z = f(x,y) adalah : n = Sehingga persamaan bidang tangenmelalui titik P(xo,yo,zo) adalah : fx(xo,yo)(x-xo)+ fy(xo,yo)(y-yo)-(z-zo) = 0
-
AWAL
Persamaan Bidang Tangen danGaris Normal Fungsi z =f(x,y)
Karena garis normal melalui titikP(xo,yo,zo) dan sejajar vektor normal n = maka PGN : x=xo+t fx(xo,yo);y=yo+ tfy(xo,yo);z=zo- t
-
TentukanTentukan persamaanpersamaan bidangbidang tangentangen dandanpersamaanpersamaan garisgaris normal normal padapadaparaboloidaparaboloida z = xz = x2+y+y2 di titikitik P(1,2,5). P(1,2,5).
Contoh
AWAL
-
VektorVektor normal normal padapada z = xz = x2+y+y2 adalah :n(x,y) = = n(1,2) = PBTPBT: : fx(x-xo)+ fy (y-yo) - (z-zo) = 02(x-1) + 4(y-2) - (z-5) = 02x + 4y - z - 5 = 0 atau-2x - 4y + z + 5 = 0 (sama dg sebelumnya)
Penyelesaian
AWAL
-
dandan persamaanpersamaan garisgaris normalnyanormalnya ::x=xo+t fx(xo,yo); y=yo+ tfy(xo,yo); z=zo- tx = 1 + 2t ; y = 2 + 4t ; z = 5 - tDengan perubahan parameter t = - , maka PGN menjadi :x = 1 - 2 ; y = 2 - 4 ; z = 5 + (yang terakhir bentuknya sama dg jawaban sebelumnya).
Penyelesaian
AWAL
