Теорија електричних колаtek.etf.rs/TeorijaEKola11_Laplace_Vezbe.pdf · 2019. 11. 10. · као што су полиноми, експоненцијална

др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2019.

Теорија електричних кола

Милка Потребић

0

de)()( ttusU ts

j

j

de)(2j

1)(

c

c

ts ssUtu


Лапласова трансформација

као алат за одређивање одзива

временски непроменљивих

линеарних електричних кола

0

de)()( ttusU ts



0

de)()( ttusU ts

)()()( ttwtu

))((LT)(

))(LT()(

1 sUtu

tusU

w(t) је елементарна функција

као што су полиноми,

експоненцијална функција,

синусна функција, или

косинусна функције

j

j

de)(2j

1)(

c

c

ts ssUtu

c је најмања вредност за коју

трансформација постоји

)R,(,j s


Основни парови LT

Елементарне функције времена у табели треба помножити са Хевисајдовом функцијом υ(t).


Изабрани парови LT (1)



Изабрани парови LT (2)




функција задатих по интервалима

sUsU

Ts

e1)(g

Ts

TsUsU

Ts

2g

)1(e1)(



функција задатих по интервалима

Трансформате одређујемо

израчунавањем дефиниционог

интеграла и/или применом

својстава унилатералне

Лапласове трансформације.


Почетни тренутак у LT

• Почетни тренутак електричног кола, које

решавамо Лапласовом трансформацијом,

је нула

• Природне почетне услове (почетне

напоне кондензатора и почетне струје

калемова) електричног кола, које

решавамо Лапласовом трансформацијом,

задајемо у тренутку нула-минус

00 t

0t


Важна својства

Лапласове трансформације

)()()d)()(LT(

0

sGsUtgu

t

TssUTtu e)())(LT(


Крајње вредности

))((lim)0( sUsus

))((lim)(0

sUsus

Користити ово својство када је познат трансформат, траже се крајње вредности,

а не тражи се одзив или његов график у времену.


Померај аргумента (транслација)

TssUTtu e)())(LT(

attuasU e)())((LT 1

Користити ово својство за делотворније и учинковитије налажење

директне или инверзне Лапласове трансформације, на пример, када су

побуде оиисане са више аналитичких израза по интервалима времена.


Конволуција

)()()d)()(LT(

0

sGsUtgu

t

Лапласова трансформација пресликава

конволуцију функција времена у

производ Лапласових трансформата


Сличност (скалирање)

)(1

))(LT(a

sU

aatu

)(1

))((LT 1

a

tu

asaU

0

R

a

a


Диференцирање у t-домену

)0()())(LT( usUstu

)0()0()())(LT(2 ususUstu

)0()0(

)0()0()())(LT(

)1()2(

21)(

nn

nnnn

usu

sususUstu


Диференцирање у s-домену

s

sUtut

d

)(d)1())(LT(

n

nnn

s

sUtut

d

)(d)1())(LT(


Уопштена комплексна

функција

временски непроменљивог линеарног електричног кола

без почетне енергије са једним извором


Уопштена компл. функц. ел. кола

• Посматрајмо линеарно временски непроменљиво електрично коло без почетне енергије у коме делује само један извор (један независан генератор)

• Сви природни почетни услови у тренутку нула-минус су једнаки нули

• Уопштена комплексна функција електричног кола (функција ел. мреже у Лапласовој трансформацији, функција система) је однос трансформата одзива и трансформата побуде

• Ако су побуда и одзив на истом приступу, комплексна функција се назива улазна комплексна функција (улазна имитанса)

• Ако су побуда и одзив на различитим приступима, комплексна функција се назива преносна комплексна функција (трансфер функција, функција преноса у Лапласовој трансформцији)

• У анализи комплексних функција ел. кола Лапласова променљива (комплексна учестаност, s) се посматра у целој комплексној равни


Импеданса, адмитанса,

трансмитанса, појачање, слабљење • Улазна импеданса

• Улазна адмитанса

• Преносна импеданса (трансимпеданса)

• Преносна адмитанса (трансадмитанса)

• Трансмитанса напона (напонско појачање, voltage gain, voltage amplification)

• Трансмитанса струје (струјно појачање, current gain, current amplification)

• Функција слабљења (attenuation)

• У литератури се дефинише и уопштена комплексна функција електричног кола као количник два трансформата одзива

Потпуни назив би био са фразом у области Лапласове трансформације,

на пример, Улазна импеданса у области Лапласове трансформације.


Ред електричног кола и LT

• Ред електричног кола је број диференцијалних једначина у систему једначина стања

• То је истовремено и ред диференцијалне једначине одзива

• Ред електричног кола је ред уопштене комплексне функције електричног кола у области Лапласове трансформације

Ред рационалне функције по Лапласовој променљивој s је степен именитеља.


Који је ред ел. кола са слике?

Проверити да ли се добија исправан

резултат ако се посматра неки други одзив,

осим напона напонског извора када је H = 1.


Који је ред овог ел. кола?


Испитајте ред овог ел. кола LT

На пример, одредите Лапласов трансформат струје

напонског извора (комплексну струју извора) и

испитајте његов ред.

На колико начина можете да решите овај задатак?


Питања


1 11( ) LT ( ( ) ) LT ( ) 1 e ( )atb a b a b

f t F s h ts s a s a

1 1

2 2( ) LT ( ( )) LT ( ) sin( ) ( )

b bg t F s a t h t

as a

t

t


0( ) lim( ( )) 0

su sU s

Погледати предавање. Погледати предавање.

Погледати предавање.





1 e 1 e esT sT sTU U

s s


)(1

)(21

tCR

tg

t


( ) lim ( ) 0t

u u t

)δ()( 21 tRCtf

t




Задаци (1)

1

2 3

4

3 4

)(e11

)(2

2 tUgR

tu CRtg

t

R

Ui )(


Задаци (2)

2


Задаци (3)


Задаци (4a)


Задаци (4б)


38

Задаци (5)


39

Задаци (6)


Задаци (7)

2


Задаци (8)


Задаци (9)

)2(2)(

22

2

sssH

{}z s

2

j1,

2

j1ps

44

2

2)(

A

01 2

12dB3B


Задаци (10)


Задаци (11)


Задаци (12)


Задаци (13)


Задаци (14)


Задаци (15)


Задаци (16)


Задаци (17)


Задаци (18)


Задаци (19)

√

22

1 1e

4 2

Rt

Li t U t h tL R


m : 1

ug

C

L u

i i1 i2

uL

uC

21

1I

mI

UmU L

00 12 II

g ( ) ( ) ( )C LU s U s U s

g

( )( ) ( )

I sU s LsI s

sC

g m2

1

( )1

LCU s U

sLC

)()1

sin()( mg ttCL

Utu

LT

Решавање кола LT

sUCsUsUsCsIsI CCC

0

0

sILsIsIsLsU LL

0

0


g

( )( ) ( )

I sU s LsI s

sC

g m2

1

( )1

LCU s U

sLC

m m

22 2

2

1

( )1 1 1

U Us sLCI s

L L LCs s sLC LC LC

g2( ) ( )

1

sCI s U s

LCs

thLC

tt

L

Uth

CL

LC

t

LCt

LCL

UsIti

sin21

2

sin1

)(LT)( m

3

m1

Комплексан одзив LT

Одзив: струја извора


Одзив на побуду m : 1

ug

C

L u

i

)()1

sin()( mg ttCL

Utu


Задатак (20)

√



Задаци (21)

2

√





Задаци (22)

√

1




Задаци (23)

√


Природни почетни услови

t0

R L

CE uC

i L CR 2

00 tuC

REtiL

0

0tt


τ - нова променљива за време

0t0 t

0tt 0

00 tuC

REtiL

0

Природни почетни

услови по

променљивој t

00

Cu

REiL 0

Природни почетни

услови по

променљивој


Комплексан одзив: напон кондензатора

t0

R L

CE uC

i L CR 2

00 tt

0

0

0

UUsCI

UIIsLIRs

E

C

C

C

C

UsCI

LIs

EULsRI

0 0LI

s

EULsRUsC CC

1

0

LsRsC

LIsEU C

0LT ( ) ,E

Eh t ts


Појединости одређивања одзива

1

0

LsRsC

LIsEU C

112

00

sRCsLCs

sLIE

LsRsCs

sLIEU C

122

0

sRCsRCs

sLIEU C

2

22

0

2

22

1111

1

RCs

RCss

s

RC

LI

RCs

RCss

RC

EU C


2

22

0

2

22

1111

1

RCs

RCss

s

RC

LI

RCs

RCss

RC

EU C

2

2

0

2

22

11

1

11

1

RCs

RCs

C

I

RCs

RCss

RC

EU C

22

2

0

22

22

4

3

4

11

1

4

3

4

11

1

RCRCs

RCs

C

I

RCRCs

RCss

RC

EU C


22

2

0

22

22

4

3

4

11

1

4

3

4

11

1

RCRCs

RCs

C

I

RCRCs

RCss

RC

EU C

22

10

22

1

2

1

2

3

2

1

1LT

2

3

2

1

1LTLT

RCRCs

C

I

RCRCss

RC

EUu CC


22

10

22

1

2

2

3

2

1

1LT

2

3

2

1LT

22

RCRCs

C

I

RCRCs

CsB

s

A

RC

Eu

RCRCRC

C

22

10

2222

11

2

3

2

1

1LT

2

3

2

1

2

1

2

3

2

1

2

1

1LTLT

RCRCs

C

I

RCRCs

RC

RCRCs

RCs

sEUu CC


22

1

2222

1

2

3

2

1

2

3

LT3

2

2

3

2

1

2

3

3

1

2

3

2

1

2

1

1LT

RCRCs

RCRC

RC

E

RCRCs

RC

RCRCs

RCs

sEuC

RCE

RC

E

RCEEu RCRCRC

C2

3sine

3

2

2

3sine

32

3cose 2

1

2

1

2

1

0,2

3sine

3

1

2

3cose 2

1

2

1

RCE

RCEEu RCRC

C


Одзив: напон кондезатора

0002

1

,2

3sin

3

1

2

3cose

0

ttttRC

ttRC

EEtutt

RCC

0,2

3sine

3

1

2

3cose 2

1

2

1

RCE

RCEEu RCRC

C

0tt


Задаци (23)

√


I0

ug

R1

R2

L

ig

RRR 221

)()( mg thUtu

)()exp()( mg thLtRIti

00 t

uL

iR1

iR2

0

g

21

g0

IIsLU

IR

UI

R

UU

LL

LL

L

0g

2

0

1

0g

I

R

IIsLI

R

IIsLUL

L

L

022 g00g IRIIsLIRIIsLU LLL

02222 g0g IRLIIRsLU L



Комплексан одзив: струја калема

02222 g0g IRLIIRsLU L

RsL

LIIRUI L

22

22 0gg

LRs

ItiI

m

gg LT s

UtuU m

gg LT

0gg2

1I

RsL

LI

RsL

RU

RsLI L

02

mm 11

2I

LRsLRs

I

L

R

LRssL

UI L


0,ee

e1

2LT 0m

m1

tIthtL

RIth

LRL

UIti

tL

Rt

L

R

tL

R

LL

0,ee12

e mm

0

tthtL

RIth

R

UIti

tL

Rt

L

Rt

L

R

L

LRsI

LRsI

L

R

LRssL

UIti LL

1LT

1LT

1LT

2LT 1

02

1

m

1m1

Одзив: струја калема


Задатак (24)

(1 e ), 0

( )

e ,

Rt

L

Rt

L

LU t T

Ru t

LU t T

R

t

T

( )u t

U

√

tthtft

L

R

),(e)(


ug

R1 R2

L1 L2

L12

I01

i1 i2

u1 2u

+

¯

u

LLLL 42

112

111

0

2121111g RsLIIsLIsLIRU

112

0

22112

0

22 IsLIsLIsLIRU

11

g

1RsL

UI

g

11

12112 U

RsL

sLIsLU

RR 1

RR 22

RLT

LL 1

LL 42

2

1k



Побуда

0 T

U

t

ug

tr

tthT

Uf 1

TtrT

Uf 2

TtUhf 3

21 ff

TtUhTtrT

Utth

T

Utftftftu

TthTttr

321g

TsTs

sU

sT

U

sT

UtusU e

1e

11LT

22gg

TssUTtu e)())(LT(

Померај аргумента


Импулсни и одскочни одзив

))((LT)( 1 sHtg

))(1

(LT)( 1 sHs

tf

Импулсни одзив (Гринова функција) је инверзна Лапласова

трансформација одговарајуће трансфер функције*

Одскочни одзив (индициона функција) је инверзна Лапласова

трансформација одговарајуће трансфер функције* подељене са s

Импулсни одзив

се често

обележава са

h(t)

Unit-impulse response

Unit-step response

*прецизније, уопштене комплексне функције електричног кола у области Лапласове трансформације


Индициона функција за напон

секундара

11

12g

11

12

RsL

sLsHU

RsL

sLU

LRsRsL

sL

ssH

stf

1LT

1LT)(

1LT 1

11

1211

thtft

L

R

e


Комплексан одзив:

напона секундара

g

11

12 URsL

sLU

TsTs

sU

sT

U

sT

UtusU e

1e

11LT

22gg

TsTs

sU

RsL

sL

sT

U

RsL

sL

sT

U

RsL

sLU

e

1e

11

11

12

2

11

12

2

11

12

TsTs

LRsU

LRssT

U

LRssT

UU

e

1e

11


Одзив: напон секундара

TsTs

LRsU

LRssT

U

LRssT

UU

e

1e

11

TthUTthLR

e

T

Uth

LR

e

T

UUtu

TtL

RTt

L

Rt

L

R

e11

LT 1

TtUU

TteU

t

tu

LRtLRtLRtLRt

tL

R

eeeee1e1

01

00


Задаци (25)

√


Комплексан одзив

Одзив: напон кондезатора


Задаци (26)

√


1 0 1 1 1 2 2(1) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 0C sU s U U s R U s V s R

1 2 2 2 2 2(2) ( ) ( ) ( ) ( ) 0U s V s R C s V s U s

2 1( ) ( )U s aU s

2 2 2(3) ( ) ( ) 0J C s V s U s

R2

R1

C1

C2

u1 2u

u1aU0

001 )( Utu

①

②

③

j

x

)3J



1 0 1 1 1 2 2(1) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) 0C sU s U U s R U s V s R

1 2 2 2 2 2(2) ( ) ( ) ( ) ( ) 0U s V s R C s V s U s

2 1( ) ( )U s aU s

2012)1( VRCUURCs

011)2( 21 RCsVURCsa

0121)2( 011 RCsRCUURCsURCsa

RCsRCUURCsRCsRCsa

1121 01

3

1

122

01

RCs

RCsRCUU Комплексан одзив


Одзив: напон u2

1

122

01

RCs

RCsRCUU

2

2

1

02

2

1

01

1

1

1

1

LT1

LT)(LT)(

RCs

RCU

RCs

sUsUtu

0,sincos)( 001

t

RC

tU

RC

tUtu

0,sin3cos3)(3)( 0012

t

RC

tU

RC

tUtutu


Задаци (27)

√


Природни почетни услови

1Li2Li

1L 2L

12L

3C

Uu g

1R 2R

KS

Cu

Ci1i 2i

)1(,00 Ptt

линеарни индуктивни трансформатор

симетричан са савршеном спрегом

0D0DD2121

CCCLLLL uCiuiLiLuu

устаљен одзив 0,0const const,2121 LLLL uuii

00

00

0

2

1

C

L

L

u

i

RUi


Коло са почетним условом

1Li2Li

1L 2L

12L

3C1R 2R

KS

Cu

Ci1i 2i

)2(,00 Ptt

линеарни индуктивни трансформатор

симетричан са савршеном спрегом

002121 01 CCCLLLL UCsIUIsLIIsLUU

00

00

0

2

1 01

C

L

L

u

i

IR

Ui

01I

111IRU L 222

IRU L 11II L 22

II L


0,e2

201221

tI

tititit

L

R

LL

002121 01 CCCLLLL UCsIUIsLIIsLUU

11IRU L

22IRU L

11II L

22II L

21 II

21 LL II

11

211 101

LL II

LLL IRIsLIIsLU

LRs

I

RsL

LII L

2

1

22

0101

1

Комплексан одзив

Одзив: струја КС

Теорија електричних колаtek.etf.rs/TeorijaEKola11_Laplace_Vezbe.pdf · 2019. 11. 10. · као што су полиноми, експоненцијална

Documents