Теорија електричних колаtek.etf.rs/TeorijaEKola10 Simetricne Vezbe.pdf · 2018. 1. 4. · др Милка Потребић, ванредни професор,

др Милка Потребић, ванредни професор, Теорија електричних кола, предавања, Универзитет у Београду – Електротехнички факултет, 2017.

Теорија електричних кола

на Енергетском одсеку

Милка Потребић

3

3

3

cb2

a2

c2

ba1

cba0

UaUaUU

UaUaUU

UUUU


Симетричне компоненте

временски непроменљивих, линеарних,

трофазних кола са устаљеним

простопериодичним одзивом


Циљ, покретач (мотив),

замисао (идеја)

• Решити неуравнотежена трофазна кола

• Решавати простије заменске једнофазне шеме уместо сложених трофазних

• Представити несиметричне трофазне системе напона и струја помоћу заменских симетричних система и искористити развијен поступак за решавање симетричних трофазних кола


Неуравнотежено 3Ф коло Y-Y

aE

bE

cE

gaZ

gbZ

gcZ

aZ

bZ

cZ

vaZ

vbZ

vcZ

nZ

aI

bI

cI

nI


Матрице трофазног Y-Y кола

c

b

a

E

E

E

E

c

b

a

U

U

U

U

c

b

a

I

I

I

I

gc

gb

ga

g

00

00

00

Z

Z

Z

Z

pc

pb

pa

p

00

00

00

Z

Z

Z

Z

pc

pb

pa

p

U

U

U

U

vc

vb

va

v

00

00

00

Z

Z

Z

Z

aE

bE

cE

gaZ

gbZ

gcZ

aZ

bZ

cZ

vaZ

vbZ

vcZ

nZ

aI

bI

cI

nI


Једначине неуравнотеженог кола

0

0

0

nnpccvcc

nnpbbvbb

nnpaavaa

IZUIZU

IZUIZU

IZUIZU

ncba IIII

ccgcc

bbgbb

aagaa

EIZU

EIZU

EIZU

0

0

0

ccpc

bbpb

aapa

IZU

IZU

IZU

30c

20b

10a

UU

UU

UU

67pc

57pb

47pa

UU

UU

UU

Фазне струје су једнаке линијским

aE

bE

cE

gaZ

gbZ

gcZ

aZ

bZ

cZ

vaZ

vbZ

vcZ

nZ

aI

bI

cI

nI


Преобликовање у матрице

0

0

0

)(

)(

)(

cban

cban

cban

pc

pb

pa

cvc

bvb

ava

c

b

a

IIIZ

IIIZ

IIIZ

U

U

U

IZ

IZ

IZ

U

U

U

c

b

a

cgc

bgb

aga

c

b

a

E

E

E

IZ

IZ

IZ

U

U

U

0

0

0

cc

bb

aa

pc

pb

pa

IZ

IZ

IZ

U

U

U


Матричне једначине Y-Y кола

OIUIZU

n

n

n

n

n

n

n

n

n

pv

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

EIZU g

OZIU p

Матрице импеданси у сложенијим моделима, када се узимају у обзир спреге,

могу имати све чланове а не само дијагоналне чланове

aE

bE

cE

gaZ

gbZ

gcZ

aZ

bZ

cZ

vaZ

vbZ

vcZ

nZ

aI

bI

cI

nI


Замисао Фортески (Fortescue)

• Сваки члан трофазног система напона или струја разложити на три сабирка

• Први сабирци треба да чине систем фазора истог аргумента (унифазни)

• Други сабирци треба да чине симетричан директан систем напона или струја

• Трећи сабирци треба да чине симетричан инверзан систем напона или струја


Разлагање Фортески

333

cb2

ac2

bacbaa

UaUaUUaUaUUUUU

333

cb2

ac2

ba2cbab

UaUaUa

UaUaUa

UUUU

333

cb2

a2c2

bacbac

UaUaUa

UaUaUa

UUUU

унифазан директан инверзан

zero sequence positive sequence negative sequence



22

10c

212

0b

210a

UaUaUU

UaUaUU

UUUU

3

3

3

cb2

a2

c2

ba1

cba0

UaUaUU

UaUaUU

UUUU

210komponentesimetricne ,, UUUU

2

2

1

1

111

aa

aaA

*1

3

1AA

sAUU

UAU1

s

2

1

0

s

U

U

U

U

Матрица

симетричних

компоненти

Symmetrical

components


Симетричне компоненте импеданси

psp AUU

Матрица

симетричних

компоненти

импеданси

ZIU p

sAII

)( sps AIZAU

))(()( s1

ps1

AIZAAUA

s1

ps )( IZAAU

ssps IZU

ZAAZ*

s3

1

Од интереса је испитати какве

су ове матрице за трофазне

уређаје који се граде да буду

конструктивно симетрични


Примери матрице симетричних

компоненти импеданси

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

000

000

003 n

n1

ns

Z

AZAZ

S

M

m

m

S

M

M

m

S

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

m2

MS

mM2

S

mMS1

s

00

00

00

ZaZaZ

ZaZaZ

ZZZ

ZAAZ


Матричне једначине Y-Y кола

преко симетричних компоненти

OAIAUAIZAU

)()()()( s

n

n

n

n

n

n

n

n

n

pssvs

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

)()()( ssgs AEAIZAU OAIZAU )()( sps

Лева и десна

страна

једначина се

множе са

инверзном

матрицом

*1

3

1AA

OIUIZU

s

n

pssvss

000

000

003Z

ssgss EIZU OIZU ssps

aE

bE

cE

gaZ

gbZ

gcZ

aZ

bZ

cZ

vaZ

vbZ

vcZ

nZ

aI

bI

cI

nI


Распрезање трофазног кола по

симетричним компонентама

• Посебан случај чине кола чији трофазни

елементи имају дијагоналну матрицу

симетричних компоненти импеданси

• Тада се једначине могу написати у

скаларном облику тако да свака

једначина зависи само од величина једне

симетричне компоненте: коло се

распреже по симетричним компонентама


Посебан случај

2g

1g

0g

gs 0

0

0

0

0

0

Z

Z

Z

Z

2v

1v

0v

vs 0

0

0

0

0

0

Z

Z

Z

Z

2

1

0

s 0

0

0

0

0

0

Z

Z

Z

Z

Матрица симетричних


трофазног генератора



трофазног потрошача



трофазног енергетског вода


Распрезање Y-Y кола по


000n0p00v0 IZUIZU n0n 3ZZ

000g0 EIZU 0000p IZU

011n1p11v1 IZUIZU 01n Z


022n2p22v2 IZUIZU 02n Z


За сваки подсистем

од три једначине

можемо нацртати

заменску шему у

којој се појављују

величине само

једне симетричне

компоненте, нулте,

или директне, или

инверзне


Заменске шеме распрезања по


0E0gZ 0Z0v

Z

0nZ

1E1gZ 1Z1v

Z

1nZ

2E2gZ 2Z2v

Z

2nZ


Компонентни системи

• Заменске шеме трофазног кола по симетричним компонентама називају се компонентни системи

• Дефинишу се импедансе компонентних система као количници симетричних компоненти напона и струја

• Импедансе компонентних система се у пракси одређују мерењем


Снага 3Ф кола изражена преко

симетричних компоненти

QPIUIUIUS j*cc

*bb

*aa

*TIUS

*s

Ts )()( AIAUS

*s

*TTs IAAUS

*s

Ts3 IUS

*22

*11

*00 333 IUIUIUS

Напони и струје

у једначини за

снагу су фазни


Кварови у 3Ф колима

• Кварови у трофазним колима су изразите

несиметрије трофазних елемената

• Кварови настају услед елементарних

непогода (ветрови, поплаве, хладноће, ...)

• Кварови се јављају и као последица

промена својстава уређаја услед хабања,

неправилне употребе, или старења


Врсте кварова

• Потпуни кратак спој проводника: фазе

и нуле (најчешће), две фазе, три фазе

• Делимичан кратак спој проводника

• Потпуни прекид једног или више

проводника

• Комбиновани квар: и кратки спојеви и

прекиди проводника


Анализа кварова

• Кварови се прегледно могу анализирати

помоћу симетричних компоненти

• Посебно се анализирају идеализовани

кварови, на пример идеалан кратак спој

фазног проводника и нултог проводника,

при чему се сматра да су остали

трофазни елементи, укључујући и

трофазне генераторе, симетрични


Пример квара: споја фаза-нула

E

Ea2

Ea

gZ

gZ

gZ

Z

Z

Z

vZ

vZ

vZ

nZ

Кратак спој


Питања

• Како гласи матрица симетричних

компоненти импеданси пријемника чија

је матрица импеданси циклично

симетрична?


Питања


Задатак (1)

У трофазном електричном колу је дошло до квара и измерен је

трофазни систем струја

45A150aI , 150A250bI , 300A100cI .

(а) Одредити симетричне компоненте трофазног система струја.

(б) Нацртати фазорски дијаграм симетричних компоненти.

(в) Одредити тренутне вредности симетричних компоненти.

Учестаност је Hz50f .


300

150

45

abc

e100

e250

e150

j

j

j

I

300

150

451

2

21

e100

e250

e150

1

1

111

j

j

j

aa

aaabc1

012 IAI

j

a 32

e

2

21

2

2

1

1

111

1

1

111

aa

aa

aa

aaA


трофазног система струја


Тренутне вредности

симетричних компоненти

)4521.402cos(2205.163)(

)5867.872cos(20206.48)(

)703.1122cos(2199.52)(

2

1

0

ftti

ftti

ftti

Hz50f


Задатак (2) Вредности елемената трофазног електричног кола са слике су познате. Трофазни потрошач је

повезан у троугао, а чине га отпорник, кондензатор и калем чији су параметри повезани

изразима

RC

3

1,

RL

3.

Симетричан трофазни генератор је повезан у звезду, а његови напони чине директан

симетричан трофазни систем напона cba ,, eee и )cos(2)(a tEte .

Одредити

(5) симетричне компоненте трофазног система напона генератора,

(5) симетричне компоненте трофазног система линијских струја, и

(5) реактивну снагу потрошача.

R

1

23

L C

Z0

Z

Z

Z

Ea

Eb

Ec0

4

5

6

7

Ia

Ib

Ic


2

21

1

1

111

aa

aaA

RC

3

1

RL

3

j

a 32

e

j

j

EE

EE

E

3

4

ac

3

2

ab

a

e

e

c

b

a

1

2

21

c

b

a

1

012

1

1

111

E

E

E

aa

aa

E

E

E

AE

Симетричне компоненте трофазног

система напона генератора


0j

0j

0jj

0

0

0

1323

c

3212b

3121

a

3cc

2bb

1aa

VVCR

VVI

R

VV

L

VVI

VVCL

VVI

Z

VEI

Z

VEI

Z

VEI

c

b

a

abc

I

I

I

I

ZR

EI

ZR

EI

ZR

EI

2

3jj

1

ac

a

31

b

aa

ZR

REV

ZR

REV

ZR

REV

a

32

3

a

31

2

a1

1

1

c

b

a

1

2

21

1

1

111

I

I

I

aa

aaabc1

012 IAI


система линијских струја


Реактивна снага потрошача

linlin

j

aa

j

e

XRZ

EE

0

RR

3

j

jRR

3

j

1j

2

lin

2

lin

2

a

2

linlin

2

a

2

13

2

32

2

21

Q

X

REP

QPS

X

RE

C

VV

R

VV

L

VVS


Задатак (3)

У трофазном електричном колу је дошло до квара и одређене су

симетричне компоненте трофазног система струја

112A520I , 88A481I , 40A1632I .

(а) Одредити трофазни систем струја.

(б) Нацртати фазорски дијаграм трофазног система струја.

(в) Одредити тренутне вредности трофазног система струја.

Учестаност је Hz50f .


Трофазни систем струја

40j

88j

112j

012

e163

e48

e52

I

40j

88j

112j

2

21

e163

e48

e52

1

1

111

aa

aa012abc IAI

j

a 32

e

2

21

1

1

111

aa

aaA


Тренутне вредности трофазног

система струја

)3103.602cos(2002.100)(

)533.1492cos(2479.249)(

)4479.442cos(2969.149)(

c

b

a

ftti

ftti

ftti

Hz50f


Задатак (4) Вредности елемената трофазног електричног кола са слике су познате.

Трофазни потрошач је повезан у звезду, а чине га три спрегнута калема сопствених

индуктивности L и међусобних индуктивности M .

Симетричан трофазни генератор је повезан у звезду, а његови напони чине инверзан

симетричан трофазни систем напона },,{ cba eee и )cos(2a tEe .

Одредити

(5) симетричне компоненте трофазног система напона генератора,

(5) симетричне компоненте трофазног система линијских струја, и

(5) симетричне компоненте импеданси потрошача.

1

2

3

L

Z0

Z

Z

Z

Ea

Eb

Ec

0

4

5

6

7

Ia

Ib

Ic0

L

L

M

M

M

I0


2

21

1

1

111

aa

aaAj

a 32

e

j

3

4

ac

j3

2

ab

a

e

e

EE

EE

E

c

b

a

1

2

21

c

b

a

1

012

1

1

111

E

E

E

aa

aa

E

E

E

AE


система напона генератора


Једначине...

Линијске струје...

cba3

cba2

cba1

003cc

002bb

001aa

cba0

jjj

jjj

jjj

ILIMIMU

IMILIMU

IMIMILU

IZUIZE

IZUIZE

IZUIZE

IIII

MLZ

EI

MLZ

EI

MLZ

EI

I

j

1

j2

3jj

j

0

a

31

c

ab

aa

0

MLZ

MLEU

MLZ

MLEU

MLZ

MLEU

j

1

2j2

3jj

j

a

31

3

a2

a1


c

b

a

1

2

21

1

1

111

I

I

I

aa

aaabc1

012 IAI

MLZ

E

MLZ

E

MLZ

E

I

I

I

j

1

j2

3jj

j

a

31

a

a

c

b

a

abcI


система линијских струја



импеданси потрошача

ZAAZ1

s

LMM

MLM

MML

јјј

јјј

јјј

Z

Теорија електричних колаtek.etf.rs/TeorijaEKola10 Simetricne Vezbe.pdf · 2018. 1. 4. · др Милка Потребић, ванредни професор,

Documents