TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA... · univerzitet u niŠu fakultet zaŠtite na radu u niŠu tehniČka mehanika - prezentacija predavanja - dr darko mihajlov, doc. - 2.

UNIVERZITET U NIŠU

FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU

TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA -

Dr Darko Mihajlov, doc.

- 2. PREDAVANJE -

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

1. ČAS

2. ČAS

Ravanski sistem sučeljnih sila;

Moment sile za tačku;

Moment sile za osu;

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

Ravanski sistem sučeljnih sila – sistem sila koje

dejstvuju na kruto telo, a koje su raspoređene u ravni

i pritom im se napadne linije seku u jednoj tački.

Sistem kolinearnih sila – specijalni slučaj sučeljnog

sistema sila kada sve napadne linije sistema sila leže

na jednoj pravoj.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

Sve sile sistema sučeljnih sila se mogu primenom

Teoreme o pomeranju sile duž napadne linije

pomeriti duž napadnih linija tako da im napadna

tačka bude tačka preseka njihovih napadnih linija –

tačka sučeljavanja sila.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

Slaganjem sistema sučeljnih sila dobija se jedna sila

– REZULTANTA.

Sistem sučeljnih sila je u ravnoteži ako je intenzitet

rezultante jednak nuli.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

REZULTANTA DVEJU SILA

Rezultanta dveju sila istog smera, koje leže na istoj

napadnoj liniji i napadaju istu tačku, predstavlja

vektor čiji je intenzitet jednak zbiru intenziteta datih

sila, leži na istoj napadnoj liniji, ima smer datih sila i

istu napadnu tačku.

1. Rezultanta dveju kolinearnih sila

1.1. Rezultanta dveju kolinearnih sila istog smera (1/2)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

REZULTANTA DVEJU SILA

1.1 Rezultanta dveju kolinearnih sila istog smera (2/2)

1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

, 0;

( 4) 2 cos0

R F F

A R F F F F R F F

Slaganje dveju sila istog pravca, istog smera, sa istom

napadnom tačkom

A

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

REZULTANTA DVEJU SILA

Rezultanta dveju sila suprotnog smera, koje leže na

istoj napadnoj liniji i napadaju istu tačku, predstavlja

vektor čiji je intenzitet jednak razlici intenziteta datih

sila, leži na istoj napadnoj liniji i ima smer sile većeg

intenziteta.

1.2 Rezultanta dveju kolinearnih sila

suprotnog smera (1/2)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

REZULTANTA DVEJU SILA

1.2 Rezultanta dveju kolinearnih sila

suprotnog smera (2/2)

Slaganje dveju sila istog pravca, suprotnog smera,

sa istom napadnom tačkom

1 2

2 2

1 2 1 2 2 1 2 1

; 180 ;

( 4) 2 cos180 ,

R F F

A R F F F F R F F F F

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

REZULTANTA DVEJU SILA

2. Rezultanta dveju sila čije se napadne linije seku

pod uglom , 0o i 180o (1/2)

Rezultanta dveju sila čije se napadne linije seku pod

uglom , tako da je 0o i 180o , predstavlja

vektor koji je određen po aksiomi (A4) dijagonalom

paralelograma konstruisanog nad silama kao

stranicama.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

REZULTANTA DVEJU SILA

2. Rezultanta dveju sila čije se napadne linije seku

pod uglom , 0o i 180o (2/2)

Pravilo paralelograma Pravilo trougla

2 2 2

1 2 1 22 cosR F F F F sin180sinsinsin

21 RRFF

Slaganje dveju sila čije se napadne linije seku

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

REZULTANTA RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

T: Rezultanta ravanskog sistema sučeljnih sila

jednaka je vektorskom zbiru datih sila i dejstvuje u

tački sučeljavanja sila.

Rezultanta je određena završnom stranicom poligona

sila čije stranice predstavljaju date sile po

intenzitetu, pravcu i smeru (pravilo poligona sila).

Redosled nanošenja sila pri konstrukciji poligona

nije bitan.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

REZULTANTA RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

Slaganje ravanskog sistema sučeljnih sila - poligon sila otvoren

(1) (2) (3)

DOKAZ (1/3):

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

REZULTANTA RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

Ravanski sistem od n sila dejstvuje u

tački A. Usvaja se n = 4 .

DOKAZ (2/3):

1 2 nF ,F ,...,F

Primena pravila trougla sila tri puta:

2112 , FFR

31213 , FRR

413, FRR

4312 ,, FFRR

.,,, 4321 FFFFR

(a)

(1)

(2)

(b) (c)

(b)(c)

(d)

(a)(d)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

REZULTANTA RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

Konstruiše se otvoreni poligon sila čije su stranice

sile datog sistema.

Rezultanta je određena vektorom čija se početna

tačka poklapa sa napadnom tačkom A sistema sila, a

krajnja tačka sa završnom tačkom E poslednje sile.

DOKAZ (3/3):

(3)

),,,()( 4321 FFFFR

n

i

iFR1

(a)(b)(c)

, tj.

- Kraj dokaza -

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

USLOV RAVNOTEŽE RAVANSKOG SISTEMA

SUČELJNIH SILA (1/5)

T: Za ravnotežu ravanskog sistema sučeljnih sila je

potrebno i dovoljno da njihova rezultanta bude jednaka

nuli, tj. da je vektorski zbir datih sila jednak nuli.

(osnovni vektorski oblik uslova ravnoteže sistema sučeljnih sila)

Tada je poligon sila zatvoren.

00

n

i

iFR

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

USLOV RAVNOTEŽE RAVANSKOG SISTEMA

SUČELJNIH SILA (2/5)

Ravnoteža sistema sučeljnih sila u ravni - zatvoren poligon sila

(1) (2) (3) (4)

1nR

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

USLOV RAVNOTEŽE RAVANSKOG SISTEMA

SUČELJNIH SILA (3/5)

Uravnoteženi sistem od n sila napada tačku A.

DOKAZ:

(1)

0,...,, 21 nFFF

(2) Slaganje sistema od (n-1) sile u rezultantu po

pravilu poligona sila.

1nR

1 1 2 1, ,..., n nR F F F , tj. 1

1

1

n

n i

i

R F (a)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

USLOV RAVNOTEŽE RAVANSKOG SISTEMA

SUČELJNIH SILA (4/5)

Dati sistem sila je sveden na dve sile: i .

Za ravnotežu ovih dveju sila je na osnovu (A2)

potrebno da su istog intenziteta, suprotnog smera i

da leže na istoj napadnoj liniji:

DOKAZ:

(3) 1nR nF

1 nn RF

(b)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

USLOV RAVNOTEŽE RAVANSKOG SISTEMA

SUČELJNIH SILA (5/5)

DOKAZ:

(4) .001

1

1

1

1

n

i

in

n

i

i

n

i

in FFFFF

(a)(b)

Poligon sila je zatvoren.

00

n

i

iFR

- Kraj dokaza -

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.

PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (1/8)

Def.: Ortogonalnom projekcijom ax vektora na osu

x naziva se dužina odsečka na osi x, ili na ma kojoj

njoj paralelnoj osi.

Odsečak odvajaju ravni postavljene kroz krajeve

A i B vektora upravno na osu.

Projekcija ima znak “+” ili “-” prema tome da li

vektor ima isti ili suprotan smer ose. (nastavak)

a

A B

a

a

A B

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.

PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (2/8)

Def. (nastavak): Ortogonalna projekcija ax vektora na

osu x jednaka je proizvodu intenziteta tog vektora i

kosinusa ugla između vektora i ose:

a

cosaax

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.

PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (3/8)

Projekcija vektora na osu

cosaax

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.

PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (4/8)

Projekcija sile na osu x

Primena definicije o projekciji vektora na osu za

određivanje projekcije sile na osu (1/2)

; F FF u AB F F u AB

; ; ;F F F xF u a F u a X u a

cos / ; x Fa a u

cos cos .F x Fu a u a X F

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.

PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (5/8)

Primena definicije o projekciji vektora na osu za

određivanje projekcije sile na osu (2/2)

Def.: Projekcija X sile na osu x je skalarna veličina,

koja je jednaka proizvodu intenziteta sile i kosinusa

ugla između sile i ose:

F

cosFX

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.

PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (6/8)

Projekcija sile na osu može da se definiše i kao

skalarni proizvod sile i jediničnog vektora te ose:

cos cos ; 1 X F F i F i i

Sila se može razložiti u dve komponente, i ,

čije su napadne linije paralelne osama Dekartovog

koordinatnog sistema u ravni 0xy:

F xF yF

, x yF F F F X i Y j , x yF X i F Y j

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.

PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (7/8)

Projekcije sila na osu za karakteristične položaje napadnih linija

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.

PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (8/8)

Ako su poznate projekcije X i Y sile , tada je ta sila

potpuno definisana na analitički način:

F

2 2 2 2 2

cos ;

90 ; cos =cos 90 sin ;

cos sin ;

;

cos , cos .

X F

Y F F

X Y F F X Y

X Y

F F

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

T: Ortogonalna projekcija rezultujućeg vektora na neku

osu jednaka je algebarskom zbiru ortogonalnih

projekcija komponentnih vektora na istu osu:

1 1

; .n n

i x ix

i i

a a a a

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

DOKAZ:

Projekcija zbira vektora

na osu

DAax

1 ;xa A B 2 3;x xa B C a C D

DCCBBADA

xxxx aaaa 321

3

1

3

1

321 ;i

ixx

i

i aaaaaaa

(a)

(b)

(c)

(a)(b) (c)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

T: Projekcija rezultante ravanskog sistema sučeljnih

sila na ma koju osu jednaka je algebarskom zbiru

projekcija datih sila na istu osu:

1 1

; n n

R i R i

i i

X X Y Y

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

(a) (b) (c)

Sistem sučeljnih sila:

a) tačku A napadaju četiri sile;

b) konstrukcija poligona ravanskih sila;

c) razlaganje rezultante na komponente i projekcije

rezultante sistema sučeljnih sila na ose Dekartovog

koordinatnog sistema.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

DOKAZ (1/3):

Ravanski sistema sučeljnih sila napada

tačku A krutog tela.

(a) ),....,1( niFi

Određivanje vektora rezultante primenom pravila

poligona sila:

(b) R

n

i

iFR1

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

(b) cos ;i i iX F cosi i iY F

cos ;R RX R cosR RY R

DOKAZ (2/3):

1 1

cos ;n n

R i i i

i i

X F X

1 1

cos .n n

R i i i

i i

Y F Y

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

(c)

DOKAZ (3/3):

x y R RR R R X i Y j

2 2 2 2 ;x y R RR R R X Y

cos ; cosR RR R

X Y

R R

RR

R

Ytg

X

- Kraj dokaza -

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

JEDNAČINE RAVNOTEŽE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

T: Za ravnotežu ravanskog sistema sučeljnih sila je

potrebno i dovoljno da su algebarski zbirovi projekcija

svih sila na dve uzajamno ortogonalne ose jednaki

nuli, tj. :

(jednačine ravnoteže)

1 1

(1) 0; (2) 0. n n

i i

i i

X Y

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

JEDNAČINE RAVNOTEŽE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

DOKAZ:

Osnovni oblik uslova ravnoteže:

Ako je , tada je i .

(a) 0R

0R

0R

(b) 2 2 ;R RR X Y (c)

1 1

; .n n

R i R i

i i

X X Y Y

(b)(a)

2 2 0 0 , 0.R R R RX Y X Y

(c)(d)

0(2) ;0)1(11

n

i

i

n

i

i YX - Kraj dokaza -

(d)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE

T: Za ravnotežu sistema tri sile čije napadne linije leže

u jednoj ravni i nisu paralelne, potrebno je i dovoljno

da date sile obrazuju zatvoreni trougao sila i da se

njihove napadne linije seku u jednoj tački.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE

DOKAZ (1/7):

Ako telo napadaju tri sile koje

su u ravnoteži, tada mora da

bude ispunjen uslov:

(a)

0,, (1) 321 FFF

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE

DOKAZ (2/7):

Ukoliko napadne linije nisu paralelne, tada se

napadne linije neke dve sile seku u nekoj tački. Na

primer, napadne linije sila i seku se u tački A.

(b)

1F 2F

Nastavak ...

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE

DOKAZ (3/7):

Sile i se na osnovu Teoreme o pomeranju sile

pomere u napadnu tačku A, a zatim se slože u

rezultantu po aksiomi (A4):

(b)

1221 ),( (2) RFF

1F 2F

Nastavak ...

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE

DOKAZ (4/7):

Kako su po pretpostavci sile u ravnoteži, sledi da

rezultanta ovih dveju sila i treća sila moraju da budu

jednake po intenzitetu, da dejstvuju na istoj napadnoj

liniji i da su suprotnog smera.

(b)

Nastavak ...

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE

DOKAZ (5/7):

Ovaj uslov je zadovoljen jedino ako napadna linija

treće sile prolazi kroz tačku A, koja je presečna tačka

napadnih linija prve i druge sile, i ako je:

(b)

0, 312 FR

Nastavak ...

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE

DOKAZ (6/7):

Iz (A2) sledi da i moraju da leže na istoj

napadnoj liniji i da su jednakih intenziteta, a

suprotnih smerova, tj. napadna linija sile mora da

prolazi kroz tačku preseka A

napadnih linija druge dve sile.

(b) 12R 3F

3F

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE

DOKAZ (7/7):

Sile , i obrazuju zatvoren trougao sila, jer je

i u ravnoteži su:

(c) 1F

3 12F R

2F 3F

12 3 1 2 3, , , 0R F F F F

- Kraj dokaza -

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (1/8)

Ako je telo vezano u jednoj tački za nepokretni zglob,

tada se telo pod dejstvom sile može obrtati oko

zgloba.

Obrtno dejstvo sile se objašnjava pomoću novog

statičkog pojma - MOMENTA SILE ZA TAČKU.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

Ako sila dejstvuje na

kruto telo koje je zglobno

vezano u tački 0, tada će

se telo obrtati oko ose koja

prolazi kroz tačku 0, a

upravna je na ravan koju

obrazuju sila i tačka 0.

DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (2/8)

F

F

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

Moment sile za tačku je određen ako su poznata tri

podatka: intenzitet, pravac i smer.

Def.: Moment sile za tačku je

vektor koji je jednak vektorskom

proizvodu vektora položaja

napadne tačke sile i vektora

sile: 0M F r F

DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (3/8)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

Vektorski proizvod dva vektora određuje treći vektor koji

je upravan na ravan koju obrazuju dati vektori i po

intenzitetu je jednak površini

paralelograma konstruisanog

nad tim vektorima, odnosno

dvostrukoj povšini trougla

0AB.

DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (4/8)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

Intenzitet vektora momenta sile za tačku:

0 0sin 2 ABM F r F r F F h P

Pravac vektora momenta

sile za tačku je određen

pravom koja prolazi kroz

momentnu tačku 0 i upravna

je na ravan obrtanja.

DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (5/8)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

Za rešavanje statičkih problema u ravni, s obzirom na

to da se sve sile i momentne tačke nalaze u istoj ravni,

dovoljno je da se odredi intenzitet momenta i smer

obrtanja koji se obeležava kružnom strelicom u toj

ravni.

Jedinica za moment sile je izvedena veličina [Nm].

DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (6/8)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

Moment sile se menja u zavisnosti od izbora

momentne tačke, jer to uslovljava promenu dužine

kraka sile, odn. promenu visine trougla h.

Izuzetak je u slučaju kada se

izabere nova momentna

tačka na pravoj paralelnoj

napadnoj liniji sile.

DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (7/8)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

Moment sile za tačku je jednak nuli ako napadna linija

sile prolazi kroz momentnu tačku, jer je tada dužina

kraka h jednaka nuli.

DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (8/8)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE

DVEJU SILA (1/7)

T: Moment rezultante dveju sučeljnih sila za tačku koja

leži u njihovoj ravni jednak je algebarskom zbiru

momenata tih sila za istu tačku.

1 2O O OM R M F M F

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE

DVEJU SILA (2/7) DOKAZ (1/5):

Sile i napadaju tačku

A. Tačka O je izabrana za

momentnu tačku.

Rezultanta ovih sila je

određena primenom pravila

o paralelogramu sila (A4) :

21 FFR

1F 2F

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE

DVEJU SILA (3/7) DOKAZ (2/5):

Momentna tačka O je

spojena sa temenima

paralelograma A, B, C, D.

Tako su konstruisani

trouglovi: OAB, OAC i OAD.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE

DVEJU SILA (4/7) DOKAZ (3/5):

Upravno na pravac OA

nacrtana je proizvoljna

prava i na nju su

projektovana temena

paralelograma.

Tako su određene visine

trouglova.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE

DVEJU SILA (5/7) DOKAZ (4/5):

1 2 ;O OABM F P OA A B

2 2 ;O OACM F P OA A C

2 ;O OADM R P OA A D

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE

DVEJU SILA (6/7) DOKAZ (5/5):

1 2O O

O

M F M F

OA A B A C

OA A B B D

OA A D M R

1 2 .O O OM R M F M F

- Kraj dokaza -

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE

DVEJU SILA (7/7)

PRIMENA: Izračunavanje momenta sile za koordinatni

početak kao momentne tačke

yx FFF

0 0 0x yM F M F M F

0 xM F Xy

0 yM F Yx

0M F Yx Xy

(a)

(b)

(c)

(b)(c) (a)

T:

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA (1/3)

T: Moment rezultante ravanskog sistema sučeljnih sila

jednak je algebarskom zbiru momenata komponentnih

sila za istu momentnu tačku u ravni dejstva sila:

0 0

1

n

i

i

M R M F

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

DOKAZ (1/2):

Postepenom primenom

Varinjonove teoreme za dve

sile, dolazi se do zaključka

da ova teorema važi i za

sistem n sučeljnih sila.

VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA (2/3)

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

DOKAZ (2/2):

VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA (3/3)

1,2 1 2 0 1,2 0 1 0 2,R F F M R M F M F

1,3 1,2 2 0 1,3 0 1,2 0 3,R R F M R M R M F

1,3 4 0 0 1,3 0 4,R R F M R M R M F

0 0 1 0 2 0 3 0 4M R M F M F M F M F

1

;n

i

i

R F

0 0

1

n

i

i

M R M F

(a)

(b)

(c)

(a)(b)(c)

- Kraj dokaza -

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA OSU -

MOMENT SILE ZA OSU (1/4)

Ako je telo vezano u ma koje dve tačke, može se pod

dejstvom sile obrtati oko ose koja prolazi kroz te dve

tačke.

Ove dve tačke i sve tačke vezanog tela koje se nalaze

na pravoj koja prolazi kroz te dve tačke ostaju

nepokretne sve vreme kretanja tela.

Putanje tačaka krutog tela su kružne i nalaze se u

ravni upravnoj na osu obrtanja.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA OSU -

MOMENT SILE ZA OSU (2/4)

Obrtno dejstvo sile na vezano telo koje se može obrtati

oko nepokretne ose izražava se veličinom koja se

naziva MOMENT SILE ZA OSU.

Moment sile za osu karakteriše obrtni efekat sile na

telo oko neke ose.

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA OSU-

MOMENT SILE ZA OSU (3/4)

Def.: Moment sile za osu jednak je proizvodu projekcije

sile na ravan koja je upravna na tu osu i dužine normale

spuštene iz presečne tačke te ose i ravni na pravac te

projekcije. Moment sile za osu je skalarna veličina.

zM F F h

02z A BM F P F

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA OSU -

MOMENT SILE ZA OSU (4/4)

Moment sile za osu jednak je nuli u sledećim slučajevima:

Napadna linija sile je

paralelna osi za koju se

traži moment;

Napadna linija sile seče

osu za koju se traži

moment;

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU I OSU -

ZAVISNOST IZMEĐU MOMENTA SILE ZA OSU I

MOMENTA SILE ZA TAČKU (1/2)

Zavisnost između momenta sile za osu i momenta sile za

ma koju tačku te ose formulisana je sledećom teoremom:

T: Moment sile za osu jednak je projekciji na tu osu

momenta sile za ma koju tačku te ose:

0 0 cos .z zM F M F M F

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU I OSU -

DOKAZ:

ZAVISNOST IZMEĐU MOMENTA SILE ZA OSU I

MOMENTA SILE ZA TAČKU (2/2)

0 0

0 0

0

0 0

cos

2 2 cos

2

2

A B AB

A B AB

z A B

AB

P P

P P

M F P

M F P

(a)

(b)

(b)(a)

0 0cosz zM F M F M F - Kraj dokaza -

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

1. Šta predsatvlja ravanski sistem sučeljnih sila?

2. Izvršiti slaganje dveju kolinearnih sila; diskutovati na šta

se mogu svesti.

3. Formulisati teoreme o slaganju sistema sučeljnih sila u

ravni.

4. Formulisati teoreme o ravnoteži sistema sučeljnih sila,

pokazati to na primeru.

Kontrolna pitanja 2 (1/3)

Nastavak

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

Kontrolna pitanja 2 (2/3)

5. Definisati projekciju sile na osu. Prikazati specijalne

slučajeve projekcija sila.

6. Definisati komponente sile. Pokazati razlaganje sile na

dva uzajamno upravna pravca Dekartovog koordinatnog

sistema 0x i 0y.

7. Uspostaviti vezu između komponenata i projekcija sile.

8. Izvesti jednačine ravnoteže ravanskog sistema sučeljnih

sila.

Nastavak

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

Kontrolna pitanja 2 (3/3)

9. Definisati moment sile za tačku. Kada je moment sile za

tačku jednak nuli?

10. Kako se može predstaviti moment sile za tačku preko

površine?

11. Definisati moment sile za osu. Kada je moment sile za

osu jednak nuli?

12. Koja je veza između momenta sile za tačku i momenta

sile za osu?