TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA... · univerzitet u niŠu fakultet zaŠtite na radu u niŠu tehniČka mehanika - prezentacija predavanja - dr darko mihajlov, doc. - 2.

UNIVERZITET U NIŠU

FAKULTET ZAŠTITE NA RADU U NIŠU

TEHNIČKA MEHANIKA - PREZENTACIJA PREDAVANJA -

Dr Darko Mihajlov, doc.

- 2. PREDAVANJE -

TEHNIČKA MEHANIKA – prezentacija predavanja Dr Darko Mihajlov, doc.

STATIKA

1. ČAS

2. ČAS

Ravanski sistem sučeljnih sila;

Moment sile za tačku;

Moment sile za osu;


STATIKA

- RAVANSKI SISTEM SUČELJNIH SILA -

Ravanski sistem sučeljnih sila – sistem sila koje

dejstvuju na kruto telo, a koje su raspoređene u ravni

i pritom im se napadne linije seku u jednoj tački.

Sistem kolinearnih sila – specijalni slučaj sučeljnog

sistema sila kada sve napadne linije sistema sila leže

na jednoj pravoj.


STATIKA


Sve sile sistema sučeljnih sila se mogu primenom

Teoreme o pomeranju sile duž napadne linije

pomeriti duž napadnih linija tako da im napadna

tačka bude tačka preseka njihovih napadnih linija –

tačka sučeljavanja sila.


STATIKA


Slaganjem sistema sučeljnih sila dobija se jedna sila

– REZULTANTA.

Sistem sučeljnih sila je u ravnoteži ako je intenzitet

rezultante jednak nuli.


STATIKA


REZULTANTA DVEJU SILA

Rezultanta dveju sila istog smera, koje leže na istoj

napadnoj liniji i napadaju istu tačku, predstavlja

vektor čiji je intenzitet jednak zbiru intenziteta datih

sila, leži na istoj napadnoj liniji, ima smer datih sila i

istu napadnu tačku.

1. Rezultanta dveju kolinearnih sila

1.1. Rezultanta dveju kolinearnih sila istog smera (1/2)


STATIKA



1.1 Rezultanta dveju kolinearnih sila istog smera (2/2)

1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

, 0;

( 4) 2 cos0

R F F

A R F F F F R F F

Slaganje dveju sila istog pravca, istog smera, sa istom

napadnom tačkom

A


STATIKA



Rezultanta dveju sila suprotnog smera, koje leže na

istoj napadnoj liniji i napadaju istu tačku, predstavlja

vektor čiji je intenzitet jednak razlici intenziteta datih

sila, leži na istoj napadnoj liniji i ima smer sile većeg

intenziteta.

1.2 Rezultanta dveju kolinearnih sila

suprotnog smera (1/2)


STATIKA



1.2 Rezultanta dveju kolinearnih sila

suprotnog smera (2/2)

Slaganje dveju sila istog pravca, suprotnog smera,

sa istom napadnom tačkom

1 2

2 2

1 2 1 2 2 1 2 1

; 180 ;

( 4) 2 cos180 ,

R F F

A R F F F F R F F F F


STATIKA



2. Rezultanta dveju sila čije se napadne linije seku

pod uglom , 0o i 180o (1/2)

Rezultanta dveju sila čije se napadne linije seku pod

uglom , tako da je 0o i 180o , predstavlja

vektor koji je određen po aksiomi (A4) dijagonalom

paralelograma konstruisanog nad silama kao

stranicama.


STATIKA



2. Rezultanta dveju sila čije se napadne linije seku

pod uglom , 0o i 180o (2/2)

Pravilo paralelograma Pravilo trougla

2 2 2

1 2 1 22 cosR F F F F sin180sinsinsin

21 RRFF

Slaganje dveju sila čije se napadne linije seku


STATIKA


REZULTANTA RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

T: Rezultanta ravanskog sistema sučeljnih sila

jednaka je vektorskom zbiru datih sila i dejstvuje u

tački sučeljavanja sila.

Rezultanta je određena završnom stranicom poligona

sila čije stranice predstavljaju date sile po

intenzitetu, pravcu i smeru (pravilo poligona sila).

Redosled nanošenja sila pri konstrukciji poligona

nije bitan.


STATIKA



Slaganje ravanskog sistema sučeljnih sila - poligon sila otvoren

(1) (2) (3)

DOKAZ (1/3):


STATIKA



Ravanski sistem od n sila dejstvuje u

tački A. Usvaja se n = 4 .

DOKAZ (2/3):

1 2 nF ,F ,...,F

Primena pravila trougla sila tri puta:

2112 , FFR

31213 , FRR

413, FRR

4312 ,, FFRR

.,,, 4321 FFFFR

(a)

(1)

(2)

(b) (c)

(b)(c)

(d)

(a)(d)


STATIKA



Konstruiše se otvoreni poligon sila čije su stranice

sile datog sistema.

Rezultanta je određena vektorom čija se početna

tačka poklapa sa napadnom tačkom A sistema sila, a

krajnja tačka sa završnom tačkom E poslednje sile.

DOKAZ (3/3):

(3)

),,,()( 4321 FFFFR

n

i

iFR1

(a)(b)(c)

, tj.

- Kraj dokaza -


STATIKA


USLOV RAVNOTEŽE RAVANSKOG SISTEMA

SUČELJNIH SILA (1/5)

T: Za ravnotežu ravanskog sistema sučeljnih sila je

potrebno i dovoljno da njihova rezultanta bude jednaka

nuli, tj. da je vektorski zbir datih sila jednak nuli.

(osnovni vektorski oblik uslova ravnoteže sistema sučeljnih sila)

Tada je poligon sila zatvoren.

00

n

i

iFR


STATIKA




Ravnoteža sistema sučeljnih sila u ravni - zatvoren poligon sila

(1) (2) (3) (4)

1nR


STATIKA




Uravnoteženi sistem od n sila napada tačku A.

DOKAZ:

(1)

0,...,, 21 nFFF

(2) Slaganje sistema od (n-1) sile u rezultantu po

pravilu poligona sila.

1nR

1 1 2 1, ,..., n nR F F F , tj. 1

1

1

n

n i

i

R F (a)


STATIKA




Dati sistem sila je sveden na dve sile: i .

Za ravnotežu ovih dveju sila je na osnovu (A2)

potrebno da su istog intenziteta, suprotnog smera i

da leže na istoj napadnoj liniji:

DOKAZ:

(3) 1nR nF

1 nn RF

(b)


STATIKA




DOKAZ:

(4) .001

1

1

1

1

n

i

in

n

i

i

n

i

in FFFFF

(a)(b)

Poligon sila je zatvoren.

00

n

i

iFR

- Kraj dokaza -


STATIKA


ANALITIČKI NAČIN DEFINISANJA SILE.

PROJEKCIJE I KOMPONENTE SILE (1/8)

Def.: Ortogonalnom projekcijom ax vektora na osu

x naziva se dužina odsečka na osi x, ili na ma kojoj

njoj paralelnoj osi.

Odsečak odvajaju ravni postavljene kroz krajeve

A i B vektora upravno na osu.

Projekcija ima znak “+” ili “-” prema tome da li

vektor ima isti ili suprotan smer ose. (nastavak)

a

A B

a

a

A B


STATIKA




Def. (nastavak): Ortogonalna projekcija ax vektora na

osu x jednaka je proizvodu intenziteta tog vektora i

kosinusa ugla između vektora i ose:

a

cosaax


STATIKA




Projekcija vektora na osu

cosaax


STATIKA




Projekcija sile na osu x

Primena definicije o projekciji vektora na osu za

određivanje projekcije sile na osu (1/2)

; F FF u AB F F u AB

; ; ;F F F xF u a F u a X u a

cos / ; x Fa a u

cos cos .F x Fu a u a X F


STATIKA




Primena definicije o projekciji vektora na osu za

određivanje projekcije sile na osu (2/2)

Def.: Projekcija X sile na osu x je skalarna veličina,

koja je jednaka proizvodu intenziteta sile i kosinusa

ugla između sile i ose:

F

cosFX


STATIKA




Projekcija sile na osu može da se definiše i kao

skalarni proizvod sile i jediničnog vektora te ose:

cos cos ; 1 X F F i F i i

Sila se može razložiti u dve komponente, i ,

čije su napadne linije paralelne osama Dekartovog

koordinatnog sistema u ravni 0xy:

F xF yF

, x yF F F F X i Y j , x yF X i F Y j


STATIKA




Projekcije sila na osu za karakteristične položaje napadnih linija


STATIKA




Ako su poznate projekcije X i Y sile , tada je ta sila

potpuno definisana na analitički način:

F

2 2 2 2 2

cos ;

90 ; cos =cos 90 sin ;

cos sin ;

;

cos , cos .

X F

Y F F

X Y F F X Y

X Y

F F


STATIKA


ANALITIČKI NAČIN ODREĐIVANJA REZULTANTE

RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA

T: Ortogonalna projekcija rezultujućeg vektora na neku

osu jednaka je algebarskom zbiru ortogonalnih

projekcija komponentnih vektora na istu osu:

1 1

; .n n

i x ix

i i

a a a a


STATIKA




DOKAZ:

Projekcija zbira vektora

na osu

DAax

1 ;xa A B 2 3;x xa B C a C D

DCCBBADA

xxxx aaaa 321

3

1

3

1

321 ;i

ixx

i

i aaaaaaa

(a)

(b)

(c)

(a)(b) (c)


STATIKA




T: Projekcija rezultante ravanskog sistema sučeljnih

sila na ma koju osu jednaka je algebarskom zbiru

projekcija datih sila na istu osu:

1 1

; n n

R i R i

i i

X X Y Y


STATIKA




(a) (b) (c)

Sistem sučeljnih sila:

a) tačku A napadaju četiri sile;

b) konstrukcija poligona ravanskih sila;

c) razlaganje rezultante na komponente i projekcije

rezultante sistema sučeljnih sila na ose Dekartovog

koordinatnog sistema.


STATIKA




DOKAZ (1/3):

Ravanski sistema sučeljnih sila napada

tačku A krutog tela.

(a) ),....,1( niFi

Određivanje vektora rezultante primenom pravila

poligona sila:

(b) R

n

i

iFR1


STATIKA




(b) cos ;i i iX F cosi i iY F

cos ;R RX R cosR RY R

DOKAZ (2/3):

1 1

cos ;n n

R i i i

i i

X F X

1 1

cos .n n

R i i i

i i

Y F Y


STATIKA




(c)

DOKAZ (3/3):

x y R RR R R X i Y j

2 2 2 2 ;x y R RR R R X Y

cos ; cosR RR R

X Y

R R

RR

R

Ytg

X

- Kraj dokaza -


STATIKA


JEDNAČINE RAVNOTEŽE


T: Za ravnotežu ravanskog sistema sučeljnih sila je

potrebno i dovoljno da su algebarski zbirovi projekcija

svih sila na dve uzajamno ortogonalne ose jednaki

nuli, tj. :

(jednačine ravnoteže)

1 1

(1) 0; (2) 0. n n

i i

i i

X Y


STATIKA


JEDNAČINE RAVNOTEŽE


DOKAZ:

Osnovni oblik uslova ravnoteže:

Ako je , tada je i .

(a) 0R

0R

0R

(b) 2 2 ;R RR X Y (c)

1 1

; .n n

R i R i

i i

X X Y Y

(b)(a)

2 2 0 0 , 0.R R R RX Y X Y

(c)(d)

0(2) ;0)1(11

n

i

i

n

i

i YX - Kraj dokaza -

(d)


STATIKA


TEOREMA O RAVNOTEŽI RAVANSKOG SISTEMA TRI SILE

T: Za ravnotežu sistema tri sile čije napadne linije leže

u jednoj ravni i nisu paralelne, potrebno je i dovoljno

da date sile obrazuju zatvoreni trougao sila i da se

njihove napadne linije seku u jednoj tački.


STATIKA



DOKAZ (1/7):

Ako telo napadaju tri sile koje

su u ravnoteži, tada mora da

bude ispunjen uslov:

(a)

0,, (1) 321 FFF


STATIKA



DOKAZ (2/7):

Ukoliko napadne linije nisu paralelne, tada se

napadne linije neke dve sile seku u nekoj tački. Na

primer, napadne linije sila i seku se u tački A.

(b)

1F 2F

Nastavak ...


STATIKA



DOKAZ (3/7):

Sile i se na osnovu Teoreme o pomeranju sile

pomere u napadnu tačku A, a zatim se slože u

rezultantu po aksiomi (A4):

(b)

1221 ),( (2) RFF

1F 2F

Nastavak ...


STATIKA



DOKAZ (4/7):

Kako su po pretpostavci sile u ravnoteži, sledi da

rezultanta ovih dveju sila i treća sila moraju da budu

jednake po intenzitetu, da dejstvuju na istoj napadnoj

liniji i da su suprotnog smera.

(b)

Nastavak ...


STATIKA



DOKAZ (5/7):

Ovaj uslov je zadovoljen jedino ako napadna linija

treće sile prolazi kroz tačku A, koja je presečna tačka

napadnih linija prve i druge sile, i ako je:

(b)

0, 312 FR

Nastavak ...


STATIKA



DOKAZ (6/7):

Iz (A2) sledi da i moraju da leže na istoj

napadnoj liniji i da su jednakih intenziteta, a

suprotnih smerova, tj. napadna linija sile mora da

prolazi kroz tačku preseka A

napadnih linija druge dve sile.

(b) 12R 3F

3F


STATIKA



DOKAZ (7/7):

Sile , i obrazuju zatvoren trougao sila, jer je

i u ravnoteži su:

(c) 1F

3 12F R

2F 3F

12 3 1 2 3, , , 0R F F F F

- Kraj dokaza -


STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU -

DEFINICIJA MOMENTA SILE ZA TAČKU (1/8)

Ako je telo vezano u jednoj tački za nepokretni zglob,

tada se telo pod dejstvom sile može obrtati oko

zgloba.

Obrtno dejstvo sile se objašnjava pomoću novog

statičkog pojma - MOMENTA SILE ZA TAČKU.


STATIKA


Ako sila dejstvuje na

kruto telo koje je zglobno

vezano u tački 0, tada će

se telo obrtati oko ose koja

prolazi kroz tačku 0, a

upravna je na ravan koju

obrazuju sila i tačka 0.


F

F


STATIKA


Moment sile za tačku je određen ako su poznata tri

podatka: intenzitet, pravac i smer.

Def.: Moment sile za tačku je

vektor koji je jednak vektorskom

proizvodu vektora položaja

napadne tačke sile i vektora

sile: 0M F r F



STATIKA


Vektorski proizvod dva vektora određuje treći vektor koji

je upravan na ravan koju obrazuju dati vektori i po

intenzitetu je jednak površini

paralelograma konstruisanog

nad tim vektorima, odnosno

dvostrukoj povšini trougla

0AB.



STATIKA


Intenzitet vektora momenta sile za tačku:

0 0sin 2 ABM F r F r F F h P

Pravac vektora momenta

sile za tačku je određen

pravom koja prolazi kroz

momentnu tačku 0 i upravna

je na ravan obrtanja.



STATIKA


Za rešavanje statičkih problema u ravni, s obzirom na

to da se sve sile i momentne tačke nalaze u istoj ravni,

dovoljno je da se odredi intenzitet momenta i smer

obrtanja koji se obeležava kružnom strelicom u toj

ravni.

Jedinica za moment sile je izvedena veličina [Nm].



STATIKA


Moment sile se menja u zavisnosti od izbora

momentne tačke, jer to uslovljava promenu dužine

kraka sile, odn. promenu visine trougla h.

Izuzetak je u slučaju kada se

izabere nova momentna

tačka na pravoj paralelnoj

napadnoj liniji sile.



STATIKA


Moment sile za tačku je jednak nuli ako napadna linija

sile prolazi kroz momentnu tačku, jer je tada dužina

kraka h jednaka nuli.



STATIKA


VARINJONOVA TEOREMA ZA MOMENT REZULTANTE

DVEJU SILA (1/7)

T: Moment rezultante dveju sučeljnih sila za tačku koja

leži u njihovoj ravni jednak je algebarskom zbiru

momenata tih sila za istu tačku.

1 2O O OM R M F M F


STATIKA



DVEJU SILA (2/7) DOKAZ (1/5):

Sile i napadaju tačku

A. Tačka O je izabrana za

momentnu tačku.

Rezultanta ovih sila je

određena primenom pravila

o paralelogramu sila (A4) :

21 FFR

1F 2F


STATIKA




Momentna tačka O je

spojena sa temenima

paralelograma A, B, C, D.

Tako su konstruisani

trouglovi: OAB, OAC i OAD.


STATIKA




Upravno na pravac OA

nacrtana je proizvoljna

prava i na nju su

projektovana temena

paralelograma.

Tako su određene visine

trouglova.


STATIKA




1 2 ;O OABM F P OA A B

2 2 ;O OACM F P OA A C

2 ;O OADM R P OA A D


STATIKA




1 2O O

O

M F M F

OA A B A C

OA A B B D

OA A D M R

1 2 .O O OM R M F M F

- Kraj dokaza -


STATIKA



DVEJU SILA (7/7)

PRIMENA: Izračunavanje momenta sile za koordinatni

početak kao momentne tačke

yx FFF

0 0 0x yM F M F M F

0 xM F Xy

0 yM F Yx

0M F Yx Xy

(a)

(b)

(c)

(b)(c) (a)

T:


STATIKA



RAVANSKOG SISTEMA SUČELJNIH SILA (1/3)

T: Moment rezultante ravanskog sistema sučeljnih sila

jednak je algebarskom zbiru momenata komponentnih

sila za istu momentnu tačku u ravni dejstva sila:

0 0

1

n

i

i

M R M F


STATIKA


DOKAZ (1/2):

Postepenom primenom

Varinjonove teoreme za dve

sile, dolazi se do zaključka

da ova teorema važi i za

sistem n sučeljnih sila.




STATIKA


DOKAZ (2/2):



1,2 1 2 0 1,2 0 1 0 2,R F F M R M F M F

1,3 1,2 2 0 1,3 0 1,2 0 3,R R F M R M R M F

1,3 4 0 0 1,3 0 4,R R F M R M R M F

0 0 1 0 2 0 3 0 4M R M F M F M F M F

1

;n

i

i

R F

0 0

1

n

i

i

M R M F

(a)

(b)

(c)

(a)(b)(c)

- Kraj dokaza -


STATIKA

- MOMENT SILE ZA OSU -

MOMENT SILE ZA OSU (1/4)

Ako je telo vezano u ma koje dve tačke, može se pod

dejstvom sile obrtati oko ose koja prolazi kroz te dve

tačke.

Ove dve tačke i sve tačke vezanog tela koje se nalaze

na pravoj koja prolazi kroz te dve tačke ostaju

nepokretne sve vreme kretanja tela.

Putanje tačaka krutog tela su kružne i nalaze se u

ravni upravnoj na osu obrtanja.


STATIKA



Obrtno dejstvo sile na vezano telo koje se može obrtati

oko nepokretne ose izražava se veličinom koja se

naziva MOMENT SILE ZA OSU.

Moment sile za osu karakteriše obrtni efekat sile na

telo oko neke ose.


STATIKA

- MOMENT SILE ZA OSU-


Def.: Moment sile za osu jednak je proizvodu projekcije

sile na ravan koja je upravna na tu osu i dužine normale

spuštene iz presečne tačke te ose i ravni na pravac te

projekcije. Moment sile za osu je skalarna veličina.

zM F F h

02z A BM F P F


STATIKA



Moment sile za osu jednak je nuli u sledećim slučajevima:

Napadna linija sile je

paralelna osi za koju se

traži moment;

Napadna linija sile seče

osu za koju se traži

moment;


STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU I OSU -

ZAVISNOST IZMEĐU MOMENTA SILE ZA OSU I

MOMENTA SILE ZA TAČKU (1/2)

Zavisnost između momenta sile za osu i momenta sile za

ma koju tačku te ose formulisana je sledećom teoremom:

T: Moment sile za osu jednak je projekciji na tu osu

momenta sile za ma koju tačku te ose:

0 0 cos .z zM F M F M F


STATIKA

- MOMENT SILE ZA TAČKU I OSU -

DOKAZ:

ZAVISNOST IZMEĐU MOMENTA SILE ZA OSU I

MOMENTA SILE ZA TAČKU (2/2)

0 0

0 0

0

0 0

cos

2 2 cos

2

2

A B AB

A B AB

z A B

AB

P P

P P

M F P

M F P

(a)

(b)

(b)(a)

0 0cosz zM F M F M F - Kraj dokaza -


STATIKA

1. Šta predsatvlja ravanski sistem sučeljnih sila?

2. Izvršiti slaganje dveju kolinearnih sila; diskutovati na šta

se mogu svesti.

3. Formulisati teoreme o slaganju sistema sučeljnih sila u

ravni.

4. Formulisati teoreme o ravnoteži sistema sučeljnih sila,

pokazati to na primeru.

Kontrolna pitanja 2 (1/3)

Nastavak


STATIKA


5. Definisati projekciju sile na osu. Prikazati specijalne

slučajeve projekcija sila.

6. Definisati komponente sile. Pokazati razlaganje sile na

dva uzajamno upravna pravca Dekartovog koordinatnog

sistema 0x i 0y.

7. Uspostaviti vezu između komponenata i projekcija sile.

8. Izvesti jednačine ravnoteže ravanskog sistema sučeljnih

sila.

Nastavak


STATIKA


9. Definisati moment sile za tačku. Kada je moment sile za

tačku jednak nuli?

10. Kako se može predstaviti moment sile za tačku preko

površine?

11. Definisati moment sile za osu. Kada je moment sile za

osu jednak nuli?

12. Koja je veza između momenta sile za tačku i momenta

sile za osu?

TEHNIČKA MEHANIKA - znrfak.ni.ac.rs GODINA... · univerzitet u niŠu fakultet zaŠtite na radu u niŠu tehniČka mehanika - prezentacija predavanja - dr darko mihajlov, doc. - 2.

Documents