TEHNIČKA MEHANIKA II Predavanje XII

SVEUČILIŠTE U SPLITU

POMORSKI FAKULTET U SPLITU

ZAVOD ZA BRODOSTROJARSTVO

TEHNIČKA MEHANIKA IIPredavanje XII

Nastavnik:

doc.dr.sc.Đorđe Dobrota

SPLIT, svibanj 2021.

MEHANIKA FLUIDA

8. HIDRAULIČKI PRORAČUN JEDNOSTAVNIH CJEVOVODA

8.1 Hidraulička hrapavost i hidraulička glatkost

8.2 Linijski gubici

8.3 Smično naprezanje na stjenki cijevi

8.4 Lokalni gubici

8.5 Ukupni gubici u cjevovodu

8.6 Serijsko i paralelno spajanje cjevovoda

8.7 MODELIRNJE CENTRIFUGALNE PUMPE

Zadaci iz skripte-VježbePRIMJER 34 PRIMJER 39 PRIMJER 44

PRIMJER 35 PRIMJER 40 PRIMJER 45

PRIMJER 36 PRIMJER 41 PRIMJER 46

PRIMJER 37 PRIMJER 42

PRIMJER 38 PRIMJER 43

ZNAČAJNI ISHODI UČENJA

Konceptualno znanje

• Opisati kako karakterizirati ukupnu visinu gubitaka u jednostavnim cjevovodima.

• Koristeći odgovarajuće izraze ili Moody-ev dijagrama pronaći koeficijent otpora trenja λ za cijevi.

• Kod protoka u cjevovodima izračunati pad tlaka ili visinu gubitaka u cijevima i drugim osnovnim elementima cjevovoda te ukupnu visinu gubitaka.

• Za određeni protok i pad tlaka odrediti potrebni poprečni presjek cjevovoda.

• Za sustav s pumpom odrediti njene potrebne radne značajke (snaga, visina i protok).

• Za određenu razliku geodetske visine i protok procijeniti snagu koju proizvodi turbina.

PITANJA1. Koje zadaće može uključivati hidraulički proračun cjevovoda?2. Koji problemi hidrauličkog proračuna zahtijevaju iterativni postupak? 3. Na čemu se temelji hidraulički proračun cjevovoda?4. Kada je cijev naziva hidraulički glatkom, a kada hrapavom?5. Što je relativna hrapavost?6. O čemu ovisi koeficijent otpora trenja u cijevima kod turbulentnog, a o

čemu kod laminarnog protjecanja fluida?7. Koje tri vrste cijevi razlikujemo u turbulentnom području protjecanja

fluida?8. Što su linijski gubici i kako se određuju?9. Što pokazuje Moody-ev dijagram?10. Kojim se formulama analitički može odrediti koeficijent otpora trenja?11. Što su lokalni gubici i kako se određuje visina lokalnih gubitaka?12. Kako se određuje koeficijent lokalnog gubitka K i gdje se pronalaze?13. Što je potrebno znati kod koeficijenta lokalnog gubitka?14. Navedi primjere elemenata cjevovoda koji uzrokuju lokalne gubitke?15. Čemu je jednaka ukupna visina gubitaka u cjevovodu?16. Čemu je jednak protok i ukupna visina gubitaka kod serijskih i paralelno

spojenih cjevovoda?17. Što se je potrebno odrediti kod grafičkog modeliranja centrifugalne

pumpe?18. Kada se primjenjuje serijski, a kada paralelni rad pumpi?

DODATNI PRIMJERI

PRIMJER 30: Glicerin, dinamičke viskoznosti μ=1,50 Pa·s i gustoće ρ=1260

kg/m3, protječe kroz horizontalnu cijev promjera D=10 cm brzinom od v=5

m/s (slika). Pretpostavlja se laminarno strujanje. Izračunaj:

- smično naprezanje na stjenki cijevi,

- visinu gubitaka (energije) na duljini cijevi od L=12 m,

- potrebnu hidrauličku snagu dodanu protoku za savladavanje gubitka.

1 2

DvGlicerin

ρ, μ

L

z=0

Slika. Protjecanje glicerina kroz horizontalnu cijev.

Rješenje:

• Smično naprezanje na stjenku cijevi može se izračunati iz izraza:

• U gornjem izrazu nepoznanica je koeficijent otpora trenja λ. Kako se

pretpostavlja laminarno strujanje, brzina se može izračunati iz izraza za Re-

broj kod laminarnog strujanja:

1 2

DvGlicerin

ρ, μ

L

z=0

2 2

04 2 8

fh

gD L v v

L D g

64Re

64

1260 5 0,1 64

1,5

64420

640,152

420

v D

• Dobivena vrijednost Re=420 potvrđuje pretpostavku laminarnog strujanja. Smično naprezanje je:

• Visina gubitaka uključuje samo linijske gubitke, tj. hg=hf.

• Određivanje visine gubitaka hg zahtijeva primjenu energetske jednadžbe između presjeka 1 i 2 koja uz α=2,05 (laminarno strujanje), v1=v2, hg=hf

(samo linijski gubici), hp=ht=0 i z1=z2=0 poprima oblik:

1 2

DvGlicerin

ρ, μ

L

z=02 2

0

1260 50,152 598,5 Pa

8 8

v

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2

2 2p t

g

g f

p v p vz h z h

g g g g

p ph

g g

ph h

g

• Visina hg kao nepoznanica može se izračunati iz izraza za visinu linijskih gubitaka kod laminarnog strujanja:

• Potrebna hidraulička snaga dodanu protoku za savladavanje gubitka je:

1 2

DvGlicerin

ρ, μ

L

z=0

2

2 4

2 2

32 128

2

12 50,152 23,24 m

2 0,1 2 9,81

g f

g f

L v L Q L vh h

g D g D D g

L vh h

D g

2

2

4

0,15 1260 9,81 23,24 11275 W 11,28 kW

4

g g g g g

g

D πP Q p Q ρ g h A v ρ g h v ρ g h

πP

PRIMJER 31: Benzin, dinamičke viskoznosti μ=2,92·10-4 Pa·s i gustoće ρ=680 kg/m3, protječe protokom Q=200 L/s kroz horizontalnu cijev promjera D=30 cm, duljine L=500 m i apsolutne hrapavosti k=0,20 mm (slika). Pretpostavlja se turbulentno strujanje. Izračunaj visinu gubitaka (energije) i izrazi je preko ekvivalentnog pada tlaka.

1 2

DQbenzin

ρ, μ

L

z=0

Slika. Protjecanje benzina kroz horizontalnu cijev.

Rješenje:

• Određivanje visine gubitaka hg zahtijeva primjenu energetske jednadžbe koja se za ovaj problem može postaviti između presjeka 1 i 2 koja uz α=1(turbulentno strujanje), v1=v2, hg=hf (samo linijski gubici), hp=ht=0 i z1=z2=0 poprima oblik:

• Visina gubitaka hg=hf kao nepoznanica u (I) može se izračunati prema izrazu Darcy-Weissbacha:

2 2

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2

2 2p t g

g

g f

p v p vz h z h h

g g g g

p ph

g g

ph h

g

1 2

DQbenzin

ρ, μ

L

z=0

(I)

2

(II)2

g f

L vh h

D g

• U izrazu (II) nepoznanica je brzina v i koeficijent otpora trenja λ. Uz zadani promjer D i protok Q, brzina strujanja kroz cijev je:

• Za određivanja koeficijenta otpora trenja λ prvo je potrebno odreditipodručje strujanja izračunavanjem Re-broja:

što znači kako je strujanje turbulentno.

1 2

DQbenzin

ρ, μ

L

z=0

3

2 2

4 4 200 102,83 m/ s

0,3

Q Qv

A D

6

4

680 2,83 0,3Re 1,977 10

2,92 10

v D

• Za analitičko izračunavanje koeficijenta otpora trenja λ hidrauličkih hrapavih cijevi može se koristiti eksplicitna formula Swamee-Jain koja je primjenjiva za područje primjene u rasponu Re-brojeva 4∙103 < Re < 4∙108 te vrijednosti relativne hrapavosti 10-6 < k/D=0,2∙10-3/0,3=6,67·10-3 < 10-2 :

• Određivanjem nepoznanica v i λ, visina gubitaka hg=hf prema (II) iznosi:

1 2

DQbenzin

ρ, μ

L

z=0

2 23

10 100,9 6 0,9

2 24 5

10

0,25 0,25

1 5,74 1 0,2 10 5,74log log

3,7 Re 3,7 0,3 (1,677 10 )

0,25 0,25 0,250,0181

13,7713,711log 1,8018 10 1,4349 10

k

D

2 2500 2,830,0181 12,31 m

2 0,3 2 9,81g f

L vh h

D g

• Ekvivalentni pada tlaka prema (I) je:

680 9,81 12,31 82118 Pa 82,12 kPa

g f

g

ph h g

g

p g h

PRIMJER 32: Dva spremnika A i B s razlikom visina između slobodnih površina vode od Δz=10 m su spojeni cjevovodom koji se sastoji od dviju cijevi spojenih u seriju (slika). Cijev 1 je promjera D1=10 cm, duljine L1=20 m i koeficijenta otpora trenja λ1=0,020. Cijev 2 je promjera D2=16 cm, duljine L2=25 m i koeficijenta otpora trenja λ2=0,018. Spojevi cijevi sa spremnicima su oštri tako da je koeficijent gubitka ulaznog otvora (ušća) u cijev Kul=0,5, a koeficijent gubitka izlaznog otvora cijevi je Kiz=1. Izračunaj protok kroz cjevovod. Pretpostavlja se stacionarno turbulentno (α=1) protjecanje vode.

Slika. Dva spremnika spojena cjevovodom sastavljenog od dviju

serijsko spojene cijevi različitih dimenzija.

D1, L1, λ1

D2, L2, λ2

Δz

A

B

p0

p0

KizKul

ρ

Rješenje:

• Kada su cjevovodi spojeni u seriju, protok kroz sustav je sukladno jednadžbi kontinuiteta isti, neovisno o promjeru svake cijevi:

• Stoga je uz poznate promjere cijevi 1 i 2 potrebno izračunati nepoznate brzine v1 ili v2.

• Određivanje brzina v1 ili v2 zahtijeva primjenu energetske jednadžbe koja se za ovaj problem može postaviti između točaka A i B, a koja uz α=1(turbulentno strujanje), vA=vB=0 (stacionarno strujanje), pA=pB=p0=0, hp=ht=0 i z1-z2=Δz=10 m poprima oblik:

D1, L1, λ1

D2, L2, λ2

Δz

A

B

p0

p0

KizKul

ρ

1 1 2 2Q v A v A

2 2

2 2

0 0 0 0 0 0

10 m

A A B B

A A p B B t g

A B g

A B g

g

p v p vz h z h h

g g g g

z z h

z z z h

h z

• Stoga, uz zadanu razliku geodetske visine Δz=10 m, potrebno je odrediti ukupni gubitak cjevovoda hg koji se za cjevovod određuje zbrajajući linijske (cijevi) i lokalne gubitke (ulaz u cijev, naglo proširenje i izlaz iz cijevi) može izračunati pomoću izraza:

22

, ,

2 2 2 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2

1 2

2 2

1 2

2 2

( )

2 2 2 2 2

20 250,02 0,018 0,5

0,10 2 9,81 0,16 2 9,81

ji i

g f i fm j i ji j i j

i

Lokalni gubiciLinijski gubici

g ul iz

naglo proširenje

g

vL vh h h K

D g g

L v L v v v v vh K K

D g D g g g g

v vh

2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2

1 2 1 2

2

2 2 1 2

1 2

( )1

2 9,81 2 9,81 2 9,81

( )4,0 2,8125 0,5 1

2 9,81 2 9,81 2 9,81 2 9,81 2 9,81

( )(4,0 0,5) (2,8125 1)

2 9,81 2 9,81 2 9,81

( )(II) 0,22935 0,19431

2

g

g

g

v v v v

v v v v v vh

v v v vh

v vh v v

9,81

D1, L1, λ1

D2, L2, λ2

Δz

A

B

p0

p0

KizKul

ρ

• U izrazu (II) nepoznanica su brzine u cijevima v1 i v2. Prema jednadžbi kontinuiteta ove brzine se odnose kao:

2

2 2 1 2

1 2

( )(II) 0,22935 0,19431

2 9,81g

v vh v v

D1, L1, λ1

D2, L2, λ2

Δz

A

B

p0

p0

KizKul

ρ

1 1 2 2

2

12

2 1 1

2 2

21 2 2

2 2

1

2 1 2 12 2

2

4

4

0,100,39063

0,16

Q v A v A

Dv A D

Dv A D

Dv v v v

D

• Uvrštenjem dobivenog izraza za v2 u izraz (II) dobiva se:

• Stoga je uz izraz (I) brzina v1:

pa je traženi protok

D1, L1, λ1

D2, L2, λ2

Δz

A

B

p0

p0

KizKul

ρ

2

2 2 1 2

1 2

2

2 2 1 1

1 1

2

2 2 1

1 1

2 2 2

1 1 1

2

1

( )0,22924 0,19431

2 9,81

( 0,39063 )0,22924 0,19431 (0,39063 )

2 9,81

(1 0,39063)0,22924 0,02965

2 9,81

0,22924 0,02963 0,03105

0,29

g

g

g

g

g

v vh v v

v vh v v

vh v v

h v v v

h v

2

1

1

10 m

0,29 10

105,87 m/s

0,29

gh z

v

v

2 2 3

11 1 1

0,1 m5,87 0,046

4 4 s

D π πQ A v v

• PRIMJER 33: Dvije cijevi 1 i 2 spojene su paralelno između točaka A i B. Cijev 1 je promjera D1=6 cm, duljine L1=1000 m i koeficijenta otpora trenja λ1=0,018 (slika). Cijev 2 je promjera D2=8 cm, duljine L2=800 m i koeficijenta otpora trenja λ1=0,020. Ukupni protok prije i poslije grananja je Q= 20 L/s. Procijeni protoke Q1 i Q2 u cijevima.

Slika. Dvije paralelno spojene cijevi različitih dimenzija

D1, L1, f1

D2, L2, f2

BAQ Qz=0

Rješenje:

• Kod cjevovodnog sustava koji se grana u dva ili više paralelnih cjevovoda, a koji se zatim se opet spajaju, ukupni protok je jednak zbroju protoka kroz pojedinu granu pa jednadžba kontinuiteta daje:

• Stoga je za procjenu protoka Q1 i Q2 uz poznate promjere cijevi 1 i 2 potrebno izračunati nepoznate brzine v1 ili v2.

D1, L1, f1

D2, L2, f2

BAQ Qz=0

1 2

3

1 1 2 2

2 2

3 1 2

1 2

2 2

3

1 2

3

1 2

1 2

20 10

20 104 4

0,06 0,0820 10

4 4

20 10 0,002826 0,005024 :0,002826

7,077 1,778

Q Q Q

v A v A

D Dv v

v v

v v

v v

(I)

• U slučaju da spojevi grana nalaze na istoj geodetskoj visini (zA=zB=z=0), primjena energetske jednadžbe između točke grananja A i točke spajanja B dovodi do izraza za ukupnu visinu gubitaka uz vA= vB:

• Kako u općem slučaju ukupni gubici svake grane nisu isti, protok će se razdijeliti tako da će kroz granu manjeg otpora teći veći protok, a kroz drugu adekvatno manji. Ništa se ne mijenja i ako je sustav na kraju otvoren, jer i tada u krajnjoj točki B mora vladati isti tlak.

D1, L1, f1

D2, L2, f2

BAQ Qz=01 2g g g

h h h

• Za problem u zadatku koji uključuju samo linijske otpore može se napisati:

D1, L1, f1

D2, L2, f2

BAQ Qz=0

1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

1 2

2 21 1 2 2

1 2

1 2

2 2

1 2

2 2

1 2

2 2

1 2

2

1 2 2

22 2

0,018 1000 0,020 800

0,06 0,08

300 200

2

3

20,8165

3

g f fh h h

L v L vg

D g D g

L Lv v

D D

v v

v v

v v

v v v

• Uvrštenjem dobivenih odnosa brzina u izraz (I) dobivaju se tražene brzine kroz cijevi:

- brzina v2

- brzina v1

a time i protoci kroz cijevi:

• Provjera:

D1, L1, f1

D2, L2, f2

BAQ Qz=0

1 2

2 2 2

2

7,077 1,778

7,077 0,8165 1,778 2,5945

7,0772,727 m/s

2,5945

v v

v v v

v

1 2

1 2

7,077 1,778

7,077 1,778 7,077 1,778 2,727 2,228 m/s

v v

v v

2 2 3

11 1 1 1

2 2 3

22 2 2 1

0,06 m L2,228 0,0063 6,3

4 4 s s

0,08 m L2,727 0,0137 13,7

4 4 s s

D π πQ Av v

D π πQ A v v

1 2

L6,3 13,7 20

sQ Q Q

PRIMJER 34: Pumpa potiskuje ulje gustoće ρ=891 kg/m3 i dinamičke

viskoznosti μ=0,29 Pa∙s kroz nagnutu cijev promjera D=3 cm protokom

prema gore od =3 kg/s. Izračunaj potrebnu snagu pumpe. m

D

pumpa

p2=180 kPa

p1=500 kPa

15

m

20 m

RJEŠENJE:

D

pumpa

p2=180 kPa

p1=500 kPa

15

m

20 m

PRIMJER 35: Ukoliko je protok Q=0,24 m3/min izračunaj oduzetu

hidrauličku snagu u turbini.

Zadano: L=125 m, D=5 cm, k=0,26 mm, ρ=998 kg/m3, μ=0,001 Pa∙s,

Ku=0,5, Kv=6,9

ρ

Ku

KvL, D, k

Turbinaventil

p0

p0

Q

40

m

2

1

z=0

RJEŠENJE:

PRIMJER 32: Kroz glatku cijev (k/D=0) protječe metanol gustoće ρ=788

kg/m3 i dinamičke viskoznosti μ=5,98∙10-4 Pa∙s. Cijev je promjera D=5 cm i

duljine L=140 m. Protok je realiziran djelovanjem komprimiranog zraka tlaka

p1=900 kPa koji djeluje na slobodnu površinu vode u zatvorenom spremniku.

Lokalni gubici se zanemaruju. Izračunaj protok Q.

ρ

p1

10

mp0

80

m

L, D

Q

1

2

z=0

RJEŠENJE:

ρ

p1

10

m

p0

80

m

L, D

Q

1

2

z=0