Integral Trapezoidal

Facultad de Ingeniería

García Camacho Josué Agustín Reyna García César Eduardo

Integración: Regla Trapezoidal

INTRODUCCION

La regla trapezoidal es la primera de las formulas de integración cerrada de Newton-Cotes.

Las formulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas de integración numérica mas comunes. Se basan en la estrategia de remplazar una función complicada o datos tabulados con una función aproximada que sea fácil de integrar.

OBJETIVOResolver el problema de cálculo del área bajo la curva entre dos límites conocidos, dividiendo en N sub áreas para calcular su valor asumiendo cada sub área como un pequeño trapecio.

Uno de los problemas matemáticos más frecuentes es el cálculo del área que se forma al graficar una función.

Geométricamente, la regla trapezoidal es equivalente a aproximar el área del trapezoide bajo la línea recta que conecta f(a) y f(b) .

f(a)

f(b)

a b

Formula Regla Trapezoidal

2)()()( bfafabI

Una forma de mejorar la exactitud de la Regla Trapezoidal es dividir el intervalo de integración a a b en un numero de segmentos y aplicar el método a cada uno de ellos. Las áreas de segmentos individuales se pueden entonces agregar para dar la integral para todo el intervalo. Las ecuaciones resultantes son llamadas Formulas de integración, de múltiple aplicación o compuestas.

Formato General de la Ecuación Trapezoidal Múltiple

n

xfxfxfabI

n

n

ii

2

)()(2)()(

1

10

Un error para la Regla Trapezoidal de múltiple aplicación se puede obtener al sumar los errores individuales de cada segmento para dar.

n

iif

nabEt

13

3

)´´(12

)(

El error para la Regla Trapezoidal se puede simplificar y se rescribe como:

´´12

)(2

3

fnabEt

ab

dxxff

b

a

)´´(

´´

REGLA TRAPEZOIDAL DE MÚLTIPLE APLICACIÓN.

Evaluar la integral con la regla trapezoidal de aplicación múltipleCon a=0 hasta b=0.8

f(x)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

Solución:

Con dos segmentos.1.- Calcular los segmentos individuales.

h=(b-a)/n n= Numero de segmentos

h=(.8-0)/2=0.4

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

2.- Hacer la sustitución de los segmentos en la función.

f(0)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0)=0.2.

f(0.4)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.4)=2.456

f(0.8)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.8)=.232

3.- Aplicar la Formula General de la Regla Trapezoidal.

I=(.8-0)[0.2+2(2.456)+.232] 2(2)I=1.0688

n

xfxfxfabI

n

n

ii

2

)()(2)()(

1

10

4.- Calcular la segunda derivada de la función para poder obtener el valor promedio de la segunda derivada.

f´=25-400x+2025x2-3600x3+2000x4

f´´=-400+4050x-10800x2+8000x3

f´´=

-400x+2025x2-3600x3+2000x4 = -48

0.8

0 = − 48

.8 =− 60

5.- Calcular el error.

εa = - (b-a) 3 *f´´ = - (.8-0) 3 *(-60)= 0.64 12(n) 2 12(2) 2

En el caso que se deseen calcular con mas segmentos se sigue la mismaMetodología anterior.

Con 4 Segmentos.1.- h=(.8-0)/4=0.22.-f(0)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0)=0.2.

f(0.2)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.2)=1.28

f(0.4)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.4)=2.456

f(0.6)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.6)=3.464

f(0.8)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.8)=0.232

3.-I=1.4848

4.-f´=25-400x+2025x2-3600x3+2000x4

f´´=-400+4050x-10800x2+8000x3

5.-εa = - (b-a) 3 *f´´ = - (.8-0) 3 *(-60)= 0.16 12(n) 2 12(4) 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Con 5 Segmentos.1.- h=(.8-0)/5=0.16

2.-f(0)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0)=0.2.

f(0.16)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.16)=1.2969.

f(0.32)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.32)=1.7433

f(0.48)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.48)=3.1860

f(0.64)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.64)=3.1890

f(0.8)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.8)=.232

3.-I=1.539856

4.-f´=25-400x+2025x2-3600x3+2000x4

f´´=-400+4050x-10800x2+8000x3

5.-εa = - (b-a) 3 *f´´ = - (.8-0) 3 *(-60)= 0.1024 12(n) 2 12(5) 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Con 8 Segmentos.1.- h=(.8-0)/8=0.1

2.-f(0)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0)=0.2.

f(0.1)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.1)=1.289.

f(0.2)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.2)=1.288.

f(0.3)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.3)=1.607.

f(0.4)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.4)=2.456

f(0.5)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.5)=3.325

2.-f(0.6)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.6)=3.464

f(0.7)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.7)=2.363

f(0.8)=0.2+25x-200x2+675x3-900x4+400x5

f(0.8)=0.232

3.-I=1.6008

4.-f´=25-400x+2025x2-3600x3+2000x4

f´´=-400+4050x-10800x2+8000x3

5.-εa = - (b-a) 3 *f´´ = - (.8-0) 3 *(-60)= 0.0399 12(n) 2 12(8) 2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90

0.5

1

1.5

2

2.5

3