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Composite Simpson & Trapezoidal

Dec 11, 2015

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Métodos Numéricos

  • JAN - 2014

    UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAN

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

    1

    TRABAJO MTODOS NUMRICOS

    a) Mtodo simpson:

    function s=simprl(f, a, b, M)

    % input - f is the integrand input as string 'f'

    % - a an b are upper and lower limites of integration

    % - M is the number of subintervals

    %Output - s is the trapezoidal rule sum

    h=(b-a)/(2*M);

    s1=0;

    s2=0;

    for k=1:M

    x=a+h*(2*k-1);

    s1=s1+feval(f,x);

    end

    for k=1:(M-1)

    x=a+h*(2.*k);

    s2=s2+feval(f,x);

    end

    s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;

    b) Mtodo trapezoidal:

    function s = traprl(f, a, b, M)

    % input - f is integrand input as a string 'f'

    % - a and b are upper and lover limits of integration

    % - M is tha number of subintervals

    % cutput - s is tha trapezoildal rule sum

    h = (b - a)/M;

    s = 0;

    for k=1:(M-1);

    x= a+h*k;

    s= s+feval(f, x);

    end

    s=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2+h.*s;

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

    2

    1. Approximate each integral using:

    USING INDICATION

    COMPOSITE TRAPEZOIDAL

    M=10

    COMPOSITE SIMPSON

    M=5

    Function

    F1(x)= ( + )

    Editor

    function Y= F1(X);

    Y=(1+X.^2).^-1;

    return;

    function Y= F1(X);

    Y=(1+X.^2).^-1;

    return;

    Terminal

    >>> traprl(@F1, -1, 1, 10) >>> simprl(@F1, -1, 1, 5)

    ans = 1.5675 s = 1.5708

    ans = 1.5708

    Function

    F2(x)= ( + ())

    Editor

    function Y= F2(X);

    Y=2+sin(2*X.^(1/2));

    return;

    function Y= F2(X);

    Y=2+sin(2*X.^(1/2));

    return;

    Terminal

    >>>traprl(@F2, 0, 1, 10) >>> simprl(@F2, 0, 1, 5)

    ans = 2.8574 s = 2.8656 ans = 2.8656

    Function

    F3(x)= /

    .

    Editor

    function Y= F3(X);

    Y=1/X.^(1/2);

    return;

    function Y= F3(X);

    Y=1/X.^(1/2);

    return;

    Terminal

    >>> traprl(@F3, 0.25, 4, 10) >>> simprl(@F3, 0.25, 4, 5)

    ans = 3.0419 s = 3.0076

    ans = 3.0076

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

    3

    Function

    F4(x)=

    Editor

    function Y= F4(X);

    Y=(X.^2)*exp(- X);

    return;

    function Y= F4(X);

    Y=(X.^2)*exp(- X);

    return;

    Terminal

    >>> traprl(@F4, 0, 4, 10) >>> simprl(@F4, 0, 4, 5)

    ans = 1.5216 s = 1.5246

    ans = 1.5246

    Function

    F5(x)= ()

    Editor

    function Y= F5(X);

    Y=2*X*cos(X);

    return;

    function Y= F5(X);

    Y=2*X*cos(X);

    return;

    Terminal

    >>> traprl(@F5, 0, 2, 10) >>> simprl(@F5, 0, 2, 5)

    ans = 0.78330 s = 0.80500

    ans = 0.80500

    Function

    F6(x)= ()

    Editor

    function Y= F6(X);

    Y=sin(2*X)*exp(- X);

    return;

    function Y= F6(X);

    Y=sin(2*X)*exp(- X);

    return;

    Terminal

    >>> traprl(@F6, 0, pi, 10) >>> simprl(@F6, 0, pi, 5)

    ans = 0.36695 s = 0.38279

    ans = 0.38279

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

    4

    2. DETERMINAR LA LONGITUD DE LA CURVA: L= + (())

    USING

    INDICATION

    COMPOSITE TRAPEZOIDAL

    M=10

    COMPOSITE SIMPSON

    M=5

    Function

    F7(x)= x3

    Editor

    function A= F7(X); A=(1+((1/3).*X.^2).^2).^(1/2);

    return;

    function A= F7(X); A=(1+((1/3).*X.^2).^2).^(1/2);

    return;

    Terminal

    >>> traprl(@F7, 0, 1, 10) >>> simprl(@F7, 0, 1, 5)

    ans = 1.0111 s = 1.0109

    ans = 1.0109

    Function

    F8(x)=sin(x) /

    Editor

    function A= F8(X); A=(1+(cos(X)).^2).^(1/2);

    return;

    function A= F8(X); A=(1+(cos(X)).^2).^(1/2);

    return;

    Terminal

    >>> traprl(@F8, 0, pi./4, 10) >>> simprl(@F8, 0, pi./4, 5)

    ans = 1.0579 s = 1.0581 ans = 1.0581

    Function

    F9(x)=e-5

    Editor

    function A= F9(X); A=(1+(- exp(-X)).^2).^(1/2);

    return;

    function A= F9(X); A=(1+(- exp(-X)).^2).^(1/2);

    return;

    Terminal

    >>> traprl(@F9, 0, 1, 10) >>> simprl(@F9, 0, 1, 5)

    ans = 1.1932

    s = 1.1927

    ans = 1.1927

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

    5

    3. DETERMINAR AREA: A= () + (())

    using

    COMPOSITE TRAPEZOIDAL

    M=10

    COMPOSITE SIMPSON

    M=5

    Function

    F10(x)= x3

    Editor

    function L= F(X);

    L= X.^3.* (1+(0.5.*X.^3)).^(1/2);

    return;

    function L= F10(X);

    L= X.^3.*(1+(0.5.*X.^3)).^(1/2); return;

    Terminal

    >>> traprl(@F10, 0, 1, 10) >>> simprl(@F10, 0, 1, 5)

    ans = 0.25963 s = 0.25683

    ans = 0.25683

    Function

    F11(x)=sin(x) /

    Editor

    function L= F11(X);

    L= sin(X).*(1+(0.5.*cos(X).^3)).^(1/2); return;

    function L= F11(X);

    L= sin(X).*(1+(0.5.*cos(X).^3)).^(1/2); return;

    Terminal

    >>> traprl(@F11, 0, pi./4, 10) >>> simprl(@F11, 0, pi./4, 5)

    ans = 0.38511 s = 0.38554 ans = 0.38554

    Function

    F12(x)=e-5

    Editor

    function L= F12(X);

    L= exp(-X).*(1+(0.5.*exp(-X).^3)).^(1/2);

    return;

    function L= F12(X);

    L= exp(-X).*( (1+(0.5.*exp(-X).^3)).^(1/2);

    return;

    Terminal

    >>> traprl(@F12, 0, 1, 10) >>> simprl(@F12, 0, 1, 5)

    ans = 0.77318 s = 0.77178

    ans = 0.77178

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

    6

    4. a) Verificar que la regla trapezoidal (M=1, h=1) es exacta para polinomios

    de grado < 1 de la forma f(x) = c1x + c0 con [0, 1] es:

    Et (f, h) = ()()

    Solucin:

    Compilando el cdigo con las condiciones del problema:

    function s = traprl(f, a, b, M)

    % input - f is integrand input as a string 'f'

    % - a and b are upper and lover limits of integration

    % - M is tha number of subintervals

    % cutput - s is tha trapezoildal rule sum

    h = (b - a)/M;

    s = 0;

    for k=1:(M-1);

    x= a+h*k;

    s= s+feval(f, x);

    end

    s=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2+h.*s;

    Ejemplo 1: Sea la funcin: Y= 5*x+4 - Por el mtodo analtico obtenemos que: s = 6.50 - Por el mtodo del trapecio compuesto y con las condiciones que nos

    piden obtenemos:

    function Y=F1(x); Y= 5.*x+4; return;

    s = traprl(@F1,0,1,1) s = 6.5000

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

    7

    Ejemplo 2: Sea la funcin: Y = 3*x - 2 - Por el mtodo analtico obtenemos que:

    s = 0.50 - Por el mtodo del trapecio compuesto y con las condiciones que nos

    piden obtenemos:

    function Y=F1(x); Y= 3.*x - 2; return; s = traprl(@F1,0,1,1) s = -0.50000

    Como las reas son positivas le damos valor absoluto con la cual el resultado es 0.50

    Si el Et (f, h) = ()()

    = 0

    En conclusin para todos los ejemplos el error es 0 es decir es exacta.

    b) Usar la integral f(x) = c2x2 y verificar que el plazo de error para la regla trapezoidal (M = 1, h = 1) en el intervalo [0, 1] es:

    Er (f, h) = ()()

    Solucin:

    Ejemplo 1: Sea la funcin: Y= 3*x2 - Por el mtodo analtico obtenemos que:

    s = 1.00 - Por el mtodo del trapecio compuesto y con las condiciones que nos

    piden obtenemos: function Y= F1(x); Y= 3.*x.^2; return; s=traprl(@F1,0,1,1) s = 1.5000

    Et (f, h) = ()()

    =

    ()

    = -0.50

  • UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

    8

    Ejemplo 2: Sea la funcin: Y= 5*x2 - Por el mtodo analtico obtenemos que: s = 1.67 - Por el mtodo del trapecio compuesto y con las condiciones que nos

    piden obtenemos: function Y= F1(x); Y= 5*x. ^2; return; s=traprl(@F1,0,1,1) s = 2.5000

    Et (f, h) = ()()

    =

    ()

    = -0.83

    - En conclusin para toda funcin f(x) = c2x2, por el mtodo analtico y

    trapezoide compuesto el error es el mismo que al desarrollar por la formula.

    5.

    a) Verificar que