Composite Simpson & Trapezoidal

JAN - 2014

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAN

UNIVERSIDAD NACIONAL DE JAN FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL

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TRABAJO MTODOS NUMRICOS

a) Mtodo simpson:

function s=simprl(f, a, b, M)

% input - f is the integrand input as string 'f'

% - a an b are upper and lower limites of integration

% - M is the number of subintervals

%Output - s is the trapezoidal rule sum

h=(b-a)/(2*M);

s1=0;

s2=0;

for k=1:M

x=a+h*(2*k-1);

s1=s1+feval(f,x);

end

for k=1:(M-1)

x=a+h*(2.*k);

s2=s2+feval(f,x);

end

s=h*(feval(f,a)+feval(f,b)+4*s1+2*s2)/3;

b) Mtodo trapezoidal:

function s = traprl(f, a, b, M)

% input - f is integrand input as a string 'f'

% - a and b are upper and lover limits of integration

% - M is tha number of subintervals

% cutput - s is tha trapezoildal rule sum

h = (b - a)/M;

s = 0;

for k=1:(M-1);

x= a+h*k;

s= s+feval(f, x);

end

s=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2+h.*s;

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1. Approximate each integral using:

USING INDICATION

COMPOSITE TRAPEZOIDAL

M=10

COMPOSITE SIMPSON

M=5

Function

F1(x)= ( + )

Editor

function Y= F1(X);

Y=(1+X.^2).^-1;

return;

function Y= F1(X);

Y=(1+X.^2).^-1;

return;

Terminal

>>> traprl(@F1, -1, 1, 10) >>> simprl(@F1, -1, 1, 5)

ans = 1.5675 s = 1.5708

ans = 1.5708

Function

F2(x)= ( + ())

Editor

function Y= F2(X);

Y=2+sin(2*X.^(1/2));

return;

function Y= F2(X);

Y=2+sin(2*X.^(1/2));

return;

Terminal

>>>traprl(@F2, 0, 1, 10) >>> simprl(@F2, 0, 1, 5)

ans = 2.8574 s = 2.8656 ans = 2.8656

Function

F3(x)= /

.

Editor

function Y= F3(X);

Y=1/X.^(1/2);

return;

function Y= F3(X);

Y=1/X.^(1/2);

return;

Terminal

>>> traprl(@F3, 0.25, 4, 10) >>> simprl(@F3, 0.25, 4, 5)

ans = 3.0419 s = 3.0076

ans = 3.0076

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Function

F4(x)=

Editor

function Y= F4(X);

Y=(X.^2)*exp(- X);

return;

function Y= F4(X);

Y=(X.^2)*exp(- X);

return;

Terminal

>>> traprl(@F4, 0, 4, 10) >>> simprl(@F4, 0, 4, 5)

ans = 1.5216 s = 1.5246

ans = 1.5246

Function

F5(x)= ()

Editor

function Y= F5(X);

Y=2*X*cos(X);

return;

function Y= F5(X);

Y=2*X*cos(X);

return;

Terminal

>>> traprl(@F5, 0, 2, 10) >>> simprl(@F5, 0, 2, 5)

ans = 0.78330 s = 0.80500

ans = 0.80500

Function

F6(x)= ()

Editor

function Y= F6(X);

Y=sin(2*X)*exp(- X);

return;

function Y= F6(X);

Y=sin(2*X)*exp(- X);

return;

Terminal

>>> traprl(@F6, 0, pi, 10) >>> simprl(@F6, 0, pi, 5)

ans = 0.36695 s = 0.38279

ans = 0.38279

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2. DETERMINAR LA LONGITUD DE LA CURVA: L= + (())

USING

INDICATION

COMPOSITE TRAPEZOIDAL

M=10

COMPOSITE SIMPSON

M=5

Function

F7(x)= x3

Editor

function A= F7(X); A=(1+((1/3).*X.^2).^2).^(1/2);

return;

function A= F7(X); A=(1+((1/3).*X.^2).^2).^(1/2);

return;

Terminal

>>> traprl(@F7, 0, 1, 10) >>> simprl(@F7, 0, 1, 5)

ans = 1.0111 s = 1.0109

ans = 1.0109

Function

F8(x)=sin(x) /

Editor

function A= F8(X); A=(1+(cos(X)).^2).^(1/2);

return;

function A= F8(X); A=(1+(cos(X)).^2).^(1/2);

return;

Terminal

>>> traprl(@F8, 0, pi./4, 10) >>> simprl(@F8, 0, pi./4, 5)

ans = 1.0579 s = 1.0581 ans = 1.0581

Function

F9(x)=e-5

Editor

function A= F9(X); A=(1+(- exp(-X)).^2).^(1/2);

return;

function A= F9(X); A=(1+(- exp(-X)).^2).^(1/2);

return;

Terminal

>>> traprl(@F9, 0, 1, 10) >>> simprl(@F9, 0, 1, 5)

ans = 1.1932

s = 1.1927

ans = 1.1927

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3. DETERMINAR AREA: A= () + (())

using

COMPOSITE TRAPEZOIDAL

M=10

COMPOSITE SIMPSON

M=5

Function

F10(x)= x3

Editor

function L= F(X);

L= X.^3.* (1+(0.5.*X.^3)).^(1/2);

return;

function L= F10(X);

L= X.^3.*(1+(0.5.*X.^3)).^(1/2); return;

Terminal

>>> traprl(@F10, 0, 1, 10) >>> simprl(@F10, 0, 1, 5)

ans = 0.25963 s = 0.25683

ans = 0.25683

Function

F11(x)=sin(x) /

Editor

function L= F11(X);

L= sin(X).*(1+(0.5.*cos(X).^3)).^(1/2); return;

function L= F11(X);

L= sin(X).*(1+(0.5.*cos(X).^3)).^(1/2); return;

Terminal

>>> traprl(@F11, 0, pi./4, 10) >>> simprl(@F11, 0, pi./4, 5)

ans = 0.38511 s = 0.38554 ans = 0.38554

Function

F12(x)=e-5

Editor

function L= F12(X);

L= exp(-X).*(1+(0.5.*exp(-X).^3)).^(1/2);

return;

function L= F12(X);

L= exp(-X).*( (1+(0.5.*exp(-X).^3)).^(1/2);

return;

Terminal

>>> traprl(@F12, 0, 1, 10) >>> simprl(@F12, 0, 1, 5)

ans = 0.77318 s = 0.77178

ans = 0.77178

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4. a) Verificar que la regla trapezoidal (M=1, h=1) es exacta para polinomios

de grado < 1 de la forma f(x) = c1x + c0 con [0, 1] es:

Et (f, h) = ()()

Solucin:

Compilando el cdigo con las condiciones del problema:

function s = traprl(f, a, b, M)

% input - f is integrand input as a string 'f'

% - a and b are upper and lover limits of integration

% - M is tha number of subintervals

% cutput - s is tha trapezoildal rule sum

h = (b - a)/M;

s = 0;

for k=1:(M-1);

x= a+h*k;

s= s+feval(f, x);

end

s=h*(feval(f,a)+feval(f,b))/2+h.*s;

Ejemplo 1: Sea la funcin: Y= 5*x+4 - Por el mtodo analtico obtenemos que: s = 6.50 - Por el mtodo del trapecio compuesto y con las condiciones que nos

piden obtenemos:

function Y=F1(x); Y= 5.*x+4; return;

s = traprl(@F1,0,1,1) s = 6.5000

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Ejemplo 2: Sea la funcin: Y = 3*x - 2 - Por el mtodo analtico obtenemos que:

s = 0.50 - Por el mtodo del trapecio compuesto y con las condiciones que nos

piden obtenemos:

function Y=F1(x); Y= 3.*x - 2; return; s = traprl(@F1,0,1,1) s = -0.50000

Como las reas son positivas le damos valor absoluto con la cual el resultado es 0.50

Si el Et (f, h) = ()()

= 0

En conclusin para todos los ejemplos el error es 0 es decir es exacta.

b) Usar la integral f(x) = c2x2 y verificar que el plazo de error para la regla trapezoidal (M = 1, h = 1) en el intervalo [0, 1] es:

Er (f, h) = ()()

Solucin:

Ejemplo 1: Sea la funcin: Y= 3*x2 - Por el mtodo analtico obtenemos que:

s = 1.00 - Por el mtodo del trapecio compuesto y con las condiciones que nos

piden obtenemos: function Y= F1(x); Y= 3.*x.^2; return; s=traprl(@F1,0,1,1) s = 1.5000

Et (f, h) = ()()

=

()

= -0.50

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Ejemplo 2: Sea la funcin: Y= 5*x2 - Por el mtodo analtico obtenemos que: s = 1.67 - Por el mtodo del trapecio compuesto y con las condiciones que nos

piden obtenemos: function Y= F1(x); Y= 5*x. ^2; return; s=traprl(@F1,0,1,1) s = 2.5000

Et (f, h) = ()()

=

()

= -0.83

- En conclusin para toda funcin f(x) = c2x2, por el mtodo analtico y

trapezoide compuesto el error es el mismo que al desarrollar por la formula.

5.

a) Verificar que