Automatic Control Outline 9 1 Bode Plot New - kiau.ac.irkiau.ac.ir/~automatic_control/Lectuers/Chap_9_1_BodePlot.pdf · ﺮﺒﺠﻧر: ﻩﺪﻨﻨﮐ ﻪﻴﻬﺗ ﻢﻬﻧ ﺶﺨﺑ
Post on 21-Sep-2019
2 Views
Preview:
Transcript
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ١صفحه
)Response Frequency( پاسخ فرکانسی هنگامی که ورودی يک سيستم خطی . اين روش تحليل پاسخ سيستم کنترل به ورودی سينوسی می باشد
. بصورت سينوسی باشد، پاسخ نهائی آن نيز سينوسی با فرکانس مشابه خواهد بود . آن مقايسه می نمايد) خط چين(را با سيگنال ورودی ) خط پر(شکل زير پاسخ خروجی يک سيستم
:Matlabکاربرد %Matlab Script to draw above plot num=3;dnm=[5 1]; G=tf(num,dnm); t=0:0.1:10;u=sin(t); [Y,T]=lsim(G,u,t); plot(T,Y,'-b','LineWidth',2);hold on;plot(t,u,'--r','LineWidth',2) xlabel('time') ylabel('Amplitude') title('First Order TF (G(s)=3/(5s+1) to sin(t) input signal')
ی ● وق منحن ديل ف ابع تب ا ت تم ب خ سيس )پاس )15
3+
=s
sG ی ه ورودی سينوس )ب ) ( )ttu sin= را
. می دهد نشانه ● انگر آن است ک داری پاسخ در شکل فوق بي اد می شود فازیس پ سيستم مق ن . ايج ام عمل اي ه ن ب
. ناميده می شودنيز (phase shift)انتقال فاز
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٢صفحه
يگنال : فازیيشپ ● ی س خروجه سيگنال وورودی نسبت ب جل
.دافتمی يگنال : فازیس پ ● ی س خروج
ه سيگنال و ورودی نسبت ب جل .افتدمی
ال ● ه و انتق دار دامن ر دو مق ه
دار ر مق ا تغيي تم ب از سيس فد ر خواهن انس ورودی تغيي فرک
. نمود ابع ● ا ت ه ب اگر سيستم عمومی ک
ديل )تب ) ( )( )sPsQsG ايش = نم
ه (داده می شود )ک )sQ و( )sP ر حسب ه ايهای ب د جمل ا )می باشند sچن ، تحت ورودی سينوسی ب .می شود قرار گيرد، نسبت دامنه خروجی حاصل با رابطه زيربيان ϖفرکانس
( ) ( )ωω jGjGofulusAR == mod
)که درآن )ωjG با جايگزينیωj باs در معادله( )sG د شد ال . حاصل خواه دار انتق بطور مشابه مق :فاز با رابطه زير تعريف می شود
( )ωφ jGshiftphase ∠== وم ● ی معل رای ورودی سينوس )ب )θω += tXtx sin)( کل ه ش ی ب ی سينوس خروج
( ) ( )( )ωθωω jGtjGXty ∠++= sin)( خواهد بود .
.را بدست آوريد s/1و انتقال فاز برای سيستم با تابع تبديل ARمقدار :١مثال
( ) 1G ss
=
:جايگزين می نمائيم sرا با jωپارامتر
( ) 1 1 10jG j jj j j
ωωω ω ω ω
= = = −
:، مقادير اندازه و زاويه عبارتند با y = a + j bبرای عدد مختلط با شکل 2 2 1, tan by a b y
a− ⎛ ⎞= + ∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠
:بنابراين
( )
( )1 1
1
tan 90 tan
AR G j
or
ωω
φ φ− −
= =
= −∞ = − = − ∞
0 2 4 6 8 10
1
0
1
x t( )
y t( )
z t( )
t
x t( ) sin t( ):= y t( ) sin tπ
3+⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
:= z t( ) sin tπ
3−⎛⎜
⎝⎞⎟⎠
:=
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٣صفحه
ه ازاء ورودی :٢مثال ديل را ب ابع تب ا ت ه سيستم ب از و نسبت دامن )انتقال ف )603sin2)( += ttR .تعيين نمائيد
( )1
4+
=ω
ωj
jG
−1jωبا ضرب صورت و مخرج کسر در + :
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2 2
2 2
2 2 2
21 1
2
1
2
4 4 4 41 1 1
4 4 41 1 1
41tan tan4
13
4 4 1.3 & tan 3 71.57103 1
sin 2 1.3 sin 3 60 71.57
2.6sin 3 11.57 2.6si
jG j j
G j
G j
Y a G j t Y t
Y t
ω ωωω ω ω
ωωω ω ωω
ωφ ω
ωω
ω φ
ω ω ϑ φ
− −
−
− += = −
+ + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +⎛ ⎞−⎜ ⎟+= = −⎜ ⎟⎜ ⎟
+⎝ ⎠=
= = ≈ = − = −+
= + + → = + −
= − ≈ ( )n 3 12t −
Tutorial Question سئواالت درسیتالف .١ ه و اخ ال(نسبت دامن ه در معرض ورودی ) انتق ر چنانچ ديل زي ابع تب ا ت تم ب رای سيس از را ب ف
و انتقال فاز با فرض اينکه مقدار ARمقدار . قرار گرفته است را تعيين نمائيد ϖسينوسی با فرکانس .باشد را بدست آوريد rad / s 10فرکانس سيگنال برابر
( )1
3+
=s
sG
General Frequency Transfer Functionروابط کلی توابع تبديل فرکانسیRelations
ر ابق زي ا مط ه ايه بت حاصلضرب چندجمل ی بصورت نس ت کل وان در حال ی ت ديل فرکانسی را م ابع تب ت :نوشت
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( )ω
ωω
ωωζωω
ωωω
jGK
jjTjj
TjTjKjG
m
nna
m
rm
′=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++
++=
22
21
1211
11
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ۴صفحه
ا . مقدار بهره ثابت می باشد mKکه لگاريتم تابع تبديل مقداری مختلط است که بخش حقيقی آن متناسب ب .لگاريتم اندازه و بخش موهومی متناسب با زاويه است
:رابطه اندازه •( )
( ) ( ) −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++−+−
−+++++=
22
21
1211
)1()1(
ωω
ωωζω
ωωωω
jjLmTjLm
jmLmTjrLmTjLmLmKjLmG
nna
m
:رابطه زاويه •( )
( ) ( ) −⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++∠−+∠−
∠−++∠++∠+∠=∠
22
21
1211
)1()1(
ωω
ωωζω
ωωωω
jjTj
jmTjrTjKjG
nna
m
:رابطه زاويه را می توان بصورت زير نوشت( )
−−
−−
−+++∠=∠
−−
−−
2211
21
11
12tantan
90tantan
n
na
m
T
mTrTKjG
ωωωζω
ωωω
.می باشد 180يا 0به ترتيب آنمقدار زاويه مقداری ثابت ولی مثبت يا منفی است لذا Kmبهره ● . می باشند ωهر دو رابطه توابعی از •انس منحنی های منحنی های لگاريتم دامنه برحسب لگاريتم فرکانس و • ر حسب لگاريتم فرک ه ب زاوي
.بود ناميده می شوندر • ا متغي ه ب ر حسب زاوي ه ب اين دو منحنی را می توان با يکديگر ادغام نمود که منحنی لگاريتم دامن
. ناميده می شود منحنی نيکولزفرکانس حاصل خواهد شد که . ناميده می شود نحنی نايکوئيستمکه زاويه با متغير فرکانس –همچنين منحنی قطبی اندازه •
:برخی از تعاريف پايه لگاريتمی عبارتند ازده "log"عبارت مخفف . لگاريتم عدد مختلط عددی مختلط است (Logarithm): لگاريتم ● نشان دهن
.می باشد ١٠لگاريتم در مبنای
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )
log log log
log 0.434
j jG j e G j e
G j j
φ ω φ ωω ω
ω φ ω
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= +⎣ ⎦
ا ● ومی متناسب ب دازه و قسمت موه اريتم ان ر لگ ی براب )قسمت حقيق )ωφ434.0 ه از . است در ادام . صرفنظر شده است 0.434ضريب
ل : (Decibel)دسی بل ● در سيستم مدار بسته، واحد مورد استفاده برای لگاريتم نسبت دامنه، دسی ب(decibel dB) ت ا . اس ی الزام ای ورودی و خروج ه متغيره ت ک ی اس م " گفتن ه ه ت ک الزم نيس . ديمانسيون باشند
ديل : (Log magnitude)دامنه لگاريتمی ابع تب ه ت )لگاريتم دامن )ωjG ان ل بي ر حسب دسی ب ه ب ک . نشان داده می شود که تابعی از فرکانس است Lmشده و با
( ) ( ) dBjGjLmG ωω log20=
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ۵صفحه
د ● او و دی ک دوده : (Octave and decade)اکت ان مح رای بي د ب او و دی ک د اکت (band)دو واح . فرکانس يا نسبت فرکانسی استفاده می شود
د فرکانسی از ● او بان ا 1fيک اکت ه 2fت 2است ک1
2 =ff
انس از . است د فرک ابراين بان ا 1Hzبن ت
2Hz 17.4همچنين پهنای باند فرکانس از . برابر يک اکتاو در پهنای باند استHz 34.8تا Hz ز ني . برابر يک اکتاو است
انس مورد نظر ١الزم به تذکر است که ● د فرک ه بان وده و بستگی ب ابتی نب اکتاو پهنای باند فرکانسی ث : برابر است با 2fتا 1fتعداد اکتاو در محدوده فرکانسی بين . دارد
( ) octavesffff
1
212 log32.32log
log=
زايش ● د ١اف ا 1fاز (decade 1)دی ک ه 2fت 10هنگامی حاصل می شود ک1
2 =ff
ذا . باشد ل
داد . می باشد 1decadeبرابر 25Hzتا 2.5Hzيا از 10Hzتا ١باند فرکانسی از ذا تع decadeل
decadeبرابر با 2fتا 1fازff
1
2log می باشد .
Number Decibels Number Decibels0.01 -40 2.0 6 0.10 -20 10.0 20 0.50 -6 100.0 40 1.00 0 200.0 46
.افزايش می يابد dB 6دسيبل آن مقداردو برابر شدن عدد : ١خاصيت .بل افزايش می يابددسی ٢٠، مقدار دسيبل آن ١٠با افزايش عدد با مضرب : ٢خاصيت
Bode Diagrams دياگرام بود
يگنال ● رل ) سينوسی(س ای کنت تم ه ديل سيس ابع تب ی ت يگنال سينوسی ورودی را خروج حاصل از س :با دو نمودار مجزا نشان داد که اين دو نمودار عبارتند ازمی توان
o برحسب فرکانس) به دسی بل(نمودار تغييرات دامنه o بر حسب فرکانس) درجهبه (زاويه فاز
.که هر دو منحنی بصورت منحنی نيم لگاريتم برحسب لگاريتم فرکانس ترسيم می شوند)(بيان لگاريتم دامنه ● ωjG بصورت)(log20 10 ωjG و واحد آن دسی بلdB است . از يک سيستم ● ال ف ه و انتق رات نسبت دامن ايش چگونگی تغيي رای نم ود روشی گرافيکی ب دياگرام ب
. بخصوص با تغيير فرکانس سيگنال سينوسی ورودی می باشد
)سيستم انتگرال گيربا تابع تبديل : مثال )s
sG 1 :را در نظر می گيريم =
:بيان شده باال عبارتند ازنسبت دامنه و انتقال فاز بنابر مطالب ●
90,1−== φ
ωAR
:فرکانس را نشان می دهدجدول زير مقادير فوق به ازاء تغييرات ●
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ۶صفحه
ω AR 20log(AR) φ 0.01 100 40 dB -90o 0.1 10 20 dB -90o 1.0 1 0 dB -90o 10 0.1 -20 dB -90o 100 0.01 -40 dB -90o
ود ● ر دو منحنی است . اين مقادير را می توان ترسيم نم ود مشتمل ب اگرام ب رای : دي ARمنحنی اول ب
ب ( ر حس ی ) dBب و دوماز می باشد . برای انتقال ف
اس ی در مقي ر دو منحن همی نيم لگاريتمی ترسيم
وند اگرام. ش رای دي ود ب برو اال بصورت روب ال ب مث
:خواهد بود
: مزيت اصلی دياگرام بود .ضرب دامنه ها به جمع تبديل می شوند ●ی ● روش ساده ای برای رسم تقريبی منحنی های لگاريتم دامنه وجود دارد که می توان اطالعات تقريب
.مناسبی از سيستم بدست آورداز شده و اطالع ● ات خوبی به عالوه در فرکانسهای پائين به علت استفاده از لگاريتم فرکانس منحنی ب
.از سيستم نمايان می شود .با روشن بودن منحنی پاسخ فرکانسی، می توان تابع تبديل سيستم را تعيين نمود ●
Drawing the Bode Plotsترسيم دياگرام بود . خصوصيات منحنی بود بيان گرديد ● . از کامپيوتر استفاده می شود" برای رسم منحنی بود معموال ● . ارائه گرديد" شکل عمومی تابع تبديل فرکانسی قبال ● :صورت و مخرج اين توابع دارای چهار فاکتور زير می باشند" معموال ●
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٧صفحه
( )( )
( )m
nn
m
mm
jj
j
j
K
±
±
±
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
+
22
121
1
ωω
ωωζ
ω
ω
انس رسم شده و " معموال ● ر حسب فرک ادير ب با استفاده از خاصيت لگاريتم و در رابطه اندازه اين مق .شوندسپس اثرات آنها با يکديگر جمع می
:mKفاکتور بهره ر صفر درجه . بهره خط راستی با شيب صفر به اندازه زير است Lmدياگرام ● ه آن براب اگرام زاوي دي
.است
deg00tan
log20
1 ==∠
=
−
mm
mm
KK
dBKLmK
)فاکتور ) mj ±ω: دازه ● اگرام ان )دي ) mj ±ω يب ا ش فر و ب octavedBmاز ص ا 6±/ decadedBmي /20±
. می شود شروع .درجه است ±90mدياگرام زاويه برابر ●
( ) ( )
( ) 900
tan
log20log20
1 mmj
mjjLm
m
mm
±=±=∠
±==
−±
±±
ωω
ωωω
)فاکتور ) mTj ±+ ω1 : Tcاين فاکتور دارای فرکانس شکست در ● 1=ω است . انس « ● هفرک ا گوش د را : شکست ي ی يابن ه شکست م اريتم دامن ای لگ ب ه ه در آن مجان فرکانسی ک
».گوشه می نامند شکست يافرکانس دازه از صفر شروع می شود ● ا شيب . منحنی لگا ريتم ان انس شکست دارای مجانب ب منحنی در فرک
octavedBm decadedBmيا 6±/ . می باشد 20±/ . تغيير می نمايد ±90mنی زاويه بين صفر تامنح ●
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٨صفحه
( ) ( ) [ ]( ) TmTj
TmTjTjLmm
mm
ωω
ωωω1
21
22
tan1
1log201log201−±
±±
±=+∠
+±=+=+
)مقايسه منحنی بود دو تابع تبديل : مثال )1
11 +
=s
sG و( )( )22 1
1+
=s
sG
):فاکتور مرتبه دو )m
nn
jj±
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ 2
2121 ωω
ωωζ
cاين فاکتور دارای فرکانس شکست در ● nω ω= است . دازه از صفر شروع می شود ● ا شيب . منحنی لگا ريتم ان انس شکست دارای مجانب ب منحنی در فرک
octavedBm decadedBmيا 12±/ . می باشد 40±/
. تغيير می نمايد ±180mزاويه بين صفر تامنحنی ●
مجانب decaded /20 B−
مجانب decaded /40 B−
فرکانس شکست
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٩صفحه
( ) ( )
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
±=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+∠
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−±=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+±=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−
±
±
2
212
2
21
2
2
2
22
22
1
2
tan121
21log20
121log20121
n
n
m
nn
nn
nn
m
nn
mjj
m
jjmjjLm
ωω
ωζ
ωω
ωωζ
ωζ
ωω
ωω
ωωζω
ωω
ωζ
)برای رسم دياگرام باال( :Matlabکاربرد ●for i=0.1:0.1:1; num=1;dnm=[1 i 1];
ω15 nω 5 nω
nω
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ١٠صفحه
bode(num,dnm);hold on end
m=2با نمای منفی و ٢دياگرام بود برای سيستم مرتبه : مثال
( ) ( )2
22
121−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ω
ωω
ωζω jjjG
nn
٢عامل رسته دامنه یمجانب هاتعيين nωωدر ٢فرکانس گوشه برای عامل مرتبه • :چون. می باشد = :از رابطه دامنه داريم ●
2 22
22
120log 20log 1 2
1 2n n
n n
GM
j j
ω ωζω ωω ωζ
ω ω
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
nωωمالحظه می شود که اگر ● :در اينصورت >>
2
120log 20log(1) 0
1 2n n
GM
j jω ωζω ω
= ≈ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
rω
rM
nω
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ١١صفحه
nωωو چنانچه ● :در اينصورت <<
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=n
2n
2
2
nn
log40log20
jj21
1log20GMωω
ωω
ωω
ωωζ
nωωاگر بطور مثال ● :شود خواهيم داشت =10
decdBGM
n
n
n
40)10log(4010log40log40 −=−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
ωω
ωω
ه برای عا • انس گوشه ٢مل مرتب د فرک )(باي nω ی سيستم بدست آورده و ζ)(و ضريب ميرائ .منحنی را ترسيم نمائيم
)فرکانس تشديد • )rω و قله تشديد( )rM: :عبارتست از ٢مالحظه شد که دامنه عامل رسته
22
2
22
21
1)(
21
1)(
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=→
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
nnnn
jG
jj
jG
ωωζ
ωω
ω
ωω
ωωζ
ω
)(ماکزيمم مقدار ωjG در فرکانس تشديد ، تشديد ناميده می شودکه)( rω اتفاق می افتد. :می توان نشان داد که
707.0021 2 ≤≤−= ζζωω nr :تشديد عبارتست از) قله(و دامنه
2121)()(
ζζωω ωω −
=== = r
jGjGM Maxr
rM=1:خواهيم داشت ζ<707.0به ازای :عبارتست ازهمچنين زاويه فاز در فرکانس تشديد
ζζ
ωω
ωωζ
ωφ
ζωω
ωω
21
21
21 21tan
1
2tan)(
2
−−=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=∠= −
−=
−=
n
r
n
nr jG
rM برای سنجش پايداری نسبی سيستم مدار بسته استمعيار مناسبی .
rM است فراجهش بزرگ در پاسخ گذرای سيستمبزرگ بيانگر .
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ١٢صفحه
ا طوری طراحی می شوند اکثر سيستم هه دارای دوده rMک ی 2.1در مح ال
.باشند 4.1معياری برای سنجش rωفرکانس تشديد
.است سيستم مدار بسته سرعت پاسخ rω انگر ر بي دن بزرگت ر ش ريع ت س
. است سيستم
ه د است، M≤21در سيستمهای کنترل مدار بسته، محدوده فرکانسی ک ای بان ده پهن می نامي .شود
ذر هایدر سيستم ائين گ ر پ 1@0( فيلت == ωM( د ای بان انس قطع bω، پهن ر فرک cωبراب .می باشد
. رت قابل مالحظه ای تضعيف می شودوسيگنال خروجی از سيستم در باالتر از اين فرکانس، بص .فيلتر نمودن اغتشاشات ورودی به سيستم است) ويژگی حذف( بطور عام، پهنای باند معياری برای :ای باند با فرکانس طبيعی و ضريب ميرائی سيستم بصورت رابطه زير می باشدنرابطه په
422 44221 ζζζωω +−+−= nb
( )ωjM1
0
707.0
cω ω
Bandwidth
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ١٣صفحه
.برای سيستم مدار بسته با فيدبک واحد زير دياگرام بود را بدست آوريد: مثال
:ستم فوق عبارتست ازيخالصه نکات الزم برای رسم منحنی بود برای تابع تبديل مدار باز س
Angle Characteristics
Log Magnitude »Lm«
Corner Frequency
»cfω«
Factor
:مقدار ثابت :مقدار ثابت
dB12+ 4 .وجود ندارد
−90: ثابتمقدار
ا ت ب يب ثاب ش ( )10 =ωatdB
.وجود ندارد
ا از −90ت .متغير است
يب انس 0ش ا فرک تيب ت؛ ش شکس
decadedB /20− .از فرکانس شکست پس
( )118 ωatdB
5.01 =ω ( ) 121 −+ ωj
ا از ت .متغير است
يب انس 0ش ا فرک ت شکست؛
شيبdecadedB /20+
.از فرکانس شکست پس( )26 ωatdB−
0.22 =ω ( )ω5.01 j+
ا 0از −180ت .متغير است
يب انس 0ش ا فرک ت شکست؛
decadedBشيب /40− .از فرکانس شکست پس
( )318 ωatdB−
( )[ ]
82.0
125.005.01 12
==
++ −
n
jj
ωζ
ωω
:دياگرام بود حاصل به تفکيک و در مجموع برای سيستم مذکور عبارتست از
0
decadsdB /20−( ) 1−ωj
0
090+
0.83 =ω
_ + )j(R ω )j(C ω ( )
( )[ ]2)125.0j(05.0j12j1j5.0j14
ωωωωω+++
+
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ١۴صفحه
-30
-20
-10
0
10
20
30
40M
agni
tude
(dB)
10-1 100 101 102-91
-90.5
-90
-89.5
-89
Phas
e (d
eg)
4/jω
Frequency (rad/sec)
-50
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
10-2 10-1 100 101 102-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
1/(2jω+1)
Frequency (rad/sec)
12 dB
0.5cω =5cω 5 cω
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ١۵صفحه
0
5
10
15
20
25
30
35M
agni
tude
(dB)
10-1 100 101 1020
45
90
Phas
e (d
eg)
0.5jω+1
Frequency (rad/sec)
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Mag
nitu
de (d
B)
10-1 100 101 102-180
-135
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
1/((0.125jω)2+0.05jω+1)
Frequency (rad/sec)
5cω 2cω = 5 cω
8cω = 10 cω 0.1 cω
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ١۶صفحه
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40M
agni
tude
(dB)
10-1 100 101 102-300
-200
-100
0
100
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
4jω
ω211j+
decadsdB /60−
( )2125.005.011
ωω jj ++
( )ω5.01 j+
decadsdB /40−
decadsdB /20−
( )ω5.01 j+
( )2125.005.011
ωω jj ++
ω211j+
4jω
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ١٧صفحه
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ١٨صفحه
:مثالN تابع تبديل سيستم مربوطه عبارتست از. سيستم مرتبه اول سری حلقه باز را در نظر می گيريم:
( ) ( ) ( ) ( )
( )111 2
2
1
1
21
+++=
=
sTK
sTK
sTKsG
sGsGsGsG
N
N
N
( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
( )
( )1
log20
log20log20
log20
log20
1
11
21
21
+=
++
+=
×××=
=
ωω
ω
ωω
ωωω
ω
jTKjG
jG
jGjGGain
jGjGjGGain
jGGain
N
dB
NdB
dB
:ولی
( ) ( )( )
( )N
N
N
dB
TTTjG
TK
TK
TKGain
TK
T
TKjG
TTjKK
jTjT
jTK
jTK
ωωωφφφφωφ
ωω
ω
ωω
ωω
ωω
ωω
ωω
tantantan
1log20
1log20
1log20
11
1
111
11
21
21
221
222
1
221
1
221
1222
1
221
21
1
221
111
1
1
1
1
1
1
−−−−=+++=∠=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+++
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+
+⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+=
+=
+
+=
+−
=+−+−
+=
+
.و زاويه فاز سيستم با تابع تبديل زير را می توان به روش بيان شده بدست آورد ARدر حالت کلی ●
( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )sTsTsTs
sTsTsTKsGnba
mOPENLOOP +++
+++=
111111 21
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ١٩صفحه
nb
a
m
dBOPENLOOP
TjTj
Tjj
TjTj
TjKG
ωω
ωω
ωω
ω
+−−+
−+−−
++++
+++=
1log201log20
1log20log20
1log201log20
1log20log20
2
1
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( )n
ba
m
OPENLOOP
n
ba
m
OPENLOOP
T
TT
T
TTjG
TjTjTjj
TjTjTjKjG
ω
ωω
ω
ωωω
ωωωω
ωωωω
1
11
12
11
1
21
tan
tantan90
tan
tantan0
111
111
−
−−
−
−−
−−
−−−
++++=∠
+∠−−+∠−+∠−∠−
+∠++∠++∠+∠=∠
K مثبت فرض شده است.
)Bode Stability Criteria( معيار پايداری بود پايداری نسبی سيستم برای کنترل . دياگرام بود بخصوص برای تعيين پايداری نسبی سيستم مفيد می باشد
ور انس عب از فرک ه در آن (phase crossover frequency ωco)ف است، φ=−180، فرکانسی که . می شود تعيين ر بهره دامن انس (AR)اگ ن فرک وچکتر از در اي ا ( 1ک )ي )20log 0AR باشد )>
دار است نشان دهنده سيستم 1برابر با ARمقدار . سيستم پايدار است . بی تفاوت يا بصورت بحرانی پاي .در فرکانس عبور موجب افزايش ميزان پايداری نسبی سيستم می شود ARهمچنين کاهش
GaindB>0به معنای آن است که بهره سيستم بزرگتر از يک است يعنی AR >1به ياد داشته باشيد که
Gain and Phase Margins حاشيه فاز و بهرهياح اری هش ره معي از و به رای ف تم ب ه سيس ايش آنک ا نم دازه ت ه ان تانه چ له از آس داری فاص ناپاي
:اين پارامترها بصورت زير تعريف می شوند. می باشند دارد،
(Gain Margin):حاشيه بهره •ا سيستم (decibel; dB)مقدار بهره به دسی بل د ت دار در آستانه که می تواند افزايش ياب یناپاي
. رديگقرار ان رياضی ا به بي ازبرابر ب دگی ف ه عقب مان دار بهره اضافی 1800-در فرکانسی ک می شود، مق
)اندازه دامنه برابر با يک يا برای آنکهمورد نياز )20log 0AR .گردد = :لذا
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٢٠صفحه
( )( ) 1
:180
=
≡→=∠
= ncyOverFrequePhaseCrossjG
FrequencyOverCrossPhasejG
OPENLOOP
PCOFo
OPENLOOP
ωωω
ωωω
:نشان دهيم، در اينصورت طبق تعريف عبارتست از GainKاگر بهره سيستم را با
frequencyOverCrossePhase
jGKGain
ωωω =
=)(
1
:و به دسی بل)(log20log20)( PCOFGG jGKdBK ω−==
)Margin Phase(:حاشيه فاز •
دار افی مق از اض دگی ف ره عقب مان ور به انس عب تم در فرک ه سيس داری ک تانه ناپاي را در آس . قرار می دهد
:فرکانس عبور بهره( ) FrequencyOverCrossGainjG GCOFOPENLOOP :1 ωωω ≡→=
:يا
( )( )20log 0 :OPENLOOP GCOFG j Gain Cross Over Frequencyω ω ω= → ≡
:حاشيه فاز عبارتست ازنشان دهيم، طبق تعريف γاگر حاشيه فاز را با
)(180
GCOFOPENLOOP jG ωφφγ
∠=+=
. پايداری سيستم می باشند معياری برای بيان حاشيه فاز و حاشيه بهره مثبتمقادير • . می باشد 0dB، فرکانسی است که در آن حاشيه بهره برابر بهره فرکانس عبور • . می باشد 1800-، فرکانسی است که در آن حاشيه فاز برابرفاز عبور فرکانس •
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٢١صفحه
ان :مثال ر بي ديل زي ابع تب ا ت ی ب وان بصورت تقريب از را می ت دار ب زل م ور دي ديناميک سرعت يک موت :نمود
( )( )( )1.032 +++=
sssK
G pOPENLOOP
از فوق در فاصله فرکانسی ی 0.01دياگرام بود پاسخ سيستم مدار ب ا فرض 100ال ه را ب ر ثاني ان ب راديد K p = 1اينکه رای . می باشد، ترسيم نمائي ز بهره الزم ب از سيستم و ني ين حاشيه های بهره و ف همچن
.گردد را تعيين نمائيد 300اينکه حاشيه فاز برابر با
22
2
22
2
01.01log20
91log20
41log20log20
01.0log209log20
4log20log20
1.0log203log20
2log20log20
ωω
ω
ωω
ω
ωω
ω
++
++
++=
+−+−
+−=
+−+−
+−=
p
p
p
KG
KG
jj
jKG
1.0tan
3tan
2tan 111 ωωω −−− −−−=∠G
:و فاز بر حسب تغييرات فرکانس را محاسبه می نمائيم ARمقادير AR
ω (rad/sec) 0.01 0.1 1 10 100 20log(Kp) 0 0 0 0 0 20log(1/(4+ω2)½) -6 -6 -7 -20 -40 20log(1/(9+ω2)½) -10 -10 -10 -20 -40 20log(1/(0.01+ω2)½) 20 17 0 -20 -40 Sum (dB) 4 1 -17 -61 -120
Φ ω (rad/sec) 0.01 0.1 1 10 100 tan-1(Kp) 0 0 0 0 0 tan-1(ω/2) 0.005 0.05 0.46 1.4 1.6 tan-1(ω/3) 0.003 0.03 0.32 1.3 1.5 tan-1(ω/0.1) 0.1 0.8 1.5 1.6 1.6 Sum (deg) -6 -50 -129 -241 -267
:شکل خواهد بود مطابقمنحنی بود حاصل
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٢٢صفحه
. می باشند 1200و حاشيه فاز 30.25dBبا رجوع به منحنی مقدار حاشيه بهره
حاشيه بهره
فازحاشيه
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٢٣صفحه
ر از براب ه 300برای آنکه حاشيه ف ا φباشد الزم است ک ر ب ا استفاده از . باشد 1500براب بکند، مطابق شکل می قطع ω=5.1در که منحنی را φ=150فاز برای زاويه فازمنحنی
:مقدار بهره برابر است با6.1222log2022 =⇒=⇒−= pp KKAR
Matlabکاربرد :فايل زير قابل محاسبه می باشند mمنحنی ها و مقادير حاشيه بهره و فاز را با
num=1; dnm=conv([1 2],conv([1 3],[1 0.1])) OLOOP=tf(num,dnm); figure bode(OLOOP); grid figure margin(OLOOP); [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(OLOOP); Margins = [Gm Wcg Pm Wcp] Gain=20*log10(Gm)
-150
بهره حاشيه درجه٣٠فاز
1.5
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٢۴صفحه
رابطه بين حاشيه فاز و ضريب ميرائی :را در نظر می گيريمتابع تبديل مدار باز زير مدار بسته با رسته دو سيستم
)1()()(
+=
ssKsHsGτ
τω: در آنکه Kn τζωو = 12 =n
ωjs: برای بررسی پاسخ فرکانس سيستم می گيريم ≡
( ) ( ) ( )n
n
jjjHjG
ζωωωωωω
2
2
+=
ر ه براب gωωدر فرکانس عبور بهره ک يم، = )فرض می کن ) ( ) 1=ωω jHjG می باشد . :بنابراين
( ) ( )2 2
2 2 2
4 2
1 12 4
4 1 2
g
n n
n g g n
g n
j jω ω
ω ωω ω ζω ω ω ζ ω
ω ω ζ ζ
=
= =+ +
= + −
:زاويه فاز در اين فرکانس عبارتست از هک
( )
( )ζ
ζζω
ζωω
ω
2214
tan90
2tan90
241
1
−+−−=∠
−−=∠
−
−
g
n
gg
jG
jG
:و حاشيه فاز سيستم عبارتست از
24
1
241
214
2tan
2214
tan90
ζζ
ζζ
ζζ
−+=Φ
−+−=Φ
−
−
M
M
.که بيانگر رابطه حاشيه فاز سيستم با ضريب ميرائی است
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٢۵صفحه
سئواالت درسی :سيستم عمق ياب يک زيردريائی دارای اجزاء زير است .٢
کنترل کننده تناسبی • .و بهره واحد 0.4sو 1sدو تابع تبديل رسته يک در مسير پيشروبا ثابت های زمانی • و بهره واحد 0.25sبا ثابت زمانی (first order lag)مدار پسخور عقب ماندگی درجه يک •
:مطلوبست دياگرام بلوکی سيستم - تابع تبديل مدار باز - تابع تبديل مدار بسته - بهره واحد برای کنترل کننده تناسبی حاشيه های فاز و بهره با مقدار - .باشد 3dBمقدار بهره کنترل کننده تناسبی برای آنکه حاشيه بهره برابر -بهره کنترل کننده و واحد بهره کنترل کننده تناسبیترسيم دياگرام بود برای هر دو حالت با -
dB3برای داشتن حاشيه بهره تناسبی :سيستم بصورت شکل زير خواهد بود دياگرام بلوکی: حل
:ابع تبديل مدار باز و مدار بسته سيستم عبارتند ازت ●
)1(2033152)4(5
)()(
)25.01)(4.01)(1(
23 +++++
==
+++=
KssssK
sXsCCLTF
sssKGOPENLOOP
G s( ) K1
1 s+⋅
11 0.4s+⋅:= H s( )
11 0.25s+
:=
CLTF s( )G s( )
1 G s( ) H s( )⋅+:=
CLTF s( ) simplify 5. K⋅4. s+( )
20. 33. s⋅+ 15. s2⋅+ 2. s3
⋅+ 20. K⋅+( )⋅→
:حاشيه های بهره و فاز مطابق تعريف عبارتند از ●
o حاشيه بهره بهdB از )، بهره ای است که به ازاء فرکانس قطع ف )180−=φ از منحنی .دامنه قرائت می شود
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٢۶صفحه
o ه، حاشيه فاز ه زاوي أخيری ب ه ت ه )پسفازی الزم ( زاوي د ب ه باي از سيستم در است ک ه ف زاويرار ( اضافه شود −180رسيدن به تا فرکانس قطع بهره داری ق ا سيستم در آستانه ناپاي ت
.)گيرد
o ره يه به ه :حاش ه زاوي ه از رابط ت ک از اس ورد ني از م ه ف ت زاوي انس شکس فرک :محاسبه می نمائيم
( ) ( ) ( ) 18025.0tan4.0tantan 111 −=−−−= −−− ωωωφ
ه از ب ه ف يدن زاوي ا رس انس ت ر فرک ا تغيي ا ب ه ي ود ک به نم از را محاس ع ف انس قط وان فرک ی ت مانس شکست −180 و يا با حل معادله غيرخطی زاويه و بدست آوردن ريشه آن می توان فرک
. فاز را محاسبه نمود
انس قطع حدودا : با تغيير فرکانس) الف ه فرک ر مشاهده می شود ک ر " که مطابق جدول زي برابsec05.4 radcG ≈ω است.
ω φ
1 -80
2 -129
4 -179
4.1 -180.6
4.05 -179.8
:لذا حاشيه بهره عبارتست از ●( ) ( ) ( )
06.21)25.0(1log20)4.0(1log201log20 222
−=
+−+−+−=
GMGM ωωω
:با استفاده از حل معادله) ب : Mathcadکاربرد ●
ω 1:= ... initial guess value
Given
atan ω( )− atan 0.4ω( )− atan 0.25ω( )− π−
ω Find ω( ):= ω 4.062=
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٢٧صفحه
GainMargin 20− log 1 ω2
+⎛⎝
⎞⎠⋅ 20 log 1 0.42
ω2
+⎛⎝
⎞⎠⋅− 20 log 1 0.252
ω2
+⎛⎝
⎞⎠⋅−:=
GainMargin 21.119−=
از انس قطع :حاشيه ف اال فرک ده ب ان ش ه دو روش بي وان ب ز می ت از ني رای محاسبه حاشيه ف ره را ب به .بدست آوردمحاسبه و مقدار حاشيه فاز را
sec01.0در فرکانسی حدود ) الف rad≈ω ل ه دسی ب می توان مشاهده کرد که مقدار دامنه ب
:لذا. است) 1يا مقدار اندازه در حدود (در حدود صفر ( ) ( ) ( )
1.179180arg
95.0
01.025.0tan01.04.0tan01.0tan 111
=→+=
−=
×−×−−= −−−
PMinMPhase φ
φ
φ
φ atan 0.01( )− atan 0.4 0.01⋅( )− atan 0.25 0.01⋅( )−:= φ180π
⋅ 0.945−=
γ 180 φ180π
⋅+:= γ 179.1=
:از روش محاسباتی) ب
:Mathcadکاربرد ●ω 1:= K 1:=
f ω( ) 20 log K( )⋅ 20 log 1 ω2
+⎛⎝
⎞⎠⋅− 20 log 1 0.42
ω2
⋅+⎛⎝
⎞⎠⋅− 20 log 1 0.252
ω2
⋅+⎛⎝
⎞⎠⋅−:=
ω root f ω( ) ω,( ):= ω 0.012=
3dBحاشيه بهره داشتن مقدار بهره کنترل کننده تناسبی برای محاسبه - :بهره سيستم عبارتست از
( )( )[ ] ( )[ ]22
2
25.01log204.01log20
1log20)log(20
ωω
ω
+−+−
+−= KGM
از سيستم از رابطه بهره سيستم را در dB3برای داشتن حاشيه بهره دار ب ديل م ابع تب ، مقدار بهره ت
:فرکانس عبور فاز محاسبه می نمائيم
( )( )[ ] ( )[ ]
GCOFGCOF
GCOF
KdB
ωω
ω
ωω
ω
22
2
25.01log204.01log20
1log20)log(203
+−+−
+−=−
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٢٨صفحه
053.810
119.21)log(203
203119.21
=→=
−=−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
KK
KdB
ا - ط مربوطه و ترسيم آنه از از رواب دازه و ف ادير ان دياگرام بود سيستم با تغيير فرکانس و محاسبه مق :در روی منحنی نيم لگاريتم مطابق شکل بدست خواهد آمد
( )( )[ ] ( )[ ]
)25.0(tan)4.0(tan)(tan
25.01log204.01log20
1log20)log(20
111
22
2
ωωω
ωω
ω
−−− −−−=
+−+−
+−=
PM
KGM
1منحنی های بود سيستم با بهره کنترل کننده تناسبی برابر ) الف
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٢٩صفحه
dB3برای داشتن حاشيه فاز K=05.8منحنی های بود سيستم با بهره کنترل کننده تناسبی ) ب
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٣٠صفحه
:نمودموقعيت يک بازوی روبات را می توان با استفاده از تابع تبديل زير تعيين .٣
( ) ( )( )212
++=
ssssG
رای سيستم ود ب اگر کنترل کننده تناسبی با بهره واحد نيز در سيستم کنترل بکار رفته باشد، دياگرام ب .راديان برثانيه را رسم نمائيد 10تا 0.1مذکور بين فرکانس های
.بحث کنيدهمچنين مقادير حاشيه فاز و حاشيه بهره را محاسبه و در مورد پايداری سيستم
:تذکر
ود ز ترسيم نم ی ني ن حالت صورت و . همانگونه که بيان شد می توان منحنی بود را بصورت تقريب در ايمخرج تابع تبديل مدار باز سيستم بصورت حاصلضرب عوامل اول نوشته شده و فرکانس گوشه هر عامل
ترسيم و با توجه " عوامل را انفراداسپس در منحنی دامنه فرکانس های گوشه و مجانب . تعيين می گرددی ه را بصورت تقريب ائی دامن به اينکه در منحنی نهائی کليه عوامل با يکديگر جمع می شوند، منحنی نه
همچنين منحنی فاز هر عامل نيز بصورت تقريبی و با توجه به رفتار هر عامل ترسيم و . ترسيم می نمائيمه . ی های تقريبی فازهای عوامل حاصلضرب ترسيم می شود منحنی فاز سيستم نيز از حاصل جمع منحن ب
.مثال زير توجه نمائيد
:برای هريک از توابع تبديل زير -مسئله
رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________
٣١از ٣١صفحه
)255()30()()
)50)(1()10()()
)5)(2(10)()
2 −++
=
+++
=
++=
sssssGc
ssssGb
ssssGa
i. بيان تحليلی برای توابع اندازه و زاويه فاز بر حسب فرکانس را بدست آوريد. ii. ديل را –بر روی منحنی لگاريتم ع تب يم لگاريتم منحنی مجانب های هر يک از تواب ا ن لگاريتم ي
.رسم نمائيدiii. از روابط تحليلی مقادير دقيق بهره در فرکانس های عبوررا تعيين نمائيد .
top related