Polar Plots G() G() G( jω) jkiau.ac.ir/~automatic_control/Lectuers/Chap_9_2_Polar...ﺮﺒﺠﻧر :ﻩﺪﻨﻨﮐ ﻪﻴﻬﺗ ﺰﻟﻮﮑﻴﻧ و ﺖﺴﻴﺋﻮﮑﻳﺎﻧ

رنجبر: تهيه کننده دياگرام نايکوئيست و نيکولز - پاسخ فرکانسی کنترل اتوماتيک -------------------------------------------------------------------------------------------- ------------------------ -

٢٢از ١صفحه

tsoPl Polar: قطبی های منحنیی ديل فرکانس ابع تب ی ت ودار قطب )نم )ωjG ه ودار دامن )نم )ωjG ه ب زاوي ر حس )ب )ωjG در

. رسم می شود ∞تا از صفر ωاست که با تغيير مختصات قطبی )()(يا نمودار قطبی مکان هندسی بردار ωω jGjG .از صفر تا بينهايت است ωبه ازاء تغيير ∠ل استخراج مؤلفه های حقيقی و موهومی بردار مذکور به ازاء فرکانس مشخص بر روی محورها قاب

.باشندمی .مزيت نمودارهای قطبی نمايش رفتار سيستم به ازاء تمامی فرکانس ها بر روی يک منحنی است .از معايب آن روشن نبودن اثر تک تک عوامل سازنده تابع تبديل می باشد .ناميده می شود plot Nyquistنمودار نايکوئيست نمودار قطبی به نام .استجهت زاويه نشان داده شده جهت منفی

عوامل تشکيل دهنده تابع تبديل)عامل انتگرال گير و مشتق گير .١ ) 1±ωj

:گير را در نظر می گيريمانتگرالعامل 1 1 1( ) ( 90 )G j jj

ωω ω ω

= = − = ∠ −

.که نشان دهنده بخش منفی محور موهومی است .گير، بخش مثبت محور موهومی خواهد بودمشتق منحنی قطبی برای عامل : تذکر

)عاملهای مرتبه اول .٢ ) 11 ±+ ωjT

[ ])(Re ωjG

[ ])(Im ωjG

0=ω

∞=ω

)( ωjG∠

)( ωjG


٢٢از ٢صفحه

:تابع تبديل زير را در نظر می گيريم

( )1

2 2

1 1( ) tan1 1

G j Tj T T

ω ωω ω

−= = ∠−+ +

.نمودار قطبی سيستم مرتبه يک بصورت زير خواهد بود رسم منحنی قطبی سيستم مرتبه يک : MatLabکاربرد

% Matlab Script T=1:4:21 length(T) for k=1:length(T) omega = 0:0.01:100; G=1./(1+(omega*T(k)).^2)-i*(omega*T(k))./(1+(omega*T(k)).^2); plot(real(G),imag(G),'-o') axis equal hold on end

ت، منحنی نايکوئيست : تذکر ا نمای مثب ه يک ب ر برای سيستم مرتب دار حقيقی براب ا مق خط راستی ب

!يک به موازات محور موهومی است

221 TTωω+

1G jTω

⎛ ⎞∠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2211

Tω+

1G jTω

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0=ω∞=ω

1=Tω


٢٢از ٣صفحه

عاملهای مرتبه دوم .٣

1

2

2

21±

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

nn

jjωω

ωωζ

ζ<0با فرض : تابع تبديل زير را در نظر می گيريم

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

2

2

21

1)(

nn

jjjG

ωω

ωωζ

ω

.نمودار قطبی سيستم فوق بصورت زير خواهد بود رسم منحنی قطبی سيستم مرتبه دو : Matlabکاربرد

omegal=1 zeta=[0.2 0.4 0.6 0.8] for k=1:length(zeta) omega = 0:0.01:100; a=1-omega.^2/omegal^2; b=2*zeta(k)*omega/omegal; c=a.^2+b.^2; GH=a./c-i*b./c; plot(real(GH),imag(GH),'-o') hold on end grid title('Real - Imag graph of second order system') legend('Natural Frequency = 1') xlabel('Real Axis');ylabel('Imag Axis') gtext('zeta = 0.2') gtext('zeta = 0.4') gtext('zeta = 0.6') gtext('zeta = 0.8')


٢٢از ۴صفحه

شکل نمودارهای قطبی :بصورت زير ردر نظر می گيريمتابع تبديل عمومی مدار باز سيستم کنترل را

( )( )( ) ( )( )1 2

1 1( )

1 1a bK j T j T

G jj j T j Tλ

ω ωω

ω ω ω+ +

=+ +

:نمونه منحنی های نايکوئيست برای سيستم های با درجات مختلف

سيستم نوع0

سيستم نوع1

سيستم نوع2

⊕

rM

0=ω ∞=ω

nω


٢٢از ۵صفحه

)منحنی نيکولز(نمودار لگاريتم دامنه بر حسب فاز ه ترسيم ،روش ديگر نمايش پاسخ فرکانسی ل لگاريتم دامن ر حسب دسی ب ا ب از ب ه ف ر حسب ب زاوي

.می باشددر محدوده فرکانسی مورد نظر درجه ام شده در اين منحنی دو منحنی دامنه بر حسب فرکانس و زاويه فاز بر حسب فرکانس با يکديگر ادغ

.اندده اامکان تعيين سريع پدر مزيت اين منحنی ران کنن ه بسته و مشخصات جب يداری نسبی سيستم حلق

. استالزم .ناميده می شود منحنی نيکولزاين نوع منحنی به نام :تذکر

o ديل سينوسی ع تب از تواب ر حسب ف ه ب اريتم دامن ی لگ )(منحن ωjG 1)(و ωjG ه نسبت ب :چون. متقارن می باشند أمبد

)()(

1

)()(

1

ωω

ωω

jGjG

dBjGdBjG

−∠=∠

−=

:تابع تبديل فرکانسی سيستم رسته دو زير را در نظر می گيريم

2

21

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nn

jj

jG

ωω

ωωζ

ω

:سه شکل نمايش پاسخ فرکانسی سيستم بصورت زير می باشد

rM


٢٢از ۶صفحه

0=ω∞=ω

nω

rM

rM

rω nω

0=ω

∞→ω


٢٢از ٧صفحه

)نمونه منحنی نيکولز برای سيستم با تابع تبديل -مثال ) ( )11+

=Tss

sG 10با فرض=T :

:معيار پايداری نايکوئيست

ديل پيشرو ابع تب ا ت )معادله مشخصه سيستم مدار بسته ب )sG ديل ابع تب ا ت دار پسخور منفی ب و م

( )sH بصورت( ) ( ) 01 =+ sHsG ه ريشه های د کلي تعريف شد که برای پايداری سيستم باي . باشند sدر سمت چپ محور موهومی صفحه بايدآن

از ه ب داری نايکوئيست رابطه پاسخ فرکانسی حلق ار پاي )معي ) ( )ωω jHjG داد صفرها و ا تع ب

)معادله sقطب های موجود در نيمه راست صفحه ) ( )sHsG+1 دتعيين می کنرا .

دار بسته داری مطلق سيستم م وان پاي ا کمک آن می ت ه اين نتيجه گيری بسيار مهم است زيرا ب را ب .روش ترسيمی و با استفاده از منحنی های پاسخ فرکانسی حلقه باز تعيين نمود

)بر مبنای دورهائی که مکان هندسی تحليل معيار پايداری نايکوئيست ) ( )ωω jHjG حول نقطه

j01+− می زند، می باشد.


٢٢از ٨صفحه

(Conformal Mapping)نگاشت همديس

:را در نظر می گيريم Fتابع مختلط :قضيه کوشی( )

( )( )

i

j

s zF s

s z−

=−

∏∏

:بطور مثال 1( )

( 2)( 3)sF s

s s+

=+ +

موهومی –را به نقطه ای در صفحه حقيقی sدر صفحه Stهر نقطه از منحنی Fدر اينصورت تابع .تصوير می نمايد F(St)به نقطه ای بر روی منحنی

:روابط اندازه و زاويه عبارتند از

11 1 2

2 3

( ) ( )t tlM F s F s

l lφ β α α= = = ∠ = − −

ه های ساعت طی ب را احاطه نموده است در صورتی که در جهت عقر صفریتصوير مسيری که • .دور خواهد زد ساعتجهت عقربه های شود، مبدأ را يک بار در

ه در جهت عقر قطبی تصوير مسيری که • وده است در صورتی ک ه های ساعت طی ب را احاطه نم .دور خواهد زد خالف عقربه های ساعتجهت شود، مبدأ را يک بار در

ه های ب جهت عقر تصوير مسيری که هيچ صفر يا قطبی را احاطه ننموده است در صورتی که در • . ساعت طی شود، مبدأ را احاطه نخواهد نمود

tS

)( tsFofPlot

)(Im tsF

)(Re tsF

φ

M ( )tF s

1l 2l3l


٢٢از ٩صفحه

theorem Cauchy's: قضيه کوشیرده باشد، Zقطب و تعداد Pتعداد Γاگر منحنی بسته صفر را در جهت عقربه های ساعت احاطه ک

ورت ت در اينص ی نگاش Γ=Γ)(منحن FF داد وده و تع ه نم دأ را احاط Nمب Z P= − .مرتبه مبدأ را در جهت عقربه های ساعت دور خواهد زد

کاربرد قضيه نگاشت در تحليلی پايداری سيستم مدار بسته

ابق ردی مط ته ساعت گ ير بس ريممس ر می گي : شکل را در نظ )مسير نايکوئيست(ی نهايت در سمت راست " اين مسير ه شعاع ب ره ای ب يم داي ن

تلط فحه مخ ای "ص ب ه فر و قط ه ص ه کلي ت ک اس)()(1 sHsG+ فحه ت ص مت راس ر Sدر س را در ب

.می گيرد1)()(اگر sHsG+ در داخل مسير بسته نايکوئيست

ی در ته قطب دار بس تم م ی سيس د يعن ته باش صفری نداش . نيم صفحه راست ندارد و لذا سيستم پايدار است

ت تتح )(1)()( نگاش sHsGsF داد =+ تعصفرهای معادله مشخصه در سمت راست صفحه مختلط

. می گردد مشخص :مسير نايکوئيست

:نکات حائز اهميتدوده .١ رای مح ]0,(ب ∞∈ js ت از ه عبارتس ه مشخص )(1)(:، معادل ωω jGHjF += ،

]0,(لذا محدوده ∞∈ js در دياگرام نايکوئيست بصورت)( ωjGH ه ال ب با يک واحد انتق .سمت راست تصوير می شود

دوده .٢ رای مح ),0[ب ∞−∈ js ت از ه عبارتس ه مشخص )()(: ، معادل ωω jFjF ذا −= ل]0,(تصوير محدوده مذکور برابر تصوير آينه ای بخش ∞∈ js د نسبت به محور حقيقی خواه

.)محور حقيقی متقارن استمنحنی نايکوئيست نسبت به ( .بودی .٣ ی يعن وم از منحن ش س ϕjsبخ Re= ه ت ، R→∞ک ی نگاش ط

)()(1)( sHsGsF ه =+ رج + ١ب ه مخ را مرتب د زي د ش د GHتصوير خواه ب خواه غال .بود

GHFلذا قطب های 1+∞=∞به علت آنکه .۴ د GHو 1=+ بر يکديگر منطبق خواهن .شد

ه جای رسم .۵ ابراين ب 1)(بن sGHF وانيم =+ داد گردش sGH)(می ت وده و تع را رسم نمدأ Fرا در نظر بگيريم، چون در صفحه 1-حول نقطه ) يا بردار مربوطه(منحنی ) دوران( ه مب ب

.منتقل خواهد شد

)(sG

)(sH

+

_

∞→=

∞−∈∞∈

Rwheresjsjs

j ,Re)3]0,()2

),0[)1

ϕ

Re

∞=R

∞−= js

∞+= jsIm


٢٢از ١٠صفحه

:می توان گفت که ۵بند تبيين بيشتر در ی بسته ر منحن ابق شکل زي انتور(چنانچه مط ه مشخصه سيستم ) ک نايکوئيست تحت نگاشت معادل

ته دار بس )(1)()(م sHsGsF ر =+ ردار FΓ، براب ه ب د ک دأ را sF)(باش PZNمب −= د ه های ساعت دور می زن ه مشخصه ، : Z.( مرتبه در جهت عقرب قطب های : Pصفرهای معادل

:، در اينصورت مشاهده می شود که) معادله مشخصه[ ] 1)()(1)()( −+= sHsGsHsG

تم از سيس دار ب ديل م ابع تب ت ت ل از نگاش ت حاص ير نايکوئيس ت مس ه نگاش )()(ک sHsG ر براب

GHΓ امال ه ک ود ک د ب " خواهاست که يک واحد به FΓمشابه

ت و ده اس ل ش پ منتق مت چ سردار ب

)()(1)( sHsGsF ه =+ بای دوران ول ج دأ، ح ول مب ح

ه 01نقط j+− ردش گ .می نمايد

ت ای نگاش ه ج وان ب ی ت ذا م ل)()(1)( sHsGsF و =+

دأ، داد دوران حول مب شمارش تعت )()( نگاش sHsG يم را ترس

ه ول نقط ردش ح داد گ و تع01 j+− را شمارش نمود.

j01+−0=ω ∞=ω

)()(1 ωω jHjG+

)()( ωω jHjG

GH+1

GH

GH+1

1−

01 j+−

contourGHΓcontourFΓ

planesF )( )(Im sF

)(Re sF


٢٢از ١١صفحه

:معيار پايداری نايکوئيست

ا تمی ب رای سيس ب Pب از قط دار ب تلط در م فحه مخ ت ص مت راس ورتی در س خ ص ی پاس ه منحن کاز در صفحه دار ب ه GHفرکانسی م ول نقط )01(ح j+− اعت ای س ه ه Pدر جهت خالف عقرب

.سيستم مدار بسته پايدار خواهد بود مرتبه دور بزندo در صورتی که)()( sHsG مت راست صفحه در سs دار بسته قطبی نداشته باشد، سيستم م

ت ی نايکوئيس ه منحن ت چنانچ دار اس )()(پاي sHsG ی ه بحران ه −+j01نقط را احاط .ننمايد

:اين معيار را می توان به اين صورت بيان نمود

PNZ += : که در آن

Z= 1)()(تعداد صفرهای sHsG+ در نيمه راست صفحهs

N= تعداد دور حول نقطهj01+− در جهت عقربه های ساعت

P= تعداد قطب های)()( sHsG 1)()(و همينطور sHsG+ در سمت راست صفحهs

رای • تهب دار بس تم م داری سيس د پاي د Z=0باي ذاباش د ل PN باي د =− ی باش ه نيعن قطj01+− بايدP مرتبه در جهت خالف عقربه های ساعت دور زده شود.

ر • )()(اگ sHsG مت راست صفحه د sدر س ته باش ی نداش NZدر اينصورت . قطب ی = ، يعن)()(برای پايداری مکان هندسی ωω jHjG د نقطه د −+j01نباي ن حالت . را دور بزن در اي

د ωjتنها بررسی بخش مثبت دار . برای کنترل پايداری کفايت می نماي ن حالت سيستم پاي در اي)()(در خارج نمودار نايکوئيست −+j01است چنانچه نقطه ωω jHjG قرار گيرد .

از دار ب ديل م ابع تب ا ت تمی ب رای سيس ال ب ور مث بط)1)(1(

)(21 ++

=sTsT

KsGH ه ه از همانگون ک

ی ت آن منحن نايکوئيسمی شود، به ازأ کليه مشاهده

ت ادير مثب T2و K ،T1مق .همواره پايدار است


٢٢از ١٢صفحه

داری :مثال دياگرام نايکوئيست تابع تبديل زير را رسم و در مورد پاي :آن با استفاده از معيار پايداری نايکوئيست بحث نمائيد

1

00 0 0

0 00 90 90

M K K

M K

ωϕ

ωϕ

= ⋅ =⎧= → ⎨ = + =⎩

= ⋅ =⎧= ∞→ ⎨ = − = −⎩

.دياگرام نايکوئيست تابع تبديل زير را رسم کنيد: مثال

1 0 0 0 04

0 90 90 90 270

Mω

φ

⎧ = ⋅ ⋅ ⋅ =⎪= ∞→⎨⎪ = − − − = −⎩

10 4

0 90 0 0 90

Mω

φ

⎧ = ⋅∞ ⋅∞ ⋅∞ = ∞⎪= →⎨⎪ = − + + = −⎩

( )2

2 2 2 2 2 2

1 1 ( 4 4)( ) ( )( 2) ( 2) ( 4 4) (4 ) 16

j j jG s H ss s j j j

ω ωω ω ω ω ω ω ω ω

− − − − += = = =

+ + − + + − +

000 =⇒−=−== ZZPZN

2

1 1 1 1 1( ) ( ) 1 1( 2) 4 ( 1) ( 1)2 2

G s H ss s s s s

= =+ + +

( ) ( ) ; 11 2

KG s H s Ks

= =+

0=ω ∞=ω

−∞=ω


٢٢از ١٣صفحه

( )

( )

2 2 22 2 2

2

2 2 2

4 4 1Re(4 ) 16 4(4 ) 16

0( 4)Im

(4 ) 16

GH

GH

ωω ωω ω ω

ωω

ω ω ω

− −⎧ = == → −⎪ − +− +⎪→ ⎨− − +⎪ = → −∞

⎪ − +⎩

ال اگرا:مث ت مدي نايکوئيسر را از زي دار ب تابع تبديل متم داری سيس م و پاي رسی ته را بررس دار بس م

.نمائيد

)3)(2(1)(++

+=

ssssGH

ابع ت ت ی نايکوئيس منحنر ورت زي وق بص ديل ف تب

.می باشدرز ی مح ه منحن ه ب ا توج ب

N = 0 است که

0=ω

41

−

∞=ω


٢٢از ١۴صفحه

:لذا. ندارد sاز طرفی تابع تبديل مدار باز قطبی در سمت راست صفحه 00

0=⇒−=

−==ZZN

PZN

.و سيستم پايدار است

.نايکوئيست تابع تبديل مدار باز زير را رسم و پايداری سيستم مدار بسته را بررسی نمائيد مدياگرا :مثال

)3)(2(1)(−−

+=

ssssGH

نايکوئيست منحنی وق ديل ف ابع تب تی ر م ورت زي بص

.باشده منحنی با توجه ب

ه ت ک رز اس :مح0=N

ابع ی ت از طرفاز دار ب ديل م تبب در دارای دو قطت مت راس س

فحه ت sص . اس :لذا

220

=⇒−=−==

ZZNPZN

دار تم ناپاي و سيس .است

.نايکوئيست تابع تبديل مدار باز زير را رسم و پايداری سيستم مدار بسته را بررسی نمائيد مدياگرا :مثال

)3)(2()1(7)(+−

+=

ssssGH

.منحنی نايکوئيست تابع تبديل فوق بصورت زير می باشد ه های 0j + 1-منحنی حول نقطه " N = -1با توجه به منحنی محرز است که يک دور خالف عقرب

."ساعت زده است :لذا. دارد sاز طرفی تابع تبديل مدار باز يک قطب در سمت راست صفحه

011 =⇒−=−=−= ZZPZN .است سيستم پايدار و


٢٢از ١۵صفحه

ر را بررسی :مثال پايداری سيستم با دياگرام بلوکی زي .نمائيد

161

11

116

101

116

10)(++

=++

=ssssss

sGH

1

61

11

116

10)(++

=ωωω jjj

sGH

010 1 1 11 06 1 16

90 010 ( 1) ( 1)2706

forM

forj j j

forj j j

for

ωωω ω ω

ωϕ ω ω ω

ω

= ∞ =⎧= → ⎨= = ∞+ ⎩+

= − =⎧= −∠ −∠ + −∠ + → ⎨= − = ∞⎩


٢٢از ١۶صفحه

االئی از است، از اهميت ب دار ب ديل م ابع تب ه قطب ت در ادامه بررسی نگاشت نايکوئيست حول مبدأ ک . برخودار است

ر عمل می شود ه روش زي در حالت عام در صورت وجود قطب يا صفری بر روی محور موهومی به می شود εکه دايره ای به شعاع کوچک ر در نظر گرفت درج در شکل زي سپس . با مشخصات من

.اين مسير تحت نگاشت مورد نظر تصوير می گردد

0=ω

ω = ∞

σ

ω

planeS −

∞=ω


٢٢از ١٧صفحه

ϕϕ

ϕεϕ

ϕϕϕ

ε

εεεεε

jj

jj

jjj

eeGH

eeeeeGH

−

→

∞=

⎯⎯→⎯++

=

610)(

16

10

161

11

116

10)( 0

، مسير تحت نگاشت فوق نيم دايره ای به شعاع بی نهايت مطابق شکل 90تا −90از ϕکه با تغيير .خواهد بود

: توسط منحنی −+j01بررسی احاطه نقطه o ی ور در روی محور حقيق د نقطه عب د( باي ر باصفر می باش دار موهومی براب ه مق را ) ک

:مقايسه نمائيم 1-محاسبه نموده و با :در نقطه عبور داريم

0)(Im =ωjGH

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

−=

++=

ωωωωωωω

67

61

610

161

11

116

10)(2

j

j

jjjjGH

−= 0ω

+= 0ω

ω = ∞ σ

ω

planeS −

]90;90[; −∈= ϕε ϕjes


٢٢از ١٨صفحه

238.0)(Re

/45.266

67

61

61

610Im

6

2

222

2

2 −=

==⇒=⇒

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=

=ωω

ωω

ωωω

ωω

jGH

sradGH PMCF

01که نشان می دهد نقطه j+− خارج از منحنی نايکوئيست بوده و لذا سيستم پايدار است.

.است اين نتيجه از منحنی نايکوئيست ترسيم شده نيز روشن بوده

:حد بهره و حد فاز : حد بهره و فاز مطابق شکل نشان داده شده می باشند ر ( frequencycrossoverPMωحاشيه بهره در فرکانس عبور زاويه فاز از براب ه ف درجه 180-که زاوي

:بصورت روبرو محاسبه می گردد.) می شود

)(log20)(

1log20

)(1

arg

frequencycrossoverPMfrequencycrossoverPM

dB

frequencycrossoverPM

jGHjGH

GM

jGHGM

inMGainGM

ωω

ω

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=

=

: برای مثال فوق 5.12)238.0(log20)(log20

45.2=−−=−=

=ωωjGHGM dB

ور بهره انس عب ی (حاشيه فاز در فرک از يعن دار ب ديل م ابع تب ه ت ه دامن )(ک ωjG ا يک ر ب براب

:محاسبه می گردد.) می شود

frequencycrossoverGM

inMPhasePMϕψ +=

≡0180

arg


٢٢از ١٩صفحه

106

67

61

67

61

67

61

1

67

61

610

1)(

22

22

22

22 =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

→=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

=

ωωωωωω

ωωω

ωωω

ω

jj

jj

j

j

jGH

( )

36100

100361

1061

106

106

106

67

61

61

67

2222

22222

22

2222

22

22

=+→=+

=+

→=+

+

=+−

→=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

BABA

BABABA

BAjBA

j

ωωω

ωωω

36100

3637

361)(

36100

67

61)( 246

22

22

−++=→−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ωωωωωωωω ff

-1

inMPhase arg≡ψ

frequencyCrossover:ϕωω =

GM1

دايره ای به شعاع واحد به مرکز مبدأ

ϕ


٢٢از ٢٠صفحه

:Matlabکاربرد f=[1/36 0 37/36 0 1 0 -100/36] f = 0.0278 0 1.0278 0 1.0000 0 -2.7778 >> roots(f) ans = -0.0000 + 5.9934i -0.0000 - 5.9934i 1.1017 0.0000 + 1.5144i 0.0000 - 1.5144i -1.1017

sradGMCF:پس . فقط ريشه حقيقی مورد قبول است fاز ريشه های /1017.1=ω

:که در اين فرکانس مقدار حاشيه فاز از رابطه زاويه محاسبه خواهد شد

( ) ( )[ ]

[ ] 83.3140.1077.4790180

1801816.01808337.0900180

61017.1tan

11017.1tan900180

6tan

1tan

0tan

100tan180

6110180)(180

180

11

1017.1

1111

1017.1

0

=→−−−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×−−+=

→⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

+∠−+∠−∠−∠+=→∠+=

+=

−−

=

−−−−

=

ψψ

ππψ

ψ

ωωωψ

ωωωψωψ

ϕψ

ω

ωω

radrad

jjjjGHGMCF

frequencycrossoverGM

. مثبت باشد PMو ١بزرگتر از GMسيستم هنگامی پايدار است که :معيار پايداری

ادير حاشيه بهره اال ، مق ار ب ه معي از (dB 12.5)با توجه ب ذا (◦31.83)و حاشيه ف هر دو مثبت و ل .سيستم پايدار خواهد بود

.فوق می باشنداين مقادير با استفاده از مطلب در ادامه محاسبه شده اند که مؤيد موضوع

ر می ود بصورت زي ا استفاده از مطلب منحنی های نايکوئيست و ب ل ب برای تابع تبديل مثال قب :باشند


٢٢از ٢١صفحه

ا ر ب ه ترتيب براب از ب د حاشيه بهره و حاشيه ف وان دي ا می ت @ dB 12.5 : همانگونه که از منحنی ه2.45 rad/s 31.5و deg @ 1.1 rad/s می باشند.


٢٢از ٢٢صفحه

نمودار ) نمودار قطبی، ج) نمودار بود، ب) الف. حاشيه های فاز و بهره سيستمهای پايدار و ناپايدار لگاريتم دامنه بر حسب فاز

Polar Plots G() G() G( jω) jkiau.ac.ir/~automatic_control/Lectuers/Chap_9_2_Polar...ﺮﺒﺠﻧر :ﻩﺪﻨﻨﮐ ﻪﻴﻬﺗ ﺰﻟﻮﮑﻴﻧ و ﺖﺴﻴﺋﻮﮑﻳﺎﻧ

Documents