Automatic Control Outline 9 1 Bode Plot New - kiau.ac.irkiau.ac.ir/~automatic_control/Lectuers/Chap_9_1_BodePlot.pdf · ﺮﺒﺠﻧر: ﻩﺪﻨﻨﮐ ﻪﻴﻬﺗ ﻢﻬﻧ ﺶﺨﺑ

رنجبر: م تهيه کننده نهبخش اتوماتيک سيستم های کنترل _____________________________________________________________________________

٣١از ١صفحه

)Response Frequency( پاسخ فرکانسی هنگامی که ورودی يک سيستم خطی . اين روش تحليل پاسخ سيستم کنترل به ورودی سينوسی می باشد

. بصورت سينوسی باشد، پاسخ نهائی آن نيز سينوسی با فرکانس مشابه خواهد بود . آن مقايسه می نمايد) خط چين(را با سيگنال ورودی ) خط پر(شکل زير پاسخ خروجی يک سيستم

:Matlabکاربرد %Matlab Script to draw above plot num=3;dnm=[5 1]; G=tf(num,dnm); t=0:0.1:10;u=sin(t); [Y,T]=lsim(G,u,t); plot(T,Y,'-b','LineWidth',2);hold on;plot(t,u,'--r','LineWidth',2) xlabel('time') ylabel('Amplitude') title('First Order TF (G(s)=3/(5s+1) to sin(t) input signal')

ی ● وق منحن ديل ف ابع تب ا ت تم ب خ سيس )پاس )15

3+

=s

sG ی ه ورودی سينوس )ب ) ( )ttu sin= را

. می دهد نشانه ● انگر آن است ک داری پاسخ در شکل فوق بي اد می شود فازیس پ سيستم مق ن . ايج ام عمل اي ه ن ب

. ناميده می شودنيز (phase shift)انتقال فاز


٣١از ٢صفحه

يگنال : فازیيشپ ● ی س خروجه سيگنال وورودی نسبت ب جل

.دافتمی يگنال : فازیس پ ● ی س خروج

ه سيگنال و ورودی نسبت ب جل .افتدمی

ال ● ه و انتق دار دامن ر دو مق ه

دار ر مق ا تغيي تم ب از سيس فد ر خواهن انس ورودی تغيي فرک

. نمود ابع ● ا ت ه ب اگر سيستم عمومی ک

ديل )تب ) ( )( )sPsQsG ايش = نم

ه (داده می شود )ک )sQ و( )sP ر حسب ه ايهای ب د جمل ا )می باشند sچن ، تحت ورودی سينوسی ب .می شود قرار گيرد، نسبت دامنه خروجی حاصل با رابطه زيربيان ϖفرکانس

( ) ( )ωω jGjGofulusAR == mod

)که درآن )ωjG با جايگزينیωj باs در معادله( )sG د شد ال . حاصل خواه دار انتق بطور مشابه مق :فاز با رابطه زير تعريف می شود

( )ωφ jGshiftphase ∠== وم ● ی معل رای ورودی سينوس )ب )θω += tXtx sin)( کل ه ش ی ب ی سينوس خروج

( ) ( )( )ωθωω jGtjGXty ∠++= sin)( خواهد بود .

.را بدست آوريد s/1و انتقال فاز برای سيستم با تابع تبديل ARمقدار :١مثال

( ) 1G ss

=

:جايگزين می نمائيم sرا با jωپارامتر

( ) 1 1 10jG j jj j j

ωωω ω ω ω

= = = −

:، مقادير اندازه و زاويه عبارتند با y = a + j bبرای عدد مختلط با شکل 2 2 1, tan by a b y

a− ⎛ ⎞= + ∠ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

:بنابراين

( )

( )1 1

1

tan 90 tan

AR G j

or

ωω

φ φ− −

= =

= −∞ = − = − ∞

0 2 4 6 8 10

1

0

1

x t( )

y t( )

z t( )

t

x t( ) sin t( ):= y t( ) sin tπ

3+⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

:= z t( ) sin tπ

3−⎛⎜

⎝⎞⎟⎠

:=


٣١از ٣صفحه

ه ازاء ورودی :٢مثال ديل را ب ابع تب ا ت ه سيستم ب از و نسبت دامن )انتقال ف )603sin2)( += ttR .تعيين نمائيد

( )1

4+

=ω

ωj

jG

−1jωبا ضرب صورت و مخرج کسر در + :

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 2

2 2

2 2 2

21 1

2

1

2

4 4 4 41 1 1

4 4 41 1 1

41tan tan4

13

4 4 1.3 & tan 3 71.57103 1

sin 2 1.3 sin 3 60 71.57

2.6sin 3 11.57 2.6si

jG j j

G j

G j

Y a G j t Y t

Y t

ω ωωω ω ω

ωωω ω ωω

ωφ ω

ωω

ω φ

ω ω ϑ φ

− −

−

− += = −

+ + +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ +⎛ ⎞−⎜ ⎟+= = −⎜ ⎟⎜ ⎟

+⎝ ⎠=

= = ≈ = − = −+

= + + → = + −

= − ≈ ( )n 3 12t −

Tutorial Question سئواالت درسیتالف .١ ه و اخ ال(نسبت دامن ه در معرض ورودی ) انتق ر چنانچ ديل زي ابع تب ا ت تم ب رای سيس از را ب ف

و انتقال فاز با فرض اينکه مقدار ARمقدار . قرار گرفته است را تعيين نمائيد ϖسينوسی با فرکانس .باشد را بدست آوريد rad / s 10فرکانس سيگنال برابر

( )1

3+

=s

sG

General Frequency Transfer Functionروابط کلی توابع تبديل فرکانسیRelations

ر ابق زي ا مط ه ايه بت حاصلضرب چندجمل ی بصورت نس ت کل وان در حال ی ت ديل فرکانسی را م ابع تب ت :نوشت

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

( )ω

ωω

ωωζωω

ωωω

jGK

jjTjj

TjTjKjG

m

nna

m

rm

′=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

++=

22

21

1211

11


٣١از ۴صفحه

ا . مقدار بهره ثابت می باشد mKکه لگاريتم تابع تبديل مقداری مختلط است که بخش حقيقی آن متناسب ب .لگاريتم اندازه و بخش موهومی متناسب با زاويه است

:رابطه اندازه •( )

( ) ( ) −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−+−

−+++++=

22

21

1211

)1()1(

ωω

ωωζω

ωωωω

jjLmTjLm

jmLmTjrLmTjLmLmKjLmG

nna

m

:رابطه زاويه •( )

( ) ( ) −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++∠−+∠−

∠−++∠++∠+∠=∠

22

21

1211

)1()1(

ωω

ωωζω

ωωωω

jjTj

jmTjrTjKjG

nna

m

:رابطه زاويه را می توان بصورت زير نوشت( )

−−

−−

−+++∠=∠

−−

−−

2211

21

11

12tantan

90tantan

n

na

m

T

mTrTKjG

ωωωζω

ωωω

.می باشد 180يا 0به ترتيب آنمقدار زاويه مقداری ثابت ولی مثبت يا منفی است لذا Kmبهره ● . می باشند ωهر دو رابطه توابعی از •انس منحنی های منحنی های لگاريتم دامنه برحسب لگاريتم فرکانس و • ر حسب لگاريتم فرک ه ب زاوي

.بود ناميده می شوندر • ا متغي ه ب ر حسب زاوي ه ب اين دو منحنی را می توان با يکديگر ادغام نمود که منحنی لگاريتم دامن

. ناميده می شود منحنی نيکولزفرکانس حاصل خواهد شد که . ناميده می شود نحنی نايکوئيستمکه زاويه با متغير فرکانس –همچنين منحنی قطبی اندازه •

:برخی از تعاريف پايه لگاريتمی عبارتند ازده "log"عبارت مخفف . لگاريتم عدد مختلط عددی مختلط است (Logarithm): لگاريتم ● نشان دهن

.می باشد ١٠لگاريتم در مبنای

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

log log log

log 0.434

j jG j e G j e

G j j

φ ω φ ωω ω

ω φ ω

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= +⎣ ⎦⎣ ⎦⎡ ⎤= +⎣ ⎦

ا ● ومی متناسب ب دازه و قسمت موه اريتم ان ر لگ ی براب )قسمت حقيق )ωφ434.0 ه از . است در ادام . صرفنظر شده است 0.434ضريب

ل : (Decibel)دسی بل ● در سيستم مدار بسته، واحد مورد استفاده برای لگاريتم نسبت دامنه، دسی ب(decibel dB) ت ا . اس ی الزام ای ورودی و خروج ه متغيره ت ک ی اس م " گفتن ه ه ت ک الزم نيس . ديمانسيون باشند

ديل : (Log magnitude)دامنه لگاريتمی ابع تب ه ت )لگاريتم دامن )ωjG ان ل بي ر حسب دسی ب ه ب ک . نشان داده می شود که تابعی از فرکانس است Lmشده و با

( ) ( ) dBjGjLmG ωω log20=


٣١از ۵صفحه

د ● او و دی ک دوده : (Octave and decade)اکت ان مح رای بي د ب او و دی ک د اکت (band)دو واح . فرکانس يا نسبت فرکانسی استفاده می شود

د فرکانسی از ● او بان ا 1fيک اکت ه 2fت 2است ک1

2 =ff

انس از . است د فرک ابراين بان ا 1Hzبن ت

2Hz 17.4همچنين پهنای باند فرکانس از . برابر يک اکتاو در پهنای باند استHz 34.8تا Hz ز ني . برابر يک اکتاو است

انس مورد نظر ١الزم به تذکر است که ● د فرک ه بان وده و بستگی ب ابتی نب اکتاو پهنای باند فرکانسی ث : برابر است با 2fتا 1fتعداد اکتاو در محدوده فرکانسی بين . دارد

( ) octavesffff

1

212 log32.32log

log=

زايش ● د ١اف ا 1fاز (decade 1)دی ک ه 2fت 10هنگامی حاصل می شود ک1

2 =ff

ذا . باشد ل

داد . می باشد 1decadeبرابر 25Hzتا 2.5Hzيا از 10Hzتا ١باند فرکانسی از ذا تع decadeل

decadeبرابر با 2fتا 1fازff

1

2log می باشد .

Number Decibels Number Decibels0.01 -40 2.0 6 0.10 -20 10.0 20 0.50 -6 100.0 40 1.00 0 200.0 46

.افزايش می يابد dB 6دسيبل آن مقداردو برابر شدن عدد : ١خاصيت .بل افزايش می يابددسی ٢٠، مقدار دسيبل آن ١٠با افزايش عدد با مضرب : ٢خاصيت

Bode Diagrams دياگرام بود

يگنال ● رل ) سينوسی(س ای کنت تم ه ديل سيس ابع تب ی ت يگنال سينوسی ورودی را خروج حاصل از س :با دو نمودار مجزا نشان داد که اين دو نمودار عبارتند ازمی توان

o برحسب فرکانس) به دسی بل(نمودار تغييرات دامنه o بر حسب فرکانس) درجهبه (زاويه فاز

.که هر دو منحنی بصورت منحنی نيم لگاريتم برحسب لگاريتم فرکانس ترسيم می شوند)(بيان لگاريتم دامنه ● ωjG بصورت)(log20 10 ωjG و واحد آن دسی بلdB است . از يک سيستم ● ال ف ه و انتق رات نسبت دامن ايش چگونگی تغيي رای نم ود روشی گرافيکی ب دياگرام ب

. بخصوص با تغيير فرکانس سيگنال سينوسی ورودی می باشد

)سيستم انتگرال گيربا تابع تبديل : مثال )s

sG 1 :را در نظر می گيريم =

:بيان شده باال عبارتند ازنسبت دامنه و انتقال فاز بنابر مطالب ●

90,1−== φ

ωAR

:فرکانس را نشان می دهدجدول زير مقادير فوق به ازاء تغييرات ●


٣١از ۶صفحه

ω AR 20log(AR) φ 0.01 100 40 dB -90o 0.1 10 20 dB -90o 1.0 1 0 dB -90o 10 0.1 -20 dB -90o 100 0.01 -40 dB -90o

ود ● ر دو منحنی است . اين مقادير را می توان ترسيم نم ود مشتمل ب اگرام ب رای : دي ARمنحنی اول ب

ب ( ر حس ی ) dBب و دوماز می باشد . برای انتقال ف

اس ی در مقي ر دو منحن همی نيم لگاريتمی ترسيم

وند اگرام. ش رای دي ود ب برو اال بصورت روب ال ب مث

:خواهد بود

: مزيت اصلی دياگرام بود .ضرب دامنه ها به جمع تبديل می شوند ●ی ● روش ساده ای برای رسم تقريبی منحنی های لگاريتم دامنه وجود دارد که می توان اطالعات تقريب

.مناسبی از سيستم بدست آورداز شده و اطالع ● ات خوبی به عالوه در فرکانسهای پائين به علت استفاده از لگاريتم فرکانس منحنی ب

.از سيستم نمايان می شود .با روشن بودن منحنی پاسخ فرکانسی، می توان تابع تبديل سيستم را تعيين نمود ●

Drawing the Bode Plotsترسيم دياگرام بود . خصوصيات منحنی بود بيان گرديد ● . از کامپيوتر استفاده می شود" برای رسم منحنی بود معموال ● . ارائه گرديد" شکل عمومی تابع تبديل فرکانسی قبال ● :صورت و مخرج اين توابع دارای چهار فاکتور زير می باشند" معموال ●


٣١از ٧صفحه

( )( )

( )m

nn

m

mm

jj

j

j

K

±

±

±

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+

22

121

1

ωω

ωωζ

ω

ω

انس رسم شده و " معموال ● ر حسب فرک ادير ب با استفاده از خاصيت لگاريتم و در رابطه اندازه اين مق .شوندسپس اثرات آنها با يکديگر جمع می

:mKفاکتور بهره ر صفر درجه . بهره خط راستی با شيب صفر به اندازه زير است Lmدياگرام ● ه آن براب اگرام زاوي دي

.است

deg00tan

log20

1 ==∠

=

−

mm

mm

KK

dBKLmK

)فاکتور ) mj ±ω: دازه ● اگرام ان )دي ) mj ±ω يب ا ش فر و ب octavedBmاز ص ا 6±/ decadedBmي /20±

. می شود شروع .درجه است ±90mدياگرام زاويه برابر ●

( ) ( )

( ) 900

tan

log20log20

1 mmj

mjjLm

m

mm

±=±=∠

±==

−±

±±

ωω

ωωω

)فاکتور ) mTj ±+ ω1 : Tcاين فاکتور دارای فرکانس شکست در ● 1=ω است . انس « ● هفرک ا گوش د را : شکست ي ی يابن ه شکست م اريتم دامن ای لگ ب ه ه در آن مجان فرکانسی ک

».گوشه می نامند شکست يافرکانس دازه از صفر شروع می شود ● ا شيب . منحنی لگا ريتم ان انس شکست دارای مجانب ب منحنی در فرک

octavedBm decadedBmيا 6±/ . می باشد 20±/ . تغيير می نمايد ±90mنی زاويه بين صفر تامنح ●


٣١از ٨صفحه

( ) ( ) [ ]( ) TmTj

TmTjTjLmm

mm

ωω

ωωω1

21

22

tan1

1log201log201−±

±±

±=+∠

+±=+=+

)مقايسه منحنی بود دو تابع تبديل : مثال )1

11 +

=s

sG و( )( )22 1

1+

=s

sG

):فاکتور مرتبه دو )m

nn

jj±

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

2121 ωω

ωωζ

cاين فاکتور دارای فرکانس شکست در ● nω ω= است . دازه از صفر شروع می شود ● ا شيب . منحنی لگا ريتم ان انس شکست دارای مجانب ب منحنی در فرک

octavedBm decadedBmيا 12±/ . می باشد 40±/

. تغيير می نمايد ±180mزاويه بين صفر تامنحنی ●

مجانب decaded /20 B−

مجانب decaded /40 B−

فرکانس شکست


٣١از ٩صفحه

( ) ( )

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

±=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∠

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−±=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+±=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

±

±

2

212

2

21

2

2

2

22

22

1

2

tan121

21log20

121log20121

n

n

m

nn

nn

nn

m

nn

mjj

m

jjmjjLm

ωω

ωζ

ωω

ωωζ

ωζ

ωω

ωω

ωωζω

ωω

ωζ

)برای رسم دياگرام باال( :Matlabکاربرد ●for i=0.1:0.1:1; num=1;dnm=[1 i 1];

ω15 nω 5 nω

nω


٣١از ١٠صفحه

bode(num,dnm);hold on end

m=2با نمای منفی و ٢دياگرام بود برای سيستم مرتبه : مثال

( ) ( )2

22

121−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= ω

ωω

ωζω jjjG

nn

٢عامل رسته دامنه یمجانب هاتعيين nωωدر ٢فرکانس گوشه برای عامل مرتبه • :چون. می باشد = :از رابطه دامنه داريم ●

2 22

22

120log 20log 1 2

1 2n n

n n

GM

j j

ω ωζω ωω ωζ

ω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

nωωمالحظه می شود که اگر ● :در اينصورت >>

2

120log 20log(1) 0

1 2n n

GM

j jω ωζω ω

= ≈ =⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

rω

rM

nω


٣١از ١١صفحه

nωωو چنانچه ● :در اينصورت <<

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=n

2n

2

2

nn

log40log20

jj21

1log20GMωω

ωω

ωω

ωωζ

nωωاگر بطور مثال ● :شود خواهيم داشت =10

decdBGM

n

n

n

40)10log(4010log40log40 −=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

ωω

ωω

ه برای عا • انس گوشه ٢مل مرتب د فرک )(باي nω ی سيستم بدست آورده و ζ)(و ضريب ميرائ .منحنی را ترسيم نمائيم

)فرکانس تشديد • )rω و قله تشديد( )rM: :عبارتست از ٢مالحظه شد که دامنه عامل رسته

22

2

22

21

1)(

21

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=→

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nnnn

jG

jj

jG

ωωζ

ωω

ω

ωω

ωωζ

ω

)(ماکزيمم مقدار ωjG در فرکانس تشديد ، تشديد ناميده می شودکه)( rω اتفاق می افتد. :می توان نشان داد که

707.0021 2 ≤≤−= ζζωω nr :تشديد عبارتست از) قله(و دامنه

2121)()(

ζζωω ωω −

=== = r

jGjGM Maxr

rM=1:خواهيم داشت ζ<707.0به ازای :عبارتست ازهمچنين زاويه فاز در فرکانس تشديد

ζζ

ωω

ωωζ

ωφ

ζωω

ωω

21

21

21 21tan

1

2tan)(

2

−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=∠= −

−=

−=

n

r

n

nr jG

rM برای سنجش پايداری نسبی سيستم مدار بسته استمعيار مناسبی .

rM است فراجهش بزرگ در پاسخ گذرای سيستمبزرگ بيانگر .


٣١از ١٢صفحه

ا طوری طراحی می شوند اکثر سيستم هه دارای دوده rMک ی 2.1در مح ال

.باشند 4.1معياری برای سنجش rωفرکانس تشديد

.است سيستم مدار بسته سرعت پاسخ rω انگر ر بي دن بزرگت ر ش ريع ت س

. است سيستم

ه د است، M≤21در سيستمهای کنترل مدار بسته، محدوده فرکانسی ک ای بان ده پهن می نامي .شود

ذر هایدر سيستم ائين گ ر پ 1@0( فيلت == ωM( د ای بان انس قطع bω، پهن ر فرک cωبراب .می باشد

. رت قابل مالحظه ای تضعيف می شودوسيگنال خروجی از سيستم در باالتر از اين فرکانس، بص .فيلتر نمودن اغتشاشات ورودی به سيستم است) ويژگی حذف( بطور عام، پهنای باند معياری برای :ای باند با فرکانس طبيعی و ضريب ميرائی سيستم بصورت رابطه زير می باشدنرابطه په

422 44221 ζζζωω +−+−= nb

( )ωjM1

0

707.0

cω ω

Bandwidth


٣١از ١٣صفحه

.برای سيستم مدار بسته با فيدبک واحد زير دياگرام بود را بدست آوريد: مثال

:ستم فوق عبارتست ازيخالصه نکات الزم برای رسم منحنی بود برای تابع تبديل مدار باز س

Angle Characteristics

Log Magnitude »Lm«

Corner Frequency

»cfω«

Factor

:مقدار ثابت :مقدار ثابت

dB12+ 4 .وجود ندارد

−90: ثابتمقدار

ا ت ب يب ثاب ش ( )10 =ωatdB

.وجود ندارد

ا از −90ت .متغير است

يب انس 0ش ا فرک تيب ت؛ ش شکس

decadedB /20− .از فرکانس شکست پس

( )118 ωatdB

5.01 =ω ( ) 121 −+ ωj

ا از ت .متغير است

يب انس 0ش ا فرک ت شکست؛

شيبdecadedB /20+

.از فرکانس شکست پس( )26 ωatdB−

0.22 =ω ( )ω5.01 j+

ا 0از −180ت .متغير است

يب انس 0ش ا فرک ت شکست؛

decadedBشيب /40− .از فرکانس شکست پس

( )318 ωatdB−

( )[ ]

82.0

125.005.01 12

==

++ −

n

jj

ωζ

ωω

:دياگرام بود حاصل به تفکيک و در مجموع برای سيستم مذکور عبارتست از

0

decadsdB /20−( ) 1−ωj

0

090+

0.83 =ω

_ + )j(R ω )j(C ω ( )

( )[ ]2)125.0j(05.0j12j1j5.0j14

ωωωωω+++

+


٣١از ١۴صفحه

-30

-20

-10

0

10

20

30

40M

agni

tude

(dB)

10-1 100 101 102-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Phas

e (d

eg)

4/jω

Frequency (rad/sec)

-50

-40

-30

-20

-10

0

Mag

nitu

de (d

B)

10-2 10-1 100 101 102-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

1/(2jω+1)

Frequency (rad/sec)

12 dB

0.5cω =5cω 5 cω


٣١از ١۵صفحه

0

5

10

15

20

25

30

35M

agni

tude

(dB)

10-1 100 101 1020

45

90

Phas

e (d

eg)

0.5jω+1

Frequency (rad/sec)

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Mag

nitu

de (d

B)

10-1 100 101 102-180

-135

-90

-45

0

Phas

e (d

eg)

1/((0.125jω)2+0.05jω+1)

Frequency (rad/sec)

5cω 2cω = 5 cω

8cω = 10 cω 0.1 cω


٣١از ١۶صفحه

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40M

agni

tude

(dB)

10-1 100 101 102-300

-200

-100

0

100

Phas

e (d

eg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

4jω

ω211j+

decadsdB /60−

( )2125.005.011

ωω jj ++

( )ω5.01 j+

decadsdB /40−

decadsdB /20−

( )ω5.01 j+

( )2125.005.011

ωω jj ++

ω211j+

4jω


٣١از ١٧صفحه


٣١از ١٨صفحه

:مثالN تابع تبديل سيستم مربوطه عبارتست از. سيستم مرتبه اول سری حلقه باز را در نظر می گيريم:

( ) ( ) ( ) ( )

( )111 2

2

1

1

21

+++=

=

sTK

sTK

sTKsG

sGsGsGsG

N

N

N

( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )

( )

( )1

log20

log20log20

log20

log20

1

11

21

21

+=

++

+=

×××=

=

ωω

ω

ωω

ωωω

ω

jTKjG

jG

jGjGGain

jGjGjGGain

jGGain

N

dB

NdB

dB

:ولی

( ) ( )( )

( )N

N

N

dB

TTTjG

TK

TK

TKGain

TK

T

TKjG

TTjKK

jTjT

jTK

jTK

ωωωφφφφωφ

ωω

ω

ωω

ωω

ωω

ωω

ωω

tantantan

1log20

1log20

1log20

11

1

111

11

21

21

221

222

1

221

1

221

1222

1

221

21

1

221

111

1

1

1

1

1

1

−−−−=+++=∠=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

+=

+

+=

+−

=+−+−

+=

+

.و زاويه فاز سيستم با تابع تبديل زير را می توان به روش بيان شده بدست آورد ARدر حالت کلی ●

( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )sTsTsTs

sTsTsTKsGnba

mOPENLOOP +++

+++=

111111 21


٣١از ١٩صفحه

nb

a

m

dBOPENLOOP

TjTj

Tjj

TjTj

TjKG

ωω

ωω

ωω

ω

+−−+

−+−−

++++

+++=

1log201log20

1log20log20

1log201log20

1log20log20

2

1

( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )n

ba

m

OPENLOOP

n

ba

m

OPENLOOP

T

TT

T

TTjG

TjTjTjj

TjTjTjKjG

ω

ωω

ω

ωωω

ωωωω

ωωωω

1

11

12

11

1

21

tan

tantan90

tan

tantan0

111

111

−

−−

−

−−

−−

−−−

++++=∠

+∠−−+∠−+∠−∠−

+∠++∠++∠+∠=∠

K مثبت فرض شده است.

)Bode Stability Criteria( معيار پايداری بود پايداری نسبی سيستم برای کنترل . دياگرام بود بخصوص برای تعيين پايداری نسبی سيستم مفيد می باشد

ور انس عب از فرک ه در آن (phase crossover frequency ωco)ف است، φ=−180، فرکانسی که . می شود تعيين ر بهره دامن انس (AR)اگ ن فرک وچکتر از در اي ا ( 1ک )ي )20log 0AR باشد )>

دار است نشان دهنده سيستم 1برابر با ARمقدار . سيستم پايدار است . بی تفاوت يا بصورت بحرانی پاي .در فرکانس عبور موجب افزايش ميزان پايداری نسبی سيستم می شود ARهمچنين کاهش

GaindB>0به معنای آن است که بهره سيستم بزرگتر از يک است يعنی AR >1به ياد داشته باشيد که

Gain and Phase Margins حاشيه فاز و بهرهياح اری هش ره معي از و به رای ف تم ب ه سيس ايش آنک ا نم دازه ت ه ان تانه چ له از آس داری فاص ناپاي

:اين پارامترها بصورت زير تعريف می شوند. می باشند دارد،

(Gain Margin):حاشيه بهره •ا سيستم (decibel; dB)مقدار بهره به دسی بل د ت دار در آستانه که می تواند افزايش ياب یناپاي

. رديگقرار ان رياضی ا به بي ازبرابر ب دگی ف ه عقب مان دار بهره اضافی 1800-در فرکانسی ک می شود، مق

)اندازه دامنه برابر با يک يا برای آنکهمورد نياز )20log 0AR .گردد = :لذا


٣١از ٢٠صفحه

( )( ) 1

:180

=

≡→=∠

= ncyOverFrequePhaseCrossjG

FrequencyOverCrossPhasejG

OPENLOOP

PCOFo

OPENLOOP

ωωω

ωωω

:نشان دهيم، در اينصورت طبق تعريف عبارتست از GainKاگر بهره سيستم را با

frequencyOverCrossePhase

jGKGain

ωωω =

=)(

1

:و به دسی بل)(log20log20)( PCOFGG jGKdBK ω−==

)Margin Phase(:حاشيه فاز •

دار افی مق از اض دگی ف ره عقب مان ور به انس عب تم در فرک ه سيس داری ک تانه ناپاي را در آس . قرار می دهد

:فرکانس عبور بهره( ) FrequencyOverCrossGainjG GCOFOPENLOOP :1 ωωω ≡→=

:يا

( )( )20log 0 :OPENLOOP GCOFG j Gain Cross Over Frequencyω ω ω= → ≡

:حاشيه فاز عبارتست ازنشان دهيم، طبق تعريف γاگر حاشيه فاز را با

)(180

GCOFOPENLOOP jG ωφφγ

∠=+=

. پايداری سيستم می باشند معياری برای بيان حاشيه فاز و حاشيه بهره مثبتمقادير • . می باشد 0dB، فرکانسی است که در آن حاشيه بهره برابر بهره فرکانس عبور • . می باشد 1800-، فرکانسی است که در آن حاشيه فاز برابرفاز عبور فرکانس •


٣١از ٢١صفحه

ان :مثال ر بي ديل زي ابع تب ا ت ی ب وان بصورت تقريب از را می ت دار ب زل م ور دي ديناميک سرعت يک موت :نمود

( )( )( )1.032 +++=

sssK

G pOPENLOOP

از فوق در فاصله فرکانسی ی 0.01دياگرام بود پاسخ سيستم مدار ب ا فرض 100ال ه را ب ر ثاني ان ب راديد K p = 1اينکه رای . می باشد، ترسيم نمائي ز بهره الزم ب از سيستم و ني ين حاشيه های بهره و ف همچن

.گردد را تعيين نمائيد 300اينکه حاشيه فاز برابر با

22

2

22

2

01.01log20

91log20

41log20log20

01.0log209log20

4log20log20

1.0log203log20

2log20log20

ωω

ω

ωω

ω

ωω

ω

++

++

++=

+−+−

+−=

+−+−

+−=

p

p

p

KG

KG

jj

jKG

1.0tan

3tan

2tan 111 ωωω −−− −−−=∠G

:و فاز بر حسب تغييرات فرکانس را محاسبه می نمائيم ARمقادير AR

ω (rad/sec) 0.01 0.1 1 10 100 20log(Kp) 0 0 0 0 0 20log(1/(4+ω2)½) -6 -6 -7 -20 -40 20log(1/(9+ω2)½) -10 -10 -10 -20 -40 20log(1/(0.01+ω2)½) 20 17 0 -20 -40 Sum (dB) 4 1 -17 -61 -120

Φ ω (rad/sec) 0.01 0.1 1 10 100 tan-1(Kp) 0 0 0 0 0 tan-1(ω/2) 0.005 0.05 0.46 1.4 1.6 tan-1(ω/3) 0.003 0.03 0.32 1.3 1.5 tan-1(ω/0.1) 0.1 0.8 1.5 1.6 1.6 Sum (deg) -6 -50 -129 -241 -267

:شکل خواهد بود مطابقمنحنی بود حاصل


٣١از ٢٢صفحه

. می باشند 1200و حاشيه فاز 30.25dBبا رجوع به منحنی مقدار حاشيه بهره

حاشيه بهره

فازحاشيه


٣١از ٢٣صفحه

ر از براب ه 300برای آنکه حاشيه ف ا φباشد الزم است ک ر ب ا استفاده از . باشد 1500براب بکند، مطابق شکل می قطع ω=5.1در که منحنی را φ=150فاز برای زاويه فازمنحنی

:مقدار بهره برابر است با6.1222log2022 =⇒=⇒−= pp KKAR

Matlabکاربرد :فايل زير قابل محاسبه می باشند mمنحنی ها و مقادير حاشيه بهره و فاز را با

num=1; dnm=conv([1 2],conv([1 3],[1 0.1])) OLOOP=tf(num,dnm); figure bode(OLOOP); grid figure margin(OLOOP); [Gm,Pm,Wcg,Wcp] = margin(OLOOP); Margins = [Gm Wcg Pm Wcp] Gain=20*log10(Gm)

-150

بهره حاشيه درجه٣٠فاز

1.5


٣١از ٢۴صفحه

رابطه بين حاشيه فاز و ضريب ميرائی :را در نظر می گيريمتابع تبديل مدار باز زير مدار بسته با رسته دو سيستم

)1()()(

+=

ssKsHsGτ

τω: در آنکه Kn τζωو = 12 =n

ωjs: برای بررسی پاسخ فرکانس سيستم می گيريم ≡

( ) ( ) ( )n

n

jjjHjG

ζωωωωωω

2

2

+=

ر ه براب gωωدر فرکانس عبور بهره ک يم، = )فرض می کن ) ( ) 1=ωω jHjG می باشد . :بنابراين

( ) ( )2 2

2 2 2

4 2

1 12 4

4 1 2

g

n n

n g g n

g n

j jω ω

ω ωω ω ζω ω ω ζ ω

ω ω ζ ζ

=

= =+ +

= + −

:زاويه فاز در اين فرکانس عبارتست از هک

( )

( )ζ

ζζω

ζωω

ω

2214

tan90

2tan90

241

1

−+−−=∠

−−=∠

−

−

g

n

gg

jG

jG

:و حاشيه فاز سيستم عبارتست از

24

1

241

214

2tan

2214

tan90

ζζ

ζζ

ζζ

−+=Φ

−+−=Φ

−

−

M

M

.که بيانگر رابطه حاشيه فاز سيستم با ضريب ميرائی است


٣١از ٢۵صفحه

سئواالت درسی :سيستم عمق ياب يک زيردريائی دارای اجزاء زير است .٢

کنترل کننده تناسبی • .و بهره واحد 0.4sو 1sدو تابع تبديل رسته يک در مسير پيشروبا ثابت های زمانی • و بهره واحد 0.25sبا ثابت زمانی (first order lag)مدار پسخور عقب ماندگی درجه يک •

:مطلوبست دياگرام بلوکی سيستم - تابع تبديل مدار باز - تابع تبديل مدار بسته - بهره واحد برای کنترل کننده تناسبی حاشيه های فاز و بهره با مقدار - .باشد 3dBمقدار بهره کنترل کننده تناسبی برای آنکه حاشيه بهره برابر -بهره کنترل کننده و واحد بهره کنترل کننده تناسبیترسيم دياگرام بود برای هر دو حالت با -

dB3برای داشتن حاشيه بهره تناسبی :سيستم بصورت شکل زير خواهد بود دياگرام بلوکی: حل

:ابع تبديل مدار باز و مدار بسته سيستم عبارتند ازت ●

)1(2033152)4(5

)()(

)25.01)(4.01)(1(

23 +++++

==

+++=

KssssK

sXsCCLTF

sssKGOPENLOOP

G s( ) K1

1 s+⋅

11 0.4s+⋅:= H s( )

11 0.25s+

:=

CLTF s( )G s( )

1 G s( ) H s( )⋅+:=

CLTF s( ) simplify 5. K⋅4. s+( )

20. 33. s⋅+ 15. s2⋅+ 2. s3

⋅+ 20. K⋅+( )⋅→

:حاشيه های بهره و فاز مطابق تعريف عبارتند از ●

o حاشيه بهره بهdB از )، بهره ای است که به ازاء فرکانس قطع ف )180−=φ از منحنی .دامنه قرائت می شود


٣١از ٢۶صفحه

o ه، حاشيه فاز ه زاوي أخيری ب ه ت ه )پسفازی الزم ( زاوي د ب ه باي از سيستم در است ک ه ف زاويرار ( اضافه شود −180رسيدن به تا فرکانس قطع بهره داری ق ا سيستم در آستانه ناپاي ت

.)گيرد

o ره يه به ه :حاش ه زاوي ه از رابط ت ک از اس ورد ني از م ه ف ت زاوي انس شکس فرک :محاسبه می نمائيم

( ) ( ) ( ) 18025.0tan4.0tantan 111 −=−−−= −−− ωωωφ

ه از ب ه ف يدن زاوي ا رس انس ت ر فرک ا تغيي ا ب ه ي ود ک به نم از را محاس ع ف انس قط وان فرک ی ت مانس شکست −180 و يا با حل معادله غيرخطی زاويه و بدست آوردن ريشه آن می توان فرک

. فاز را محاسبه نمود

انس قطع حدودا : با تغيير فرکانس) الف ه فرک ر مشاهده می شود ک ر " که مطابق جدول زي برابsec05.4 radcG ≈ω است.

ω φ

1 -80

2 -129

4 -179

4.1 -180.6

4.05 -179.8

:لذا حاشيه بهره عبارتست از ●( ) ( ) ( )

06.21)25.0(1log20)4.0(1log201log20 222

−=

+−+−+−=

GMGM ωωω

:با استفاده از حل معادله) ب : Mathcadکاربرد ●

ω 1:= ... initial guess value

Given

atan ω( )− atan 0.4ω( )− atan 0.25ω( )− π−

ω Find ω( ):= ω 4.062=


٣١از ٢٧صفحه

GainMargin 20− log 1 ω2

+⎛⎝

⎞⎠⋅ 20 log 1 0.42

ω2

+⎛⎝

⎞⎠⋅− 20 log 1 0.252

ω2

+⎛⎝

⎞⎠⋅−:=

GainMargin 21.119−=

از انس قطع :حاشيه ف اال فرک ده ب ان ش ه دو روش بي وان ب ز می ت از ني رای محاسبه حاشيه ف ره را ب به .بدست آوردمحاسبه و مقدار حاشيه فاز را

sec01.0در فرکانسی حدود ) الف rad≈ω ل ه دسی ب می توان مشاهده کرد که مقدار دامنه ب

:لذا. است) 1يا مقدار اندازه در حدود (در حدود صفر ( ) ( ) ( )

1.179180arg

95.0

01.025.0tan01.04.0tan01.0tan 111

=→+=

−=

×−×−−= −−−

PMinMPhase φ

φ

φ

φ atan 0.01( )− atan 0.4 0.01⋅( )− atan 0.25 0.01⋅( )−:= φ180π

⋅ 0.945−=

γ 180 φ180π

⋅+:= γ 179.1=

:از روش محاسباتی) ب

:Mathcadکاربرد ●ω 1:= K 1:=

f ω( ) 20 log K( )⋅ 20 log 1 ω2

+⎛⎝

⎞⎠⋅− 20 log 1 0.42

ω2

⋅+⎛⎝

⎞⎠⋅− 20 log 1 0.252

ω2

⋅+⎛⎝

⎞⎠⋅−:=

ω root f ω( ) ω,( ):= ω 0.012=

3dBحاشيه بهره داشتن مقدار بهره کنترل کننده تناسبی برای محاسبه - :بهره سيستم عبارتست از

( )( )[ ] ( )[ ]22

2

25.01log204.01log20

1log20)log(20

ωω

ω

+−+−

+−= KGM

از سيستم از رابطه بهره سيستم را در dB3برای داشتن حاشيه بهره دار ب ديل م ابع تب ، مقدار بهره ت

:فرکانس عبور فاز محاسبه می نمائيم

( )( )[ ] ( )[ ]

GCOFGCOF

GCOF

KdB

ωω

ω

ωω

ω

22

2

25.01log204.01log20

1log20)log(203

+−+−

+−=−


٣١از ٢٨صفحه

053.810

119.21)log(203

203119.21

=→=

−=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

KK

KdB

ا - ط مربوطه و ترسيم آنه از از رواب دازه و ف ادير ان دياگرام بود سيستم با تغيير فرکانس و محاسبه مق :در روی منحنی نيم لگاريتم مطابق شکل بدست خواهد آمد

( )( )[ ] ( )[ ]

)25.0(tan)4.0(tan)(tan

25.01log204.01log20

1log20)log(20

111

22

2

ωωω

ωω

ω

−−− −−−=

+−+−

+−=

PM

KGM

1منحنی های بود سيستم با بهره کنترل کننده تناسبی برابر ) الف


٣١از ٢٩صفحه

dB3برای داشتن حاشيه فاز K=05.8منحنی های بود سيستم با بهره کنترل کننده تناسبی ) ب


٣١از ٣٠صفحه

:نمودموقعيت يک بازوی روبات را می توان با استفاده از تابع تبديل زير تعيين .٣

( ) ( )( )212

++=

ssssG

رای سيستم ود ب اگر کنترل کننده تناسبی با بهره واحد نيز در سيستم کنترل بکار رفته باشد، دياگرام ب .راديان برثانيه را رسم نمائيد 10تا 0.1مذکور بين فرکانس های

.بحث کنيدهمچنين مقادير حاشيه فاز و حاشيه بهره را محاسبه و در مورد پايداری سيستم

:تذکر

ود ز ترسيم نم ی ني ن حالت صورت و . همانگونه که بيان شد می توان منحنی بود را بصورت تقريب در ايمخرج تابع تبديل مدار باز سيستم بصورت حاصلضرب عوامل اول نوشته شده و فرکانس گوشه هر عامل

ترسيم و با توجه " عوامل را انفراداسپس در منحنی دامنه فرکانس های گوشه و مجانب . تعيين می گرددی ه را بصورت تقريب ائی دامن به اينکه در منحنی نهائی کليه عوامل با يکديگر جمع می شوند، منحنی نه

همچنين منحنی فاز هر عامل نيز بصورت تقريبی و با توجه به رفتار هر عامل ترسيم و . ترسيم می نمائيمه . ی های تقريبی فازهای عوامل حاصلضرب ترسيم می شود منحنی فاز سيستم نيز از حاصل جمع منحن ب

.مثال زير توجه نمائيد

:برای هريک از توابع تبديل زير -مسئله


٣١از ٣١صفحه

)255()30()()

)50)(1()10()()

)5)(2(10)()

2 −++

=

+++

=

++=

sssssGc

ssssGb

ssssGa

i. بيان تحليلی برای توابع اندازه و زاويه فاز بر حسب فرکانس را بدست آوريد. ii. ديل را –بر روی منحنی لگاريتم ع تب يم لگاريتم منحنی مجانب های هر يک از تواب ا ن لگاريتم ي

.رسم نمائيدiii. از روابط تحليلی مقادير دقيق بهره در فرکانس های عبوررا تعيين نمائيد .

Automatic Control Outline 9 1 Bode Plot New - kiau.ac.irkiau.ac.ir/~automatic_control/Lectuers/Chap_9_1_BodePlot.pdf · ﺮﺒﺠﻧر: ﻩﺪﻨﻨﮐ ﻪﻴﻬﺗ ﻢﻬﻧ ﺶﺨﺑ

Documents