JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
1
Abstrak: Konsumsi energi di Indonesia terus meningkat
karena pertambahan penduduk, pertumbuhan ekonomi
dan pola konsumsi energi. Untuk mengatasi permasalahan
tersebut, diperlukan adanya pengendalian terhadap tingkat
produksi sumber energi. Pada tugas akhir ini, diterapkan
teori kendali optimal dalam produksi sumber energi
terbarukan dan tidak terbarukan menggunakan metode
Prinsip Minimum Pontryagin. model yang digunakan
adalah model Lotka-Volterra dengan menginterpretasikan
dinamika tingkat produksi sumber energy terbarukan dan
tidak terbarukan masing masing 50%. Dalam tugas akhir
ini didapatkan waktu yang optimal sebesar 17.69 tahun,
untuk mencapai target produksi sumber energi terbarukan
dan tidak terbarukan, selain itu juga ditunjukan laju
peningkatan produksi sumber energi terbarukan dan laju
penurunan produksi sumber energi tidak terbarukan.
Kata kunci – Waktu Optimal, PMP (Prinsip Minimum
Pontryagin), Sumber Energi
I. PENDAHULUAN
EBUTUHAN energi di Indonesia terus meningkat
karena pertambahan penduduk, pertumbuhan ekonomi
dan pola konsumsi energi itu sendiri yang senantiasa
meningkat. Sedangkan energy fosil yang selama ini merupakan
sumber energi utama ketersediaannya sangat terbatas dan terus
menipis. Hal ini menyebabkan kebutuhan dan konsumsi
terhadap energi semakin hari semakin tinggi seiring dengan
meningkatnya pertumbuhan penduduk setiap tahunnya. Di
tengah kekayaan sumberdaya energi yang dimiliki, Indonesia
masih sangat menggantungkan konsumsi pada energy yang
tidak terbarukan, yang suatu saat akan habis karna terus
digunakan, karena memang Energi memiliki peranan yang
sangat besar dalam keseharian manusia. Hal ini menyebabkan
kebutuhan dan konsumsi terhadap energi semakin hari semakin
tinggi seiring dengan meningkatnya pertumbuhan penduduk
setiap tahunnya
Menurut para ahli minyak bumi, gas alam, dan batu
bara yang dikatakan sebagai bahan bakar fosil diperkirakan
akan habis 30 tahun lagi, bahan bakar gas habis dalam kurun
waktu 70-80 tahun, dan bahan bakar padat 120 tahun lagi.
Sehingga diperlukan penghematan untuk bahan bakar fosil.
Selain itu produksi minyak bumi
terus nerkurang dan konsumsi (BBM) semakin meningkat
melebihi di tingkat produksinya. Saat ini kebutuhan BBM kita
mencapai 1.3 barel/hari, sementara produksi minyak yang
didapat pemerintah hanya 540.000 barel/hari, itu pun tidak
semua diolah menjadi BBM. Oleh karena itu pemerintah harus
mengimpor minyak dalam bentuk BBM sebesar 500.00
barel/hari, Oleh sebab itu, untuk mengatasi permasalahan
tersebut diperlukan adanya solusi yang tepat.
Berdasarkan Kebijakan Umum Bidang Energi (KUBE)
dari Departemen Pertambangan dan Energi Indonesia, minyak
bumi dan gas alam yang tidak terbarukan (non renewable) serta
cadangan di dalam bumi diperkirakan akan menurun, sehingga
pemerintah harus berusaha menggalakkan usaha-usaha
penghematan energi dan pengembangan sumber energi
terbarukan untuk memenuhi kebutuhan energi. Indonesia
mempunyai potensi sumber energi terbarukan yang sangat
besar, sehingga sangat tepat jika sumber energi terbarukan
dikembangkan di Indonesia.
Namun pemanfaatan energi pada tahun 2012 masih
relatif kecil dibandingkan dengan sumber-sumber energi
berbasis fosil. Pemanfaatan energi terbarukan hanya 4,4%, batu
bara 30,7%, minyak bumi 43,9%, dan gas bumi 21%. Hal ini
disebabkan pengembangan energi terbarukan memerlukan
biaya yang tinggi dengan teknologi yang tinggi pula, sehingga
untuk memenuhi kebutuhan energi yang semakin hari semakin
meningkat diperlukan adanya kebijakan untuk
mengombinasikan penggunaan sumber energi terbarukan dan
tidak terbarukan dengan cara memproduksi kedua sumber
energi tersebut secara optimal agar biaya produksi dapat
minimalkan. Melalui Peraturan Presiden Nomor 05 tahun 2006
tentang Kebijakan Energi Nasional (KEN) telah menetapkan
target pemanfaatan energi baru dan terbarukan (EBT) sebesar
17% dari total Bauran Energi Nasional (BEN) pada tahun 2025
[4].
Pada paper ini akan di bahas masalah kendali optimal
dalam produksi energy terbarukan dan tidak terbarukan,
tujuanya adalah untuk mengetahui waktu yang optimal dalam
produksi kedua sumber energy tersebut. Pembahasan ini
dimulai dari menjelaskan model produksi kedua sumber energy
tersebut dan langkah langkah penyelesaiannya dengan
menggunakan prinsip minimum pontryagin.
Waktu Optimal Dalam Diversifikasi Produksi
Sumber Energi Terbarukan dan Tidak
Terbarukan dengan Menggunakan Prinsip
Minimum Pontryagin Misbahur Khoir, Subchan,
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA , Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)
Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 Indonesia
e-mail: [email protected]
K
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
2
II. MODEL SISTEM DINAMIK TINGKAT
PRODUKSI SUMBER ENERGI TERBARUKAN
DAN TIDAK TERBARUKAN
Sistem dinamik dari permasalahan energi terbarukan
dan tidak terbarukan merupakan model matematika yang
berdasarkan pada model Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra
diperkenalkan oleh Alfred Lotka dan Vito Volterra. Model ini
merupakan model sederhana yang mendeskripsikan interaksi
antar dua spesies dari suatu sumber populasi [5]. Dalam
permasalahan energi, interaksi yang terjadi melibatkan dua
sumber energi, yaitu terbarukan dan tidak terbarukan. Bentuk
model tersebut dinyatakan dalam bentuk persamaan diferensial
tak linier. Adapun model matematika dari sistem dinamik
sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan adalah sebagai
berikut [1]:
�̇�1 = 𝑑𝑥1
𝑑𝑡= 𝛼1𝑥1 − 𝛽1𝑥1𝑥2 (1)
�̇�2 = 𝑑𝑥2
𝑑𝑡= 𝛼2𝑥2 − 𝛽2𝑥1𝑥2 (2)
selama jangka waktu 𝐼 = [𝑡0, 𝑡𝑓]. Untuk suatu 𝑡 𝜖 𝐼 dan batas :
𝑥1(𝑡0) = 0.05
𝑥2(𝑡0) = 0.95
𝑥1(𝑡𝑓) = 0.5
𝑥2(𝑡𝑓) = 0.5
dengan:
𝑥1(𝑡) : tingkat kapasitas produksi sumber energy
terbarukan pada waktu t.
𝑥2(𝑡) : tingkat kapasitas produksi sumber energi tidak
terbarukan pada waktu t.
𝛼1 : persentase tingkat pertumbuhan dalam produksi
sumber energi terbarukan
𝛼2 : persentase tingkat pertumbuhan dalam produksi
sumber energi tidak terbarukan..
𝛽1 : konstanta positif yang merepresentasikan
dampak yang berpengaruh pada produksi energi
terbarukan akibat adanya persaingan dengan tingkat
produksi sumber energi tidak terbarukan.
𝛽2 : konstanta positif yang merepresentasikan
dampak yang berpengaruh pada produksi energi tidak
terbarukan akibat adanya persaingan dengan tingkat
produksi sumber energi terbarukan.
Dari model sistem dinamik pada persamaan (1) dan
(2), terlihat bahwa laju perubahan tingkat produksi sumber
energi terbarukan dan tidak terbarukan dipengaruhi oleh besar
kecilnya persentase tingkat pertumbuhan produksi sumber
energi masing-masing dan dipengaruhi oleh adanya faktor
persaingan antara kedua sumber energi tersebut sehingga
menyebabkan pengurangan pada produksi sumber energi.
Dalam permasalahan ini, diasumsikan bahwa
persentase dari tingkat pertumbuhan dalam produksi sumber
energi dapat berubah-ubah pada waktu t, sehingga 𝛼1 dan 𝛼2
dinyatakan sebagai fungsi waktu yaitu 𝛼1(𝑡) dan 𝛼2(𝑡).
Semakin besar nilai 𝛼1(𝑡), maka semakin besar laju perubahan
tingkat produksi sumber energi terbarukan. Begitu pula
sebaliknya, semakin kecil 𝛼1(𝑡) maka semakin kecil laju
perubahan produksi sumber energi terbarukan. Disisi lain,
semakin besar 𝛼2(𝑡), semakin besar pula laju perubahan
produksi sumber energi tidak terbarukan. Sebaliknya, semakin
kecil 𝛼2(𝑡) maka semakin kecil laju perubahan produksi
sumber energi tidak terbarukan. Oleh sebab itu, dalam
mengendalikan tingkat produksi sumber energi terbarukan dan
tidak terbarukan, 𝛼1(𝑡) dan 𝛼2(𝑡) diasumsikan sebagai variabel
pengendali 𝑢1(𝑡) dan 𝑢2(𝑡) dimana 𝛼1(𝑡) = 𝑢1(𝑡) dan
𝛼2(𝑡) = 𝑢2(𝑡) pada interval 𝐼 = [𝑡0, 𝑡𝑓].
III. MEMINIMUMKAN BIAYA IMPLEMEMTASI DENGAN
ADANYA TINGKAT PROUKSI
Permasalahan ini bertujuan untuk mendapatkan
pengendali optimal yang dapat meminimumkan biaya
implementasi dengan adanya tingkat produksi di waktu akhir,
dalam menyelesaikan permasalahan ini akan dilakukan
beberapa langkah.
A. Formula Kendali Optimal
Dalam permasalahan produksi energi ini, tujuan yang
hendak dicapai adalah untuk mendapatkan waktu yang optimal
dalam produksi sumber energy terbarukan dan tidak terbarukan
sehingga dapat meminimumkan biaya implementasi dengan
target produksi yang sudah ditentukan Adapun fungsi tujuan
dalam permasalahan energi ini dinyatakan kedalam model
matematika sebagai berikut [1]:
𝐽(𝑢) = 1
2 ∫ {𝑞1𝑢1
2 + 𝑞2𝑢22}
𝑡𝑓
𝑡0
𝑑𝑡
menunjukkan fungsi biaya yang berhubungan dengan usaha
pengembangan produksi energi. Parameter 𝑞1 dan 𝑞2 masing-
masing merupakan bobot untuk usaha pengembangan energi
dalam hal investasi modal, pemeliharaan, dan biaya
infrastruktur untuk sumber energy terbarukan dan tidak
terbarukan. dimana bobot parameter tersebut di dapatkan dari
penelitian yang sudah disesuaikandengan kondisi
pengembangan, pemeliharaan dan biaya infrastruktur pada
zaman tersebut.
B. Penyelesaian Kendali Optimal
Dalam penyelesaian ini, langkah pertama adalah mencari
fungsi Hamiltonian, dengan:
ℋ = ℋ(x(t), u(t), λ(t), t)
= 𝑣(𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑡) + 𝜆′(𝑡)𝑓(𝑥), 𝑢(𝑡), 𝑡)
ℋ =1
2𝑞1𝑢1
2(𝑡) +1
2𝑞2𝑢2
2(𝑡)
+𝜆1(𝑡)𝑢1(𝑡)𝑥1(𝑡) − 𝛽1𝜆1(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)
+𝜆2(𝑡)𝑢2(𝑡)𝑥2(𝑡) − 𝛽2𝜆2(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) (3)
Kemudian langkah selanjutnya adalah mendapatkan u*
dengan cara menurunkan fungsi Hamiltonian (3) terhadap u,
didapatkan:
𝑢1(𝑡) = −𝜆1(𝑡)𝑥1(𝑡)
𝑞1
(4)
𝑢2(𝑡) = −𝜆2(𝑡)𝑥2(𝑡)
𝑞2
(5)
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
3
Karena kendali berada pada interval [-1,1] maka u* yang
diperolah juga berada pada interval tersebut dan turunan kedua
dari fungsi Hamiltonian tersebut adalah positif, yaitu: 𝜕ℋ
𝜕𝑢1
= 𝑞1 > 0 𝑑𝑎𝑛 𝜕ℋ
𝜕𝑢2
= 𝑞2 > 0
Menunjukan bahwa ℋ mempunyai nilai minimum.
Langkah selanjutnya adalah subtitusi nilai u* kedalam fungsi
ℋ untuk mendapatkan ℋ∗ atau ℋ yang optimal, yaitu:
ℋ∗ = −𝜆1(𝑡)𝑥1
2(𝑡)
2𝑞1
− 𝛽1𝜆1(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡)
−𝜆2(𝑡)𝑥2
2(𝑡)
2𝑞2
− 𝛽2𝜆2(𝑡)𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) (6)
Selanjutnya hasil dari ℋ∗ digunkan untuk mendapatkan state
dan co-state yaitu:
𝑥1̇(𝑡) =𝜕ℋ∗
𝜕𝜆1(𝑡)= −
𝜆1(𝑡)𝑥12(𝑡)
𝑞1
− 𝛽1𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) (7)
𝑥2̇(𝑡) =𝜕ℋ∗
𝜕𝜆2(𝑡)= −
𝜆2(𝑡)𝑥22(𝑡)
𝑞2
− 𝛽2𝑥1(𝑡)𝑥2(𝑡) (8)
𝜆1̇(𝑡) =𝜕ℋ∗
𝜕𝑥1(𝑡)=
𝜆12(𝑡)𝑥1(𝑡)
𝑞1
+ 𝛽1𝜆1(𝑡)𝑥2(𝑡)
+𝛽2𝜆2(𝑡)𝑥2(𝑡) (9)
𝜆2̇(𝑡) =𝜕ℋ∗
𝜕𝑥2(𝑡)=
𝜆22(𝑡)𝑥2(𝑡)
𝑞2
+ 𝛽1𝜆1(𝑡)𝑥1(𝑡)
+𝛽2𝜆2(𝑡)𝑥1(𝑡) (10)
Formulasi kendali optimal pada permasalahan ini
menggunakan sistem dengan 𝑡𝑓 bebas dan x(𝑡𝑓) ditentukan,
sehingga kondisi transversalitasnya adalah:
(ℋ∗ +𝜕𝑆
𝜕𝑡)
𝑡𝑓= 0
Didapatkan
(−𝑥1
2(𝑡𝑓)
2𝑞1
) 𝜆12(𝑡𝑓) − (−
𝑥22(𝑡𝑓)
2𝑞2
) 𝜆22(𝑡𝑓)
−(𝛽1𝑥1(𝑡𝑓)𝑥2(𝑡𝑓))𝜆1(𝑡𝑓)
−(𝛽2𝑥1(𝑡𝑓)𝑥2(𝑡𝑓))𝜆2(𝑡𝑓) = 0
C. Analisa Hasil Simulasi
Dalam simulasi diberikan nilai parameter yang
digunakan untuk memproduksi sumber energi terbarukan dan
tidak terbarukan. Dalam hal ini, energi yang dihasilkan berupa
pembangkit listrik dengan satuan MW( Mega Watt). Adapun
nilai inputan parameternya antara lain : 𝑞1=2, 𝑞2=2,
𝑥1(0)=0.05 , 𝑥2(0)=0.95 . Sedangkan nilai parameter
komputasi yang digunakan adalah: 𝛽1=0.008, 𝛽2=0.01,.
Dalam kasus ini, diinginkan waktu akhir produksi dengan
kondisi batas yang sdah ditentukan, yaitu:
𝑥1(𝑡0) = 0.05
𝑥2(𝑡0) = 0.95
𝑥1(𝑡𝑓) = 0.5
𝑥2(𝑡𝑓) = 0.5
Akan tetapi sebelum dilakukan simulasi, fungsi objektif akan
ditransformasikan. untuk menjadikan tf sebagai sebuah
parameter dengan mengambil:
𝑧1 = 𝑡𝑓 − 𝑡0
untuk 𝑡0 = 0 maka didapatkan 𝑧1 = 𝑡𝑓
setelah itu dilakukan transformasi dengan menggunakan
𝑡 = 𝑠𝑧1 − 𝑡0 [6].
kemudian kedua ruas diturunkan, didapat 𝑑𝑡 = 𝑧1𝑑𝑠 sehingga
didapatkan fungsi tujuan sebagai berikut:
𝐽(𝑢) = 𝑧(1) 1
2 ∫ {𝑞1𝑢1
2 + 𝑞2𝑢22}
𝑡𝑓
𝑡0
𝑑𝑠
Simulasi pertama yang dilakukan adalah ketika
pengendali untuk tingkat produksi sumber energi terbarukan
(𝑢1(𝑡)) dan tidak terbarukan (𝑢2(𝑡)) bernilai nol. Artinya tidak
ada pengendalian terhadap produksi sumber energi. Kemudian
simulasi yang kedua adalah dengan adanya pengendalian,
sehingga dapat terlihat pengaruh kendali optimal dalam
produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan.
Gambar 1. Tingkat produksi energi terbarukan tanpa
pengendalian
Dalam simulasi tersebut menunjukkan perilaku tingkat
produksi sumber energi terbarukan tanpa pengendalian. Dari
grafik tersebut terlihat bahwa tingkat produksi sumber energy
terbarukan tidak mengalami penurunan maupun peningkatan
produksi.
Tingkat produksi awal untuk sumber energy
terbarukan adalah 0.05, kemudian berjalan konstan hingga
akhir waktu. sehingga tidak ditemukan waktu akhir dalam
produksi ini, karena produksi tidak akan pernah mencapai nilai
target produksi sebesar 0.5 (50%). Hal ini disebabkan tidak
adanya pengendali sehingga laju perubahan produksi konstan.
kemudian simulasi yang kedua adalah tingkat produksi sumber
energi tidak terbarukan tanpa adanya pengendalian.
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
4
Gambar 2. Tingkat produksi energi tidak terbarukan tanpa
pengendalian
Dan dalam simulasi ke 2 tersebut menunjukkan
perilaku yang sama dengan produksi sumber energi terbarukan
tanpa pengendalian. Dari grafik tersebut terlihat bahwa tingkat
produksi sumber energi tidak terbarukan tidak mengalami
penurunan maupun peningkatan produksi. Tingkat produksi
awal untuk sumber energi terbarukan adalah 0.95, kemudian
berjalan konstan hingga akhir waktu. sehingga tidak ditemukan
waktu akhir dalam produksi ini, karena produksi tidak akan
pernah mencapai nilai target produksi sebesar 0.5(50%). Hal ini
disebabkan tidak adanya pengendali sehingga laju perubahan
produksi konstan.
kemudian simulasi selanjutnya adalah ketika
pengendali untuk tingkat produksi sumber energi
terbarukan(u1(t)) dan tidak terbarukan (u2(t)) bernilai 6= nol.
Artinya ada pengendalian terhadap produksi sumber energi.
Gambar 3. Tingkat produksi energi terbarukan dengan
pengendalian. Dari gambar 3 tersebut terlihat bahwa produksi energy
terbarukan dengan pengendalian dengan kondisi awal untuk
energi terbarukan adalah sebesar 0.05 (5%) dan mengalami
peningkatan hingga mencapai 0.5 (50%) di akhir waktu.
untuk simulasi keempat, adalah untuk menunjukkan tingkat
produksi sumber energi tidak terbarukan dengan pengendalian.
Gambar 4. tingkat produksi energi tidak terbarukan dengan
pengendalian
Dari gambar 4 tersebut terlihat bahwa produksi energy tidak
terbarukan dengan pengendalian dengan kondisi awal untuk
energi terbarukan adalah sebesar 0.95 (5%) dan mengalami
penurunan hingga mencapai 0.5 (50%) di akhir waktu. Untuk
simulasi kelima adalah untuk menunjukkan tingkat
pengendalian pada produksi sumber energi terbarukan.
Gambar 5. pengendali tingkat produksi energi terbarukan
Kemudian Gambar 5, terlihat bahwa pengendali yang
didapat berada dalam interval [-1; 1]. Persentase tingkat
pertumbuhan dari sumber energi terbarukan (pengendali 1)
berada di sumbu positif, menunjukkan bahwa produksi sumber
energi tersebut ditingkatkan dan upaya pengendalian yang
diberikan pun juga diminimumkan.
Gambar 6: pengendali tingkat produksi energi tidak terbarukan
Selanjutnya Gambar 6, terlihat bahwa pengendali yang didapat berada dalam interval [-1; 1]. Persentase tingkat
pertumbuhan dari sumber energi tidak terbarukan (pengendali
2) berada di sumbu negatif, menunjukkan bahwa produksi
sumber energi tersebut diturunkan. kemudian yang terakhir
akan ditunjukan hasil dari waktu optimal dalam diversi_kasi
produksi sumber energi terbarukan dan tidak terbarukan.
gambar 4.7 menunjukan waktu akhir energi terbarukan dengan
tingkat produksi awal adalah 0.05% dan target akhir adalah
sebesar 0.56%, sedangkan untuk sumber energi yang tidak
terbarukan dengan target produksi awal sebesar 0.95% dan
target akhir sebesar 0.5%, adalah:
Gambar 7: waktu akhir untuk tingkat produksi energi
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.1, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
5
Dengan menggunakan fungsi objektif yang sudah
ditransformasikan (4.9), dan inpu parameter 𝑞1 = 1:1, 𝑞2 = 0:75,
𝑢1(𝑡𝑓) = 0.77, dan 𝑢2(𝑡𝑓) = -0.2 maka akan didapatkan 𝑧1
sebesar 17.69, dan karena 𝑧1 = 𝑡𝑓 , maka waktu akhir
didapatkan sebesar 17.69 tahun.
IV. KESIMPULAN
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah disajikan pada
bab sebelumnya, dapat disimpulkan bahwa dengan menerapkan
PMP (Prinsip Minimum Pontryagin) diperoleh pengendali
optimal dalam produksi sumber energi terbarukan dan tidak
terbarukan dan didapatkan waktu yang optimal dalam produksi
sumber energi terbarukan dengan nilai awal produksi sebesar
0.05 (5%) dan produksi sumber energi tidak terbarukan dengan
nilai produksi awal 0.95% dan niali akhir produksi masing
masing sebesar 50% adalah selama 17.69 tahun.
IV. SATUAN WAKTU.DAFTAR PUSTAKA
[1] Miah, M. S., Ahmed, N. U., Chowdhury, M. (2011).
“Optimum Policy for Integration of Renewable energy
sources into the power Generation System”. Elsevier.
Energy Economics pp: 558-567.
[2] Fitria, (2013). “Kendali Optimal Pada Produksi Energi
Terbarukan dan Tidak Terbarukan”. Paper Jurusan
Matematika Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya. [3] Naidu, S. D. (2002). Optimal Control System. USA: CRC
Press LLC.
[4] Perpres. (2006). Peraturan Presiden Republik Indonesia.
Jakarta.
[5] Shonkwiler dan Herod. (2009) Mathematical Biology:An
Introduction with Maple and Matlab USA
[6] Cahyaningtias, 2011 “Waktu Optimum Peluru Kendali
Dengan Manuver Akhir Menghujam Vertikal” Paper
Jurusan Matematika Institut Teknologi Sepuluh
Nopember Surabaya.