Uji Goodness of Fit : Distribusi Multinomial
Distribusi Multinomial
Distribusi Multinomial merupakan generalisasi dari distribusi binomial yaitu dengan melonggarkan kriteria banyaknya hasil (outcome) yang mungkin jadi lebih dari 2.
Dalam hal ini maka percobaannya disebut percobaan multinomial sedangkan distribusi probabilitasnya disebut distribusi multinomial.
Definisi:Misalkan tiap percobaan bisa menghasilkan k hasil yang berbeda yaitu E1, E2, …,Ek dan masing-masing dengan probabiliitas p1, p2, …,pk.
Distribusi multinomial f(x1,x2,…,xk; n, p1,p2, ..,pk) akan memberikan probabilitas bahwa E1 akan muncul sebanyak x1 kali, E2 akan muncul sebanyak x2 kali, dst dalam pengambilan independen sebanyak n kali, jadi
x1+ x2+ ….+ xk=n
dengan p1+p2+ …+ pk =1 dan
kxk
xx
kkk ppp
xxx
nnppxxf ...
,...,),,...,;,...,( 21
2121
11
1127.0)18
11()
6
1()
9
2(
3,1,2
6)6,
18
11,6
1,9
2;3,1,2( 312
321321
npppxxxf
Sebuah airport memiliki 3 buah landas pacu (runway), dan probabilitas sebuah runway dipilih oleh pesawat yg akan mendarat adalah:runway -1 : 2/9runway -2 : 1/6runway -3 : 11/18
Berapakah probabilitas 6 pesawat yg datang secara acak di distribusikan ke dalam runway-runway tsb spt berikut:runway -1 : 2 pesawatrunway -2 : 1 pesawatrunway -3 : 3 pesawat
Jawab.Pemilihan runway acak dan independen, dengan p1=2/9, p2=1/6 dan p3=11/18. Probabilitas untuk x1=2, x2= 1 dan x3=3 adalah
Contoh • Seorang dokter melakukan pengobatan sebanyak 6 kali
terhadap 6 orang penderita gagal jantung dengan hasil sembuh sempurna, sembuh dengan gejala sisa, dan meninggal.
• Berapa besar probabilitas dari 6 kali pengobatan tersebut menghasilkan 2 orang sembuh sempurna, 2 orang sembuh dengan gejala sisa, dan 2 orang meninggal.
p =n!
(P1r1) (P1
r1) (P1
r1)r1!r2r3!
p =6!
(1/3)2 (1/3)2(1/3)2
2! 2! 2!
P = 0,123 = 12,3%
Contoh
• Berdasarkan teori genetika, perbandingan seekor hamster betina akan melahirkan anak dgn warna bulu merah,hitam dan putih adalah 8:4:4. Hitung peluang akan lahir anak dgn warna merah 5 ekor, hitam 2 ekor, putih 1 ekor dari kelahiran 8 ekor.
5 2 5 38
5 2 8 45,2,1
8 4 4 8 4 4 8! 8 4 1 1685,2,1; , , 168 0,656
16 16 16 16 16 16 5!2!1! 16 4 256f
Uji Goodness of Fit
Uji Goodness of Fit
Bagaimana dekat hasil pengamatan/sampel sesuai dengan yang diharapkan ?
Example: In tossing a coin, you expect half heads and half tails. You tossed a coin 100 times. You expected 50 heads and 50 tails. However, you obtained 48 heads and 52 tails. Are 48 heads and 52 tails close enough to call the coin fair?
Uji Hipotesis untuk proporsi dari Populasi Multinomial
1. Nyatakan Hipotesis nol dan hipotesis alternatifnya.
2. Ambil sampel random dan tentukan frekuensi pengamatan, fi , untuk masing-masing k kategori.
3. Dengan menganggap H0 benar, frekuensi harapan ei dihitung untuk tiap kategori yaitu dengan mengalikan tiap kategori dengan probabilitas tiap kategori dengan ukuran sampel (sample size).
Uji Hipotesis untuk proporsi dari Populasi Multinomial
22
1
( )f ee
i i
ii
k
4. Hitung statistik uji
Catatan : Statistik mempunyai distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas k – 1 asalkan frekuensi harapan untuk semua kategori lebih dari 5.
Catatan : Statistik mempunyai distribusi chi-kuadrat dengan derajat bebas k – 1 asalkan frekuensi harapan untuk semua kategori lebih dari 5.
fi = frekuensi pengamatan untuk kategori iei = frekuensi harapan untuk ik = banyak kategori
dengan
Uji Hipotesis untuk proporsi dari Populasi Multinomial
dengan adalah tingkat signifikansi dan distribusinya adalah distribusi chi-kuadrat
dengan derajat bebas k – 1.
p-value approach:
Critical value approach:
Reject H0 if p-value < a
5. Aturan Penolakan
2 2 Reject H0 if
Multinomial Distribution Goodness of Fit Test
Example: Finger Lakes Homes (A)
Finger Lakes Homes manufactures four models of prefabricated homes, a two-story colonial, a log cabin, a split-level, and an A-frame. To help in production planning, management would like to determine if previous customer purchases indicate that there is a preference in the style selected.
Split- A-Model Colonial Log Level Frame# Sold 30 20 35 15
The number of homes sold of eachmodel for 100 sales over the past twoyears is shown below.
Multinomial Distribution Goodness of Fit Test
Example: Finger Lakes Homes (A)
Hypotheses
Multinomial Distribution Goodness of Fit Test
where: pC = population proportion that purchase a colonial pL = population proportion that purchase a log cabin pS = population proportion that purchase a split-level pA = population proportion that purchase an A-frame
H0: pC = pL = pS = pA = .25
Ha: The population proportions are not
pC = .25, pL = .25, pS = .25, and pA = .25
Hypotheses
Ho : There is no preference in the home styles or all home styles have equal preferences.
Ha : All home styles do not have equal preferences.
Rejection Rule
22
7.815 7.815
Do Not Reject H0Do Not Reject H0 Reject H0Reject H0
Multinomial Distribution Goodness of Fit Test
With = .05 and k - 1 = 4 - 1 = 3 degrees of freedom
Reject H0 if p-value < .05 or c2 > 7.815.
Expected Frequencies
Test Statistic
22 2 2 230 25
2520 2525
35 2525
15 2525
( ) ( ) ( ) ( )
Multinomial Distribution Goodness of Fit Test
e1 = .25(100) = 25 e2 = .25(100) = 25
e3 = .25(100) = 25 e4 = .25(100) = 25
= 1 + 1 + 4 + 4 = 10
Multinomial Distribution Goodness of Fit Test
Conclusion Using the p-Value Approach
The p-value < a . We can reject the null hypothesis.
Because c2 = 10 is between 9.348 and 11.345, the area in the upper tail of the distribution is between .025 and .01.
Area in Upper Tail .10 .05 .025 .01 .005c2 Value (df = 3) 6.251 7.815 9.348 11.345 12.838
Note: A precise p-value can be found using R. Note: A precise p-value can be found using R.
Conclusion Using the Critical Value Approach
Multinomial Distribution Goodness of Fit Test
We reject, at the .05 level of significance,the assumption that there is no home stylepreference.
c2 = 10 > 7.815
Solusi dengan SPSS : Data
Solusi dengan SPSS
• Sesudah mengimputkan data dalam bentuk frekuensi pengamatan seperti di samping selanjutnya digunakan perintah Analyze Non Parametrik Statistik Chi-square
Langkah pengerjaan dengan SPSS
Output SPSS :
• Dari output SPSS diperoleh X2 = 10 dengan nilai-p = 0.019 sehingga Ho ditolak artinya distribusinya tidak seragam diskrit (homogen).
Soal 1
Soal 2
Soal 3
Soal 4
Soal 5
Soal 6
Soal 7
TERIMA KASIH