04/12/2012

1

Model Model Loss Loss SistemSistem

AnharAnharProdi Teknik Elektro S1Prodi Teknik Elektro S1URUR

Topik BahasanTopik Bahasan....

� Notasi Model Antrian (Kendall)

� Model Poisson (∞ customers, ∞ servers)

� Model Erlang (∞ customers, n < ∞ servers)

� Binomial model (k < ∞ customers, n = k servers)

� Engset model (k < ∞ customers, n < k servers)

2

04/12/2012

2

Notasi Model Antrian (Kendall)Notasi Model Antrian (Kendall)

� A/B/n/p/k– A menyatakan proses kedatangan

� Interarrival time distribution:� M= exponential (memoryless)� D= deterministic� G= general

– B menyatakan waktu pelayanan (service times)� Service time distribution:� M= exponential (memoryless)� D= deterministic� G= general

– n = jumlah server– p = jumlah tempat dalam sistem

= jumlah server + tempat menunggu

3

Notasi Model Antrian (Kendall) Notasi Model Antrian (Kendall) (cont.)(cont.)

◦ k = populasi pelanggan

◦ Nilai-nilai default (biasanya tidak dimunculkan) :

� p = ∞, k = ∞

◦ Contoh:

� M/M/1

� M/D/1

� M/G/1

� G/G/1

� M/M/n

� M/M/n/n+m

� M/M/∞ (Poisson model)

� M/M/n/n (Erlang model)

� M/M/k/k/k (Binomial model)

� M/M/n/n/k (Engset model, n < k)

4

04/12/2012

3

Model Poisson (M/M/Model Poisson (M/M/∞∞))� Model Poisson didefinisikan menggunakan model teletraffic

berikut :– Kedatangan panggilan acak (random arrival/Pure Chance Traffic) dan

independent satu sama lain

– Selang waktu antar kedatangan terdistribusi eksponensial negatif

– Jumlah sumber panggilan (customer) tak terhingga (k= ∞)

– Laju rata-rata datangnya panggilan konstan (a=λ)� Tak tergantung jumlah pendudukan yang sudah ada karena sumber panggilan

tak terhingga

– Jumlah server yang melayani tak terhingga� Setiap panggilan yang datang selalu dapat dilayani (lossless)

– Pola waktu pelayanan/pendudukan terdistribusi exponensial negatif dengan waktu pelayanan/pendudukan (service time) rata-rata = h = 1/µ

– Harga rata-rata trafik sama dengan harga variansinya

– Tidak ada buffer

– Intensitas trafik = a = λ/µ

5

Diagram Transisi KondisiDiagram Transisi Kondisi� Misalnya X(t) menyatakan jumlah customer di dalam sistem

pada saat t

� Asumsikan bahwa X(t) = i pada suatu waktu t, dan kita lihat apa saja kemungkinan yang terjadi di dalam selang waktu yang sangat pendek (t, t+dt] :

◦ dengan peluang sebesar λdt + o(dt), bisa terdapat seorang pelanggan baru datang (transisi kondisi n → n+1)

◦ jika i > 0, dengan peluang sebesar iµdt + o(dt) bisa terdapat seorang pelanggan yang meninggalkan sistem (transisi kondisi n → n−1)

� X(t) merupakan suatu proses Markov dengan diagram transisi kondisi sebagai berikut

6

0 1 2 n

λ

(n+1)µ

λ λ λ λ

nµ3µ2µµ

04/12/2012

4

• Persamaan kesetimbangan lokal

• Normalisasi

• Maka distribusi dalam kondisi setimbang adalah Poisson

7

.0,1,2,3,.. n ,!

)1()1(

)1(

0

1

1

==

+=

+=

+=

+

+

pn

ap

pn

ap

np

npp

n

i

iin

nn

µλ

µλ

aa

n

n

n

n

nn

een

ap

n

app

−−−∞

=

∞

=

∞

=

==

=

==

∑

∑∑

1

1

00

00

0

)(!

1!

.0,1,2,3,.. n ,!

}{ ==== −an

i en

apiXP

� Sifat penting distribusi Poisson

◦ E [X] = a, D2[X] = a

◦ Seluruh trafik yang ditawarkan akan dapat diolah oleh server, artinya tidak ada trafik yang hilang (lossless)

� Oleh karena itu trafik yang ditawarkan akan sama dengan trafik yang dimuat atau A = Y

8

04/12/2012

5

Model Erlang (M/M/n/n)Model Erlang (M/M/n/n)

� Model Erlang didefinisikan menggunakan model teletraffic berikut– Jumlah sumber panggilan tak terhingga (k=∞)

– Selang waktu antar kedatangan terdistribusi eksponensial negatif dengan rata-rata 1/λ� Pola kedatangan panggilan terdistribusi Poisson dengan laju rata-rata

datangnya panggilan konstan (λ)� Kedatangan panggilan acak (random arrival) dan independent satu sama lain� Tak tergantung jumlah pendudukan yang sudah ada karena sumber panggilan tak

terhingga

– Jumlah server terbatas (n < ∞) dan tidak ada buffer� Tidak setiap panggilan yang datang selalu dapat dilayani; panggilan yang datang

pada saat semua server sibuk akan tidak dapat dilayani� panggilan-panggilan yang tidak dapat dilayani akan dihilangkan (lossy) : sistem

rugi murni

– Pola waktu pelayanan/pendudukan terdistribusi exponensial negatif dengan waktu pelayanan/pendudukan rata-rata = h = 1/µ

– Intensitas trafik = a = λ/µ

9

Rumus Rugi Erlang�Dapat digunakan untuk menghitung prosentase

panggilan yang hilang bila trafik yang ditawarkan dan jumlah server (ingat, server bisa berupa berkas saluran keluar, timeslot dsb.) diketahui

�Penurunan rumus menggunakan diagram transisi kondisi dan persamaan kesetimbangan

– Koefisien kelahiran = λ (konstan)

– Koefisien kematian = nµ– A = λ/µ

10

04/12/2012

6

λP(0) = 1µP(1)A.P(0) = 1.P(1)A.P(1) = 2.P(2)A.P(2) = 3.P(3)

...A.P(n-1) = n.P(n)

.

.

.

A.P(N-1) = N.P(N)

11

0 1 2

λ λ λ λ

(N-1)µ3µ2µµ

N-1 N

λ

Nµ

12

• Dari persamaan kesetimbangan tersebut bisa kita peroleh

P(n) = P(n-1) = P(n-2)= P(n-3)= … = P(0)

• Jadi P(n) = P(0), dengan n = 0,1,2,…,N

• Mencari P(0) :

– 1 = P(n) = P(0) { 1+A+ + + … + }

– Jadi P(0) =

A

n

A2

n(n-1)

A3

n(n-1)(n-2)

An

n!

An

n!

An

n!

Σn=0

N

Σn=0

NA2

2!

A2

2!

A3

3!

A3

3!

AN

N!

AN

N!

1

Σn=0

N

Σn=0

NAn

n!

An

n!

04/12/2012

7

• Sehingga

•

Untuk n = 0,1,2,3,…, N• P(N) = Probabilitas bahwa semua server sibuk;

selama waktu ini semua panggilan yang datangditolak (dihilangkan)

13

P(n) =

An

n!

1+A+ + … +A2

2!AN

N!

� Simbol untuk menyatakan P(N)◦ E1,N(A)

◦ EN(A)

◦ B (Blocking)

◦ Rumus Rugi Erlang

◦ Rumus Erlang-B

◦ B(N,A)

◦ Grade of Service (GOS)� Dari segi nilai, GOS = Blocking

� Dari segi pengertian, GOS merupakan komplemen dari Blocking

14

04/12/2012

8

� Jadi

15

P(N) = E1,N(A) = EN(A) = B =

AN

N!

1+A+ + … +A2

2!AN

N!

Ditabelkan

Kongesti Waktu dan Kongesti Panggilan�Probabilitas kondisi adalah lamanya waktu suatu

kondisi berlangsung selama satu jam pengamatan (jam sibuk), maka

�P(N) dapat diartikan sebagai lamanya waktu dimana semua server (=N) sibuk berlangsung dalam jam jam sibuk sehingga P(N) disebut pula sebagai Kongesti Waktu (Time Congestion)

�Dapat pula dikatakan :P(N) adalah bagian waktu dimana N server sibuk

16

04/12/2012

9

17

• Pengertian Kongesti Panggilan = R(N)

• Atau dengan kata lain :

R(N) adalah bagian panggilan yang ditolak

• Untuk kedatangan yang acak P(N) = R(N)

R(N) = Jumlah panggilan yang ditolak

Jumlah panggilan selama 1 jam

Efisiensi dan Kepekaan

� Efisiensi (= A/N)

◦ Untuk B tertentu, dengan bertambahnya A, akan diperlukan N yang lebih besar pula

◦ Makin besar A, makin besar (baik) efisiensinya

18

B = 1%

N A A/N

2 0,15 0,075

4 0,87 0,215

10 4,46 0,440

50 37,90 0,760

04/12/2012

10

� Kepekaan

◦ Seberapa besar pengaruh perubahan A terhadap perubahan B untuk N tetap

◦ Makin besar A, makin besar kepekaaannya (perubahan B-nya)

19

B = 1%

N A 1,1A (A naik 1%) Trafik 1,1A dan dengan N

tetap; B berubah menjadi

2 0,15 0,165 0,012 (=1,2 %)

4 0,87 0,957 0,013 (=1,3 %)

10 4,46 4,906 0,015 (=1,5 %)

50 37,90 41,690 0,030 (=3,0 %)

� Model Erlang dapat diterapkan pada trafik telepon di dalam suatu berkas saluran trunk dimana jumlah user yang menggunakannya sangat banyak

◦ customer = call

−λ = call arrival rate (calls per time unit)

◦ h = 1/µ = average call holding time (time units)

◦ a = λ /µ = traffic intensity

◦ N = kapasitas link (jumlah saluran)

20

04/12/2012

11

21

• Harga rata-rata trafik yang dimuat oleh berkas

saluran (pada rumus Erlang)

– Merupakan jumlah saluran rata-rata yang diduduki

(selama waktu 1 jam sibuk)

– Y = trafik yang dimuat =

– Y = A [ -B + 1]

Σn=0

N

Σn=0

N

n.P(n)= Σn=0

N

Σn=0

N An/(n-1)!

Σj=0

N

Σj=0

N

Aj/j!

= A Σn=0

N

Σn=0

N An-1/(n-1)!

Σj=0

N

Σj=0

N

Aj/j!

= AAN/N!

Σj=0

N

Σj=0

N

Aj/j!

+Σn=0

N

Σn=0

N An/n!

Σj=0

N

Σj=0

N

Aj/j!

-

B 1

� Jadi :

◦Y = A[1-B] atau

◦A = Y + AB

� A = Trafik yang ditawarkan (rata-rata)

� Y = Trafik yang dimuat (rata-rata)

� AB = R = Trafik yang ditolak (hilang)

22

04/12/2012

12

Rumus Rekursif ErlangRumus Rekursif Erlang

23

En+1(A)=An+1/(n+1)!

1+A+ A2

2!An+1

(n+1)!+…+

=[A/(n+1)] An/n!

1+A+ A2

2!An+1

(n+1)!+…+

Rumus Rekursif Erlang (2)Rumus Rekursif Erlang (2)

24

En+1(A)=

An/n!

1+A+ A2

2!An

n!+…+

An+1/(n+1)!

1+A+ A2

2!An+1

(n+1)!+…+

A

(n+1) 1+

04/12/2012

13

Rumus Rekursif Erlang (3)Rumus Rekursif Erlang (3)

25

En+1(A)=

An+1/(n+1)!

1+A+ A2

2!An

n!+…+

A.En(A)

(n+1) 1+ A

(n+1)

=

En(A)

A.En(A)

(n+1) 1+ A

(n+1)

Rumus Rekursif Erlang (4)Rumus Rekursif Erlang (4)

26

En+1(A)=A.En(A)

n + 1 + A.En(A)

Jadi

atau

En (A)=A.En-1(A)

n + 1 + A.En-1(A)

04/12/2012

14

Rumus Rekursif Erlang (5)Rumus Rekursif Erlang (5)

� Misalkan akan dihitung blocking dari suatu sistem dengan A=15,7 Erlang dan N=10 saluran

� Perhitungannya dimulai dengan n=0 yaitu E0(15,7)=1 dan seterusnya sampai E10(15,7)

27

latihanlatihan

� Dua buah PABX akan dihubungkan satu sama lain. Trafik total yg ditawarkan dari PABX A ke PABX B adalah 25 erlang, demikian pula sebaliknya. Bila blocking pada berkas saluran penghubung diinginkan 1%, tentukan :◦ Hitung jmlh saluran yg harus disediakan bila

digunakan sirkuit one way.

◦ Hitung jmlh saluran yg harus disediakan bila digunakan sirkuit two way.

28

04/12/2012

15

� Suatu berkas saluran terdiri dari 18 saluran. Ditawari trafik dng laju kedatangan panggilan 480 panggilan/jam dan rata-rata waktu pendudukan selama 105 detik. Bila kedatangan panggilan terdistribusi Poisson, hitung trafik yg ditawarkan, time congestion, call congestion dan jumlah panggilan yg ditolak rata-rata perjamnya.

29

Model Binomial (M/M/k/k/k)Model Binomial (M/M/k/k/k)

�Model Binomial didefinisikan oleh model teletraffic berikut :– Jumlah sustomer terbatas tapi independen satu sama

lain (k < ∞)� on-off type customers (alternating between idleness and activity)

– Idle times terdistribusi eksponensial negatif dengan mean 1/υ

– Jumlah server sama dengan jumlah customer (n = k)

– Waktu pelayanan terdistribusi eksponensial negatif dengan mean 1/µ

– Tidak ada buffer

– Model Binomial bersifat lossless

30

04/12/2012

16

OnOn--off tye customeroff tye customer

� Misalkan Xj(t) menyatakan kondisi dari customer j ( j = 1,2,…,k ) pada waktu t

� State 0 = idle, state 1 = active = dalam pelayanan

� Kita lihat peristiwa yang terjadi selama selang waktu yang sangat singkat (t, t+h]:◦ Jika Xj(t) = 0, customer menjadi aktif (terjadi transisi dari 0 ke 1)

dengan peluang sebesar υh + o(h),

◦ Jika Xj(t) = 1, customer menjadi idle (terjadi transisi dari 1 ke 0) dengan peluang sebesar µh + o(h)

� Proses Xj(t) merupakan proses Markov dengan diagram transisi kondisi sebagai berikut

31

� Persamaan kesetimbangan lokal :

32

• Normalisasi :

• Dengan demikian distribusi pada kondisi setimbang dari seorang

customer adalah distribusi Bernoulli dengan peluang sukses

sebesar υ/(υ +µ)

• offered traffic adalah υ/(υ +µ)

• Dari sini kita bisa mengambil deduksi bahwa distribusi pada kondisi

setimbang dari kondisi sistem secara keseluruhan (yaitu jumlah

customer yang aktif) adalah distribusi binomial Bin(k, υ /(υ +µ))

04/12/2012

17

Diagram Transisi KondisiDiagram Transisi Kondisi� Misalnya X(t) menyatakan jumlah customer yang aktif

◦ Asumsikan bahwa X(t) = i pada saat t, dan kita perhatikan kejadian selama selang waktu yang sangat singkat (t, t+h]:

� Jika i < k, seorang customer yang idle menjadi aktif (terjadi transisi kondisi dari i ke i+1) dengan peluang sebesar (k−i)υh + o(h)

� Jika i > 0, seorang customer yang aktif menjadi idle (terjadi transisi kondisi dari i ke i-1) dengan peluang iµh + o(h),

� Proses X(t) adalah proses Markov dengan diagram transisi kondisi sebagai berikut

33

� Persamaan kesetimbangan lokal

34

• Normalisasi

04/12/2012

18

� Jadi distribusi dalam kondisi setimbang adalah binomial

35

Model Engset (M/M/n/n/k)Model Engset (M/M/n/n/k)

�Model Engset didefinisikan oleh model teletraffic berikut :– Jumlah pelanggan terbatas tetapi independen satu sama

lain (k < ∞)� on-off type customers (alternating between idleness and activity)

– Idle times terdistribusi eksponensial negatif dengan mean 1/υ

– Jumlah server lebih kecil daripada jumlah customer (n < k)

– Waktu pelayanan terdistribusi eksponensial negatif dengan mean 1/µ

– Tidak ada buffer

– Model Engset bersifat lossy

36

04/12/2012

19

Diagram Transisi KondisiDiagram Transisi Kondisi

� Misalnya X(t) menyatakan jumlah customer yang aktif

◦ Asumsikan X(t) = i pada saat t, dan kita perhatikan apa yang terjadi selama selang waktu yang sangat singkat (t, t+h]:

� Jika i < n, seorang customer yang idle menjadi aktif (terjadi transisi kondisi dari i ke i+1) dengan peluang sebesar (k−i)υh + o(h)

� Jika i > 0, seorang customer yang aktif menjadi idle (terjadi transisi kondisi dari i-1 ke i) dengan peluang iµh + o(h),

◦ Proses X(t) merupakan proses Markov dengan diagram transisi kondisi sebagai berikut

37

� Persamaan kesetimbangan lokal

38

• Normalisasi

04/12/2012

20

� Jadi distribusi pada kondisi setimbang adalah truncated binomial distribution:

39

• Offered traffic dinyatakan oleh kυ/(υ +µ)

� Time Blocking

40

• Karena proses kedatangan tidak terdistribusi Poisson, maka

pada model Engset, Time Blocking tidak sama dengan Call

Blocking