PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES ESPECIALIDAD DE ECONOMÍA SEMESTRE 2011–1
ECONOMETRÍA 2
(ECO 330) Profesor : Erick Lahura
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 2
Para resolver este laboratorio utilice el archivo Lab02_eco2.wf1 disponible en Intranet.
1. PARÁMETROS CAMBIANTES. En base a la información de la pestaña “Break”, responda: 1.1 Estime la ecuación:
Dependent Variable: SB
Method: Least Squares
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.219470 0.084897 26.14323 0.0000
X2 1.479004 0.088867 16.64297 0.0000
X3 1.330096 0.086432 15.38901 0.0000 R-squared 0.704795 Mean dependent var 2.245588
Adjusted R-squared 0.702304 S.D. dependent var 2.392996
S.E. of regression 1.305656 Akaike info criterion 3.383709
Sum squared resid 404.0227 Schwarz criterion 3.427217
Log likelihood -403.0451 Hannan-Quinn criter. 3.401240
F-statistic 282.9157 Durbin-Watson stat 1.529084
Prob(F-statistic) 0.000000
1.2 Teóricamente se sabe que los coeficientes de X2 y X3 del modelo anterior deberían ser
constantes a lo largo de toda la muestra (A2). Realice la estimación dividiendo la muestra en 2 grupos: 1950q1-1989q4 y 1990q1-2009q4. ¿Se confirma el supuesto A2 en las estimaciones? Explique por qué.
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2
Dependent Variable: SB
Method: Least Squares
Sample: 1950Q1 1989Q4
Included observations: 160
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 1.779329 0.075634 23.52545 0.0000
X2 1.147299 0.079176 14.49041 0.0000
X3 0.984532 0.074295 13.25170 0.0000
R-squared 0.724587 Mean dependent var 1.739979
Adjusted R-squared 0.721078 S.D. dependent var 1.808533
S.E. of regression 0.955141 Akaike info criterion 2.764657
Sum squared resid 143.2302 Schwarz criterion 2.822316
Log likelihood -218.1725 Hannan-Quinn criter. 2.788070
F-statistic 206.5262 Durbin-Watson stat 2.101725
Prob(F-statistic) 0.000000
Dependent Variable: SB
Method: Least Squares
Date: 03/30/11 Time: 14:26
Sample: 1990Q1 2009Q4
Included observations: 80 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.994002 0.109824 27.26171 0.0000
X2 2.155353 0.112598 19.14207 0.0000
X3 1.955728 0.121265 16.12772 0.0000 R-squared 0.906438 Mean dependent var 3.256805
Adjusted R-squared 0.904008 S.D. dependent var 3.031175
S.E. of regression 0.939137 Akaike info criterion 2.749069
Sum squared resid 67.91238 Schwarz criterion 2.838395
Log likelihood -106.9628 Hannan-Quinn criter. 2.784882
F-statistic 372.9914 Durbin-Watson stat 2.001719
Prob(F-statistic) 0.000000
No se cumple el supuesto A2, debido a que los parámetros de ambas regresiones son diferentes. Esto podría estar sucediendo, debido a que las series presentas quiebres a lo largo de la muestra, y ocasionaría que al dividir la muestra el coeficiente asociado a las series cambie de un período a otro.
1.3 Detecte la posible presencia de Quiebre estructural en los parámetros utilizando las siguientes pruebas. Especifique la estructura (Ho, Ha, regla de rechazo) de cada una de ellas.
Test de Chow La idea del Test de Chow es ajustar la ecuación por separado para cada submuestra, para ver si existen diferencias significativas en las ecuaciones estimadas. Una diferencia significativa indica un cambio estructural en la relación. Por ejemplo, puede utilizar esta prueba para examinar si la función de demanda de energía era la misma antes y después de la crisis del petróleo.
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Por defecto, la prueba de Chow comprueba si hay un cambio estructural en todos los parámetros de la ecuación. Para llevar a cabo la prueba, se realiza la partición de datos en dos o más sub muestras. Cada submuestra debe contener más observaciones que el número de coeficientes de la ecuación de modo que la ecuación puede ser estimada. El Test de Chow compara la suma de los cuadrados de los residuos obtenidos mediante el ajuste de una sola ecuación para toda la muestra con la suma de los cuadrados de los residuos obtenidos en las ecuaciones independientes que ajustan a cada sub muestra de los datos. Una desventaja importante de la prueba de punto de interrupción es que cada submuestra requiere al menos tantas observaciones como el número de parámetros estimados. A su vez, la gran desventaja es que determina la fecha de quiebre de manera exógena. Donde:
Chow Breakpoint Test: 1980Q1
Null Hypothesis: No breaks at specified breakpoints
Varying regressors: All equation variables
Equation Sample: 1950Q1 2009Q4 F-statistic 17.46552 Prob. F(3,234) 0.0000
Log likelihood ratio 48.49352 Prob. Chi-Square(3) 0.0000
Wald Statistic 52.39657 Prob. Chi-Square(3) 0.0000
Regla de Rechazo: p-value < 0.05: Rechazo . Hay evidencia de quiebre estructural en la muestra. Test Quand-Andrews
Quandt-Andrews unknown breakpoint test
Null Hypothesis: No breakpoints within 15% trimmed data
Varying regressors: All equation variables
Equation Sample: 1950Q1 2009Q4
Test Sample: 1959Q1 2001Q1
Number of breaks compared: 169 Statistic Value Prob. Maximum LR F-statistic (1990Q1) 71.25348 0.0000
Maximum Wald F-statistic (1990Q1) 213.7604 0.0000
Exp LR F-statistic 31.14662 1.0000
Exp Wald F-statistic 102.3066 1.0000
Ave LR F-statistic 22.33797 0.0000
Ave Wald F-statistic 67.01391 0.0000
Note: probabilities calculated using Hansen's (1997) method
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Test de Predicción de Chow
Chow Forecast Test
Equation: UNTITLED
Specification: SB C X2 X3
Test predictions for observations from 1980Q1 to 2009Q4 Value df Probability
F-statistic 3.033366 (120, 117) 0.0000
Likelihood ratio 339.2883 120 0.0000 F-test summary:
Sum of Sq. df Mean
Squares
Test SSR 305.7477 120 2.547897
Restricted SSR 404.0227 237 1.704737
Unrestricted SSR 98.27500 117 0.839957
Unrestricted SSR 98.27500 117 0.839957 LR test summary:
Value df
Restricted LogL -403.0451 237
Unrestricted LogL -233.4009 117 Unrestricted log likelihood adjusts test equation results to account for
observations in forecast sample
Unrestricted Test Equation:
Dependent Variable: SB
Method: Least Squares
Date: 04/06/11 Time: 23:34
Sample: 1950Q1 1979Q4
Included observations: 120 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.842140 0.084170 21.88589 0.0000
X2 1.100294 0.085569 12.85857 0.0000
X3 1.062987 0.085467 12.43744 0.0000 R-squared 0.747705 Mean dependent var 1.683122
Adjusted R-squared 0.743392 S.D. dependent var 1.809229
S.E. of regression 0.916492 Akaike info criterion 2.688155
Sum squared resid 98.27500 Schwarz criterion 2.757842
Log likelihood -158.2893 Hannan-Quinn criter. 2.716455
F-statistic 173.3713 Durbin-Watson stat 2.071691
Prob(F-statistic) 0.000000
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5
Test RESET de Ramsey Esta prueba permite comprobar la correcta especificación polinómica de un modelo estimado. El objetivo central del procedimiento es verificar que no se hayan omitido en la regresión uno o más de los siguientes regresores: - Potencias enteras positivas de los regresores actualmente incluidos en la
regresión. - Productos cruzados de los regresados actualmente incluidos en la regresión. - Logaritmos o recíprocos de los regresores actualmente incluidos en la regresión. El contraste se basa en la prueba de una regresión aumentada tal como s e indica a continuación. Si la regresión actual es:
El test construirá la siguiente relación:
Donde las variables en la matriz Z son regresores presumiblemente omitidos en la regresión original. Si se demostrara que el vector j es nulo, dicha hipótesis se rechazaría. En términos prácticos, el test de Ramsey utiliza los propios regresores registrados en X para construir la matriz Z. Donde:
Ramsey RESET Test
Equation: UNTITLED
Specification: SB C X2 X3
Omitted Variables: Squares of fitted values Value df Probability
t-statistic 0.327389 236 0.7437
F-statistic 0.107183 (1, 236) 0.7437
Likelihood ratio 0.108975 1 0.7413 F-test summary:
Sum of Sq. df Mean
Squares
Test SSR 0.183411 1 0.183411
Restricted SSR 404.0227 237 1.704737
Unrestricted SSR 403.8393 236 1.711183
Unrestricted SSR 403.8393 236 1.711183 LR test summary:
Value df
Restricted LogL -403.0451 237
Unrestricted LogL -402.9906 236
Unrestricted Test Equation:
Dependent Variable: SB
Method: Least Squares
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Date: 04/06/11 Time: 23:35
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.173886 0.163160 13.32367 0.0000
X2 1.445634 0.135339 10.68156 0.0000
X3 1.298877 0.128807 10.08390 0.0000
FITTED^2 0.005108 0.015601 0.327389 0.7437 R-squared 0.704929 Mean dependent var 2.245588
Adjusted R-squared 0.701178 S.D. dependent var 2.392996
S.E. of regression 1.308122 Akaike info criterion 3.391588
Sum squared resid 403.8393 Schwarz criterion 3.449599
Log likelihood -402.9906 Hannan-Quinn criter. 3.414963
F-statistic 187.9356 Durbin-Watson stat 1.531918
Prob(F-statistic) 0.000000
Regla de rechazo: p-value < 0.05: Rechazo . En este caso, se acepta la Hipótesis nula.
Test de Residuos Recursivos Una estimación recursiva del modelo es aquella que primero utiliza k observaciones al inicio de la muestra para evaluar coeficientes y luego se va agregando una observación adicional para cada nueva estimación. Cada estimación del conjunto de coeficientes es, a su vez, utilizada para predecir el valor de la variable dependiente en el período siguiente. Con esta información, el programa estima el error de predicción de manera recursiva, tal como se muestra en la siguiente ecuación:
Bajo la hipótesis nula de estabilidad de parámetros, el error normalizado se distribuye como una normal con media cero y varianza constante y es independiente del residuo recursivo normalizado (w). Eviews realiza la estimación de wt para t=k+1,…, n y reporta su evolución alrededor de 0, además incluye una banda de confianza calculada como ±2 veces la desviación estándar en cada observación. Si los parámetros se mantienen constantes a lo largo de toda la muestra, es de esperar que los valores de los errores de predicción se encuentren dentro de esta banda de confianza; es decir, que su valor medio sea igual a cero. Por tanto la existencia de valores fuera de este intervalo será un indicador de que la hipótesis de estabilidad está siendo violada.
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Dicho grafico ofrece evidencia sobre la existencia de un quiebre estructural. La presencia de valores fuera del intervalo de confianza a mediados del 90 indica que es probable que los parámetros cambien alrededor de esta fecha.
Prueba CUSUM Esta prueba se basa en la suma acumulada de los residuos normalizados. La evaluación de presencia de quiebre se realiza graficando el estadístico CUSUM a lo largo del tiempo. Si esta grafica permanece dentro de las bandas de confianza, entonces los coeficientes son estables en el tiempo, pero si la grafica traspasa las bandas, se reconoce la posible existencia de un cambio estructural en el modelo. La expresión asociada a este estadístico es la siguiente:
Donde w es el residuo recursivo definido líneas arriba y es el error estándar del modelo estimado con todas las observaciones disponibles.
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
Recursive Residuals ± 2 S.E.
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Prueba CUSUM cuadrado El estadístico CUSUM cuadrado hace referencia a la suma acumulada de los residuos normalizados al cuadrado. Por lo mismo, este estadístico no está expuesto a los problemas de la prueba anterior en lo referente a la presencia de errores con signo contrario. No obstante, su interpretación no es tan evidente como en el índice CUSUM convencional, ya que no se espera que su valor medio sea nulo. Dada la construcción del estadístico:
Al igual que en los casos anteriores, si el estadístico arroja un valor que sobrepasa el intervalo de confianza, no podemos afirmar que la media sea la indicada líneas arriba, y por tanto, que los parámetros sean estables.
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
CUSUM 5% Significance
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Test Predictivo de una etapa El grafico asociado a esta prueba traza los residuos recursivos y los errores estándar en la parte superior (esta parte de la grafica es idéntica a la grafica que se obtiene al requerir los residuos recursivos). Adicionalmente, en la parte inferior se muestra una nube de puntos que indican el nivel de confianza en el que es posible rechazar la hipótesis nula de estabilidad. Como sabemos a un nivel de significancia del 5% tiene asociada una confianza del 95%.
Debemos fijarnos en los puntos que tienen asociado el nivel de significancia mas bajo, en este caso se distinguen varios puntos cercanos a 0 en toda la muestra. Este
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
CUSUM of Squares 5% Significance
.000
.025
.050
.075
.100
.125
.150
-4
-2
0
2
4
6
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
One-Step Probability
Recursive Residuals
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resultado se lee de la siguiente manera: aun con un nivel de significancia bastante reducido, la comparación del residuo recursivo obtenido con el intervalo de confianza nos lleva al rechazo de la hipótesis de estabilidad. Notemos que cuando los errores recursivos salen de las bandas, los puntos generados a partir del test predictivo de una etapa se encuentra en niveles inferiores a 5%.
Test Predictivo de “n” etapas En lugar de analizar los coeficientes estimados con la información disponible hasta t-1 para predecir únicamente la siguiente observación Yt, consideramos la posibilidad de utilizarlos para predecir las observaciones que siguen (t,…,n) . Así, una divergencia considerable entre los valores predichos y los verdaderos seria evidencia a favor de la existencia de un quiebre estructural. Su interpretación de los puntos de probabilidad es la misma a la de la prueba de una etapa.
Test de Coeficientes Recursivos Esta prueba grafica permite analizar la evolución de cualquier coeficiente a medida que la muestra empleada para la estimación se amplía en una observación. Por ello, y bajo la hipótesis de estabilidad, cabe esperar que los valores de cada coeficiente converjan en la mediad en que la estimación se acerque a aquella que utiliza toda la información disponible.
.000
.025
.050
.075
.100
.125
.150
-4
-2
0
2
4
6
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
N-Step Probability
Recursive Residuals
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2. HETEROSCEDASTICIDAD. En base a la información de la pestaña “Hetero”, responda:
2.1 Estime la ecuación:
Dependent Variable: H
Method: Least Squares
Date: 03/30/11 Time: 15:01
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.146230 1.459948 2.155029 0.0322
X2 1.068623 0.106695 10.01571 0.0000
X3 0.820669 0.107823 7.611227 0.0000 R-squared 0.422491 Mean dependent var 22.03693
Adjusted R-squared 0.417618 S.D. dependent var 4.298596
S.E. of regression 3.280429 Akaike info criterion 5.226247
Sum squared resid 2550.407 Schwarz criterion 5.269754
Log likelihood -624.1496 Hannan-Quinn criter. 5.243777
F-statistic 86.69175 Durbin-Watson stat 1.887091
Prob(F-statistic) 0.000000
-2
-1
0
1
2
3
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
Recursive C(1) Estimates
± 2 S.E.
0
1
2
3
4
5
6
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
Recursive C(2) Estimates
± 2 S.E.
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
Recursive C(3) Estimates
± 2 S.E.
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2.2 Determine la presencia de Heteroscedasticidad usando las siguientes pruebas. Especifique en cada una de ellas, la Ho y Ha, así como también la Regla de Rechazo.
Test de Glejser (1969) - Se asume que los regresores originales contenidos en el vector “x” son los que
generan heteroscedasticidad. - Hipótesis nula y alternativa:
- El estadístico (t o F) es el que permite evaluar la significancia del vector “theta” en:
Heteroskedasticity Test: Glejser F-statistic 4.012610 Prob. F(2,237) 0.0193
Obs*R-squared 7.860630 Prob. Chi-Square(2) 0.0196
Scaled explained SS 7.950496 Prob. Chi-Square(2) 0.0188
Test Equation:
Dependent Variable: ARESID
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:37
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.138063 0.875965 1.299211 0.1951
X2 -0.035009 0.064017 -0.546875 0.5850
X3 0.182278 0.064694 2.817553 0.0052 R-squared 0.032753 Mean dependent var 2.582940
Adjusted R-squared 0.024590 S.D. dependent var 1.992904
S.E. of regression 1.968248 Akaike info criterion 4.204586
Sum squared resid 918.1385 Schwarz criterion 4.248094
Log likelihood -501.5504 Hannan-Quinn criter. 4.222117
F-statistic 4.012610 Durbin-Watson stat 1.944607
Prob(F-statistic) 0.019329
Test de Harvey (1976) - Se asume que los regresores originales contenidos en el vector “x” son los que
generan heteroscedasticidad.
- Hipótesis nula y alternativa:
El estadístico (t of F) es el que permita evaluar la significancia del vector “theta” en:
2,1,)(:
:
'2
22
0
mxH
H
m
iia
i
ii vxu '|ˆ|
)exp(:
:
'2
22
0
iia
i
xH
H
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Heteroskedasticity Test: Harvey F-statistic 0.887988 Prob. F(2,237) 0.4128
Obs*R-squared 1.785079 Prob. Chi-Square(2) 0.4096
Scaled explained SS 1.820309 Prob. Chi-Square(2) 0.4025
Test Equation:
Dependent Variable: LRESID2
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:38
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.217296 1.000912 0.217098 0.8283
X2 -0.015115 0.073148 -0.206639 0.8365
X3 0.098301 0.073922 1.329800 0.1849 R-squared 0.007438 Mean dependent var 1.034532
Adjusted R-squared -0.000938 S.D. dependent var 2.247943
S.E. of regression 2.248998 Akaike info criterion 4.471268
Sum squared resid 1198.744 Schwarz criterion 4.514776
Log likelihood -533.5521 Hannan-Quinn criter. 4.488798
F-statistic 0.887988 Durbin-Watson stat 2.055691
Prob(F-statistic) 0.412847
Test de Breusch-Pagan (1979) - La heteroscedasticidad se asocia a que la varianza puede ser una “función”
(desconocida) de una combinación lineal de “q” variables conocidas contenidas en el vector “x”.
- Hipótesis nula y alternativa: -
- Estadístico:
- Donde el R2 proviene de la regresión auxiliar:
iii vxu '2ˆln
)(:
:
'22
22
0
iia
i
xhH
H
)(~ 22 qnRLM
iii vxu '2ˆ
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Heteroskedasticity Test: Breusch-Pagan-Godfrey F-statistic 5.044448 Prob. F(2,237) 0.0072
Obs*R-squared 9.799449 Prob. Chi-Square(2) 0.0074
Scaled explained SS 8.564846 Prob. Chi-Square(2) 0.0138
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:38
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -0.315352 6.240521 -0.050533 0.9597
X2 -0.332456 0.456065 -0.728967 0.4667
X3 1.449319 0.460890 3.144612 0.0019 R-squared 0.040831 Mean dependent var 10.62670
Adjusted R-squared 0.032737 S.D. dependent var 14.25745
S.E. of regression 14.02214 Akaike info criterion 8.131573
Sum squared resid 46599.01 Schwarz criterion 8.175081
Log likelihood -972.7887 Hannan-Quinn criter. 8.149103
F-statistic 5.044448 Durbin-Watson stat 1.902740
Prob(F-statistic) 0.007154
Test de White (con y sin términos cruzados,1980)
- Hipótesis nula y alternativa:
- Estadístico:
- donde el R2 y “q” = “# coeficientes -1” están asociados a la regresión auxiliar:
- La generalidad de esta prueba radica en que no requiere un modelo específico de la heteroscedasticidad.
- La debilidad es que si se rechaza la hipótesis nula no se puede concluir que existe heteroscedasticidad.
- Esta es una prueba asintótica cuyos resultados son más confiables a medida que “n” crece.
ciertoesnounomenosalH
udenteindependieXuXyH
a
i
:
,,: 22
0
)(~ 22 qnRLM
iiiii vxcxxu 3
'
2
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1
'2 )()2(ˆ
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Sin términos cruzados:
Heteroskedasticity Test: White F-statistic 4.728201 Prob. F(2,237) 0.0097
Obs*R-squared 9.208674 Prob. Chi-Square(2) 0.0100
Scaled explained SS 8.048501 Prob. Chi-Square(2) 0.0179
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:39
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 4.686565 3.295090 1.422288 0.1563
X2^2 -0.011972 0.022133 -0.540923 0.5891
X3^2 0.071207 0.023242 3.063800 0.0024 R-squared 0.038369 Mean dependent var 10.62670
Adjusted R-squared 0.030254 S.D. dependent var 14.25745
S.E. of regression 14.04012 Akaike info criterion 8.134136
Sum squared resid 46718.60 Schwarz criterion 8.177644
Log likelihood -973.0963 Hannan-Quinn criter. 8.151666
F-statistic 4.728201 Durbin-Watson stat 1.904384
Prob(F-statistic) 0.009693
Con términos cruzados:
Heteroskedasticity Test: White F-statistic 2.521249 Prob. F(5,234) 0.0302
Obs*R-squared 12.26854 Prob. Chi-Square(5) 0.0313
Scaled explained SS 10.72286 Prob. Chi-Square(5) 0.0572
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:40
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 41.77396 35.10348 1.190023 0.2352
X2 -6.624864 4.012580 -1.651023 0.1001
X2^2 0.196850 0.154065 1.277706 0.2026
X2*X3 0.231765 0.258060 0.898104 0.3701
X3 -0.756745 4.296508 -0.176130 0.8603
X3^2 -0.008001 0.168897 -0.047372 0.9623 R-squared 0.051119 Mean dependent var 10.62670
Adjusted R-squared 0.030844 S.D. dependent var 14.25745
S.E. of regression 14.03585 Akaike info criterion 8.145789
Sum squared resid 46099.19 Schwarz criterion 8.232805
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Log likelihood -971.4947 Hannan-Quinn criter. 8.180850
F-statistic 2.521249 Durbin-Watson stat 1.924745
Prob(F-statistic) 0.030215
Test ARCH-LM (Heteroscedasticidad condicional; Engel, 1982)
- Hipótesis nula y alternativa:
- Estadístico: Donde el R2 y “q” = “# rezagos” están asociados a la regresión auxiliar:
Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic 0.555350 Prob. F(1,237) 0.4569
Obs*R-squared 0.558727 Prob. Chi-Square(1) 0.4548
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:41
Sample (adjusted): 1950Q2 2009Q4
Included observations: 239 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 10.15240 1.151235 8.818709 0.0000
RESID^2(-1) 0.048477 0.065051 0.745218 0.4569 R-squared 0.002338 Mean dependent var 10.66387
Adjusted R-squared -0.001872 S.D. dependent var 14.27571
S.E. of regression 14.28907 Akaike info criterion 8.165200
Sum squared resid 48390.06 Schwarz criterion 8.194291
Log likelihood -973.7413 Hannan-Quinn criter. 8.176923
F-statistic 0.555350 Durbin-Watson stat 2.000398
Prob(F-statistic) 0.456878
q
s
ststa
t
uH
H
1
2
0
2
22
0
:
:
)(~ 22 qnRLM
t
q
s
stst vuu
1
2
0
2 ˆˆ
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2.3 De presentarse Heteroscedasticidad, resuelva el problema encontrado. ¿De qué depende la metodología a utilizar? Si la Heteroscedasticidad es una característica del modelo poblacional, entonces se utiliza MCG, MCGF o MCO (errores estándar robustos).
- Si se conoce la forma funcional de la heteroscedasticidad y sus valores numéricos (caso inusual), se debe estimar los parámetros del modelo y hacer inferencia usando MCG.
- Si se conoce sólo la forma funcional de la heteroscedasticidad (caso menos inusual), se debe estimar los parámetros del modelo y hacer inferencia usando MCGF.
- Si no se conoce ni siquiera la forma funcional o no se tiene información suficiente, se debe estimar los parámetros del modelo usando MCO. Para hacer inferencia, se debe utilizar la fórmula correcta de la matriz de var-cov y estimarla de manera robusta (usando el estimador o matriz de White).
Dependent Variable: H
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:36
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240
White heteroskedasticity-consistent standard errors & covariance Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.146230 1.527363 2.059910 0.0405
X2 1.068623 0.113803 9.390105 0.0000
X3 0.820669 0.105026 7.813936 0.0000 R-squared 0.422491 Mean dependent var 22.03693
Adjusted R-squared 0.417618 S.D. dependent var 4.298596
S.E. of regression 3.280429 Akaike info criterion 5.226247
Sum squared resid 2550.407 Schwarz criterion 5.269754
Log likelihood -624.1496 Hannan-Quinn criter. 5.243777
F-statistic 86.69175 Durbin-Watson stat 1.887091
Prob(F-statistic) 0.000000
2.4 Asumiendo que
, ¿Cuál es la metodología apropiada? ¿Por qué? ¿Se
solucionó el problema de Heteroscedasticidad? Aplique las pruebas vistas anteriormente.
Si se conoce la forma funcional de la Heteroscedasticidad y sus valores numéricos (caso inusual), se debe estimar los parámetros del modelo y hacer inferencia usando MCG.
Dependent Variable: H
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:36
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240
Weighting series: X3^(-0.5)
Weight type: Inverse standard deviation (EViews default scaling)
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Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.106770 1.384519 2.243935 0.0258
X2 1.055323 0.103694 10.17732 0.0000
X3 0.838284 0.101802 8.234443 0.0000 Weighted Statistics R-squared 0.436769 Mean dependent var 21.84398
Adjusted R-squared 0.432016 S.D. dependent var 3.868414
S.E. of regression 3.202754 Akaike info criterion 5.178320
Sum squared resid 2431.059 Schwarz criterion 5.221828
Log likelihood -618.3984 Hannan-Quinn criter. 5.195851
F-statistic 91.89339 Durbin-Watson stat 1.880985
Prob(F-statistic) 0.000000 Weighted mean dep. 21.64216 Unweighted Statistics R-squared 0.422397 Mean dependent var 22.03693
Adjusted R-squared 0.417522 S.D. dependent var 4.298596
S.E. of regression 3.280698 Sum squared resid 2550.826
Durbin-Watson stat 1.887217
Pruebas para detectar Heterocedasticidad:
Heteroskedasticity Test: Breusch-Pagan-Godfrey F-statistic 0.961970 Prob. F(2,237) 0.3836
Obs*R-squared 1.932606 Prob. Chi-Square(2) 0.3805
Scaled explained SS 1.621505 Prob. Chi-Square(2) 0.4445
Test Equation:
Dependent Variable: WGT_RESID^2
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:42
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 11.03780 11.79192 0.936048 0.3502
X2*WGT -0.444609 0.426824 -1.041668 0.2986
X3*WGT 0.370305 0.959681 0.385862 0.6999 R-squared 0.008053 Mean dependent var 10.12941
Adjusted R-squared -0.000318 S.D. dependent var 13.31547
S.E. of regression 13.31758 Akaike info criterion 8.028469
Sum squared resid 42033.86 Schwarz criterion 8.071977
Log likelihood -960.4163 Hannan-Quinn criter. 8.045999
F-statistic 0.961970 Durbin-Watson stat 1.837572
Prob(F-statistic) 0.383626
Heteroskedasticity Test: Harvey
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F-statistic 0.127104 Prob. F(2,237) 0.8807
Obs*R-squared 0.257150 Prob. Chi-Square(2) 0.8793
Scaled explained SS 0.249240 Prob. Chi-Square(2) 0.8828
Test Equation:
Dependent Variable: LWRESID2
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:43
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 1.497027 1.947637 0.768638 0.4429
X2*WGT -0.034067 0.070497 -0.483235 0.6294
X3*WGT -0.011944 0.158508 -0.075352 0.9400 R-squared 0.001071 Mean dependent var 1.038159
Adjusted R-squared -0.007358 S.D. dependent var 2.191579
S.E. of regression 2.199628 Akaike info criterion 4.426875
Sum squared resid 1146.692 Schwarz criterion 4.470383
Log likelihood -528.2249 Hannan-Quinn criter. 4.444405
F-statistic 0.127104 Durbin-Watson stat 2.047203
Prob(F-statistic) 0.880702
Heteroskedasticity Test: Glejser F-statistic 0.662948 Prob. F(2,237) 0.5163
Obs*R-squared 1.335210 Prob. Chi-Square(2) 0.5129
Scaled explained SS 1.308986 Prob. Chi-Square(2) 0.5197
Test Equation:
Dependent Variable: AWRESID
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:43
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.448653 1.698540 1.441622 0.1507
X2*WGT -0.047976 0.061481 -0.780342 0.4360
X3*WGT 0.060052 0.138235 0.434420 0.6644 R-squared 0.005563 Mean dependent var 2.544641
Adjusted R-squared -0.002828 S.D. dependent var 1.915595
S.E. of regression 1.918302 Akaike info criterion 4.153179
Sum squared resid 872.1322 Schwarz criterion 4.196687
Log likelihood -495.3815 Hannan-Quinn criter. 4.170710
F-statistic 0.662948 Durbin-Watson stat 1.909206
Prob(F-statistic) 0.516283
Heteroskedasticity Test: ARCH
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F-statistic 1.565804 Prob. F(1,237) 0.2121
Obs*R-squared 1.568653 Prob. Chi-Square(1) 0.2104
Test Equation:
Dependent Variable: WGT_RESID^2
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:44
Sample (adjusted): 1950Q2 2009Q4
Included observations: 239 after adjustments Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 9.336765 1.081467 8.633423 0.0000
WGT_RESID^2(-1) 0.081105 0.064816 1.251321 0.2121 R-squared 0.006563 Mean dependent var 10.15445
Adjusted R-squared 0.002372 S.D. dependent var 13.33775
S.E. of regression 13.32192 Akaike info criterion 8.025032
Sum squared resid 42061.25 Schwarz criterion 8.054124
Log likelihood -956.9913 Hannan-Quinn criter. 8.036755
F-statistic 1.565804 Durbin-Watson stat 1.999400
Prob(F-statistic) 0.212051
Heteroskedasticity Test: White F-statistic 1.519709 Prob. F(5,234) 0.1844
Obs*R-squared 7.548268 Prob. Chi-Square(5) 0.1830
Scaled explained SS 6.333189 Prob. Chi-Square(5) 0.2751
Test Equation:
Dependent Variable: WGT_RESID^2
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:44
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240
Collinear test regressors dropped from specification Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C -21.96080 34.54516 -0.635713 0.5256
WGT^2 58.54086 30.82734 1.898992 0.0588
X2^2*WGT^2 0.301362 0.134740 2.236616 0.0263
X2*WGT^2 -8.593385 3.695449 -2.325397 0.0209
X2*X3*WGT^2 0.212010 0.241995 0.876094 0.3819
X3^2*WGT^2 0.083317 0.148727 0.560200 0.5759 R-squared 0.031451 Mean dependent var 10.12941
Adjusted R-squared 0.010756 S.D. dependent var 13.31547
S.E. of regression 13.24366 Akaike info criterion 8.029598
Sum squared resid 41042.34 Schwarz criterion 8.116614
Log likelihood -957.5517 Hannan-Quinn criter. 8.064659
F-statistic 1.519709 Durbin-Watson stat 1.863773
Prob(F-statistic) 0.184400
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Todas las pruebas No rechazan la hipótesis nula de homoscedasticidad, por lo tanto se corrigió la Heteroscedasticidad.
3. Considere un modelo de regresión clásico de k variables: . Demuestre que el vector de estimadores MCO de es sesgado cuando se asume A3Rsru, es decir, los regresores y las perturbaciones tienen covarianza contemporánea igual a cero.
Aplico esperanza en ambos lados:
Es una función no lineal de X, no sabemos si es igual a 0. Por lo
tanto es estimador de MCO bajo A3Rsru es sesgado.
4. Considere el siguiente modelo de regresión lineal clásico, . Calcule
utilizando:
a. La formula de la varianza total. La fórmula de la varianza total se define como:
A B
B =
, por supuesto A3sru:
B = 0
A =
, debido a que
tiene media 0 (por B), entonces su varianza será:
A =
Entonces:
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b. Ley de esperanzas iteradas.
5. Sea el modelo de regresión lineal clásico utilizando notación matricial:
donde el vector de perturbaciones (de orden ) se distribuye normal con media 0 (vector
) y matriz de varianzas y covarianzas igual a ( es un escalar y una matriz positivo
definida de orden ). En particular, se asume que las perturbaciones son heterocedásticas:
2 = 2
a. Demuestre que le estimador MCO del vector es insesgado y consistente. Asuma que
los datos se comportan bien en asintóticamente, es decir:
Además, asuma por simplicidad que:
.
b. Asumiendo que es diferente para cada , demuestre que el
estimador MCO del vector es asintóticamente normal, es decir:
2
donde:
San Miguel, marzo de 2011
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Insesgadez:
Aplico esperanza condicional:
Bajo A3Rmi y A2:
Entonces:
Aplicando esperanzas iteradas:
Consistencia:
Aplico :
Slutsky:
Por A3Rsru
a. Asumiendo que es diferente para cada , demuestre que el
estimador MCO del vector β es asintóticamente normal, es decir:
Sol.
De acuerdo al enunciado y usando la regla de slutsky:
Además, se demuestra que
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Demostración:
-
-
-
Por TLC:
Luego, por Cramer: