PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES ESPECIALIDAD DE ECONOMÍA SEMESTRE 2011–1 ECONOMETRÍA 2 (ECO 330) Profesor : Erick Lahura PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 2 Para resolver este laboratorio utilice el archivo Lab02_eco2.wf1 disponible en Intranet. 1. PARÁMETROS CAMBIANTES. En base a la información de la pestaña “Break”, responda: 1.1 Estime la ecuación: Dependent Variable: SB Method: Least Squares Sample: 1950Q1 2009Q4 Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.219470 0.084897 26.14323 0.0000 X2 1.479004 0.088867 16.64297 0.0000 X3 1.330096 0.086432 15.38901 0.0000 R-squared 0.704795 Mean dependent var 2.245588 Adjusted R-squared 0.702304 S.D. dependent var 2.392996 S.E. of regression 1.305656 Akaike info criterion 3.383709 Sum squared resid 404.0227 Schwarz criterion 3.427217 Log likelihood -403.0451 Hannan-Quinn criter. 3.401240 F-statistic 282.9157 Durbin-Watson stat 1.529084 Prob(F-statistic) 0.000000 1.2 Teóricamente se sabe que los coeficientes de X2 y X3 del modelo anterior deberían ser constantes a lo largo de toda la muestra (A2). Realice la estimación dividiendo la muestra en 2 grupos: 1950q1-1989q4 y 1990q1-2009q4. ¿Se confirma el supuesto A2 en las estimaciones? Explique por qué.
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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES ESPECIALIDAD DE ECONOMÍA SEMESTRE 2011–1
ECONOMETRÍA 2
(ECO 330) Profesor : Erick Lahura
PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 2
Para resolver este laboratorio utilice el archivo Lab02_eco2.wf1 disponible en Intranet.
1. PARÁMETROS CAMBIANTES. En base a la información de la pestaña “Break”, responda: 1.1 Estime la ecuación:
Dependent Variable: SB
Method: Least Squares
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.219470 0.084897 26.14323 0.0000
X2 1.479004 0.088867 16.64297 0.0000
X3 1.330096 0.086432 15.38901 0.0000 R-squared 0.704795 Mean dependent var 2.245588
Adjusted R-squared 0.702304 S.D. dependent var 2.392996
S.E. of regression 1.305656 Akaike info criterion 3.383709
Sum squared resid 404.0227 Schwarz criterion 3.427217
1.2 Teóricamente se sabe que los coeficientes de X2 y X3 del modelo anterior deberían ser
constantes a lo largo de toda la muestra (A2). Realice la estimación dividiendo la muestra en 2 grupos: 1950q1-1989q4 y 1990q1-2009q4. ¿Se confirma el supuesto A2 en las estimaciones? Explique por qué.
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Dependent Variable: SB
Method: Least Squares
Sample: 1950Q1 1989Q4
Included observations: 160
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 1.779329 0.075634 23.52545 0.0000
X2 1.147299 0.079176 14.49041 0.0000
X3 0.984532 0.074295 13.25170 0.0000
R-squared 0.724587 Mean dependent var 1.739979
Adjusted R-squared 0.721078 S.D. dependent var 1.808533
S.E. of regression 0.955141 Akaike info criterion 2.764657
Sum squared resid 143.2302 Schwarz criterion 2.822316
No se cumple el supuesto A2, debido a que los parámetros de ambas regresiones son diferentes. Esto podría estar sucediendo, debido a que las series presentas quiebres a lo largo de la muestra, y ocasionaría que al dividir la muestra el coeficiente asociado a las series cambie de un período a otro.
1.3 Detecte la posible presencia de Quiebre estructural en los parámetros utilizando las siguientes pruebas. Especifique la estructura (Ho, Ha, regla de rechazo) de cada una de ellas.
Test de Chow La idea del Test de Chow es ajustar la ecuación por separado para cada submuestra, para ver si existen diferencias significativas en las ecuaciones estimadas. Una diferencia significativa indica un cambio estructural en la relación. Por ejemplo, puede utilizar esta prueba para examinar si la función de demanda de energía era la misma antes y después de la crisis del petróleo.
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Por defecto, la prueba de Chow comprueba si hay un cambio estructural en todos los parámetros de la ecuación. Para llevar a cabo la prueba, se realiza la partición de datos en dos o más sub muestras. Cada submuestra debe contener más observaciones que el número de coeficientes de la ecuación de modo que la ecuación puede ser estimada. El Test de Chow compara la suma de los cuadrados de los residuos obtenidos mediante el ajuste de una sola ecuación para toda la muestra con la suma de los cuadrados de los residuos obtenidos en las ecuaciones independientes que ajustan a cada sub muestra de los datos. Una desventaja importante de la prueba de punto de interrupción es que cada submuestra requiere al menos tantas observaciones como el número de parámetros estimados. A su vez, la gran desventaja es que determina la fecha de quiebre de manera exógena. Donde:
Chow Breakpoint Test: 1980Q1
Null Hypothesis: No breaks at specified breakpoints
Test RESET de Ramsey Esta prueba permite comprobar la correcta especificación polinómica de un modelo estimado. El objetivo central del procedimiento es verificar que no se hayan omitido en la regresión uno o más de los siguientes regresores: - Potencias enteras positivas de los regresores actualmente incluidos en la
regresión. - Productos cruzados de los regresados actualmente incluidos en la regresión. - Logaritmos o recíprocos de los regresores actualmente incluidos en la regresión. El contraste se basa en la prueba de una regresión aumentada tal como s e indica a continuación. Si la regresión actual es:
El test construirá la siguiente relación:
Donde las variables en la matriz Z son regresores presumiblemente omitidos en la regresión original. Si se demostrara que el vector j es nulo, dicha hipótesis se rechazaría. En términos prácticos, el test de Ramsey utiliza los propios regresores registrados en X para construir la matriz Z. Donde:
Ramsey RESET Test
Equation: UNTITLED
Specification: SB C X2 X3
Omitted Variables: Squares of fitted values Value df Probability
t-statistic 0.327389 236 0.7437
F-statistic 0.107183 (1, 236) 0.7437
Likelihood ratio 0.108975 1 0.7413 F-test summary:
Sum of Sq. df Mean
Squares
Test SSR 0.183411 1 0.183411
Restricted SSR 404.0227 237 1.704737
Unrestricted SSR 403.8393 236 1.711183
Unrestricted SSR 403.8393 236 1.711183 LR test summary:
Value df
Restricted LogL -403.0451 237
Unrestricted LogL -402.9906 236
Unrestricted Test Equation:
Dependent Variable: SB
Method: Least Squares
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Date: 04/06/11 Time: 23:35
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 2.173886 0.163160 13.32367 0.0000
X2 1.445634 0.135339 10.68156 0.0000
X3 1.298877 0.128807 10.08390 0.0000
FITTED^2 0.005108 0.015601 0.327389 0.7437 R-squared 0.704929 Mean dependent var 2.245588
Adjusted R-squared 0.701178 S.D. dependent var 2.392996
S.E. of regression 1.308122 Akaike info criterion 3.391588
Sum squared resid 403.8393 Schwarz criterion 3.449599
Regla de rechazo: p-value < 0.05: Rechazo . En este caso, se acepta la Hipótesis nula.
Test de Residuos Recursivos Una estimación recursiva del modelo es aquella que primero utiliza k observaciones al inicio de la muestra para evaluar coeficientes y luego se va agregando una observación adicional para cada nueva estimación. Cada estimación del conjunto de coeficientes es, a su vez, utilizada para predecir el valor de la variable dependiente en el período siguiente. Con esta información, el programa estima el error de predicción de manera recursiva, tal como se muestra en la siguiente ecuación:
Bajo la hipótesis nula de estabilidad de parámetros, el error normalizado se distribuye como una normal con media cero y varianza constante y es independiente del residuo recursivo normalizado (w). Eviews realiza la estimación de wt para t=k+1,…, n y reporta su evolución alrededor de 0, además incluye una banda de confianza calculada como ±2 veces la desviación estándar en cada observación. Si los parámetros se mantienen constantes a lo largo de toda la muestra, es de esperar que los valores de los errores de predicción se encuentren dentro de esta banda de confianza; es decir, que su valor medio sea igual a cero. Por tanto la existencia de valores fuera de este intervalo será un indicador de que la hipótesis de estabilidad está siendo violada.
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Dicho grafico ofrece evidencia sobre la existencia de un quiebre estructural. La presencia de valores fuera del intervalo de confianza a mediados del 90 indica que es probable que los parámetros cambien alrededor de esta fecha.
Prueba CUSUM Esta prueba se basa en la suma acumulada de los residuos normalizados. La evaluación de presencia de quiebre se realiza graficando el estadístico CUSUM a lo largo del tiempo. Si esta grafica permanece dentro de las bandas de confianza, entonces los coeficientes son estables en el tiempo, pero si la grafica traspasa las bandas, se reconoce la posible existencia de un cambio estructural en el modelo. La expresión asociada a este estadístico es la siguiente:
Donde w es el residuo recursivo definido líneas arriba y es el error estándar del modelo estimado con todas las observaciones disponibles.
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
Recursive Residuals ± 2 S.E.
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Prueba CUSUM cuadrado El estadístico CUSUM cuadrado hace referencia a la suma acumulada de los residuos normalizados al cuadrado. Por lo mismo, este estadístico no está expuesto a los problemas de la prueba anterior en lo referente a la presencia de errores con signo contrario. No obstante, su interpretación no es tan evidente como en el índice CUSUM convencional, ya que no se espera que su valor medio sea nulo. Dada la construcción del estadístico:
Al igual que en los casos anteriores, si el estadístico arroja un valor que sobrepasa el intervalo de confianza, no podemos afirmar que la media sea la indicada líneas arriba, y por tanto, que los parámetros sean estables.
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
CUSUM 5% Significance
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Test Predictivo de una etapa El grafico asociado a esta prueba traza los residuos recursivos y los errores estándar en la parte superior (esta parte de la grafica es idéntica a la grafica que se obtiene al requerir los residuos recursivos). Adicionalmente, en la parte inferior se muestra una nube de puntos que indican el nivel de confianza en el que es posible rechazar la hipótesis nula de estabilidad. Como sabemos a un nivel de significancia del 5% tiene asociada una confianza del 95%.
Debemos fijarnos en los puntos que tienen asociado el nivel de significancia mas bajo, en este caso se distinguen varios puntos cercanos a 0 en toda la muestra. Este
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
CUSUM of Squares 5% Significance
.000
.025
.050
.075
.100
.125
.150
-4
-2
0
2
4
6
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
One-Step Probability
Recursive Residuals
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resultado se lee de la siguiente manera: aun con un nivel de significancia bastante reducido, la comparación del residuo recursivo obtenido con el intervalo de confianza nos lleva al rechazo de la hipótesis de estabilidad. Notemos que cuando los errores recursivos salen de las bandas, los puntos generados a partir del test predictivo de una etapa se encuentra en niveles inferiores a 5%.
Test Predictivo de “n” etapas En lugar de analizar los coeficientes estimados con la información disponible hasta t-1 para predecir únicamente la siguiente observación Yt, consideramos la posibilidad de utilizarlos para predecir las observaciones que siguen (t,…,n) . Así, una divergencia considerable entre los valores predichos y los verdaderos seria evidencia a favor de la existencia de un quiebre estructural. Su interpretación de los puntos de probabilidad es la misma a la de la prueba de una etapa.
Test de Coeficientes Recursivos Esta prueba grafica permite analizar la evolución de cualquier coeficiente a medida que la muestra empleada para la estimación se amplía en una observación. Por ello, y bajo la hipótesis de estabilidad, cabe esperar que los valores de cada coeficiente converjan en la mediad en que la estimación se acerque a aquella que utiliza toda la información disponible.
.000
.025
.050
.075
.100
.125
.150
-4
-2
0
2
4
6
55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05
N-Step Probability
Recursive Residuals
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2. HETEROSCEDASTICIDAD. En base a la información de la pestaña “Hetero”, responda:
2.1 Estime la ecuación:
Dependent Variable: H
Method: Least Squares
Date: 03/30/11 Time: 15:01
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.146230 1.459948 2.155029 0.0322
X2 1.068623 0.106695 10.01571 0.0000
X3 0.820669 0.107823 7.611227 0.0000 R-squared 0.422491 Mean dependent var 22.03693
Adjusted R-squared 0.417618 S.D. dependent var 4.298596
S.E. of regression 3.280429 Akaike info criterion 5.226247
Sum squared resid 2550.407 Schwarz criterion 5.269754
2.2 Determine la presencia de Heteroscedasticidad usando las siguientes pruebas. Especifique en cada una de ellas, la Ho y Ha, así como también la Regla de Rechazo.
Test de Glejser (1969) - Se asume que los regresores originales contenidos en el vector “x” son los que
generan heteroscedasticidad. - Hipótesis nula y alternativa:
- El estadístico (t o F) es el que permite evaluar la significancia del vector “theta” en:
2.3 De presentarse Heteroscedasticidad, resuelva el problema encontrado. ¿De qué depende la metodología a utilizar? Si la Heteroscedasticidad es una característica del modelo poblacional, entonces se utiliza MCG, MCGF o MCO (errores estándar robustos).
- Si se conoce la forma funcional de la heteroscedasticidad y sus valores numéricos (caso inusual), se debe estimar los parámetros del modelo y hacer inferencia usando MCG.
- Si se conoce sólo la forma funcional de la heteroscedasticidad (caso menos inusual), se debe estimar los parámetros del modelo y hacer inferencia usando MCGF.
- Si no se conoce ni siquiera la forma funcional o no se tiene información suficiente, se debe estimar los parámetros del modelo usando MCO. Para hacer inferencia, se debe utilizar la fórmula correcta de la matriz de var-cov y estimarla de manera robusta (usando el estimador o matriz de White).
Dependent Variable: H
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:36
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240
White heteroskedasticity-consistent standard errors & covariance Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3.146230 1.527363 2.059910 0.0405
X2 1.068623 0.113803 9.390105 0.0000
X3 0.820669 0.105026 7.813936 0.0000 R-squared 0.422491 Mean dependent var 22.03693
Adjusted R-squared 0.417618 S.D. dependent var 4.298596
S.E. of regression 3.280429 Akaike info criterion 5.226247
Sum squared resid 2550.407 Schwarz criterion 5.269754
, ¿Cuál es la metodología apropiada? ¿Por qué? ¿Se
solucionó el problema de Heteroscedasticidad? Aplique las pruebas vistas anteriormente.
Si se conoce la forma funcional de la Heteroscedasticidad y sus valores numéricos (caso inusual), se debe estimar los parámetros del modelo y hacer inferencia usando MCG.
Dependent Variable: H
Method: Least Squares
Date: 04/07/11 Time: 00:36
Sample: 1950Q1 2009Q4
Included observations: 240
Weighting series: X3^(-0.5)
Weight type: Inverse standard deviation (EViews default scaling)
Todas las pruebas No rechazan la hipótesis nula de homoscedasticidad, por lo tanto se corrigió la Heteroscedasticidad.
3. Considere un modelo de regresión clásico de k variables: . Demuestre que el vector de estimadores MCO de es sesgado cuando se asume A3Rsru, es decir, los regresores y las perturbaciones tienen covarianza contemporánea igual a cero.
Aplico esperanza en ambos lados:
Es una función no lineal de X, no sabemos si es igual a 0. Por lo
tanto es estimador de MCO bajo A3Rsru es sesgado.
4. Considere el siguiente modelo de regresión lineal clásico, . Calcule
utilizando:
a. La formula de la varianza total. La fórmula de la varianza total se define como:
A B
B =
, por supuesto A3sru:
B = 0
A =
, debido a que
tiene media 0 (por B), entonces su varianza será:
A =
Entonces:
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b. Ley de esperanzas iteradas.
5. Sea el modelo de regresión lineal clásico utilizando notación matricial:
donde el vector de perturbaciones (de orden ) se distribuye normal con media 0 (vector
) y matriz de varianzas y covarianzas igual a ( es un escalar y una matriz positivo
definida de orden ). En particular, se asume que las perturbaciones son heterocedásticas:
2 = 2
a. Demuestre que le estimador MCO del vector es insesgado y consistente. Asuma que
los datos se comportan bien en asintóticamente, es decir:
Además, asuma por simplicidad que:
.
b. Asumiendo que es diferente para cada , demuestre que el
estimador MCO del vector es asintóticamente normal, es decir:
2
donde:
San Miguel, marzo de 2011
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Insesgadez:
Aplico esperanza condicional:
Bajo A3Rmi y A2:
Entonces:
Aplicando esperanzas iteradas:
Consistencia:
Aplico :
Slutsky:
Por A3Rsru
a. Asumiendo que es diferente para cada , demuestre que el
estimador MCO del vector β es asintóticamente normal, es decir:
Sol.
De acuerdo al enunciado y usando la regla de slutsky: