TujuanPerkuliahan• Menggambar peta karnaugh berdasarkan fungsi boolean atau
tabel kebenaran yang diketahui• Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan peta
karnaugh• Menyederhanakan fungsi boolean dengan menggunakan
metoda tabulasi.
Karnaugh maps• Aljabar boolean membantu kita untuk
menyederhanakan persamaan dan circuit• Karnaugh Map : teknis grafis yang digunakan
untuk menyederhanakan ekspresi booleankedalam form :– minimal sum of products (MSP)– minimal product of sums(MPS)
• Tujuan dari penyederhanaan– Menghasilkan jumlah minimal dari terms product/sum– Masing-masing term akan memiliki jumlah literal
minimal
Pengaturan ulang tabel kebenaran• 2 variabel fungsi memiliki 4 kemungkinan
minterms. Kita dapat melakukan perubahanminterm sini kepeta karnaugh
• Sekarang kita dapat dengan mudah melihatminterms yang memiliki literal umum– Minterms pada bagian kiri dan kanan
mengandung y’ and y– Minterms pada bagian atas dan bawah
mengandung x’ and x
4
x y minterm0 0 x’y’0 1 x’y1 0 xy’1 1 xy
Y
0 10 x’y’ x’y
X1 xy’ xy
Y
0 10 x’y’ x’y
X1 xy’ xy
Y’ YX’ x’y’ x’yX xy’ xy
PenyederhanaanKarnaughMap• Bayangkan 2 variable sum pada minterms
x’y’ + x’y
• Setiap minterms yang terlihat pada baris atasdari K-map mengandung literal x’
• Apa yang terjadi bila kita melakukanpenyederhanaan expresi tersebut denganaljabar boolean ?
5
x’y’ + x’y = x’(y’ + y) [ Distributive ]= x’ 1 [ y + y’ = 1 ]= x’ [ x 1 = x ]
Yx’y’ x’y
X xy’ xy
Contoh 2 variabel• Contoh 2 : untuk expression x’y+ xy
– Setiap minterms yang tampak bada sisi kanan dimanay tidak dikomplemenkan
– Kita dapat menyederhanakan x’y+ xy to just y
• Bagaimana jika x’y’ + x’y + xy?– Kita memiliki x’y’ + x’y pada baris atas, yang dapat
disederhanakan menjadi x’– Ada juga x’y + xy bagian kanan yang dapat kita
sederhanakan menjad iy– Persamaan ini dapat kita sederhanakan menjadi x’ + y
6
Yx’y’ x’y
X xy’ xy
Yx’y’ x’y
X xy’ xy
7
Minterm Maxtermx y z Suku Lambang Suku Lambang00001111
00110011
01010101
x’y’z’x’y’zx‘y z’x’y zx y’z’x y’zx y z’x y z
m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7
x + y + z x + y + z’x + y’+zx + y’+z’x’+ y + zx’+ y + z’x’+ y’+ zx’+ y’+ z’
M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
Karnaugh Map 3 variabel• untuk 3 variabel dengan input x,y,z ,
susunannya adalah sebagai berikut :
• Cara lain untuk menyusun Kmap 3variabel ( pilih yang anda sukai )
8
Yx’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’
X xy’z’ xy’z xyz xyz’Z
Ym0 m1 m3 m2
X m4 m5 m7 m6Z
YZ00 01 11 10
0 x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’X1 xy’z’ xy’z xyz xyz’
YZ00 01 11 10
0 m0 m1 m3 m2X1 m4 m5 m7 m6
Why the funny ordering?
• .
9
x’y’z + x’yz= x’z(y’ + y)= x’z 1= x’z
x’y’z’ + xy’z’ + x’yz’ + xyz’= z’(x’y’ + xy’ + x’y + xy)= z’(y’(x’ + x) + y(x’ + x))= z’(y’+y)= z’
Yx’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’
X xy’z’ xy’z xyz xyz’Z
Yx’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’
X xy’z’ xy’z xyz xyz’Z
K-mapsdari sebuah tabelkebenaran• Kita dapat mengisi K-map langsung dari
sebuah tabel kebenaran– Output dari barisipada tabel dimasukkan pada
kotak mi pada K-map– Ingat bahwa bagian kanan kolom darik-map
“ditukar”
10
Ym0 m1 m3 m2
X m4 m5 m7 m6Z
x y z f(x,y,z)0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 0
1 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1
Y0 1 0 0
X 0 1 1 1Z
Membaca MSP dariK-map• Kita dapat menemukan expression SoP minimal
– Setiap kotak sesuai dengan 1 term of product– Produk ditentukan dengan mencari literal umum
padakotak
11
Yx’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’
X xy’z’ xy’z xyz xyz’Z
Y0 1 0 0
X 0 1 1 1Z
xyy’z
F(x,y,z)= y’z + xy
Mengelompokkanminterms• Pengelompokanpadak-map
– Buat persegi panjangan yang mengelilingi group dari1,2,4, atau 8 dari nilai 1
– Semua nilai 1 pada map harus dimasukkan palingtidak pada 1 persegipanjang.
– Jangan memasukkan nilai 0– Setiap kelompok terdiri dari satu term of product
12
Y0 1 0 0
X 0 1 1 1Z
PIs AND EPIs (1/3)• Untuk menemukan expresi SOP yang paling sederhana kita
harus mendapatkan :– jumlah minimum literals per product term
– Jumlah minimum product terms• Bisa kita dapatkan melalui K-Map menggunakan
– Group terbesar dari sebuah minterms ( prime implicants ) bilamungkin
– Tidakada redundant grouping ( essential prime implicants )
• Implicant : product term yang dapat digunakan untukmengkover minterms dari sebuah fungsi
CS2100 Karnaugh Maps 13
PIs AND EPIs (2/3)• Prime implicant (PI): product term yang didapatkan dari
menggabungkan jumlah minterms yang memungkinkan darikotak yang terdapat pada map. ( kemungkinanpengelompokan terbesar )
• Selalu cari prime implicants pada sebuah K-map
CS2100 Karnaugh Maps 14
11 1
111
O
11 1
111 P
PIs AND EPIs (3/3)• Tidak ada redundant groups:
CS2100 Karnaugh Maps 15
1
1
1
11
1
P1
1
1
1
1
11
1
O1
1
Essential prime implicant (EPI): prime implicant yang terdirisetidaknya satu minterm yang tidak dikover prime implicantyang lain.
Essential prime implicants
K-map Simplificationof SoPExpressions
• Mari kita sederhanakan persamaan berikut f(x,y,z) =xy + y’z + xz
• Kita harus mengkonversi persamaan tersebut keminterms form– Hal yang paling mudah adalah dengan membuat tabel
kebenaran dari fungsi dan kemudian kita temukanmintermsnya
– Anda dapat menuliskan literals nya atau dengan minterm• Berikut adalah tabel kebenaran dan mintermdari
fungsi diatas :
16
x y z f ( x ,y ,z )0 0 0 00 0 1 10 1 0 00 1 1 01 0 0 01 0 1 11 1 0 11 1 1 1
f(x,y,z) = x’y’z + xy’z + xyz’ +xyz
= m1 + m5 + m6 +m7
UnsimplifyingExpressions• Kita juga dapat mengkonversi fungsi diatas dengan
menggunakan aljabar boolean– Terapkan hukum distribusi untuk menambahkan variabel yang
hilang
• Dalam contoh diatas, kita sama sekali tidak“menyederhanakan”
– Hasil dari expres idiatas lebih luas dari pada fungsi aslinya– Tetapi dengan menemukan minterms akan memudahkan kita
untuk menggabungkan terms tersebut pada sebuah k-map
17
xy + y’z + xz = (xy 1) + (y’z 1) + (xz 1)= (xy (z’ + z)) + (y’z (x’ + x)) + (xz (y’ + y))= (xyz’ + xyz) + (x’y’z + xy’z) + (xy’z + xyz)= xyz’ + xyz + x’y’z + xy’z
= m1+m5+m6+m7
ExampleK-map• Pada contoh kita , kita bisa menuliskan
f(x,y,z) dengan cara sbb:
• Hasil dari tabel kebenaran ditunjukkanpada k-map dibawah ini
18
Yx’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’
X xy’z’ xy’z xyz xyz’Z
f(x,y,z) = x’y’z + xy’z + xyz’ + xyz
Ym0 m1 m3 m2
X m4 m5 m7 m6Z
f(x,y,z) = m1 + m5 + m6 + m7
Y0 1 0 0
X 0 1 1 1Z
FIGURE 4-11Karnaugh maps and truth tables for (a) two, (b) three, and (c) four variables.
Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory MossDigital Systems: Principles andApplications, 9e
Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.
FIGURE 4-12 Examples of looping pairs of adjacent 1s.
Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory MossDigital Systems: Principles andApplications, 9e
Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.
FIGURE 4-14 Examples of looping groups of eight 1s (octets).
Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory MossDigital Systems: Principles andApplications, 9e
Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.
Solusi– Hijau dan merah muda overlap– Minterm m6 ditulis lengkap
• Hasil minimal sum of product adalahsbb :x’z+ y’z+xyz’
23
Y0 1 1 0
X 0 1 0 1Z
K-maps can be tricky!
24
Y0 1 0 1
X 0 1 1 1Z
y’z + yz’ + xy y’z + yz’ + xz
Y0 1 0 1
X 0 1 1 1Z
Y0 1 0 1
X 0 1 1 1Z
4 variable K-maps – f(W,X,Y,Z)– Minterms pada kolom ketiga dan keempat, dan
juga baris ke 3 dan bariske 4 dibalik
• Pengelompokan mirip dengan 3 variable, tetapi :– Kita bisa mengelompokkan persegipanjang 1,2 ,4
,8,16 minterms25
4 variable K-maps
26
Ym0 m1 m3 m2m4 m5 m7 m6m12 m13 m15 m14
XW
m8 m9 m11 m10Z
Yw’x’y’z’ w’x’y’z w’x’yz w’x’yz’w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’wxy’z’ wxy’z wxyz wxyz’
XW
wx’y’z’ wx’y’z wx’yz wx’yz’Z
Contoh : Simplifym0+m2+m5+m8+m10+m13• The expression is already a sum of minterms, so here’s the
K-map:
• MSP = MSP x’z’ + xy’z
27
Y1 0 0 10 1 0 00 1 0 0
XW
1 0 0 1Z
Ym0 m1 m3 m2m4 m5 m7 m6m12 m13 m15 m14
XW
m8 m9 m11 m10Z
Y1 0 0 10 1 0 00 1 0 0
XW
1 0 0 1Z
Yw ’x ’y ’z ’ w ’x ’y ’z w ’x ’yz w ’x ’yz ’w ’x y ’z ’ w ’x y ’z w ’x yz w ’x yz ’w xy ’z ’ w xy ’z w xyz wxyz ’
XW
wx ’y ’z ’ w x ’y ’z w x ’yz wx ’yz ’Z
Contoh : Simplifym0+m2+m5+m8+m10+m13• The expression is already a sum of minterms, so here’s the
K-map:
• MSP = MSP x’z’ + xy’z
28
Y1 0 0 10 1 0 00 1 0 0
XW
1 0 0 1Z
Ym0 m1 m3 m2m4 m5 m7 m6m12 m13 m15 m14
XW
m8 m9 m11 m10Z
Y1 0 0 10 1 0 00 1 0 0
XW
1 0 0 1Z
Yw ’x ’y ’z ’ w ’x ’y ’z w ’x ’yz w ’x ’yz ’w ’x y ’z ’ w ’x y ’z w ’x yz w ’x yz ’w xy ’z ’ w xy ’z w xyz wxyz ’
XW
wx ’y ’z ’ w x ’y ’z w x ’yz wx ’yz ’Z
FIGURE 4-18 “Don’t-care” conditions should be changed to 0 or 1 to produce K-map looping that yields the simplestexpression.
Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory MossDigital Systems: Principles andApplications, 9e
Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.
ContohKasus
Ronald Tocci/Neal Widmer/Gregory MossDigital Systems: Principles andApplications, 9e
Copyright ©2004 by Pearson Education, Inc.Upper Saddle River, New Jersey 07458
All rights reserved.
Mari kita merancang sirkuit logika yang mengendalikan pintu lift di sebuahbangunan tiga lantai. sirkuit ini memiliki empat masukan. M adalah sebuahsinyal logika yang menunjukkan saat lift bergerak (M = 1) atau berhenti (M =0). F1, F2, dan F3 adalah indikator sinyal lantai yangnormally LOW ,danF1,F2,F3menjadi HIGHhanya ketika lift diposisikan pada tingkat darilantai tertentu. Sebagai contoh, ketika elevator sedangberadadilantai dua,F2 = 1 dan F1 = = F3 0. Output sirkuit merupakan sinyalOpen, yangnormallyLOWdan akanmenjadi High ketika pintu lift akan dibuka.