Obrada signala 1
2017-2018
27.09.2017.
Furijeova transformacija
• predstavljanje signala ili sistema u spektralnom domenu
• ako se Furijeova transformacija primeni na signal dobija se spektar signala
• ako se primeni na impulsni odziv sistema dobija se frekvencijski odziv sistema
Primer - sistemi
0 5 10 15-0.1
0
0.1
0.2
0.3
n
h1[n
]
0 5 10 15-0.2
0
0.2
0.4
0.6
n
h2[n
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
/
|H1(e
j )|
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
/
|H2(e
j )|
Primer - signali
0 20 40 60 80 100-4
-2
0
2
4
n
x1[n
]
0 20 40 60 80 100-2
0
2
4
n
x2[n
]
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
10
20
30
/
|X1(e
j )|
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
10
20
30
40
/
|X2(e
j )|
Furijeova transformacija(diskretnog signala)
nj
n
j enxeX
deeXnx njj
2
1
jeXnxF
nxeX j 1F
x[n] – diskretan signalX(ejω) – kontinulana funkcija
j j j
R IX e X e jX e X(ejω) - kompleksna funkcija bez obzira na to da li je ulazni signal x[n] realan ili kompleksan
X(e
jω)
–ko
nti
nu
aln
afu
nkc
ijap
oω
Furijeova transformacija(diskretnog signala)
2 2
2 2
j j n
n
j k j k n
n
j k j n j k n j
n
X e x n e
X e x n e
X e x n e e X e
Funkcija je periodična sa periodom 2π
Furijeova transformacija(konvergencija - dovoljan uslov)
svakozaeX j ,
j j n j n
n n n
X e x n e x n e x n
Konvergencija Furijeove transformacije
Kompleksan niz, realan niz...
• x[n] – kompleksan niz
njxnxnx IR
cos sin
cos sin
cos sin
j j n
R I
n n
j
R I
n
I R
X e x n e x n jx n n j n
X e x n n x n n
j x n n x n n
XR(ejω)
XI(ejω)
Kompleksan niz, realan niz...
• x[n] – realan niz
jj eXeX
cos sin
cos sin
j j n
n n
j
n
X e x n e x n n j n
X e x n n j x n n
cos sin
cos sin
j j n
n n
j
n
X e x n e x n n j n
X e x n n j x n n
Spektar signala
Amplitudski spektar (parna funkcija)
Fazni spektar (neparna funkcija)
exp argj j jX e X e j X e
1
* 2
2 2
j j j
j j
R I
X e X e X e
X e X e
1arg tan
j
Ij
j
R
X eX e
X e
j j n
n
X e x n e
j j j
R IX e X e jX e
Spektar signala - primer
1, 0
0,
n Nx n
n N
1
0
2 2 2
2 2 2
1
2
1
1
sin2
sin2
j NNj j n
jn
j N j N j N
j j j
j N
eX e e
e
e e e
e e e
N
e
Spektar signala - primer
Frekvencijski odziv LTI sistema nj
enx 0
k
kjnj
k
knj
k
ekheekhknxkhny 000
k
kjjekheH 00
njjeeHny 00
000 argexp
jjj
eHjeHeH
00 argexp 0
jjeHnjeHny
Frekvencijski odziv LTI sistema
nj
n
j enheH
Frekvencijski odziv sistema
Amplitudska karakteristika
Fazna karakteristika
exp argj j jH e H e j H e
jjH e e M
2 2
j j j
R IH e H e H e
M
1arg tan
j
Ij
j
R
H eH e
H e
j j n
n
H e h n e
j j j
R IH e H e jH e
Frekvencijski odziv LTI sistema - primer
Frekvencijski odziv LTI sistema - primer
Konvolucija u vremenu
• Odziv LTI sistema na pobudu x[n] u vremenskom domenu je konvolucijaimpulsnog odziva i pobude
• U spektralnom domenu:
n
njj enyeY
jjj eHeXeY
Osobine
• Linearnost
• Periodičnost
• Inverzija u vremenu
nxeX j F*
jkj eXeX )2(
nbxnaxFebXeaX jj
2121
Osobine
• Pomeraj u vremenskom domenu
• Pomeraj u frekvencijskom domenu
• Diferenciranje u frekvencijskom domenu
nnxd
edXj
j
F
nxeeXnjj 00
F
00 nnxeXe jnj
F
Primeri
• Niz konačne dužine – kauzalan
• Nekauzalan niz sa simetričnim koeficijentima
• Kauzalan niz sa antisimetričnim koeficijentima
• cos(ω0n)
• Idealni filtri
Neki transformacioni paroviSignal {x[n]} Furijeova ransformacija X(ej)
[n] 1
[n-n0]
1, (<n<)
anu[n], (a<1)
n
nc
sin
. vr.druge za,0
,10,1
n
Nnnx
nje 0
n0cos
k
jj keke 22 00
k
k22 0
2/1
2/sin
2/sin
NjeN
.,0
,,1
c
cjeX
jae1
1
k
k22
0nje
Primer
• Signal – x[n]
• Filtar za usrednjavanje dužine 3
1 2 1 2
2 2cos cos , , 2
10 10x n n n
1
, 0,1,23
0, 2
nh n
n
Primer
• Signal – x[n]
• Filtar za usrednjavanje dužine 3
1 2 1 2
jX e
3sin
2
sin2
j jH e e
Primer
1
1 1 1 1
1
1 1
1 1
1
1
3sin
2,
3sin
2
1
2
3sin
1 2
2 3sin
2
3 3sin sin
1 12
2 3 2 3sin
2
j j j
j
j jn
j n
j n
Y e X e H e
e
y n Y e e d
e d
e
1
1
1
1
1 1
1 2
1 2
1 2
3sin
12 2cos 1
3sin sin
2 2
3 3sin sin
1 12 2cos 1 cos 1
3 3sin sin
2 2
j ne n
y n n n
Primer
Primer
Proizvod u vremenu
nhnwnv
n
njj enhnweV
n
njnjjj edeeHnweV2
1
deHenweV j
n
njj
2
1
1
2
jj j j jV e W e H e d H e W e
Periodična konvolucija
Parsevalova teorema
nxnhnw
n
j nxeV20
deXdeXeXeV jjjj2
0
2
1
2
1
deXnx j
n
22
2
1