Obrada signala 1 - telekomunikacije.etf.bg.ac.rstelekomunikacije.etf.bg.ac.rs/lab54/os1/2017_10_31.pdf · FFT •FFT Fast Fourier Transform odnosno brza Furijeova transformacija •FFT

Obrada signala 1

31.10.2017.

Rotacioni faktori

• Eksponencijalni faktori WNnk nazivaju se

rotacioni faktori (twiddle factors)

• Periodičnost

• Simetrija

nNk

N

Nnk

N

nk

N WWW

nNk

N

kn

N WW

Re

Im

W80

W81

W87

W83

W85

W84

W82

W86

z ravan

Rotacioni faktori, primer N=8

kn 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 j 1 j

2 1 j 1 j 1 j 1 j

3 1 j 1 j

4 1 1 1 1 1 1 1 1

5 1 j 1 J

6 1 j 1 j 1 j 1 j

7 1 j 1 j

1 2j

1 2j

1 2j

1 2j 1 2j

1 2j

1 2j

1 2j 1 2j

1 2j

1 2j

1 2j 1 2j 1 2j

1 2j 1 2j

FFT

• FFT Fast Fourier Transform odnosno brza Furijeova transformacija

• FFT je familija algoritama za efikasnije izračunavanje DFT-a

• S obzirom da su izrazi za DFT i IDFT praktično isti, FFT algoritmi se koriste i za IDFT

FFT

• FFT algoritmi se zasnivaju na dekompoziciji niza u vremenu ili spektru tako što se niz deli na podnizove

• Najpoznatiji su FFT algoritmi s osnovom 2 što znači da se niz deli na dva podniza, pa oba podniza na dva podniza i proces se nastavlja dok se ne stigne do podnizova dužine 2

• Da bi ovakav način podele niza bio moguć, originalan niz mora biti dužine 2k

FFT

• Ukoliko je dužina niza 2k primenom FFT algortima dobija se isti rezultat koji bi se dobio i ako bi računali DFT “po definiciji” samo što je broj računskih operacija manji

Radix 2 DIT FFT

• FFT algoritam sa podelom niza u vremenu (Decimation in Time DIT) sa osnovom 2 (radix 2)

1

0

N

n

nk

NWnxkX

7

8

0

0 2 3 4 5 6 7

8 8 8 8 8 8 8 8

0 2 4 6

8 8 8 8

3 5 7

8 8 8 8

0 1 2 3 4 5 6 7

0 2 4 4

1 3 5 7

nk

n

k k k k k k k

k k k

k k k k

X k x n W

X k x W x W x W x W x W x W x W x W

X k x W x W x W x W

x W x W x W x W

Primer N=8

12/

0

1212/

0

2 122N

l

kl

N

N

l

lk

N WlxWlxkX

Radix 2 DIT FFT

12/

0

2/2

12/

0

2/1

N

m

mk

N

k

N

N

m

mk

N WmxWWmxkX

12/

0

1212/

0

2 122N

l

kl

N

N

l

lk

N WlxWlxkX

mk

N

NmkjNmkjmk

N WeeW 2

2//2/222

0 2 4 6

8 8 8 8

3 5 7

8 8 8 8

0 2 3

1 4 1 4 1 4 1 4

0 1 2 3

8 2 4 2 4 2 4 3 4

0 2 4 6

1 3 5 7

0 1 2 3

0 1 2 3

k k k

k k k k

k k k

k

X k x W x W x W x W

x W x W x W x W

X k x W x W x W x W

W x W x W x W x W

12/

0

2/222/

12/

0

11 iN

m

mk

N

mk

N

N

m

WmxkXWmxkX

3

0

422

4

3

0

11

m

mk

mk

m

WmxkX

WmxkX

Primer N=8

Radix 2 DIT FFT

kXWkXkX k

N 21

kXWkXkX k

281 Primer N=8

DFT je periodičan sa periodom NDFT X1[k] i X2[k] su dužine N/2 pa su periodični sa periodom N/2

4

4

22

11

kXkX

kXkXPrimer N=8

Radix 2 DIT FFT

kXWkXkX k

N 21

.2/

,2/

22

11

NkXkX

NkXkX

kXWkX

NkXWNkXNkX

k

N

Nk

N

21

2

1 2/2/2

k

N

jNkjNNjNkjNNkjNk

N WeeeeeW /2/2/2/2/2/22

1 8 2/ 2 kX k N X k W X k Primer N=8

Radix 2 DIT FFT

12/0,2/

12/0,

21

21

NkkXWkXNkX

NkkXWkXkX

k

N

k

N

337

226

115

004

333

222

111

000

2

3

81

2

2

81

2

1

81

2

0

81

2

3

81

2

2

81

2

1

81

2

0

81

XWXX

XWXX

XWXX

XWXX

XWXX

XWXX

XWXX

XWXX

Radix 2 DIT FFT

kXWkXkX k

N 21

kXWkXNkX k

N 212

Radix 2 DIT FFT

• DFT dužine 2k sveden je na dva DFT-a dužina 2k-1.

• Postupak se ponavlja za DFT dužine 2k-1.

• Na kraju ostaje DFT od dva elementa.

Radix 2 DIT FFT

.4/

,

12

2

111

12

2

111

kXWkXNkX

kXWkXkX

k

N

k

N

kXWkXNkX

kXWkXkX

k

N

k

N

22

2

212

22

2

212

4

,

Radix 2 DIT FFT

DIT “leptir” (N=8)

Radix 2 DIT FFT

Bit-inverzno adresiranje

Indeks ulazau DFT algoritam

Binarno Bit-inverzno Indeks niza iz vremenskog domena

0 000 000 0

1 001 100 4

2 010 010 2

3 011 110 6

4 100 001 1

5 101 101 5

6 110 011 3

7 111 111 7

Ušteda u broju račnuskih operacija

• DFT

• Realnih sabiranja– Za svako k – 4N-2– Ukupno 4N2-2N

• Realnih množenja– Za svako k – 4N– Ukupno 4N2

,ReImImRe

ImImReRe1

0

nk

N

kn

N

N

n

kn

N

kn

N

WnxWnxj

WnxWnxkX

Ušteda u broju račnuskih operacija

• DFT

• FFT

NN

Cm 2log2

NNCadd 2log

2NCm

1 NNCadd

FFT DIF

1

0

N

n

nk

NWnxkX

12/

0

212/

0

2N

n

kNn

N

N

n

nk

N WNnxWnxkX

12

0

2 2N

n

nk

N

kN

N WNnxWnxkX

12

0

222N

n

nl

NWNnxnxlX

12

0

2212N

n

nl

N

n

NWWNnxnxlX

FFT DIF

Radix 2 DIF FFT

DIF “leptir”

FFT DIF

FFT skaliranje

Spektralna analiza

• Dužina niza

• Dodavanje nula

• Prozorske funkcije

Dužina niza

• Rezolucija u spektru 2π/K

• K=N obično se podrazumeva, ako nije drugačije naglašeno

1

0

, 0,1, , 1N

nk

K

n

X k x n W k K

Dužina niza – curenje spektra

fs=8000;

f1=200;

f2=1675;

N=1000;

t=(0:N-1)/fs;

x=cos(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t);

Δf=fs/N=8 Hz

Dužina niza – curenje spektra

fs=8000;

f1=200;

f2=1675;

N=8000;

t=(0:N-1)/fs;


Δf=fs/N=1 Hz

Dužina niza

• K>N

1

0

, 0,1, , 1N

nk

K

n

X k x n W k K

1 1 1

0

0 0

0

0

, 1

0, 1

N K Knk nk nk

K K d K

n n N n

d

X k x n W W x n W

x n n Nx n

N n K

Dopunjavanje nulama

Dužina niza – dopunjavanje nulama

fs=8000;

f1=201;

f2=1675;

N=1000;

Nfft=1024*8;

t=(0:N-1)/fs;


Δf=fs/Nfft

Signal i šum

fs=8000;

f1=200;

f2=1675;

N=1000;

t=(0:N-1)/fs;

x=cos(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t)+5*randn(size(t));

Signal i šum

fs=8000;

f1=201;

f2=1675;

N=1000;

Nfft=8000;

t=(0:N-1)/fs;


Signal i šum

fs=8000;

f1=200;

f2=1675;

N=8000;

Nfft=8000;

t=(0:N-1)/fs;


Primena prozorskih funkcija

• Pri analizi signala velikog trajanja (real-time analizi) uvek se posmatra deo-po-deo signala

• Možemo zamisliti da signal množimo tkzv. prozorskom funkcijom, što znači da signal odsečemo (skratimo na konačnu dužinu) i, eventualno, uobličimo na neki pogodan način

• U spektralnoj analizi, od interesa su različite prozorske funkcije, pogodne za različite vrste signala i različite vrste analiza

• Osim pravougaone (kojom samo skraćujemo signal na konačnu dužinu, u spektralnoj analizi se koriste i brojne druge funkcije, na primer, Hanova, Hammingova…)


• Prozorske funkcije uobličavaju odbirke signala tako da se oni „smanjuju“ kako se ide ka krajevima segmenta

• Ovo, na neki način smanjuje diskontinuitete između pojedinih „prozora“, čime se smanjuje curenje spektra


Linearna konvolucija

• Za dva niza istih dužina N

1

0

11

N

n

njj enxeX

1

0

22

N

n

njj enxeX

1 2

j j jY e X e X e

1

1 2

0

N

LK

m

y n x m x n m

Proizvod Furijeovih transformacija

Linearna konvolucija

Ciklična konvolucija

• Za dva niza istih dužina N

Proizvod diskretnih Furijeovih transformacija


1

0

11 10,N

n

nk

N NkWnxkX

1

0

22 10,N

n

nk

N NkWnxkX

1 2 , 0 1Y k X k X k k N

1

1 2

0

N

CK Nm

y n x m x n m

1

1 2

0

N

CK p p RN

m

y n x m x n m w n

Linerana konvolucija, preko ciklične konvolucije

• Za dva niza istih dužina NLK=Nx1+Nx2-1


1

1 1 0

0

, 0 1LK

LK

Nnk

d N LK

n

X k x n W k N

1

2 2 0

0

, 0 1LK

LK

Nnk

d N LK

n

X k x n W k N

1 2 , 0 1LKY k X k X k k N

1

1 0 2 0

0

idftLK

LK

N

CK d d Nm

y n Y x m x n m

1 1

1 0

1

, 0 1

0, 1

x

d

x

x n n Nx n

n N

2 2

2 0

2

, 0 1

0, 1

x

d

x

x n n Nx n

n N

1

1 0 2 0

0

LK

LK

N

CK d p d p RN

m

y n x m x n m w n


• Nama zapravo treba linerna konvolucija (odziv LTI sitema)

• Računa se tako što nizove dopunimo nulama do dužine linearne konvolucije

• Odredimo DFT za oba niza

• Odredimo proizvod DFT-ova

• Odredimo inverznu DFT proizvoda

Zadatak

• {x1[n]}=1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1

• {x2[n]}=1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0.

Obrada signala 1 - telekomunikacije.etf.bg.ac.rstelekomunikacije.etf.bg.ac.rs/lab54/os1/2017_10_31.pdf · FFT •FFT Fast Fourier Transform odnosno brza Furijeova transformacija •FFT

Documents